Interpolazione di dati e funzioni. Il capitolo dell'interpolazione e' uno ...

Interpolazione di dati e funzioni.
Il capitolo dell’interpolazione e’ uno dei più classici del Calcolo Numerico. I metodi
dell’interpolazione hanno una vasta applicazione, sia nell’ambito del Calcolo Numerico stesso, che
in altri contesti applicativi, come la ricostruzione di profili,l’elaborazione numerica di segnali, ecc.
Per esempio la trasformata di Fourier, in particolare la trasformata veloce di Fourier, ha
rappresentato una pietra miliare per la effettiva risolubilità di tanti problemi reali.
I primi lavori dei ricercatori sulle trasformate discrete di Fourier sono ancora oggi tra i più citati
negli articoli su riviste scientifiche di prestigio. In queste lezioni verrà trattata solo l’interpolazione
polinomiale insieme a qualche applicazione, inquadrando, prima, il problema più generale.
Siano assegnate n+1 coppie di punti del piano, (xi, yi), i = 0, …n, in cui, però, le ascisse xi, siano
tutte distinte tra loro. Cioè
i � j � xi � xj, i,j = 0, …n.
Può essere importante, allora, rappresentare questi punti su di una curva del piano, e, poiché le
ascisse sono tutte tra loro distinte, conviene che si tratti del grafico di una funzione definita in un
intervallo [a b], contenente tutte le ascisse. Allora
Definizione
Una funzione
f : [a b] � R
si dice interpolante gli n+1 punti (xi, yi), o che interpola gli n+1 punti (xi, yi), se risulta
f(xi) = yi, i = 0, …n
•
Spesso si dice anche che i punti (xi, yi) sono interpolati da f. Con riferimento alle applicazioni, i
punti (xi, yi), sono spesso chiamati dati, e l’interpolazione e’ uno dei vari modi di trattare dati
sperimentali.
Infine le ascisse di questi dati, sono dette anche nodi, e le richieste f(xi) = yi, sono spesso chiamate
le condizioni dell’interpolazione.
Il problema della scelta della funzione.
Evidentemente esistono infinite funzione che interpolano i dati assegnati, ma e’ ancora più
evidente, che, nelle applicazioni, si cercano funzioni con determinate caratteristiche, per esempio,
con grande regolarità ( continuità ed esistenza di numerose derivate) oppure funzioni non
eccessivamente oscillanti, ecc. In astratto si fissa una classe � di funzioni definite in un intervallo
contenenti i nodi e si cerca di risolvere il problema dell’interpolazione in questa classe.
Vale quindi la
Definizione
Il problema dell’interpolazione dei punti (xi, yi), i=0, …n ben posto nella classe � se esiste
una sola funzione f � �, tale che soddisfi le condizioni dell’interpolazione.
•
Osserviamo che le condizioni dell’interpolazione sono n+1, e, in conseguenza, sembra naturale
pensare ad una classe di funzione �, che possieda n+1 gradi di libertà.
Cioè , la classe oltre a essere formata da funzioni con gli
aspetti qualitativi desiderati nell’ambito della particolare applicazione, deve essere tale che ogni
funzione sia individuata da n +1 parametri reali.
In questo modo, si può sperare che il problema del’interpolazione sia ben posto in questa classe.
L’interpolazione polinomiale.
Una classe molto usata per l’interpolazione e’ quella dei polinomi �. Si tratta di funzioni
derivabili quante volte si voglia, e quando l’ordine di derivazione supera il grado del polinomio, la
derivata e’ identicamente nulla. Il grande difetto sta nel fatto che al crescere del grado sono funzioni
eccessivamente oscillanti e, da ciò sono nate le interpolazioni con funzioni “spline”, cioè funzioni
polinomiali a tratti.

Noi ci limiteremo a trattare dell’interpolazione polinomiale, mostrando, con degli esempi, vantaggi
e svantaggi.
La classe dei polinomi di grado n sarà denotate con �n, e un generico polinomio p di grado n sarà
scritto come
p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + …anx n
Se an = 0, il polinomio degenera in uno di grado inferiore, cioè �n-1 � �n. In sostanza la precedente
scrittura sta a denotare un polinomio di grado al più n. Se an ≠ 0, si tratta di un polinomio di grado
esattamente n
Questa forma vuol dire e’ stata usata la base delle potenze
1, x, x 2 , ….x n
per rappresentare p, cioè ogni polinomio p ��n, è una combinazione lineare delle potenze. Si tratta
di una base, perché questa combinazione lineare è unica. Ma e’ evidente che p può anche
rappresentarsi mediante altre basi. Un esempio e’ una qualsiasi sequenza
p0, p1, ….pn,
dove p0 e’ una costante non nulla ( polinomio di grado esattamente zero), p1 e’ un polinomio di
grado esattamente uno, … pk e’ un polinomio di grado esattamente k , …, pn è un polinomio di
grado esattamente n. Se questa ( come lo è) è una base, vuol dire che ogni polinomio p di grado al
più n, si scrive in modo unico ( con unici coefficienti ci),
p(x) = c0p0(x) + c1p1(x) + …cnpn(x)
Una sequenza che incontreremo più avanti e’ costituita tutta da polinomi di grado esattamente n. La
classe �n e’ una classe lineare a n+1 gradi di libertà ed è quindi candidata all’interpolazione di n+1
coppie con nodi distinti.
Vale il fondamentale
Teorema ( dell’interpolazione polinomiale).
Assegnati n+1 nodi distinti x0, …xn, per ogni scelta delle ordinate y0, …yn, esiste un solo
polinomio p � �n tale che
p(xi) = yi, i = 0,…n.
•
La veridicità di questo teorema nasce dal fatto che �n è uno spazio lineare a n+1 dimensioni ( come
R n+1 ). D’altra parte quando si scrivono le condizioni di interpolazione si viene a formare un sistema
lineare di n+1 equazioni in n+1 incognite, che si dimostra essere non singolare.
Esempio.
Siano assegnate le ascisse -1, 0, 1 e si cerchi il polinomio di secondo grado interpolante
questi tre nodi, con ordinate rispettivamente 1, 1, -1.
Se p(x) = a+bx + cx 2 è un generico polinomio di secondo grado, le condizioni di interpolazione si
scrivono
a –b + c = 1
a = 1
a + b + c = -1
Risolvendo il sistema si trae
p(x) = 1 – x – x 2
•
Se, si facesse riferimento a un modello non lineare , per esempio alla classe di funzioni a tre
parametri Ae Bx + C, si avrebbe il sistema non lineare
Ae -B + C = 1
A + C = 1
Ae B + C = -1
Si vede che questo sistema non ammette soluzione. Pertanto il problema di interpolazione non è
ben posto in questa classe.
Se si volesse risolvere il problema di interpolazione con i metodi Gaussiani, occorrerebbero come
e’ noto

O(2(n+1) 3 /3) flop
e questo e’ un costo troppo oneroso per un semplice problema di interpolazione. Inoltre per grandi
valori di n la matrice dei coefficienti è mal condizionata. Vale a dire che una piccola perturbazione
di qualche coefficiente, produce una grossa perturbazione sulla soluzione del sistema. In questo
caso anche i metodi gaussiani con la ricerca del pivot si mostrano inefficaci.
I polinomi fondamentali di Lagrange.
Un modo molto elegante e produttivo per costruire
l’interpolazione polinomiale passa attraverso i famosi polinomi fondamentali di Lagrange.
Assegnati n+1 nodi distinti xi, i =0, …n, il k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange, e’ il
polinomio di grado n, Lk(x) che interpola le coppie (xi,yi), i = 0, …n, dove le ordinate sono
y0 = 0, …yk-1 = 0, yk = 1, yk+1 = 0, ….yn = 0.
Vale a dire
Lk(xi) = �ik, i =0, …n, k = 0, …n
dove il simbolo di Kronecher �ik e’ definito come
�1
i � k
δik � �
�0
i � k
Quindi ogni Lk(x) e’ un polinomio di grado n tale che
Lk(xk) =1, Lk(xi) = 0, i � k.
Ogni Lk deve avere gli n zeri xi, i � k, ed essendo di grado n ha la forma
Lk(x)=Ak(x-x0)…(x-xk1)(x-xk+1)…(x-xn).
Se si impone
Lk(xk) = 1,
si trae
1
Ak
�
(xk
� x0
)...(xk
� xk�1
)(xk
� xk�1
)...(xk
� xn
)
In definitiva
(x � x0
)...(x � xk�1
)(x � xk�1
)...(x � xn
)
Lk(x)
�
,
(xk
� x0
)...(xk
� xk�1
)(xk
� xk�1
)...(xk
� xn
)
k = 0, …n.
I polinomi fondamentali di Lagrange sono tanti, quanti sono i nodi, e sono tutti di grado esattamente
n in quanto il primo coefficiente è esattamente Ak � 0. Il denominatore e’ un numero che è il
valore del numeratore in xk.
Per esempio, se n =1,
si ha
(x � x1
) (x � x0
)
L0(x)
� , L1(x)
�
(x0
� x1
) (x1
� x0
)
entrambi di primo grado, e se n = 2,
(x � x1
)(x � x2
) (x � x0
)(x � x2
)
L0(x)
�
, L1(x)
�
,
(x � x )(x � x ) (x � x )(x � x )
(x � x0
)(x � x1
)
L2(x)
�
(x2
� x0
)(x2
� x1
)
tutti e tre di secondo grado. Se n = 3,
0
1
0
2

O(2(n+1) 3 /3) flop
e questo e’ un costo troppo oneroso per un semplice problema di interpolazione. Inoltre per grandi
valori di n la matrice dei coefficienti è mal condizionata. Vale a dire che una piccola perturbazione
di qualche coefficiente, produce una grossa perturbazione sulla soluzione del sistema. In questo
caso anche i metodi gaussiani con la ricerca del pivot si mostrano inefficaci.
I polinomi fondamentali di Lagrange.
Un modo molto elegante e produttivo per costruire
l’interpolazione polinomiale passa attraverso i famosi polinomi fondamentali di Lagrange.
Assegnati n+1 nodi distinti xi, i =0, …n, il k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange, e’ il
polinomio di grado n, Lk(x) che interpola le coppie (xi,yi), i = 0, …n, dove le ordinate sono
y0 = 0, …yk-1 = 0, yk = 1, yk+1 = 0, ….yn = 0.
Vale a dire
Lk(xi) = �ik, i =0, …n, k = 0, …n
dove il simbolo di Kronecher �ik e’ definito come
�1
i � k
δik � �
�0
i � k
Quindi ogni Lk(x) e’ un polinomio di grado n tale che
Lk(xk) =1, Lk(xi) = 0, i � k.
Ogni Lk deve avere gli n zeri xi, i � k, ed essendo di grado n ha la forma
Lk(x)=Ak(x-x0)…(x-xk1)(x-xk+1)…(x-xn).
Se si impone
Lk(xk) = 1,
si trae
1
Ak
�
(xk
� x0
)...(xk
� xk�1
)(xk
� xk�1
)...(xk
� xn
)
In definitiva
(x � x0
)...(x � xk�1
)(x � xk�1
)...(x � xn
)
Lk(x)
�
,
(xk
� x0
)...(xk
� xk�1
)(xk
� xk�1
)...(xk
� xn
)
k = 0, …n.
I polinomi fondamentali di Lagrange sono tanti, quanti sono i nodi, e sono tutti di grado esattamente
n in quanto il primo coefficiente è esattamente Ak � 0. Il denominatore e’ un numero che è il
valore del numeratore in xk.
Per esempio, se n =1,
si ha
(x � x1
) (x � x0
)
L0(x)
� , L1(x)
�
(x0
� x1
) (x1
� x0
)
entrambi di primo grado, e se n = 2,
(x � x1
)(x � x2
) (x � x0
)(x � x2
)
L0(x)
�
, L1(x)
�
,
(x � x )(x � x ) (x � x )(x � x )
(x � x0
)(x � x1
)
L2(x)
�
(x2
� x0
)(x2
� x1
)
tutti e tre di secondo grado. Se n = 3,
0
1
0
2

p(x),( in questi ambiti, di solito, si fa riferimento all’errore assoluto piuttosto che a quello relativo).
L’errore di troncamento viene detto resto e si scrive
R(x) = f(x) – p(x)
E’ evidente che il resto si annulla in tutti i nodi xi, i =0, …n, e conviene allora introdurre il classico
polinomio di grado esattamente n+1
�(x) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn)
che ha come zeri tutti i nodi xi, i =0, …n.
Risulta �(x) = x n+1 + …, , cioè, �(x) e’ un polinomio di grado n+1 monico, che significa con
coefficiente della potenza più elevata pari a 1.
Allora, diventa naturale porre
R(x) = �(x)�(x) , � x � [a b],
cercando, successivamente, di rappresentare la funzione �(x). Vale il
Teorema
Se f possiede n+1 derivate con derivata (n+1)-esima continua in [a b], allora per ogni x in [a
b], x � xi, i = 0, …n, esiste un �x ( dipendente anche dai nodi) in [a b] tale che
(n�1
)
f (ξx
)
λ(x) �
(n �1)!
Senza fare riferimento esplicito alla funzione �(x), tutti i risultati finora illustrati si riassumono nel
Teorema
Se f e’ definita in [ a b] e xi, i = 0,…n sono n+1 nodi distinti in [a b], esiste un solo
polinomio di grado al più n ( polinomio interpolante ) tale che
p(xi)) = f(xi), i =0, …n
e, se f �C (n+1) [a b], per ogni x � [a b], esiste �x � [a b],
tale che
(n�1
)
f (ξx
)
f(x) � p(x) � ω(x)
(n �1)!
dove
�(x) = (x-x0)…(x-xn).
La formula scritta e’ spesso detta formula di interpolazione polinomiale, e l’espressione a destra
dopo p(x) viene detta formula del resto nell’interpolazione polinomiale. Non abbiamo scritto
l’espressione formale di p(x), perche l’unico polinomio interpolante, può essere messo anche in
forme diverse da quella che usa i polinomi fondamentali di Lagrange. Una di queste forme e’
quella che usa le classiche differenze divise che per brevità non trattiamo. Se, al posto di p(x) si
scrive la sua espressione con i polinomi fondamentali di Lagrange, la formula che si viene a
formare prende il nome di formula di interpolazione di Lagrange.
Da notare che se f è un polinomio di grado n, la derivata (n+1)-esima di f è identicamente nulla.
Allora dalla espressione del resto si ottiene che il polinomio interpolante è la f stessa, come già si
sapeva.
Maggiorazione del resto.
Si può usare la formula del resto per maggiorare l’errore di troncamento f(x)-p(x), quando si
vuole approssimare f(x) con p(x), per gli x non coincidenti con i nodi. Supponiamo di conoscere per
la derivata (n+1)-esima di f, una costante positiva Mn+1, tale che risulti
|f (n+1) (x) | � Mn+1, � x � [a b].
Tale costante prende il nome di maggiorazione della derivata (n+1)-esima, restando sottointeso che
maggiora il
valore assoluto della derivata in ogni x in [a b].
Allora, se p � �n, interpola la funzione f in n+1 nodi distinti xi, i =0, …n, e Mn+1 e’ una
maggiorazione della derivata (n+1)-esima ( supposta esistente) in [a b], si ha

� �
n�1
�1
M
| �(x)|
f(x) p(x)
(n )!
dove, al solito,
�(x) = (x-x0)…(x-xn).
Negli esempi ed esercizi che andiamo a proporre, metteremo come indice dei polinomi
fondamentali di Lagrange, direttamente il valore del nodo ( non x0, x1,..ecc), ricordando che questi
sono tanti quanti sono i nodi, e che la derivata eventuale da maggiorare ha ordine uguale al numero
dei nodi. Il grado del polinomio interpolante è inferiore di una unità al numero dei nodi, potendo
anche degenerare in un polinomio di grado più basso.
Esempi
Noto che f(x) = sinx, è tale che
f(0) = 0, f(�/6) = ½.
Cerchiamo di approssimare la funzione f(x) in [0 �/6] con in polinomio di primo grado
(interpolazione lineare).
Allora
π
x �
x
L 6 6
� 0 6
0 � � � x �1,
Lπ/
6 � � x
π π
π
0 �
� 0
π
6
6
Segue che
p(x) =0� L0(x) +1/2 � L�/6(x) = 3x/�
Per esempio, allora,
sin.5 ≈ 3/2� = .4775…, sin1/3 ≈ 1/� = .3183…, ecc.
Per valutare la qualità di queste approssimazioni osserviamo che
|f”(x)| � 1,
da cui
π π
(x � 0 )(x � ) ( � x)x
3
sin
6 6
π
x � x �
� , �x
�[
0 ]
π 2
2
6
Allora
|sin1/2 - .4775| < .0059, |sin1/3 - .3183| < .0317, ecc.
In x =1/2, vengono sicuramente catturate due cifre decimali, mentre almeno una cifra e’ presa per x
= 1/3.
Queste maggiorazioni si ottengono, evidentemente, sostituendo ½ e 1/3 a destra della
disuguaglianza.
Osserviamo che i valori veri sono
sin1/2 = .4794…, e sin1/3 = .3272..
•
Se, invece, vogliamo una maggiorazione globale, che valga per ogni x in [0 �/6] osserviamo che in
�/12, e’ massima la funzione |x(x - �/6)| in tale intervallo, da cui la maggiorazione e’
� 2 /288 = .0343
Questa è una maggiorazione più grande, perché vale per ogni x in [0 π/6] avendo maggiorato | �(x)
| con il suo massimo. Per valori più alti di n non è immediato trovare il massimo di | �(x) | e una
eventuale maggiorazione non stretta rischia di maggiorare gli errori assoluti in modo eccessivo. Ma
la funzione | �(x) | è calcolabile in quanti punti si voglia e, pertanto, negli esercizi proposti andremo
a maggiorare gli errori assoluti in specificati valori di x.

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Supponiamo, ora, che di una certa funzione f derivabile tre volte in [-1 1], si sappia che
f(-1) = 1, f(0) = 1, f(1) = 3,
e che si abbia l’ulteriore informazione
|f’’’(x)| � .1, � x � [-1 1].
Allora, con queste tre valori, possiamo costruire il polinomio di secondo grado interpolante la
funzione f ( interpolazione quadratica), ed utilizzare tale polinomio per approssimarla nei punti di [-
1 1].
Quindi
2
(x � 0 )(x �1)
x � x
L�1(x)
�
� ,
( �1
� 0 )( �1
�1)
2
(x �(
�1))(x
�1)
L0(x)
�
� 1�
x
( 0 �(
�1))(
0 �1)
2
(x � 0 )(x �(
�1)
) x � x
L1(x)
�
�
( 1�
0 )( 1�
( �1)
) 2
Pertanto
p(x) = 1 � L-1(x) + 1 � L0(x) + 3 � L1(x) = x 2 + x + 1
A posteriori verifichiamo che si tratti del polinomio interpolante osservando che le condizioni di
interpolazione sono soddisfatte ( grado secondo, p(0)=1, p(-1) = 1, p(1) = 3).
Allora, per esempio,
f(1/2) ≈ p(1/2) = 7/4, f(-1/2) ≈ p(-1/2) = ¾, ecc.
Per valutare queste approssimazioni, consideriamo la maggiorazione del resto in una formula di
interpolazione che, in questo caso, diventa,
2
|x(x �1)(x
�1)
| x | ( 1�
x )
|f(x) � p(x)| �
�.
1 �
3!
60
Si trova
|f(1/2) - 7/4| < 1/160 = .0063
|f(-1/2) – ¾ | < 1/160 = .0063
L’approssimazione è corretta ad almeno due cifre decimali.
Una certa funzione f sia tale che
f(-1) = 2, f(0) = 1, f(1) = 2, f(3) = 10.
2
,