Matematica finanziaria

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProMatematica finanziariaEsercizi risolti con FinCalcPro1 a EdizionediFrancesco Grassiwww.educationalapps.ch© 2015 Francesco Grassi Pagina 1

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProIndiceINTRODUZIONE.......................................................................................................... 3LISTA DEI SIMBOLI................................................................................................... 4RACCOLTA DI FORMULE......................................................................................... 5Capitolo 1 Percentuali.............................................................................................................. 7Capitolo 2 Interessi................................................................................................................... 112.1 Interesse semplice........................................................................................................... 112.2 Interesse composto..........................................................................................................142.3 Interesse infrannuale...................................................................................................... 212.4 Interesse continuo........................................................................................................... 28Capitolo 3 Calcolo delle rendite...............................................................................................313.1 Rendite anticipate, posticipate e valore attuale............................................................313.2 Rendite perpetue.............................................................................................................38Capitolo 4 Ammortamenti...................................................................................................... 414.1 Ammortamenti lineari....................................................................................................414.2 Ammortamenti degressivi.............................................................................................. 43© 2015 Francesco Grassi Pagina 2

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProINTRODUZIONEIn questo libro viene mostrato come risolvere in modo semplice e veloce esercizi di matematicafinanziaria con l'aiuto della nuova app “FinCalcPro”.- Concetto: per risolvere un'esercizio si deve semplicemente lasciarevuoto il campo di immissione corrispondente alla soluzione cercata.- Gli interessi devono essere immessi nella forma p%, p.es. 2.5 per 2.5%.- L'app é disponibile per iPhone/iPad/iPod touch:https://geo.itunes.apple.com/us/app/fincalcpro/id1002896661?mt=8© 2015 Francesco Grassi Pagina 3

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProLISTA DEI SIMBOLIi=interessei ab = percentuale di ammortamentoi eff =interesse effettivoi nom =interesse nominalei s =interesse continuoK 0 =capitale iniziale(valore attuale)K n =capitale finalem=numero di periodi infrannualin= periodoR=rataR 0 =valore attuale rendita posticipataR n =valore finale rendita posticipataR ' 0 =valore attuale rendita anticipataR ' n =valore finale renditaanticipataR 0 ∞ =valore attuale rendita perpetuaR(0)=valore oroginario(valore nuovo)R(n)=valore residuoABBREVIAZIONIp.a. = per annop.m. = per mesep.t. = per trimestre© 2015 Francesco Grassi Pagina 4

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProRACCOLTA DI FORMULEPercentuali1 %= 1100 =0.01100 %= 100100 =1.025.75%= 25100 =0.2575valoreiniziale⋅(1±variazione percentuale)=valore nuovoInteressiInteresse semplice (interesse lineare)K n=K 0⋅(1+n⋅i)Interesse compostoK n = K 0 ⋅(1+i) n = K 0 ⋅q ndove q=1+iInteresse infrannualeK n =K 0 ⋅(1+ i m ) (m⋅n)Interesse continuoK n =K 0 ⋅e (i⋅n) © 2015 Francesco Grassi Pagina 5

Calcolo delle renditeMatematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProValore finale rendita posticipataR n = R⋅ q n −1dove q=1+iq−1Valore finale rendita anticipataR ' n=R⋅ qn −1q−1 ⋅qValore attuale rendita posticipataR 0 =R⋅ qn −1q−1 ⋅ 1 q nValore attuale rendita anticipataR ' 0 =R⋅ qn −1q−1 ⋅ 1q n−1AmmortamentiValore residuo ammortamento lineareR(n)=R (0)⋅(1−i ab⋅n)Valore residuo ammortamento degressivoR(n)=R(0)⋅q ndove q=1−i ab© 2015 Francesco Grassi Pagina 6

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProCapitolo 1 Percentuali1) Il prezzo di listino di una bicicletta é di 8'423 €. Il cliente ottiene uno sconto del 15.5%.Quanto ha pagato?Soluzione:dati:valoreiniziale=8423, percentuale=15.5%cercato:valore finale (lasciare vuotoil campo di immissione)Il cliente ha pagato 7'117.43 €Nota: selezionare “Diminuzione”© 2015 Francesco Grassi Pagina 7

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Il prezzo di listino di una bicicletta nuova é di 2'220 €. Il cliente riceve la bicicletta per1'980 €. A quanto ammonta lo sconto?Soluzione:dati:valoreiniziale=2220, valore finale=1' 980cercato:percentuale(lasciare vuotoil campo di immissione)Lo sconto é del 10.81%Nota: qui non c'é bisogno di selezionare “Diminuzione”, l'app capisce che qui si tratta diuna diminuzione.© 2015 Francesco Grassi Pagina 8

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Il piccolo Luigino Cazzino ha pagato la sua nuova bicicletta 300 Fr. Il venditore gli hafatto uno sconto del 16.20%. Quanto avrebbe pagato Cazzino senza lo sconto?Soluzione:dati:valore finale=300, diminuzione percentuale=16.20 %cercato:valoreinizialeCazzino avrebbe pagato 358 Fr.Nota: qui devi selezionare “Diminuzione”.© 2015 Francesco Grassi Pagina 9

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Il prezzo di un aereo é aumentato da 1'450'000 $ a 1'549'243 $ perché é stato comprato inleasing.A quanto ammonta l'aumento percentuale?Soluzione:dati:valoreiniziale=1' 450' 000, valore finale=1' 549' 243cercato:variazione percentualeL'aumento é del 6.84%.© 2015 Francesco Grassi Pagina 10

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2.1 Interesse lineareCapitolo 2 Interessi1) Un capitale di 15'000 £ frutta un interesse semplice del 2.5% p.a.A quanto ammonta il capitale dopo 12 anni?Soluzione:dati:capitale iniziale=K 0 =15' 000, interesse=i=2.5% p.a. , periodo=n=12cercato:capitale finale=K n (lasciare vuoto)Il capitale dopo 12 anni é 19'500 £.© 2015 Francesco Grassi Pagina 11

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Un capitale in regime di interesse semplice é raddoppiato in 20 anni.A quanto ammonta l'interesse?Soluzione:dati:capitale iniziale=K 0 =( p.es.)1' 000, capitale finale=K n =2 ' 000cercato:interesseL'interesse é del 5% p.a.Nota: il tasso d'interesse non dipende dal capitale iniziale. Si sarebbe potuto sceglierep.es. 10'000 e 20'000 ottenendo lo stesso risultato.© 2015 Francesco Grassi Pagina 12

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Un capitale di 2'000'000 Fr. viene investito durante 15 mesi con un interesse (lineare) del3% per trimestre.A quanto ammonta il capitale finale?Soluzione:dati:K 0 =2 ' 000' 000, i=3 % p.a. , n=15/3=5cercato:K n (lasciare vuoto)Il capitale finale ammonta a 2'300'000 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 13

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2.3 Interesse composto1) Calcolare il montante ad interesse composto di 123'000 $ all' 1.5% p.a. durante unperiodo di 14 anni.Soluzione:dati:K 0 =123' 000, i=1.5% p.a. , n=14cercato:K n (lasciare vuoto)Il capitale finale ammonta a 151'505.95 $© 2015 Francesco Grassi Pagina 14

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Il Signor Felice Della Sega ha investito 750'000 euro al tasso di 7.5% p.a. (interessecomposto). Fra quanti anni Della Sega sarà milionario?Soluzione:dati:K 0 =750' 000, i=7.5 % p.a. , K n =1 ' 000 ' 000cercato:nIl Dopo circa 4 anni (precisamente 3,98)© 2015 Francesco Grassi Pagina 15

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Quanto tempo impiega un capitale a triplicare con:a) un interesse composto del 7.5% p.a.?b) un interesse composto del 0.15% p.a.?Soluzione a) ca. 15 anni (esattamente 15.19)Soluzione b) ca. 733 anni (esattamente 732.96)© 2015 Francesco Grassi Pagina 16

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Un capitale di 5'000 Fr. viene impiegato per 2 anni ad interesse composto al tasso di 5%p.a. in seguito al tasso di 6% p.a. per 4 anni e infine al tasso di 8% p.a. per 5 anni.Calcolare il tasso di interesse medio.Soluzione:© 2015 Francesco Grassi Pagina 17

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Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProIl tasso di interesse medio é del 6.72% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 20

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2.4 Interesse infrannuale1) Un credito di 50'000 € viene offerto ad un tasso di interesse (nominale) del 8% p.a.Gli interessi vengono calcolati e capitalizzati ogni trimestre.a) A quanto ammonta il credito dopo 20 anni?b) Calcolare il tasso d'interesse effettivo.c) Che interesse mensile deve essere scelto per corrispondere all'interesse effettivocalcolato in b) ?Soluzione a)dati:K 0 =50' 000, i =8% p.a. , m=4, n=20cercato:K nIl capitale ammonta a 243'771.96 €© 2015 Francesco Grassi Pagina 21

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProSoluzione b)dati:i nom =8 % p.a. , m=4cercato:i effInteresse effettivo = 8.2432% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 22

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProSoluzione c)dati:i eff =8.2432 % p.a., m=12cercato:i nominteresse nominale = 7.9472% p.a. cioè 7.9472% / 12 = 0.6623% p.m.© 2015 Francesco Grassi Pagina 23

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Che interesse effettivo annuo si ottiene con un interesse semestrale di 0.75% ?Soluzione:dati:i nom =0.75% ⋅2=1.5 % p.a. , m=2cercato:i effinteresse effettivo = 1.5056% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 24

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Quanti anni impiega un capitale di 6'000 Fr., impiegato al tasso del 5.6% p.a., concapitalizzazione degli interessi trimestrale, per arrivare a 7'706.10 Fr.?Soluzione:dati:K 0 =6' 000, i nom =6 % p.a. , m=4cercato:n4.5 anni© 2015 Francesco Grassi Pagina 25

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Quale interesse, applicato mensilmente, offre un interesse effettivo del 12% p.a.?Soluzione:dati:i eff =12 % p.a. , m=12cercato:i nom11.3866% / 12 = 0.9489% p.m.© 2015 Francesco Grassi Pagina 26

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro5) Quale capitale deve essere investito al 1.5% p.a. in un periodo di 10 anni, per ottenere uncapitale di 12'000 euro, se gli interessi sono capitalizzati ogni trimestre?Soluzione:dati:i nom =1.5 % p.a. , m=4, K n =12' 000cercato:K 010'331.39 euro© 2015 Francesco Grassi Pagina 27

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2.4 Interesse continuo1) Un capitale di 100'000 Fr. É stato investito con un interesse continuo del 5% per unperiodo di 15 anni.a) A quanto ammonta il capitale finale?b) Interesse effettivo?Soluzione a)dati:K 0 =100' 000, i nom =5 % p.a. , n=15cercato:K n211'700 Fr.Soluzione b)5.1271% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 28

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Quale interesse continuo corrisponde ad un interesse effettivo del 7% ?Soluzione:dati:i eff =7 % p.a.cercato:i s6.7659% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 29

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Quale interesse effettivo bisogna scegliere, per ottenere un interesse continuo del 4.5%p.a.?Soluzione:© 2015 Francesco Grassi Pagina 30

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProCapitolo 3 Calcolo delle rendite3.1 Rendite anticipate, posticipate e valore attuale1) Enzo Cazzaniga ha un conto risparmio con un deposito di 45'000 Fr. che gli offre uninteresse del 1.5% p.a. Alla fine di ogni anno Cazzaniga versa 13'000 Fr. sul suo conto.Di quanto potrà disporre dopo 7 anni?Soluzione:(montante + valore finale della rendita posticipata)49'943.02 + 95'198.92 = 145'141.94 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 31

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Di quale capitale bisogna disporre per poter prelevare 25'000 Fr. alla fine di ogni annodurante 10 anni, se l'interesse é del 2% ?Soluzione:La soluzione é data dal valore attuale della rendita posticipata cioè 224'564.63 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 32

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Un lavoratore indipendente cinquantenne vuole impiegare un capitale per percepire unarendita posticipata di 8'000 euro all' anno al compimento dei suoi 65 anni.Quale capitale deve impiegare il lavoratore se l'interesse annuale é del 4% ?Soluzione:Il lavoratore deve impiegare 36'029.54 euro al compimento dei suoi 50 anni.© 2015 Francesco Grassi Pagina 33

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Un debito deve essere ripagato con rate annuali posticipate di 3'000 euro per un periododi 10 anni. Con quale capitale si puo' ripagare il debito se l'interesse é del 6% p.a.a) oggib) Dopo 3 anni (senza pagamenti preventivi)Soluzione a) 22'080.26 euroSoluzione b) 26'297.94 euro© 2015 Francesco Grassi Pagina 34

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro5) Un debito di 150'000 Fr. Deve essere ripagato in 10 anni con rate posticipate(i=9% p.a.). Calcolare la rata.Soluzione: 23'373.10 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 35

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro6) Per ripagare un debito il signor Roberto Cazzone deve versare all'inizio degli anni 2000,2004 e 2009 un importo di 10'000 €.Cazzone preferisce pagare 12 rate, cominciando dal 1. gennaio 2001.A quanto ammontano le rate (i=7% p.a.) ?Soluzione:valore attuale del debito al 1.1.2001:10' 000⋅1.07+10' 000⋅1.07 −3 +10' 000⋅1.07 −8 =24683.07=> 2'904.24 € per rata© 2015 Francesco Grassi Pagina 36

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro7) Un debito deve essere ripagato con 20 rate di 10'000 Fr./anno (la prima rata tra un annoa partire da oggi). Con quale somma si puo'pagare il debito oggi (i=12% p.a.) ?Soluzione: 74'694.44 Fr. (valore attuale della rendita posticipata)© 2015 Francesco Grassi Pagina 37

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3.2. Rendite perpetue1) Una fondazione dona annualmente 12'000 Fr. (rendita perpetua) come premio a giovanipoeti.Di quanto deve disporre la fondazione al 01.01.2014 se la prima donazione deve esserfatta al 01.01.2015 ? (i=6% p.a.)Soluzione:© 2015 Francesco Grassi Pagina 38

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Un capitale di 4'000'000 Fr. viene impiegato al 5% p.a. in modo da poter riscuotere unarendita perpetua a partire dal 01.01.2019.A quanto ammonta la rata della rendita perpetua?Soluzione: la rata ammonta a 243'101.25 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 39

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) A quanto ammonta al 01.01.2013 il valore equivalente di una rendita perpetua della qualela prima rata di 700'000 $/anno viene riscossa al 01.01.2020 ?Soluzione:8'750'000 $ = valore della rendita al 01.01.2019Il valore della rendita al 01.01.2013 é di 5'513'984.24 $© 2015 Francesco Grassi Pagina 40

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProCapitolo 4 Ammortamenti4.1 Ammortamento lineare1) Una macchina (costo iniziale 180'000 $) con una durata di vita di 10 anni e un valore dirottamazione del 10% del costo viene ammortizzata linearmente.Si determini la prima rata di ammortamento e il valore residuo dopo 6 anni.Soluzione:Valore di rottamazione = 180'000*0.1 = 18'000 $Prima rata di ammortamento = 180'000*0.09=16'200 $Valore residuo dopo 6 anni=82'200 $© 2015 Francesco Grassi Pagina 41

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Un valore nuovo (costo iniziale) R(0)=100'000 £ deve essere ammortizzato nel corso di20 anni a un valore residuo di 5'000 £. A quanto ammonta il tasso di ammortamento?Soluzione: 4.75%© 2015 Francesco Grassi Pagina 42

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4.2 Ammortamento degressivo1) a) Si calcoli il valore residuo di una macchina (costo iniziale 300'000 €), che vieneammortizzata per 7 anni con un tasso del 18% (ammortamento geometrico degressivo).b) Dopo quanti anni si ottiene un valore residuo di 135'636.53 € ?Soluzione a) 74'785.64 €Soluzione b) 4 anni© 2015 Francesco Grassi Pagina 43

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Dopo 5 anni una macchina ha un valore residuo di 10'000 Fr. A quanto ammonta il valoreiniziale, se la stessa é stata ammortizzata in modo geometrico degressivo con un tasso del10% ?Soluzione: R(0)=16'935.09 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 44

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Un impianto (valore nuovo = 250'000 Fr.) deve essere ammortizzato in modo geometricodegressivo. Dopo 5 anni il valore é di 75'000 Fr.Calcolare la percentuale di ammortamento.Soluzione: 21.40%© 2015 Francesco Grassi Pagina 45

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Dopo quanti anni una macchina del valore iniziale di 400'000 $ ha un valore residuo di40'000 $ ? Ammortamento geometrico degressivo con tasso del 15%.Soluzione: 14.17 anni© 2015 Francesco Grassi Pagina 46