Esercitazione di MTCM. Parte II, Eserc.3

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Soluzione:u(z) =6FlEb 0 h 3 z2 (1)2 Trave appoggiata su due punti, caricata a sbalzoIn Fig.2 è mostrato lo schema di una trave appoggiata su due punti e sollecitata da un caricoflettente posto a sbalzo.zz 'FAuz ( )aBbCFigura 2: Trave su due appoggi con carico a sbalzo.Determinare l’abbassamento dell’asse della trave u in funzione della coordinata curvilinea z,considerando soltanto i termini flessionali.Suggerimento: Trovare l’integrale generale nei due tratti AB e BC, imporre spostamento nulloin corrispondenza degli appoggi B e C ed infine imporre la condizione di continuità e di tangenzain corrispondenza del punto B. Utilizzare la coordinata z nel primo tratto, mentre risulta piùcomodo introdurre un’altra coordinata z ′ per il secondo tratto.Soluzione:Tratto AB:u(z) = Fz36EI − Fa ( aEI 2 + b )z + Fa2 (a + b) (2)3 3EITratto BC:u ′ (z ′ ) = − Fz′3 a6EI b + Faz′22EI − Fab3EI z′ (3)2
3 Instabilità dell’equilibrio di strutture a trave caricate di punta3.1 Sistemi ad elasticità concentrataIn Fig.3 è mostrato lo schema di una trave dotata di una sconnessione in mezzeria, sostenutada un elemento ad elasticità concentrata (molla flessionale) e caricata da una forza P secondol’asse della trave.llCBAPϕk ϕvPP C= 2 klϕϕFigura 3: Trave caricata di punta con sconnessione in mezzeria ed elasticità concentrata.La condizione indeformata è di equilibrio, ma, tale equilibrio perde di stabilità ad un certo valoredel carico, detto carico critico P C .Al fine di valutare l’entità del carico critico è necessario considerare la struttura in una configurazionediversa da quella indeformata. Tuttavia, è di interesse soltanto il carico critico e non ilcomportamento successivo alla perdita di stabilità. Per cui è possibile sfruttare tutte le semplificazionirelative alla linearizzazione e scrivere la condizione di equilibrio nella configurazionedeformata:Pv − k ϕ2vl= 0 (4)Al fine di avere tale condizione soddisfatta, con spostamento v non nullo, è necessario che:P − 2 k ϕl= 0 (5)per cui il carico critico è pari a:P C = 2 k ϕlAvendo sfruttato la linearizzazione non è possibile avere nessuna informazione circa il comportamentodopo aver raggiunto il carico critico. Spesso non è di interesse tale informazione, inquanto è bene che la struttura rimanga lontana dalla condizione di perdita di stabilità.(6)3
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Page 7 and 8: che è risolta da:λl = nπ (17)È

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