plokščių rėmų skaičiavimas jėgų metodu - Šiaulių universitetas

ŠIAULIŲ UNIVERSITETASKazys Šleževičius, Jonas RoličiusPLOKŠČIŲ RĖMŲ SKAIČIAVIMASJĖGŲ METODU1 dalisMokomoji knygaŠiauliai 2007

2Recenzavo:doc. dr. M. Pelikša (Šiaulių universiteto Technologijos fakultetoStatybos inžinerijos katedra);lekt. V. Petronis (Šiaulių universiteto Technologijos fakultetoMechanikos inžinerijos katedra).Spausdinama ŠU Technologijos fakulteto tarybos (2007 m. d.protokolo Nr. ) nutarimu.Leidinys skirtas studentams, besimokantiems medžiagųatsparumo, statybinės mechanikos kursus.©Kazys Šleževičius, 2007© Jonas Roličius, 2007

3TURINYSĮVADAS ………………………………………………………….…41. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas jėgų metodu ….61.1. Strypinės sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnionustatymas …………………………………………...….61.2. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas ………..…………..81.3. Kanoninių lygčių sudarymas ……………..……….……101.4. Kanoninių lygčių koeficientų skaičiavimas ir tikrinimas 111.5. Kanoninių lygčių laisvųjų narių skaičiavimas irtikrinimas ...................................................................….131.6. Kanoninių lygčių sprendimas, galutinės lenkimo momentųdiagramos sudarymas ir tikrinimas ………………...…..131.7. Skersinių ir ašinių jėgų diagramų sudarymas …..……..151.8. Reakcijų skaičiavimas ir tikrinimas ……………………17LITERATŪRA …………………………………………………….19

5Pagrindiniai statiškai neišsprendžiamų sistemų skaičiavimo metodaiyra tokie:1) jėgų;2) poslinkių (deformacijų);3) mišrus.Jėgų metodo nežinomieji yra jėgos atitinkamuose sistemos ryšiuose.Poslinkių metodo nežinomieji - atskirų sistemos mazgų kampiniai irlinijiniai poslinkiai. Mišraus metodo nežinomieji - ir poslinkiai, ir jėgos.Visi paminėti skaičiavimo metodai yra tikslūs. Naudojamos tokiosprielaidos: strypų deformacijos tik tamprios (galioja Huko dėsnis),skaičiavimas pagal nedeformuotą schemą, nepriklausomo jėgų veikimoprincipas ir kt.Šioje knygelėje paaiškintas tik statiškai neišsprendžiamų sistemųskaičiavimas jėgų metodu. Knygelės gale pateiktas statiškai neišsprendiamorėmo skaičiavimo pavyzdys.

61. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas jėgųmetodu1.1. Strypinės sistemos statinio neišsprendžiamumolaipsnio nustatymasStatiškai neišsprendžiamos sistemos skaičiavimas pradedamasskaičiuojamosios schemos analize. Pirmiausia nustatomas statinio neišsprendžiamomolaipsnis. Jis atitinka taip vadinamų perteklinių ryšiųskaičiui. Juos pašalinus sistema tampa statiškai išsprendžiama. Ši sistematuri būti ir geometriškai pastovi. Stačiakampis uždaras rėmas (1-as ir 2-as pav.) yra tris kartus statiškai neišsprendžiamas. Uždarą kontūrąsudaro keletas standžiai tarp savęs sujungtų strypų.1 pav. 2 pav.Bešarnyrinio rėmo (1 pav.) įtvirtinimai jungiasi žeme, kuri galibūti laikoma labai standžiu strypu. Norint uždarą kontūrą padaryti statiškaiišsprendžiamu, reikia jį perpjauti ir pašalinti perteklinius vidiniusryšius. Pašalintųjų ryšių vietoje reikia pridėti nežinomas įrąžas (3 ir 4pav.). Reikia nepamiršti, kad vidinių ryšių jėgos yra abipusės ir priešingųkrypčių.Sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis gali būti nustatomaskeliais būdais. Paprasta sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnįnustatyti atmetant perteklinių, t. y. statiškai nebūtinų ryšių skaičių.Atmetama tiek ryšių, kiek reikia, kad sistema būtų statiškai išsprendžiamair geometriškai pastovi. Atmestų ryšių skaičius n, tai sistemosstatinio neišsprendžiamumo laipsnis.

7X 2X 3X 33X 1X1X 2XX2X 1X3 pav. 4 pav.Sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis gali būti nustatomasįvairių formulių pagalba. Jei rėmas turi R išorinių ryšių ir tris nepriklausomasstatikos pusiausvyros lygtis atraminėms reakcijomsskaičiuoti, tuomet išoriniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamos sistemosstatinio neišsprendžiamumo laipsnis bus lygus:31XXn = R - 3, (1)2čian - sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis;R - sistemos atraminių ryšių skaičius.Kai sistema statiškai neišsprendžiama vidiniu arba abiem atžvilgiais,tuomet formulę reikia papildyti. Uždaras kontūras yra tris kartusstatiškai neišsprendžiamas (4 pav.). Jei sistema turi K uždarų kontūrų,tuomet gausime tokią formulę:n = R + 3⋅K - 3, (2)čiaK - uždarų kontūrų, sudarytų sistemoje strypų ašimis, skaičius.Rėme esantys vidiniai šarnyrai sumažina jo statinio neišsprendžiamumolaipsnį. Jei šarnyras jungia du strypus, tuomet jis vadinamasviengubu. Kai rėmo mazge esantis šarnyras jungia m strypų, tuometšiame mazge bus m - 1 viengubų šarnyrų. Šiuo atveju gausime tokiąformulę:

9Tris kartus neišsprendžiamam rėmui (7 pav., a) parinktos keliospagrindinės sistemos (7 pav., b, c, d, e, f).Fn=3Fabcd e f7 pav.Kai bent vieno sistemos mazgo ar strypo poslinkis įmanomas bedeformacijų, tuomet sistema yra kinematiškai judri (8 pav., a). Tokiasistema negali laikyti apkrovų.ba8 pav.Sistemos dar gali turėti taip vadinamą akimirksnį judrumą (sistemoselementai gali įgyti poslinkių be deformacijų tik pirmąjį akimirksnį).Būdingas tokio judrumo požymis – trys šarnyrai, išdėstyti vienojetiesėje (8 pav., b). Akimirksnį judrumą turės ir sistemos, kurios trys reakcijossusikerta viename taške.

10Pagrindinę sistemą apkrovus duotąja apkrova ir nežinomomis jėgomis,veikiančiomis atmestų ryšių kryptimis, gausime ekvivalentinęsistemą, atitinkančią statiškai neišsprendžiamą sistemą.1.3. Kanoninių lygčių sudarymasParinkus pagrindinę sistemą ir apkrovus ją duotąja apkrova beiminėtais papildomais nežinomaisiais (vietoj atmestų ryšių), galima sudarytipapildomas poslinkių lygtis. Jos išreiškia sąlygas, kad pagrindinėssistemos poslinkiai atmestų ryšių kryptimis nuo visų jėgų (duotų irnežinomų) poveikio turi būti lygūs nuliui.Poslinkius atmestų ryšių kryptimis, esant tris kartus statiškai neišsprendžiamamrėmui (3 ir 4 pav.), galima užrašyti taip:⎧Δ⎪⎨Δ⎪⎩Δ123= 0,= 0,= 0.(4)Bendru atveju kanoninių lygčių sistema n kartų statiškai neišsprendžiamaisistemai užrašoma taip:⎧δ11X1+ δ12X 2 + ... + δ1nX n + Δ1f = 0,⎪⎪δ21X1+ δ 22 X 2 + ... + δ 2nX n + Δ2f = 0,⎨⎪....................................................⎪⎩δn1X1 + δ n2X 2 + ... + δ nn X n + Δnf= 0.(5)Nežinomieji šiose lygtyse yra jėgos, todėl metodas vadinamasjėgų metodu.Pirma lygtis išreiškia pagrindinės sistemos pasislinkimą lygų nuliuipirmo atmesto ryšio kryptimi. Antra lygtis – antro ryšio kryptimi,ir t.t.Koeficientai prie nežinomųjų (δ ij ) yra vienetiniai poslinkiai. Vienetiniaiposlinkiai δ ii išdėstyti pagrindinėje įstrižainėje (jų indeksai vienodi)vadinami pagrindiniais. Jie visuomet yra teigiami ir nelygūs nu-

11liui. Pirmas poslinkio indeksas nurodo vietą, o antras – priežąstį, kurisukelia šį poslinkį.Šalutiniai poslinkiai δ ij išdėstyti simetriškai pagrindinės įstrižainėsatžvilgiu. Remiantis poslinkių ryšio teorema:δ ij = δ ji . (6)Tolėl užtenka apskaičiuoti pusę šių poslinkių. Jie gali būti teigiami,neigiami arba lygūs nuliui.Poslinkiai Δ 1f , ... ,Δ nf vadinami lygties laisvaisiais nariais. Juos sukeliaatmestuose ryšiuose duota išorinė apkrova. Jie taip pat gali būtiteigiami, neigiami arba lygūs nuliui.1.4. Kanoninių lygčių koeficientų skaičiavimas irtikrinimasKanoninių lygčių koeficientai yra pagrindinės sistemos poslinkiaiatmestų ryšių kryptimis nuo vienetinių jėgų. Jų apskaičiavimui sudaromosvienetinės lenkimo momentų diagramos atskirai nuo kiekvienonežinomojo, prilyginto vienetui (skersinių ir ašinių jėgų įtakos dažniausiainepaisoma).Integruojant atitinkamas diagramas, koeficientai apskaičiuojamitaip:l M iMjδ ij = ∑ ∫ dz,(7)0 EIčia M i , M j – lenkimo momentai pagrindinėje sistemoje nuo vienetiniųjėgų, veikiančių atmestų ryšių i ir j kryptimis,EI – sistemos strypų standumas lenkiat.Jeigu bent viena įrąžų diagrama yra tiesinė, tuomet diagramų integravimuigalima panaudoti grafo-analitinį Vereščiagino būdą ir koeficientusapskaičiuoti iš tokios formulės:δijy cω= ∑ ,(8)EIčiaω - pirmosios lenkimo momentų diagramos plotas,

12y c – antrosios lenkimo momentų diagramos (būtinai tiesinės) ordinatėties pirmosios diagramos sunkio centru.Abi diagramos sumavimo ilgyje turi kisti pagal vienodą dėsningumą(be šuolių, lūžių ir pan.). Kai abi diagramos yra vienoje strypo ašiespusėje, tuomet poslinkis teigiamas. Jei diagramos priešingose strypopusėse – poslinkis neigiamas.Jei sistema daugiau kaip vieną kartą statiškai neišsprendžiama, patartinapatikrinti apskaičiuotų koeficientų teisingumą, naudojant suminęlenkimo momentų diagramą (nuo visų kartu pridėtų nežinomųjų,prilygintų vienetui). Jei koeficientai apskaičiuoti teisingai turi būti patenkintostokios lygybės:δ i∑ = δ i1 + δ i2 +...+ δ in (i = 1,2, ... n) (9)l M iM∑δ i ∑ = ∑ ∫ dz,(10)0 EIčiaδ i∑ – i–osios eilutės koeficientų prie nežinomųjų suma,M ∑ – suminė vienetinių lenkimo momentų diagrama.Pagal aukščiau pateiktas formules tikrinami kiekvienos lygtieskoeficientai atskirai.Jei tikriname visų koeficientų teisingumą iš karto, tuomet turi būtitenkinamos tokios lygybės:δ ∑∑ = δ ∑1 + δ ∑2 +...+ δ ∑n , (11)2l M ∑δ ∑∑= ∑ ∫ dz,(12)0 EIčiaδ ∑∑ – visų lygčių koeficientų prie nežinomųjų suma,δ ∑1 , δ ∑2 ,..., δ ∑n – kiekvienos lygties koeficientų prie nežinomųjųsuma.

131.5. Kanoninių lygčių laisvųjų narių skaičiavimas irtikrinimasKanoninių lygčių laisvasis narys Δ if yra pagrindinės sistemos poslinkisi ryšio kryptimi nuo išorės apkrovų. Jie skaičiuojami integruojantatitinkamas diagramas:l M iMfΔ if = ∑ ∫ dz,(13)0 EIčiaM i –pagrindinės sistemos lenkimo momentas nuo vienetinės jėgosx i ,M f – pagrindinės sistemos lenkimo momentas nuo duotos apkrovos.Jei kanoninių lygčių laisvieji nariai apskaičiuoti teisingai, jie turitenkinti tokias lygybes:Δ ∑f = Δ 1f + Δ 2f +...+ Δ nf , (14)l M f M ∑Δ f ∑ = ∑ ∫ dz,(15)0 EIΔ ∑f = Δ f∑ . (16)1.6. Kanoninių lygčių sprendimas, galutinėslenkimo momentų diagramos sudarymas irtikrinimasIšsprendus kanoninių lygčių sistemą, nustatomos nežinomųjų x ireikšmės. Skaičiuojamojoje sistemoje veikiančias įrąžas galima apskaičiuotidvejopai:a) apkrauti pagrindinę sistemą aktyvinėmis apkrovomis bei surastųdydžių buvusiais nežinomaisiais ir spręsti ją kaip statiškai išsprendžiamąsistemą;

14b) naudotis nepriklausomo jėgų veikimo principu ir bet kurio pjūviolenkimo momentą rasti pagal formulę:M = M 1 X 1 + M 2 X 2 +...+ M n X n + M f . (17)čiaM 1 , M 2 ,...,M n – pjūvio lenkimo momentas pagrindinėje sistemojenuo vienetinių nežinomųjų,M f – pjūvio lenkimo momentas pagrindinėje sistemoje nuo duotosapkrovos,X 1 , X 2 ,..., X n – nežinomieji atmestuose ryšiuose pagrindinėje sistemoje.Apskaičiavus charakteringuose pjūviuose veikiančius lenkimomomentus, sudaroma galutinė lenkimo momentų diagrama M. Po to atliekamasjos statinis ir kinematinis patikrinimas.Statiniame patikrinime pirmiausia nustatome ar diagramos pobūdisatitinka žinomus reikalavimus, pavyzdžiui lūžis ties sutelktos jėgospridėties tašku, šuolis tie momento pridėties tašku ir panašiai. Po to tikrinamemazgų pusiausvyrą.Jei diagrama netenkina reikalavimų, reikia ieškoti klaidų lenkimomomentų diagramose pagrindinėje sistemoje nuo duotos apkrovos irvienetinių jėgų.Kinematiniame patikrinime įsitikinama, ar tikrai pagrindinės sistemospjūvių, kuriuose buvo atmesti ryšiai, poslinkiai tų atmestų ryšiųkryptimis yra lygūs nuliui. Poslinkiai lygūs nuliui, jei tenkinama tokiasąlyga:l MM ∑δ ∑ = ∑ ∫ dz = 0,(18)0 EIčia δ ∑ – suminis sistemos poslinkis atmestų ryšių kryptimi,M – galutinė lenkimo momentų diagrama.Jei poslinkis nelygus nuliui, reikia ieškoti klaidų kanoninių sudarantir sprendžiant kanonines lygtis.

151.7. Skersinių ir ašinių jėgų diagramų sudarymasSkersinių jėgų diagrama sudaroma, naudojantis lenkimo momentųdiagrama ir diferencialiniu ryšiu:dMdzo kai lenkimo momentų diagrama tiesinė, formule:= Q = tgα,(19)ΔM = Q,Δz(20)čiaΔz – strypo ruožas, kuriame lenkimo momentų diagrama yra vienostiesės atkarpa, o skersinė jėga yra pastovus dydis,ΔM – lenkimo momento reikšmės pokytis tame ruože.Jeigu lenkimo momentų diagrama – kreivė, tuomet vietoj lenkimomomentų pokyčio ΔM skaičiuojamas lenkimo momentų diagramos tiestuo pjūviu liestinės pokytis. Visais atvejais, skaičiuojant lenkimo momentųdiagramos ar jos liestinės pokytį iš reikšmės, kuri atitinka pjūvįsu didesne abscise z, atimama reikšmė, kuri atitinka pjūvį su mažesneabscise z. Skaičiuojant pokyčius tokiu būdu, gaunamas teisingas skersinėsjėgos ženklas.Skersinių jėgų diagramų sudarymo pavyzdžiai:

161M23M 3zQ 1-2 =M−( − M )2 1>l0,(21)M 12lQMlQ 2-3− M 3 − M 2Q 2-3 = < 0.l(22)Q 1-28 pav.M 1 M1 2 zM2Ml/2 l/2QQ 2fQ 1 =M ′ −l / 2( − M )1>M 2 − M ′Q 2 = < 0,l / 2čiaM ′ = f −M1 −2M20,,(23)(24)(25)Q 1f2ql= .(26)49 pav.

17Sudarius skersinių jėgų diagramą, tikrinama ar šios diagramos pobūdisatitinka žinomas diagramų savybes.Po to mazgų išpjovimo būdu skaičiuojamos ašinės jėgos. Skaičiavimąpradedame nuo mazgo, kuriame yra du strypai (10 pav.). Išpjautamemazge pride damos įrąžos bei duotosios apkrovos ir rašomos jo pusiausvyrossąlygos:Q 4F 4NQ 5541) ∑F x = 0,F – Q 5 + N 4 = 0; N 4 = Q 5 – F.2) ∑F y = 0,Q 4 – N 5 = 0; N 5 = Q 4 .N 510 pav.Toliau jau galima skaičiuoti ir mazgą, kuriame yra trys strypai.Vieno iš šių strypų ašinė jėga bus jau žinoma. Apskaičiavus visas ašinesjėgas, sudaroma jų diagrama ir atliekamas jos patikrinimas pagalžinomus dėsningumus.1.8. Reakcijų skaičiavimas ir tikrinimas.Skerspjūvio parinkimas ir perrinkimasReakcijos randamos iš atraminių mazgų statikos pusiausvyros lygčių,pavyzdžiui:

18R AxM 1M AN 1Q 1AR A y1) ∑F x = 0,R Ax – Q 1 = 0; R Ax = Q 1 .2) ∑F y = 0,R Ay – N 1 = 0; R Ay = N 1 .3) ∑M A = 0,-M A + M 1 = 0; M A = M 1 .11 pav.Apskaičiuotos reakcijų reikšmės tikrinamos, užrašant statikos pusiausvyroslygtis skaičiuojamajai rėmo schemai.Patikrinus visų skaičiavimų teisingumą, iš įrąžų diagramų nustatomistrypų pavojingi pjūviai ir tikrinamas jų stiprumas (jei skerspjūviaiiš anksto buvo žinomi). Jei skaičiuojant įrąžas buvo pasirinkti tik strypųstandumų santykiai, tuomet strypų skerspjūvius reikia parinkti. Kaiparinktų strypų standumai skiriasi nuo užsiduotų, juos reikia keisti irsistemą skaičiuoti iš naujo. Perskaičiavus, parenkamas naujas skerspjūvis.Skaičiavimai baigiami, kai parinktų strypų standumų santykiai –artimi užduotiems.

19LITERATŪRA1. Žiliukas A. Medžiagų mechanika. Kaunas: „Technologija“,2004, 596 p.2. Čižas A. Medžiagų atsparumas. Konstrukcinių elementų mechanika.Vilnius: „Technika”, 1993, 408 p.3. Čižas A., Viršilas V., Žekevičius J. Aiškinamasis medžiagųatsparumo uždavinynas. 2-asis patais. Ir papild. Leid. Vilnius:„Technika“, 2000, 295 p.4. Feodosjevas V. Medžiagų atsparumas. Vilnius: „Mokslas”,1977, 523 p.5. Vasauskas S., Baušys J. Medžiagų atsparumas. Vilnius: „Mokslas”,1969, 390 p.6. Дарков А. В. Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. Изд.5-е. Москва, Высшая школа, 1989, 624 с.

20Spausdinti rekomendavo ŠU technologijos fakultetomokslinė tarybaŠIAULIŲ UNIVERSITETASStatybos inžinerijos katedraKazys Šleževičius, Jonas RoličiusPLOKŠČIŲ RĖMŲ SKAIČIAVIMAS JĖGŲ METODU1 dalisMOKOMOJI KNYGA2007 m. 1,0 leidyb.apsk. l.