Modelli e distanze 2 - Laboratorio di Geografia

Gerardo Massimi
Ambiti e sistemi territoriali
Un approccio esplorativo alle tematiche geospaziali
Modelli e distanze 2
Versione preliminare al dicembre 2001
Spezzone di una carta dei posti letto per abitante
negli esercizi turistici italiani al 1991.
WP Web 2001 - Serie RE 9
Laboratorio di Geografia - Dipartimento di Studi Filosofici, Storici e Sociali
Facoltà di Lingue e Letterature Straniere
Ud’A di Chieti – sede di Pescara

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
2
MODELLI E DISTANZE 2 5
Richiamo di temi cartografici 5
Nota sulla cartografia dei trasporti 5
Le isolinee 6
Le linee isodiagrammatiche 7
Rette e curve di sostituzione 9
La localizzazione delle attività industriali 15
La curva spazio costo 15
Il triangolo localizzatore di Alfred Weber 16
L’ isodapana critica e l’agglomerazione 21
Materie prime lorde e nette 22
Il modello del margine spaziale di Rowstron e Smith. 25
Politiche d’intervento a favore delle aree svantaggiate. 27
Distanze e volume della produzione secondo Moses 30
Complementi sulle distanze e sulle tariffe di trasporto 32
Le matrici delle distanze 32
Distanze e mosaici amministrativi 43
Cenni sui grafi in geografia 47
La legge di rifrazione nei trasporti 49
Convergenze spazio/tempo e spazio/costo 55
Tariffe virtuali 59
L’analisi sostitutiva di Isard 62
Il surplus sociale di Isard 67
Figura 1 Esempio di costruzione di una carta a pseudoisolinee. 8
Figura 2 Posizioni del mercato, della fonte della materia prima e di un luogo
intermedio in una carta convenzionale, ma ultrasemplificata. 10
Figura 3 Trasposizione del mercato e della fonte della materia prima da un
sistema di riferimento ad un altro e famiglia di rette di sostituzione. 11
Figura 4 Famiglie di curve di sostituzione. 12

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Figura 5 Esempi di ovali di Cartesio e di corrispondenti linee di isocosto 13
Figura 6 Passaggio da un sistema di riferimento ad un altro: trasformazione di una
linea circolare. 14
Figura 7 Esemplificazione grafica del modello del margine spaziale. 15
Figura 8 Il triangolo localizzatore di Weber. Caso di quantità da trasportare
uguali. 16
Figura 9 Il triangolo localizzatore di Weber. Caso di quantità da trasportare
disuguali. 17
Figura 10 Maglia quadrata per un caso esemplificativo dell’approccio weberiano.
20
Figura 11 Isodapane critiche ed agglomerazione. 21
Figura 12 Curve di isocosto, in presenza di una materia prima netta e di una
materia prima lorda. 24
Figura 13 Il modello del margine spaziale. 26
Figura 14 Effetti di politiche d’intervento sui costi per le imprese della sfera
pubblica. 29
Figura 15 Il modello di Moses. 30
Figura 16 I capoluoghi di provincia della regione Sicilia. 32
Figura 17Distanze medie secondo linee rette in % del massimo. 36
Figura 18 Distanze medie stradali in % del massimo. 36
Figura 19Distanze medie proporzionali alle radici quadrate delle distanze stradali
in % del massimo. 37
Figura 20 Distanze medie stradali ponderate con la popolazione residente in % del
massimo. 37
Figura 21 Flussi in ingresso dei potenziali demografici, computati con distanze
stradali, in % del massimo. 38
Figura 22 Elementi spaziali costitutivi di una tessera elementare in un mosaico
amministrativo 43
Figura 23 Il mosaico amministrativo delle province siciliane. 44
Figura 24 Relazioni di contiguità tra le province siciliane. 47
Figura 25 Grafo duale delle province siciliane. 47
Figura 26 Esempi di grafi. 48
Figura 27 Esempio di grafo planare. 49
Figura 28 Il percorso più breve su una superficie topografica disomogenea. 49
Figura 29 Apprezzamento in termini di barriere orografiche della sinuosità di una
distanza stradale. 50
Figura 30 Viabilità e giustizia spaziale. 50
Figura 31 La legge di rifrazione negli spazi tariffari. 51

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4
Figura 32 Conseguenze nella concorrenza spaziale della contrazione di tariffe di
trasporto. 55
Figura 33 Passaggio da costi complessivi variabili con la distanza a costi
complessivi costanti. 57
Figura 34 Tariffe virtuali 1. 59
Figura 35 Tariffe virtuali 2. 60
Figura 36 Esempio di famiglia di rette di isocosto. 63
Figura 37 Curve di isocosto dello stesso livello complessivo e diversa inclinazione
64
Figura 38 Confronto tra localizzazioni ad una distanza prefissata e costante dal
mercato. 65
Figura 39Le localizzazioni D E, F e G della figura precedente nel piano cartesiano
delle distanze dalle fonti delle materie prime. 66
Figura 40 La soluzione ottimale della localizzazione tramite il raffronto delle
curve di isocosto. 66
Prospetto 1Elementi per il confronto di una materia prima netta con una materia
prima lorda in relazione al costo minimo di trasporto complessivo. 23
Prospetto 2 Sicilia: matrici delle distanze e dell'indice di efficienza. 38
Prospetto 3 Centralità dei capoluoghi provinciali della regione Sicilia. 40
Prospetto 4 L’accessibilità. 40
Prospetto 5 Matrice di contiguità tra le province siciliane 46
Prospetto 6 Elementi per l’esemplificazione della legge di rifrazione nei trasporti.
52

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MODELLI E DISTANZE 2
Richiamo di temi cartografici
Nota sulla cartografia dei trasporti
5
La cartografia dei trasporti (secondo gli estensori del Glossario Geografico
Internazionale, ed. italiana a cura di Ruocco D., Napoli, 1988, pp. 848-849) si
propone di rappresentare i risultati delle ricerche di geografia dei trasporti o i dati
statistici relativi ai trasporti. Sulla base di tale puntualizzazione le rappresentazioni si
distinguono in due grandi famiglie.
Nella prima ricadono le carte degli impianti delle singole forme di trasporto
per acqua, su terra e per aria rappresentati mediante appositi simboli lineari e di
posizione. Si devono distinguere:
a) rappresentazioni della rete delle vie di comunicazione;
b) rappresentazioni della distribuzione dei luoghi e dei tipi di stazioni;
c) rappresentazioni delle vie di comunicazione con i mezzi di trasporto;
d) rappresentazioni delle correnti di merci e passeggeri;
e) rappresentazioni del movimento merci e/o persone nelle stazioni.
I primi due gruppi di rappresentazioni costituiscono il campo delle carte
primarie dei trasporti e i gruppi successivi il campo delle carte secondarie.
Per le carte secondarie dei trasporti, oltre alle rappresentazioni per linee (per
es. correnti e intensità del traffico, linee di traffico) e alle rappresentazioni per punti
(per es. capolinea, volume di merci di dati luoghi, impianti di trasporto e loro
funzioni) vi sono rappresentazioni per superfici (per es. forme di trasporto di una
regione, accessibilità ai trasporti, densità di rete, densità delle stazioni, densità dei
mezzi di trasporto per superficie o abitanti, valori di densità riferiti alla lunghezza
delle tratte per aree parziali di un bacino di traffico e infine raffigurazione delle aree
di attrazione di stazioni e centri di traffico).
La cartografia tematica dei trasporti preferisce la rappresentazione con
isolinee (invero da considerarsi piuttosto come linee isodiagrammatiche e non
isolinee a pieno titolo). Le più frequenti sono le seguenti:
a) isocrone: linee che uniscono in base al percorso più breve e ad un dato mezzo di
trasporto (o il più veloce), luoghi con eguale durata di viaggio (eguale distanza
temporale o dispendio di tempo (zone di trasporto, e anche isoemere);
b) isoemere: linee di eguale durata del trasporto nel traffico commerciale (1888);
c) isocore: linee di eguale distanza, per es.: rispetto a stazioni ferroviarie, caselli
autostradali ecc. (1889);
d) isocronanomale: linee di scostamento positivo o negativo da una durata media di
viaggio (cfr. isocrone) (1903);

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e) isosinechene: linee con eguale frequenza o densità di traffico (1913);
f) isoprete: linee di eguale distanza economica nel traffico commerciale (1933);
g) isodiname: linee di eguale tensione di traffico (1942);
h) isodapane: linee di eguali costi di trasporto, secondo Lösch linee di eguale
tariffa per unità di prodotto (19041942);
i) isonaule: linee di eguale nolo per via d'acqua (1904);
j) isofore: linee di eguale tariffa di trasporto per terra (1904);
k) isoallocrone: linee di eguale vantaggio di tempo o costi rispetto ad altre vie o
mezzi di trasporto;
l) isotachie: linee di eguale velocità di un determinato mezzo di trasporto.
Secondo le varie esigenze pratiche si possono formare molti tipi di isolinee con
eguale valore, le cui denominazioni non sempre sono derivate dal greco. Le isocarte
oggi hanno un ruolo molto importante soprattutto nella programmazione regionale
(per la determinazione dell'accessibilità ai trasporti, della distanza dai trasporti, degli
ostacoli ai trasporti, ecc.).
Secondo Paelinck e Nijkamp (1975), le isolinee più importanti sarebbero quelle
elencate nel seguito con le definizioni proposte dagli autori citati:
a) isodistanti: insieme dei punti con ugual distanza fisica da due punti;
b) isocrone: insieme dei punti con ugual tempo di trasporto di un determinato bene
da due punti;
c) isotime: insieme dei punti con ugual costi cif (cif è sigla per: costo della merce,
assicurazione e nolo) per un determinato bene rispetto ad un determinato punto
centrale;
d) isovettori: insieme dei punti con ugual costo di trasporto per un determinato
bene rispetto ad un determinato punto centrale;
e) isostanti: insieme dei punti nei quali i prezzi cif di beni omogenei di due o più
venditori sono uguali, dove la differenze nei prezzi fob di tali beni è uguale al costo
di trasporto;
f) isodapane: insieme dei punti con ugual costo di trasporto totale di più beni, o
variazione di tale costo.
Le isolinee
Le isolinee costituiscono una numerosa famiglia (si propone a parte una elencazione
dimostrativa nel prospetto xxx), articolabile in due insiemi ben distinti: le vere
isolinee e le pseudoisolinee.
Le prime sottintendono il rilevamento, o la rilevabilità, nel mondo reale di un
campo scalare da visualizzare con un disegno adeguato. Poiché per scalare si intende una
quantità qualificata soltanto dalla sua grandezza o modulo (esempi: 127 m, 5 gradi

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
7
centigradi di temperatura), il campo scalare si esprime, in termini matematici, con una
funzione del tipo
z = f(x, y)
dove z indica il modulo e x e y sono le coordinate spaziali, e l'assunzione di due ipotesi:
l'esistenza di un valore definito di z per qualsiasi coppia di valori x e y e l'unicità del
valore di z, sempre per qualsiasi coppia di valori x e y. Si suppone, inoltre, che la
variabilità del modulo sia graduale e non discontinua.
In tali condizioni è possibile passare correttamente da una rappresentazione per
punti quotati ad una per isolinee, in quanto in via di principio i punti quotati possono
essere ravvicinati a piacere.
In realtà, la gradualità dei valori in un particolare ambito non sempre sussiste;
inoltre, i punti di rilevamento nel mondo reale sono quasi sempre poco numerosi e il
tracciamento delle isolinee si effettua tramite l'interpolazione dei valori dei punti quotati.
E poiché esistono diverse procedure di interpolazione, ciascuna con pregi e difetti, anche
le carte a isolinee di fenomeni fisici (come l'altitudine, la temperatura e la salinità) sono
permeate da aspetti soggettivi non trascurabili. Tuttavia, le imprecisioni nelle carte a
isolinee redatte con criteri professionali sono ben poca cosa e ininfluenti nell'utilizzo
pratico per le quali sono state previste.
Le linee isodiagrammatiche
Si richiamano, ora, le pseudoisolinee: sono da considerare tali le linee
diagrammatiche (nel senso tecnico dell’insiemistica) quotate che delimitano luoghi
puntiformi e discontinui, caratterizzati da un attributo quantitativo superiore o inferiore ad
un valore prefissato. Con linee del genere, anche se tracciate con procedure interpolative,
non possono essere impiegate le tecniche cartometriche tanto utili nella lettura delle carte
a isolinee, perché il prodotto a pseudoisolinee non sottintende una vera e propria
superficie topografica.
Quale esempio illustrativo (v. figura) si propone la carta di uguale distanza
stradale (secondo il TCI, 1992) di Firenze dagli altri capoluoghi italiani di provincia
(assetto 1991): l'andamento delle isolinee è puramente dimostrativo: hanno reale
significato geografico soltanto per i punti di rilevamento delle distanze (i capoluoghi di
provincia).
Le procedure dell'analisi spaziale consentono di ovviare in maniera soddisfacente
alle limitazioni delle carte a pseudoisolinee tradizionali, in quanto permettono di
trasformare le distribuzioni di elementi puntiformi del mondo reale in altre, di tipo lineare
e areale, o in rappresentazioni di superfici topografiche astratte, ma formalmente corrette.
Le trasformazioni, in genere molto laboriose (ma la disponibilità di un computer e
di adeguati programmi d'elaborazione risolve gran parte delle difficoltà), comportano

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l'assunzione di ipotesi sulla natura del fenomeno da cartografare e di limitazioni da tener
ben presenti nella fase interpretativa dei risultati. Esempi al riguardo delle procedure in
discussione sono le perimetrazioni poligonali di Thiessen e le superfici costruite tramite
un raggio esploratore.
Figura 1 Esempio di costruzione di una carta a pseudoisolinee.
La carta di base propone su un fondo amministrativo a scansione regionale l’insieme parziale dei luoghi
puntiformi capoluoghi italiani di provincia (assetto 1991), quotati in km di distanza stradale da Firenze;. Su
tale base sono state tracciate le pseudoisolinee (quotate con carattere corsivo) con equidistanza 100 km. Da
rilevare come in realtà esse siano linee diagrammatiche che discriminano i capoluoghi nei sottoinsiemi: fino a
100 km di distanza stradale da Firenze, 100-200 km, 200-300 km. 300-400 km, oltre 400 km.
La puntualizzazione intende favorire la concettualizzazione delle isolinee, senza
per questo sminuire l’importanza pratica di carte siffatte nella visualizzazione di
implicazioni territoriali, molto rilevanti, non facilmente, o non altrimenti desumibili dagli
elementi informativi in veste tabellare. Nel caso concreto, prospettato in figura, le linee
diagrammatiche pongono in rilievo l’esistenza di notevoli barriere d’ostacolo alla
viabilità, a est e sudest di Firenze, che si riflettono nel ravvicinamento delle linee quotate.

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Rette e curve di sostituzione
9
Il problema sul quale si propongono alcune considerazioni in chiave cartografica
è quello della localizzazione industriale ottimale, in modo da minimizzare il costo di
trasporto delle materie prime e dei manufatti, secondo gli approcci di Weber e Isard, ma
senza entrare nel merito dei rispettivi modelli.
In concreto si ipotizza un mercato Me e una fonte di materia prima Ma, delle
quali sono note le coordinate chilometriche, e un punto P generico sul segmento avente
per estremi Me e Ma. In una carta geografica ridotta all’essenziale i tre luoghi puntiformi
si presentano come nella figura che segue nel testo, costruita a partire dai dati riportati in
calce alla stessa.
In generale, se si vuole esprimere la posizione del punto P (come intermedia tra
gli estremi del segmento Me Ma e sul segmento), in termini formali si scrive:
distanza PMe + distanza Pma = costante (20 km nell’esempio)
e ponendo
distanza PMe = x’ e distanza PMa = y’
si scrive
x’ + y’ = k
e discende la possibilità di individuare il generico luogo P con la coppia di coordinate x’
(distanza dal mercato) e y’ (distanza dalla fonte della materia prima) al posto delle
coordinate geografiche impiegate nelle consuete rappresentazioni cartografiche.
In breve, rappresentando l’insieme dei luoghi P con le nuove coordinate si opera
una traduzione cartografica, sulla quale si insiste per la sua importanza: nel nuovo sistema
di riferimento il segmento MeMa si presenta ancora sotto forma di segmento, ma non più
parallelo ad un asse e perpendicolare ad un altro, bensì inclinato di - 45° (essendo pari a -
1 il coefficiente angolare; si veda l’equazione relativa).
La retta cui appartiene il nuovo segmento prende il nome di retta di sostituzione,
o più in generale di curva di sostituzione, di uso frequente negli studi economici e
geografici per la visualizzazione di tutte le combinazioni possibili, date certe regole
operative, tra coppie di fattori produttivi, quali elementi di costo o distanze.

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10
5
10
0
0 5 10 15 20 25 30
mercato fonte materia prima P
Figura 2 Posizioni del mercato, della fonte della materia prima e di un luogo intermedio in una carta
convenzionale, ma ultrasemplificata.
coordinate mercato mercato fonte materia prima P
x 5 5 25 12
y 5 5 5
Distanza complessiva Me da Ma = 20 km
Distanza di P da Me = 7 km; distanza di P da Ma = 13 km.
Fistanza da MA
25
M e
20 P1
P2
P3
15
P4
P5
10
5
0
P6
P7
P8
P9
M a
0 5 10 15 20 25
Distanza da Me
x +y = 20
80
60
40
20
0
0 20 40 60 80
x +y = 20 x+y = 50
x+y =70

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11
Figura 3 Trasposizione del mercato e della fonte della materia prima da un sistema di riferimento ad
un altro e famiglia di rette di sostituzione.
Elementi per la costruzione della carta con il sistema di riferimento x’ e y’
Luogo coordinata Coordinata distanza totale in km da
x’ Y’ Me e Ma
Me 0 20 20
P1 2 18 20
P2 4 16 20
P3 6 14 20
P4 8 12 20
P5 10 10 20
P6 12 8 20
P7 14 6 20
P8 16 4 20
P9 18 2 20
Ma 20 0 20
Circa l’espressione curva sostitutiva, essa appare pienamente giustificata
riflettendo sull’esempio numerico: il punto P3 ha coordinate 4 e 16; se si sostituisce la
prima coordinata con il valore 18, per via grafica o analitica si desume che la seconda
coordinata deve essere sostituita dal valore 2. Casi particolari nel nuovo sistema di
riferimento sono il luogo del mercato e quello della materia prima che hanno per
coordinate:
coordinata Me Ma
x' 0 20
y' 20 0
Da precisare che il merito dell’introduzione della curva di sostituzione è attribuito
al Predöhl (1925; il quale, invero, si riferiva alla sostituibilità dei fattori della
produzione) e non al Weber; quanto al suo uso sistematico, esso è stato propugnato
dall’Isard (1956), al cui nome appare indissolubilmente associata nella cosiddetta analisi
sostitutiva.
Distanza da Ma
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60
Distanza da Me
x+3y = 40 x+3y = 60
Distanza da B
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40
Distanza da A
k =1000 k = 2000
k = 3000

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Figura 4 Famiglie di curve di sostituzione.
12
A sinistra, curve di sostituzione ipotizzando una materia prima che perda peso nel corso della sua
trasformazione in prodotto finito nel rapporto 3 a 1; in tal caso la relazione di base diventa: x +3y = k
A destra, in presenza di costi di trasporto decrescenti:
Le curve sono state tracciate indicando con x e y le distanze dai punti A e B, nei quali ha origine il
traffico, e un costo complessivo costante k: x(-ax+h) + y(-ay+h) = k
Tornando al tema del passaggio da un sistema di riferimento ad un altro, è
agevole riscontrare tutta una serie di interessanti caratteristiche. A tal fine si ipotizzi
una distanza tra Me e Ma di 10 km e si traccino, a partire da uno dei luoghi (es. Ma),
circonferenze concentriche equispaziate. Si replichi il procedimento a partire
dall’altro luogo (Me) e si quotino in termini di distanza dai rispettivi centri i due
gruppi di circonferenze. Il passo successivo consiste nel quotare le intersezioni tra due
circonferenze con la somma delle singole distanze che esse esprimono.
Se immaginiamo di isolare tutte le intersezioni per le quali la somma delle
distanze da Me e Ma risulta pari a 15 km:
A x’ = 14 y’ = 1 x’ + y’ = 15
B x’ = 13 y’ = 2 x’ + y’ = 15
C x’ = 12 y’ = 3 x’ + y’ = 15
.. …… …… …………
è facile verificare che tali punti nella carta di partenza si trovano allineati su una curva
regolare, precisamente un’ellisse, mentre in quella di coordinate x’ e y’ si allineano su un
segmento appartenente alla retta
y’ = 15 – x’
In realtà la trasformazione è implicita nella definizione dell’ellisse quale luogo
geometrico dei punti del piano che hanno costante la somma delle distanze da due punti
fissi, chiamati fuochi. Pertanto, se i fuochi sono dati dal luogo di mercato, Me, e dalla
fonte di materia prima, Ma, le isolinee di distanza complessiva k (per k maggiore della

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13
distanza in linea retta tra Me e Ma) sono ellissi che hanno per fuochi Me e Ma e tali
ellissi, al crescere di k risultano sempre più ravvicinate e tenderanno ad approssimare gli
andamenti di circonferenze. Nello spazio definito da x’ e y’ tali ellissi origineranno una
famiglia di segmenti disposti su rette parallele, tutte inclinate di - 45°.
30
20
10
0
-10
-20
-30
-20 -10 0 10 20 30 40
2X+3Y=48 2X+3Y=60 2X+3Y=90
2X+3Y=120 AB C
Figura 5 Esempi di ovali di Cartesio e di corrispondenti linee di isocosto
Distanza da B
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60
Distanza da A
2x +3y = 48
2x +3y = 60
2x +3y = 90
2x +3y = 120
In entrambe le figure vale la relazione 2x + 3y = k; a sinistra, gli ovali di Cartesio illustrano gli andamenti
delle isodapane, con luoghi di carico in A e B, in una rappresentazione cartografica semplificata; a destra, le
stesse isodapane si trasformano in andamenti rettilinei nello spazio delle distanze da A e da B.
30
20
10
0
-10
-20
-20 -10 0 10 20 30
circonferenza di raggio 20
centro
A
B
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40
circonferenza A B

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Figura 6 Passaggio da un sistema di riferimento ad un altro: trasformazione di una linea circolare.
A sinistra, il caso di una linea circolare: la situazione cartografica convenzionale; a destra, la situazione
cartografica nel sistema di riferimento definito dalle coordinate distanza da A e distanza da B.
14
Nulla vieta (e la cosa torna molto utile) operare trasformazioni con relazioni
lineari diverse da quella considerata finora (x’ + y’ = k) o con relazioni di tipo non
lineare. Quale primo esempio si ipotizza una materia prima che perda peso nel corso della
sua trasformazione in prodotto finito nel rapporto 3 a 1; in tal caso la relazione di base
diventa:
x’ +3y’ = k
e le infinite combinazioni si disporranno ancora, al variare di k, su segmenti di rette, ma
inclinate di – 30° e non più– 45°. Inoltre, nella carta originale i punti che soddisfano la
nuova relazione non si disporranno più su ellissi, ma su curve alquanto più complicate da
descrivere (gli ovali di Cartesio), senza il ricorso a strumenti matematici specifici
volutamente esclusi in questa trattazione.

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15
La localizzazione delle attività industriali
La curva spazio costo
Noto anche come modello del margine spaziale, la curva spazio-costo dello Smith
si propone di individuare non tanto il punto di localizzazione ottimale quanto piuttosto
l’area in cui è possibile la localizzazione in condizioni di mercato.
Nella formulazione originale la procedura comporta il confronto tra due carte a
isolinee dello stesso territorio, perfettamente sovrapponibili: l’una è la carta dei costi
totali (costi di produzione e costi di trasporto), l’altra è quella dei costi totali. In una
lettura semplificata il tutto si riduce a trarre le conclusioni partendo, come esemplificato
in figura, da un ricavo, costante nello spazio, da confrontare con costi variabili: la
localizzazione potrà avvenire soltanto nell’area o nelle aree in cui risulta positiva la
differenza tra ricavi e costi. Il limite di tale area (in figura quella delimitata da costi totali
pari a 200), o i limiti di tali aree, costituisce il margine spaziale.
300
250
�������������������������������������
�������������������������������������
�������������������������������������
�������������������������������������
200
150
120
300
200
Figura 7 Esemplificazione grafica del modello del
margine spaziale.

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16
Il triangolo localizzatore di Alfred Weber
L'obiettivo di Alfred Weber (chiaramente indicato nel Reine Teorie des Standorts
del 1909) risiede nella ricerca di una spiegazione razionale della localizzazione delle
industrie manifatturiere in maniera tale da minimizzare i costi di trasporto, nell’ipotesi
che essi siano funzione lineare della distanza (Conti , …pp.18-19), che l'imprenditore
operi in regime di concorrenza perfetta e conosca perfettamente l’ubicazione delle
materie prime e dei mercati (spazio del tutto trasparente), che la domanda di prodotti per
un dato prezzo sia illimitata così come l'offerta di mano d'opera, considerata costante
nello spazio.
Date queste condizioni il Weber prende in considerazione un settore industriale
costituito da piccoli imprenditori indipendenti che rifiutano rischio ed incertezza e
possono vendere ad un determinato prezzo tutte le unità di prodotto che sono in grado di
produrre (in altri termini: riducendo il prezzo non possono vendere quantità maggiori e
aumentandolo non determinano una riduzione della domanda. Pertanto, essi tendono a
produrre al minor costo possibile, per massimizzare il profitto, scegliendo un ben preciso
punto situato in uno spazio isotropico
Ciò premesso, siano date due diverse materie prime, necessarie al processo
produttivo, ubicate nei luoghi puntiformi Ma’ e Ma’’ (fonti delle materie prime) che, una
volta trasformate in prodotto, dovranno essere trasportate all'unico mercato Me. Il
triangolo, i cui vertici delimitano lo spazio all'interno del quale sarà individuato il punto
ottimale di localizzazione, prende il nome di triangolo localizzatore o anche di triangolo
localizzativo.
km
km
30
20
10
0
30
20
10
0
Ma'
Me
G
Mb
Ma''
0 10 20 30
Me
Mb G*
G
Ma'
km
Ma''
0 10 20 30
km
Figura 8 Il triangolo localizzatore di Weber.
Caso di quantità da trasportare uguali.
Luoghi x y Pesi
Ma' 2.00 2.00 1.00
Ma'' 20.00 2.00 1.00
Me 5.00 20.00 1.00
G 9.00 8.00
Mb 7.43 6.57

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Figura 9 Il triangolo localizzatore di Weber. Caso di quantità da trasportare disuguali.
Luogo x y Pesi
Ma' 2.00 2.00 4.00
Ma'' 20.00 2.00 6.00
Me 5.00 20.00 9.00
G 9.00 8.00
G* 10.18 11.76
Mb 6.94 14.61
17
Sfruttando le proprietà geometriche del triangolo sarebbe possibile localizzare,
secondo Weber, in maniera razionale un’industria in funzione dei costi complessivi di
trasporto.
Nel triangolo localizzatore, rappresentato in figura xxx, si ipotizza che le quantità
di materie prime da prelevare nelle fonti Ma’ e Ma’’ siano uguali e che il ciclo produttivo
comporti uno scarto del 50 %. Conseguentemente, le quantità di output da trasportare nel
luogo di mercato risultano pari a quelle di input in una singola fonte di materie prime.
Detto in parole più semplici : i pesi ai vertici del triangolo sono uguali.
La soluzione di Weber muove dall’ipotesi che i tre vertici esercitino forze di
attrazione proporzionali ai loro pesi e che il punto in cui l’intensità delle tre forze si
annulla costituisce il luogo di localizzazione ottimale, presupponendo che in esso sia
minimo il costo complessivo di trasporto. Il luogo di equilibrio, chiamato il baricentro
delle forze ed indicato in figura con la lettera G 1 , non costituisce, in realtà, la soluzione
migliore in quanto è un punto di minimo per le distanze al quadrato e non per quelle
lineari. La figura, al riguardo, mette in luce come il baricentro G presenta distanze
complessive pari a 34.399 unità, superiore al valore di 34.120 totalizzata dal punto Mb
corrispondente alla mediana spaziale bivariata 2 . Infatti, se si assumono tariffe unitarie,
1 Le coordinate del baricentro si calcolano molto facilmente con procedura analitica: esse sono definite dalle
medie aritmetiche delle coordinate dei tre vertici del triangolo. Al riguardo, si ricorda in via incidentale una
proprietà geometrica: se i pesi ai vertici sono uguali, il punto baricentrico è dato da quello d’incontro delle 3
mediane del rettangolo.
2 Le modalità di calcolo della mediana spaziale bivariata sono esposte in altro capitolo.
Nel caso, del tutto particolare, di pesi unitari può tornare utile richiamare una proprietà del triangolo:
se in un triangolo qualsiasi ciascuno degli angoli interni è inferiore a 120° si dimostra facilmente, per via
geometrica, che il punto di minima distanza complessiva è dato dall’intersezione dei segmenti AA’, BB’,
CC’, se A’, B’ e C’ sono i vertici dei triangolo equilateri costruiti sui lati esternamente al triangolo.
Se nel triangolo ABC un angolo è uguale o superiore a 120°, il punto di minimo si colloca sul vertice
dal quale ha origine l’angolo suddetto.

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dopo aver calcolato le distanze dei vertici dai punti G e Mb, e moltiplicate tali distanze
per le quantità da trasportare, sempre pari a 1, si ottiene il seguente quadro riassuntivo:
distanze da G distanze da Mb dpi per G* dpi per Mb*
Ma' 9.220 7.098 9.220 7.098
Ma'' 12.530 13.379 12.530 13.379
Me 12.649 13.643 12.649 13.643
Totali 34.399 34.120 34.399 34.120
*dpi: prodotto della distanza per la quantità da trasportare
18
Discordanze ancor più vistose tra il luogo del baricentro e il luogo della mediana
spaziale bivariata generalmente si manifestano allorquando ai vertici del triangolo i pesi
sono eterogenei. In merito si consideri l’esempio proposto in figura xxx: le quantità in
peso da movimentare sono 4 dalla fonte Ma’, 6 dalla fonte Ma’’ e sono 9 le quantità da
trasportare sul luogo di mercato Me. Effettuate tutte le operazioni, e avendo indicato con
G* il baricentro ponderato 3 , nell’ipotesi di tariffe di trasporto unitarie, il costo
complessivo nel punto G è pari a 221.6, più elevato di quanto si verifica nel punto Mb
dove conta 214.7:
Luoghi Distanze da G Distanze da G* Distanze da Mb dpi per G* dpi per Mb
Ma' 9.220 12.736 13.547 50.944 54.190
Ma'' 12.530 13.851 18.153 83.106 108.916
Me 12.649 9.727 5.727 87.544 51.547
Totali 34.399 36.314 37.428 221.594 214.654
La soluzione del Weber appare, dunque, imperfetta, a meno di volerla ancorare ad
un’ipotesi sussidiaria, consistente nella ricerca del luogo di minimo per distanze elevate al
quadrato 4 . Tuttavia, al Weber vanno ascritti molti meriti, che vanno ben oltre le critiche
3 Toschi (1965, p. 77) si esprime al riguardo rilevando:“in parole povere ciascuno dei tre vertici tira verso di
sé il luogo della fabbrica in proporzione diretta secondo il peso che deve muoversi sulla rispettiva
congiungente, la quale risulta tanto più corta quanto maggiore è il relativo peso.
Lo spostamento del baricentro dalla posizione G alla posizione G* comporta il cambiamento degli angoli a
partire dal punto baricentrico e a partire dai vertici del triangolo. In particolare, l’angolo al centro sotteso dai
vertici con pesi più elevati tende a crescere di ampiezza; al contrario tendono a contrarsi gli angoli limitati dai
vertici con pesi più elevati e dal punto baricentrico.
Queste considerazioni giustificano l’espressione competizione tra angoli, attribuita sovente al laborioso
metodo geometrico che si può impiegare per la ricerca del baricentro (esposizione dettagliata in Toschi, 1967,
pp. 248-259, e in Tinacci Mossello, , pp.75-82).
4 La differenza tra il baricentro e la mediana spaziale si coglie se sono ben presenti le proprietà statistiche
della media aritmetica e della mediana: la prima, gode della proprietà del minimo rispetto agli scarti elevati al
quadrato; la seconda, rispetto agli scarti semplici.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
19
sul piano teorico e meramente tecnico 5 :l’aver esplorato per primo o tra i primi un tema
ancor oggi di piena attualità, l’aver intuito spiegazioni del tutto corrette per situazioni
particolari. Tra esse l’orientamento delle imprese industriali a localizzarsi presso i mercati
quando gli scarti in peso nel processo di produzione sono modesti (nel caso d’esempio è
rilevante lo spostamento verso il mercato del baricentro ponderato rispetto al baricentro
ponderato, spostamento giustificato dalla lieve perdita in peso delle materie prime: 10
unità di input e 9 unità di output), presso le fonti delle materie prime in caso contrario.
Altra particolarità colta dal Weber risiede nel fatto che se in un vertice del triangolo si
cumula il 50% delle quantità da movimentare, la soluzione ottimale coincide, comunque,
in tale vertice.
Ma, forse, il merito maggiore del Weber risiede nell’impulso dato alle procedure
grafiche e, tra esse, all’impiego sistematico delle isodapane. A tal proposito
riconsideriamo il problema della ricerca della localizzazione ottimale nel triangolo
localizzatore con pesi unitari proposto in precedenza. Il primo passo consiste nel tracciare
le isolinee che uniscono i punti di eguale costo di trasporto a partire da ognuno dei vertici (Ma’,
Ma’’ e Me) chiamate isotime, che assumono la forma di circonferenze in ragione
dell'isotropicità dello spazio; esse indicano il costo di trasporto per unità di materia o di
prodotto. Il costo di trasporto cresce proporzionalmente all'aumentare della distanza dai
tre vertici del triangolo e varia in rapporto al peso della merce trasportata.
Successivamente si disegnano le isodapane, cioè le linee che uniscono i punti di
eguale costo di trasporto totale, vale a dire i punti di intersezione delle isotime relative
alle diverse località (fonti di materie prime e mercato) ai quali corrispondono uguali costi
di trasporti totali (ottenuti sommando i valori delle isotime che si intersecano):
l’isodapana minima delimita l’area ottimale in cui localizzare l’attività industriale. La
bontà della soluzione dipende dalla densità dei punti quotati con i costi totali di trasporto,
punti a partire dai quali si tracciano in concreto le isodapane.
Quale esempio concreto, limitato alla parte tabellare, prendiamo in
considerazione la ricerca della soluzione ottimale in una situazione definita da questi
elementi di valutazione e da tariffe di trasporto unitarie e direttamente proporzionali alle
distanze e alle quantità da movimentare:
x y Pesi
5 Due critiche sono state mosse al Weber sul piano della teoria economica: l’imprenditore in realtà tende non
al minimo costo, ma al massimo profitto, idea base della teoria classica; manca il fattore prezzo.
Ciononostante alla teoria del Weber è riconosciuto un valore generale essendo essa valida in ogni tipo di
regime economico, sia in una economia di mercato sia in una economia collettivista; inoltre, essa riconduce il
problema della localizzazione delle imprese manifatturiere all’aspetto geografico, valutando l’elemento
geografico, che si traduce in distanze e si valuta in costi o in prezzi pagati per superare tali distanze.
Altri economisti e politico-economisti hanno trattato questo punto; tra essi l’Englander (1924) che considera
il problema della localizzazione delle attività economiche come un aspetto della teoria del traffico e delle
tariffe ( è la convenienza dei prezzi dei singoli beni che influenza il processo di localizzazione, consente
perciò di identificare aree, più o meno estese, in cui si pratica il prezzo del bene richiesto. Importante anche il
contributo del Predohl (1925) secondo cui sono i fattori extraeconomici o naturali, e i fattori inerenti al genere
di vita, che influenzano la distribuzione delle attività manifatturiere.

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Ma' 0 0 7
Ma'' 10 0 9
Me 3 10 12
20
Il primo passo consiste nel delineare un insieme adeguato di punti da quotare.
Tale insieme sia costituito da quelli che si trovano in corrispondenza dei vertici
della maglia quadrata delineata in figura xxx.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 10 Maglia quadrata per un caso
esemplificativo dell’approccio weberiano.
Effettuati tutti i calcoli, si riassumono gli stessi in due prospetti contenenti tutti
gli elementi di valutazione necessari e sufficienti per approssimare la soluzione ottimale
sia nel caso di pesi da movimentare uguali nei punti (Ma’, Ma’’ e Me) sorgenti o
destinazione finale dei trasporti, sia allorquando le quantità sono eterogenee nella misura
dianzi ipotizzata. Nel primo caso il punto quotato con valore minimo ha coordinate x = 3
e y = 4; nel secondo caso il punto con minimo costo complessivo di trasporto, tra quelli
quotati, ha coordinate x=5 e y = 4.
Pesi unitari
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
22.2 22.5 22.8 23.3 24.0 24.8 25.7 26.8 28.1 29.5 31.1
21.7 21.3 21.5 21.9 22.5 23.2 24.1 25.2 26.4 27.9 29.5
21.2 20.6 20.5 20.8 21.2 21.9 22.7 23.7 24.9 26.4 28.0
20.8 20.1 19.8 19.9 20.3 20.8 21.6 22.5 23.6 25.0 26.6
20.4 19.7 19.3 19.3 19.6 20.0 20.7 21.5 22.5 23.8 25.4
20.2 19.4 19.0 18.9 19.1 19.5 20.1 20.8 21.7 22.8 24.4
20.0 19.3 18.9 18.8 19.0 19.3 19.8 20.4 21.2 22.1 23.4
20.0 19.2 18.9 18.9 19.1 19.4 19.9 20.5 21.2 21.9 22.6
20.0 19.4 19.1 19.2 19.5 19.9 20.4 21.1 21.8 22.7 24.0
20.2 19.7 19.7 19.9 20.3 20.8 21.4 22.1 22.9 24.0 25.5

0
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21
20.4 20.5 20.7 21.1 21.5 22.0 22.7 23.4 24.4 25.6 27.1
Pesi da movimentare diversi
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
10 216.48 216.17 216.95 218.88 222.03 226.49 232.38 239.84 249.01 260.03 272.99
9 211.94 205.92 204.66 205.50 207.87 211.68 216.99 223.95 232.75 243.59 256.62
8 208.16 200.11 196.39 195.49 196.58 199.36 203.76 209.90 218.03 228.46 241.43
7 205.24 196.14 190.74 188.24 187.97 189.53 192.79 197.84 204.97 214.67 227.41
6 203.28 193.53 187.05 183.35 181.89 182.27 184.30 188.01 193.77 202.30 214.57
5 202.38 192.22 185.12 180.66 178.34 177.76 178.63 180.90 184.88 191.56 202.89
4 202.60 192.27 184.97 180.23 177.49 176.30 176.32 177.36 179.44 183.26 192.35
3 204.00 193.78 186.76 182.24 179.56 178.24 177.93 178.41 179.48 181.02 182.94
2 206.60 196.88 190.76 186.99 184.80 183.79 183.75 184.58 186.38 189.88 198.64
1 210.38 202.03 197.58 194.88 193.40 192.98 193.59 195.38 198.75 204.77 215.43
0 215.28 211.29 208.31 206.35 205.43 205.59 206.96 209.77 214.52 222.03 233.28
Minimo 202.38 192.22 184.97 180.23 177.49 176.30 176.32 177.36 179.44 181.02 182.94
L’ isodapana critica e l’agglomerazione
È un concetto di Weber, non molto chiaro nella sua formulazione e poco
convincente nelle esemplificazioni cartografiche.
In concreto, rispetto ad un punto di minimo P1 dei costi di trasporto per una
determinata attività industriale X s’immagina di poter tracciare due famiglie d’isolinee: le
isodapane d’ugual incremento dei costi di trasporto e le isolinee d’uguale diminuzione del
costo dei salari; laddove esista un’isodapana, per la quale l’incremento dei costi di
trasporto sia uguale al decremento del costo del lavoro, tale isodapana prende il nome
d’isodapana critica.
Figura 11 Isodapane critiche ed agglomerazione.
Figura illustrativa dell’agglomerazione secondo Weber: i
luoghi P1, P2 e P3 sono le localizzazioni ottimali di tre
ipotetiche industrie, mentre C1, C2 e C3 sono le
corrispondenti isodapane critiche: le aree in grigio,
soprattutto quella di tonalità più scura (delimitata
dall’intersezione delle tre isodapane critiche), offrono la
possibilità di incrementare le esternalità con le economie di
agglomerazione se gli imprenditori localizzano gli impianti
con una scelta comune, il che implica piena trasparenza
nelle informazioni.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
22
Si consideri ora l’esistenza di un altro punto di minimo P2 dei costi di trasporto
per un’altra determinata attività industriale Y e si ipotizzi di poter tracciare due nuove
famiglie di isolinee: le isodapane di ugual incremento dei costi di trasporto e le isolinee di
ugual incremento delle economie esterne: laddove esista un’isodapana per la quale
l’incremento dei costi di trasporto risulti uguale all’incremento delle economie esterne,
anche tale isodapana prende il nome di isodapana critica e la si indichi con C2.
L’eventuale l’intersezione delle due isodapane critiche delimita uno spazio che prende il
nome di area di agglomerazione.
Materie prime lorde e nette
Tornando al problema della localizzazione, il Weber distingue le materie prime in
due tipi:
A) la materia prima è utilizzata integralmente nel processo di trasformazione e
prende il nome di materia prima netta; il peso dell’output è identico a quello dell’input;
B) la materia prima non è utilizzata integralmente per scarti durante la
lavorazione e prende il nome di materia prima lorda; il peso dell’output è inferiore a
quello dell’input.
Nell’ipotesi A il costo di trasporto risulta costante e pari a 40, comunque si
scelga P sul segmento congiungente Me e Ma; nel caso B, invece, il costo varierà sul
segmento da punto a punto, con un minimo in corrispondenza della fonte della materia
prima e un massimo nel luogo di mercato (vedi nell’esempio il caso 2): l’incremento del
costo di trasporto via via che ci si allontana da Ma , inoltre, sarà tanto più consistente
quanto maggiore è il calo in peso della materia prima nel processo manifatturiero.
Al riguardo, il Weber ha introdotto un indice dei materiali I molto utile per il suo
trasparente significato: I = peso della materia prima nel prodotto finito / peso della
materia prima impiegata. Quanto più piccolo è il valore dell’indice, tanto più elevato è
l’incremento del costo complessivo di trasporto. Il contrario vale per il rapporto R, noto
come peso localizzatore: R = peso della materia prima impiegata/ peso della materia
prima nel prodotto finito.
.
Esempio. Sulla scorta degli elementi riportati in prospetto zzz, la prima
esemplificativa di una materia prima netta, la seconda di una tabella prima lorda, si
pongono a confronto i costi totali di trasporto negli 11 luoghi P equispaziate di 2 km sulla
congiungente la fonte della materia prima e il mercato che distano, in complesso 20 km..
Caso della materia prima netta: in termini analitici si rileva dall'equazione delle
distanze x + y = 20 che y = 20 - x, pertanto il costo totale di trasporto, per avere sul

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
23
mercato un'unità in peso di output impiegando un'unità in peso di input, è data da Ct = 2x
+2(20-x) per x compreso tra 0 e 20. Poiché il costo totale è costante, la sua funzione
analitica esprime la condizione di isocosto, e si chiama curva di isocosto la
rappresentazione grafica corrispondente; nell’esempio la curva si presenta come una retta
inclinata di -45°. Tuttavia si possono avere sia rette con altra inclinazione, sia curve
diverse dalla retta.
Conseguenza rilevante: per l’imprenditore è indifferente la localizzazione su uno
qualsiasi dei luoghi P.
Caso della materia prima lorda: i costi totali di trasporto variano da luogo a
luogo, dal minimo di P11, corrispondente alla fonte della materia prima, al massimo di
P1, il luogo del mercato (vedi figura ...). In una condizione siffatta l’industria si orienta
verso la fonte della materia prima.
Da sottolineare un aspetto cruciale: a combinazioni di distanze sempre uguali,
corrispondono costi di trasporto diversi.
Prospetto 1Elementi per il confronto di una materia prima netta con una materia prima lorda in
relazione al costo minimo di trasporto complessivo.
Intitolazione delle colonne:
L: luoghi;distanza dal mercato; DMA: distanza dalla fonte della materia prima; CME: costo del trasporto dalla fabbrica al
mercato; CMA: costo del trasporto dalla fonte della materia prima alla fabbrica; CT: costo totale di trasporto
A - materia prima netta B -materia prima lorda*
L DMA DME CME CMA CT L DMA DME CME CMA CT
P1 0 20 0 40 40 P1 0 20 0 40 40
P2 2 18 4 36 40 P2 2 18 2.4 36 38.4
P3 4 16 8 32 40 P3 4 16 4.8 32 36.8
P4 6 14 12 28 40 P4 6 14 7.2 28 35.2
P5 8 12 16 24 40 P5 8 12 9.6 24 33.6
P6 10 10 20 20 40 P6 10 10 12 20 32
P7 12 8 24 16 40 P7 12 8 14.4 16 30.4
P8 14 6 28 12 40 P8 14 6 16.8 12 28.8
P9 16 4 32 8 40 P9 16 4 19.2 8 27.2
P10 18 2 36 4 40 P10 18 2 21.6 4 25.6
P11 20 0 40 0 40 P11 20 0 24 0 24
*È stata assunta questa ipotesi: 1 unità in peso di materia prima si trasforma in 0.6 unità in peso di prodotto
finito. La funzione di costo risulta così modificata: Ct = 2(0.6)x + 2(20-x).

45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
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0 5 10 15 20
DM A DM E CM E
CM A CT
24
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
DMA DME CME
CMA CT
Figura 12 Curve di isocosto, in presenza di una materia prima netta e di una materia prima lorda.
A sinistra, caso della materia prima netta; a destra, caso della materia prima lorda.
I due grafici suggeriscono una puntualizzazione fondamentale: le espressioni curva di isocosto, retta di
isocosto e similari, a proposito delle distanze, sono modi di dire imprecisi, dai quali possono discendere gravi
fraintendimenti ed errate concettualizzazioni. Infatti, le funzioni di isocosto hanno significatività economica e
territoriale soltanto per valori positivi delle variabili costi di trasporto, come quelle delle isodistanti
richiedono distanze positive (le distanze negative sono in contraddizione con il concetto stesso di distanza):
consegue la validità di tali funzioni soltanto in archi o in segmenti che soddisfano la condizione di costi o di
distanze positive; nell’esempio proposto in figura, la relazione di isocosto vale soltanto per il segmento
disegnato con tratto forte, non vale per le parti della retta disegnata con tratto sottile.
Le considerazioni esposte finora possono dare l’impressione, errata, che Weber
ritenesse ottimale la localizzazione delle industrie lontano dai mercati. In realtà non è
così, in quanto nella produzione concreta di un manufatto industriale concorrono più
materie prime e si impiegano combustibili (all’epoca, soprattutto carbon fossile e
derivati). Questi ultimi devono essere considerati con tutto il loro peso nell’indice delle
materie prime, alla luce di una regola pratica, individuata dal citato studioso, che si
esprime in questi termini: se una località di origine o destinazione dei flussi di trasporto
totalizza almeno la metà delle quantità (in peso) da movimentare, in tale località il costo
complessivo di trasporto risulta, comunque, minimo.
La giustificazione della regola sarà esplicitata in seguito (didascalia della figura
xxx); per il momento è il caso di rilevare una conseguenza importante, del tutto generale
e facilmente verificabile in situazioni concrete: le industrie che utilizzano componenti e
semilavorati esogeni sono orientate a localizzarsi sui mercati; le industrie cosiddette

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
25
pesanti, che consumano materie prime ampiamente lorde sono orientate a localizzarsi in
prossimità della fonte della materia prima più soggetta a calo, oppure dei grandi porti, se
è necessario importarla via mare (esempio: l’industria della raffinazione petrolifera in
Italia).
Il modello del margine spaziale di Rowstron e Smith.
Noto anche come curva spazio-costo dello Smith, il modello, di tipo grafico
debolmente spazializzato, è conseguente alla sovrapposizione e successiva differenza di
una carta dei ricavi e di una carta dei costi totali.
Il punto di partenza risiede nella constatazione che le caratteristiche territoriali di
una regione influenzano il profitto in due modi: i costi possono variare da un luogo
all’altro, variazioni descritte dalla “superficie dei costi”; le entrate variano da un luogo
all’altro, variazione descritte dalla “superficie potenziale di mercato”. Dal confronto tra
queste due superfici si ricava quello che il Rawstron (1958) definisce il “margine spaziale
di redditività”. Concetto che per alcuni autori non serve a spiegare le scelte di
localizzazione data la vastità che le aree possono assumere.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
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Le imprese che tendono all’ottimizzazione realizzeranno i propri cambiamenti in
prossimità di un sito ottimale, mentre le imprese che tendono ad un soddisfacente livello
di redditività opereranno in un sito qualsiasi nei margini spaziali di redditività. Le
differenze tra le imprese nel prendere le decisioni dipenderanno in parte dalle
informazioni di cui esse dispongono e in parte dalla loro capacità di utilizzarle.
Con la procedura proposta dallo Smith si tratta, a ben vedere, di applicare in
forma ultrasemplificata il principio teorico della localizzazione preferenziale per
l’imprenditore in regime di mercato: collocarsi all’interno dell’area delimitata dal
margine spaziale di differenze positive tra ricavi e costi.
Costi e ricavi
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
A
C
0 10 20 30 40 50 60 70
km
Costi Ricavi Perdita/profitto
B
Figura 13 Il
modello del
margine
spaziale.
Quale esempio si propone il caso ipotetico visualizzato in figura xxx: sono posti a
confronto i profili spaziali dei costi e dei ricavi: l’impresa può localizzarsi con successo
soltanto tra A e B, estremi esclusi, perché in essi ricavi e costi si annullano con la
conseguenza ovvia di mancanza di perdite, ma anche di profitto. Quest’ultimo risulta
massimo nel punto C. Tutta l’area in cui i ricavi superano i costi prende il nome di area di
profitto e la linea che delimita tale area prende il nome di margine spaziale.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
Politiche d’intervento a favore delle aree svantaggiate.
27
L’esistenza di divari socioeconomici tra aree forti ed aree deboli è una dolorosa
realtà che si presenta sotto i nostri occhi qualunque sia la scala geografica d’osservazione:
sussiste tra stati, tra regioni amministrative all’interno degli stati, tra aree rurali e aree
urbane, tra quartieri poveri e ricchi, e così via. Non meraviglia, pertanto se sono stati
innumerevoli i tentativi di politiche economiche mirate ad eliminare o comunque
attenuare i divari, quasi sempre coronati da successi effimeri e parziali, nonostante
l’entità delle risorse investite, e in qualche caso da tracolli economici generali di interi
gruppi di Paesi (il riferimento esplicitamente chiama in causa gli stati dell’Europa
orientale allorquando hanno perseguito la via delle economie centralmente pianificate).
Anche in Italia, specie tra il 1950 e il 1980, è stata sperimentata la strada
dell’intervento pubblico a sostegno delle aree svantaggiate, collettivamente indicate come
Mezzogiorno o Sud, in contrapposizione al resto del Paese, il Nord, e fu organizzata una
complessa struttura d’intervento, la Cassa del Mezzogiorno, su cui furono riposte grandi
speranze 6 .
Tuttavia, già nel 1965, un geografo abituato all’indagine diretta sul terreno,
Alberto Mori, in un saggio esemplare poneva in luce l’importanza del limite della zona
d’intervento della Cassa del Mezzogiorno quale fattore d’attrazione e localizzazione
industriale. Le osservazioni del Mori conservano ancor oggi la loro validità e potrebbero
6 Nel 1950 il sesto Gabinetto di Alcide De Gasperi, con la legge 646 del 10 Agosto 1950, istituì la Cassa per
le Opere Straordinarie e di Pubblico Interesse nell’Italia Meridionale, o Cassa per il Mezzogiorno, o Casmez,
per favorire la perequazione delle potenzialità di sviluppo e della qualità della vita fra il settentrione ed il
meridione d’Italia.
Il suo primario obiettivo era la realizzazione di una politica di infrastrutturazione del territorio meridionale
attraverso un “intervento straordinario” con il quale lo Stato .
Ciò ci consente di affermare che la “questione meridionale”, vista come questione dello sviluppo ineguale
italiano e della sua specifica articolazione territoriale, veniva sempre più “governata” dall’intervento dello
Stato che “realizza nel contempo un progetto di trasformazione radicale e profondo della realtà socioeconomica
meridionale” (Galasso A., 1981), istituendo forme di controllo diffuse e organizzazione delle
masse.
Il Casmez è stato abolito nell’Agosto del 1984 quando la Camera dei Deputati respingeva il decreto che ne
avrebbe dovuto prorogare un’ennesima volta l’esistenza.
La politica a favore del Mezzogiorno non includeva solo gli interventi tramite Casmez; infatti, da una
strategia avente per oggetto le opere pubbliche, il potenziamento delle infrastrutture e la razionalizzazione
dell’agricoltura, si è passati ad iniziative a favore dell’industrializzazione e poi nel campo dei servizi, nel
terziario avanzato, nei settori collegati con l’innovazione tecnologica e l’informatizzazione delle economie.
Gli interventi a favore del Mezzogiorno furono intensificati negli anni Sessanta, concentrandosi non più sul
settore primario o sulle infrastrutture, bensì sugli interventi a favore dell’industrializzazione, al fine di
stimolare il decollo di alcune province meridionali. La politica consisteva nell’azione combinata dei poli di
sviluppo e nella conseguente istituzione dei nuclei e delle aree di industrializzazione; essa prese vita con la
legge 634 del 1957, legge che, nel fissare i termini della nuova politica di industrializzazione delle aree deboli
del Mezzogiorno, presentava però anche rilevanti contraddizioni.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
28
essere riscontrate nel loro nocciolo duro in molti casi empirici sicché sembra opportuno
considerare un caso, seppure del tutto ipotetico, da assumere come modello generale.
A tal proposito si prende in esame un Paese, simile all’Italia in cui alla data di
partenza i costi complessivi di produzione, distinti tra costi della sfera privata (variabili
nello spazio) e costi della sfera pubblica (costanti nello spazio), crescono al procedere da
nord verso sud in accordo con l’analoga tendenza dei costi della sfera privata. Se i ricavi
sono costanti e relativamente modesti il Paese risulta bipartito in due aree: il Sud nel
quale le imprese industriali non si localizzano per la mancanza di una prospettiva di
profitti e quelle esistenti sono progressivamente espulse dal mercato in ragione delle
perdite che subiscono; nel Nord invece si verifica una proliferazione di nuove
localizzazioni per motivi diametralmente opposti. Concretizziamo l’esempio con questi
dati numerici dai quali si desume che il margine spaziale si colloca alla distanza di 500
km sulla direttrice da sud verso nord.
Distanza da Sud
verso Nord Cpr Cpu 1 Ct1 R Pro 1
0 20 10 30 24 -6
100 18.8 10 28.8 24 -4.8
200 17.6 10 27.6 24 -3.6
300 16.4 10 26.4 24 -2.4
400 15.2 10 25.2 24 -1.2
500 14 10 24 24 0
600 12.8 10 22.8 24 1.2
700 11.6 10 21.6 24 2.4
800 10.4 10 20.4 24 3.6
900 9.2 10 19.2 24 4.8
900 9.2 10 19.2 24 4.8
Cpr: costi della sfera privata; Cpu 1: costi della sfera pubblica alla data di partenza; Ct1: costi totali alla data
di partenza; R: ricavi; Pro 1:profitto alla data di partenza.
35
30
25
20
15
10
5
0
0 250 500 750 1000
-5
-10
Sud Nord
Cpr Cpu 1 Cpu 2 Ct1
Ct2 R Pro 1 Pro 2

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
Figura 14 Effetti di politiche d’intervento sui costi per le imprese della sfera pubblica.
29
Distanza da Sud
verso Nord Cpr Cpu 1 Cpu 2 Ct1 Ct2 R Pro 1 Pro 2
0 20 10 8 30 28 24 -6 -4
100 18.8 10 8 28.8 26.8 24 -4.8 -3
200 17.6 10 8 27.6 25.6 24 -3.6 -2
300 16.4 10 8 26.4 24.4 24 -2.4 -0
400 15.2 10 8 25.2 23.2 24 -1.2 1
500 14 10 8 24 22 24 0 2
500 14 10 12 24 26 24 0 -2
600 12.8 10 12 22.8 24.8 24 1.2 -1
700 11.6 10 12 21.6 23.6 24 2.4 0
800 10.4 10 12 20.4 22.4 24 3.6 2
900 9.2 10 12 19.2 21.2 24 4.8 3
900 9.2 10 12 19.2 21.2 24 4.8 3
Cpr: costi della sfera privata; Cpu 1: costi della sfera pubblica alla data di partenza; ; Cpu 2: costi della sfera
pubblica alla data finale; Ct1: costi totali alla data di partenza; Ct2: costi totali alla data finale; R: ricavi; Pro
1:profitto alla data di partenza; Pro 2:profitto alla data finale. Per semplicità ricavi e costi della sfera privata
sono assunti costanti nel tempo.
Per attenuare gli squilibri si suppone che il potere centrale del Paese in questione
decida di intervenire a favore del Sud riducendo in tale area i costi della sfera pubblica
(imposte, tasse, oneri sociali, ed altro ancora), operazione resa possibile dall’incremento
degli stessi costi nel Nord.
I risultati, probabilmente, saranno per più motivi sgraditi, in quanto le sezioni più
profonde del Sud non traggono alcun beneficio concreto dagli interventi, nella fascia di
confine dell’area d’intervento si forma una microregione forte in seno al Sud, ma a

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
30
rischio continuo di sopravvivenza e in forte conflittualità con le propaggini più
meridionali del Nord che si sentono vittime di una grave ingiustizia spaziale. Il nuovo
assetto, visualizzato in figura xxx sulla base di dati ipotetici, ma realistici, riportati in
calce alla corrispondente didascalia, porta a rilevare i rischi di politiche puramente
assistenziali non affiancate dalla mobilitazione o dalla vera e propria invenzione di nuove
risorse.
Distanze e volume della produzione secondo Moses
Al crescere dell’area di mercato, osservava il Moses (xxx), in un territorio
uniformemente popolato dai consumatori, il volume della produzione tende a crescere in
maniera esponenziale rispetto al raggio della circonferenza, centrata sul luogo di
produzione, che delimita l’area del mercato, in piena analogia all’area del cerchio (vrdi
figura che segue nel testo).
In parallelo il costo unitario di produzione alla fabbrica tende a decrescere per
economie di scala sugli acquisti e un più efficace utilizzo dei fattori della produzione, ma
non in maniera indefinita: in genere, il decremento è prima lento, poi rapido, per tornare
progressivamente a decrescere ma con un ritmo inferiore all’espansione del volume della
produzione. Un andamento del genere si può schematizzare con una funzione del tipo:
Cunitario = A- f(v)
con f(v) del tipo logistica e A pari al costo unitario per il volume corrispondente al
mercato minimo .
Se il produttore si accolla l’onere del trasporto del prodotto fino al consumatore
e si assumono costi di trasporto direttamente proporzionali alla distanza da percorrere, il
costo unitario al consumo diminuisce fino ad una certa distanza dal mercato,
successivamente si accresce, precisamente dalla distanza in cui l’incremento dei costi di
trasporto risulta superiore al decremento dei costi unitari.
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 20 40 60 80 100
costo unitario alla produzione
costo totale al consumo
costo di trasporto sul luogo di consumo
(volume della produzione)/10
Figura 15 Il modello di Moses.
Nel caso il produttore sia
soggetto al vincolo di un prezzo
fisso, ad esempio 1000 lire per
unità di prodotto, nell’esempio
proposto l’area minima di mercato
deve avere un raggio minimo di

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
31
circa 45 km, nel contempo non può superare i 90 km, pena una crescente contrazione del
profitto. La dimensione ottimale, in termini contabili, è quella con un raggio di 65 km
(figura xxx).

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
Complementi sulle distanze e sulle tariffe di trasporto
Le matrici delle distanze
32
In questo paragrafo, assunto quale esempio concreto l’insieme dei capoluoghi
provinciali della regione Sicilia, si propongono alcune considerazioni sulla rilevanza in
geografia economica delle matrici delle distanze.
Il punto di partenza è costituito dalla matrice (simmetrica rispetto alla diagonale)
riportata al punto 1 del prospetto 2: essendo stata costruita con le distanze secondo linee
rette, essa consente di qualificare la posizione di ciascun capoluogo rispetto ai restanti in
uno spazio geografico astratto, del tutto privo di ostacoli agli spostamenti di persone,
merci, informazioni.. Il valore della posizione, in una logica trasportistica di costo
minimo (modelli localizzativi di Weber, Isard, Chistaller e altri) sarà tanto più elevato
quanto più bassa risulterà la somma delle distanze complessive: nel caso in esame la
posizione più vantaggiosa compete a Enna (744); la più svantaggiosa a Trapani (1542
km).
I
F
Figura 16 I capoluoghi di
provincia della regione
Sicilia.
B
D
C
Può
conveniente,
risultare
per
A
raffronti con altre
G
H
situazioni, esprimere il
valore della posizione
quale percentuale della
distanza complessiva
minima o di quella
massima, ed integrare il
quadro informativo con l’indice di Shimbel. Quest’ultimo è dato dal rapporto tra la
sommatoria di tutte le distanze e la distanza complessiva di una prefissata località i;
l’indice in questione è una misura sintetica diretta dell’accessibilità: cresce al crescere del
valore di posizione. Ordinando i risultati per valori decrescenti della posizione si
configura questo assetto gerarchico:
E

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
33
Capoluoghi Totali % min % max Indice di Shimbel
Enna 744.0 100.0 48.2 12.6
Caltanissetta 754.0 101.0 48.9 12.4
Agrigento 904.0 122.0 58.6 10.4
Catania 913.0 123.0 59.2 10.3
Ragusa 970 130.0 62.9 9.7
Siracusa 1132 152.0 73.4 8.3
Palermo 1147 154.0 74.4 8.2
Messina 1256.0 169.0 81.5 7.5
Trapani 1542 207.0 100.0 6.1
Il secondo passo da compiere consiste nella presa in esame di matrici delle
distanze più in linea con la realtà geografica, come quelle stradali, e di assegnare a quelle
secondo linee rette il ruolo di termini di riferimento o di metri di misura.
La nuova matrice (punto 2 del prospetto 2), pur sempre simmetrica come la
precedente, conferma la centralità di Enna e la perifericità di Trapani, nel contempo
variano in maniera apprezzabile i livelli di perifericità e si modificano alcune posizioni
nella graduatoria del valore di posizione (esempi Agrigento e Catania):
Capoluoghi % min % max Indice di Shimbel
Enna 100.0 49.5 12.0
Caltanissetta 102.0 50.7 11.8
Catania 110.0 54.5 10.9
Agrigento 117.0 57.9 10.3
Ragusa 131.0 65.0 9.2
Siracusa 140.0 69.5 8.6
Palermo 141.0 69.8 8.6
Messina 161.0 79.8 7.5
Trapani 202.0 100.0 6.0
Il confronto tra la matrice delle distanze stradali e quella per linee rette si traduce
in una nuova matrice (punto 31 del prospetto 2), quella degli indici di efficienza stradale:
l'efficienza della rete stradale che interconnette i capoluoghi siciliani appare modesta;
infatti, l'indice di efficienza nella media si attesta sul valore di 74.8%, con moderate
variazioni tra il caso più favorevole, quello di Catania (79.7%), e il caso peggiore, quello
di Caltanissetta (70.8%). Volendo considerare singoli collegamenti. quello più rettilineo
appare il tracciato Catania-Siracusa, invece la palma del più sinuoso compete a Enna-
Caltanissetta.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
34
L’apprezzamento del valore di posizione può ispirarsi a modalità differenti di
considerare le distanze: lineari (logica della mediana, o della scelta ottimale secondo
Isard); elevate al quadrato (logica del baricentro, o della scelta ottimale secondo Weber),
elevate a –1 (logica del potenziale e dei modelli gravitazionali); funzioni non lineari con
andamenti crescenti o decrescenti). Omettendo per brevità le matrici delle distanze al
quadrato, si ottiene il quadro informativo del prospetto xxx.
In merito, si osserva: le colonne A e C, come già visto in precedenza, propongono
una misura del grado di perifericità o di centralità con l’assegnare al capoluogo con
distanze complessive minime il valore l00 e ai restanti valori sempre superiori a l00, in
proporzione alle corrispondenti distanze complessive: il contrario vale per le colonne B e
D che riportano misure del grado di centralità con l00 quale valore massimo.
Operando con distanze lineari, il valore l00 compete comunque al capoluogo in
posizione mediana; con distanze elevate al quadrato, al capoluogo in posizione
baricentrica: nel caso della Sicilia le due posizioni coincidono in Enna.
Il passaggio dalle distanze per linee rette a quelle stradali comporta, siano esse
lineari o elevate al quadrato. un rilevante incremento di centralità per Catania (9 e 13),
seguita da Palermo e Siracusa, tutti capoluoghi perimetrali; per contro, è rilevante il
decremento per Caltanissetta, tipico capoluogo interno. Inoltre, si attenua la centralità
anche di Enna se si osserva il prevalere di valori positivi nelle colonne E, riservate alle
differenze dei gradi di centralità.
Il tutto porta a riconoscere nell’assetto stradale siciliano scelte umane e
condizioni naturali che premiano i capoluoghi metropolitani, Catania e Palermo, mentre
ostacolano Caltanissetta, Enna e Ragusa (-1 per le distanze lineari). Infine, il confronto
delle due sezioni porta a sottolineare la non perfetta corrispondenza, ad esempio in
termini di correlazione, tra distanze lineari e al quadrato: pertanto le seconde dovrebbero
essere impiegate soltanto in seguito a scelte motivate.
Quanto esposto finora ha significato soltanto se si attribuisce ai singoli
capoluoghi la stessa importanza. Rinunciando a questa ipotesi semplificatrice le case
cambiano in maniera significativa. Supponiamo di voler localizzare in uno di questi
capoluoghi un’attività di servizio che si offre a tutta la popolazione residente nelle varie
province, nelle quali si addensa per intero nei capoluoghi; assumiamo, inoltre, queste altre
ipotesi:
a) si utilizzano distanze stradali;
b) il costo di accesso è direttamente proporzionale alla distanza:
c) la tariffa di trasporto è unitaria;
d) la popolazione è quella residente al censimento 1991 ed è indicata in milioni
di abitanti.
Effettuati i calcoli richiesti (prodotti pidij) si ottiene la matrice, riportata nel
prospetto 3, che presenta quale elemento di novità la non simmetria rispetto alla
diagonale. Inoltre, il costo totale di accesso per i vari capoluoghi, a ben vedere, non è
altro che il valore dell’isodapana che passa per i suddetti: l’isodapana minima compete a

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
35
Palermo che pertanto occupa la posizione mediana e risulta il capoluogo più centrale;
all’estremo opposto si colloca Siracusa.
In breve: la fisionomia dei valori di posizione risulta del tutto stravolta (in termini
statistici si potrebbe dire che la correlazione è irrilevante) e si coglie un assetto
bipolarizzato (Palermo e Catania), mentre con le sole distanze stradali l’assetto risultava
monopolarizzato:
Costo totale Dm % min % max
Palermo 470.5 94.7 100 38.4
Agrigento 485.2 97.7 103 39.6
Messina 565 114 120 46.1
Trapani 583 117 124 47.6
Catania 600.7 121 128 49.1
Ragusa 738 149 157 60.3
Enna 867.9 175 184 70.9
Caltanissetta 943.7 190 201 77.1
Siracusa 1225 247 260 100

95
95
90
85
90
85
75
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
65
60
75
65
60
55
55
50
50
48.199
55
49.4982
55
60
60
65
36
65
70
80
Figura 17Distanze
medie secondo linee
rette in % del massimo.
Figura 18 Distanze
medie stradali in %
del massimo.

95
95
90
90
85
80
80
70
60
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
75
50
45
70
37.7958
69.2994
75
37
45
80
50
60
Figura 19Distanze
medie proporzionali
alle radici quadrate
delle distanze stradali
in % del massimo.
Figura 20 Distanze
medie stradali
ponderate con la
popolazione residente
in % del massimo.

30
29.0308
35
45
55
65
70
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
90
95
55
50
Prospetto 2 Sicilia: matrici delle distanze e dell'indice di efficienza.
45
38
Figura 21 Flussi in
ingresso dei potenziali
demografici, computati
con distanze stradali, in
% del massimo.
1- Distanze secondo linee rette
Capoluoghi A B C D E F G H I Totali % min %
max
Agrigento A 0 44 129 62 184 96 101 156 132 904 122.0 58.6
Caltanissetta B 44 0 88 19 140 101 82 123 156 754 101.0 48.9
Catania C 129 88 0 72 81 175 73 54 240 913 123.0 59.2
Enna D 62 19 72 0 122 109 80 112 169 744 100.0 48.2
Messina E 184 140 81 122 0 190 154 123 262 1256 169.0 81.5
Palermo F 96 101 175 109 190 0 183 220 73 1147 154.0 74.4
Ragusa G 101 82 73 80 154 183 0 65 232 970 130.0 62.9
Siracusa H 156 123 54 112 123 220 65 0 279 1132 152.0 73.4
Trapani I 132 156 240 169 262 73 232 279 0 1542 207.0 100.0
45
40
Totali 904 753 912 745 1256 1147 970 1132 1543 9362
Indice di Shimbel 10.36 12.43 10.27 12.57 7.45 8.16 9.65 8.27 6.07

2- distanze stradali
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
39
Capoluoghi A B C D E F G H I Totali % min
Agrigento A 55 165 90 260 125 135 215 170 1215 117.0 57.9
Caltanissetta B 55 110 35 205 125 130 165 240 1065 102.0 50.7
Catania C 165 110 85 95 205 105 60 320 1145 110.0 54.5
Enna D 90 35 85 180 135 130 140 245 1040 100.0 49.5
Messina E 260 205 95 180 235 200 155 345 1675 161.0 79.8
Palermo F 125 125 205 135 235 270 260 110 1465 141.0 69.8
Ragusa G 135 130 105 130 200 270 95 300 1365 131.0 65.0
Siracusa H 215 165 60 140 155 260 95 370 1460 140.0 69.5
Trapani I 170 240 320 245 345 110 300 370 2100 202.0 100.0
Totali 1215 1065 1145 1040 1675 1465 1365 1460 2100 12530
Indice di Shimbel 10.31 11.77 10.94 12.05 7.48 8.55 9.18 8.58 5.97
3- indice di efficienza per 100 - distanze lineari
Capoluoghi A B C D E F G H I Totali % min %
max
Agrigento A 80.0 78.2 68.9 70.8 76.8 74.8 72.6 77.6 74.4 105.1 93.3
Caltanissetta B 80.0 80.0 54.3 68.3 80.8 63.1 74.5 65.0 70.8 100.0 88.8
Catania C 78.2 80.0 84.7 85.3 85.4 69.5 90.0 75.0 79.74 112.6 100.0
Enna D 68.9 54.3 84.7 67.8 80.7 61.5 80.0 69.0 71.54 101.0 89.7
Messina E 70.8 68.3 85.3 67.8 80.9 77.0 79.4 75.9 74.99 105.9 94.0
Palermo F 76.8 80.8 85.4 80.7 80.9 67.8 84.6 66.4 78.29 110.6 98.2
Ragusa G 74.8 63.1 69.5 61.5 77.0 67.8 68.4 77.3 71.06 100.4 89.1
Siracusa H 72.6 74.5 90.0 80.0 79.4 84.6 68.4 75.4 77.53 109.5 97.2
Trapani I 77.6 65.0 75.0 69.0 75.9 66.4 77.3 75.4 73.43 103.7 92.1
max 80.0 80.8 90.0 84.7 85.3 85.4 77.3 90.0 77.6
min 68.9 54.3 69.5 54.3 67.8 66.4 61.5 68.4 65.0
%
max

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
Prospetto 3 Centralità dei capoluoghi provinciali della regione Sicilia.
40
Intitolazione delle colonne
A (linee rette): 100 distanze totali/min; B (linee rette): 100 (100 A/max); C (stradali): 100 distanze
totali/min; D (stradali): 100 (100 A/min); E: colonna D - colonna B.
distanze lineari distanze elevate al quadrato
capoluoghi A B C D E A B C D E
Agrigento 122 82 117 86 4 140 71 131 76 5
Caltanissetta 101 99 102 98 -1 103 97 107 93 -4
Catania 123 81 110 91 10 159 63 131 76 13
Enna 100 100 100 100 0 100 100 100 100 0
Messina 169 59 161 62 3 261 38 238 42 4
Palermo 154 65 141 71 6 221 45 183 55 10
Ragusa 130 77 131 76 -1 172 58 168 60 2
Siracusa 152 66 140 71 5 240 42 204 49 7
Trapani 207 48 202 50 2 399 25 371 27 2
Prospetto 4 L’accessibilità.
Prodotti della popolazione, in milioni di abitanti, per le distanze stradali.
Pop. A B C D E F G H I
Agrigento 0.43 A 0.0 23.5 70.4 38.4 110.9 53.3 57.6 91.7 72.5
Caltanissetta 1.22 B 67.4 0.0 134.7 42.9 251.1 153.1 159.2 202.1 293.9
Catania 0.65 C 106.7 71.2 0.0 55.0 61.5 132.6 67.9 38.8 207.0
Enna 0.48 D 42.9 16.7 40.5 0.0 85.7 64.3 61.9 66.7 116.7
Messina 0.28 E 72.4 57.0 26.4 50.1 0.0 65.4 55.7 43.1 96.0
Palermo 0.19 F 23.3 23.3 38.2 25.1 43.8 0.0 50.3 48.4 20.5
Ragusa 1.04 G 139.8 134.6 108.7 134.6 207.1 279.6 0.0 98.4 310.7
Siracusa 0.29 H 62.3 47.8 17.4 40.6 44.9 75.3 27.5 0.0 107.2
Trapani 0.40 I 68.3 96.5 128.6 98.5 138.7 44.2 120.6 148.7 0.0
Totali 4.97 583.0 470.5 565.0 485.2 943.7 867.9 600.7 738.0 1224.5
Dm 117.4 94.7 113.8 97.7 190.0 174.8 121.0 148.6 246.6
Radice quadrata delle distanze stradali
A B C D E F G H I Totali % min % max
Agrigento A 0.0 7.4 12.8 9.5 16.1 11.2 11.6 14.7 13.0 96.4 108.8 75.5
Caltanissetta B 7.4 0.0 10.5 5.9 14.3 11.2 11.4 12.8 15.5 89.1 100.6 69.7

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
41
Catania C 12.8 10.5 0.0 9.2 9.7 14.3 10.2 7.7 17.9 92.5 104.5 72.4
Enna D 9.5 5.9 9.2 0.0 13.4 11.6 11.4 11.8 15.7 88.5 100.0 69.3
Messina E 16.1 14.3 9.7 13.4 0.0 15.3 14.1 12.4 18.6 114.1 128.9 89.4
Palermo F 11.2 11.2 14.3 11.6 15.3 0.0 16.4 16.1 10.5 106.7 120.5 83.5
Ragusa G 11.6 11.4 10.2 11.4 14.1 16.4 0.0 9.7 17.3 102.3 115.5 80.1
Siracusa H 14.7 12.8 7.7 11.8 12.4 16.1 9.7 0.0 19.2 104.6 118.2 82
Trapani I 13.0 15.5 17.9 15.7 18.6 10.5 17.3 19.2 0.0 127.7 144.2 100
Totali 96.4 89.1 92.5 88.5 114.1 106.7 102.3 104.6 127.7 921.9 1041.2
Indice di Shimbel 9.6 10.4 10.0 10.4 8.1 8.6 9.0 8.8 7.2
Costo di accesso con tariffe proporzionali alle radici quadrate delle distanze stradali
Pop. A B C D E F G H I
Agrigento 0.43 A 0.0 3.2 5.5 4.0 6.9 4.8 5.0 6.3 5.6
Caltanissetta 1.22 B 9.1 0.0 12.8 7.2 17.5 13.7 14.0 15.7 19.0
Catania 0.65 C 8.3 6.8 0.0 6.0 6.3 9.3 6.6 5.0 11.6
Enna 0.48 D 4.5 2.8 4.4 0.0 6.4 5.5 5.4 5.6 7.5
Messina 0.28 E 4.5 4.0 2.7 3.7 0.0 4.3 3.9 3.5 5.2
Palermo 0.19 F 2.1 2.1 2.7 2.2 2.9 0.0 3.1 3.0 2.0
Ragusa 1.04 G 12.0 11.8 10.6 11.8 14.6 17.0 0.0 10.1 17.9
Siracusa 0.29 H 4.2 3.7 2.2 3.4 3.6 4.7 2.8 0.0 5.6
Trapani 0.40 I 5.2 6.2 7.2 6.3 7.5 4.2 7.0 7.7 0.0
Totali 4.97 50.0 40.6 48.1 44.7 65.7 63.4 47.8 56.9 74.2
D medie 0.52 0.46 0.52 0.50 0.58 0.59 0.47 0.54 0.58
potenziali distanze stradali
A B C D E F G H I
Agrigento A 0.018 0.006 0.011 0.004 0.008 0.007 0.005 0.006
Caltanissetta B 0.018 0.009 0.029 0.005 0.008 0.008 0.006 0.004
Catania C 0.006 0.009 0.012 0.011 0.005 0.010 0.017 0.003
Enna D 0.011 0.029 0.012 0.006 0.007 0.008 0.007 0.004
Messina E 0.004 0.005 0.011 0.006 0.004 0.005 0.006 0.003
Palermo F 0.008 0.008 0.005 0.007 0.004 0.004 0.004 0.009
Ragusa G 0.007 0.008 0.010 0.008 0.005 0.004 0.011 0.003
Siracusa H 0.005 0.006 0.017 0.007 0.006 0.004 0.011 0.003
Trapani I 0.006 0.004 0.003 0.004 0.003 0.009 0.003 0.003
Totali
Medie armoniche delle
0.065 0.087 0.072 0.083 0.043 0.049 0.055 0.058 0.035
distanze (n = 8) 122.8 92.3 111.7 96.0 184.3 162.7 145.8 137.8 226.7

Potenziali popolazione/distanze stradali
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
42
Pop. A B C D E F G H I
Agrigento 0.43 A 0.000 0.008 0.003 0.005 0.002 0.003 0.003 0.002 0.003
Caltanissetta 1.22 B 0.022 0.000 0.011 0.035 0.006 0.010 0.009 0.007 0.005
Catania 0.65 C 0.004 0.006 0.000 0.008 0.007 0.003 0.006 0.011 0.002
Enna 0.48 D 0.005 0.014 0.006 0.000 0.003 0.004 0.004 0.003 0.002
Messina 0.28 E 0.001 0.001 0.003 0.002 0.000 0.001 0.001 0.002 0.001
Palermo 0.19 F 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.001 0.001 0.002
Ragusa 1.04 G 0.008 0.008 0.010 0.008 0.005 0.004 0.000 0.011 0.003
Siracusa 0.29 H 0.001 0.002 0.005 0.002 0.002 0.001 0.003 0.000 0.001
Trapani 0.40 I 0.002 0.002 0.001 0.002 0.001 0.004 0.001 0.001 0.000
Potenziali (abitanti per km) 4.97 0.045 0.041 0.039 0.062 0.026 0.030 0.029 0.038 0.018
Medie armoniche delle
distanze ponderate con la
popolazione 109.3 119.7 127.0 80.2 190.5 167.3 172.0 130.4 271.2

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
Distanze e mosaici amministrativi
43
In occasione delle Giornate di studio sulla Geografia Politica e sulla Geoplitica,
organizzate dalla Società Geografica Italiana nel marzo 1993 (Ferro, 1995) lo scrivente
esprimeva la ferma convinzione della specifica rilevanza, in seno alla geografia politica,
dello studio dei mosaici amministrativi con il superamento del tradizionale approccio —
vincolato alle proprietà misurabili delle aree come contenitori oppure quali singole unità
di studio — tramite l’esplicitazione della loro forma funzionale (Massimi, 1994) e ancor
più della distribuzione nel territorio nazionale delle singole tessere, o di particolari
aggregati, per i riflessi in termini di privilegio o di ingiustizia spaziale che le
configurazioni esistenti impongono ai cittadini residenti nelle unità amministrative
distinte per livelli gerarchici, come i comuni rispetto alle province (Massimi, 1995).
Alla luce di questa premessa si precisa che i mosaici amministrativi sono, in
concreto, suddivisioni alquanto particolari dello spazio geografico, in ragione della
univocità della loro definizione spaziale e funzionale – una sorta di condizione eccezionale
nel complesso quadro definitorio del settore (Da Pozzo, 1978) –, sia quando essi
mosaici sono visti nel loro insieme all'interno di un organismo statale, sia allorché sono
esaminati individualmente e sia, infine, nel momento in cui sono considerati quali
aggregati di tessere di rango inferiore.
territorio
centro capoluogo
confine
Figura 22 Elementi spaziali costitutivi di una tessera elementare in un mosaico amministrativo
La qualità di una tessera si completa chiamando in causa i poteri spaziali attribuiti dalle leggi vigenti e i
contenuti sociali,culturali, economici ed ambientali (ivi inclusi i segni storici) che in essa si rinvengono.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
44
L'univocità discende dalla loro esistenza in virtù di atti d'imperio del potere
politico, che precisa di ciascun mosaico l'estensione areale, o superficie territoriale, la
linea di confine, le norme di comportamento (e le sanzioni per i trasgressori) cui si
devono adeguare gli individui e le comunità organizzate, residenti o meno, nelle loro
azioni, amministrativamente rilevanti all'interno del territorio di riferimento (figura 23).
Figura 23 Il mosaico
amministrativo delle province
siciliane.
I
F
D
C
Altro elemento
distintivo, seppure con
A B
qualche rara deroga, è
l'accentuata polarizzazione,
conseguente all'accen-
H tramento delle funzioni in
G
un luogo del tutto singolare,
ben distinto da tutti gli altri
con la qualifica di capoluogo,
tale per atto
legislativo (sulla rilevanza geografica ed economica: Nice, 1958 rist. 1991, pp. 156-161).
Nel contempo, le tessere dei mosaici amministrativi sono i luoghi
elementari di uno stato del quale, osserva Agnew (1991, p. 43), costituiscono la
geografia della sua egemonia, sicché "lo stato sopravvive e prospera nella misura
in cui può tenere insieme quella coalizione territoriale di luoghi che gli conferisce
forma geografica".
Lo spazio amministrativo, inoltre, per sua natura è assolutamente preciso,
determinato e vincolato: i comportamenti anomali sono soggetti a sanzione, e le pur
sempre possibili contestazioni territoriali sono rigidamente inquadrate e risolte lungo
prefissati itinerari processuali e legislativi.
Tutto ciò in stadi storici evoluzionari; durante le rivoluzioni, le guerre e i conflitti
etnici – è il triste caso della ex Jugoslavia in questi ultimi anni – l'incertezza del diritto si
riflette nella forma "sfuocata" degli stati e del loro disegno interno.
Tuttavia, la precisione delle linee di confine non implica semplicità delle trame
amministrative, specie nei Paesi sorti, come l'Italia e la Germania, dalla fusione di
precedenti unità statali, difformi per criteri di organizzazione amministrativa (ad esempio
lo Stato della Chiesa e quello Sabaudo nell'Italia preunitaria), e in quelli con brusche
variazioni locali del carico demografico e delle risorse.
Al riguardo si richiamano, da un lato, le lunghe e pazienti ricerche applicative
tese verso più razionali disegni dei mosaici amministrativi svolte da Christaller prima,
E

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
45
durante e dopo l'ultimo conflitto mondiale (rassegna in Preston, 1985) per la Germania e
da Ferro (1979 e 1993) e Scotoni (1979) per l’Italia, in tempi più recenti, che avrebbero
meritato più ampio seguito.
Per un altro verso, è indispensabile sottolineare l'abbondantissima letteratura in
tema di localizzazione/assegnazione, quasi sempre direttamente correlabile con i mosaici
amministrativi e con l'accessibilità quale concetto pervasivo (per un primo orientamento;
in Wilson e Bennett, 1985, criteri analitici e vasta bibliografia; approfondimenti in
Hanson e Schwab, 1987).
Lo Stato per specifici fatti amministrativi – come la giustizia e le imposte - può
attribuire ai suoi uffici periferici – competenza territoriale su aggregati di tessere
elementari tutte ricadenti in un dato mosaico amministrativo, o in casi eccezionali su parti
di tessere elementari. Esempi al riguardo sono le giurisdizioni territoriali delle preture, dei
tribunali, delle corti d’appello, o degli uffici distrettuali delle imposte dirette, che vanno
intese come aggregati amministrativi.
Gli aggregati su base amministrativa sono, invece, gli aggregati di tessere
conseguenti alla formazione di insiemi omogenei per finalità non amministrative, almeno
nelle prime intenzioni (salvo poi caricarsi di ben altre attribuzioni per l’inerzia polticoburocratica),
ma per esigenze diverse, quali la raccolta di informazioni statistiche (le
regioni agrarie costituiscono un esempio di tali insiemi).
Gli aggregati interamministrativi, sono simili ai precedenti, salvo la possibilità
di riunire tessere elementari appartenenti a mosaici diversi (i sistemi locali del lavoro,
proposti dall’ISTAT-IRPET nel 1986 e nel 1991, offrono in merito un’ampia casistica).
Completate queste succinte considerazioni preliminari si prende in
considerazione quale caso concreto il mosaico delle province siciliane per rilevare in esso
l’esistenza di unità contigue, quelle che hanno un confine in comune, e non contigue,
quelle prive di un confine in comune.
Graficamente, la sussistenza di una relazione di contiguità, si esprime con un arco
che attraversa le linee comuni di confine in maniera da collegare due punti posizionati
all’interno di tessere contigue (per semplicità sono stati utilizzati i capoluoghi di
provincia, ma il fatto è del tutto ininfluente). Effettuate tutte le operazioni, ed eliminato il
contorno amministrativo, si ottiene un grafico del tutto particolare, costituito da punti
nodali nei quali convergono gli archi che esprimono le relazioni di contiguità. Tale
grafico prende il nome di grafo duale del mosaico amministrativo Province Siciliane.
Uguali contenuti informativi circa le relazioni di contiguità sono presenti nella
matrice riportata nel prospetto zzzz, costruita confrontando ciascuna provincia con tutte le
restanti ed assegnando il valore 1 quando sussiste la condizione di contiguità e il valore
zero in caso contrario.
Le sommatorie secondo le righe (o secondo le colonne) indicano il numero
complessivo, o contact number (cn in forma abbreviata) delle relazioni di contiguità. Nel

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
46
caso delle province siciliane i valori più elevati competono a Palermo, Caltanissetta e
Catania (cn pari a 5), i valori più bassi a Siracusa e Trapani (cn pari a 2).
La matrice in questione contiene importanti informazioni implicite, enucleabili
con la procedura matematica delle potenze. In particolare, la distanza minima, in termini
di archi, necessari per collegare due prefissate unità amministrative. La distanza più
elevata nel caso d’esempio è quella che intercorre tra Siracusa e Trapani.
Prospetto 5 Matrice di contiguità tra le province siciliane
1. Matrice di contiguità.
Capoluoghi A B C D E F G H I Totali
Agrigento A 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3
Caltanissetta B 1 0 1 1 0 1 1 0 0 5
Catania C 0 1 0 1 1 0 1 1 0 5
Enna D 0 1 1 0 1 1 0 0 0 4
Messina E 0 0 1 1 0 1 0 0 0 3
Palermo F 1 1 0 1 1 0 0 0 1 5
Ragusa G 0 1 1 0 0 0 0 1 0 3
Siracusa H 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2
Trapani I 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2
Totali 3 5 5 4 3 5 3 2 2 32
2. Configurazione della matrice di contiguità dopo aver calcolato le potenze della matrice iniziale; l’elemento
generico dij indica la distanza minima intercorrente tra le province i e j in termini di linee di confine. La
distanza massima (4 nel caso d’esempio, tra Siracusa e Trapani) prende il nome di numero di Konig ed
individua il diametro della matrice.
Capoluoghi A B C D E F G H I Totali
Agrigento A 0 1 2 2 2 1 2 3 1 14
Caltanissetta B 1 0 1 1 2 1 1 2 2 11
Catania C 2 1 0 1 1 2 1 1 3 12
Enna D 2 1 1 0 1 1 2 2 2 12
Messina E 2 2 1 1 0 1 2 2 2 13
Palermo F 1 1 2 1 1 0 2 3 1 12
Ragusa G 2 1 1 2 2 2 0 1 3 14
Siracusa H 3 2 1 2 2 3 1 0 4 18
Trapani I 1 2 3 2 2 1 3 4 0 18
Totali 14 11 12 12 13 12 14 18 18 124
Indice di Shimbel 8.9 11 10 10 9.5 10 8.9 6.9 6.9

I
I
Cenni sui grafi in geografia
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
F
F
A
A
B
B
D
D
47
G
G
C
C
H
H
E
E
Figura 24 Relazioni di
contiguità tra le province
siciliane.
Figura 25 Grafo duale delle
province siciliane.
In estrema sintesi un grafo è una rappresentazione grafica costituita da un insieme
di simboli puntiformi, i vertici o nodi V, e simboli lineari, gli archi o percorsi E, che
esprimono le relazioni che sussistono tra i punti nodali.
Esistono due tipi fondamentali di grafi: i grafi planari sono quelli nei quali gli
archi non si intersecano; i grafi planari sono quelli nei quali le intersezioni sono
consentite.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
48
Le strutture fondamentali sono tre: i nodi isolati; gli alberi costituiti da sequenze
di nodi e archi che non si chiudono a limitare uno spazio interno; i circuiti, formati da
almeno tre nodi interconnessi in maniera da delimitare uno spazio interno.
Varianti particolari sono i grafi orientati, nei quali le relazioni vanno da un nodo
ad un altro,
.
Figura 26 Esempi di grafi.
Per i grafi planari la relazione fondamentale, dovuta ad Eulero, impone (Johnson
e Glenn, 1972)
V - E + C = 2
per grafi completi. Da essa si deriva un insieme di misure topologiche elementari (il
numero ciclomatico, gli indici alfa, beta e gamma, ad esempio; applicazioni in Celant,
1974 e Buzzetti e Staluppi, 1976) o complesse (Haggett e Chorley, 1969, pp. 35-47;
Unwin, 1986, pp. 126-178) molto interessanti, ma non sempre utilizzabili correttamente
nei casi concreti.
completare
I
F
A
B
D
G
H
C
E

Figura 27 Esempio di grafo planare.
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
49
I grafi planari sono qualificati da questi indici:
numero ciclomatico µ = E-V+G
indice α = µ/(2V-5);
indice β = E/V;
indice γ = E/3(n-2)
Per il caso d’esempio, i vertici V sono 9, gli archi E sono 16, i circuiti C sono 8, mancano i subgrafi non
connessi G; pertanto …..
La legge di rifrazione nei trasporti
Il punto di partenza per le considerazioni da sviluppare nel seguito è costituito da
un fatto ben noto:su una superficie piana ed omogenea, perfettamente congruente con
quella definita dagli assiomi di Euclide, la distanza minima tra due luoghi puntiformi A e
B è il segmento di retta AB.
Questa considerazione svolge un ruolo fondamentale nella costruzione di modelli
per interpretare l'organizzazione di paesaggi estremamente semplificati (esempi sono
quelli proposti da Weber, Isard, Von Thünen e Christaller), ma deve essere abbandonata
(seppure non del tutto eliminata per la sua attitudine a svolgere il ruolo di metro di misura
degli scostamenti tra l'universo di Euclide e quello delle esperienze quotidiane)
allorquando si cerca di approssimare la complessità del mondo reale.
A
D
E
F
G
B
C
Mondo reale, quello della
superficie terrestre, nel quale le
stesse caratteristiche topografiche
locali possono imporre uno
scostamento dalla rettilineità per
rendere minima la distanza tra due
luoghi separati da una barriera
orografica (vedi figura xxx)
Figura 28 Il percorso più breve su una
superficie topografica disomogenea.
Il percorso più breve tra A e B, in presenza di una barriera orografica non è necessariamente quello rettilineo
(che si sviluppa sul tracciato ADEFGB); al contrario, può risultare più breve il percorso d’aggiramento ACB.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
50
Distorsioni dalla rettilineità sono generate anche da altre barriere naturali, come i
corsi d'acqua, per l'inadeguatezza delle risorse economiche e/o delle capacità tecniche. Al
riguardo tutta una serie di illuminanti esempi si colgono esaminando i tracciati viari nella
valle del Po, dell'Adige o del Tevere, per limitarci ai nostri fiumi nazionali più importanti.
In generale, è possibile omologare a rilievi tutte le barriere geografiche, confrontando le
distanze effettive stradali ls con quelle rettilinee lr, ponendo le prime come lati di
triangoli che hanno per basi le distanze rettilinee:
l'intensità assoluta b della barriera geografica, in termini lineari risulta pari,
(nell'esempio proposto in figura xxx si ottiene 3, 32 km, avendo ipotizzato una distanza
stradale di 12 km e una distanza rettilinea di 10 km), a b = ((1/2ls) 2 +(1/2lr) 2 ) 0.5
Da precisare che, in genere, sono preferite misure più semplici; quali gli
indicatori finalizzati a valutare la sinuosità o l’efficienza.
1 km
Distanza
stradale
Distanza per
linea retta
A H
B
C
Distanza
stradale
Figura 29 Apprezzamento in
termini di barriere orografiche
della sinuosità di una distanza
stradale.
Deviazioni dalla
rettilineità possono essere
originate dal gioco tra
interessi locali e interessi
globali in presenza di
risorse limitate.
Il problema è
esemplificato dalla figura
xxx che propone, al
riguardo, il caso di tre località ABC di pari importanza e prive di collegamenti: la
costruzione della rete AD, DB e DC risulterebbe punitiva per C; se, invece, ci si limitasse
agli archi stradali AC e CB, risulterebbero svantaggiate A e B.
A B
C
E
D
Figura 30 Viabilità e giustizia spaziale.
Pertanto, se si esclude per
motivi economici la possibilità di
collegamenti rettilinei tra le tre
località, la soluzione più equa

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51
porta alla configurazione AE, EB e EC, nella quale K è un punto sulla congiungente CD
che assicura l'uguaglianza delle barriere geografiche nella viabilità tra A, B e C (gli
angoli AEC, CEB e AED devono essere uguali a 120°). L'arretramento dell'autostrada
adriatica della linea di costa nel tratto Tortoreto-Pineto e nei pressi di Pescara risponde ad
una tale problematica, perché appare giustificata non tanto da fattori fisici o esigenze
urbanistiche, quanto dalla volontà di accostare l'autostrada a Teramo, Atri e Chieti.
Finora abbiamo considerato sistemi unimodali di trasporto, ipotizzando
implicitamente anche qualità omogenee. Nella realtà delle cose, invece, puo nascere
l'alternativa tra modalità (ad esempio tra strada e ferrovia) o tra linee diverse dello stesso
sistema: Pescara e Chieti Scalo sono collegate sia da una tratta della linea ferroviaria
Pescara-Roma, e sia da due strade con capacità di traffico diverse, l'asse attrezzato
dell'ASI Val Pescara, un'arteria di tipo autostradale a scorrimento veloce, e la S.S.
Tiburtina-Valeria. Pertanto, lo spostamento di persone e di merci tra le due località è la
conseguenza di un'operazione di scelta nella quale si pongono a confronto, in maniera piu
o meno consapevole, una molteplicità di elementi di valutazione. Essi sono riconducibili
alla convenienza economica, alla velocità (esprimibile per alcuni viaggiatori in termini
monetari), alla sicurezza e all'amenità, e per contro allo stress della modalità prescelta.
Gli anni Cinquanta e Sessanta hanno visto la ricerca territoriale, specie quella
teorica, porre l’accento sugli aspetti più propriamente economici connessi agli spazi
tariffari, rinnovando la stagione di ricerca dei primi anni del secolo, che aveva prodotto
con le opere del Weber i frutti più significativi (ma rilevanti sono anche i contributi di
Hoover). Ora lo studioso di riferimento è Lösch (conosciuto soprattutto per via della
traduzione in inglese, nel 1954, della sua opera principale), che si muove nel filone degli
economisti di cultura tedesca…
In via preliminare, si rammenta che già agli inizi del Novecento era stata notata la
deviazione dalla rettilineità nelle linee viarie in presenza di ostacoli e la formazione di
spezzate i cui singoli segmenti si orientano in direzione delle aree più semplici da
attraversare (Werner, 1966; Haggett e Chorley, 1969, p.219), e che altri autori (in
particolare il Palander, al quale si richiamano Paelinck e Nijkamp, 1975, p. 50) avevano
rilevato le analogie tra la rifrazione nell’ottica e quella nei trasporti, tuttavia è al Lösch
che si riconosce il merito di aver affrontato il problema in maniera esauriente e corretta.
Terraferma
N
Scali intermedi A B
Mare
M
Figura 31 La legge di rifrazione
negli spazi tariffari.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
52
Il punto di partenza è costituito dalla constatazione che nel mondo dei trasporti si
riconoscono fasce distinguibili per tariffe differenziate o per velocità diverse, e
conseguentemenete anche tempi di percorrenza dissimili,. Le une e le altre implicano
tracciati finali ottimali non rettilinei tra due località allorquando le stesse si icollocano in
fasce non omogenee.
Consideriamo, per primo, un esempio concreto, visualizzato in figura xxx, nella
quale il collegamento tra i luoghi A e B può avvalersi di 10 alternative (ANB, …, AMB)
che, in termini lineari, vanno dal minimo del tracciato rettilineo ANB al massimo del
tracciato lungo i cateti, AM e BM, del triangolo rettangolo ABM.
In termini di costo complessivo di trasporto, invece, tutte le alternative possono
risultare ottimali se si ipotizzano due fasce tariffarie diverse, giustificate, ad esempio, da
una prima fascia di attraversamento marittimo e da una seconda di attraversamento
terrestre ( vedi figura).
Simuliamo ora sei diverse combinazioni di tariffe per unità di distanza:
Tariffa 1 (10 via terra e 10 via mare)
Tariffa 2 (10 via terra e 8 via mare)
Tariffa 3 (10 via terra e 6 via mare)
Tariffa 4 (10 via terra e 4 via mare)
Tariffa 5 (10 via terra e 2 via mare)
Tariffa 6 (10 via terra e 1 via mare)
e calcoliamo i costi complessivi di trasporto sulla base delle indicazioni riportate in
prospetto circa la lunghezza delle singole tratte, segnalando con un asterisco l'itinerario
ottimale (minimo costo complessivo).
Prospetto 6 Elementi per l’esemplificazione della legge di rifrazione nei trasporti.
via mare via terra T1 T2 T3 T4 T5 T6
N 12.73 12.73 254.6 229.1 203.6468 178.1909 152.74 140.0071
O1 13.45 12.04 255 228.04 201.1377 174.2304 147.32 133.8696
O2 14.21 11.40 256.1 227.72 199.2936 170.8682 142.44 128.2302
O3 15.00 10.82 258.2 228.17 198.1665 168.1665 138.17 123.1665
O4 15.81 10.30 261.1 229.45 197.8246 166.2019 134.58 118.7677
O5 16.64 9.85 264.9 231.64 198.3485 165.0618 131.78 115.1319
O6 17.49 9.49 269.8 234.81 199.8255 164.8398 129.85 112.3612
O7 18.36 9.22 275.8 239.06 202.3408 165.6257 128.91 110.553
O8 19.24 9.06 282.9 244.44 205.9662 167.4954 129.02 109.7892
M 20.12 9.00 291.2 251 210.7477 170.4984 130.25 110.1246

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53
Effettuate tutte le operazioni aritmetiche richieste risulta evidente come, per
ciascuno degli itinerari, sussista una condizione ottimale dipendente da una particolare
combinazione delle tariffe via terra e via mare 7 .
A parere di Lösch, uno spazio tariffario è analogo a uno spazio fisico qualificato
da disomogeneità per fasce all'attraversamento dei raggi luminosi: i raggi luminosi per
loro natura si propagano per segmenti di retta, ma tali segmenti non sono allineati in
quanto la propagazione del raggio luminoso subisce un effetto di rifrazione al passare da
una fascia con velocità Vl ad altra fascia con velocità V2, diversa da V. In maniera
analoga si comporterebbero i trasporti per il susseguirsi nel mondo reale di fasce
differenti per velocità o tariffe. Queste ultime, per cogliere in pieno la concettualizzazione
di Lösch, devono essere espresse in maniera similare:
velocità = spazio percorso nell'unità di tempo
tariffa = spazio percorso nell'unità di costo.
A conclusione si richiama una motivazione che fa assegnare un posto di
grande rilievo alla costruzione intellettuale di Lösch: infatti, essa rende possibile
esprimere in termini economici (come rapporti tra tariffe) le barriere geografiche
che, interponendosi tra due località, spingono all'utilizzo di tracciati non rettilinei,
a prescindere dalla natura (fisica o socio-economica) delle barriere.
Al Werner si deve una generalizzazione del problema in esame, molto
interessante sul piano concettuale, ma poco praticabile nei casi concreti. Si tratta di
ipotizzare un territorio pianeggiante suddiviso in un numero F di fasce tariffarie con costi
unitari di trasporto K costanti all’interno delle singole fasce; il costo totale di trasporto è
dato dalla relazione:
C = Σj Kj lj
nella quale lj è la lunghezza del percorso che si compie nella generica fascia j 8 .
Interesse presenta anche l’approccio di Wardrop (in Herman, 1961, citato in
Haggett e Chorley, 1969, p.222), consistente nella ricerca del costo di trasporto minimo
7 Si può dimostrare con strumenti matematici che, se le tariffe sono diverse, la soluzione ottimale comporta
sempre uno scostamento dal percorso rettilineo tra A e B, e che tale soluzione cade sempre in un punto
intermedio tra N e M.
8 Ricercare il minimo di una funzione del genere non è cosa facile per il gran numero di combinazioni da
esaminare e la complessità dei calcoli, ma è possibile ricorrere ad uno strumento geometrico (descritto anche
in Haggett e Chorley, 1969, p.221), ideato dal Werner, che per successive iterazioni porta alla soluzione
desiderata.

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tra due punti su una superficie piana in presenza della possibilità di scelta tra itinerari
alternativi.
54
Ridisegnare figura
Al riguardo, la fig. propone un esempio ipotetico in termini non di minimo costo,
ma piuttosto di minimo tempo di percorso: in uno spazio isotropico il percorso più
conveniente è AB, ma la costruzione di un’autostrada può rendere più conveniente
l’itinerario ACB. Infatti se AB si percorre in 30 minuti, AC in 14 e CB in 10, con il
secondo itinerario si ottiene un totale di 24 minuti.
In generale lo spazio risulta discriminabile in ambiti particolari delimitati da
confini poggianti su archi d’iperbole: nella figura la regione A è dimostrativa
dell’ambito nel quale risulta più conveniente servirsi dell’autostrada per raggiungere il
luogo B; la regione B a sua volta è caratterizzata da una linea di confine che delimita i
luoghi che possono essere raggiunti da A in maniera più conveniente con l’uso
dell’autostrada.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
55
Convergenze spazio/tempo e spazio/costo
La ripresa dei traffici segna, sul piano geografico ed economico, la fine del
Medioevo e il progressivo affermarsi, per secoli con incertezze e profondi divari
sociospaziali, ma da diverse decadi con ritmi vieppiù sostenuti e modalità pervasive, di un
duplice processo di convergenza nel campo dei trasporti delle merci e della
comunicazione di informazioni: la convergenza spazio/costo di trasporto 9 , sia in termini
oggettivi (assumendo costante il valore della moneta) sia soggettivi (in termini di quota
del reddito disponibile), e la convergenza spazio/tempo di trasporto 10 o di tempo
necessario per l’invio e il ricevimento di un messaggio.
20
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70
costo in A 1 costo in B 1 costo in A 2
costo in B 2 costo in A 3 costo in B 3
A B
Figura 32 Conseguenze nella
concorrenza spaziale della contrazione
di tariffe di trasporto.
Commento nel testo.
In merito, sono
disponibili numerose ricerche
specifiche cui sarebbe possibile
attingere, ma per cogliere il
nocciolo del problema ci si può
limitare al confronto tra i costi e i
tempi, che i Regnanti di Spagna
dovevano affrontare nelle loro
comunicazioni con i Governatori
delle colonie sudamericane, e
9 Circa la convergenza spazio-costo, si annota che essa è totale, dal punto di vista del consumatore, quando i
costi sono costanti al variare della distanza e per qualsiasi distanza: in tal caso le risorse da movimentare, pur
ubicate nello spazio fisico, diventano ubiquitarie nello spazio della localizzazione degli impianti produttivi.
Un caso esemplare è quello delle tariffe postali: inviare una cartolina illustrata con la posta ordinaria ha costo
uguale sia se è indirizzata al vicino di casa, sia ad un destinatario residente nel più lontano comune italiano
rispetto al mittente.Considerazioni analoghe (entro certi limiti) vale per l'energia elettrica (il costo di
distribuzione per i consumatori non dipende dalla distanza della centrale di produzione), l'acqua erogata dagli
acquedotti, il gas di città e, in generale, per i prodotti distribuiti tramite condotte.
10 La convergenza totale spazio-tempo è un assurdo concettuale, sul piano teorico, in quanto presuppone una
velocità infinita nei trasporti. Sul piano pratico, invece, nel quale si fa riferimento al tempo reale delle attività
umane, gli esempi di alta convergenza sono numerosi: si pensi al trasferimento quasi istantaneo delle
informazioni nelle comunicazioni telefoniche e radiotelevisive, o all’afflusso sul mercato di Milano dei
prodotti ittici dei mari, italiani e non, con vettori tanto veloci da assicurare al consumatore milanese una
varietà di pesce fresco di gran lunga superiore rispetto a quelli residenti nei centri marittimi del nostro Paese.

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
quelli di un ipotetico turista italiano che, tramite cellulare, comunica dall’Argentina o dal
Cile con parenti o amici residenti in una qualunque località del nostro Paese.
56
Le conseguenze dei due processi possono essere rilevate da molteplici
angolazioni, tutte concordi nel rilevare la loro importanza cruciale per spiegare i tanti
risvolti della cosiddetta globalizzazione e della crisi, forse eccessivamente sottolineata,
della distanza nell’interpretazione e rappresentazione del mondo attuale.
Per esplicitare, almeno in parte, queste valutazioni, si considerano due produttori
dello stesso bene x localizzati in A e B, posizionati in linea alla distanza di 20 km, come
illustrato in figura, che vendono a prezzi diversi: 10 Euro in A e 8 Euro in B:
a) se il costo di accesso è pari ad 1 Euro per km, il punto d’indifferenza (intermedio tra
A e B) 11 per il consumatore cade nel punto C1, distante 9 km da A e 11 da B;
b) se il costo si riduce a 0.2 Euro, il punto d’indifferenza migra in C2, che dista 5 km da
A e 15 da B;
c) se il costo si riduce ulteriormente fino a 0.05 Euro, il punto d’indifferenza intermedio
scompare del tutto e gli stessi consumatori residenti in A troveranno più conveniente
orientare la loro domanda in B. Il produttore residente in A viene del tutto espulso dal
mercato o finisce per diventare un produttore di nicchia per una parte dei consumatori
residenti sulla linea in posizione retrostante rispetto ad A.
Generalizzando l’esempio e tenendo presente che, per notevoli volumi e
ragguardevoli distanze, le tariffe di trasporto via mare sono più convenienti di quelle
terrestri, e tra le modalità terrestri quelle su ferro sono meno onerose rispetto a quelle su
gomma, e quest’ultime nei riguardi di quelle con trazione animale e muscolare, ben si
comprende l’importanza dei vantaggi competitivi che assicurano alle più diverse attività
gli scali marittimi, aerei e ferroviari, i caselli autostradali, i nodi stradali e, in genere, tutte
le località con rottura e interscambio delle modalità e delle direzioni dei traffici.
Nel contempo, occorre sottolineare l’elevata gerarchizzazione funzionale tra le
suddette località: due porti limitrofi e con retroterra di servizio comune sono differenziati
sia dalla struttura e dall’organizzazione dei servizi a terra sia, e ancor più,
dall’accessibilità dei natanti in termini di spazi di manovra e fondali. Pertanto, un risvolto
cruciale della globalizzazione, dal punto di vista dei trasporti, risiede nella capacità di
risposta dei nodi dei traffici alle tendenze verso il gigantismo nei volumi delle merci da
trasportare, l’alta velocità, le crescenti esigenze di sicurezza delle merci e di protezione
dai rischi ambientali legati ai trasporti, e all’adozione di tecniche e di supporti materiali
(esempio: i container) nelle operazioni di raccolta, magazzinaggio (esempio: impianti
frigoriferi per le derrate alimentari) e inoltro delle merci. Dal punto di vista funzionale e
geografico queste tendenze nel loro imporsi a scala planetaria si traducono nella crescente
somiglianza delle reti di trasporto regionali, ma anche nella crescente differenziazione
11 Sulla linea i punti d’indifferenza sono due: l’uno, in posizione intermedia tra A e B; l’altro, in posizione
esterna, arretrata rispetto ad A. Per semplicità nel testo si considera esplicitamente soltanto il punto
d’indifferenza intermedio.

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57
degli ambiti territoriali locali sulla base dei livelli gerarchici e dell’integrazione dei nodi
attivi negli ambiti medesimi.
Si procede ora a considerare un secondo aspetto, quello dei prezzi e delle tariffe
di trasporto costanti al variare della distanza dai luoghi di produzione o dalla lunghezza
dei tragitti. A tal proposito si prende in esame un sistema territoriale isolato costituito da
un insieme di 20 consumatori, equispaziati di 5 km su una strada rettilinea, e di un
produttore che vende il bene x nel punto A (vedi figura) al prezzo di 20 Euro lasciando ai
consumatori l’onere del costo di accesso, pari a 2 Euro per km. In queste condizioni il
consumatore residente in A ha un costo complessivo di 20 (il prezzo alla fonte), mentre il
consumatore residente a 50 km da A deve sostenere un costo complessivo di 120 (di cui
100 per l’accesso) sicché, se non vi sono ostacoli allo spostamento, i consumatori
tenderanno a migrare verso A per beneficiare dei minori costi di acquisto originando
fenomeni di concentrazione e di agglomerazione.
Euro
140
120
100
80
60
40
20
0
-2 0
-4 0
-6 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
km
Ct 1 Ct2 Differenze A
secondo la precedente ipotesi: 72.38 Euro.
Figura 33 Passaggio da costi
complessivi variabili con la distanza
a costi complessivi costanti.
Commento nel testo.
Si supponga, a questo
punto, che il produttore decida
di accollarsi gli oneri di
trasporto e di riversarli sui
consumatori come aliquota
invisibile (ed impercettibile da
parte dei consumatori) del
prezzo complessivo, fisso
qualunque sia la distanza e pari
al costo medio complessivo
dell’insieme dei consumatori
In questa situazione i vantaggi e gli svantaggi derivanti dalla posizione geografica
dei consumatori rispetto ad A perdono completamente di significato, ma sottintendono un
fatto di grande rilevanza sociale ed economica: le posizioni periferiche beneficiano di
costi minori, controbilanciati dai costi maggiori imposti alle posizioni centrali. In termini
molto generali si può asserire, alla luce di questo esempio, che la perequazione sociale si
paga con l’ingiustizia spaziale; inoltre, il venir meno dei vantaggi di posizione può
innescare vistosi fenomeni di rilocalizzazione delle residenze e delle attività produttive.
Infatti, il termine consumatore nel contesto di queste note non si riferisce esclusivamente
alle famiglie, al contrario include anche le imprese, industriali e di servizi, allorquando si

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rivolgono al mercato per l’acquisto di beni e servizi necessari al raggiungimento delle
loro finalità.
58

Tariffe virtuali
G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
59
Prendiamo in considerazione gli esercizi commerciali A, B e C, allineati su
una strada rettilinea ed equispaziati di 20 km, che praticano prezzi di vendita
uguali per lo stesso prodotto, ma differiscono per il numero dei prodotti che
offrono ai consumatori, anch’essi tutti ubicati sulla strada. Se i prodotti in vendita
sono i seguenti:
in A: a, b, c;
in B: a, b, c, d, e;
in C: a, b, c, d, e, f, g.
ci si chiede quali siano i punti d'indifferenza per i consumatori ubicati sulla strada.
Risultano due casi estremi:
1) il consumatore ogni volta che si sposta acquista un solo prodotto; in tal
caso i punti d'indifferenza coincidono con i punti medi dei segmenti AB e BC;
2) il consumatore ogni volta che si sposta acquista tutti i prodotti
disponibili nella località di erogazione;in questo caso il costo di accesso per
prodotto si riduce ad un terzo nel caso di A, ad un quinto nel caso di B, ad un
settimo nel caso di C. In breve il consumatore beneficia di economie di scala che
si possono assimilare a tariffe di trasporto differenziate, con rilevanti conseguenze
nella posizione dei punti d'indifferenza.
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20 0 20 40 60 80
tA tB tC A B C
Figura 34 Tariffe
virtuali 1.
Commento nel testo.
.

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60
Ipotizzando tariffe di trasporto uniformi e direttamente proporzionali alle
distanze, i punti d’indifferenza nel secondo caso estremo sono i seguenti:
1) punto d'indifferenza tra A e B: sia x la distanza da A e y la distanza da B
sotto la condizione x + y = 20; deve risultare: x/3 = y/5; risolvendo si ottiene per il
punto d'indifferenza una distanza da A pari a 7.5 km (nella prima ipotesi tale
distanza è pari a 10);
2) punto d'indifferenza tra B e C: sia z la distanza da B e v la distanza da C
sotto la condizione z + v =20; deve risultare: z/5 = v/7; risolvendo si ottiene per il
punto d'indifferenza una distanza da B pari a 8.3 km (nella prima ipotesi tale distanza è
pari a 10).
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
C' C'
-20 0 20 40 60 80
C'
A'
B'
C'
C'
A B C
Figura 35 Tariffe
virtuali 2.
Commento nel testo.
Più in dettaglio, se si considera tutto lo spazio circostante e si ipotizza la
percorribilità in tutte le direzioni con costi direttamente proporzionali alle
distanze, le aree di mercato minori presentano forma circolare: l'area più piccola è
quella di A; più grande, ma anch'essa a forma circolare, è l'area di B; tutto lo
spazio restante costituisce l'area di mercato di C.
Nel mondo reale i comportamenti concreti dei consumatori oscilleranno tra
le due ipotesi estreme, dianzi prospettate, con la conseguente formazione di aree

G. Massimi, Modelli e distanze 2, WP Web 2001, serie RE 9
61
di mercato imprecise. In merito, si consideri la figura xxx: l'area esclusiva di A è
quella indicata con A’, ma quella effettiva di servizio si può dilatare sensibilmente
al variare dei comportamenti del consumatore.
La riduzione nelle tariffe dei trasporti contribuisce all’imprecisione
spaziale dei consumatori anche dal punto di vista probabilistico. Per chiarire
questo aspetto si richiama il modello, già prospettato di Huff 12 , per considerare la
condizione di un consumatore x che ha la possibilità di avvalersi di 5 centri
commerciali aventi tutti la stessa dimensione 500 (A, distante 15 km; B, distante
25 km; C, distante 10 km; D, distante 40 km) e il costo di accesso, avendo
indicato con d la distanza in km, è 2d in una prima ipotesi e d 0.5 in una seconda
ipotesi. Effettuati tutti i calcoli, ed avendo posto nella formula originale k =1 e
sostituito il tempo di accesso con il costo di accesso, si ottengono risultati
emblematici in quanto la forte differenziazione delle probabilità nella prima
ipotesi si attenua di molto nella seconda con la conseguenza di comportamenti
imprecisi:
Centro Distanza in
commerciale km
Superficie di
vendita
Costo di Costo di
trasporto trasporto
proporzionale proporzionale
a 2d a d 0.5
Probabilità
di acquisti
nella prima
ipotesi
Probabilità di
acquisti nella
secondaipotesi
A 15 500 16.66667 129.0994 0.28777 0.276877
B 25 500 10 100 0.172662 0.214468
C 10 500 25 158.1139 0.431655 0.339104
D 40 500 6.25 79.05694 0.107914 0.169552
Totali 57.91667 466.2703 1 1
12 Il modello si esprime in termini formali con la relazione:
p(C ij) = (S j/T ij k )/(Σ Sj/T ij k )
p(C ij) = probabilità che il consumatore si sposti dal punto origine i al centro commerciale j;
S j = area dedicata alla vendita di una particolare classe di beni in j;
T i = tempo dello spostamento da i a j;
k = parametro da valutare empiricamente per esprimere l'effetto del tempo di trasporto sui diversi percorsi.

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L’analisi sostitutiva di Isard
62
L’Isard affronta negli anni Cinquanta il problema della localizzazione con
spirito innovativo e con un bagaglio di conoscenze matematico-statistiche più
ampio del Weber (al quale sfuggiva l’importanza delle proprietà delle medie sotto
l’aspetto degli scostamenti) 13 .
Un insieme di località di origine o destinazione dei trasporti, delle quali sono note
le coordinate e le quantità da movimentare, è del tutto simile ad una distribuzione
statistica di coppie di valori ponderati. Pertanto, se si ipotizzano tariffe uniformi e
distanze secondo linee rette, il calcolo del punto baricentrico si effettua, con le regole
viste in precedenza, in poco tempo e senza alcuna difficoltà anche per insiemi molto
numerosi; invece, ricercare il valore mediano significa il ricorso a procedure iterative
che, salvo casi particolari, conducono a soluzioni approssimate anche per insiemi
costituiti da soltanto tre località.
Le procedure iterative di tipo analitico sono illustrate in altra parte del testo al
quale si rinvia, mentre ora si riassume forse poco interessano, mentre il metodo grafico
dell’Isard che, seppure alquanto macchinoso, ha specifica rilevanza in un discorso
geografico dal momento che consente l’approfondimento dei concetti di isodapana e di
curva sostitutiva, già prospettati in questo capitolo.
Il primo passo consiste nel prendere nuovamente in considerazione due località, il
mercato A e la fonte di materia prima B e ipotizzare localizzazioni P esterne rispetto al
segmento congiungente A e B lungo 20 km; le localizzazioni P sono individuate dalle
distanze x rispetto al mercato e y nei riguardi della fonte della materia prima. Si consideri
il punto P1 (definito dalle distanze x = 10.00 e y = 15.00) avente distanze complessive
pari a 25.00 km; i punti per i quali risulta
x + y = 25.00
si dispongono, rispetto al segmento AB, su una curva particolare: l’ellisse che ha per
fuochi A e B e somma delle distanze dei suoi punti, dai fuochi suddetti, pari a 25.00. Il
risultato si può generalizzare asserendo che alla relazione
x + y = k
13 A tal proposito, pur senza entrare nel merito delle dimostrazioni (per le quali si rinvia ai manuali di
statistica metodologica), è opportuno ricordare ancora una volta che la mediana, il valore centrale di una
distribuzione statistica di dati, ordinati in senso crescente o decrescente, gode della proprietà di avere minima
la somma degli scostamenti dai termini della distribuzione; a sua volta, la media aritmetica ha la proprietà di
avere minima la somma dei quadrati degli scostamenti. Pertanto, entrambe le medie portano ad individuare
configurazioni di minimo, ma molto diverse sono le condizioni di riferimento e i comportamenti spaziali: la
media aritmetica è molto influenzata dai valori estremi, o periferici (in termini spaziali), la mediana da quelli
in posizione centrale. Queste considerazioni restano valide sia se ai valori si associano dei pesi, sia se si
considerano distribuzioni di coppie di valori.

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si associa una curva dall’andamento ellittico per k > 20 (per k = 20 l’ellisse degenera nel
segmento AB); facendo variare k, ad ogni nuovo valore di k si otterrà una diversa curva
ellittica.
Quale l’importanza di una famiglia di tali ellissi? La risposta risiede nel fatto che
queste curve non sono altro che isodistanti, interpretabili come isodapane se si ipotizzano
tariffe uniformi e uguali quantità da movimentare.
Si ricordi, a questo punto, che sul piano cartesiano definito dalle coordinate x =
distanza dal mercato e y = distanza dalla fonte di materia prima, la relazione analitica
x + y = k ; da cui: y = k -x
produce al variare dei valori di k (per k > 20) una famiglia di rette parallele, le rette di
sostituzione, che hanno lo stesso contenuto informativo delle ellissi prima considerate:
ciascun punto di una particolare retta indica la combinazione di distanze parziali
necessaria e sufficiente per originare una prefissata distanza totale, oppure (alle
condizioni già precisate) la combinazione di costi parziali di trasporto in relazione ad un
determinato costo totale.
Figura 36 Esempio di famiglia di rette di isocosto.
Per la costruzione dell’esempio è stata ipotizzata una distanza di 20 km tra il mercato e la fonte
della materia prima e di dover trasportare una unità in peso di input ed altrettanto di output alla
tariffa di 5 unità monetarie per unità di peso al km.
In conclusione: nel piano cartografico isodistanti e isodapane si presentano come
una famiglia di ellissi, centrate sul segmento AB; sul piano cartesiano, avente per
coordinate le distanze parziali o i costi parziali, come una famiglia di rette parallele,
inclinate di - 45° che soddisfano la relazione x+y = k, a condizione che k sia uguale o
maggiore della distanza AB.
Conseguito questo risultato, è agevole il passaggio alla fase successiva: quantità
da trasportare diverse, o tariffe di trasporto diverse ma sempre proporzionali alle distanze.
Nel caso di quantità diverse da trasportare, a (dalla fabbrica al mercato) e b
(dalla fonte della materia prima alla fabbrica), il costo totale di trasporto h con tariffe
uniformi ed unitarie per unità di peso, risulta
ax +by = h; da cui y = h/b - (a/b)x
che, in termini discorsivi, si può esprimere in questi termini: prefissato un determinato
costo complessivo di trasporto, le combinazioni di costi parziali corrispondenti si
dispongono su una retta la cui inclinazione riflette il rapporto tra le quantità da

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trasportare: essa è una retta di isocosto, immagine sul piano cartesiano di una isodapana
14 , che non può assolutamente essere interpretata come una isodistante.
Figura 37 Curve di isocosto dello stesso livello complessivo e diversa inclinazione
64
Figura illustrativa di 2 rette di isocosto di ugual livello complessivo (100 in entrambi i casi), conseguenti a
quantità differenti da trasportare: 2 sul mercato e 3 dalla fonte della materia prima per la retta disegnata con
trattini; 2 sul mercato e 5 dalla fonte della materia prima per la retta disegnata con tratto continuo in neretto.
Alle due rette di isocosto corrispondono le distanze s1 e s2.
Si considera, ora, il caso di uguali quantità da trasportare con tariffe diverse:
cambia il simbolismo, ma non la configurazione delle curve di isocosto, che conservano
la fisionomia di rette inclinate, ora in relazione al rapporto tra le tariffe. Infatti, indicando
con c la tariffa di trasporto del prodotto finito e d la tariffa pertinente alla materia prima,
la funzione di costo per un costo totale k si scrive:
cx + dy = k; oppure y = k/d - (c/d)x
del tutto simile alla precedente da un punto di vista analitico.
Le cose non cambiano, in sostanza, se si assumono quantità da trasportare e
tariffe diverse, purché direttamente proporzionali alle distanze, salvo una relazione più
ricca di costanti:
acx + bdy = k; da cui y = k/(bd) + (ac/bd)x
Sul piano territoriale, invece, è il caso di osservare la tendenza nel mondo reale
alla compensazione tra le costanti, nel senso che minori quantità da trasportare dalla
fabbrica al mercato, rispetto alle materie prime da far affluire alla fabbrica, possono
scontare tariffe di trasporto più elevate, se non altro per le assicurazioni, in ragione della
differenza di valore tra output e input.
Un sostanziale mutamento nelle curve di isocosto si ha con tariffe di trasporto
decrescenti con le distanze, in quanto le relazioni diventano di tipo non lineare e piuttosto
complicate sul piano algebrico; tuttavia, non sembra il caso di scendere in dettagli
ulteriori — per i quali si rinvia all’esempio 5 e relative figure illustrative— che
rischierebbero di distogliere l’attenzione dal tema centrale in esame, l’analisi sostitutiva.
Si reintroduce, pertanto, il triangolo localizzatore e si rileva con l’Isard la grande
difficoltà di un’analisi corretta, anche in un caso apparentemente semplice: un mercato A
e le fonti di materie prime B e C. La difficoltà discende dal fatto che le localizzazioni
devono essere apprezzate in uno spazio cartesiano tridimensionale, definito dalle
14 L’isodapana assume la configurazione di un ovale di Cartesio (peraltro già richiamato e visualizzato con un
esempio in questo stesso capitolo), molto difficoltosa ad esprimersi in termini analitici, richiedendo una
funzione di quarto grado, che non è sembrato oppurtuno sviluppare in questa sede per evitare inutili
tecnicismi matematici.

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coordinate x (distanza dal mercato), y e z (distanze dalle fonti delle materie prime), sul
quale tracciare le isodapane delle tre componenti del costo totale di trasporto.
Per aggirare l’ostacolo, l’autore del quale si discorre propone un procedimento
grafico iterativo così riassumibile:
a) si sceglie un vertice dal quale iniziare la procedura e sia A (il mercato) tale vertice;
b) si stabilisce una distanza costante da A rispetto alla quale individuare la soluzione
ottimale, ad esempio 2 km e si traccia una circonferenza centrata in A con raggio 2 km;
c) si restringe l’analisi all’arco di circonferenza compreso tra i lati AB e AC del
triangolo;
d) si individua, con i criteri che si prospetteranno fra breve, la soluzione ottimale P2;
e) si ripete la procedura per una nuova distanza costante, ad esempio 3 km e si individua
la soluzione P3;
f) si prosegue iterando la operazioni sulla base delle esigenze di dettaglio di chi svolge
l’analisi; siano P1, P2, ...., Pn le soluzioni relative alle distanze 1, 2, ..., n;
g) si sceglie tra le soluzioni P1, P2, ..., Pn quella che comporta il costo complessivo
minore: costo del trasporto dalla fabbrica al mercato A + costo complessivo del
trasporto dalle fonti delle materie prime al mercato.
Tornando al punto IV, si esplicitano i criteri di scelta della localizzazione ad una
distanza prefissata dal vertice A con l’aiuto della figura xxx, ipotizzando un’industria che
si avvale di 3 unità in peso della materia prima ubicata in B, di 4 unità della materia prima
ubicata in C, per produrre 5 unità in peso da inoltrare sul mercato. Per semplificare
ulteriormente le cose, si considerano soltanto le eventuali localizzazioni D, E, F e G, tutte
alla distanza di 4 km dal mercato; inoltre, si assumono tariffe uniformi, proporzionali alle
distanze (vedi il prospetto che segue nel testo per i dati analitici).
Figura 38 Confronto tra localizzazioni ad una distanza prefissata e costante dal mercato.
Il problema della localizzazione ottimale ad una prefissata distanza da uno dei vertici del triangolo
localizzatore: alla distanza di 4 km dal vertice A, sono state individuate le potenziali localizzazioni D, E, F e
G.
La prima operazione da compiere consiste nella misura delle distanze che
intercorrono tra i punti D, E, F e G e i vertici B e C; per F, ad esempio, risulta FB = 6.3
km e FC = 3.8 km; per E: EB = 7.2 km e EC =2.4 km (non sono tracciati in figura i
segmenti GC e DB per non sacrificare la leggibilità del disegno; essi sono lunghi,
rispettivamente, 4.8 e 8.2 km). In tal modo si individuano le coordinate con le quali
posizionare tali punti nel piano cartesiano raffigurato nel grafico della figura che segue.

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Figura 39Le localizzazioni D E, F e G della figura precedente nel piano cartesiano delle distanze dalle
fonti delle materie prime.
Figura 40 La soluzione ottimale della localizzazione tramite il raffronto delle curve di isocosto.
In tratto più spesso la retta di isocosto di livello minimo, corrispondente alla localizzazione in E, alle
condizioni specificate nel testo.
Tabella A Prospetto analitico per la scelta della localizzazione ottimale tra quelle indicate, tutte alla
distanza di quattro km dal mercato A, con tariffe uniformi e proporzionali alle distanze.
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distanza da B distanza da C costo parziale di
trasporto rispetto a B
costo parziale di
trasporto rispetto a C
costo totale
luoghi km km quantità 3 quantità 4
D 8.20 2.00 24.60 8.00 32.60
E 7.20 2.40 21.60 9.60 31.20
F 6.30 3.80 18.90 15.20 34.10
G 6.00 4.80 18.00 19.20 37.20
Nel piano cartesiano definito dalle coordinate x’ (distanza dalla materia prima
ubicata in B) e y’ (distanza della materia prima ubicata in C) si individuano i luoghi D, E,
F, G (cerchietti pieni in figura xxx); successivamente si scrive la relazione generale delle
rette di isocosto k per il trasporto delle quantità 3 sulla distanza x e 4 sulla distanza y:
3x + 4 y = k, dalla quale discende y = k/4 - (3/4) x
e si disegnano le 4 rette parallele, aventi coefficiente angolare - 3/4 (= - 0.75), che
passano per D, E, F e G: il luogo, che nel grafico si trova sulla retta di isocosto più in
basso, rappresenta la soluzione ottimale tra quelle prospettate. Dalla figura e dalla tabella
si desume la soluzione del problema nel luogo E.

Il surplus sociale di Isard
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Per Isard la localizzazione industriale non è il problema finale, ma il punto
d’attacco per lo studio di un equilibrio regionale dinamico nel quale, ovviamente,
imprenditori e consumatori interagiscono.
Il costo che deve sostenere il consumatore per acquisire la quantità m di un
prodotto industriale è dato – a prescindere dal profitto dell’imprenditore – da Tm, dove T è
il costo unitario complessivo di produzione (costo unitario di produzione più costo di
trasporto dei fattori della produzione nel luogo dove sorge l’industria ), se il consumatore
acquista direttamente in fabbrica. Nel caso in cui l’industria dispone di un deposito dei
suoi prodotti sul bordo dell’area di mercato in T bisogna includere anche il costo di
trasporto dalla fabbrica al deposito.
In una ipotesi più realistica si può assumere che i consumatori si distribuiscano in
un’area di mercato e che, pertanto, nella loro globalità debbano sostenere il costo
V = Σgitisi + mts’ ( per i = 1, 2, n )
dove n sono i fattori della produzione, g la quantità del fattore produttivo i, t il costo
unitario di trasporto dello stesso, s la distanza tra la fonte di i e il luogo di produzione, ts’
il costo unitario di distribuzione nell’area di mercato. Le localizzazioni che rispecchiano
il valore minimo di V sono quelle che assicurano anche il massimo surplus sociale.