Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Esame del 4 ...

Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Esame del 4 Settembre 2008Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati. Per esiti e soluzioni si veda il sito webdel corso: http://www.elet.polimi.polimi.it/dsp/courses/fst. Per contattare il docente: nicoli@elet.polimi.it.Esercizio 1 (foglio bianco, 12 punti): Segnali e sistemiSi consideri il seguente segnale:x(t) =sinc(t) · cos (2πf 0 t)a. (4 punti) Valutare e rappresentare graficamente la trasformata di Fourier, la densità spettrale di energiae l’energia di x(t) assumendo f 0 =0.5 Hz.b. (4 punti) Ripetere il punto a assumendo f 0 =0.25 Hz.c. (4 punti) Scrivere l’espressione della trasformata di x 2 (t) e rappresentarla graficamente nel caso f 0 =2Hz.Esercizio 2 (foglio bianco, 12 punti): ProcessiSia x(t) un processo gaussiano bianco nella banda |f| < 2 Hz, con potenza unitaria e sia y(t) un processoottenuto come segue:y(t) =x(t + T ) − x(t − T )a. (3 punti) Determinare e rappresentare graficamente la densità spettrale di potenza e l’autocorrelazionedi x(t).b. (3 punti) Valutare la risposta impulsiva h(t) del sistema con ingresso x(t) euscitay(t). Precisare setale sistema è causale o meno.c. (3 punti) Determinare la risposta in frequenza H(f) del filtro al punto b e rappresentarne graficamentemodulo e fase.d. (3 punti) Determinare e grappresentare graficamente la densità spettrale di potenza, l’autocorrelazionee la potenza di y(t), assumendo T =0.25.Esercizio 3 (foglio giallo, 12 punti): Trasmissione.Si consideri la trasmissione in banda base di un flusso binario con bit-rate R b = 200Mbit/s mediantesegnalazione 4-PAM. La risposta in frequenza del filtro di trasmissione G(f) è:( qG(f) =A 1 − |f|B,per|f| ≤ B0 ,altrovecon B = 100MHz e A =4× 10 −14 . Ilcanaleèideale(H(f) =1nella banda di trasmissione) e il rumoreadditivo gaussiano bianco ha densità spettrale di potenza N 0 = −167dBm/Hz.a. (3 punti) Sidialarispostainfrequenzadelfiltro adattato H R (f) e si tracci graficamente la risposta infrequenza della cascata dei filtri di trasmissione e ricezione: G 0 (f) =G(f)H R (f).b. (3 punti) Si valuti la risposta all’impulso g 0 (t) (antitrasformata di G 0 (f)).c. (3 punti) Si dica se è presente interferenza intersimbolica (ISI) giustificando la risposta.d. (3 punti) Si valuti la probabilità di errore sul bit.Esercizio 4 (foglio giallo con scritta MATLAB, 3 punti): MatlabIl segnale x(t), triangolo di durata T =2s e di ampiezza A =10V, è campionato con passo di campionamentodt =1ms nell’intervallo di osservazione T oss =3s. Si scriva il codice MATLAB per:a. (1 punto) Costruire il segnale x(t) come convoluzione di due rettangoli di opportuna durata e ampiezza.b. (1 punto) Rappresentare graficamente il segnale x(t).c. (1 punto) Calcolare e rappresentare (in modulo e fase) la trasformata di Fourier del segnale x(t).1

Soluzione esercizio 1La trasformata vale:X(f) = rect (f) ∗ 1 2 (δ(f − f 0)+δ(f + f 0 ))= 1 2 rect (f − f 0)+ 1 2 rect (f + f 0)somma di due rettangoli. Nel caso in cui f 0 =0.5 i due rettangoli si fondono in un rettangolo di larghezzadoppia, come si verifica operando direttamente nel dominio dei tempi:x(t) =sin (πt)πt· cos (πt) =sin (π2t)π2tLa densità spettrale di energia e l’autocorrelazione (sua antitrasformata)|X(f)| 2 = 1 µ f4 rect 2r x (t) = 1 sin (π2t)2 π2tla potenza è 0.5, ovvero la somma delle potenze dei due segnali.Nel caso in cui f 0 = 0.25 i due rettangoli sono parzialmente sovrapposti, pertanto le trasformate sisommano nel tratto in comune. Possiamo rappresentarle come somma di due rettangoli:µ µ ffX(f) =0.5 · rect +0.5 · rect1.50.5La densità spettrale di energia valeµ |X(f)| 2 f=0.25 · rect1.5µ f=0.25 · rect1.5µ f+0.25 · rect0.5+0.75 · rectµ f0.5l’autocorrelazione si determina antitrasformandosin (πt · 1.5) sin (πt · 0.5)r x (t) =0.375 +0.375πt · 1.5πt · 0.5L’energia si ricava nei tempi o nelle frequenze:Soluzione esercizio 2E =0.375 + 0.375 = 0.75=2· 0.25 · 0.5+0.5La densità spettrale di potenza di x(t) èµ fS x (f) =0.25 · rect4µ f+0.5 · rect0.5Il processo y(t) =x(t)∗[δ(t + T ) − δ(t − T )] è ottenuto filtrando x(t) conilsistemaconrispostaimpulsiva:dunque non causale. La trasformata valeh(t) =δ(t + T ) − δ(t − T )H(f) =exp(j2πfT) − exp (−j2πfT)=2j sin (2πfT)=2exp(jπ/2) sin (2πfT)2