Таблица производных и интегралов

1. ( C ) ' = 0,
Таблица производных Таблица интегралов
2
( x )' = 1 ( x ) ' = 2x
1. dx = x + C
a
1
2. ( x ) ' x α
α −
=
k + 1
k x
2. ∫ xdx= + C,
( k ≠−1)
k + 1
3. (
'
1
x ) ' =
⎛1⎞ 1
, ⎜ ⎟ =− 2
2 x ⎝x ⎠ x
dx
3. ∫ = 2
x
dx
x + C , ∫ = ln x
x
+ C
x x
4. ( a ) ' = a
x
lna
, ( e ) '
x
= e
x
x a
x
4. ∫ adx= + C,
lna
∫edx
x
= e + C
1
1
5. ( loga x ) ' = , ( ln x ) ' =
xlna x
dx x
5. ∫ = ln tg
sin x 2
+ C ,
6. ( sin x) ' = cosx
dx
6. ∫ cosx x π
= ln tg
⎛ ⎞
⎜ + ⎟ x + C
⎝24⎠ 7.
cosx ' =−sin x
7. sin xdx = − cosx
+ C
( )
1
8. ( tgx ) ' = 2
cos x
8. ∫ cosxdx = sin x + C
1
9. ( ctgx ) ' =− 2
sin x
dx
9. ∫ = tgx + C
2
cos x
10. ( arcsin x ) ' =
1
2
1 − x
dx
10. ∫ = − ctgx + C
2
sin x
11. ( arccosx ) ' =−
1
2
1 − x
11. ∫
dx
2 2
a − x
x
= arcsin + C
a
1
12. ( arctgx ) ' = 2
1 + x
12. ∫
dx
2 2
x ± a
= ln x +
2 2
x ± a + C
1
13. ( arcctgx ) ' =− 2
1 + x
dx
13. ∫ 2 2
x − a
1 x − a
= ln
2a
x + a
+ C
dx
14. ∫ 2 2
x + a
1 x
= arctg + C
a a
Правила дифференцирования и
интегрирования
∫
∫
Некоторые тригонометрические
формулы:
а) Правила дифференцирования 1 2 2
2 2
sin x + cos x = 1; 1− sin x = cos x;
2 2
1− cos x = sin x.
1 Производная суммы:
( u ± v) ' = u'± v'
2 2 1−cos2x21+ cos2x
sin x = , cos x = ,
2
2
2 Производная произведения:
( u ⋅ v)' = u'⋅ v + u ⋅v' 3
1
sinα ⋅ sin β =
2
cos( α − β) − cos( α + β
)
( )

3 ( c ⋅ u)' = c ⋅ u'
4 1
sinα ⋅ cos β = (sin( α − β) + sin( α + β ))
2
Производная частного:
l
⎛u⎞ u'⋅v −u ⋅v
'
⎜ ⎟ = 2
⎝v ⎠ v
5
1
cosα ⋅ cos β =
2
cos( α + β) + cos( α − β )
5 Сложная функция:
( ( f ( ϕ( x) ) ) ' = f 'ϕ⋅ϕ'( x )
Формулы сокращённого умножения
б) Правила интегрирования 1 ( )
f ( x) ± gx ( ) dx= f( xdx ) ± gxdx ( )
2 a ± b
2 2
= a ± 2ab
+ b
1 ( )
∫ ∫ ∫
2 k ⋅ f( x) dx = k f( x) dx
∫ ∫
∫ fax+ bdx=
3 ( )
1
= f ( ax + b) d( ax b)
a ∫
+
4 ( ) ⋅ ± ( )
∫ ∫
f ϕ( x) ϕ'( x) dx f ϕ( x) dϕ( x)
5 Интегрирование по частям
∫ ∫
u ⋅ dv = u ⋅v − v ⋅du
2 2 2 a − b = ( a − b) ( a + b)
3 ( ) 3 3 2 2
( )
a b a 3a b 3ab
b 3
± = ± + ±
3
a
3 2 2
± b = ( a ± b)( a ∓
ab + b )