Diferencialinės lygtys (uždaviniai) 1.1 Diferencialinės lygtys į kurias ...

Diferencialinės lygtys (uždaviniai)
dx = . dt
1.1 Diferencialinės lygtys į kurias neįeina nepriklausomas kintamas: f ( x)
dx 2
1.1.1 = x
dt
a) Suraskite bendrą sprendinį.
b) Suraskite atskirą sprendinį, kuris tenkina pradinę sąlygą x ( 0) = x0
.
dx
dt
1.1.2 = ( x −1)( x − 2)
dx
1.1.2 = sin x
dt
dx = .
dt
1.2 Diferencialinės lygtys su atsiskiriančiais kintamaisiais: g() t f ( x)
1.2.1
dx
dt
= −
t
x
dx
1.2.2 = 4t
x
dt
dx
= .
dt
1.3 Diferencialinės lygtys pavidalo: f ( at + bx + c)
dx 1
1.3.1 = + 1
dt t − x
1.4 Homogeninės diferencialinės lygtys.
1.4.1 ( t + x) dt − ( x − t) dx = 0
dx ⎛ a
1.5 Diferencialinės lygtys pavidalo: ⎟ ⎞
1t
+ b1
x + c1
= f
⎜
.
dt ⎝ a2t
+ b2
x + c2
⎠
x − 2 t + 1 dt + t − 2 dx =
1.5.1 ( ) ( ) 0
1.6 Diferencialinės lygtys pilnais diferencialais.
x 3
1.6.1 dt + ( x + lnt) dx = 0
t

1.7 Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys.
dx
2
1.7.1 t − 3x
= t
dt
dx
1.7.2 + xcos t = cost
dt
1.7.3 Kondensatoriaus įkrovimo uždavinys
R
E 0
U
C
dU
a) Parodykite, kad pavaizduotos paveiksliuke grandinės lygtis yra τ + U = E0
, kurioje
dt
τ = RC .
U 0 = 0
b) Suraskite šios lygties sprendinį, kai pradinė sąlyga ( ) .
c) Pavaizduokite funkcijos U ( t)
kitimo grafiką.
1.7.4 RC grandinė kintamajame elektriniame lauke.
R
E cos ωt
U
C
dU
a) Parodykite, kad pavaizduotos paveiksliuke grandinės lygtis yra τ + U = E cosωt
,
dt
kurioje τ = RC .
U 0 = U .
b) Suraskite šios lygties sprendinį, kai pradinė sąlyga ( )
0

1.8 Bernulio diferencialinės lygtys.
1.8.1
dx + 2 x = x
2 e
dt
t
2 Aukštesnių eilių diferencialinės lygtys.
2.1 Diferencialinių lygčių sprendimas pažeminant eilę
2
2
dx d x ⎛ dx ⎞
2.1.1 2t = −1
2
⎜ ⎟ (lygtis į kurią neįeina ieškomoji funkcija).
dt dt ⎝ dt ⎠
2
2
⎛ dx ⎞ d x
2.1.2 ⎜ ⎟ + 2x
= 0
2
⎝ dt ⎠ dt
(lygtis į kurią neįeina nepriklausomas kintamasis).
2.2 Tiesinės n eilės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais
2
d x dx
2.2.1 − 3 + 2x
= 0
2
dt dt
3
2
d x d x dx
2.2.2 −10 + 16 = 0
3
2
dt dt dt
2
d x
2.2.3 + 4x
= 0
2
dt
2
d x dx
2.2.4 − 4 + 5x
= 0
2
dt dt
2
d x dx
2.2.5 − 2 + x = 0
2
dt dt
3 2
d x d x dx
2.2.6 − 2 + = 0
3 2
dt dt dt
2.3 Tiesinės n eilės nehomogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais
2.3.1
2
d x
− x = 2e
2
dt
t

2.3.2 Rezonansinis harmoninės svyruoklės žadinimas aprašomas lygtimi
2
d x 2
+ ω x = Acosωt
,
2
dt
kurioje išorinės jėgos dažnis ω sutampa su savuoju svyruoklės dažniu. Suraskite šios lygties
dx
sprendinį, kai pradinės sąlygos x ( 0 ) = 0, ( 0) = 0 .
dt
3 Tiesinės diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais
3.1
dx
= −4x
+ 2y
dt
dy
= −3x
+ y
dt
3.2
dx
= −3x
+ 4y
dt
dy
= −x
+ 2y
dt