1. L'integrale di Lebesgue - Istituto di Matematica Applicata e ...

1. L’integrale di LebesgueHenri Lebesgue (1875-1941)IntroduzioneIn questa lezione cerchiamo di raccogliere (nel modo più veloce ed indolore...)alcuni dei risultati più importanti ed utili della teoria dell’integrazione di Lebesgue.Poiché non abbiamo né il tempo, né la pazienza per sviluppare egiustificare tutti i punti della teoria, seguiremo una via, diciamo così, descrittivo/assiomatica,accontentandoci di precisare con cura solo alcune definizionie i corrispondenti enunciati.A prima vista, la nozione di integrale R u(x) dx secondo Cauchy-Riemannsviluppata nei precedenti corsi di Analisi Matematica sembra essere già su -ciente, poiché si applica ad una classe abbastanza ampia di funzioni e riescea trattare quasi tuttgli esempi che solitamente si incontrano nei primi annidi studio. D’altra parte, questa nozione di integrabilità presenta almeno treinconvenienti:– L’insieme di definizione di u deve essere limitato.– u deve essere anch’essa limitata.– La proprietà di essere misurabile non è stabile per la convergenza puntuale:in altre parole, può accadere che una successione di funzioni uniformementelimitate converga puntualmente ad una funzione limitata ma nonmisurabile, i cui punti di discontinuità, cioè, siano “troppo numerosi”per poter parlare di integrale.1-1

L’integrale di LebesgueL’integrale delle funzioni positiveDefinizione 1.1 (Funzioni positive, reali e complesse) Diremo che una funzioneu definita in un insieme E ⇢ R N è positiva se il suo codominio è l’intervalloesteso [0, +1]: ammettiamo pertanto che vi siano punti (anche tutti!) di E in cuila funzione vale +1. u sarà invece reale (risp. complessa) se il suo codominio è R(risp. C): in tal caso non ammettiamo valori infiniti. Osserviamo che le funzionireali sono un caso particolare di funzioni complesse.Convenzione. L’algebra in [0, +1]. In [0, +1] non vi sono di coltà a definire la somma e la relazioned’ordine, come ciascuno può facilmente immaginare. Più arbitrario il prodotto 0 · (+1):quando tratteremo di integrali e di funzioni positive, converremo che0 · (+1) := 0. (1.1)Questa definizione, che può sembrare arbitraria ed in contrasto con tutte le cautele imparatenegli anni precedenti, non è invece così bizzarra, e nasce dall’esigenza di integrare funzioniche valgono +1 su un insieme di misura nulla, o funzioni che valgono 0 su un insiemedi misura +1 (come tutto R, per esempio). I entrambi i casi, se si vuole preservare laproprietà di monotonia che introdurremo tra un momento, si è costretti alla definizione(1.1).Teorema 1.2 (Integrale di Lebesgue per le funzioni positive) Ad ogni insiemeE ⇢ R N e ad ogni funzione positiva u : E ! [0, +1] è possibile associareunivocamente un numero Zu(x) dx 2 [0, +1] (1.2)Ein modo che siano soddisfatte le seguenti proprietà fondamentali:• (Estensione) Se E è misurabile e u è integrabile secondo Cauchy-Riemann(anche in senso generalizzato) allora l’integrale di LebesgueZu(x) dx coincide con l’integrale di Cauchy-Riemann. (1.3)E• (Monotonia) Per ogni u, v : E ! [0, +1]ZZu apple v ) u(x) dx apple v(x) dx (1.4)EE• (Continuità: lemma di Fatou) Se u n : E ! [0, +1] è una successione di funzioniconvergente puntualmente a u, cioè9 lim un(x) =: u(x) 8 x 2 E, (1.5a)n"+1tali che per un opportuna costante MZu n(x) dx apple M < +1 8 n 2 N, (1.5b)Eallora ancheZu(x) dx apple M.E(1.5c)Commento.Il senso del primo punto (Estensione) del precedente teorema è quello di garantire chepassando dall’integrale di Riemann a quello di Lebesgue operativamente non si è costrettia cambiare alcunchè di ciò che si è appreso. Gli altri due, invece, servono per identificareunivocamente la nuova nozione introdotta e “tranquillizzare” il lettore più esigente: inaltri termini, tra tutte le possibili estensioni del concetto di integrale ne esiste solo una,quella proposta appunto da Lebesgue, che soddisfa i due ulteriori requisiti di monotonia edi continuità. Può sembrare strano come è stata formulata quest’ultima nozione (Lemmadi Fatou); riprenderemo meglio questo discorso dopo aver brevemente ricordato alcuneproprietà più familiari.1-3

L’integrale di LebesgueConvenzione. Misurabilità addio. La teoria dell’integrazione di Lebesgue è strettamente legata ad unnuovo concetto di misurabilità di insiemi e funzioni, cui accenneremo più avanti. Poichèl’esistenza di funzioni non misurabili è strettamente legata a sottili questioni di logica eteoria degli insiemi, e tutte le funzioni che ammettono una definizione costruttiva risultano,di fatto, misurabili, per semplificare la trattazione noi assumeremo sempre che le funzionidi cui stiamo parlando siano misurabili: d’ora in avanti, quindi, non ci preoccuperemo piùdi ricordarlo esplicitamente. Spero che Lebegue possa perdonarmi...Proprietà elementariProposizione 1.3 Se E ⇢ R N , u, v sono funzioni positive definite in E euno scalare positivo si ha0 è• (Additività rispetto a u)ZZ(u(x) + v(x)) dx =EZu(x) dx =EEZu(x) dx + v(x) dx, (1.6)EZu(x) dx. (1.7)• (Funzioni caratteristiche) Per ogni A ⇢ R N la funzione caratteristica diA è definita da(1 se x 2 A;1 A (x) :=0 se x 62 A.Per ogni A ⇢ E si haZAZu(x) dx =EEu(x)1 A (x) dx. (1.8)• (Additività rispetto a E) Se E è l’unione disgiunta di due insiemi A, B(cioè E = A [ B, A \ B = ?) alloraZZZu(x) dx = u(x) dx + u(x) dx. (1.9)EABOsservazioneSe A ⇢ E e u è positiva, alloraZAZu(x) dx apple u(x) dx. (1.10)EDefinizione 1.4 (Misura di Lebesgue di un insieme) Se E ⇢ R N , indichiamocon |E| la sua misura di Lebesgue N-dimensionale (lunghezza sulla retta, areanel piano, volume nello spazio!), definita daZ|E| := 1 dx =EZ1 E (x) dx.R N (1.11)NotaPer la proprietà di estensione dell’integrale di Lebesgue, questa definizione coincide conquella di Peano-Jordan, quando l’insieme E è misurabile in questo senso più restrittivo.1-4

L’integrale di LebesgueScambio di operatori-ITeorema 1.5 (Beppo Levi, convergenza monotona)• Se u n è una successione crescente di funzioni positive definite in E ⇢ R N ,tali cioè chen apple m ) u n (x) apple u m (x) 8 x 2 E,alloraZEZlim u n(x) dx = lim u n (x) dx. (1.12)n"+1 n"+1 E• Se u n è una successione decrescente di funzioni positive definite in E ⇢ R N , tali cioèchen apple m ) u n(x) u m(x) 8 x 2 E, (1.13)se almeno una di esse ha integrale finito alloraZZlim un(x) dx = lim u n(x) dx. (1.14)E n"+1 n"+1 ECorollario 1.6 (Integrazione per serie) Se u n è una successione di funzionipositive definite in E ⇢ R N , alloraZ!+1X+1XZu n (x) dx = u n (x) dx. (1.15)En=0n=0ENotaL’ipotesi essenziale del Teorema di Beppo Levi è la monotonia della successione u n(x)rispetto a n (1.5): questa assicura sempre l’esistenza del limite puntualeu 1(x) := lim un(x) 8 x 2 E,n"+1e l’esistenza del limite degli integraliZi 1 := lim u n(x) dx.n"+1 EDunque, il contenuto veramente significativo del teorema sta nell’a↵ermare che i 1 è l’integraledi u 1 su E.DimostrazioneIl teorema di Beppo Levi è una conseguenza immediata del lemma di Fatou (1.5a,b,c): bastaosservare che per monotoniaZZu n(x) apple u 1(x) e quindi u n(x) dx apple u 1(x) dx,EEda cuiZZi 1 := lim u n(x) dx apple u 1(x) dx;n"+1 EEd’altra parte, sempre per la monotonia della successione degli integrali,Zu n(x) dx apple i 1 8 n 2 N,Ee il Lemma di Fatou stabilisce che Zu 1(x) dx apple i 1.EIl teorema di integrazione per serie è una conseguenza diretta del precedente, applicato allasuccessione delle somme parziali.Richiami Famiglie numerabili. Una collezione (o famiglia) di oggetti A si dice numerabile sepuò essere messa in corrispondenza biunivoca con l’insieme N dei numeri naturali; in altreparole, tutti gli elementi di A si possono “etichettare” con un numero intero che li individuaunivocamente e si possono conseguentemente “elencare” in una successioneA := {A 0 , A 1 , A 2 , . . . , A n, . . .}.1-5

L’integrale di LebesgueQuando gli elementi A n sono a loro volta insiemi, si parla di collezione o famiglia numerabiledi insiemi. Capiterà sovente di considerarne l’unione, cioè un nuovo insieme+1 [A = A nn=0i cui elementi sono tutti e soli quelli che apparengono a qualcuno delgli insiemi A n. Chiaramente+1 [B ⇢ A n , 8 b 2 B 9 n 2 N : b 2 A n.n=0Diremo che A è al più numerabile, quando è numerabile oppure A è costituita da unnumero finito di elementi.Richiami Famiglie monotone di insiemi, unioni disgiunte. Una famiglia A 1 , A 2 , . . . , A n, . . . disottoinsiemi di qualche insieme E si dice crescente sen apple m ) A n ⇢ A m.Se A := S +1n=0An in questo caso scriviamo più espressivamente che An " A.Una famiglia A 1 , A 2 , . . . , A n, . . . di insiemi si dice decrescente sen apple m ) A n A m.Se A := T +1n=0An in questo caso scriviamo più espressivamente che An # A. In entrambi icasi diciamo che A n tende ad A quando n " +1.Una famiglia A 1 , A 2 , . . . , A n, . . . di sottoinsiemi di qualche insieme E si dice disgiunta sen 6= m ) A n \ A m = ?.In questo caso diciamo che A := S +1n=0An è l’unione disgiunta della famiglia o che lafamiglia forma una partizione di A.Corollario 1.7 (Approssimazione e decomposizione degli integrali)• Se E 1 , E 2 , . . . , E n , . . . è una famiglia crescente convergente a E, cioè E n " Equando n " +1, alloraZu(x) dx = limEn"+1Zu(x) dx.E n(1.16)• Se E 1 , E 2 , . . . , E n , . . . è una famiglia decrescente convergente a E, cioè E n #E quando n " +1, eZ9 m 2 N : u(x) dx < +1,E malloraZEZu(x) dx = limn"+1u(x) dx.E n(1.17)• Se E 1 , E 2 , . . . , E n , . . . è una partizione di E, cioè E è l’unione disgiuntadella famiglia, alloraZEu(x) dx =+1Xn=0ZE nu(x) dx. (1.18)NotaQuesto risultato è estremamente utile quando si deve calcolare esplicitamente un integrale:si cerca di approssimare o di decomporre l’insieme E in insiemi più piccoli E n in modo cheu sia integrabile secondo Cauchy-Riemann su E n (in particolare, gli E n dovranno esserelimitati e anche u dovrà essere limitata su questi). Dopo di che si ottiene l’integrale di u1-6

L’integrale di Lebesguesu tutto E come limite o come serie, a seconda che si sia scelto una famiglia crescente eapprossimante E o una partizione di E.La potenza del teorema sta nel fatto che siamo completamente liberi nella scelta della decomposizione:in altre parole, l’integrale non dipende da come si approssima o si decomponel’insieme E.Corollario 1.8 • Se E 1 , E 2 , . . . , E n, . . . è una famiglia crescente convergente a E, cioè E n "E quando n " +1, allora|E| = lim |En|. (1.19)n"+1• Se E 1 , E 2 , . . . , E n, . . . è una famiglia decrescente convergente a E, cioè E n # E quandon " +1, e almeno uno di essi ha misura finita allora|E| = lim |En|. (1.20)n"+1• Se E 1 , E 2 , . . . , E n, . . . è una partizione di E, cioè E è l’unione disgiunta della famiglia,allora+1 X|E| = |E n|. (1.21)n=0Più in generale, se E è l’unione non necessariamente disgiunta della famiglia E n si ha+1 X|E| apple |E n|. (1.22)n=0Teorema 1.9 (Fubini) Se E = (a, b) ⇥ (c, d) è un insieme rettangolare (ancheillimitato) di R 2 e u è una funzione positiva definita in E, alloraZZZ b Z !dZ d Z !bu(x, y) dx dy = u(x, y) dy dx = u(x, y) dx dy. (1.23)Ea cc a1-7

L’integrale di LebesgueIntegrale delle funzioni reali o complesseDefinizione 1.10 (Integrale di Lebesgue) Se u è una funzione reale o complessadefinita in E ⇢ R N , diciamo che u è integrabile secondo LebesgueseZ|u(x)| dx < +1. (1.24)ESe u è reale poniamo quindi per definizioneZZZu(x) dx := u + (x) dx u (x) dx. (1.25)EEEAnalogamente, se u è complessa, definiamoZZZu(x) dx := Re u(x) dx + i Im u(x) dx. (1.26)EEEProposizione 1.11 (Validità delle proprietà elementari)• La proprietà di monotonia (1.4) vale anche se le funzioni son reali e integrabilisu E.• La proprietà di estensione, la proposizione 1.3 e il corollario 1.7 valgono anchein ambito complesso (con scalari complessi) purchè le funzioni f, g sianointegrabili su E.Proposizione 1.12 (Disuguaglianza del modulo) Se u è una funzione complessaintegrabile in E ⇢ R N , alloraZZu(x) dx apple u(x) dx. (1.27)EE1-8

L’integrale di LebesgueScambio di operatori-IITeorema 1.13 (Convergenza dominata, Lebesgue) Supponiamo che unasuccessione di funzioni complesse u n , definite nell’insieme E ⇢ R N , convergapuntualmente ad una funzione u. Se è possibile trovare una funzione positiva eintegrabile g che domina tutte le u n , cioèZ|u n (x)| apple v(x) 8 n 2 N, 8 x 2 E, v(x) dx < +1, (1.28)alloraIn particolareEZlim |u n (x)n"+1 Eu(x)| dx = 0. (1.29)ZZlim u n (x) dx = u(x) dx. (1.30)n"+1 EECorollario 1.14 (Continuità degli integrali dipendenti da un parametro)Sia u una funzione complessa definita nel rettangolo E := (a, b)⇥(c, d) e supponiamoche la funzione integrale rispetto alla variabile yU(x) :=Z dcu(x, y) dysia ben definita in (a, b), cioè che la funzione y 7! u(x, y) sia integrabile rispetto ay in (c, d). Supponiamo che per quasi ogni y 2 (c, d) la funzionex 7! u(x, y) sia continua in (a, b)ed esista una funzione v dipendente solo da y tale che|u(x, y)| apple v(y),Z dcv(y) dy < +1.Allora la funzione U è continua in (a, b).1-9

L’integrale di LebesgueInsiemi trascurabili e funzioni definite q.o.Definizione 1.15 (Insiemi trascurabili) Diciamo che N ⇢ R Nquando la sua misura di Lebesgue |N | è nulla.è trascurabileNotaPer la proprietà di estensione, se un insieme è misurabile secondo Peano-Jordan e ha misura nulla, esso è trascurabile: in particolare un numerofinito di punti sulla retta, una famiglia di curve nel piano o unnumero finito di superfici nello spazio sono insiemi trascurabili. Laproposizione che segue mostra però che la classe degli insiemi trascurabili ènotevolmente più ampia.Proposizione 1.16 Se N 1 , N 2 , . . . , N n , . . . sono insiemi di misura nulla secondo ladefinizione 1.15, anche la loro unione1[N :=n=1N nha misura nulla.Approfondimento Caratterizzazione degli insiemi trascurabili. È posibile fornire una caratterizzazionepiù intrinseca degli insiemi trascurabili, che non fa uso della teoria dell’integrazione: infatti,si può dimostrare che un insieme N ⇢ R N è trascurabile se e solo se, comunque sia fissato" > 0, è possibile ricoprire N con una famiglia al più numerabile di rettangoli (cf. la notaseguente) R 1 , R 2 , . . . , R n, . . . tali che1[1XN ⇢ R n, |R n| apple " (1.31)n=1n=1Richiami Rettangoli N-dimensionali. Un rettangolo N-dimensionale R (cioè un intervallo in R 1 , un “vero” rettangolo in R 2 ,un parallelepipedo in R 3 ...) è il prodotto di N intervalli (a 1 , b 1 )⇥(a 2 , b 2 )⇥. . .⇥(a N , b N ) che supporremo indifferentementeaperti, chiusi o semiaperti, limitati o no, eventualmente degeneri (se capita che a j = b j per qualcheindice; in particolare un punto è sempre un N-rettangolo degenere, così come un segmento è un 2-rettangolo edun rettangolo è un 3-rettangolo: ai matematici piacciono tanto queste situazioni un po’ maniacali...che poi peròsi rivelano comode per non trascinarsi la necessità di esaminare tanti casi particolari!) La misura di R (cioè lalunghezza per un intervallo, l’area per un rettangolo, il volume per un parallelepipedo) sarà ovviamente|R| := (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) . . . (b N a N ). (1.32)NotaLa novità, rispetto all’usuale definizione della misura di Peano-Jordan, è la possibilità diusare infiniti rettangoli, anziché solo un numero finito. Naturalmente, gli insiemi di misuranulla della precedente definizione continuano ad essere tali: in particolare le curve nel pianoo le superfici nello spazio.Un insieme numerabile (per esempio l’insieme dei numeri razionali sulla retta reale)è sempre di misura nulla: è infatti l’unione numerabile di punti, che sono particolari N-rettangoli, ciascuno di misura nulla, sicché la (1.31) è banalmente verificata.Un teorema molto bello, dovuto a Lebesgue, dice che una funzione reale e limitata u definitaad esempio in un intervallo [a, b] ⇢ R è integrabile secondo Cauchy-Riemann (e dunquepossiamo parlare dell’integrale di u ad esempio secondo la definizione vista nel corso diAnalisi 1) se e solo se essa è continua salvo al più un insieme trascurabile N ⇢ [a, b], secioè l’insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura nulla secondo la definizione appenaintrodotta.Curiosità Misurabilità secondo Lebesgue. Avendo come riferimento il concetto di insieme trascurabile(che, come abbiamo visto, può essere introdotto indipendentemente dalla resto dellateoria dell’integrazione) è possibile comprendere e definire in modo preciso il concetto dimisurabilità secondo Lebesgue: una funzione u definita in R N e a valori reali (o complessi)si dice misurabile secondo Lebesgue se, per ogni " > 0 possiamo “buttare via” un insiemeR := R 1 [ R 2 [ . . . [ R n [ . . . di rettangoli in modo che1X|R n| apple " e u sia continua in R N \ R; (1.33)n=11-10

L’integrale di LebesgueNon sembrerebbe, questa, una condizione molto più generale della misurabilità secondoPeano-Jordan (si veda la nota precedente), eppure si verifica che praticamente tutte lefunzioni sono misurabili secondo questa nuova condizione, tanto che i controesempi che siconoscono richiedono tutti l’uso di delicati argomenti di teoria degli insiemi e dell’assiomadella scelta; in particolare la classe delle funzioni misurabili secondo Lebesgue è chiusarispetto alle varie operazioni di somma, prodotto, composizione, passaggio al limite, etc...Si osservi che la di↵erenza fondamentale con la definizione di misurabilità secondo Peano-Jordan è che in quest’ultima prima si vanno a cercare i punti di discontinuità di unafunzione e poi si richiede che questi siano trascurabili; nella misurabilità secondo Lebesgue,invece, prima ci è concesso di buttare via molti punti e poi di controllare che la funzioneche “rimane” è continua. Ad esempio, la famigerata funzione di Dirichlet, che vale 1 seil punto è razionale e 0 se è irrazionale, è discontinua in tutti i punti, e quindi non èmisurabile secondo Peano-Jordan. D’altra parte, se noi possiamo prima di controllarne ladiscontinuità, tracurare un insieme di misura nulla, si vede subito che eliminando l’insiemedei razionali la funzione è continua sull’insieme rimanente, assumendo identicamente ilvalore 0: ecco giustificata la misurabilità di Lebesgue per questa funzione.Definizione 1.17 (Proprietà valide quasi ovunque) Diremo che una certa proprietàP vale per quasi ogni elemento di un certo insieme E ⇢ R N o, più semplicemente,che P vale quasi ovunque in E (abbreviato in q.o. in E) se se P èverificata da tutti gli elementi di E salvo al più un sottoinsieme trascurabile.Motivazioni.Alla base delle precedenti definizioni sta l’idea che il termine “trascurabile” significhi effettivamenteche un tale insieme non conti “nulla” agli e↵etti della teoria dell’integrazione;questo fatto è messo in luce dai due risultati che seguono.Esempi La proprietà u è continua q.o. in R significa che l’insieme delle discontinuità di uha misura nulla.La proprietà sin x 6= 0 è vera q.o. in R, perchè l’insieme dei punti {x 2 R : sin x = 0}è numerabile e quindi trascurabile in R.La proprietà x 2 x 0 q.o. è falsa, perchè non è verificata nell’intervallo aperto]0, 1[, che ha misura 1 > 0.Teorema 1.18 (Insiemi trascurabili e integrali)• Se u è positiva in E, alloraZEu(x) dx = 0 , u(x) = 0 per quasi ogni x 2 E; (1.34)in altri termini, l’integrale di una funzione positiva è nullo se e solo se u ènulla salvo al più in un sottoinsieme trascurabile. In particolare, l’integralesu un’insieme trascurabile è sempre nullo.• Se u è positivaZEu(x) dx < +1 ) u(x) < +1 per quasi ogni x 2 E; (1.35)in altri termini, se l’integrale di una funzione positiva u è finito, allora upuò assumere il valore +1 solo in un insieme trascurabile.Corollario 1.19 Se u, g sono due funzioni complesse definite in E ⇢ R N alloraZZZ|u(x) v(x)| dx = 0 ) u(x) = v(x) q.o. in E ) u(x) dx = v(x) dx.E1-11EE(1.36)

L’integrale di LebesgueDimostrazioneSupponiamo di sapere che una funzione u definita su un insieme E ⇢ R N sia nulla ecccettoche in un sottoinsieme A ⇢ E di misura |A| = 0. Con la convenzione algebrica che abbiamoadottato la scorsa lezione, si vede formalmente che deve essereZZ|u(x)| dx = |u(x)| dx apple +1 · |A| = +1 · 0 = 0.EAMotivazioneIl fatto che l’integrale di una funzione u che vale identicamente +1 su un insieme dimisura nulla e 0 altrove debba essere 0 si giustifica con il teorema della convergenzamonotona: basta infatti scegliere la successioneu n(x) := n1 A (x)che ha per limite proprio u(x); per il teorema di Beppo Levi e la linearità dell’integralesi haZZu(x) dx = lim n dx = lim n|A| = 0.An"+1 A n"+1Per dimostrare l’implicazione opposta della (9.35) basta considerare la famiglia crescenteA n := {x 2 E : u(x)1/n}Chiaramente |A n| = 0, altrimenti per la proprietà di monotonia u avrebbe integrale strettamentepositivo. D’altra parte si verifica subito cheper il corollario 1.8.A n " A := {x 2 E : u(x) > 0} e quindi |A| = 0Con un ragionamento analogo si vede che se una funzione positiva u ha integrale finito,allora l’insieme dove u vale +1 deve essere di misura nulla. Detto I tale insieme, per laproprietà di monotonia si haZ Zu(x) dx u(x) dx = +1 · |I|;EIse il primo membro è finito, questa disuguaglianza implica banalmente |I| = 0.Definizione 1.20 (Funzioni definite q.o., dominio) Diremo che una funzioneu è definita q.o. in un certo insieme E ⇢ R N se per quasi ogni x 2 E ha sensoparlare del valore u(x) (cioè u(x) è appunto definito); in altri termini, l’insiemedove u non è definita è trascurabile, nel senso della definizione 1.15. Chiameremodominio di u il sottinsieme D(u) di E dove u è e↵ettivamente definita. Per ipotesi,il complementare die D(u) in E è trascurabile, cioè|E \ D(u)| = 0.Il corollario 1.19 permette di definire l’integrale di una funzione u su un insieme Eanche se questa non è definita su tutto E: basta che l’insieme dove u non è definitasia trascurabile.PrecisazioneSe si vuole essere un po’ pedanti, la definizione potrebbe essere questa:se u è una funzione positiva o complessa q.o. definita su E ⇢ R N , chiamiamo integrale diu su E il numeroZZu(x) dx := ũ(x) dxEEdove ũ è un’arbitraria estensione di u a tutto E, cioè una funzione definita su E checoicnide con u su D(u).Per esempio, un estensione standard è(u ⇤ u(x) se x 2 D(u);(x) :=0 altrimenti.Approfondimento Insiemi definiti q.o.. Si potrebbe ripetete un discorso analogo anche per gli insiemi diintegrazione. Diciamo che due insiemi E 1 , E 2 sono q.o. uguali, o di↵eriscono per un insiemetrascurabile, quando la loro di↵erenza ha misura nulla, cioèE 1 4E 2 = (E 1 \ E 2 ) \ (E 2 \ E 1 )1-12è trascurabile.

L’integrale di LebesgueSi vede facilmente che in tal caso le rispettive funzioni caratteristiche 1 E1 e 1 E2 sono q.o.uguali. Allora, per ogni funzione f positiva, o complessa e integrabile su uno dei due,ZZu(x) dx = u(x) dx.E 1 E 2Definizione 1.21 (Convergenza quasi ovunque) Diremo che la successione difunzioni reali (o complesse) u n definite (anche solo quasi ovunque!) in un insiemeE ⇢ R N converge quasi ovunque alla funzione u (anch’essa definita q.o.) selim u n(x) = u(x) per quasi ogni x 2 E;n"+1in altri termini, l’insieme dei punti x 2 E dove il limite non esiste o è di↵erenteda u(x) è trascurabile.Poichè l’integrale è invariante rispetto a modifiche delle funzioni in insiemi trascurabili,non sarebbe di cile (ma un po’ noioso...) verificare chela teoria precedentemente sviluppata vale anche se tutte lefunzioni in gioco sono definite solo quasi ovunque.Osservazione 1.22 (Dalla convergenza degli integrali alla convergenza q.o.)La proprietà (1.35), benchè banale, ha importanti applicazioni, come vedremo anchein seguito. Consideriamo, ad esempio, il teorema di integrazione per serie (1.15):noi sappiamo che l’uguaglianza vale sempre, ma in generale potrebbe capitare chela serie delle funzioni valga +1 in un insieme molto grande, addirittura tutto l’insiemeE; in tal caso l’uguaglianza si ridurrebbe a +1 = +1 e perderebbe partedel suo interesse. Se però noi sappiamo che la serie degli integrali è convergente,allora la serie+1Xn=0u n (x)avendo integrale finito, converge q.o.Quindi dalla conoscenza del comprtamento di una serie numerica (la serie degliintegrali, appunto) è possibile dedurre un’informazione sul comportamento globaledi una serie di funzioni, che in generale è un oggetto molto più complesso da studiare.1-13

L’integrale di LebesgueScambio di operatori - IIITeorema 1.23 (Integrazione per serie) Se u n è una successione di funzionicomplesse definite in E ⇢ R N tale che+1Xn=0ZEu(x) dx < +1,allora la serie di P +1n=0 u n(x) converge assolutamente per quasi ogni x 2 E edefinisce q.o. una funzione che è integrabile in E. Si haZE+1Xn=0u n (x)!dx =+1Xn=0ZEu n (x) dx. (1.37)Inoltre la successione degli integrali dei resti R n (x) := P +1k=n u k(x) è infinitesima,cioèZ +1X+1XZlim u k (x) dx apple lim |u k (x)| dx = 0. (1.38)n"+1 En"+1k=nk=nEDimostrazioneCi limitiamo a controllare che la serie delle funzioni convege quasi ovunque: si tratta di unsemplice esercizio di applicazione del corollario 1.6. Consideriamo infatti la serie dei moduli+1 XS(x) := |u n(x)|. (1.39)n=0Essendo una serie a termini positivi, possiamo applicare il citato corollario e ottenere cheZ+1 XZS(x) dx = |u n(x)| dx < +1 per ipotesi del teorema.En=0 EMa allora, applicando (1.35) (cf. anche la nota 1.22) si deduce cheS(x) < +1 q.o. in E, cioè la serie (1.39) converge al di fuori di un insieme trascurabile N .Se per x 2 E \ N converge la serie dei moduli, possiamo concludere che anche la serie dellefunzioni converge (convergenza assoluta ) convergenza semplice).Formule di calcolo degli integrali multipliTeorema 1.24 (Fubini) Se E = (a, b) ⇥ (c, d) è un insieme rettangolare (ancheillimitato) di R 2 e u è una funzione complessa integrabile su E, cioè seZZZ b Z !dZ d Z !bu(x, y) dx dy = u(x, y) dy dx = u(x, y) dx dy < +1,Ea cc aalloraZZu(x, y) dx dy =Z bEaZ du(x, y) dy!dx =Z dccZ bau(x, y) dx!dy. (1.40)Nella formula precedente si intende che per q.o. x 2 (a, b) la funzione y 7! u(x, y)è integrabile in (c, d) e che il suo integrale è a sua volta integrabile in (a, b) rispettoa x. Analogo discorso vale scambiando il ruolo delle due variabili.Esercizio Seguendo la traccia della precedente dimostrazione e applicando il Teorema di Tonelli (1.23),dimostrare l’ultima parte del Teorema di Fubini (le ultime tre righe!).1-14

L’integrale di LebesgueRichiami Trasformazioni e matrice derivata. Se T : E ⇢ R N ! R N è una trasformazionedi↵erenziabile, denotiamo con DT (x) la sua matrice derivata nel punto x 2 E e con JT (x)il suo Jacobiano, cioèJT (x) := det ⇥ DT (x) ⇤ 8 x 2 E.T (E) è l’immagine di E, cioè l’insieme dei punti di R N che sono e↵ettivamente assunti dallatrasformazione T in qualche punto di E. Se y 2 T (E) definiamo la molteplicità di y comeil numero delle sue controimmagini tramite T , cioè il numero di volte in cui y viene assuntoin E dalla trasformazione T , e la indichiamo con il simbolo#{x : T (x) = y}.Tale numero può anche essere +1; osserviamo che se T è iniettiva allora #{x : T (x) = y}vale identicamente 1 su T (E).Teorema 1.25 (Formula di cambiamento di variabili) Sia T : E ⇢ R N !R N una trasformazione di↵erenziabile e u una funzione positiva q.o. definita suT (E). AlloraZZu(y) #{x : T (x) = y} dy = u(T (x)) JT (x) dx. (1.41)T (E)ELa formula precedente vale anche se u è reale o complessa, purchèZZ|u(y)| #{x : T (x) = y} dy = |u(T (x))| JT (x) dx < +1.T (E)EIn particolare, se T è iniettiva al di fuori di un insieme trascurabile vale la formulaZZZu(y) dy = u(T (x)) JT (x) dx, T (E) = JT (x) dx.T (E)EE1-15

Derivate e integraliL’integrale di LebesgueTeorema 1.26 (Fondamentale del calcolo, Lebesgue) Sia u una funzionecomplessa integrabile sull’intervallo limitato (a, b). Allora la funzione integraleU(x) :=Z xau(t) dtè uniformemente continua in [a, b] ed è derivabile in quasi tutti i puntidell’intervallo, conU 0 (x) = ddxZ xau(t) dt = u(x) per q.o. x 2 (a, b). (1.42)Nota Il problema di trovare condizioni su cienti per cui una data funzione U definita su unintervallo (a, b) si può ricostruire per integrazione dalla sua derivata è molto più delicato.Dal Teorema precedente si deducono facilmente tre condizioni necessarie: U dev’esserecontinua, derivabile in quasi tutti i punti dell’intervallo (a, b) e la sua derivata deve eseereintegrabile. Purtroppo vi sono esempi (particolarmente complicati) che mostrano comequeste tre condizioni non sono su cienti. Noi ci limitiamo a definire con precisione questaproprietà (assoluta continuità) che risulta assai importante in molte situazioni e a presentareuna classe su cientemente ampia di funzioni che la verificano.Definizione 1.27 (Funzioni assolutamente continue) Una funzione complessaU definita su un intervallo [a, b] di R si dice assolutamente continua quandoè continua, è derivabile in quasi tutti i punti dell’intervallo, la sua derivata U 0 èintegrabile in [a, b] e vale la formulaU(y) U(x) =Z xaU 0 (t) dt per ogni scelta di a apple x apple y apple b. (1.43)EsercizioDimostrare che se una funzione U verifica la (1.43) per la particolare scelta x = a (e yarbitrario nell’intervallo) allora la verifica per tutti gli x.Definizione 1.28 Diciamo che una funzione u definita su un intervallo (ancheillimitato) (a, b) è regolare a tratti, se l’intervallo (a, b) si può decomporre in ununione finita o numerabile di intervalli I n := (a n , b n ) che abbiano in comune al piùgli estremi, in modo che u sia derivabile all’interno di ogni I n e la derivata u 0 (cherisulta pertanto definita q.o. in (a, b)) sia integrabile su (a, b).Teorema 1.29 Se la funzione complessa u, definita su (a, b), è continua e regolarea tratti sull’intervallo [a, b] allora essa è assolutamente continua e quindi per ognicoppia di punti x apple y 2 (a, b) valeu(y) u(x) =Z yxu 0 (t) dt.Teorema 1.30 (Integrazione per parti) Se u, v sono funzioni assolutamente continuesull’intervallo [a, b], allora vale la formulaZ bau 0 (x)v(x) dx =h i x=bu(x)v(x)x=aZ bau(x)v 0 (x) dx. (1.44)1-16

L’integrale di LebesgueTeorema 1.31 (Derivazione sotto il segno di integrale) Sia u una funzionecomplessa definita nel rettangolo E := (a, b) ⇥ (c, d) e supponiamo che lafunzione integrale rispetto alla variabile yU(x) :=Z dcu(x, y) dysia ben definita in (a, b), cioè che la funzione y 7! u(x, y) sia integrabile rispettoa y in (c, d). Supponiamo che per quasi ogni y 2 (c, d) la funzioneconx 7! u(x, y) sia derivabile in (a, b)Z@u(x, y) apple g(y),@xdAllora la funzione U è derivabile in (a, b) e si hacg(y) dy < +1.U 0 (x) =Z dc@u(x, y) dy@x8 x 2 (a, b).1-17

2. Spazi di funzioniStefan Banach (1892-1945)Definizione 2.1 (Spazi funzionali) Consideriamo un sottoinsieme E dello spazioeuclideo R d . Indichiamo con F(E) l’insieme di tutte le funzioni definite in Ea valori complessi. F(E) è uno spazio vettoriale sul campo complesso. Diciamoche V è uno spazio funzionale (su E) se V è un sottospazio vettoriale diF(E).NotaTutto quello che diremo in generale in questa lezione per uno spazio funzionale V valegeneralmente per un qualsiasi spazio vettoriale sul corpo complesso. Noi adotteremo frequentementeil termine più restrittivo di spazio funzionale, perchè vogliamo sottolineareche il nostro obiettivo è quello di descrivere spazi di questo tipo. Quando penseremo aglielementi dello spazio V solo come vettori useremo le lettere in grassetto u, v, w, . . .; quandovorremo sottolineare che si tratta anche di funzioni definite in E torneremo ad usare lelettere in corpo normale u, v, w, . . ..2-1

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-2Richiami Operazioni in uno spazio vettoriale. Se u, v sono due funzioni di F(E) allora la funzionesomma w := u + v è quella ovviamente definita daw(x) := u(x) + v(x) per ogni x 2 E.Analogamente, se 2 C è uno scalare complesso, la funzione l := u è definita dal(x) := u(x) per ogni x 2 E.Dire che V è un sottospazio di F(E) significa che queste operazioni, fatte a partire daelementi u, v in V non fanno uscire da V .Esempi E.1 Quando E := ( 1, +1) e la variabile in E è pensata come tempo, F( 1, +1) è lospazio di tutti i possibili segnali temporali.E.2 Se consideriamo solo segnali temporali nulli prima dell’istante t = 0 (i segnali causali)otteniamo un sottospazio di F( 1, +1),V = F + ( 1, +1) := u 2 F( 1, +1) : u(t) ⌘ 0 per t < 0 .È facile convicersi che si tratta ancora di uno spazio vettoriale.E.3 Fissato un periodo di tempo T > 0, si può considerare un altro sottospazio importantedi F( 1, +1), precisamente quello formato da tutti i segnali T -periodici; in formuleV = F T ( 1, +1) := u 2 F( 1, +1) : u(t + T ) = u(t) 8 t 2 ( 1, +1) .E.4 E := Z rappresenta la scelta più semplice per rappresentare un segnale discreto, cioèuna funzione che dipende solo dai valori interi della variabile; in questo caso il segnaleu 2 F(Z) è determinato dai valori u n := u(n), n 2 Z.E.5 Se E := {nh : n 2 Z}, con h > 0 fissato, F(E) può essere adatto a rappresentareil campionamente a passo h di un segnale temporale. Si possono ripetere anche inquesto caso le medesime osservazioni circa i segnali causali e periodici.E.6 Fissato un intero N, sia E := {0, h, 2h, 3h, . . . , (N 1)h}. In questo caso un elementou di F(E) è determinato da N numeri complessi u n := u(nh), n = 0, . . . , N 1, epuò quindi essere rappresentato da un vettore di C N (R N nel caso di segnali reali).Questa rappresentazione è utile per trattare segnali discreti finiti (segnali digitali).E.7 La distribuzione di potenziale elettrostatico in una sfera E è un elemento di F(E); setale potenziale varia nel tempo, il segnale spazio-temporale associato è un elementodi F(E ⇥ R).E.8 Un immagine rettangolare composta da N ⇥ M pixel può essere rappresentata associandoal pixel di coordinate (n, m) un valore reale u n,m = u(n, m) (0 o 1 sesi considera un’immagine in bianco e nero; da 0 a k 1 se si hanno a disposizionek toni di grigio) corrispondente allo stato di quel pixel: in questo caso E :={0, 1, . . . , N 1} ⇥ {0, 1, . . . , M 1} ⇢ R 2 . In certi casi può essere utile pensare cheu sia definito per tutti i valori interi, ad esempio in modo periodico oppure esteso a0 al di fuori della griglia iniziale.Definizione 2.2 (Trasformazioni lineari) Una trasformazione T : V ! W tradue spazi funzionali si dice lineare seT (↵u + v) = ↵T (u) + T (v) 8 u, v 2 V, ↵, 2 C.Approfondimento Ci si può chiedere la ragione dell’insistenza sul concetto di linearità: esso permette diesprimere un segnale per sovrapposizione di segnali più semplici; lo studio e la realizzazonee↵ettiva di queste decomposizioni costituisce uno dei problemi più importanti che a↵ronteremo.Schematicamente lo si può riassumere nel modo seguente: dato una successione (finitao numerabile) di segnali “elementari” e 1 , . . . , e n, . . . in uno spazio funzionale V , esprimereogni altro segnale u di V come combinazione linearemediante opportuni coeu = ↵ 1 e 1 + ↵ 2 e 2 + . . . + ↵ ne n + . . . (2.1)cienti ↵ 1 , ↵ 2 , . . . da determinarsi.Lo sviluppo (2.1) dovrebbe possedere i seguenti requisiti:– Il calcolo del coe ciente ↵ n+1 non comporta la modifica dei precedenti.– L’aggiunta di un nuovo termine dovrebbe migliorare l’approssimazione di u.

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-3– Si vorrebbe “misurare” in qualche modo l’errore che si commette se si tronca lasomma dopo un numero finito di termini, riducendo l’errore al di sotto di una fissatatolleranza, pur di sommare un numero su ciente di elementi.– Si vorrebbe poter rappresentare “esattamente” u come serie infinita (se è necessario),senza più alcun errore, trattando poi formalmente la serie come una somma ordinaria.Il problema di precisare le nozioni di errore, approssimazione, convergenza delle serie infiniteviene risolto in modo elegante e generale dai concetti che introduciamo qui di seguito.Definizione 2.3 ((Semi)norme in uno spazio funzionale) Una (semi)normak · k per lo spazio funzionale V è un’applicazione definita in V a valori realinon negativi che soddifsfa le seguenti proprietà:(M 1 ) Per ogni u, v 2 V ku + vk apple kuk + kvk.(M 2 ) Per ogni u 2 V e 2 C k uk = | | kuk.In particolare (M 2 ) implica che la (semi)norma della funzione nulla è 0. Chiameremotrascurabili le funzioni u 2 V tali che kuk = 0. k · k è una norma se l’unicafunzione trascurabile è lquella nulla, cioè(M 3 ) kuk = 0 ) u = 0.Uno spazio V dotato di una (semi)norma k · k si dice spazio (semi)normato.Chiamiamo (semi)distanza tra due funzioni u, v in V il numerod(u, v) := kuvk.Diremo indistinguibili (rispetto alla norma k·k) due funzioni u, v che di↵erisconoper una funzione trascurabile, cioè tali che d(u, v) = 0.Convenzione. Norme e seminorme. Come appare chiaro dalla precedente definizione, l’unica differenzatra norme e seminorme consiste nella proprietà M 3 : questa proprietà risulta poifondamentale per garantire l’unicità del limite, secondo la successiva definizione 2.4, e costituisceper questo il punto di vista privilegiato nelle usuali trattazioni di analisi funzionale.D’altra parte gli esempi più importanti di seminorme di tipo integrale (cf. (2.9)) non verificanola M 3 , a meno di non ricorrere al linguaggio delle classi di equivalenza. Noi useremoambedue i concetti e talvolta, per non appesantire l’esposizione, parleremo di norme, spazidi Banach o di Hilbert anche quando si abbia a che fare in realtà solo con una seminorma.Approfondimento Proprietà della distanza. Una (semi)distanza d(·, ·) in uno spazio funzionale V è unaapplicazione reale definita in V ⇥ V caratterizzata dalle seguenti proprietà: (qui di seguitou, v, w, h sono arbitrari elementi di V )( 1 ) Positività: d(u, v) 2 [0, +1).( 2 ) Simmetria: d(u, v) = d(v, u).( 3 ) Disuguaglianza triangolare: d(u, w) apple d(u, v) + d(v, w).( 4 ) Invarianza per traslazioni: d(u, v) = d(u + h, v + h).( 5 ) Omogeneità: d( u, v) = | |d(u, v) 8 2 C.( 6 ) Se poi d è e↵ettivamente una distanza allora due funzioni indistinguibili sono uguali,cioèu = v , d(u, v) = 0.

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-4Definizione 2.4 (Convergenza in uno spazio funzionale (semi)normato)Diciamo che una successione u n 2 V converge a u rispetto alla norma k · k, seAnalogamente diremo che la serielim d(u n, u) = lim ku n uk = 0.n"+1 n"+1+1Xn=1u n converge in V a S se limN"+1 kSNXn=1u n k = 0.EsercizioDimostrare che se u n converge a u rispetto alla (semi)norma k · k, alloralim kunk = kuk.n"+1Attenzione! Unicità del limite. Il limite di una successione in uno spazio funzionale V è unico se esolo se lo spazio è dotato di una norma; nel caso di una seminorma, se la successione u nconverge a u, essa converge anche a tutte le funzioni ũ con kũ uk = 0. Infatti,⇣⌘lim kun ũk = lim kun u + u ũk apple lim ku n uk + ku ũk = 0.n"+1 n"+1 n"+1Il concetto di somma di una serie è molto importante e potremmo rileggerlo così:fissato un margine d’errore (tolleranza) " > 0, siamo in grado, pur di sommareun numero N ¯N = ¯N(") su cientemente grande di termini della serie, diapprossimare la somma S commettendo un errore inferiore a ", cioèSNXu n apple " 8 N ¯N("). (2.2)n=1Per controllare questa proprietà però occorre conoscere a priori l’esistenza e il valoredi S, mentre spesso si dispone solo dei valori di u n . In questo caso risulta naturalesostituire la condizione (2.2) con la seguente nozione.CompletezzaDefinizione 2.5 (Serie di Cauchy) Una successione u n in V forma una serie diCauchy se, fissata una tolleranza " > 0 è possibile trovare un intero ¯N = ¯N(") taleche i contributi alla serie formati con un numero arbitrario di addendi successivi a¯N sono comunque inferiori a "; in formule:8 " > 0 9 ¯N(") 2 N : 8 N M ¯N " ,NXu n apple ". (2.3)n=MDefinizione 2.6 (Spazi completi) Uno spazio funzionale (semi)normato V sidice completo se ogni serie di Cauchy è convergente in V . Uno spazio di Banachè uno spazio normato completo.Un esempio particolarmente importante di serie di Cauchy è fornito dal seguentelemma:Lemma 2.7 Supponiamo che la successione u n in V soddisfi la+1Xn=1Allora u n forma una serie di Cauchy.ku n k < +1. (2.4)

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-5Richiami Resto di una serie numerica convergente.. Se a n è una successione di numeri realitali che la serie P +1n=1an è convergente alla somma s, allora si chiama resto N-esimo laquantitàr N := sNXa n =+1 Xa n.n=1 n=N+1Per definizione stessa di convergenza della serie, si ha+1 Xlim N = lim a n = 0N"+1 N"+1n=NDimostrazioneBasta osservare che se+1 Xku nk < +1n=1e si fissa " > 0, allora esiste ¯N = ¯N(") tale che+1 Xku nk apple ".n= ¯NIn particolare la condizione (2.3) è soddisfatta, poichè se N M ¯N si haNXn=Mu nNXapple ku nk apple+1 Xku nk apple ".n=Mn= ¯NNota Ogni serie convergente è di Cauchy ma in generale non soddisfa la (4.19). totalmenteconvergente; d’altra parte la (4.19) costituisce spesso il metodo più comodo per controllareche una serie sia di Cauchy. Verdemo che un altro caso particolarmente importante di seriedi Cauchy è costituito da alcune serie di vettori ortogonali in uno spazio di Hilbert.Teorema 2.8 (Criterio di Weierstrass “generalizzato”) V è uno spaziofunzionale completo rispetto alla (semi)norma k·k se e solo se per ogni successioneu n in V+1Xn=1ku n k < +1 )+1Xn=1u n converge in V .DimostrazioneOgni serie totalmente convergente è di Cauchy, quindi se lo spazio è completo essa converge.Supponiamo ora che ogni serie totalmente convergente sia convergente e mostriamo cheogni serie di Cauchy converge. Partendo dalla (2.3) scegliamo una successione di valori di", precisamente " k := 2 k , k 1; corrispondentemente troveremo interi ¯Nk := ¯N(" k ) per iquali, posto N 0 := 0,EvidentementeS k :=¯N Xk+1n= ¯N ku n si ha kS k k apple " k = 2 k k 1.+1 X+1 X+1 XkS k k apple 2 k < +1 sicché 9 S := S k .k=1k=1k=0È facile vedere che pure la serie iniziale converge a S: fissato infatti " > 0 e scelto k inmodo che " k < "/2, si ha per N ¯NkSNXu n apple Sn=0¯N k Xn=0u n +NXn= ¯N ku n apple 2" k apple ".

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-6Lo spazio delle funzioni integrabiliConsideriamo un insieme E ⇢ R d di misura positiva. Un modo per valutare quantodi↵eriscono due funzioni u, v di F(E) è quello di misurare l’area compresa tra irispettivi grafici, cioè l’insieme{(x, y) : x 2 E, u(x) apple y apple v(x) o v(x) apple y apple u(x)}.Un semplice grafico mostra che questa area può essere calcolata mediante l’integraleZ|u(x) v(x)| dxEche prenderemo dunque come definizione di distanza integrale tra le due funzioni.Non è di cile controllare che tale distanza soddisfa le proprietà ( 1 , . . . , 5) e cheZkuk := d(u, 0) = |u(x)| dxsi comporta come una (semi)norma. Poiché vogliamo evitare il caso kuk = +1, ènaturale restringere lo spazio F(E) al sottospazio delle funzioni integrabili. Questonuovo spazio è così importante, che lo introduciamo con la definizione che segue.Definizione 2.9 Se E è un insieme di R d con misura positiva, indichiamo conL 1 (E) il sottospazio di F(E) formato dalle funzioni u che sono integrabili, cioèZu 2 L 1 (E) , u 2 F(E), |u(x)| dx < +1.L 1 (E) è naturalmente dotato della (semi)normaZkuk L 1 (E) := |u(x)| dx.EEEAttenzione! Per il Corollario 1.19,d(u, v) = ku vk L 1 (E) = 0 , u = v q.o. in E.Ecco perchè abbiamo chiamato seminorma la funzione k · k L 1 (E): essa non è in grado didistinguere due funzioni, se esse coincidono q.o.Convenzione.Per evitare di usare le seminorme, quando si considera lo spazio L 1 (E) generalmente siadotta la convenzione di identificare due funzioni integrabili, quando queste coincidonoq.o. I matematici usano per questo procedimento la nozione di classe di equivalenza, cheraggruppa gli elementi che sono indistinguibili dal punto di vista della norma dello spazio.In questo caso si parla dello spazio L 1 (E) e i “veri” elementi di L 1 (E) sono classi diequivalenza di funzioni, anziché le singole funzioni. Nel linguaggio corrente, però, si lasciasempre sottointesa questa convenzione, finendo per parlare di L 1 (E) come spazio di funzionie non di classi di equivalenza di funzioni.Dunque noi non ricorreremo al linguaggio delle classi di equivalenza, ma semplicementedovremo tener presente che la (semi)norma di L 1 (E) non distingue due funzioni ugualiq.o., e il limite nel senso di L 1 (E) risulta quindi determinato solo a meno di insiemi dimisura nulla. Quando vorremo sottolineare che la funzione u è determinata a meno diinsiemi trascurabili, scriveremo u 2 L 1 (E).In particolare, la nozione di valore puntuale di una funzione di L 1 (E) deve essere usatacon molta cautela: è chiaro che quando noi definiamo una funzione in E, assegnamo (equindi conosciamo) il suo valore in ogni punto di E. Ma quando la definizione o l’esistenzadi una funzione f passa per qualche procedimento di limite in L 1 (E) e vogliamo che ilnostro discorso sia indipendente dalla scelta arbitraria di un altro candidato limite ũ checoincide con u q.o. in E, non siamo più autorizzati a sfruttare il particolare valore di u in undeterminato punto, ma solo proprietà puntuali che sono invarianti rispetto al cambiamentodi u in un insieme di misura nulla.

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-7EsempioSupponiamo che una successione di funzioni positive u n converga a u in L 1 (0, 1): ebbene,possiamo ancora dire che u è positiva quasi ovunque nell’intervallo (0, 1), ma non possiamodire che u(1/2) 0, in quanto il particolare valore di u in 1/2 non può essere identificatodalla convergenza integrale.Teorema 2.10 (Completezza di L 1 (E)) Se una successione u nsoddisfa la+1XZ+1X|u n (x)| dx = ku n k < +1n=1En=12 L 1 (E)allora la serie P +1n=1 u n(x) converge puntualmente q.o. ed in L 1 (E) ad unafunzione S integrabile in E:limNXN"+1n=0Zu n (x) = S(x) q.o. in E, con lim |S(x)N"+1 EIn particolare, L 1 (E) è completo.NXu n (x)| dx = 0.n=0(2.5)DimostrazioneBasta ricordare il Teorema di integrazione per serie.Proposizione 2.11 (Convergenza degli integrali) Se la successione {u n } n2Nconverge a u in L 1 (E), allora per ogni sottoinsieme A ⇢ EZZu n (x) dx = u(x) dx. (2.6)limn"+1AADimostrazione Basta semplicemente osservare che, per la (1.27),Zu n(x) dxAZZ ⇣⌘u(x) dx = u n(x) u(x) dx appleAAZZu n(x) u(x)) dx apple u n(x) u(x)) dx = ku n uk L 1 (E)AEApprofondimento Convergenza L 1 (E) e convergenza q.o.. Supponiamo di sapere che una successione difunzioni complesse u n definite in E converga q.o., cioèlim un(x) = u(x) per q.o. x 2 E.n"+1Cosa si può dire della convergenza di u n in L 1 (E)?– Occorre innanzitutto controllare che u n, u appartengano a L 1 (E), altrimenti non hasenso parlare di convergenza in L 1 (E).– In caso a↵ermativo, l’unico (a meno di insiemi trascurabili...) limite possibile per lasuccessione u n in L 1 (E) è la funzione u (anche se è intuitivo, si tratta di un Teoremadi non banale dimostrazione!)– Per controllare che la convergenza sia anche in L 1 (E) vi sono sostanzialmente trepossibilità:1. applicare direttamente la definizione e stimare in modo opportuno (per es. calcolandoliesplicitamente...) gli integraliZ|u n(x) u(x)| dx ed il relativo limite per n " +1;E2. controllare se le ipotesi del teorema di Beppo Levi sono soddisfatte (convergenzamonotona) e controllare che il limite degli integrali sia finito (che in tal caso èuna condizione necessaria e su ciente per la convergenza)

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-83. controllare se le ipotesi del teorema di Lebesgue sono verificate (convergenzadominata): queste forniscono una condizione su ciente per la convergenza inL 1 (E).– Nel caso di una serie di funzioni si applica il teorema di integrazione per serie (nelcaso di funzioni positive) o il teorema 2.10.Viceversa, se si conosce a priori la convergenza in L 1 (E), l’unico caso in cui si può dedurrela convergenza q.o. è quello delle serie che soddisfano l’ipotesi del teorema 2.10. In generalese una successione u n converge a u in L 1 (E) si può solo concludere che una esiste unasottosuccessione u nk che converge q.o. a u.Lo spazio delle funzioni (essenzialmente) limitate.Definizione 2.12 Chiamiamo B(E) lo spazio vettoriale delle funzioni complesse elimitate definite in E; B(E) è uno spazio normato grazie akuk B(E) := sup |u(x)|.x2ERichiami– Dire che una successione u n converge a u in B(E) è equivalente a dire che u n convergeuniformemente a u.– L’usuale Criterio di Weierstrass per la convergenza uniforme si può riformulare inquesto modo: se+1 X+1 Xku nk B(E) = sup |u n(x)| < +1,n=1n=1x2Eallora la serie di funzioni P +1n=1 un(x) converge uniformemente (e cioè in B(E)).– Per il teorema 2.8, B(E) è uno spazio completo.Quando si considerano funzioni definite solo quasi ovunque, ad esempio perchè si èinteressati solo a quantità integrali, il naturale sostituto di B(E) si chiama L 1 (E):sostanzialmente si concede alla funzione u di “comportarsi male” purcheè questoavvenga su di un insieme trascurabile; in altri termini, ridefinendo la funzione (peres. a 0) su un insieme trascurabile, siamo in grado di renderla limitata.Definizione 2.13 (Funzioni essenzialmente limitate e L 1 (E)) Una funzionecomplessa u definita in E si dice essenzialmente limitata se esiste una costanteM > 0 tale che|u(x)| apple M per q.o. x in E. (2.7)L’insieme delle funzioni essenzialmente limitate definite in E è uno spazio vettorialeche si indica con L 1 (E). Se u 2 L 1 (E), si indica con kuk L 1 (E) la più piccoladelle costanti M che verificano la (2.7).Attenzione!Dire che una funzione è essenzialmente limitata è molto più restrittivo che limitata q.o.:ad esempio, la funzione u(x) := 1/x q.o. definita su R è limitata (=finita) q.o. ma nonappartiene a L 1 (R), perchè anche se la ridefiniamo 0 per x = 0 essa rimane illimitata suR.Teorema 2.14 L’applicazione u 7! kuk L 1 (E) è una (semi)norma in L 1 (E),rispetto alla quale tale spazio risulta completo: L 1 (E) è quindi uno spazio diBanach.Osservazione 2.15 Se u è una funzione regolare a tratti (cf. la precedente lezione)definita in un intervallo [a, b], allora si controlla facilmente chekuk L 1 (a,b) =sup |u(x)| = kuk B(a,b) .x2[a,b]

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-9Dunque sulle funzioni regolari a tratti la norma L 1 coincide con la norma (del“sup”) di B(a, b); in particolare si verifica che se {u n } n2N è una successione difunzioni regolari a tratti, essa converge in L 1 (a, b) se e solo se essa convergeuniformemente ad una funzione u limitata in [a, b]. Ogni funzione ũ quasi ovunqueuguale ad u è allora il limite della successione in L 1 (a, b).Lemma 2.16 Se u 2 L 1 (E) e v 2 L 1 (E), allora il prodotto uv è integrabile eZkuvk L 1 (E) = |u(x)v(x)| dx apple kuk L 1 (E)kvk L 1 (E).EAnalogamente, se {u n } n2N e {v n } n2N sono due successioni convergenti a u e v inL 1 (E) e in L 1 (E) rispettivamente, alloraZZlim u nv n = uv in L 1 (E), lim u n (x)v n (x) dx = u(x)v(x) dx.n"+1 n"+1L’integrale del prodotto di due funzioni, lo spazio L 2 (E) e lanozione di prodotto scalare.Il lemma 2.16 fornisce un primo elementare criterio di integrabilità del prodottodi due funzioni u, v; ci si può chiedere se non è possibile trovare una condizionesu ciente che faccia intervenire simmetricamente le due funzioni.La risposta sta nella seguente disuguaglianza elementareE|ab| apple 1 2 (|a|2 + |b| 2 ), 8 a, b 2 C, (2.8)la cui dimostrazione segue facilmente dall’identità12 (|a|2 + |b| 2 2|ab|) = 1 2 (|a| |b|)2 0, 8 a, b 2 C.Corollario 2.17 Se u, v sono funzioni complesse definite in E tali cheZZ|u(x)| 2 dx < +1, |v(x)| 2 dx < +1,Eallora la funzione u · v è integrabile in E eZ|u(x) · v(x)| dx apple 1 ⇣ Z Z|u(x)| 2 dx +E2 EEEE⌘|v(x)| 2 dx < +1. (2.9)Definizione 2.18 Se E è un insieme di R d con misura positiva, indichiamo conL 2 (E) il sottospazio di F(E) formato dalle funzioni u che sono integrabili, cioèZu 2 L 2 (E) , u 2 F(E), |u(x)| 2 dx < +1.L 2 (E) è naturalmente dotato della (semi)normaEs Zkuk L 2 (E) := |u(x)| 2 dx, (2.10)Eindotta dal prodotto scalareZ(u, v) L 2 (E) := u(x) · v(x) dx. (2.11)E

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-10Osserviamo che (2.11) è ben definito grazie al precedente corollario; a di↵erenzadi L 1 (E), controllare che (2.10) è e↵ettivamente una (semi)norma (in particolarela proprietà (M 2 )) non è del tutto immediato, ma è una facile conseguenza delfatto che (2.11) è e↵ettivamente un prodotto scalare. Ricordiamo qui di seguitola definizione generale di questa nozione fondamentale, lasciando come esercizio laverifica che (2.11) ne soddisfa tutte le proprietà formali.Definizione 2.19 (Prodotto scalare e norma indotta) Si chiama prodotto scalarein uno spazio funzionale V una applicazione che associa ad ogni coppia di vettoriu, v di V un numero complesso (u, v) con queste proprietà:hermitianità (v, u) =((u, v); (2.12)sesquilinearità(↵u + v, h) = ↵(u, h) + (v, h),(h, ↵u + v) = ↵(h, u) + (h, v),(2.13)positività (u, u) 0 u = 0 ) (u, u) = 0. (2.14)Si verifica che la funzione u 7! p (u, u) è una (semi)norma su V , che si chiama(semi)norma indotta dal prodotto scalare.Chiameremo trascurabile un elemento u tale che kuk = (u, u) = 0.Se è soddisfatta anche la proprietà(u, u) = 0 ) u = 0, (2.15)cioè il solo elemento trascurabile è lo 0, allora la (semi)norma indotta è una normain senso stretto.Nota Prodotti scalari a valori reali. Nel caso (·, ·) sia un prodotto scalare reale (ad esempioquando V è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali) si parla di simmetria (al postodella hermitianità) e di bilinearità (al posto della sesquilinearità): in pratica basta omettereda tutte le formule il segno della coniugazione complessa.Se (·, ·) è un prodotto scalare complesso, si verifica facilmente (Esercizio!) che Re(·, ·) è unprodotto scalare reale.Approfondiremo nella lezione successiva alcune applicazioni importanti del prodottoscalare; per ora ricordiamo una disuguaglianza fondamentale che applichiamo subitoal problema dell’integrazione del prodotto di due funzioni, ra nando la (2.9)Proposizione 2.20 (Disuguaglianza di Schwartz) Se (·, ·) è un prodotto scalaredefinito nello spazio funzionale V , allora per ogni coppia di vettori u, v di V siha|(u, v)| apple p (u, u) p (v, v) = kuk kvk.Inoltre,| | = 1, (u, v) = kuk kvk , 9 ⇢ 0 : u = ⇢vCorollario 2.21 (Continuità del prodotto scalare) Se u n ! u e v n ! v inV , alloralim (u n, v n ) = (u, v). (2.16)n"+1Dimostrazione|(u n, v n) (u, v)| = |(u n, v n) (u, v n) + (u, v n) (u, v)| apple|(u n, v n) (u, v n)| + |(u, v n) (u, v)| = |(u n u, v n)| + |(u, v n v)| appleku n uk kv nk + kuk kv n vkPassando al limite per n " +1 e osservando che la norma di v n si mantiene limitata (difatto converge alla norma di v) si conclude.

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-11Corollario 2.22 Se u, v 2 L 2 (E) alloraZs Zs Z|u(x) · v(x)| dx apple |u(x)| 2 dx |v(x)| 2 dx = kuk L 2 (E) kvk L 2 (E)EEEInoltre, se {u n } n2N , {v n } n2N sono due successioni convergenti rispettivamente a u, vin L 2 (E) si haZZlim u n (x) · v n (x) dx = u(x) · v(x) dx.n"+1 EEApplichiamo ora la disuguaglianza di Schwartz per dimostrare che L 2 (E) è unospazio completo.Teorema 2.23 (Completezza di L 2 (E)) Se una successione u nsoddisfa la+1Xs Z|u n (x)| 2 dx =n=1 E+1Xn=1ku n k L 2 (E) < +12 L 2 (E)allora la serie P +1n=1 u n(x) converge puntualmente q.o. ed in L 2 (E) ad unafunzione S integrabile in E:limNXN"+1n=1Zu n (x) = S(x) q.o. in E, con limN"+1 EIn particolare, L 2 (E) è completo.S(x)NXu n (x) 2 dx = 0.n=1(2.17)DimostrazionePer dimostrare il primo limite di (2.17) basterà mostrare che+1 X˜S(x) := |u n(x)| < +1 per q.o. x 2 E;n=1quest’ultima disuguaglianza è certamente verificata seZ| ˜S(x)| 2 dx < +1.EpostoNX˜S N (x) := |u n(x)|n=1evidentemente ˜S N (x) (e quindi anche ˜S N 2 (x)) è una successione non negativa e monotonanon decrescente rispetto a N; per il teorema di Beppo LeviZZ| ˜S(x)| 2 dx = lim | ˜S N (x)| 2 dx.EN"+1 ESe noi mostriamo cheZ| ˜S⇣ +1 X⌘N (x)| 2 dx apple ku nk L 2 (E)En=1abbiamo concluso.Ricordiamo una semplice identità: se a 1 , a 2 , . . . , a N sono numeri reali⇣ X N ⌘ 2 ⇣ X N ⌘ ⇣ X N ⌘ NXa n = a n · a n = a m a n; (2.18)n=1n=1n=1m,n=1applicando questa identità alla somma che definisce ˜S N e applicando la disuguaglianza diSchwartz otteniamoZZ| ˜SNXNXZN (x)| 2 dx = |u m(x)| |u n(x)| dx = |u m(x)| |u n(x)| dxEE m,n=1m,n=1 ENX⇣apple ku mk L 2 (E) kunk L 2 (E) = X N ⌘ 2 ⇣ +1 X2.ku nk L 2 (E) apple ku nk L (E)⌘ 2 (2.19)m,n=1n=1n=1Il secondo limite in (2.17) segue dal teorema della convergenza dominata.

2. SPAZI DI FUNZIONI 2-12Approfondimento Convergenza L 2 (E) e convergenza q.o.. Possiamo ripetere anche nel caso di L 2 (E)considerazioni analoghe a quelle precedentemente presentate per L 1 (E). Supponiamo dunquedi sapere che una successione di funzioni complesse u n definite in E converga q.o. a u.Per poter concludere che vi è convergenza anche in L 2 (E)– Occorre innanzitutto controllare che u n, u appartengano a L 2 (E).– In caso a↵ermativo, l’unico (a meno di insiemi trascurabili...) limite possibile per lasuccessione u n in L 1 (E) è la funzione u– Si hanno quindi tre possibilità:1. applicare direttamente la definizione e stimare in modo opportuno (per es. calcolandoliesplicitamente...) gli integraliZ|u n(x) u(x)| 2 dx ed il relativo limite per n " +1;E2. controllare se le ipotesi del teorema di Beppo Levi sono soddisfatte (convergenzamonotona) e controllare che il limite degli integraliZZlim |u n(x)| 2 dx = |u(x)| 2 dxn"+1 EEsia finito (che in tal caso è una condizione necessaria e su ciente per la convergenza)3. controllare se le ipotesi del teorema di Lebesgue sono verificate (convergenzadominata) per i quadrati delle funzioni u n:Z9 v : |u n(x)| 2 apple v(x) per q.o. x 2 E, 8 n 2 N; v(x) dx < +1.EQueste forniscono una condizione suciente per la convergenza in L 2 (E).– Nel caso di una serie di funzioni si applica il teorema 2.23 a meno che non si trattidi una serie di funzioni ortogonali, che tratteremo nella prossima lezione.Concludiamo con un risultato che illustra la relazione tra gli spazi fin qui introdottinel caso che la misura |E| di E sia finita.Proposizione 2.24 Supponiamo che |E| < +1; allorainoltreeL 1 (E) ⇢ L 2 (E) ⇢ L 1 (E); (2.20)u 2 L 1 (E) ) kuk L 2 (E) apple p |E| kuk L 1 (E)u 2 L 1 (E) ) kuk L 1 (E) apple p |E| kuk L 2 (E).Infine, se u n è una successione di funzioni definite in E si hau n ! u in L 1 (E) ) u n ! u in L 2 (E) ) u n ! u in L 1 (E).Attenzione! Il caso |E| = +1. Quando la misura di E non è finita (ad esempio E := R o E :=(0, +1)) nessuna delle inclusioni (2.20) è più vera: basta considerare la famiglia di funzioni1/(x + 1) ↵ , ↵ 0, per E := (0, +1).

3. Spazi di HilbertWir müssen wissen. Wir werden wissen.(Noi abbiamo il dovere di conoscere.Alla fine conosceremo.)David Hilbert (1862-1943)Il problema della migliore approssimazioneProblema 3.1 (Migliore approssimazione) Sia V uno spazio funzionale, munitodi una norma ‖·‖ esianoe 1 ,...,e N assegnati elementi di V .Datou ∈ V cichiediamo se è possibile trovare coefficienti complessi u 1 ,...,u N in modo da rendereminimo l’errore di approssimazioneN∑N∑‖u − u k e k ‖ = d(u, u k e k ).k=1Teorema 3.2 Il problema 3.1 ammette sempre almeno una soluzione.Purtroppo il teorema precedente non indica alcun preocedimento costruttivo perdeterminare i coefficienti u 1 ,...,u N ,eingeneraleilproblemapuò essere moltocomplicato. C’è però un caso in cui è possibile risolvere esplicitamente il problema:quello in cui la norma può essere espressa per mezzo di un prodotto scalare.3-1k=1

3. SPAZI DI HILBERT 3-2Abbiamo già ricordato nella lezione precedente la definizione di prodotto scalare:ora richiamiamo alcune formule che ci saranno utili; prima però introduciamolanozione fondamentale di ortogonalità.Definizione 3.3 (Vettori e sistemi ortogonali) Diciamo che due vettoriu, v ∈ V sono ortogonali se (u, v) = 0. Analogamente, un insieme (finito oinfinito) di vettori {e n } N n=1 forma un sistema ortogonale se(e n , e n ) > 0; n ≠ m ⇒ (e n , e m )=0. (3.1){e n } N n=1 si dice inoltre ortonormale se oltre alla (3.1) ogni elemento e n èunversore, cioè ‖e n ‖ =(e n , e n )=1.NotaSe un vettore u èortogonaleaciascunelementodiuninsieme{e n} N n=1 ,alloraèortogonaleanche a tutte le combinazioni lineari ∑ Nn=1 vnen.Lemma 3.4 (Distanza tra due vettori) Per ogni u, v ∈ V la distanza d(u, v)si può esprimerepermezzodelprodottoscalareattraversolaformulad(u, v) 2 = ‖u − v‖ 2 = ‖u‖ 2 + ‖v‖ 2 − 2Re(u, v).In particolare, se u èortogonaleav si ha la formula (di “Pitagora”)d(u, v) 2 = ‖u − v‖ 2 = ‖u‖ 2 + ‖v‖ 2 .Consideriamo ora la situazione un po’ più generale della combinazione lineare di Nvettori.Lemma 3.5 Per ogni scelta di N vettori v 1 , v 2 ,...,v N in V si ha‖v 1 + v 2 + ...+ v N ‖ 2 = ‖N∑v n ‖ 2 =n=1N∑m,n=1(v m , v n ). (3.2)Se poi il sistema {v n } N n=1 è ortogonale allora la precedente espressione si semplifica‖v 1 + v 2 + ...+ v N ‖ 2 = ‖v 1 ‖ 2 + ‖v 2 ‖ 2 + ...+ ‖v N ‖ 2 =N∑‖v n ‖ 2 . (3.3)L’idea geometrica che permette di risolvere il problema di migliore approssimazione3.1 èmoltosemplice: supponiamodiconosceregià la soluzione, data dai coefficientiû 1 ,...,û N , e formiamo il vettore “errore”δ := u −n=1N∑û n e n ; (3.4)n=1si può intuire che δ sia ortogonale atuttiivettorigeneratidaglie n . Noi mostreremoche se i vettori {e n } N n=1 sono linearmente indipendenti, questacondizionedi ortogonalità è sufficiente per determinare û 1 ,...,û N echeeffettivamentequesticoefficienti risolvono il problema 3.1.Richiami Vettori linearmente indipendenti. Un insieme di vettori {e n} N n=1 si dice linearmenteindipendente se ogni relazione di dipendenza lineare a coefficienti complessiN∑v ne n =0n=1

3. SPAZI DI HILBERT 3-3èpossibilesoloseicoefficientiv n sono identicamente nulli.seminorma, èutiletalvoltarichiederelaproprietàpiùforteQuando si lavora con unaN∑ ∥ ∥∥∥ v ne n =0 ⇒ vn =0, n =1,...,N. (3.5)n=1In particolare, si osservi che in questo caso nessun elemento e n può esseretrascurabile,cioè‖e n‖ > 0. Èfacilededurredalla(3.3)cheunsistema ortogonale secondo la definizione 3.3è sempre linearmente indipendente secondo la (3.5).Proposizione 3.6 Se {e n } N n=1 èuninsiemefinitolinearmenteindipendentesecondola (3.5), perognivettoreu ∈ V esiste un’unica scelta dei coefficienti û 1 ,...,û Nin modo che il vettore δ definito da (3.4) risulti ortogonale a ciascun e m :(δ, e m )=(u −N∑û n e n , e m )=0 ∀ m =1, 2,...,N. (3.6)n=1Icoefficientiû 1 ,...,û N possono essere calcolati risolvendo un sistema lineare, comeindicato nel punto seguente.Approfondimento Il sistema lineare. Per scrivere il sistema lineare che permette di calcolare i coefficientiû 1 ,...,û N ,bastasvilupparelacondizione(3.6):equindi(u −N∑n=1) )û ne n, e m =(u, e m −N∑n=1û n(e n, e m)=0N∑(e n, e m)û n =(u, e m), ∀ m =1, 2,...,N. (3.7)n=1Essendo (e n, e m), (u, e m)daticonosciuti,abbiamoquindiN equazioni lineari nelle incognite(complesse) û 1 ,...,û N . Introduciamo la matrice hermitiana N × N acoefficienticomplessiE := {e m,n} N m,n=1, e m,n := (e n, e m), e n,m = e m,neivettoricolonna complessi in C Nû := {û 1 , û 2 ,...,û N }, u := {(u, e 1 ),...,(u, e N )}.Allora la soluzione û risolve il sistema in forma matricialeE · û = u. (3.8)Osserviamo che nel caso reale, lamatriceE èsimmetrica,ivettoriû, u sono reali.DimostrazioneNaturalmente rimane da dimostrare che il sistema (3.8) èeffettivamenterisolubile,cioèchela matrice E èinvertibile. Noimostriamounaproprietàpiùinteressante: la matrice E èdefinita positiva. Ciòsignificacheperognivettorecolonnanonnullov ∈ C N si hav T · E · v > 0. (3.9)Naturalmente (3.9) implica l’invertibilità diE, inquantoda(3.9)seguechev ≠0 ⇒ E · v ≠0.Asuavoltala(3.9)èunaconseguenzadellaseguenteidentitàse v T := (v 1 ,v 2 ,...,v N ), v T · E · v = ‖v 1 e 1 + v 2 e 2 + ...+ v N e N ‖ 2 (3.10)e della (3.5). La (3.10) si ottiene applicando (3.2):‖v 1 e 1 + v 2 e 2 + ...+ v N e N ‖ 2 =N∑(v me m,v ne n)=N∑v mv n(e m, e n)m,n=1m,n=1N∑=N∑ ( ∑ N )v mv n(e m, e n)= v n e m,nv n = vT · E · v.m,n=1n=1 m=1

3. SPAZI DI HILBERT 3-4Proposizione 3.7 Sia u ∈ V e {e n } N n=1 un insieme finito linearmente indipendentesecondo la (3.5); icoefficientiû 1 ,...,û N calcolati secondo la precedente proposizionerisolvono il Problema 3.1; infatti per ogni altra scelta di coefficienti u 1 ,u 2 ,...,u Nsi haN∑N∑N∑‖u − u n e n ‖ 2 = ‖u − û n e n ‖ 2 + ‖ (u n − û n )e n ‖ 2n=1≥‖u −n=1n=1N∑û n e n ‖ 2 = ‖δ‖ 2 . (3.11)n=1Dimostrazione Decomponiamo il primo termine di (3.11):N∑N∑N∑N∑‖u − u ne n‖ 2 = ‖(u − û ne n)+ (u n − û n)e n‖ 2 = ‖δ + (u n − û n)e n‖ 2 .n=1n=1n=1∑Poiché δ è ortogonale a ciascun e n, esso è ortogonale anche alla combinazione linerareNn=1 (un − ûn)en. Applicandola“formuladiPitagora”siconclude.n=1Riassumiamo il risultato fondamentale che abbiamo ottenuto nel seguente Teorema:Teorema 3.8 Sia V uno spazio dotato di prodotto scalare e {e n } N n=1 un insiemefinito linearmente indipendente secondo la (3.5). Alloraperogniu ∈ V il Problemadi migliore approssimazione 3.1 ammette una sola soluzione û 1 ,...,û N che èindividuata dalla condizioneδ := u −N∑û n e nn=1è ortogonale a tutti i vettori generati dal sistema {e n } N n=1,(3.12)epuò essere calcolata risolvendo il sistema lineare (3.7). Valepoilarelazione(d u,N∑ ) 2 ∥ ∥∥u∑ N ∥ ∥∥2 ∥ ∥ ∥∥u ∥∥2 ∥ ∥∥∑ N ∥ ∥∥2û n e n = − û n e n = − û n e n . (3.13)n=1n=1n=1DimostrazioneL’unica proprietà checirestadadimostrareè la (3.13). Basta decomporre u nella sommaN∑N∑N∑u = u − û ne n + û ne n = δ + û ne nn=1n=1n=1e applicare cancora una volta la “formula di Pitagora”, ricordando che δ èortogonalea∑ Nn=1 ûnen.

3. SPAZI DI HILBERT 3-5Corollario 3.9 Quando il sistema {e n } N n=1 è ortogonale, lasoluzioneû 1 ,...,û Ndel problema di migliore approssimazione assume la formaelarelazione(3.13) diventa(d u,n=1n=1û n = (u, e n)‖e n ‖ 2 (3.14)N∑ ) 2 ∥ ∥∥u∑ N ∥ ∥∥2N∑û n e n = − û n e n = ‖u‖ 2 − |û n | 2 ‖e n ‖ 2 . (3.15)n=1Se infine il sistema {e n } N n=1semplificano ulteriormenteè anche ortonormale, le formule precedenti siû n =(u, e n ),(d u,N∑ ) 2 ∥ ∥∥u∑ N ∥ ∥∥2 ∥ ∥ ∥∥u ∥∥2 ∑ Nû n e n = − û n e n = − |û n | 2 . (3.16)n=1n=1n=1DimostrazioneNel caso di un sistema ortogonale, la matrice E èdiagonalee il sistema di riduce a‖e m‖ 2 û m =(u, e m),da cui la (3.14). (3.15) segue da (3.13) e da (3.3).m =1, 2,...,N,Applicazione Minimi quadrati. Supponiamo di essere interessati a rappresentare i risultati di uncerto esperimento u tramite una combinazione lineare di “funzioni di forma” assegnateφ 1 ,φ 2 ,...,φ N ;possiamopensareu e φ n definite su un certo insieme E ediconoscereirisultati dell’esperimento in un numero finito di punti {x 1 ,x 2 ,...,x J } di E, cioèdiconoscereivaloriu j := u(x j ), j =1,...,J;vorremmodeterminareicoefficientiû 1 ,...,û N in mododa rappresentare u mediante la combinazione lineare ∑ Nn=1 ûnφn. Inpraticasuccedechegliesperimenti x 1 ,x 2 ,...,x J sono molti di più dellefunzionidiformaesevolessimoscrivereun sistema lineareN∑u j = û nφ n(x j ), j =1, 2,...,Jn=1questo risulterebbe sovradeterminato (J >>N). L’approccio a questo problema medianteil metodo dei minimi quadrati consiste nello scegliere dei pesi σ j > 0daassegnareaciascunesperimento (quando nessuno sia privilegiato rispetto agli altri si ha σ j ≡ 1) e di cercare icoefficienti û n in modo che risulti minimo l’erroreJ∑σ −2 ∣N∑j ∣u j − û nφ n(x j ) ∣ 2 (3.17)j=1n=1Stiamo dunque risolvendo il problema di migliore approssimazione 3.1 nello spazio F(E)rispetto alla seminormaJ∑‖v‖ 2 := σ −2j |v(x j )| 2j=1Infatti quando si sceglie v := u − ∑ Nn=1 ûnφn si ottiene proprio l’espressione (3.17) daminimizzare rispetto alla scelta dei coefficienti û n.Èfacilevederechelaseminormaintrodottadiscendedalprodottoscalarereale(v, w) :=J∑j=1σ −2j v(x j )w(x j ), in modo che ‖g‖ 2 =(g, g).Se supponiamo che le funzioni φ n formino un sistema linearmente indipendente sui puntiscelti x j (in modo cioè che nessuna delle φ possa essere scritta come combinazione linearedelle altre: si tratta di un ipotesi ragionevole poichè abbiamogiàosservatocheipuntix jsono molti di più delle funzioni di forma) si può applicareilTeorema3.8,ottenendoperilvettore dei coefficienti û il sistema lineareE · û = u,

3. SPAZI DI HILBERT 3-6dove la matrice reale simmetrica e definita positiva E = {e m,n} N m,n=1 èdefinitadae m,n := (φ n,φ m)=J∑j=1σ −2j φ n(x j )φ m(x j )mentre il vettore dei dati u = {u 1 ,...,u N } ècostruitomedianteleformuleu n := (u, φ n)=J∑j=1σ −2j u(x j )φ n(x j ).Decomposizione rispetto ad un sistema ortogonalecompletoConsideriamo ora uno spazio funzionale V di dimensione infinita dotato di prodottoscalare (·, ·) e supponiamo di conoscere un sistema ortogonale di vettori {e n } ∞ n=1secondo la definizione 3.3.Problema 3.10 (Decomposizione ortogonale) Dato un elemento u di V cichiediamo se è possibile determinare una successione di coefficienti complessi {û n } n∈Ntali che+∞∑∥N∑ ∥ ∥∥u = û n e n cioè lim ∥u − û n e n =0.n=1N↑+∞Proposizione 3.11 La soluzione del problema 3.10, se esiste, ènecessariamentedata dai coefficienti trovati in (3.14)n=1û n := (u, e n)‖e n ‖ 2 . (3.18)DimostrazioneBasta osservare che, per la (2.21), si può scambiarel’ordinetraserieeprodottoscalare,cioèIn particolare+∞ ∑u =n=1+∞ ∑u n in V ⇒ (u, v) =(n=1+∞ ∑u n, v) = (u n, v). (3.19)n=1+∞ ∑(u, e m)= (û ne n, e m)=û m(e m, e m).n=1Definizione 3.12 (Coefficienti di Fourier) Icoefficientiû n definiti dalla (3.18)si chiamano coefficienti di Fourier di u rispetto al sistema ortogonale {e n } ∞ n=1.AquestopuntoilProblema3.10siriduceaidueseguenti:1. Trovare condizioni per cui la serie+∞∑n=1û n e n converge in V ;2. Trovare condizioni per cui la somma della serie coincide con u.Cominciamo dal primo:

3. SPAZI DI HILBERT 3-7Convergenza di serie di vettori ortogonaliProposizione 3.13 Se u = ∑ +∞n=1 u n è una serie convergente formata da vettoriortogonali in V ,valel’identità fondamentale‖u‖ 2 =+∞∑n=1‖u n ‖ 2 . (3.20)DimostrazioneSi sfruttano la continuità dellanormala(3.3)N∑‖u‖ 2 = ‖ lim u n‖ 2 = lim ‖ ∑ N N∑+∞ ∑u n‖ 2 = lim ‖u n‖ 2 = ‖u n‖ 2 .N↑+∞N↑+∞ N↑+∞n=1n=1n=1n=1La (3.20) fornisce una condizione necessaria perché una serie di vettori ortogonali∑ +∞n=1 u n converga in V , cioè che+∞∑n=1‖u n ‖ 2 < +∞. (3.21)Quando gli u n sono costruiti a partire dai coefficienti di Fourier di un elemento u,questa condizione èsempreverificatagraziealladisuguaglianzadiBessel(3.15),checi fornisce un’informazione fondamentale circa il loro andamento asintotico:Teorema 3.14 (Disuguaglianza di Bessel) Se û n sono i coefficienti di Fourierdi u rispetto al sistema ortogonale {e n } ∞ n=1, siha+∞∑n=1|û n | 2 ‖e n ‖ 2 ≤‖u‖ 2 < +∞.Nella formula precedente l’uguaglianza vale se e solo se il problema 3.10 ha soluzione.DimostrazioneBasta passare al limite per N ↑ +∞ in (3.15); l’ultima osservazione segue dalla formula(3.20).Se lo spazio V è completo, la condizione (3.21) è anche sufficiente equindiladisuguaglianza di Bessel assicura automaticamente la convergenza delle serie diFourier in V .Teorema 3.15 Supponiamo che {u n } +∞n=1 sia un insieme di vettori ortogonali. SeV è completo, allorala serie+∞∑n=1u n converge in V⇔+∞∑n=1|u n | 2 < +∞.Definizione 3.16 (Spazi di Hilbert) Uno spazio funzionale V dotato diprodotto scalare e completo si dice spazio di Hilbert.DimostrazioneLa necessità dellacondizionesegue dalla (3.20).+∞ ∑|v n| 2 < +∞n=1

3. SPAZI DI HILBERT 3-8Per la sufficienza, basta controllare che la successione delle somme parzialis N :=N∑f ne nn=1èunasuccessionediCauchy.Fissatoε>0, poichè laserieèpossibiletrovare ¯N in modo cheDico che se ¯N ≤ N

3. SPAZI DI HILBERT 3-9Proposizione 3.20 (Calcolo del prodotto scalare) Nelle ipotesi del Teoremaprecedente, se {û n , ˆv n } +∞n=1 sono i coefficienti di Fourier di due vettori u, v rispettivamente,si ha(u, v) =+∞∑n=1û nˆv n (3.22)Proposizione 3.21 (Stima dell’errore) Nelle ipotesi del teorema precedente, l’erroretra u elasommadeiprimiN termini della serie di Fourier si può stimarenelmodo seguente:N∑+∞∑‖u − û n e n ‖ 2 = |û n | 2 ‖e n ‖ 2 . (3.23)n=1n=N+1