CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi

CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.)
Esercizi
Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI
Facoltà di Economia
Università Roma Tre
1 Esercizi di statistica descrittiva
Esercizio 1.1 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) In un pronto soccorso di un ospedale
sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un arco
di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n(X) 2 9 18 22 16 12 9 5 4 2 1
Fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione;
calcolarne la media e la mediana con i rispettivi indici di variabilità. Commentare i
risultati. [R: µ = 3.84; Me = 3; σ 2 = 4.47; SMe = 1.68]
Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di
un collettivo rispetto al carattere X:
X 0-2 2-4 4-6 6-10 10-20 20-30 30-50
F(X) 0 0.08 0.32 0.64 0.86 0.96 1
a) individuare la classe modale;
b) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X;
c) calcolare la proporzione di unità che presentano un livello di X≤12.
[R: classe modale: (4-6); µz = −33.2, σ 2 z = 659.16; F (12) = 0.684]
Esercizio 1.3 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Dare una spiegazione breve della/e
scelta/e: se la devizione standard di un insieme di numeri è pari a zero ne segue che:
a) i dati sono distribuiti normalmente;
b) la media deve essere pari a zero;
c) i numeri sono tutti uguali;
d) metà dei numeri sono positivi, e metà negativi.
Esercizio 1.4 (Prof.ssa Terzi, 8–2-99) Una sessione è costituita da tre appelli
di esame, a cui si presentano, rispettivamente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono
promossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamento
quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari
1

a 27.2. Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l’intera sessione il voto
medio risulta pari a 27.
a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello.
b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al
secondo appello.
[R: µ3 = 27.56; σ2 = 6.36]
Esercizio 1.5 (Prof.ssa Terzi, 19–6-01) Una ditta che produce telefoni cellulari
distribuisce mensilmente il suo prodotto in tre negozi che si trovano in uno stesso paese
nell’entroterra sardo. Il primo negozio vende in media 3.4 telefoni al mese, con s.q.m.
pari a 0.6. Il secondo negozio vende in media 7 telefoni al mese, con s.q.m. pari a 1.2.
Il terzo negozio vende in media 2.8 telefoni al mese con s.q.m. pari ad 1. Calcolare:
a) il numero medio di vendite mensili per l’intero paese;
b) lo s.q.m. delle vendite mensili per l’intero paese.
[R: µ = 4.4; σ = 2.091]
Esercizio 1.6 (Prof.ssa Mortera, 13–06-01) Se la distanza interquartile di un
insieme di dati è nulla allora
� A la media è uguale a 0
� B i numeri sono tutti uguali
� C i dati sono distribuiti normalmente
� D tutti i quartili sono uguali.
Esercizio 1.7 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Al censimento del 1981 le famiglie
italiane secondo il numero di componenti (X) sono risultate così distribuite:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 e più
n(X) 3323 4402 4117 4008 1773 629 224 154
Fare la rappresentazione grafica: a) della distribuzione di frequenza; b) della funzione
di ripartizione. Calcolare mediana e quartili, e rappresentarli sul grafico della funzione
di ripartizione. [R: Me = 3; Q1 = 2; Q3 = 4]
Esercizio 1.8 (Prof. Pieraccini, 5–2-01) Data la seguente tabella:
X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-30
n(X) 15 13 15 12 15 10 15
Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e quella della sua
funzione di ripartizione. Calcolare: a) la mediana; b) il primo e il terzo quartile; c) la
differenza interquartile. Commentare i risultati ottenuti. [R: Me = 3.67; Q1 = 1.64;
Q3 = 10.5; D = 8.86]
Esercizio 1.9 (Prof.ssa Mortera, 28–06-01) La media aritmetica è più grande
della mediana quando
� A la moda è grande
� B ci sono valori anomali estremamente piccoli
� C la popolazione non è normale
� D ci sono valori anomali estremamente grandi.
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Esercizio 1.10 (Prof. Pieraccini, 21–9-99) Sia data la seguente distribuzione
dei redditi:
Classi di reddito (milioni) Frequenze relative
fino a 10 0.195
10-20 0.419
20-30 0.221
30-40 0.095
40-50 0.041
oltre 50 0.029
Totale 1.000
Calcolare media, s.q.m., ed un indice di asimmetria. Commentare i risultati. [R:
µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41]
Esercizio 1.11 (Prof. Pieraccini, 3-7-00) Data la seguente distribuzione di
frequenza:
X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-20 20-30 30-40 40-50 50-100
ni 15 13 12 11 10 10 8 6 6 5 4
a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione;
b) fare la rappresentazione grafica della funzione di ripartizione;
c) calcolare la mediana e la media aritmetica;
d) calcolare lo scarto semplice medio dalla mediana e quello quadratico dalla media
aritmetica;
e) calcolare un indice di asimmetria.
Commentare i risultati ottenuti. [R: Me = 4.8; µ = 13.26; SMe = 11.336; σ =
17.61; γ = 2.006]
Esercizio 1.12 (Prof. Pieraccini, 3-2-97) In una cittadina degli Stati Uniti è
stata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fra
l’1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:
X 0-50 50-75 75-100 100-150 150-200 200-250
n(X) 35 29 25 28 11 8
a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative e delle frequenze relative
cumulate.
b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilità ed uno di asimmetria a
vostra scelta.
[R: µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78]
Esercizio 1.13 (Prof.ssa Mortera, 28–9-00) Da un campione di 100 aziende
della provincia di Milano è stata rilevata la classe di addetti, ottenendo i seguenti
risultati:
Classe di superficie Numero di aziende
0-10 33
10-50 43
50-100 12
100-500 10
500-1000 2
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a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene più opportuno.
b) Si determinino la classe modale e la classe mediana.
c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria.
[R: classe modale: (0-10); Me=25.814;
µ − Me
σ
= 0.33]
Esercizio 1.14 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) Data la seguente tabella a doppia
entrata relativa ai caratteri reddito mensile in milioni di lire (X) e numero di weekend
dedicati a viaggiare (Y):
Y 0 − 1 2 − 3 4
X
0-1.5 20 15 3
1.5-2.5 13 21 6
2.5-4 18 10 8
calcolare:
a) la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X,Y);
b) la media di X quando Y è tra 2 e 3 weekend;
c) la media e la varianza di Z=X+Y e di W=X-Y;
d) Cov(Z,W) in funzione di var(X) e var(Y).
[R: µx = 1.98; σ 2 x = 1.01; µy = 1.83; σ 2 y = 1.67; σxy = 0.11; µx|y∈(2−3) = 1.86;
µz = 3.81; σ 2 z = 2.9; µw = 0.15; σ 2 w = 2.46; σzw = σ 2 x − σ 2 y]
Esercizio 1.15 (Prof.ssa Mortera, 17-07-01) Con riferimento alla tabella
seguente
Età 10 − 18 18 − 20 20 − 60
Settore
Abbigliamento 312 913 3367
Bigiotteria 710 377 208
Profumi 248 211 341
dire se (giustificando le risposte):
a) la classe modale della distribuzione marginale dell’età è
� A 10-18
� B 18-20
� C 20-60
� D la distribuzione è bimodale
b) la moda della distribuzione marginale del settore merceologico è
� A abbigliamento
� B bigiotteria
� C non si può calcolare
� D profumi
c) la mediana della distribuzione marginale del settore merceologico è
� A abbigliamento
� B bigiotteria
� C non si può calcolare
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� D 0.5.
Esercizio 1.16 (Prof.ssa Terzi, 21-9-98) Per la seguente serie di coppie di
valori:
X 1 2 6 10 X5
Y 7 12 32 Y4 67
si sa che il coefficiente di correlazione rxy=1. Si determinino i due valori mancanti X5
e Y4. [R: X5 = 13; Y4 = 52]
Esercizio 1.17 (Prof.ssa Mortera, 13–06-01) Date due variabili statistiche X
e Y, se si trova che rxy=1.09 allora X e Y
� A sono indipendenti
� B sono dipendenti in modo quadratico
� C hanno una fortissima dipendenza lineare
� D chi ci ha dato il risultato ha sbagliato i conti.
Esercizio 1.18 (Prof.ssa Terzi, 20-6-00) Si consideri il valore dei depositi in
miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987:
Aziende di credito Amministrazioni postali
Totale 460 000 78 000
I due tipi di deposito sono così distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del
Centro-Nord e Mezzogiorno:
Aziende di credito Amministrazioni postali
Centro-Nord 79.9% 65.9%
Mezzogiorno 20.1% 34.1%
Totale 100% 100%
a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente
i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito.
b) Quale tipo di indipendenza si può valutare su una tabella come quella del punto
a)?
c) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R:
χ 2 = 7585.39]
Esercizio 1.19 (Prof.ssa Terzi, 13–7-98) Data la seguente tabella a doppia
entrata:
Y 2 4 6 tot
X
1 4
2
3
6 10
tot 10 100
completarla nell’ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. Calcolare poi la
media aritmetica e la mediana di Y. [R: µy = 4.4; Mey = 4]
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Esercizio 1.20 (Prof.ssa Terzi, 22-10-99) Data la seguente tabella:
Y 1 6 tot
X
1 70
3 50
7 30
tot 100 50 150
a) riempirla in modo che risulti η 2 Y |X =1;
b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ 2 ?
[R: χ 2 = 150]
Esercizio 1.21 (Prof.ssa Terzi, 21-9-98) Data la seguente distribuzione
a) calcolare l’indice η 2 Y |X ;
Y 0 1 tot
X
0 45 15 60
1 5 35 40
tot 50 50 100
b) tenendo costanti le frequenze marginali, riempire la tabella in modo che risulti
= 0.
= 0.375]
η2 X|Y
[R: η2 Y |X
Esercizio 1.22 (Prof.ssa Terzi, 22-2-00) Data la seguente tabella a doppia
entrata
X 2 6 tot
Y
Y1 5 0 5
Y2 0 5 5
Y3 15 0 15
tot 20 5 25
a) Calcolare η 2 X|Y .
b) Posto Y1=2, Y3=6, determinare quale deve essere il valore di Y2 affinchè risulti
η 2 Y |X =0.
[R: η 2 X|Y = 1; Y2 = 5]
Esercizio 1.23 Su una tabella a doppia entrata in cui la variabile X è articolata
in 4 modalità e la variabile Y è articolata in 2 modalità, è stato calcolato il χ 2 relativo,
che risulta pari a 1. Quali affermazioni si possono eventualmente fare sul valore che,
su questa tabella, assumono gli indici η 2 Y |X , η2 X|Y , r2 ?
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Esercizio 1.24 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) Data la seguente tabella a doppia
entrata:
Y 1 3 tot
X
1 90
3 50
7 60
tot 150 50 200
a) riempirla in modo che risulti η2 Y |X
b) calcolare poi χ2 e χ2 relativo.
[R: χ2 = 200]
= 1;
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2 Esercizi di Calcolo delle Probabilità
Esercizio 2.1 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) Uno studente universitario ha programmato
di sostenere nella sessione estiva gli esami X e Y. Sia A l’evento “supera l’esame
X” e sia B l’evento “supera l’esame Y”, con P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(A � B)=0.4. Calcolare
la probabilità che non superi nessuno dei due esami, ovvero P(A � B). [R:
P(A � B)= 0.2]
Esercizio 2.2 (Prof.ssa Mortera, 8–2-00) Una fabbrica produce RAM che
possono avere due tipi di difetti, il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualità
della fabbrica afferma che, dall’esperienza passata, la probabilità che una RAM abbia
almeno uno dei due difetti è pari a 0.3; la probabilità che abbia il difetto A ma non il
B è pari a 0.1; la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a 0.2.
Calcolare la probabilità che una RAM abbia:
a) il difetto A;
b) il difetto B;
c) il difetto A, dato che si è riscontrato che non ha il difetto B.
[R: P(A)=0.3; P(B)=0.2; P(A|B)=0.125]
Esercizio 2.3 (Prof.ssa Mortera, 28–9-00) Nel cinema Bianchini ci sono due
sale. Marco ha deciso di andare a vedere il film che viene proiettato nella sala B, ma è
in ritardo. Sa che, arrivando all’ultimo momento, la probabilità di trovare ancora un
posto nella sala A è pari a 0.2, la probabilità di trovarlo in almeno una delle due sale
è 0.4, e la probabilità che vi sia ancora un posto nella sala B sapendo che c’è ancora
un posto nella sala A è 0.3.
a) Quale è la probabilità che Marco riesca a vedere il film che proiettano nella sala
B?
b) Come cambia tale probabilità se sappiamo che la sala A è già completa?
[R: P(B)=0.26; P(B|A)=0.25]
Esercizio 2.4 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) In ciascuna copia di una edizione
economica dei Promessi Sposi, il 60% delle pagine contiene almeno un errore di stampa.
Se ne produce una ristampa riveduta in cui errori di stampa sono contenuti solo nel
20% delle pagine. Da uno scaffale, che contiene 20 libri della prima edizione e 10 della
seconda, si sceglie un libro a caso. Si esamina una pagina, scelta anch’essa in modo
casuale, e si trova un errore di stampa.
a) Quale è la probabilità che il libro sia della prima edizione?
b) E della ristampa?
[R: P(I|E)=0.86; P(II|E)=0.14]
Esercizio 2.5 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’urna contiene 4 palline bianche
e 2 rosse, un’altra ne contiene 2 bianche e 4 rosse. Da una delle due urne scelta a caso
è stata estratta una pallina rossa. Quale è la probabilità che sia stata estratta dalla
prima urna? [R: P(U1|R)=1/3]
Esercizio 2.6 (Prof. Pieraccini, 20–2-01) Un’urna contiene 6 palline rosse e 4
nere, un’altra ne contiene 2 rosse e 8 nere. Se si estraggono con reimmissione 3 palline
da una delle due urne scelta a caso, e si osservano 3 palline nere, quale è la probabilità
che queste siano state estratte dalla prima urna? [R: P(U1|N � N � N)=1/9]
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Esercizio 2.7 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Dati due eventi A e B indipendenti,
verificare se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) P(A|B)=P(A|B);
b) P(A � B)=P(A)-P(A)P(B);
c) P(A � B)=P(A)P(B)+P(B).
[R: le affermazioni sono tutte vere]
Esercizio 2.8 (Prof.ssa Mortera, 17-7-01) Due tifosi, Paolo e Carlo, vanno
spesso allo stadio. Paolo ha assistito al 70% delle partite e Carlo ha assistito al 90%
delle partite.
a) Sapendo che la presenza di Paolo allo stadio è indipendente dalla presenza di
Carlo (e viceversa), quale è la probabilità che almeno uno dei due tifosi abbia assistito
ad una partita?
b) Quale è la probabilità che Paolo abbia assistito alla quarta partita di campionato
sapendo che Carlo ha assistito alla seconda partita di campionato?
c) Dati due eventi A e B, definire la proprietà di incompatibilità e di indipendenza.
[R: P(P � C)=0.97; P(P|C)=0.7]
Esercizio 2.9 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Per arrivare ad una cena tra amici,
Paolo e Giovanna scelgono, con uguale probabilità, fra i seguenti mezzi di trasporto:
bus, auto e bicicletta. Le probabilità che ciascuno dei due amici giunga in ritardo, se
prendono rispettivamente il bus, l’auto e la bicicletta, sono pari a 0.6, 0.2 e 0.4.
a) Determinare la probabilità che Paolo arrivi in ritardo.
b) Se Paolo e Giovanna viaggiano indipendentemente, quale è la probabilità che
almeno uno giunga in ritardo?
c) Sapendo che Paolo è arrivato in ritardo, quale è la probabilità che abbia viaggiato
in auto?
�
[R: P(RP)=0.4; P(RP RG)=0.64; P(A|RP)=0.17]
Esercizio 2.10 (Prof.ssa Terzi, 20-6-00) La probabilità che durante la produzione
giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si verifichino X
pezzi difettosi è data da:
P(X=0)=K, P(X=1)=3K, P(X=2)=K, P(X=3)=P(X=4)=2K, P(X ≥ 5)=0.
a) Determinare il valore della costante K.
b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X.
[R: K=1/9; E(X)=2.11; var(X)=1.88]
Esercizio 2.11 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Una variabile casuale discreta X ha la
seguente funzione di ripartizione:
F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1.
Calcolarne il valore atteso e la varianza. [R: E(X)=3.2; var(X)=2.16]
Esercizio 2.12 (Prof.ssa Terzi, 16–7-01) Un’urna contiene 5 palline bianche
e 5 palline nere. Dall’urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la
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variabile casuale “numero di palline bianche su due estratte”. Calcolare E(X) e var(X).
[R: E(X)=1; var(X)=0.44]
Esercizio 2.13 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) L’altezza di 450 studenti immatricolati
all’Università di Roma Tre nel 1998 è risultata in media di 170 cm., con uno
s.q.m. di 7.5 cm. Nell’ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, quale
è il numero atteso di studenti con altezza
a) maggiore di 180 cm.;
b) minore o uguale a 160 cm.;
c) tra 162.5 e 172.5.
[R: n(X>180)�41; n(X≤160)�41; n(162.5

normale con µ = 1600 e σ 2 = 3600. Essa risarcisce un milione di lire all’acquirente se
la durata della macchina acquistata è inferiore a 1450. Calcolare la probabilità che:
a) su 5 macchine la ditta debba risarcire al massimo un milione di lire;
b) su 100 macchine la ditta debba risarcire più di un milione.
[R: P(N≤1)=0.99962; P(N>1)=0.1285]
Esercizio 2.20 (Prof.ssa Mortera, 19–6-00) Il numero di viaggi venduti in
una settimana da ciascun agente dell’agenzia Kalimera, specializzata in viaggi verso la
Grecia, si distribuisce come una Poisson con valore atteso λ=3. Il titolare dell’agenzia
decide di dare un premio ai dipendenti che in una settimana vendono almeno 4 viaggi.
a) Quale è la probabilità che un dipendente vinca il premio?
b) Supposto che non esista nessuna relazione tra il numero di viaggi venduti dai
diversi dipendenti dell’agenzia, calcolare la probabilità che non più di 3 dei 10 operatori
complessivi ricevano il premio.
c) Calcolare quanti viaggi vengono venduti mediamente in un mese.
[R: P(X≥4)=0.35; P(N≤3)=0.513; E(Y)=130]
Esercizio 2.21 (Prof.ssa Mortera, 16-6-99) Il diametro interno delle guarnizioni
prodotte dalla ditta Fido è di 0.502 cm e la deviazione standard è di 0.005 cm. Gli
scopi per i quali queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza massima
del diametro fra 0.496 e 0.508 cm, mentre nel caso contrario le guarnizioni sono
considerate difettose. Assumendo la distribuzione dei diametri Normale:
a) determinare la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina;
b) determinare quale è la probabilità di trovarne almeno 2 difettose in un campione
casuale di 10 guarnizioni;
c) determinare quale è la probabilità di trovarne più di 22 difettose in un campione
casuale di 100 guarnizioni.
[R: P(D)=0.23; P(N≥2)=0.71; P(N>22)=0.5478]
Esercizio 2.22 (Prof. Pieraccini, 10-9-01) Un’azienda che produce carta da
parati decide di effettuare un controllo sulla qualità del prodotto; i difetti riscontrati
possono essere distinti in due tipi: quelli dovuti allo spessore della carta e quelli dovuti
alla colorazione. Sia X il numero di difetti del primo tipo (per ogni rotolo da 5 metri
di carta) e sia Y il numero di difetti del secondo tipo. Si supponga che la distribuzione
di probabilità congiunta di X e Y sia:
X 0 1 2 3
Y
0 0.49 0.09 0.03 0
1 0.12 0.07 0.01 0.01
2 0.05 0.04 0.01 0
3 0.04 0.03 0 0
4 0.01 0 0 0
Si calcoli :
a) il valore atteso e la deviazione standard di ognuna delle due distribuzioni;
b) la covarianza ed il coefficiente di correlazione tra X e Y;
c) la probabilità P (X < 2, Y ≥ 2).
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[R: E(X)=0.36; var(X)=0.39; E(Y)=0.66; var(Y)=0.96; cov(X,Y)=0.0924; ρ(X,Y)=0.15;
P(X606000)=0.35; P(N≥3)=0.2352; P(M≥2)=0.9987]
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3 Esercizi di inferenza
Esercizio 3.1 (Prof.ssa Mortera, 1-7-99) Il tempo che l’impiegato addetto allo
sportello “accettazione telegrammi” di un certo ufficio postale dedica a ciascun utente
segue una distribuzione normale di media 5 minuti. E’ anche noto che la probabilità
che il tempo dedicato a ciascun utente sia inferiore a 3.2 minuti è pari a 0.209.
a) Ricavare il valore dello scarto quadratico medio di X.
b) Determinare la probabilità che il tempo medio ricavato sulla base di un campione
casuale di 25 utenti superi i 6 minuti.
c) Determinare l’intervallo in cui, con probabilità 0.9, cade la varianza campionaria
corretta dello stesso campione.
[R: σ = 2.22; P � X > 6 � = 0.01222; S 2 ∈ (2.85; 7.49)]
Esercizio 3.2 (Prof. Pieraccini, 19-6-01) Le cinque unità che compongono
una popolazione presentano per la X i seguenti valori:
3, 4, 6, 12, 17.
Si considerino tutti i possibili campioni di ampiezza due che possono essere estratti
con ripetizione da questa popolazione. Calcolare:
a) la media della popolazione;
b) lo scarto quadratico medio della popolazione;
c) la distribuzione della media campionaria;
d) verificare che la media campionaria è una stima non distorta della media della
popolazione;
e) controllare che la varianza della distribuzione campionaria delle medie è in accordo
con il risultato teorico.
[R: µ = 8.4; σ = 5.31]
Esercizio 3.3 (Prof.ssa Mortera, 28-6-01) Sia X1, X2,...,Xn un campione di
ampiezza n (n ≥ 4) estratto da una popolazione X con E (X) = µ e varianza σ 2 . Si
considerino i seguenti stimatori alternativi per µ:
S1 = 2 X1
n − X3 + X4
+ X2 e S2 = X1 −
n
X2 + X3 − X4
n
a) Lo stimatore S1 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno
stimatore non distorto per µ modificando S1;
b) lo stimatore S2 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore
non distorto per µ modificando S2;
c) calcolare l’errore quadratico medio di S1e di S2;
d) S1e di S2 sono consistenti in media quadratica?
[R: S1 non distorto; S2 distorto, nS2/(n-1) non distorto; MSE(S1)=σ 2 (6/n 2 + 1),
MSE(S2)=σ 2 (3/n 2 + 1) + µ 2 /n 2 ; S1 e S2 non sono consistenti in media quadratica]
Esercizio 3.4 (Prof.ssa Mortera, 16-6-99) Sia X1, X2,X3 un campione casuale
estratto da una popolazione X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Dati i due
stimatori di λ:
T1 = 2X1 + X2 + 2X3
5
13
e T2 = X1 + X3
2

a) stabilire se sono non distorti;
b) ricavare l’errore quadratico medio di T1e di T2;
c) quale tra i due stimatori è preferibile, e perchè?
[R: T1e T2 non distorti; MSE(T1)=9λ/25, MSE(T2)=λ/2; è preferibile T1]
Esercizio 3.5 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) Il numero di clienti che si presentano
ad uno sportello bancario in un giorno è descritto da una variabile casuale X con
distribuzione di Poisson di parametro λ, cioè
−λ λx
f (x; λ) = e
x!
x > 0, λ > 0
Al fine di stimare λ, è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono
presentati a questo sportello e si è osservato: 10, 13, 8, 14, 12.
a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ.
b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato.
c) Lo stimatore di massima verosimiglianza trovato è consistente in media quadratica?
Dimostrare.
d) Definire la proprietà di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato è
anche consistente?
[R: � λML = X; x = 11.4; lo stimatore è consistente in media quadratica e consistente]
Esercizio 3.6 (Prof.ssa Mortera, 28-9-00) Un’impresa vuole valutare la durata
media µ delle batterie prodotte nel proprio stabilimento. In un campione casuale di
n=6 batterie si osservano le seguenti durate in ore:
x1 = 10, x2 = 40, x3 = 25, x4 = 32, x5 = 27, x6 = 16.
Nell’ipotesi che il tempo di vita X di ogni singola batteria segua una distribuzione
esponenziale di parametro 1/µ, cioè abbia funzione di densità:
f (x; µ) = 1
µ e−x/µ
x > 0
a) determinare lo stimatore di massima verosimiglianza, L, per µ e ricavare il valore
della stima sulla base del campione dato;
b) dire se tale stimatore è corretto e consistente;
c) considerare lo stimatore S= 3
X e verificare la sua correttezza;
4
d) confrontare i due stimatori L e S utilizzando l’errore quadratico medio.
[R: L=X; x = 25; L è non distorto e consistente; S è distorto; MSE(L)=µ 2 /n,
MSE(S)=µ 2 (9 + n) /16n]
Esercizio 3.7 (Prof. Pieraccini, 20-02-01) In un campione di 100 piccole
imprese si sono rilevate le seguenti spese annue per energia elettrica (in milioni):
X 1-5 5-9 9-12 12-16 16-20 tot
ni 2 37 32 28 1 100
a) Costruire un intervallo di confidenza per la spesa media annua µ al livello di
confidenza 0.90, sapendo che la varianza della popolazione risulta essere σ 2 = 9.
14

) Quale deve essere la numerosità n del campione affinché l’intervallo calcolato al
punto a) abbia lunghezza minore di 0.8?
[R: (9.618; 10, 602) ; n ≥ 152]
Esercizio 3.8 (Prof.ssa Terzi, 19-7-00) Per un campione casuale di 14 ragazzi,
sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg):
48, 46, 45, 47, 53, 50, 38, 49, 40, 43, 46, 38, 50, 41.
Nell’ipotesi che tale campione provenga da una Normale, trovare l’intervallo di confidenza
per la media µ (incognita) dell’intera popolazione, con α=0.05. [R: (42.6; 47.98)]
Esercizio 3.9 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) Supponiamo che X1, X2,...,Xn sia un
campione casuale estratto da una popolazione X con distribuzione Normale di media µ
incognita e varianza σ 2 nota. Quale deve essere la numerosità n del campione affinché
sia possibile individuare un intervallo di confidenza per µ, al livello di confidenza 0.95,
di lunghezza minore di 0.01σ? [R: n ≥ 153665]
Esercizio 3.10 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) In un campione di 500 famiglie,
l’intervallo al 99% del reddito mensile medio (in milioni di lire) è dato da 2

in giorni diversi, sono stati ottenuti i seguenti ritardi in minuti: 12, 37, 23, 27, 19.
Assumendo che i ritardi si distribuiscono come una variabile casuale Normale:
a) verificare l’ipotesi che il ritardo medio sia superiore a 15 minuti, usando α=0.05;
b) calcolare l’intervallo di confidenza al livello del 95% per il ritardo medio.
[R: non rifiuto H0; (12.02; 35.18)]
Esercizio 3.15 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Supponendo di voler verificare al livello
α=0.10 l’ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli studenti di Economia nell’esame
di Statistica I sia pari a 27 contro l’ipotesi alternativa che sia pari a 25.5, quale dovrà
essere la numerosità campionaria affinché la potenza del test risulti almeno pari a 0.95?
Ai fini della soluzione si assume che la popolazione studentesca abbia una distribuzione
Normale con varianza pari a 9. [R: n ≥ 35]
Esercizio 3.16 (Prof.ssa Mortera, 21–9-99) Una società telefonica dichiara
che nel 1990 l’importo della bolletta bimensile pagata dagli abbonati privati ebbe una
distribuzione con media 95 000 Lire e s.q.m. di 70 000 Lire.
a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990,
quale è approssimativamente la probabilità che la media campionaria degli importi sia
maggiore di 100 000?
b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilità di cui al punto a) sarebbe
maggiore o minore? Perchè?
c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza
100 ed osserva una media campionaria degli importi pari a 105 000. Si può concludere
che l’importo medio bimensile pagato nel 1990 sia stato maggiore di 95 000? Usare un
livello di significatività del 5%.
[R: P(X>100000)� 0.3085; la probabilità al punto a) sarebbe minore; non rifiuto
l’ipotesi nulla di importo medio bimensile uguale a 95000]
Esercizio 3.17 (Prof.ssa Terzi, 11-9-00) Per una popolazione Normale(µ,1), si
vuole sottoporre a test l’ipotesi H0: µ=0 contro l’ipotesi alternativa H1: µ 52.90 � ∪ � X < 47.1 �� ; H1; 1 − β = 0.9049]
Esercizio 3.19 (Prof.ssa Terzi, 19-6-01) Per una popolazione Normale di varianza
unitaria, si vuole fare un test d’ipotesi per verificare:
H0 : µ = 12.7
H1 : µ = 12
16

Si decide di procedere nel seguente modo: si estrae un campione casuale di numerosità
n=16 e se ne calcola la media campionaria. Se la media campionaria risulta minore di
12.2 si rifiuta l’ipotesi H0.
a) Calcolare α.
b) Calcolare β.
c) Supponendo di volere 1−β ≥ 0.9, quale dovrà essere la numerosità campionaria?
[R: α = 0.02275; β = 0.21186; n ≥ 42]
Esercizio 3.20 (Prof.ssa Terzi, 19-6-01) Per una popolazione Normale di varianza
=2 si vuole fare un test d’ipotesi per verificare:
H0 : µ = 8
H1 : µ = 8.5
a) Posto α=0.07, sulla base di una numerosità campionaria n=25, trovare la regione
critica.
b) Supponendo di aver osservato una media campionaria pari a 8.2, cosa si conclude?
c) Calcolare la potenza del test.
d) Trovare la numerosità campionaria tale che la potenza risulti almeno pari a 0.98.
[R: R: � X : X > 8.419 � ; non rifiuto H0; 1 − β = 0.6141; n ≥ 1306].
Esercizio 3.21 (Prof.ssa Terzi, 8-9-99) Data una popolazione Normale di varianza
unitaria, si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi H0: µ=10 contro H1: µ �=10,
attraverso un campione casuale di n = 4 unità. Si adotta la seguente regola di decisione:
A : si accetta H0 se 8 ≤ X ≤ 11.
a) calcolare α.
b) Calcolare la potenza del test per µ=11.
[R: α = 0.02275; 1 − β = 0.5]
Esercizio 3.22 (Prof.ssa Terzi, 5-7-99) Si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi
H0: p=0.5 contro H1: p>0.5 per una popolazione bernoulliana di parametro p, sulla
base di un campione di n = 5 elementi.
a) Fissato α ≤ 0.2, trovare la regione critica.
b) Calcolare la potenza del test per p=0.8.
[R: R(α) = {�p : �p ≥ 0.8} ; 1 − β = 0.737]
Esercizio 3.23 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) In un campione di 1000 famiglie con
5 figli, la distribuzione del numero di figli maschi è la seguente:
n. maschi 0 1 2 3 4 5 tot
n. famiglie 30 150 370 250 170 30 1000
a) Sul totale dei figli, quale è la percentuale di femmine?
b) Sia p la percentuale di femmine nella popolazione. Si vuole sottoporre a verifica
l’ipotesi H0: p=0.5 contro l’alternativa H1: p�=0.5, con α=0.05. Individuare la regione
di accettazione (A) del test, e indicare se si accetta o meno l’ipotesi H0.
17

[R: �p = 0.506; A={�p : 0.486 < �p < 0.514} ; non si rifiuta H0]
Esercizio 3.24 (Prof.ssa Terzi, 16–7-01) Si sospetta che una moneta possa
essere sbilanciata in maniera tale che l’uscita di Testa risulti più probabile dell’uscita
di Croce. In particolare, si pensa che la probabilità che esca Testa possa essere 0.8.
Si decide quindi di sottoporre a verifica l’ipotesi nulla che la moneta abbia due facce
equi-probabili contro l’alternativa che la probabilità che esca Testa sia 0.8. Si decide
di procedere nel seguente modo: si lancia la moneta 5 volte, se si ottiene Testa almeno
4 volte si rifiuta l’ipotesi nulla. Calcolare la probabilità dell’errore di prima specie.
Calcolare la potenza di questo test. [R: α = 0.1875; 1 − β = 0.7373].
Esercizio 3.25 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Si sospetta che un dado possa essere sbilanciato
in maniera tale che l’uscita di un numero pari risulti più probabile dell’uscita
di un numero dispari. In particolare, si pensa che la probabilità che esca un numero
pari sia 0.75. Si decide quindi di sottoporre a verifica l’ipotesi nulla che il dado sia ben
bilanciato contro l’alternativa che la probabilità che esca un numero pari sia 3/4. Si
decide di procedere nel seguente modo: si lancia un dado 5 volte, e se si ottiene una
faccia pari almeno 4 volte si rifiuta l’ipotesi nulla. Calcolare la probabilità dell’errore
di prima specie. Calcolare la potenza di questo test. [R: α = 0.1875; 1 − β = 0.6328]
Esercizio 3.26 (Prof.ssa Mortera, 28-9-00) La società Broglio decide di lanciare
sul mercato un nuovo tipo di detersivo ”super-white”. A questo scopo viene
inviato gratuitamente un flacone del nuovo detersivo a 150 persone chiedendo loro di
provarlo e di dichiarare se saranno favorevoli o meno all’acquisto del suddetto prodotto.
Di queste persone solo 30 dichiarano di essere interessate all’acquisto.
a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1 − α = 0.7 per la proporzione di
soggetti che acquisteranno il prodotto;
b) verificare al livello α = 0.05 l’ipotesi nulla che la proporzione di soggetti che
acquisteranno il prodotto sia superiore al 30%.
[R: (0.166; 0.234) ; si rifiuta l’ipotesi nulla]
Esercizio 3.27 (Prof. Pieraccini, 24–6-96) Sia µ=5 la media di una popolazione
Normale. Si vuole sottoporre a test l’ipotesi H0: σ 2 =1.5 contro l’alternativa
bilaterale H1: σ 2 �=1.5.
a) Trovare la regione critica del test per α=0.05.
b) Avendo estratto il seguente campione: (3.1; 3.7; 5.5; 6.6; 4.8; 5.3; 3.1; 2.9; 8.1),
per quale ipotesi si conclude?
c) Trovare l’intervallo di confidenza per σ 2 .
[R: R(α) = {�σ 2 : (�σ 2 ≤ 0.45) ∪ (�σ 2 ≥ 3.17)}; non si rifiuta H0; (0.359; 2.533)]
Esercizio 3.28 (Prof.ssa Terzi, 22-6-99) In 100 ristoranti di Roma, la voce
“coperto” ammonta mediamente a 3 (migliaia di lire) con s.q.m. pari a 1. A Milano,
invece, su un campione di 70 ristoranti, la voce “coperto” risulta mediamente pari a
1, con s.q.m. pari a 4. Assumendo che le due popolazioni abbiano la stessa varianza,
sottoporre a test l’ipotesi che le due medie siano uguali contro l’alternativa, unilaterale,
che in media il “coperto” a Roma sia maggiore.
a) Individuare la regione critica con α = 0.05.
b) Individuare la regione critica con α = 0.01.
18

c) Cosa si conclude nell’uno e nell’altro caso?
[R: R(α) = � X − Y : X − Y > 0.69 � ;R(α) = � X − Y : X − Y > 0.98 � ; si rifiuta
H0 in entrambi i casi]
Esercizio 3.29 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’indagine campionaria sul numero
di sigarette fumate giornalmente, svolta tra studenti universitari, ha dato i seguenti
risultati distinti per sesso:
Campione Maschi Femmine
Numerosità 81 62
N. medio di sigarette 2.02 3.54
Stima non distorta della varianza 22.70 22.81
a) Sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza del numero medio di sigarette fumate
dai due sessi al livello di significatività del 5%.
b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le due medie.
[R: non si rifiuta H0; (−0.0575; 3.0975)]
Esercizio 3.30 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) L’efficacia di una nuova cura dimagrante
viene sperimentata su sei soggetti ottenendo i seguenti risultati:
X 68 56 58 62 74 66
Y 54 50 50 56 58 54
(dove con X si è indicato il peso prima della cura e con Y quello dopo la stessa).
Sottoporre a test l’ipotesi che la cura non abbia avuto effetto. [R: si rifiuta l’ipotesi
nulla che la cura non abbia avuto effetto].
Esercizio 3.31 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) I voti in Economia (X) ed in
Statistica (Y) riportati da dieci studenti sono stati i seguenti:
X 20 24 28 27 18 22 29 30 23 21
Y 22 24 27 28 18 23 30 29 21 19
Sotto l’assunzione di Normalità, sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza in media dei
voti di Statistica a quelli di Economia sapendo che: Dev(X)=151.6, Dev(Y)=160.9,
Cod(X,Y)=147.8. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla di uguaglianza in media dei voti]
Esercizio 3.32 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’indagine campionaria sul numero
di sigarette fumate giornalmente svolta tra studenti universitari ha dato i seguenti
risultati distinti per sesso:
Campione Numerosità Frazione di fumatori
Maschi 81 0.198
Femmine 62 0.306
a) Sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza della percentuale di fumatori fra gli
studenti universitari maschi e femmine al livello di significatività del 5%.
b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le due percentuali.
[R: non si rifiuta l’ipotesi nulla; (−0.25; 0.04)]
19

Esercizio 3.33 (Prof.ssa Mortera, 17–7-01) La seguente tabella riporta i furti
commessi scoperti in un grande magazzino in un anno, a seconda del settore merceologico
e dell’età del colpevole.
Settore Età
10-18 18-20 20-60
Abbigliamento 312 913 3367
Bigiotteria 710 377 208
Profumi 248 211 341
a) Sia p la probabilità che se un furto viene compiuto nel settore abbigliamento,
l’età del colpevole sia 10-18. Costruire un intervallo di confidenza per p al 95%.
b) Siano p1 e p2 le probabilità che il furto sia commesso nel settore dell’abbigliamento
nell’ipotesi che il colpevole abbia rispettivamente età compresa nella classe 18-20 oppure
20-60. Verificare l’ipotesi p1= p2 contro l’ipotesi alternativa p1 �= p2.
[R: (0.0606; 0.0752) ; si rifiuta l’ipotesi nulla di uguaglianza delle probabilità]
Esercizio 3.34 (Prof. Pieraccini, 4–10-96) In un campione di 100 studenti
maschi si sono rilevati i seguenti pesi:
Peso (Kg) N. di studenti
60-62 5
63-65 18
66-68 42
69-71 27
72-74 8
Sottoporre a test l’ipotesi che i dati provengano da una distribuzione Normale. [R:
non si rifiuta l’ipotesi nulla]
Esercizio 3.35 (Prof. Pieraccini, 3–7-00) La distribuzione dei pesi (X) dei
portieri che hanno giocato nel campionato di calcio di serie A e B del 1998-99 è
risultata la seguente:
X n(X)
83.5 3
Si sottoponga a test l’ipotesi che i dati provengono da una distribuzione Normale. [R:
non si rifiuta l’ipotesi nulla]
Esercizio 3.36 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) In un pronto soccorso di un ospedale
sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un
arco di cento giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n(X) 2 9 18 21 17 12 9 5 4 2 1
20

Sapendo che il numero di interventi giornalieri per i quali il pronto soccorso è strutturato
è uguale a 10, sottoporre a test l’ipotesi che la distribuzione osservata provenga
da una distribuzione di Bernoulli. [R: si rifiuta H0]
Esercizio 3.37 (Prof. Pieraccini, 3–7-01) In 20 famiglie con 5 figli si è osservato
il seguente numero di figli maschi:
n. maschi 0 1 2 3 4 5
n. famiglie 1 3 6 7 2 1
Sottoporre a test l’ipotesi che la distribuzione delle famiglie secondo il numero di figli
maschi segua una distribuzione Binomiale. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla]
Esercizio 3.38 (Prof. Pieraccini, 3–7-01) In un’impresa di soccorso stradale
sono state registrate le richieste giornaliere di intervento su un arco di cento giorni
ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:
n. interventi 0 1 2 3 4 5 6 7
n. di giorni 14 22 31 17 8 5 2 1
Sottoporre a test l’ipotesi che la distribuzione sia ben adattabile da una distribuzione
di Poisson. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla]
Esercizio 3.39 (Prof.ssa Mortera, 8–2-00) Nell’isola Smeraldina, negli ultimi
1000 giorni, sono arrivate delle navi, secondo la seguente tabella: 450 sono i giorni
durante i quali non è arrivata alcuna nave, 360 i giorni durante i quali ne è arrivata
una, 140 i giorni in cui ne sono arrivate due, 40 i giorni in cui ne sono arrivate tre, e
10 i giorni in cui ne sono arrivate quattro. Questi dati sono conformi con l’ipotesi che
la distribuzione del numero di arrivi sia una variabile casuale di Poisson? Usare un
livello di significatività dell’1%. [R: non si rifiuta H0]
Esercizio 3.40 (Prof.ssa Mortera, 22–2-99) Per esaminare come vengono utilizzati
i quattro ingressi di un grande supermercato si osserva un campione casuale di
130 persone e risulta:
Ingresso 1 2 3 4
n.persone 24 36 30 40
Si verifichi l’ipotesi che i quattro ingressi vengono utilizzati con la stessa intensità [R:
non si rifiuta H0]
Esercizio 3.41 (Prof. Pieraccini, 3–7-01) Lanciando 240 volte un dado si sono
ottenuti i seguenti punteggi:
Punteggio 1 2 3 4 5 6
Frequenza 27 45 35 46 34 53
Sottoporre a test l’ipotesi che il dado non sia truccato, cioè che i punteggi siano
equidistribuiti. [R: non si rifiuta H0 con α = 0.025, mentre si rifiuta H0 con α = 0.05]
21

Esercizio 3.42 (Prof. Pieraccini, 5-7-99) La distribuzione dei matrimoni celebrati
in Italia secondo lo stato civile è risultata la seguente:
Stato civile delle spose
Stato civile degli sposi Nubili Vedove Divorziate
Celibi 301.933 1.138 2.200
Vedovi 3.964 1.286 577
Divorziati 4.571 330 954
Si controlli l’esistenza di una dipendenza assoluta fra i due caratteri e si commenti il
risultato ottenuto. [R: si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza].
Esercizio 3.43 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) Ad un campione di 80 giovani in
età compresa tra 25 e 35 anni è stato chiesto se sono laureati e se hanno un’occupazione.
Il risultato della rilevazione è contenuto nella tabella seguente:
Stato occupazionale
Titolo di studio Occupato Disoccupato
Laureato 22 8 30
Non laureato 16 34 50
38 42 80
a) C’è dipendenza o indipendenza tra il titolo di studio e lo stato occupazionale?
Usare l’indice opportuno.
b) Valutare se c’è indipendenza anche mediante l’opportuno test statistico.
c) Lasciando inalterata la marginale del titolo di studio, costruire la tabella di
massima dipendenza. [R: χ 2 = 12.845; si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza]
22

4 Esercizi sulla regressione
Esercizio 4.1 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) In 5 famiglie sono stati rilevati i seguenti
redditi (X) e risparmi (Y):
X 80 110 90 60 60
Y 16 18 21 27 35
a) determinare l’equazione della retta di regressione di Y su X;
b) stimare il presumibile valore del risparmio per una famiglia con reddito pari a
50: � Y(50);
c) determinare il valore del coefficiente di correlazione rxy.
[R: � Y=45-0.27X; � Y(50)=31.5; rxy = −0.75]
Esercizio 4.2 (Prof.ssa Terzi, 11-9-00) Per due variabili statistiche X e Y si
hanno le seguenti coppie di osservazioni:
X 1 3 4 7 8 10
Y 5 4.9 4.5 3 2.2 2
Stimare i parametri della retta di regressione Y=a +bX e valutarne la bontà di adattamento
tramite l’indice R 2 . Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta stimata,
qual’è il presumibile valore della Y?[R: �a = 5.75, � b = −0.39; R 2 = 0.94; � Y(12)=1.07]
Esercizio 4.3 (Prof. Pieraccini, 1–2-96) Per una distribuzione doppia si è
stimata la retta di regressione � Xi=10-2Yi. Individuare quale, fra le seguenti, è la
possibile equazione della retta di regressione di Y su X e motivare la scelta:
a) � Yi= 4+0.4Xi
b) � Yi= -7-0.8Xi
c) � Yi= -3-0.4Xi
d) � Yi= 0.8+0.5Xi.
Esercizio 4.4 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) La regressione di Y su X ha fornito la
seguente retta dei minimi quadrati: � Y=13-1.5X, mentre quella di X su Y ha fornito:
�X=31/6-(1/6)Y. Si determinino il coefficiente di correlazione rxy e le due medie M1 (X)
e M1 (Y ) . [R: rxy = −0.5; M1 (X) = 4; M1 (Y ) = 7]
Esercizio 4.5 (Prof.ssa Mortera, 2-2-01) Su una variabile statistica doppia
(X,Y) si sono stimate le seguenti equazioni delle rette di regressione:
�Y = −0.3 + 1.6X,
� X = 0.84 + 0.4Y.
Determinare il coefficiente di correlazione lineare, la media di X e quella di Y. Sapendo
poi che la media quadratica di X è pari a 4.36, determinare la media e la varianza
della variabile Z=2X-4Y+1. [R: rxy = 0.8; M1 (X) = 2; M1 (Y ) = 2.89; M1 (Z) =
−6.56, var (Z) = 636.42]
Esercizio 4.6 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui è noto che X ha
varianza doppia rispetto a Y, e data la variabile Z=Y+2, determinare il valore del
23

apporto α1/β1, in cui α1 e β1 sono i coefficienti angolari delle rette di regressione di
X su Z e di Z su X rispettivamente:
[R: α1/β1 = 2]
X = α0 + α1Z, Z = β0 + β1X.
Esercizio 4.7 Data la variabile statistica doppia (X,Y), si sono stimati i parametri
della retta di regressione di X su Y, il cui coefficiente angolare è risultato uguale al
coefficiente di correlazione lineare. Sappiamo inoltre che la variabile Z=2Y ha varianza
pari a 36. Calcolare la varianza di X e individuare il campo di valori accettabili per
la covarianza tra X e Y. [R: var(X)=9; σxy ∈ (−9, 9)]
Esercizio 4.8 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui è noto che var(X)=81var(Y),
indicare quali tra i seguenti valori del coefficiente angolare della retta di regressione di
X su Y:
−2, 0, 15
non sono accettabili, motivando la risposta fornita. [R: il valore 15 non è accettabile].
Esercizio 4.9 (Prof.ssa Mortera, 19–6-00) Al fine di stabilire se esiste una
relazione statistica tra l’altezza degli alberi di ciliegie (X) ed il diametro medio delle
ciliegie prodotte (Y), si considerino le osservazioni della seguente tabella:
Diametro (cm.) 3.4 4.3 3.0 3.2 2.1
Altezza (m.) 5.5 6.0 5.6 5.1 4.5
a) Calcolare la retta di regressione di Y su X. Stabilire se X e Y sono: incorrelate,
correlate positivamente oppure correlate negativamente.
b) Calcolare la devianza residua, la devianza spiegata e l’indice di accostamento
lineare.
c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegie
prodotte da un albero di altezza 3.5. Commentare il risultato.
d) Costruire l’intervallo di confidenza per β1 con livello di confidenza del 95% e
verificare l’ipotesi H0:β1=0 contro l’alternativa H1:β1 �=0 (con α=0.05).
e) Si esprima l’altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondente
variabile statistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione di
regressione trovata al punto a), determinare la funzione di regressione lineare di Y su
W.
[R: � Y = 1.26x − 3.53, σxy = 0.326; Dres = 0.449, Dtot = 2.5, R 2 = 0.82; � Y (3.5) =
0.88; (0.18; 2.34) , si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza lineare; � Y = 0.0126w − 3.53]
Esercizio 4.10 (Prof. Pieraccini, 24–6-96) In un campione di 12 famiglie si
sono rilevati i pesi del padre (X) e del figlio primogenito (Y) qui di seguito riportati:
X 75 73 77 74 78 72 80 76 78 77 79 81
Y 78 76 78 75 79 76 78 75 81 77 78 80
a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e calcolarne l’R 2 .
24

) Nell’ipotesi di normalità della componente accidentale, sottoporre a test le due
ipotesi α=0 e β=1 e commentare i risultati.
[R: � Y = 38.48 + 0.51x, R 2 = 0.46; si rifiuta l’ipotesi nulla di assenza di intercetta,
si rifiuta l’ipotesi nulla di coefficiente di regressione unitario]
Esercizio 4.11 (Prof. Pieraccini, 10–9-01) In un campione di 15 famiglie si è
rilevato il reddito annuo e la spesa per generi alimentari:
Reddito 25 40 20 32 60 18 24 42 45 36 15 21 34 25 58
Spesa 8.0 11.4 6.5 9.6 16.2 6.0 7.5 12.0 15.0 12.2 6.0 7.5 10.0 8.0 14.1
a) Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti in
funzione del reddito netto annuo e si determini la bontà di adattamento della relazione
stimata;
b) si verifichi l’ipotesi di indipendenza lineare fra le due variabili ad un livello di
significatività del 5%;
c) si verifichi inoltre, per la retta stimata, l’ipotesi di passaggio per l’origine;
c) si calcoli l’intervallo di confidenza per la spesa alimentare nel caso in cui il reddito
sia di 58 milioni e nel caso in cui esso sia di 32 milioni.
[R: � Y = 2.41 + 0.23x, R 2 = 0.93; si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare; si
rifiuta l’ipotesi di passaggio per l’origine; (14.67; 16.83) ; (9.26; 10.28)]
Esercizio 4.12 (Prof. Pieraccini, 3–7-00) In una indagine campionaria si sono
rilevati i seguenti dati sulla superficie in ettari (X) e sul rendimento in q/ha (Y) di 10
aziende cerealicole:
(3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32)
(2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31)
Si verifichi al livello di significatività del 5% l’ipotesi di indipendenza lineare del rendimento
dalla dimenzione aziendale contro l’ipotesi alternativa più opportuna. [R: si
rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare]
Esercizio 4.13 (Prof.ssa Mortera, 28–6-01) “La torre di Pisa che pende che
pende...”. Prima che la torre venisse chiusa, era stata condotta, con frequenza trimestrale,
una rilevazione statistica sull’incremento dell’inclinazione della torre. Sia Y=
“pendenza” X= “tempo” e Z=“cm di pioggia caduti su Pisa”. Sono state stimate le
seguenti relazioni lineari:
A : � Y = 3x + 0.5
B : � Y = 3z + 0.5
per le quali l’output di computer è risultato:
Stima di β1 t p Dev. spiegata Dev(Y)
Modello A 3 2.896 0.02 2.025 2.25
Modello B 3 0.13 0.90 0.0225 2.25
25

a) Per entrambi i modelli A e B, calcolare R 2 e Devianza residua.
b) Confrontare i due modelli commentando i dati della tabella (t e p) e i risultati
ottenuti in a).
c) Dato il modello di regressione lineare Yi = β0 +β1Xi +εi, considerando le ipotesi
assunte riguardo all’errore ε, quali delle seguenti affermazioni sono vere?
� A E (εi) = β0, V ar (εi) = σ 2 e cov (εi, εj) = 0
� B E (Yi| xi) = β0 + β1xi, V ar (εi) = σ 2 e E (εi · εj) = 0
� C E (Yi| xi) = β0 + β1xi, V ar (Yi| xi) = σ2
n e cov (εi, εj) = 0
� D E (εi) = 0, V ar (εi) = σ 2 e ρ (εi, εj) = 0.
[R: modello A: Dres = 0.225, R 2 = 0.9; modello B: Dres = 2.2575, R 2 = 0.01]
Esercizio 4.14 (Prof. Pieraccini, 5–2-01) Si considerino i seguenti dati relativi
al numero di ore di studio (X) di un campione casuale di 8 studenti per la preparazione
dell’esame di statistica ed il voto (Y) riportato:
X 100 95 100 80 75 150 130 160
Y 24 22 21 20 18 30 28 30
Nell’ipotesi di normalità delle distribuzioni condizionate:
a) trovare la retta di regressione delle votazioni riportate sulle ore di studio;
b) sottoporre a test l’ipotesi β = 0 contro l’alternativa β > 0;
c) trovare l’intervallo di previsione per il punteggio di uno studente che abbia
studiato 110 ore per la preparazione dell’esame.
[R: � Y = 8.55 + 0.14x; si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare; (21.02; 26.88)]
Esercizio 4.15 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Si siano osservate le seguenti coppie
di valori per le variabili X e Y:
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Determinare l’equazione della retta che esprime la Y in funzione della X e calcolare
gli intervalli di confidenza per i valori interpolati. Rappresentare sul piano cartesiano
i punti osservati, la retta interpolante e gli intervalli di confidenza. [R: � β0 = 0.548,
�β1 = 0.636; intervalli di confidenza: per � Y1: (0.179; 2.189) , per � Y2: (1.665; 3.247), ecc]
Esercizio 4.16 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) I voti in Economia (X) ed in
Statistica (Y) riportati da 10 studenti sono stati i seguenti:
X 20 24 28 27 18 22 29 30 23 21
Y 22 24 27 28 18 23 30 29 21 19
Sapendo che Dev(X)=151.6, Dev(Y)=160.9, Cod(X,Y)=147.8, determinare l’intervallo
di previsione per il voto in Statistica di uno studente che abbia preso 23 nell’esame di
Economia, sotto l’assunzione di Normalità della componente accidentale. [R: (19.32; 26.54)]
Esercizio 4.17 Negli anni 1987-1993, l’ascolto di televisione (Y) nella fascia 19-20
ha avuto il seguente andamento (dati Auditel, in milioni di ascoltatori):
Anno 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
Y 0.7 0.8 0.9 1.1 1.4 1.6 2.0
26

Interpolare tale distribuzione con una funzione di tipo Y=ab t e sulla base di questo
modello prevedere il numero di ascoltatori (in milioni) per l’anno 1996. [R: �a = 0.66,
� b = 1.20; � Y (1996) = 3.4]
Esercizio 4.18 (Prof.ssa Terzi, 5–7-99) Per le seguenti 5 coppie di osservazioni:
X 1 2 3 4 5
Y 1 5 8 15 28
si vuole interpolare la Y con la funzione Y=c0+c1X 2 .
a) calcolare i parametri c0 e c1;
b) valutare la bontà di adattamento di tale funzione.
[R: �c0 = −0.546, �c1 = 1.086; R 2 = 0.98]
Esercizio 4.19 (Prof.ssa Terzi, 8–9-99) Date le seguenti coppie di osservazioni:
X 1 2.5 3 3.5 5
Y 3 19 29 41 87
a) interpolare con la funzione Y=a+bX 2 ;
b) confrontare il danno (=somma dei quadrati dei residui) che si ha interpolando
con tale parabola con il danno che si ha interpolando con la retta Y=a+bX.
[R: �a = −2.078, � b = 3.54; Dres (X 2 ) = 4.05, Dres (X) = 238.7]
Esercizio 4.20 (Prof. Pieraccini, 1–2-96) Date le seguenti coppie di valori (X,
Y):
(3, 5) (6, 12.5) (9, 14) (15, 35) (25, 65)
sulla base dei quadrati dei coefficienti di correlazione individuare quale di queste
due funzioni
a) Y=a1+b1X
b) Y=a2+b2X 2
approssima meglio la relazione esistente tra X e Y, e stimarne i parametri. Nell’ipotesi
di Normalità della componente accidentale, sottoporre a test l’ipotesi b=0. [R: si
adatta meglio la funzione a), con R 2 = 0.984; si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza
lineare].
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