MOLEKULINĖS FIZIKOS IR TERMODINAMIKOS PAGRINDAI

Šiaulių universitetas 

Technologijos fakultetas 

Janina Ščiukaitė, Aurelija Pelanskienė 

Fizikos savarankiško darbo užduotys 

I dalis 

Fizikiniai mechanikos pagrindai. Molekulinės fizikos ir termodinamikos pagrindai. 

Elektrostatika. Nuolatinė elektros srovė. 

Šiauliai, 2005

Recenzentas: prof. dr. V. Lauruška. 

Šiaulių universiteto Technologijos fakulteto tarybos rekomenduota publikuoti. 

Leidinys skirtas Šiaulių universiteto Technologijos fakulteto studentams. Pateikiama 

fizikos kurso mechanikos, molekulinės fizikos ir termodinamikos, elektrostatikos bei nuolatinės 

elektros srovės skyrių pagrindinės fizikos formulės, uždavinių sprendimo pavyzdžių ir 

individualios namų darbų užduotys. 

2

TURINYS 

1. Fizikiniai mechanikos pagrindai...................................................................... 3 

1.1. Kinematika.......................................................................................... 3 

1.2. Dinamika............................................................................................. 5 

1.2.1. Slenkamojo judėjimo dinamika.............................................. 5 

1.2.2. Sukamojo judėjimo dinamika................................................ 7 

2. Molekulinė fizika ir termodinamika.................................................................. 9 

2.1. Molekulinė kinetinė dujų teorija.......................................................... 9 

2.2. Termodinamikos pagrindai..................................................................10 

3. Elektrostatika.....................................................................................................11 

4. Nuolatinės srovės dėsniai..................................................................................14 

5. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai......................................................................16 

6. Savarankiško darbo užduotys............................................................................37 

7. Literatūra...........................................................................................................59 

3

PAGRINDINĖS FORMULĖS IR SĄVOKOS 

1. FIZIKINIAI MECHANIKOS PAGRINDAI 

1.1. Kinematika 

Materialiojo taško (taško, dalelės) 

• padėtį erdvėje nusakome spinduliu vektoriumi: 

r r r r 

r = ix 

+ jy 

+ kz 

, 

r r r 

čia i, 

j, 

k - vienetiniai vektoriai, x, y, z – taško koordinatės; 

• vidutinysis greitis: 

r 

∆r 

v = , 

∆t 

• momentinis greitis: 

r 

dr 

r r r 

v = = vx 

i + vy 

j + vzk 

, 

dt 

čia v x 

dx 

, v y 

dt 

dy dz 

= , v z = 

dt dt 

• greičio modulis: 

ds 

v = = 

dt 

2 2 2 

v x + v y + v z , 

čia s – nueitas kelias; 

• nueitas kelias per laiko tarpą nuo t1 iki t2: 

= - greičio projekcijos atitinkamose koordinačių ašyse, t – laikas; 

t 2 

∫ 

s = v()dt 

t . 

t1 

• Pagreitis: 

r 2r dv 

d r r r r 

a = = = a x i + a y j + a zk 

, 

2 

dt dt 

dv x 

čia a x = 

dt 

2 

d x 

= , a 2 y 

dt 

2 dv y d y 

= = , a 2 z 

dt dt 

2 

dv z d z 

= = - pagreičio projekcijos atitinkamose 

2 

dt dt 

koordinačių ašyse; 

• pagreičio modulis: 

2 

x 

2 

y 

2 

z 

a = a + a + a . 

ds 

dv 

Tiesiaeigio tolyginio judėjimo ( = v = const; = a = 0 ) x ašies kryptimi 

dt 

dt 

• kinematinė judėjimo lygtis: 

x x 0 vt + = , 

čia x – taško koordinatė bet kuriuo laiko momentu, xo – pradinė koordinatė. 

dv 

Tiesiaeigio tolygiai kintamojo judėjimo ( = a = const. ) 

dt 

• kinematinė judėjimo lygtis: 

2 

at 

x = x 0 + v 0t 

+ , 

2 

čia vo – pradinis judėjimo greitis; 

4

• taško greitis: 

Kreivaeigio judėjimo 

• pilnutinis pagreitis: 

v v 0 at + = . 

r r 

a = a 

t 

r 

+ a 

lygus tangentinio (liestinio) t ar ir normalinio n ar (įcentrinio) 

pagreičių vektorinei sumai (1 pav.); 

• pilnutinio pagreičio modulis: 

• tangentinio pagreičio modulis 

a = a + a ; 

2 

n 

n 

2 

t 

dv 

a t = ; 

dt 

an r 

1 pav. 

• normalinio pagreičio modulis 

2 

v 

a n = , 

R 

čia R – trajektorijos kreivumo spindulys nagrinėjamame trajektorijos taške . 

Taško sukamojo judėjimo 

• kampinis greitis 

dϕ 

ω = ; 

dt 

• kampinis pagreitis 

2 

dω d ϕ 

ε = = , 2 

dt dt 

čia φ – posūkio kampas; 

• ryšys tarp linijinių ir kampinių dydžių, taškui judant R spindulio apskritimu: 

v = ωR , 

a t = εR , 

2 

a n = ω R . 

dϕ 

dω 

Tolyginio sukimosi ( = ω = const., = ε = 0 ) 

dt 

dt 

• kinematinė sukimosi lygtis: 

0 ωt + ϕ = ϕ , 

čia φ0 – pradinis posūkio kampas. 

dω 

Tolygiai kintamojo sukimosi ( = ε = const. ) 

dt 

• kinematinė sukimosi lygtis: 

2 

εt 

ϕ = ϕ0 

+ ω0 

t + , 

2 

čia ω0 – pradinis kampinis greitis; 

• kampinis greitis: 

ω ω0 

εt + = ; 

• sukimosi dažnis : 

n 

v = arba 

t 

5 

1 

υ = , 

T 

a t 

r 

a r

čia n – taško apsisukimų skaičius per laiką t; T – sukimosi periodas ( vieno pilno apsisukimo 

laikas). 

Harmoninio svyravimo 

• lygtis: 

x = A cos(ωt + φ0), 

čia x –svyruojančio taško nuokrypis nuo pusiausvyros padėties, A – svyravimų amplitudė, t – 

laikas, ω – ciklinis dažnis, φ0 – pradinė fazė, (ωt + φ0) – svyravimo fazė laiko momentu t; 

• ciklinis dažnis: 

ω = 2πν arba 

2π 

ω = ; 

T 

• harmoningai svyruojančio taško greitis: 

dx 

v = = -A ω sin(ωt + φ0) ; 

dt 

• pagreitis: 

2 

dv d x 

a = = = -A ω 2 

dt dt 

2 cos(ωt + φ0). 

Dviejų vienos krypties ir vienodo dažnio harmoninių svyravimų sudėtis 

• atstojamojo svyravimo amplitudė: 

A 2 = A1 2 + A2 2 + 2A1A2 cos ( φ1 – φ2), 

čia A1 ir A2 – sudedamų svyravimų amplitudės; φ1 ir φ2 – jų pradinės fazės; 

• atstojamojo svyravimo fazė: 

A1sinϕ1 

+ A 2sinϕ 

2 

tgϕ 

= ; 

A1cosϕ1 

+ A 2cosϕ 

2 

Taško, svyruojančio dviem statmenomis kryptimis vienodu dažniu, trajektorijos lygtis: 

2 

x 

2 

A 

2 

y 

+ 2 

A 

2xy 

− 

A A 

2 

cos( 

ϕ 2 −ϕ 

1 ) = sin ( ϕ 2 −ϕ 

1 ) , 

1 2 1 2 

čia A1 ir A2 – svyravimų amplitudės; φ1 ir φ2 – pradinės fazės. 

1.2.1. Slenkamojo judėjimo dinamika 

1 

1.2. Dinamika 

r r r 

Kūną veikiančių jėgų F1 

, F2 

,..., Fn 

atstojamoji: 

r r r r n r 

F = F + F + ... + F = F , 

2 

n 

∑ 

i= 

1 

Niutono dėsniai: 

• pirmasis 

kai F Fi 

0 = = ∑ r r 

, tai 

r 

v = const; 

• antrasis ( pagrindinis dinamikos dėsnis ): 

r 

d p 

r r 

= F , arba ma 

= F, 

dt 

r r 

čia p = mv 

- judėjimo kiekis (impulsas), m - kūno masė, a – pagreitis, F = 

jėgos F modulis; 

• jėgos F r projekcijos Fx, Fy, Fz, atitinkamose koordinačių ašyse: 

ma x = Fx 

, ma y = Fy, 

, ma z = Fz 

; 

6 

i 

2 

x 

2 

y 

2 

z 

F + F + F -

• trečiasis Niutono dėsnis: 

r r 

F1 

= −F2 

. 

Jėgos: 

• tamprumo jėga 

Ftampr. = -kx, 

čia k – tamprumo koeficientas ( spyruoklės atveju – standumas), x - absoliutinė deformacija; 

• gravitacinės sąveikos jėga : 

m1m 

2 

F = G , 2 

r 

čia G – gravitacinė konstanta, m1 ir m2 – sąveikaujančių kūnų ( materialiųjų taškų ) masės, r – 

atstumas tarp jų;. 

• slydimo trinties jėga: 

Ftr = µN, 

čia µ – trinties koeficientas, N – atramos reakcijos jėga. 

Mechaninis darbas: 

• pastovios jėgos 

r r 

A = F⋅ 

∆s 

= F∆scosα 

, 

čia ∆s r – taško poslinkis, α – kampas tarp jėgos ir poslinkio (greičio) krypties; 

• kintamos jėgos: 

s r s 

r 

A = F⋅ 

ds 

= Fdscosα , 

∫ ∫ 

0 

čia ds r – be galo mažas poslinkis išilgai trajektorijos, kuriame jėgą galime laikyti pastovia. 

Galia: 

• momentinė 

• pastovios jėgos F 

dA 

N = , 

dt 

arba N = F v cosα ; 

r : 

Energija: 

A 

N = , 

t 

arba N = F v cosα . 

• judančio materialiojo taško ( kūno ) kinetinė energija: 

2 

mv 

Wk 

= , 

2 

čia m – taško ( kūno ) masė, v – judėjimo greitis; 

• suspaustos ( ištemptos ) spyruoklės potencinė energija: 

2 

kx 

Wp 

= . 

2 

• Dviejų materialiųjų taškų ( kūnų ) gravitacinės sąveikos potencinė energija: 

m1m 

2 

Wp 

= −G 

, 

r 

čia m1 ir m2 – taškų ( kūnų ) masės, r – atstumas tarp jų. 

• Kūno, esančio vienalyčiame sunkio jėgos lauke, potencinė energija: 

Wp = mgh, 

čia h – kūno aukštis virš lygio, kurį pasirenkame nuliniu. 

• Kūnų sistemos pilnutinė mechaninė energija 

lygi visų sistemą sudarančių kūnų kinetinės ir potencinės energijų sumai: 

W = ∑ Wki 

+ ∑ Wpi 

. 

i 

i 

7 

0

Mechaninės energijos tvermės dėsnis: 

uždarosios konservatyviosios mechaninės sistemos pilnutinė mechaninė energija nekinta 

W = const. 

Kūnų sistemos pilnutinės mechaninės energijos pokytis lygus sistemą veikiančių išorinių 

jėgų darbui: 

∆W=W2 – W1 = Aiš.. 

Judėjimo kiekis ( impulsas): 

• materialiojo taško 

p = mv, 

• sistemos 

n n 

r r r 

p = p = m v 

∑ 

i= 

1 

lygus visų sistemą sudarančių materialiųjų taškų judėjimo kiekių (impulsų) vektorinei sumai. 

Judėjimo kiekio tvermės dėsnis: 

uždaroje sistemoje sistemos impulsas nekinta, vykstant bet kokiems procesams jos viduje 

v m p p 

n n 

r r r 

= = = const. 

∑ 

i= 

1 

i 

∑ 

i= 

1 

1.2.2. Sukamojo judėjimo dinamika 

i 

Materialiųjų taškų sistemos masės centru vadiname tašką, kurio padėtį nusako 

spindulys vektorius: 

r 

c 

n r 

∑ mi 

ri 

i= 

1 

= n 

m 

, 

čia m1 – i-tojo taško masė, ri 

masės centro koordinatės: 

i 

i 

∑ 

i= 

1 

∑ 

i= 

1 

i 

i 

i 

r - jo spindulys vektorius, o n – sistemą sudarančių taškų skaičius; 

x 

y 

c 

c 

∫ 

xdm 

m 

= , 

m 

∫ 

ydm 

m 

= , 

m 

zdm 

z c 

m 

= 

m 

, 

čia m – kūno masė, x, y, z – masės elemento dm koordinatės. 

∫ 

Kūną veikiančių jėgų momentas: 

• taško O atžvilgiu; 

r r r 

M = r × F ; M = Frsinα = Fℓ; 

čia F r - kūną veikiančių jėgų atstojamoji, r - spindulys vektorius, išvestas iš taško O į jėgos 

veikimo tašką, α – kampas tarp r ir F r , ℓ - jėgos F r petys (trumpiausias atstumas nuo sukimosi 

ašies iki jėgos veikimo linijos); 

• ašies atžvilgiu: 

8

jėgos momentas Mz ašies Oz atžvilgiu lygus jėgos momento M r bet kurio šios ašies taško 

atžvilgiu projekcijai šioje ašyje: 

( r F) 

z 

M z = × 

• 

Inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu: 

materialiojo taško 

I = mr 2 , 

čia m – taško masė, r – atstumas nuo sukimosi ašies; 

• kietojo kūno 

n 

∑ 

i= 

1 

2 

= ∆m I , 

i i r 

čia ∆mi – kūno i-tojo elemento masė; ri – atstumas nuo šio elemento iki sukimosi ašies, n – kūno 

elementų skaičius; 

• ištisinio kietojo kūno 

2 

I = r dm ; 

• jeigu kūnas vienalytis, tai 

∫ 

2 

dm = ρdV ir I = ρ r dV . 

Kai kurių taisyklingos geometrinės formos vienalyčių kūnų inercijos momentai: 

• tiesaus strypo ašies, einančios statmenai strypui per jo masės centrą ir sutampančios su jo 

simetrijos ašimi, atžvilgiu 

1 2 

I = ml 

, 

12 

čia ℓ - strypo ilgis, m – jo masė. 

• vienalyčio pilnavidurio cilindro (disko) ašies, sutampančios su jo simetrijos ašimi, 

atžvilgiu 

1 2 

I = mR , 

2 

čia R – cilindro spindulys, m – jo masė. 

• vienalyčio tuščiavidurio cilindro (žiedo) ašies, sutampančios su jo simetrijos ašimi, 

atžvilgiu 

1 2 2 

I = m( 

R + r ) , 

2 

čia R – cilindro išorinis spindulys, r – vidinis spindulys, m – jo masė; 

• vienalyčio rutulio ašies, einančios per jo masės centrą, atžvilgiu 

2 2 

I = mR . 

5 

Šteinerio teorema: 

2 

0 md I I = + , 

čia I – kūno inercijos momentas bet kurios ašies atžvilgiu, I0 – kūno inercijos momentas ašies, 

einančios per jo masės centrą, atžvilgiu, d – atstumas tarp ašių, m – kūno masė. 

Kūno judėjimo kiekio (impulso) momentas sukimosi ašies atžvilgiu: 

r r 

L = Iω 

. 

Besisukančio kietojo kūno pagrindinė 

r 

dinamikos lygtis: 

r dL 

d r 

M = = ( Iω) 

. 

dt dt 

dω 

Jeigu I = const., tai M = I = Iε , 

dt 

9 

∫

čia ω – kampinis greitis, ε – kampinis pagreitis. 

Pastovaus jėgų momento M darbas: 

A = Mφ, 

čia φ – kūno posūkio kampas. 

Besisukančio kūno momentinė galia: 

N = Mω. 

Besisukančio kūno kinetinė energija: 

2 

Iω 

Wk 

= . 

2 

Jei kūnas slenka greičiu v ir kartu sukasi apie ašį, einančią per jo masių centrą, jo 

kinetinė energija 

2 2 

mv Iω 

Wk 

= + . 

2 2 

Besisukančio kūno kinetinės energijos pokytis lygus išorinių jėgų darbui: 

2 2 

Iω 2 Iω1 

A = − . 

2 2 

Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnis: 

uždaroje sistemoje 

n 

L = const, 

r 

čia Li r - i-tojo sistemą sudarančio kūno judėjimo kiekio momentas. 

Idealiųjų dujų 

• būsenos lygtis: 

∑ 

i= 

1 

i 

2. MOLEKULINĖ FIZIKA IR TERMODINAMIKA 

2.1. Molekulinė kinetinė dujų teorija 

M 

pV = RT, 

µ 

čia P,V,T – atitinkamai dujų slėgis, tūris, temperatūra, M – dujų masė, µ – jų molinė masė, R – 

universalioji dujų konstanta; 

• pagrindinė molekulinės kinetinės teorijos lygtis: 

2 

pV Wk 

n 0kT 

3 

= = , 

čia W k - vidutinė dujų slenkamojo judėjimo kinetinė energija, n0 – molekulių skaičius tūrio 

vienete (koncentracija), k – Bolcmano konstanta. 

Molekulės vidutinė kinetinė energija: 

• tenkanti vienam laisvės laipsniui 

1 

ε1 = kT ; 

2 

• pilnutinė molekulės energija (tenkanti visiems laisvės laipsniams) 

i 

ε = kT ; 

2 

čia I – molekulės laisvės laipsnių skaičius. 

Molekulių greičiai: 

• vidutinis kvadratinis 

10

v vid.kv. = 

2 

v = 

3kT 

= 

m 

3RT 

; 

M 

• vidutinis aritmetinis greitis 

v = 

8kT 

= 

πm 

8RT 

; 

πM 

• tikimiausias greitis 

v t = 

2kT 

= 

m 

3RT 

, 

M 

čia m – dujų molekulės masė. 

Molekulių skirstiniai: 

• Molekulių skirstinys pagal greičius (Masksvelo skirstinys) 

⎛ m ⎞ 

2 

2 −mv 

/(2kT) 

f(v) = 4π⎜ 

⎟ v e , 

⎝ 2πkT 

⎠ 

čia skirstinio funkcija f(v) yra lygi tikimybės tankiui, kad molekulės greičio modulis v; 

• molekulių, kurių greičiai yra intervale [ v, v + dv] 

, skaičius: 

dn = nf(v)dv, 

čia n – molekulių skaičius sistemoje;. 

• Bolcmano skirstinys ( dalelių koncentracijos skirstinys potencialiniame jėgų lauke): 

n 

0 

00 

−E 

p/(kT) 

= n e , 

čia - = n (x, y, z, ), n = n (x , y , z ) dalelių koncentracijos taškuose (x,y,z) ir 

n 0 0 

00 0 0 0 0 

(x 0 , y 0 , z 0 ) , Wp Wp 

(x, y, z), Wp 

= Wp 

(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 

0 

taškuose. 

Barometrinė formulė: 

3 

2 

= - potencinės energijos šiuose 

µgh 

RT 

0e − 

p p = , 

čia p = p(h) – atmosferos slėgis aukštyje h nuo Žemės paviršiaus, p0- slėgis aukštyje h = 0. 

Molekulės vidutinis laisvasis kelias: 

1 

l = ; 2 

2πd 

n0 

čia d – molekulės diametras. 

2.2. Termodinamikos pagrindai 

Pirmasis termodinamikos dėsnis – energijos tvermės dėsnis šiluminiams procesams: 

∆Q = ∆U + A , 

čia ∆Q - termodinaminei sistemai suteiktas šilumos kiekis, ∆U − termodinaminės sistemos 

vidinės energijos pokytis, A - termodinaminės sistemos atliktas darbas; 

• elementariems dydžiams: 

δQ = dU + δA . 

Idealiųjų dujų vidinė energija: 

iM 

U = RT . 

2µ 

Savitoji (specifinė) šiluma: 

11

C 

c = , 

µ 

čia C – molinė šiluma. 

Idealiųjų dujų molinės šilumos: 

i 

i + 2 

C V = R ir C P = R , 

2 

i 

čia Cv - izochorinė molinė šiluma, Cp - izobarinė molinė šiluma. 

Idealiųjų dujų molimių (taip pat ir specifinių) šilumų santykis: 

i + 2 

γ = . 

i 

Dujų plėtimosi darbas: 

• kai dujos plečiasi izobariškai 

• izochoriškai 

• izotermiškai 

V2 

∫ 

A = pdV , 

V1 

A 2 1 − 

= p(V V ) , 

A = 0, 

M V2 

A = RTln , 

µ V1 

čia V1, V2, p1, p2 - atitinkamai termodinaminės sistemos pradinės ir galinės būsenos tūris ir 

slėgis. 

Šiluminės mašinos naudingumo koeficientas: 

Q1 

− Q 2 

η = , 

Q1 

čia Q1 - iš šildytuvo gautas šilumos kiekis, Q2 - aušintuvui atiduotas šilumos kiekis. 

Idealiuoju Karno ciklu dirbančios šiluminės mašinos naudingumo koeficientas: 

T1 

− T2 

η = , 

T2 

čia T1, T2 – šildytuvo ir aušintuvo temperatūros. 

Sistemos entropijos pokytis, jai pereinant iš 1 į 2 būseną: 

2 

δQ 

∆S = S2 

− S1 

= ∫ , 

T 1 

čia δQ – sistemos gautas arba atiduotas elementarusis šilumos kiekis, δQ = dU + δA . 

Kulono dėsnis: 

3. ELEKTROSTATIKA 

r 1 

= 

4πεε 

q1q 

⋅ 

r 

2 

F 3 

0 

čia F r – dviejų taškinių krūvių q1 ir q2 sąveikos jėga, r - atstumas tarp krūvių, ε - aplinkos 

santykinė dielektrinė skvarba, ε0 = 8,85 . 10 -12 F/m - elektrinė konstanta. 

Elektros krūvio tvermės dėsnis: 

n 

∑ 

i= 

1 

q 

i = 

const, 

t.y. izoliuotos sistemos elektros krūvių algebrinė suma. yra pastovus dydis. 

Elektrinio lauko stipris: 

12 

r ,

F 

E = , 

q 

čia F- jėga , veikianti teigiamą taškinį krūvį. 

• Taškinio krūvio elektrinio lauko stipris: 

1 

= 

4πεε 

• jo modulis 

q 

⋅ r , 

r 

E 3 

0 

1 

q 

E = ⋅ 2 

4πεε0 

r 

• n taškinių krūvių sistemos elektrinio lauko stipris (superpozicijos principas): 

n 

∑ Ei 

i= 

1 

E = . 

Elektrinio lauko stiprio srautas pro paviršių S: 

Φ = ( Eds) 

= E ds , 

čia nds 

vektoriaus projekcija paviršiaus normalėje). 

Gauso teorema: 

1 

∫ ( Eds) 

= ∑q 

i , 

εε 

∫ 

čia ( Eds) 

s 

∫ 

s 

ds = (n r - paviršiaus normalės vienetinis vektorius, En - elektrinio lauko stiprio 

s 

- elektrinio lauko stiprio srautas pro bet kokį uždarąjį paviršių, ∑ i 

gaubiamų elektros krūvių algebrinė suma. 

Begalinės tolygiai įelektrintos plokštumos elektrinio lauko stipris: 

σ 

E = 

εε 0 

, 

čia σ – paviršinis krūvio tankis. 

Tolygiai įelektrinto rutulio elektrinio lauko stipris: 

• rutulio išorėje 

1 

E = 

4πεε 

q 

⋅ 2 , 

0 r 

0 

. 

∫ 

s 

i 

n 

q i - to paviršiaus 

• rutulio viduje 

q 

E = ⋅ r , 3 

4πεε 

0R 

čia R – rutulio spindulys. 

Elektrinio lauko potencialas: 

A 

ϕ = , 

q 

čia A – lauko jėgų atliekamas darbas, perkeliant teigiamą krūvį q iš duoto taško į begalybę; 

• taškinio krūvio potencialas 

1 q 

ϕ = ⋅ , 

4πεε 

r 

• n taškinių krūvių sistemos potencialas: 

n 

∑ 

i= 

1 

0 

ϕ = ϕ . 

13 

i

Elektrostatinio lauko stiprio ir potencialo ryšys: 

E = −gradϕ 

, 

• vienalyčiam laukui: 

ϕ1 

−ϕ 

2 ∆ϕ 

E = = , 

d d 

1 ,ϕ ϕ - dviejų elektrinio lauko taškų potencialai, d – atstumas tarp tų taškų. 

Darbas, atliekamas perkeliant krūvį elektriniame lauke: 

čia 2 

čia dl - elementarusis poslinkis, 

• vienalyčiam laukui 

A = q( ϕ − ϕ ) = q∆ϕ 

= q ( Edl 

) , 

1 2 ∫ 

l 

A = qElcosα 

, 

čia α - kampas tarp lauko stiprio E ir poslinkio l r . 

Dipolio elektrinis momentas: 

r 

p = ql 

, 

čia l r - dipolio petys. 

Elektrinė slinktis: 

D = εε 0 E . 

Elektrostatinio lauko stipris ties įelektrinto laidininko paviršiumi: 

σ 

E = , 

εε 0 

čia σ – krūvio paviršinis tankis. 

Elektrinė talpa: 

• laidininko 

q 

C = , 

ϕ 

čia q – laidininkui suteiktas krūvis, φ – laidininko potencialas; 

• kondensatoriaus 

q 

C = , 

∆ϕ 

čia q – kondensatoriaus krūvis, ∆ ϕ - kondensatoriaus elektrodų potencialų skirtumas; 

• plokščiojo kondensatoriaus 

εε 0S 

C = , 

d 

čia S – elektrodo paviršiaus plotas, d – atstumas tarp elektrodų, ε - dielektriko, esančio tarp 

kondensatoriaus elektrodų, santykinė dielektrinė skvarba.; 

• n nuosekliai sujungtų kondensatorių 

1 1 

= ; 

C C 

• n lygiagrečiai sujungtų kondensatorių: 

Energija: 

• n taškinių elektros krūvių 

n 

∑ 

i= 1 i 

n 

∑ Ci 

i= 

1 

C = . 

14

n 

W = ∑ q i ϕ i , 

i= 

1 

čia φi - potencialas taško, kuriame yra krūvis qi ir kurį kuria visi kiti krūviai ,išskyrus qi; 

• įelektrinto laidininko 

2 

1 2 1 q 1 

W = Cϕ 

= ⋅ = qϕ 

; 

2 2 C 2 

• įelektrinto kondensatoriaus 

2 

1 

2 1 q 1 

W = C(∆ϕ) 

= ⋅ = q∆ϕ 

. 

2 2 C 2 

Elektrinio lauko energijos tankis: 

1 2 1 

w e = εε 0E 

= ED. 

2 2 

Srovės stipris: 

• nuolatinės srovės ( I = const.) 

4. NUOLATINĖS SROVĖS DĖSNIAI 

dq 

I = ; 

dt 

q 

I = , 

t 

čia q – krūvis, pratekėjęs laidininko skerspjūviu per laiką t. 

Elektros srovės tankis 

r I r 

j = k = q o nv 

, 

S 

čia k r - vienetinis vektorius, kurio kryptis sutampa su teigiamų krūvininkų judėjimo kryptimi, 

S – laidininko skerspjūvio plotas, qo – laisvojo krūvininko krūvis, n – laisvųjų krūvininkų tankis, 

v - laisvųjų krūvininkų kryptingo judėjimo grietis. 

Vienalyčio laidininko varža: 

l l 

R = ρ = , 

S σS 

1 

čia ρ – savitoji (specifinė) laidininko medžiagos varža, σ = – savitasis laidumas, ℓ - laidininko 

ρ 

ilgis. 

Savitosios varžos priklausomybė nuo temperatūros metaluose: 

ρ ρ 0 ( 1 αt) 

+ = , 

čia ρ – t temperatūros laidininko savitoji varža, ρ0 - 0°C temperatūros laidininko savitoji varža, 

α – temperatūrinis varžos koeficientas. 

Pilnutinė varža 

• nuosekliai sujungtų laidininkų 

n 

∑ R i 

i= 

1 

R = , 

• lygiagrečiai sujungtų laidininkų 

n 1 1 

= ∑ , 

R i= 1 R i 

čia Ri – i-tojo laidininko varža, n – laidininkų skaičius. 

15

Omo dėsnis: 

• diferencialine forma 

čia E r - elektrinio lauko stipris; 

• vienalytei grandinės daliai 

• nevienalytei grandinės daliai 

• uždarai grandinei (φ1 = φ2) 

r r 

j = σE 

, 

ϕ1 

−ϕ 

2 

I = = 

R 

I = 

( ϕ −ϕ 

) 

1 

ε + 

I = , 

R r 

2 + 

R 

čia (φ1-φ2) – grandinės dalies galų potencialų skirtumas, ε1-2 – grandinės dalyje veikianti 

elektrovara, ε – visoje grandinėje veikianti elektrovara (visų šaltinių elektrovarų algebrinė 

suma), R – išorinė grandinės (grandinės dalies) varža, r – vidinė (šaltinių) varža. 

Kirchhofo dėsniai: 

• visų per mazgą tekančių srovių algebrinė suma lygi nuliui (įtekančių į mazgą srovių 

suma lygi ištekančių iš mazgo srovių sumai): 

n 

∑ 

i= 

1 

I = 0 , 

i 

čia n – srovių, tekančių per vieną mazgą skaičius; 

• kiekviename uždarame kontūre įtampų kritimų ( srovės stiprių ir atitinkamų kontūro 

dalių varžų sandaugų) algebrinė suma lygi visų šio kontūro elektrovarų algebrinei sumai 

n 

∑ 

i= 

1 

k 

∑ε 

i= 

1 

U 

R 

; 

ε − 

I R = , 

i 

i 

čia Ii – i-tosios kontūro dalies srovės stipris, Ri – i-tosios kontūro dalies varža, εi – i-tosios 

kontūro dalies elektrovaros jėga, n - kontūro dalių skaičius, k – kontūre veikiančių srovės 

šaltinių skaičius. 

Elektros srovės darbas per laiką t: 

2 

2 U 

A = IUt = I Rt = t . 

R 

Elektros srovės galia: 

• grandinės dalyje 

2 

2 U 

P = IU = I R = , 

R 

čia U – grandinės galų potencialų skirtumas; 

• uždaroje grandinėje: 

a) šaltinio pilnutinė galia 

b) galia išorinėje grandinės dalyje 

P 

0 

ε 

i 

1 2 

( R + r) 

2 

= I = I = ; 

R + r 

16 

; 

ε 

2

čia U – šaltinio gnybtų įtampa. 

P 

U 

R 

ε 

2 

2 

= IU = = I 

2 

− I r = , 

Srovės šaltinio naudingumo koeficientas: 

P U R 

η = = = . 

P0 

ε R + r 

Džaulio ir Lenco dėsnis: 

2 

Q = I Rt , 

čia Q – šilumos kiekis, išsiskyręs grandinės dalyje per laiką t. 

ε 

R 

( ) 2 

R + r 

5. UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI 

1. Materialiojo taško judėjimo lygtis x = At – Bt 2 , čia A = 10m/s, B = 0,5m/s 2 . Nubrėžkite 

taško koordinatės, greičio ir pagreičio priklausomybės nuo laiko grafikus. Laiko 

momentui t1 = 5s apskaičiuokite taško koordinatę x1, momentinį greitį v1 ir momentinį 

pagreitį a1. 

x1 x = At – Bt 2 

v1 A = 10 m/s 

a1 B = 0,5 m/s 2 

x = x(t) t1 = 5 s 

v = v(t) 

a = a(t) 

. 

Iš judėjimo lygties matyti, kad taškas juda išilgai OX ašies. Pradžioje judėjimas tolygiai 

lėtėjantis, po to tolygiai greitėjantis. Todėl, norint nubrėžti koordinatės priklausomybės nuo laiko 

grafiką, reikia rasti charakteringas koordinatės vertes - koordinatę pradiniu laiko momentu, 

koordinatę, kai taškas keičia judėjimo kryptį, kai grįžta į pradinę padėtį, bei rasti laiko 

momentus, atitinkančius šias koordinates 

Pradiniu laiko momentu t = 0, pradinė koordinatė x0 = 0. 

Rasime, kaip kinta taško greitis: 

dx 

v = = A-2Bt . (1) 

dt 

Taškas sustoja po laiko t1. Šiuo momentu jo greitis lygus 0: 

A - 2Bt = 0 , 

A 

. t1 = 10s. 

Tuo momentu taško koordinatė: 

t1 = 2B 

A 

x1 = 

4B 

2 

. x1 = 50m. 

Matome, kad po 10 s nuo judėjimo pradžios taško judėjimo kryptis keičiasi į priešingą – 

dabar judėjimas yra tolygiai greitėjantis. Taškas juda kryptimi, priešinga OX ašiai. 

Raskime, po kiek laiko t2 taškas grįš į pradinę padėtį, t.y. jo koordinatė bus lygi 0: 

Tada 

x2 = At2 – Bt2 2 = 0 . 

17

A 

t2 = . t2 = 20s. 

B 

Norėdami nubrėžti grafiką, be šių charakteringų taškų, raskime dar kelias koordinatės reikšmes. 

Gautus rezultatus surašome į lentelę: 

t, s 0 6 10 14 20 22 

x, m 0 42 50 42 0 -22 

Brėžiame koordinatės priklausomybės nuo laiko grafiką ( 2 pav): 

Greičio priklausomybės nuo laiko grafiką nubrėšime pasinaudodami (1) lygtimi. Iš 

lygties matyti, kad greičio priklausomybė nuo laiko yra tiesinė, todėl užtenka dviejų taškų: kai t 

= 0, v0 = A, v0 = 10 m/s. Kai t1 = 10 s, v = 0 ( 3 pav. ). 

Taško judėjimo pagreitis 

dv 

a = = −2B 

, a = -1 m/s 

dt 

2 . 

Matyti, kad pagreitis nuo laiko nepriklauso, t.y. jis pastovus. Todėl pagreičio 

priklausomybė nuo laiko grafikas bus tiesė, lygiagreti t ašiai ( 4 pav). 

x,m 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

5 10 15 20 25 t,s 

2 pav. 

v,m/s 

5 10 15 20 t,s 

Taško koordinatė laiko momentu t1: x1 = At1 – Bt1 2 . 

10 

5 

0 

-5 

3pav. 

a,m/s 2 

Įrašę skaitines A, B ir t1 vertes gauname: x1 = 37,5 m. 

Taško greitis laiko momentu t1: v1 = A – 2Bt1; v1 = 5 m/s. 

Kadangi taško pagreitis laikui bėgant nekinta, tai: a1 = -1 m/s 2 . 

1 

0 

-1 

5 10 15 20 t,s 

4 pav. 

2. Du automobiliai važiuoja vienas prieš kitą. Vienas, kurio pradinis greitis 72 km/h, 

važiuoja tolygiai lėtėjančiai 2 m/s 2 pagreičiu, o kitas, kurio pradinis greitis 18 km/h, 

važiuoja tolygiai greitėjančiai tokiu pat pagreičiu. Pradinis atstumas tarp 

18

automobilių 100 m. Po kiek laiko automobiliai susitiks? Kokį kelią nuvažiuos 

kiekvienas automobilis per tą laiką? 

v01 = 72 km/h = 20 m/s 

v 01 

2 

r 

v 02 

r 

t1 

s1 

v02 = 18 km/h = 5 m/s 

a1 = 2 m/s 1 

2 

s2 a2 = 2 m/s 2 

x02 = 100m 

0 A 

5 pav. 

x 

OX ašį pasirenkame taip, kad ji sutaptų su pirmojo automobilio judėjimo kryptimi, o 

koordinačių pradžia sutaptų su tašku, kuriame pirmasis automobilis būna pradiniu laiko 

momentu (t = 0 ) ( 5 pav). 

Užrašome abiejų automobilių judėjimo skaliarines lygtis (atsižvelgę į vektorių projekcijų 

ženklus ): 

2 

a1t 

x1 

= v01t 

− . 

2 

(1) 

2 

a 2t 

x 2 = x 02 − v 02 t − . 

2 

(2) 

Laiko momentu t = t1 automobiliai susitiks taške A. Šiame taške abiejų automobilių 

koordinatės yra vienodos: 

x1 = x2 . (3) 

(1) ir (2) įrašę į (3) gauname: 

2 

a1t 

1 

v 01t 

1 − = x 02 

2 

2 

a 2t 

1 

− v 02t 

− . 

2 

Atsižvelgę, kad a1 = a2, gauname: 

x 02 

t1 

= 

v 01 + v 02 

Per laiką t1 pirmasis automobilis nuvažiuos kelią: 

. t1 = 4 s. 

2 

a1t 

1 

s1 

= v01t 

1 − 

2 

. 

( ) ⎟⎟ 

x 02 ⎛ a1x 

02 ⎞ 

s = 

⎜ 

1 

v01 

− 

. 

v01 

+ v02 

⎝ 2 v01 

+ v 02 ⎠ 

s1 = 64 m. 

Antrasis automobilis nuvažiuos kelią: 

a1 r 

( ) ⎟⎟ 

x 02 ⎛ a 2x 

02 ⎞ 

s = 

⎜ 

2 

v 02 + 

. s2 = 36 m. 

v01 

+ v 02 ⎝ 2 v01 

+ v 02 ⎠ 

3. Iš balkono, esančio 15 m aukštyje virš žemės paviršiaus, vertikaliai į viršų mestas 

kamuoliukas ant žemės nukrito po 3 s. Kokiu pradiniu greičiu buvo išmestas 

kamuoliukas? Po kiek laiko kamuoliukas buvo balkono aukštyje? 

v 0 

r 

v h = 15 m 

τ t1 = 3 s 

19 

h 

0 

y 

g r 

a 2 

r 

g 

6 pav..

g = 9,8 m/s 2 

Atskaitos pradžią susiejame su balkonu, o 0Y ašį nukreipiame vertikaliai žemyn (6 pav.). 

Užrašome skaliarinę kamuoliuko judėjimo lygtį: 

2 

gt 

y = −v 

0 t + . 

2 

Po laiko t = t1 kamuoliukas nukris ant žemės ir jo koordinatė bus: y = h, 

2 

gt1 

h = −v 

0 t1 

+ . 

2 

Iš čia 

2 

gt1 

− 2h 

v 0 = . v0 = 10 m/s. 

2t1 

Kamuoliukas balkono aukštyje bus po laiko τ. Jo koordinatė šiuo momentu y = 0. 

gτ 

τ v 0 0 

2 

= ⎟ 

⎛ ⎞ 

⎜ − . 

⎝ ⎠ 

Iš čia τ΄ = 0 

2v 0 

ir 

τ′ 

′ = . 

g 

Įrašę v0 vertę gauname 

2h 

τ′ ′ = t1 

− . 

gt1 

Pirmoji šaknis τ΄ atitinka pradinį laiko momentą, kai kamuoliukas išmetamas. Antrą kartą 

kamuoliukas bus balkono aukštyje leisdamasis, po laiko τ˝= τ. 

τ = 2 s. 

4. Kūnas metamas horizontaliąja kryptimi v0 pradiniu greičiu. Koks kūno normalinis 

ir tangentinis pagreitis po laiko t ? Koks bus trajektorijos kreivumo spindulys tuo 

momentu? 

an v0 

v 0 

at 

R 

t 

r 

0 

x 

y 

7 pav. 

Koordinačių sistemą susiejame su išmetimo tašku. Ašį 0X nukreipiame horizontaliai, 

OY – vertikaliai žemyn. Po laiko t kūnas bus taške A (7 pav). Kadangi judėjimas OX kryptimi 

tiesiaeigis tolyginis, tai greičio dedamoji šia kryptimi bus v0 ir laikui bėgant nekis. 

20 

a n 

r 

α 

v r 

g r 

y 

A 

α 

v 0 

r 

v r 

a t 

r

OY kryptimi judėjimas tiesiaeigis tolygiai greitėjantis. Greičio dedamoji šia kryptimi 

taške A bus vy. Todėl kūno greitis taške A: 

r r r 

v = v + v 

ir 

ir 

0 

v = v + v . 

Pradinis greitis 0Y kryptimi lygus 0, todėl: 

vy = gt (1) 

2 

0 

v + 

y 

2 

y 

2 2 2 

= v0 

g t . (2) 

Kadangi kūnas laisvai krinta, tai pilnutinis pagreitis a r kiekviename trajektorijos taške 

lygus laisvojo kritimo pagreičiui g r . 

r r r r 

a = g = a n + a t . 

r r 

a ⊥ a , tai 

bei: 

tai 

Kadangi n t 

Iš brėžinio: 

g = a + a . 

2 

n 

2 

t 

an = g cosα , (3) 

at = g sinα , (4) 

v0 

cosα = , 

v 

(5) 

v y 

sinα = . 

v 

(5} ir (6) įrašę į (3) ir (4), gauname: 

(6) 

v 

v 

0 

y 

a n = g ir a t = . 

v 

v 

Atsižvelgę į (1) bei (2) : 

a n = 

gv0 

2 2 2 

v + g t 

, 

Kadangi 

Įrašę v ir an vertes gauname: 

a 

t 

0 

2 

g t 

= . 

2 2 

v + g t 

2 

0 

2 

v 

a n = , 

R 

2 

v 

R = . 

a 

R 

n 

2 2 2 ( v + g t ) 

= 

0 

3 

2 

. 

gv 

0 

5. Besisukančio R = 0,2 m spindulio disko posūkio kampo priklausomybė nuo laiko 

aprašoma lygtimi: φ = A + Bt – Ct 3 . Čia A = 4 rad, B = 5 rad/s, C = 1 rad/s 2 . Raskite 

taško, esančio disko pakraštyje, kampinį greitį, linijinį greitį, kampinį pagreitį, 

21

pilnutinį pagreitį po 1 s nuo judėjimo pradžios. Po kiek laiko diskas sustos? Kiek 

kartų jis apsisuks per tą laiką? 

ω R = 0,2 m 

v A = 4 rad 

ε B = 5 rad/s 

a C = 1 rad/s 3 

t2 t1 = 1 s 

N φ = A + Bt – Ct 3 

Žinome, kad kampinis greitis lygus 

dϕ 

ϖ = . 

dt 

ω = B – 3Ct. 

Linijinio ir kampinio greičio ryšys: 

v = ωR. 

v = ( B – 3Ct 2 )R. 

Pagal apibrėžimą kampinis pagreitis: 

dϖ 

ε = . 

dt 

ε = -6Ct. 

Pilnutinis taško, esančio disko pakraštyje, pagreitis: 

r r r 

a = a + a , 

n 

a = a + a , 

čia an - normalinis pagreitis, at – tangentinis pagreitis. 

Kadangi an = ω 2 R, 

o at = εR, 

tai 

2 

n 

t 

2 

t 

a + 

4 2 

= R ϖ ε , 

( ) ( ) 2 

2 4 

B − 3Ct + 6Ct 

a = R 

Po 1 s nuo judėjimo pradžios t = t1: 

ω = 2 rad/s, 

v = 0,4 m/s, 

ε = 6 rad/s 

− . 

2 , 

a ≈ 1,4 m/s 2 . 

Diskas sustos po laiko t2, kai jo kampinis greitis bus lygus nuliui: 

0 = B – 3Ct2 2 , 

t 2 = 

B 

, 

3C 

t2 ≈ 1,3 s. 

Per laiką t2 diskas pasisuko kampu 

φ1 = A + Bt2 – Ct2 3 , 

todėl visas sūkių skaičius: 

ϕ1 

N = . 

2π 

B ⎛ B ⎞ 

A + B − C⎜ 

⎟ 

3C ⎜ 3C ⎟ 

N = 

⎝ ⎠ 

, N = 1,3 . 

2π 

22 

3

6. Materialusis taškas svyruoja pagal dėsnį x = A cos( ωt + φ ), čia A = 3 cm, 

ω = π rad/s. Raskite taško greitį, kai nukrypimas nuo pusiausvyros padėties 

x1 = 1,5 cm. 

x = A cos(ωt + φ) 

v1 A = 3 cm = 3·10 -2 m 

ω = π rad/s 

x1 = 1,5 cm = 1,5·10 -2 m 

Taško greitis lygus pirmajai koordinatės išvestinei pagal laiką: 

dx 

v = = -A ω sin(ωt + φ). 

dt 

Sudarome lygčių sistemą: 

x = A cos(ωt + φ), 

v = -A ω sin(ωt + φ). 

Perrašykime šią sistemą taip: 

x 

cos(ωt + φ) = , 

A 

v 

sin(ωt + φ) = − . 

Aω 

Pakėlę abi lygtis kvadratu ir sudėję, gauname: 

2 2 

x v 

+ = 1 . 

2 2 2 

A A ω 

Iš čia 

v = ± ω 

2 2 

A − x . 

Kai x = x1, v = v1 

v1 ≈ 8,2·10 -2 m/s. 

Pliuso ženklas rašomas tuo atveju, jei greičio kryptis sutampa su 0X ašies kryptimi, 

minuso ženklas, kai greičio kryptis priešinga 0X ašies krypčiai. 

7. Du vienodos m masės kūnai sujungti nesvariu dinamometru šliaužia nuožulniąja 

plokštuma, kurios pasvirimo kampas α (8 pav). Trinties koeficientas tarp pirmojo 

kūno ir plokštumos µ1, tarp antrojo kūno ir plokštumos µ2 ( µ1 › µ2 ). Kokią jėgą rodo 

dinamometras? 

Y 

N r 

µ1 

T µ2 

α 

m 

Pažymime kūnus veikiančias jėgas: sunkio g 

ir jungties tamprumo jėgas T1 r ir T2 r . 

X 

N r T2 r 

α 

23 

2 

a r 

F r 

mg r α 

tr.2 

T1 r 

mg r 

m r , atramos reakcijos N r 8 pav. , trinties tr.1 

1 

α 

F r 

tr.1 

F r 

ir Ftr.2 r

Kadangi dinamometras nesvarus, tai įtempimas visoje jungtyje yra vienodas, t.y. 

dinamometras rodys jėgą T = T1 = T2. 

Užrašome II Niutono dėsnį pirmajam ir antrajam kūnui: 

r r r r r 

mg + Ftr.1 

+ N + T1 

= ma 

, 

r r r r r 

mg + Ftr.2 

+ N + T2 

= ma 

. 

Suprojektuojame jėgas į pasirinktas ašis: 

X: mg sinα – Ftr1 + T1 = ma , (1) 

mg sinα – Ftr2 – T2 = ma . (2) 

Y: N – mg cosα = 0 , (3) 

N – mg cosα = 0 . (4) 

Žinome, kad 

Ftr1 = µ1N , (5) 

Ftr2 = µ2N . (6) 

(3) ir (4) įrašę į (5) ir (6), o gautas lygtis įrašę į (1) ir (2) gauname: 

mg sinα – µ1 mg cosα + T = ma , 

mg sinα – µ2 mg cosα – T = ma . 

Atėmę lygtis gauname: 

1 

T = (µ1 – µ2) mg cosα . 

2 

8. Du kroviniai surišti nesvariu siūlu, permestu per kilnojamąjį ir nekilnojamąjį 

skridinius kaip parodyta 9 paveikslėlyje. Antrojo krovinio masė m2. Pradinis 

aukščių skirtumas tarp krovinių ℓ. Kroviniai pradeda judėti ir po laiko t atsiduria 

tame pačiame aukštyje. Kokia pirmojo krovinio masė? Skridinių masės ir trinties 

nepaisykite. 

m2 

m1 ℓ 

t 

g 

X 

a1 v 

1 

9 pav. 

T r 

r 

m1g T r 

2 

r 

m2g Pažymime krovinius veikiančias jėgas: siūlo įtempimo ir sunkio. Iš sąlygos aišku, kad 

pirmasis krovinys leidžiasi į apačią, antrasis kyla į viršų. 

Užrašome II Niutono dėsnį abiem kroviniams: 

r r r 

m g + T = m a , 

1 

1 

1 

24 

T r 

a 2 

r 

ℓ 

X

T + T + m 2g 

= m 2a 

2 . 

Suprojektuojame jėgas į pasirinktas ašis: 

X: m1g – T = m1a1, 

2T – m2g = m2a2. 

Akivaizdu, kad 

a1 a2 = , todėl 

2 

m1g – T = m1a1 , (1) 

a1 . (2) 

Iš šių lygčių gauname: 

2T – m2g = m2 2 

µ 

µ 

( α1 

+ 2γ) 

( γ − α ) 

2 

1 = . (3) 

4 1 

2 1 

Per t laiką pirmasis kūnas nueis kelią, lygų ℓ′ = ℓ ( antrasis - ℓ″= ℓ ). Kadangi 

3 

3 

pradinis greitis lygus nuliui, tai 

2 

2 a1t 

l = , 

3 2 

ir iš čia 

4l 

a1 

= . (4) 

2 

3t 

(4) lygtį įrašę į (3) gauname: 

2 

m 2 ( 2l 

+ 3gt ) 

m1 = . 

2 

2 3gt − 4l 

( ) 

9. M masės R spindulio vienalytis ritinys gali suktis apie horizontaliąją ašį, einančią 

per ritinio masės centrą ir statmeną ritinio pagrindui. Apie ritinį apvyniojamas 

siūlas, kurio gale pririštas m masės krovinys (10 pav.). Kroviniui leidžiama judėti 

be pradinio greičio. Apskaičiuokite a) pagreitį a, kuriuo juda krovinys, b) siūlo 

įtempimo jėgą T, c) ašies reakcijos jėgą N. 

N r 

a M 

T R 

N m 

g 

10 pav. 

Kadangi ritinys tik sukasi apie ašį, tai jį veikiančių jėgų geometrinė suma lygi nuliui: 

Fi = 0 , 

∑ r 

o išorinių jėgų momentas 

r r 

∑ M i = Iε 

. 

Ritinį veikia sunkio jėga Mg r , siūlo įtempimo jėga T r ir ašies reakcijos jėga N r . 

25 

Mg r 

m 

T1 r 

T r 

mg r 

a r 

X

Užrašome antrąjį Niutono dėsnį ritiniui: 

r r r 

N + Mg 

+ T = 0 . 

Suprojektuojame jėgas į pasirinktą ašį X: 

Mg + T – N = 0 , 

N = Mg + T . (1) 

Ritinys sukasi veikiamas siūlo įtempimo jėgos T r . Pagal pagrindinį sukamojo judėjimo 

dėsnį 

TR = Iε , (2) 

čia I – ritinio inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu, o ε – ritinio kampinis pagreitis. 

1 2 

I = MR , (3) 

2 

a t 

ε = , (4) 

R 

čia a – tangentinis ritinio pagreitis. 

Kadangi siūlas nusivynioja nepraslysdamas, tai pagreitis at lygus krovinio judėjimo 

pagreičiui a: at = a. 

Krovinį veikia sunkio jėga mg r ir siūlo įtempimo jėga T1 r . Užrašome antrąjį Niutono 

dėsnį kroviniui: 

r r r 

T1 + mg 

= ma 

. 

Suprojektuojame jėgas į X ašį: 

mg – T1 = ma . 

Pagal III Niutono dėsnį 

todėl 

r 

T1 r 

= −T 

, 

T = mg – ma . 

(5), (4) ir (3) lygtis įrašę į (2) gauname: 

(5) 

2mg 

a = . 

2m + M 

(6) 



mMg 

T = . (7) 

2m + M 

( 3m + M) 

g 

M 

N = . 

2m + M 

10. Stačiai aukštyn iššautas m = 0,4 kg masės patrankos sviedinys sprogsta į tris 

skeveldras tuo momentu, kai jo greitis lygus v = 100 m/s. Pirmoji skeveldra lekia 

stačiai aukštyn ir jos judėjimo kiekis p1 = 400 (kg . m)/s. Antroji, kurios judėjimo 

kiekis p2 = 200 (kg . m)/s, lekia statmena pirmajai kryptimi. Koks trečiosios 

skeveldros judėjimo kiekis ir kokį kampą jis sudaro su pirmosios skeveldros 

judėjimo kiekiu? 

mv r 26 

p3x r 

Y 

α 

p1 r 

p2 r 

X

m = 0,4 kg 

p3 v = 100 m/s 

α p1 = 400 (kg·m)/s 

p2 = 200 (kg·m)/s 

Taikome judėjimo kiekio tvermės dėsnį: 

r r r r 

mv 

= p1 

+ p 2 + p3 

. (1) 

Judėjimo kiekis yra vektorinis dydis, todėl judėjimo kiekio tvermės dėsnį galima taikyti 

kiekvienai dedamajai. Kitaip sakant, jei sistemos judėjimo kiekis p r yra pastovus, tai pastovūs 

p r . 

yra x pr ir y 

Suprojektuojame (1) į X ir Y ašis (11 pav.): 

X: 0 = p2 – p3x, (2) 

Y: mv = p1 – p3y. (3) 


2 

p 

2 

+ p 

2 

= p . (4) 

Iš (2) ir (3): 

3x 

p3x = p, (5) 

p3y = p1 – mv. (6) 

(5) ir (6) įrašome į (4) ir gauname: 

3y 

3 

( ) 2 

p mv 

p − 


p o 3y 

tg ( α − 90 ) = . 

p3x 


o p1 

− mv 

α = 90 + arctg . α = 151°. 

p 

2 

3 = p 2 + 1 . p3 = 412 (kg . m)/s . 

11. Ant horizontaliosios plokštumos padėtas pleišto formos M masės kūnas, kurio 

pasvirusi sienelė su gulsčiąja plokštuma sudaro α = 45° kampą. Į šį kūną tampriai 

smogia m masės rutuliukas, lėkęs horizontaliai greičiu v0. Po sąveikos rutuliukas 

juda vertikaliai aukštyn, o kūnas M pradeda be trinties šliaužti horizontaliąja 

plokštuma (12 pav.). Raskite rutuliuko greitį po sąveikos. 

M 

v1 α = 45° 

m 

v0 

m 

v 0 

r 

α M 

2 

X 

12 pav. 

Kadangi smūgis tamprus, tai pagal energijos tvermės dėsnį: 

27 

v1 r 

α 

M 

v 2 

r 

X

2 2 2 

mv0 

mv1 

Mv 2 

= + , 

2 2 2 

čia v1 ir v2 – rutuliuko ir kūno greičiai po sąveikos. 

(1) 

Užrašome judesio kiekio tvermės dėsnį: 

r r r 

mv 

0 = mv1 

+ Mv 

2 . 

Suprojektuojame (2) į X ašį: 

(2) 

mv0 = Mv2. (3) 

Iš (1) ir (3) randame v1: 

v1 = v0 

m 

1− 

. 

M 

Sistemos judesio kiekis OY ašies kryptimi perduodamas Žemei. Tai sukelia jos atatranką, 

bet Žemės masė daug kartų didesnė už sistemos kūnų masę, todėl Žemės atatrankos greitis yra 

labai mažas. 

12. R = 1 m spindulio apskrita vienalytė platforma sukasi iš inercijos apie vertikalią ašį, 

einančią per platformos centrą statmenai jos plokštumai, ν1 = 1 s -1 dažniu. 

Platformos inercijos momentas I = 130 kg·m 2 . Ant platformos krašto stovi 

m = 70 kg masės žmogus. Koks bus platformos sukimosi dažnis, kai žmogus pereis į 

jos centrą. Tarkite, kad žmogus yra materialusis taškas. 

ν1 = 1 s -1 

ν2 R = 1 m 

I = 130 kg·m 2 

m = 70 kg 

Kadangi platforma su žmogumi sukasi iš inercijos, tai reiškia, kad visų išorinių jėgų, 

veikiančių sistemą atstojamasis momentas lygus nuliui. Todėl sistemai platforma – žmogus 

galime taikyti judėjimo kiekio momento tvermės dėsnį: 

L1 = L2, (1) 

čia L1 – sistemos judėjimo kiekio momentas, kai žmogus stovi ant platformos krašto, L2 – 

sistemos judėjimo kiekio momentas, kai žmogus stovi viduryje platformos. 

L1 = I1ω1 = ( I + mR 2 ) 2πν1, (2) 

čia mR 2 – žmogaus (materialiojo taško) inercijos momentas, I1 = ( I + mR 2 ) – sistemos inercijos 

momentas, ω1 = 2πν1 – kampinis greitis. 

L2 = I2ω2 = I . 2πν2, (3) 

čia I2 ir ω2 – sistemos inercijos momentas ir kampinis greitis, žmogui esant platformos centre. 


ν 

ν 

2 ( I + mR ) 

1 

2 = . ν2 = 1,5 s -1 . 

I 

13. 20ℓ talpos inde yra 4 g vandenilio. Apskaičiuokite vandenilio slėgį, jei jo 

temperatūra 27 °C. 

28

V = 20l = 20 ⋅10 

−3 

P M = 4g = 4 ⋅10 

kg 

o 

T = 27 C = 300K 

3 kg 

µ = 2 ⋅10 

mol 

J 

R = 8,31 

mol ⋅ K 

−3 

3 

m 

Idealiųjų dujų būsenos lygtis: 

M 

pV = RT, 

µ 

iš šios lygties gausime, kad 

MRT 

p = . p = 2,5 

µV 

. 10 5 Pa. 

14. Vandenilio dujos, kurių masė 0,2 kg, šildomos nuo 0 °C iki 100 °C, esant pastoviam 

slėgiui. Rasti šilumos kiekį, suteiktą dujoms, jų vidinės energijos pokytį ir atliktą 

darbą. 

Q M = 0,2 kg 

∆U T1 = 0°C = 273 K 

kg 

A µ = 0,002 

mol 

J 

R = 8,31 

mol ⋅ K 

Šilumos kiekis, suteiktas pastovaus slėgio dujoms 

= Mc (T − T ) = Mc ∆T . 

Q p 2 1 

p 

Dujų pastovaus slėgio savitoji šiluma 

i + 2 R 

c p = ⋅ , 

2 µ 

čia i = 5 – vandenilio molekulės (dviatomės) laisvės laipsnių skaičius. 

Tuomet šilumos kiekis 

(i + 2)MR∆T 

Q = . Q = 290850 J ≈ 291 kJ. 

2µ 

Vidinės energijos pokytis: 

iMR 

∆U = ∆T . ∆U = 207750 J ≈ 208 kJ. 

2µ 

Iš pirmojo termodinamikos dėsnio 

Q = ∆U + A 

gauname 

A = Q − ∆U . A = 83000J = 83 kJ. 

29

15. Atstumas tarp dviejų taškinių krūvių vakuume q1 = 7,5 . 10 -9 C ir q2 = -15 . 10 -9 C yra 

5 cm (13 pav.). Rasti elektrinio lauko stiprį taške, kuris nutolęs 3 cm nuo teigiamo 

krūvio ir 4 cm nuo neigiamo krūvio. 

−9 

E q1 

= 7,5⋅10 

C 

−9 

q 2 = −15⋅10 

C 

r = 5cm = 0,05 m 

r = 3cm = 0,03 m 

1 

1 

r2 

= 4cm = 0,04 m 

−12 

F 

ε 0 = 8,85⋅10 

m 

ε = 1 

Taškinių krūvių q1 ir q2 sukurto elektrinio lauko stipris 

E ⊥ E , nes r = 

2 

2 2 2 

1 + r2 

r , t.y. 

E + 

= E 1 E 2 . 

3 = 

2 2 2 

+ 4 5 , todėl 

E = E + E . 

Taškinio krūvio q1 ir q2 sukurtų elektrinių laukų stipriai 

1 

E1 = 

4πεε 

q1 

⋅ 2 

r 

, 

Tuomet 

0 

2 

1 

0 

0 

2 

2 

1 q 

E 2 = ⋅ 

4πεε 

r 

2 

1 

4 

1 

1 q q 

E = + 

4πεε 

r r 

2 

2 

4 

2 

. 

1 

2 

2 

2 

. 

5 V 

E = 1,13 ⋅10 

. 

m 

16. Taškiniai elektros krūviai q1 = 1·10 -6 C ir q2 = -1 . 10 -6 C yra vakuume 10 cm atstumu 

vienas nuo kito (14 pav.). Rasti elektrinio lauko stiprį ir potencialą taške P, jeigu 

r = 10 cm. 

čia 1, E 2 

E q1 = 1·10 -6 C 

φ q2 = -1·10 -6 C 

r = 10 cm = 0,1 m 

d = 10 cm = 0,1 m 

ε = 1 

ε 

0 

= 8,85 ⋅10 

−12 

F 

m 

Taške P elektrinio lauko stipris 

E 1 

E = E + E , 

1 

2 

P 

r 

r1 

E 1 

E 2 

q1 r 

q1 

E 2 

E 

d 

13 pav. 

ℓ 

14 pav. 

E - atitinkamai taškinių krūvių q1 ir q2 sukurtų elektrinių laukų stipriai. Todėl 

30 

r2 

q2 

q2 

E

E 

E 

1 

2 

E = 

1 

= 

4πεε 

1 

= 

4πεε 

E 

2 

1 

0 

0 

1 

⋅ , 2 

r 

+ E 

1 1 

⋅ = 2 

l 4πεε 

2 

2 

⋅ 

r 

1 

+ d 

− 2E E cosα, 

čia α – kampas tarp vektorių E1 r ir E 2 

r π 

. Kadangi r = d, tai α = . 

4 

čia 

⎛ 1 

= 

⎜ 

⎝ 4πεε 

Tuomet 

q 

⋅ 

r 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ 1 

+ 

⎜ 

⎝ 4πεε 

⋅ 

(r 

q 

1 

0 

2 

2 

1 

− 2 

4πεε 

2 

, 

q 

⋅ 

r 

1 

⋅ 

4πεε 

1 

2 

1 

2 

E 2 ⎟ 

⋅ 

2 2 2 

2 

2 2 2 

0 

0 + d ) ⎟ 

0 

0 (r + d ) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

E = 6,6 ⋅10 

Elektrinio lauko potencialas taške P: 

ϕ = ϕ −ϕ 

, 

ϕ = 

1 

1 q1 

4πεε 

r 

1 

ϕ 2 = 

4πεε 

0 

q 2 1 

⋅ = 

l 4πεε 

0 

⋅ 

q 2 

2 2 

r + d 

atitinkamai taškinių krūvių q1 ir q2 sukurtų elektrinių laukų potencialai taške P. 

Todėl 

1 ⎛ q1 

ϕ = ⎜ 

4π ε ⎜ 

− 

ε 0 ⎝ r 

q 2 

2 2 

r + d 

⎞ 

⎟ 

. 

⎠ 

4 

ϕ = 2,6 ⋅10 

V. 

0 

, 

1 

2 

5 

V 

. 

m 

2 

q 

π 

cos . 

4 

6 m 

17. Elektronas 1,83·10 greičiu įlekia į vienalytį elektrinį lauką priešinga elektrinio 

s 

lauko stiprio vektoriui kryptimi.. Kokį greitinantį potencialų skirtumą turi prabėgti 

elektronas, kad jo energija būtų lygi 13,6 eV ( tai vandenilio atomo jonizacijos 

energija)? 

U v0 = 1,83·10 6 m/s 

W = 13,6 eV = 13,6 · 1,6 · 10 -19 J 

m = 9,1·10 -31 kg 

e = 1,6·10 -19 C 

Elektrono pradinė kinetinė energija: 

2 

mv0 

W1 

= , 

2 

čia m – elektrono masė. 

Elektrono energija, kurią jis įgyja elektriniame lauke: 

31

čia e – elektrono krūvis. 

Elektrono pilnoji energija: 

arba 

krūvis 

Iš čia 

W = W 

1 

W2 = eU, 

+ W 

2 

mv 

= 

2 

2 

0 

+ eU. 

2 

2W − mv0 

U = . 

U = 4,1 V. 

2e 

18. C1 = 0,2 µF, C2 = 0,6 µF, C3 = 0,3 µF, C4 =0,5 µF talpos kondensatoriai sujungti 

taip, kaip parodyta 15 paveikslėlyje. Potencialų skirtumas tarp taškų A ir B lygus 

320 V. Rasti kiekvieno kondensatoriaus potencialų skirtumą Ui ir krūvį qi (i = 1, 2, 

3, 4). 

q1 C1 = 0,2 µF = 0,2·10 -6 F 

q2 C2 = 0,6 µF = 0,6·10 -6 F 

q3 C3 = 0,3 µF = 0,3·10 -6 F 

q4 C4 = 0,5 µF = 0,5·10 -6 F 

U1 U = 320 V 

U2 

U3 

U4 

Kondensatoriai C1 ir C2 sujungti nuosekliai, tai jų bendra talpa 

1 

C 

1 

= 

C 

1 

+ 

C 

, 

potencialų skirtumas 

tai 

C 

12 

1 

C C 

1 2 

12 = ; 

C1 

+ C2 

q = q = q ; 

12 

U = U + U . 

Kondensatoriai C3 ir C4 taip pat sujungti nuosekliai, tai analogiškai 

C3C 

4 

C34 

= , 

C + C 

Kadangi 

q 

U 

12 

34 

34 

= q 

3 

1 

= U 

1 

3 

= q 

3 

4 

2 

2 

4 

, 

+ U 

U12 = U 34 = U, 

32 

2 

4 

. 

A 

C1 

C3 

15 pav. 

C2 

C4 

B

q 

q 

1 

3 

U 

1 

= q 

= q 

2 

4 

q 

= 

C 

1 

= UC 

1 

= UC 

, U 

q 

q 

1 

3 

U 

U 

1 

3 

2 

12 

= q 

34 

= q 

q 

= 

C 

2 

4 

UC1C 

2 

= , 

(C + C ) 

2 

2 

1 

3 

, U 

3 

2 

UC3C 

4 

= , 

(C + C ) 

= 48 ⋅10 

= 60 ⋅10 

= 240V, U 

= 200V, U 

2 

4 

4 

q 

= 

C 

−6 

−6 

3 

3 

C, 

C, 

, U 

= 80V, 

= 120V. 

4 

q 

= 

C 

19. Du plokštieji kondensatoriai sujungti nuosekliai ir prijungti prie srovės šaltinio, 

kurio elektrovara ε ( 16 pav.). Kondensatorių talpos vienodos C1 = C2 = C . Kaip 

pakistų potencialų skirtumas tarp pirmojo kondensatoriaus plokštelių, jeigu erdvę 

tarp antrojo kondensatoriaus, neatjungdami srovės šaltinio, užpildytume 

dielektriku, kurio santykinė dielektrinė skvarba ε = 7? 

U 1d 

C1 = C 

U 

1 

C2 = C 

ε = 7 

C1 

U1 

ε 

4 

4 

16 pav. 

Kol erdvę tarp antrojo kondensatoriaus plokštelių neužpildėme dielektriku, potencialų 

skirtumai tarp abiejų kondesatorių plokštelių buvo vienodi: 

U1 = U2 = 0,5ε. 

Užpildžius dielektriku, antrojo kondensatoriaus talpa padidės ε kartų: 

C 2d = εC 2 = εC, 

o pirmojo kondensatoriaus talpa nepakis. Kondensatoriai sujungti nuosekliai, tai jų baterijos 

bendroji talpa 

2 

C1C 

2d εC εC 

C = = = . 

C1 

+ C2d 

C + εC 1+ 

ε 

Baterijos krūvis 

q = CU = Cε, 

nes šaltinis nuo kondensatorių baterijos neatjungiamas. 

Nuosekliai sujungtų kondensatorių krūviai yra vienodi ir lygūs visos baterijos krūviui:: 

q1 = q 2 = q. 

Tuomet 

33 

. 

U2 

C2

q 1+ 

ε 

U1d = = ε . 

C ε 

Suraskime santykį 

U1d 

2( 

1+ 

ε) 

U 1d 

= . ≈ 2,3. 

U1 

ε U1 

Gavome, kad potencialų skirtumas tarp pirmojo kondensatoriaus plokštelių, antrąjį 

užpildžius dielektriku, padidėjo 2,3 karto. 

20. Grandinė sujungta pagal duotą schemą (17 pav.). Kokią įtampą rodo voltmetras, jei 

šaltinio elektrovara ε = 150 V, vidinė šaltinio varža r0 = 50 Ω, voltmetro varža 

Rv = 500 Ω, potenciometro varža R1 = 100 Ω, o potenciometro šliaužiklis dalija 

potenciometro apviją į dvi lygias dalis? 

R1 = 100 Ω 

U ε = 150 V 

r0 = 50 Ω 

Rv = 500 Ω 

Pagal Omo dėsnį uždarajai grandinei 

ε + 

R 1 

2 

ε 

A 

r0 

Rv 

V 

17 pav. 

I = 

R 

, 

r0 

(1) 

čia R – visa grandinės varža, 

R1 

R = + R′ 

. 

2 

R′ - grandinės dalies AB varža, todėl 

(2) 

R 

1 2 

= 

R′ 

R 

1 

+ , 

(3), (2) įrašę į (1) gauname: 

R 

1 

1 

v 

1 v ′ = . (3) 

R 

R 

R 

+ 2R 

v 

2 ( R1 

+ 2R v ) 

( R + 2R ) + 2R R + 2r ( R + 2R ) 

I = 

R 1 1 v 1 v 0 1 v 

. (4) 

Pagal Omo dėsnį grandinės daliai 

2U 

I = , (5) 

1 

R 1 

ε 

U 

I = . (6) 

2 

R v 

Kadangi I = I1 + I2 , (7) 

tai (4), (5) ir (6) įrašę į (7) gauname: 

34 

I 

I2 

I1 

B

Iš čia 

R 

U 

1 

2ε + 

( R1 

+ 2R v ) 

2R v 

= U1 

( R1 

+ 2R v ) + 2R1R 

v + 2r0 

( R1 

+ 2R v ) R1R 

v 

2 

ε 

R 

1 v 

1 = . 

R1 

( R 1 + 2R v ) + 2R1R 

v + 2r0 

( R1 

+ 2R v ) 

U1 = 46,9 V . 

R 

21. Grandinė sujungta pagal schemą (18 pav ). Šaltinių elektrovaros yra ε1 = 1,25 V ir 

ε2 = 1,5 V. Rezistorių varžos: R1 = R2 = 0,4 Ω, R3 = 10 Ω. Apskaičiuokite visų 

grandinėje tekančių srovių stiprius. Šaltinių vidinės varžos nepaisykite. 

I1 

I2 

I3 

ε1 = 1,25 V 

ε2 = 1,5 V 

R1 = R2 = 0,4 Ω 

R3 = 10 Ω 

ε2 

I3 

ε1 

I2 

R1 

R 

R2 

A B 

18 pav. 

Uždavinį sprendžiame, taikydami Kirchhofo taisykles. Pasirenkame srovių I1, I2 ir I3 

kryptis. Sudarome lygtis. 

Mazgui A: I3 = I1 + I2 . (1) 

Kontūrui AR1BR3A: I1R1 + I3R3 = ε1 . (2) 

Kontūrui AR1BR2A: I1R1 – I2R2 = ε1 – ε2 . (3) 

Išsprendę (1), (2) ir (3) lygčių sistemą gauname: 

1 

R3 

I1≈ -0,245 A, I2 ≈ 0,380 A, I3 ≈ 0,135 A. 

Minuso ženklas rodo, kad srovė I1 teka priešinga kryptimi, negu pažymėta. 

22. Srovė teka R = 20 Ω varžos laidininku. Per laiką ∆t = 2 s srovės stipris tolygiai 

padidėjo nuo I0 = 0 iki I1 = 6 A. Apskaičiuokite, koks šilumos kiekis išsiskyrė 

laidininke per pirmąją sekundę ir per antrąją sekundę. 

R = 20 Ω 

Q1 ∆t = 2 s 

Q2 I0 = 0 

I1 = 6 A 

35 

. 

I1

Džaulio – Lenco dėsnis labai mažam laiko tarpui dt: 

dQ = I 2 R dt , 

čia srovės stipris I yra laiko funkcija. 

Kadangi srovės stipris kinta tolygiai,tai 

I = kt , 

čia k – proporcingumo koeficientas, lygus srovės stiprio pokyčio ∆I = I1 – I0, ir laiko tarpo, per 

kurį tas pokytis įvyko, ∆t santykiui, t. y. srovės kitimo greičiui: 

∆I 

k = . 

∆t 

Todėl 

dQ = k 2 Rt 2 dt. 

Laidininke išsiskyręs šilumos kiekis: 

t 2 

2 2 1 2 3 3 

Q = k R∫ 

t dt = k R( 

t 2 − t1 

) . 

3 

t1 

Apskaičiuojant šilumos kiekį, išsiskyrusį per pirmąją sekundę, integralo ribos yra t1 = 0 ir 

t2 = 1 s. Gauname 

Q1 = 60 J . 

Apskaičiuojant šilumos kiekį, išsiskyrusį per antrąją sekundę, integralo ribos yra t1 = 1 s 

ir t2 = 2 s. Gauname 

Q2 = 420 J. 

23. Elektrinė plytelė, kurios galia P1 = 550 W, apskaičiuota tinklo įtampai U1 = 220 V, 

įjungiama į tinklą, kurio įtampa U2 = 127 V. Kokią galią naudoja taip įjungta 

plytelė? Kaip ir kiek reikia pakeisti ( sutrumpinti ar pailginti ) elektrinės plytelės 

spiralę, kad ji naudotų P1 galią, kai įtampa U2? 

P2 

∆l 

U1 = 220 V 

l 

1 

P1 = 550 W 

U2 = 127 V 

Kai plytelė įjungiama į U2 įtampos tinklą, naudojama galia 

2 

U 2 

P 2 = , 

R1 

(1) 

čia R1 – plytelės varža. 

Kai įtampa U1, naudojama galia 

P = 

2 

U1 

. 

1 

R 1 

Iš čia 

2 

U1 

R 1 = . 

P1 

Įrašę šią reikšmę į (1) formulę, gauname 

2 

U 2 

P2 P1 

U ⎟ 

1 

⎟ 

⎛ ⎞ 

= ⎜ . P2 = 183 W. 

⎝ 

⎠ 

36

t.y. 

o iš čia 

Kad plytelė naudotų P1 galią, esant U2 ‹ U1 įtampai, reikia spiralę sutrumpinti dydžiu ∆ℓ, 

ℓ2 = ℓ1 - ∆ℓ. 

Kadangi spiralės varža tiesiog proporcinga jos ilgiui ( 

l 

1 

− ∆ l R 

= 

l R 

Kai tinklo įtampa U2 ir varža R2 

P = 

2 

U 2 

. 

Tada 

Iš čia 

1 

1 

R 2 

2 2 

U 1 2 

= . 

R 

1 

U 

R 

2 

2 

1 

2 

2 ⎛ U 2 ⎞ 

= ⎜ ⎟ . 

R 

R ⎜ 

1 U ⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

Įrašę šią išraišką į (2) formulę, gainame 

l 

1 

− ∆l 

⎛ U 2 ⎞ 

= ⎜ 

1 U ⎟ , 

l ⎝ 1 ⎠ 

∆l 

⎛ U 

= 1− 

⎜ 

l 1 ⎝ U 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

l 

R = ρ ), tai 

S 

. (2) 

2 

2 

∆l 

. ≈ 0,67. 

l 

37 

1

6. SAVARANKIŠKO DARBO UŽDUOTYS 

1 – 20 VARIANTAI 

38

1.1. Kinematinė taško judėjimo lygtis x = A + Bt + Ct 3 , čia A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0,5 m/s 3 . 

Laiko momentui t1 = 2 s apskaičiuokite a) taško koordinatę x1, b) momentinį greitį v1, 

c) momentinį pagreitį a1. Nubrėžkite pagreičio priklausomybės nuo laiko grafiką. 

1.2. Šlifavimo staklių diskas sukasi 20 s -1 dažniu. Išjungus variklį, tolygiai lėtėdamas diskas 

sustojo apsisukęs 400 kartų. Koks buvo disko kampinis greitis ir kampinis pagreitis 

išjungimo momentu? Per kiek laiko sustojo diskas? 

1.3. Automobilis važiuoja lygiu horizontaliu keliu 10 m/s greičiu. Nuvažiavęs išjungtu varikliu 

150 m, jis sustoja. Kiek laiko automobilis važiavo išjungtu varikliu ir koks trinties 

koeficientas jam važiuojant? 

1.4. v0 greičiu lėkęs m masės protonas susidūrė su nejudančiu M masės atomu. Po sąveikos 

protonas pradėjo judėti priešinga kryptimi greičiu v1 = 0,5 v0, o atomas tapo sužadintas. 

Raskite atomo greitį po sąveikos ir sužadinimo energiją. 

1.5. Koks yra deguonies tankis balione, kuriame slėgis 3 MPa o temperatūra 17 ˚ C? 

1.6. Azoto, kurio masė 5 kg, temperatūra, esant pastoviam slėgiui, padidėja 150 K. 

Apskaičiuokite 1) dujoms suteiktą šilumos kiekį; 2) dujų vidinės energijos pokytį; 3) dujų 

atliktą darbą. 

1.7. Atstumas tarp dviejų taškinių krūvių q1 = 8 nC ir q2 = - 5,3 nC lygus 40 cm. Raskite 

elektrinio lauko stiprį taške, esančiame viduryje tarp krūvių. 

1.8. Rasti metalinio rutulio, esančio ore, elektrinę talpą, jei to rutulio spindulys 1 cm. 

1.9. Kiek pakis ℓ = 120 m ilgio ir S = 24 mm 2 skerspjūvio ploto varinės vielos varža, jos 

temperatūrai pakitus nuo t1 = 20 °C iki t2 = 70 °C? 

1.10. Apskaičiuokite srovių, tekančių Vitstono tiltelio 

šakomis, stiprius, jeigu šaltinio elektrovara 

ε = 2 V, R1 = 30 Ω, R2 = 45 Ω, R3 = 200 Ω, o 

galvanometru tekančios srovės stipris lygus 

nuliui. Vidinės šaltinio varžos nepaisykite. 

39 

R1 

R4 R3 

ε 

R2

2.1. Kinematinė taško judėjimo lygtis x = At + Bt 2 , čia A = 3 m/s, B = -0,25 m/s 2 . Nubrėžkite 

koordinatės priklausomybės nuo laiko grafiką. Laiko momentui t1 = 4 s apskaičiuokite 

taško greitį v1 ir pagreitį a1. 

2.2. Diskas sukasi apie nejudamą ašį. Taško A, esančio disko pakraštyje, judėjimo lygtis 

φ = At 2 , čia A = 0,5 rad/s 2 . Praėjus 2 s nuo judėjimo pradžios taško greitis 3 m/s. 

Apskaičiuokite taško tangentinį, normalinį ir pilnutinį pagreitį tuo momentu. 

2.3. Vairuotojas pradeda stabdyti 1 T masės automobilį 25 m atstumu nuo kliūties. Trinties 

koeficientas 0,39. Kokiam didžiausiam automobilio greičiui esant avarija neįvyks? 

2.4. M = 180 kg masės ir R = 1,5 m spindulio apskrita vienalytė platforma sukasi iš inercijos 

apie vertikalią ašį, einančią per platformos centrą statmenai jos plokštumai, ν = 10 min -1 

dažniu. Platformos centre stovi m = 60 kg masės žmogus. Koks bus žmogaus linijinis 

greitis grindų atžvilgiu, kai jis pereis ant platformos krašto? Tarkite, kad žmogus yra 

materialusis taškas. 

2.5. Koks yra anglies dvideginio (CO2) tankis balione, kuriame slėgis 5 MPa, o temperatūra 

17 ˚ C? 

2.6. Vandenilio dujų tūris, esant 100 kPa slėgiui, 10 m 3 . Dujos šildomos esant pastoviam 

tūriui, kol jų slėgis tampa 300 kPa. Rasti: 1) dujų vidinės energijos pokytį; 2) dujoms 

suteiktą šilumos kiekį; 3) dujų atliktą darbą. 

2.7. Atstumas tarp dviejų taškinių krūvių q1 = 9q ir q2 = q yra d = 8 cm. Nustatykite, kokiu 

atstumu nuo pirmojo krūvio yra taškas, kuriame elektrinio lauko stipris lygus nuliui? 

2.8. Rasti metalinės sferos, panardintos vandenyje, elektrinę talpą, kai sferos spindulys lygus 

2 cm. 

2.9. Kokia šaltinio vidinė varža, jeigu, tekant I1 = 4 A srovei, išorinės grandinės dalies galia 

P1 = 10 W, o, tekant I2 = 6 A srovei, galia P2 = 12 W? 

2.10. Apskaičiuokite srovių, tekančių visose grandinės 

dalyse, stiprius, jeigu ε1 = 24 V, ε2 = 18 V, 

R1 = 20 Ω, R2 = R3 = 2 Ω. Šaltinių vidinės varžos 

nepaisykite. 

40 

ε1 

R1 

R3 

R2 

ε2

3.1. Kinematinės dviejų taškų judėjimo lygtys : x1 = A1 + B1t + C1t 2 ir x2 = A2 + B2t + C2t 2 , 

čia A1 = 20 m, A2 = 2 m, B2 = B1 = 2 m/s, C1 = -4 m/s 2 , C2 = 0,5 m/s 2 . Kokiu laiko 

momentu t1 šių taškų judėjimo greičiai bus lygūs? Apskaičiuokite, kokie tuo momentu (t1) 

bus taškų greičiai v1 ir v2, bei pagreičiai a1 ir a2. 

3.2. Kūnas juda 0,5 m spindulio apskritimu. Jo judėjimas aprašomas lygtimi: φ = A + Bt + Ct 2 , 

čia A = 4 rad, B = 1 rad/s, C = 1 rad/s 2 . Apskaičiuokite taško tangentinį pagreitį, normalinį 

pagreitį ir pilnutinį pagreitį po 1 s nuo judėjimo pradžios. 

3.3. Ant gulsčio stalo padėtas m = 4 kg masės kūnas. Veikiamas lygiagrečios stalo paviršiui 

jėgos F, jis pradeda slysti ir per t = 3 s įgyja v = 0,6 m/s greitį. Trinties tarp kūno ir stalo 

koeficientas µ = 0,2, pradinis kūno greitis lygus nuliui. Apskaičiuokite jėgą F. 

3.4. R = 1 m spindulio apskrita vienalytė platforma sukasi iš inercijos apie vertikalią ašį, 

einančią per platformos centrą statmenai jos plokštumai, ν = 1,5 s -1 dažniu. Platformos 

centre stovi m = 70 kg masės žmogus. Koks bus platformos sukimosi dažnis, kai žmogus 

pereis ant platformos krašto? Platformos inercijos momentas I = 130 kg·m 2 . Tarkite, kad 

žmogus yra materialusis taškas. 

3.5. 2 g azoto slėgis yra 2 . 10 5 Pa. Kokia yra jo temperatūra, jei dujos užima 0,82 ℓ tūrį? 

3.6. Deguonies dujos, kurių tūris 50 ℓ, izochoriškai šildomos, kol jų slėgis padidėja 0,5 MPa. 

Rasti dujoms suteiktą šilumos kiekį. 

3.7. Sistema sudaryta iš trijų taškinių krūvių q1 = 1µC, 

q 2 = −1µC 

ir q 3 = 20 nC , išdėstytų taip, kaip 

parodyta paveikslėlyje. Rasti sistemos potencinės 

energijos pokytį, kai krūvis q pasislenka iš taško 1 

į tašką 2. Atstumas a = 0,2 m. 

3.8. 0,2 µF talpos kondensatorius įelektrintas iki 320 V potencialų skirtumo. Po to, kai šis 

kondensatorius lygiagrečiai sujungiamas su kitu kondensatoriumi, įelektrintu iki 450 V 

potencialų skirtumo, potencialų skirtumas tarp jo elektrodų padidėjo iki 400 V. Rasti 

antrojo kondensatoriaus talpą. 

3.9. Dviejuose P1 = 400 W ir P2 = 600 W galios virduliuose, sujungtuose lygiagrečiai, vanduo 

užverda per vienodą laiką t = 15 min. Per kiek laiko užvirs vanduo virduliuose, 

sujungtuose nuosekliai? 

3.10. Grandinę sudaro srovės šaltinis ir n = 3 nuosekliai sujungti rezistoriai, kurių kiekvieno 

varža tris kartus didesnė už šaltinio varžą. Kiek kartų pakisaltiniu tekančios srovės stipris 

ir šaltinio gnybtų įtampa, kai rezistorius sujungsime lygiagrečiai? 

41 

q 

a 

1 

q 

2 

q2 

a

4.1. Kinematinės dviejų taškų judėjimo lygtys yra: x1 = A1t + B1t 2 + C1t 3 ir 

x2 = A2t + B2t 2 + C2t 3 , čia A1 = 4 m/s, B1 = 8 m/s 2 , C1 = -16 m/s 2 , A2 = 2 m/s, B2 = -4 m/s 2 , 

C2 = 1 m/s 3 . Kokiu laiko momentu t1 šių taškų judėjimo pagreičiai bus lygūs? 

Apskaičiuokite, kokie tuo momentu (t1) bus šių taškų judėjimo greičiai v1 ir v2. 

4.2. R1 = 0,15 m spindulio diskas sukasi ν = 2 Hz dažniu. 

Prie jo priglaudžiamas kitas R2 = 0,10 m spindulio diskas. 

Koks antrojo disko sukimosi dažnis? Kokiu greičiu judės 

taškas M, esantis antrojo disko pakraštyje? Koks šio 

taško pagreitis? Diskai nepraslysta. 

4.3. Staigiai stabdomas v = 72 km/h greičiu važiavęs traukinys sustojo už s = 200 m. Traukinį 

sudaro lokomotyvas ir n = 10 vagonų. Koks trinties koeficientas tarp traukinio ratų ir 

bėgių? 

4.4. m1 = 2 kg masės rutulys, judantis v = 8 m/s greičiu, susiduria su m2 = 6 kg masės 

nejudančiu rutuliu. Kokius greičius įgis rutuliai po centrinio tampraus smūgio? 

4.5. Kokis yra 1 . 10 3 mol idealiųjų dujų tūris, kai temperatūra 400 K, o slėgis 1 MPa? 

4.6. Deguonies dujos šildomos, esant pastoviam 80 kPa slėgiui. Jų tūris padidėja nuo 1 m 3 iki 

3 m 3 . Apskaičiuokite 1) dujoms suteiktą šilumos kiekį; 2) dujų vidinės energijos pokytį; 3) 

dujų atliktą darbą. 

4.7. Kvadrato viršūnėse yra vienodi q1 = q2 = q3 = q4 = 0,3 nC krūviai. Kokį neigiamą krūvį 

reikia patalpinti kvadrato centre, kad šio krūvio traukos jėga atsvertų teigiamų krūvių 

stūmos jėgas? 

4.8. Du kondensatoriai, kurių talpos C1 = 3 µF ir C2 = 6 µF, sujungti į bateriją ir prijungti prie 

120 V evj šaltinio. Rasti kondensatorių krūvius ir potencialų skirtumus tarp jų elektrodų, 

jei kondensatoriai sujungti a)nuosekliai, b)lygiagrečiai. 

4.9. Į U = 200 V įtampos tinklą įjungta lemputė vartoja P1 = 40 W galią ir ryškiai šviečia, o jos 

siūlelio temperatūra t1 = 3000 °C. Kai ta lemputė įjungiama į U2 = 100 V įtampos tinklą, ji 

vartoja P2 = 25 W galią, vos šviečia, o jos siūlelio temperatūra t2 = 1000 °C. 

Apskaičiuokite lemputės siūlelio varžą, kai jo temperatūra t = 0 °C. 

4.10. Apskaičiuokite apkrovos R varžą (pav. ) , jei ε1 = 30 V, 

ε2 = 16 V, šaltinių vidaus varžos r1 = 1 Ω ir r2 = 2 Ω, o 

apkrovos srovė I = 0,99 A. 

42 

1 

I 

O1 

ε1 

ε2 

R 

O2 

M 

2

5.1. Materialiojo taško judėjimo lygtis x = A + Bt + Ct 2 , čia A = -19 m, B = 20 m/s, 

C = -1 m/s 2 . Raskite: a) taško greičio, b) pagreičio priklausomybę nuo laiko, 

c) nubrėžkite taško greičio, d) pagreičio priklausomybės nuo laiko grafikus, 

e) apskaičiuokite nueitą kelią per 20 s. 

5.2. Diskas sukasi apie nejudamą ašį. Disko spindulio posūkio kampo priklausomybė nuo laiko 

aprašoma lygtimi φ = At 3 , čia A = 0,1 rad/s 3 . Apskaičiuokite, koks bus disko: a) kampinis 

greitis, b) kampinis pagreitis po 3 s, c) taško, esančio 30 cm atstumu nuo sukimosi ašies, 

linijinis greitis, d) tangentinis pagreitis, e) normalinis pagreitis, f) pilnutinis pagreitis tuo 

momentu. 

5.3. Greitojo nusileidimo varžybose m = 90 kg masės slidininkas leidžiasi nesispirdamas 

lazdomis. Kalno pasvirimo kampas α = 45°. Trinties koeficientas tarp slidžių ir sniego 

µ = 0,1. Oro pasipriešinimo jėga proporcinga greičio kvadratui: F = Av 2 , čia A = 0,7 kg/m. 

Kokį didžiausią greitį gali pasiekti slidininkas? 

5.4. Iš H = 5 m aukščio, α = 30° kampu į horizontalią plokštumą, v0 = 8 m/s greičiu išmetamas 

žemyn m = 1 kg masės kamuolys. Į kokį aukštį pašoks kamuolys po tampraus smūgio į 

žemę? Uždavinį spręskite taikydami energijos tvermės dėsnį.. 

5.5. 12 ℓ tūri o balionas užpildytas anglies dvideginio (CO2) dujomis. Dujų slėgis balione yra 

1 MPa, temperatūra 300 K. Apskaičiuokite dujų masę. 

5.6. Vandens garai plečiasi, esant pastoviam slėgiui. Apskaičiuokite atliktą darbą, jeigu dujoms 

buvo suteiktas 4 kJ šilumos kiekis. 

5.7. Vandenilio atome elektronas sukasi apie branduolį apskritimine orbita, kurios spindulys 

53 m. Apskaičiuokite elektrono greitį ir sukimosi dažnį. 

5.8. 0,6 µF talpos kondensatorius įelektrinamas iki 300 V potencialų skirtumo ir sujungiamas 

nuosekliai su antruoju kondensatoriumi, įelektrintu iki 150 V. Rasti krūvį, nutekėjusį iš 

pirmojo kondensatoriaus į antrąjį. 

5.9. t = 0°C temperatūros aliumininio laidininko varža R1 = 2 Ω, volframinio – R2 = 4 Ω. 

Apskaičiuokite tų laidininkų nuosekliojo jungimo temperatūrinį varžos koeficientą. 

5.10. Apskaičiuokite rezistoriaus R3 varžą, jei I3 = 1,6 Ω, 

ε1 = 1 V, ε2 =3 V, ε3 = 5 V, R1= 2 Ω, R2 = 4 Ω. 

Vidinės šaltinių varžos nepaisykite. 

43 

ε1 

R1 

ε2 

R2 

ε3 

R3 

I3

6.1. Traukinio greitis kinta pagal dėsnį v = A + Bt, čia A = 2 m/s, B = 0,5 m/s 2 . Apskaičiuokite 

nuo judėjimo pradžios traukinio nuvažiuotą kelią per 10 s. 

6.2. Vilkelis, sukdamasis 40 s -1 dažniu, laisvai krenta iš 5 m aukščio. Kiek kartų spės apsisukti 

vilkelis per kritimo laiką? 

6.3. Kūnas slysta nuožulnia plokštuma, kurios pasvirimo kampas 30°. Nušliaužęs 0,36 m kelią 

jis įgijo 1,5 m/s greitį. Kam lygus trinties koeficientas? 

6.4. Prie k = 600 N/m standumo spyruoklės pritvirtinta 

dėžė su smėliu. m = 10 g masės kulka, lėkdama 

gulsčiai greičiu v = 500 m/s, įstringa į smėlį. 

Kiek susispaus spyruoklė, jei dėžės su smėliu 

masė M = 4 kg? Trinties nepaisyti. 

6.5. Balione, kurio tūris 20 ℓ, yra 500 g anglies dvideginio (CO2). Dujų slėgis balione 1,3 MPa. 

Raskite dujų temperatūrą. 

6.6. 1 m 3 tūrio balione yra deguonies dujos, kurių slėgis 10 5 Pa, temperatūra 27˚ C. Dujos 

šildomos ir joms suteikiama 8350 J šilumos. Rasti deguonies slėgį ir temperatūrą po 

šildymo. 

6.7. Duoti du rutuliukai, kurių kiekvieno masė po 1 g. Kokius vienodus krūvius reikia suteikti 

rutuliukams, kad jų gravitacinę traukos jėgą atsvertų elektrostatinė stūmos jėga? 

Rutuliukus laikyti materialiaisiais taškais. 

6.8. Rasti kondensatorių (kurių sujungimo schema pavaizduota paveikslėlyje) baterijos talpą, 

kai C1 = 0,2 µF, C2 = 0,1 µF, C3 = 0,3 µF ir C4 = 0,4 µF. 

C1 C2 

C3 C4 

6.9. Du vienodus akumuliatorius sujungė lygiagrečiai, po to nuosekliai. Abiem atvejais 

išorinėje grandinės dalyje buvo 80 W galia. Kokia būtų galia toje pačioje grandinės dalyje, 

įjungus vieną akumuliatorių. 

6.10. Kai grandinės išorinė varža R = 100 Ω, tai srovės stipris I = 0,3 A, o kai išorinė varža R1 = 

151 Ω, tai I1 = 0,2 A. Apskaičiuokite šaltinio: a) vidinę varžą r; b) elektrovarą ε. 

44 

m 

M

7.1. 36 km/h greičiu važiavęs automobilis stabdomas sustojo per 5 s. Apskaičiuokite stabdymo 

kelią. Kokiu pagreičiu judėjo automobilis? 

7.2. Kūnas pradeda judėti 4 m spindulio apskritimu, 2 m/s 2 tangentiniu pagreičiu. Koks kūno 

greitis ketvirto apsisukimo pabaigoje? Koks jo kampinis greitis ir kampinis pagreitis tuo 

momentu? 

7.3. Rogutės per laiką t nuo kalno nušliuožė kelią s. Per šį laiką rogučių greitis padidėjo tris 

kartus. Kalno pasvirimo kampas lygus α. Apskaičiuokite trinties koeficientą. 

7.4. Ant plono ℓ = 0,5 m ilgio siūlo pakabintas spyruoklinis M = 200 g masės pistoletas taip, 

kad jo vamzdis yra lygiagretus horizontaliai plokštumai. Kokiu kampu atsilenks siūlas po 

šūvio, jeigu m = 20 g masės kulka iš vamzdžio išlėkė v =10 m/s greičiu? 

7.5. Dujų temperatūra 309 K, slėgis 0,7 MPa, tankis 12 kg/m 3 . Rasti šių dujų molinę masę. 

7.6. Azoto dujų, kurių tūris 3 ℓ, slėgis šildant padidėja 1 MPa. Rasti, koks šilumos kiekis buvo 

suteiktas dujoms, jei jų tūris nepakito. 

7.7. Trys vienodi taškiniai krūviai po 1 nC yra lygiakraščio trikampio viršūnėse. Kokį neigiamą 

krūvį reikia patalpinti trikampio centre, kad jo traukos jėga atsvertų teigiamų krūvių 

stūmos jėgas? 

7.8. Keturi kondensatoriai C1 = 0,2 µF, C2 = 0,6 µF, C3 = 0,3 µF ir C4 = 0,5 µF sujungti taip, 

kaip parodyta paveikslėlyje. Potencialų skirtumas tarp taškų A ir B lygus 320 V. Rasti 

kiekvieno kondensatoriaus krūvį qi ir potencialų skirtumą Ui tarp kiekvieno 

kondensatoriaus elektrodų (i = 1,2,3,4). 

C1 C2 

A B 

C3 C4 

7.9. Koks turi būti švininio saugiklio skerspjūvio plotas, kad jis išsilydytų temperatūrai 

padidėjus 10 °C. Žinome, kad grandinės laidai pagaminti iš vario, jų skerspjūvio plotas 

5 mm 2 . Pradinė temperatūra 20 °C. 

7.10. Prie elementų baterijos prijungto rezistoriaus įtampa U = 5 V. Padidinus rezistoriaus varžą 

n = 6 kartus, jo įtampa padidėjo k = 2 kartus. Kokia baterijos elektrovara? 

45

8.1. Pradėjęs važiuoti automobilis 100 km/h greitį pasiekė 200 m kelio atkarpoje. 

Apskaičiuokite, per kokį laiką automobilis pasiekė šį greitį. Koks buvo automobilio 

pagreitis? 

8.2. Ant R = 35 mm spindulio skriemulio, galinčio suktis apie horizontalią ašį, užvyniotas 

siūlas, prie kurio galo pririštas krovinėlis. Krovinėliui leidžiama judėti. Per t = 1,2 s 

krovinėlis nusileidžia h = 0,6 m. Apskaičiuokite skriemulio kampinį pagreitį. 

8.3. Du tašeliai, kurių masė m1 = 2 kg ir m2 = 3 kg sujungti 

siūlu, permestu per nuožulniosios plokštumos 

viršūnėje įtvirtintą skridinį. Leisdamasis antrasis 

tašelis traukia pirmąjį šia plokštuma aukštyn. Trinties 

koeficientas µ = 0,2. Plokštumos polinkio kampas 

α =32°. Kokiu pagreičiu juda abu tašeliai? Skridinio 

masės ir trinties nepaisykite. 

α 

m1 m2 

8.4. Svyruoklė su M = 2 kg masės kroviniu buvo pakelta į H = 0,1 m aukštį ir paleista. 

Žemiausiame trajektorijos taške susidūrė su m = 40 g masės plastilino gabaliuku. Iki kokio 

aukščio pakils krovinys su prilipusiu plastilinu? 

8.5. Rasti vandens sočiųjų garų slėgį ore, jei oro temperatūra 300 K. Vandens sočiųjų garų 

slėgis šioje temperatūroje 3,55 kPa. 

8.6. Vandenilio dujoms, kurių masė 10 g, suteiktas šilumos kiekis 40 kJ ir jų temperatūra 

padidėjo 200 K. Rasti dujoms suteiktą šilumos kiekį ir jų atliktą darbą. 

8.7. Elektrinį lauką kuria taškiniai krūviai q1 = - 0,2 µC ir q2 = 0,5 µC. Rasti šio lauko 

potencialą taške, esančiame 15 cm atstumu nuo pirmojo ir 25 cm atstumu nuo antrojo 

krūvio. 

8.8. Keturi kondensatoriai C1 = 10 nF, C2 = 40 nF, 

C3 = 20 nF ir C4 = 30 nF sujungti taip, kaip 

parodyta paveikslėlyje. Rasti jų baterijos talpą. 

A 

C1 C2 

C3 C4 

8.9. Elemento gnybtai sujungiami laidu, kurio varža 4 Ω, po to kitu laidu, kurio varža 9 Ω. 

Abiem atvejais per tą patį laiką išskiriamas vienodas šilumos kiekis. Apskaičiuokite 

elemento vidinę varžą. 

8.10. Apskaičiuokite rezistoriaus R1 varžą , jei 

R2 = 20 Ω, R3 = 15 Ω, srovės, tekančios 

rezistoriumi R2 stipris yra 0,3 A, o ampermetras 

rodo 0,8 A. 

46 

R1 

R2 

R3 

A 

B

9.1. Stabdomo automobilio greitis per 25 s sumažėjo nuo 54 km/h iki 36 km/h. Apskaičiuokite, 

kokiu pagreičiu jis judėjo. Kokį kelią nuvažiavo automobilis iki sustojimo? 

9.2. Kūnas juda R = 2 m spindulio apskritimu. Jo judėjimas aprašomas lygtimi:φ = At + Bt 2 , 

čia A = 10 rad/s, B = -1 rad/s 2 . Po kiek laiko kūnas sustoja? Koks per tą laiką kūno 

nueitas kelias ir poslinkio modulis? 

9.3. Du tašeliai, kurių masės m1 = 4 kg ir m2 =1 kg sujungti 

siūlu, permestu per skridinį, pritvirtintą prie prizmės. 

Tašeliai slysta prizmės sienelėmis. Kokiu pagreičiu 

slysta tašeliai, jei α = 60°, β = 30°, o trinties 

koeficientas µ = 0,20. Skridinio masės ir trinties nepaisyti. 

9.4. Horizontalia plokštuma be trinties v1 = 1 m/s greičiu rieda vežimėlis su smėliu. Jam 

priešais, α = 60° kampu su horizontaliąja plokštuma, v2 = 8 m/s greičiu lekia m = 3 kg 

masės rutulys. Po smūgio rutulys įstringa smėlyje. Kokiu greičiu ir kokia kryptimi po 

smūgio nuriedės vežimėlis su rutuliu? Vežimėlio su smėliu masė M = 10 kg. 

9.5. Balione yra 10 kg dujų, kurių slėgis 10 7 Pa. Kiek dujų buvo paimta iš baliono, jeigu jų 

slėgis tapo 2,5 ·10 Pa. Dujų temperatūra pastovi. 

9.6. Vandenilio dujos, kurių masė 1 g ir temperatūra 280 K, izotermiškai plečiasi, kol jų tūris 

padidėja tris kartus. Rasti dujoms suteiktą šilumos kiekį ir jų atliktą darbą. 

9.7. Elektrinį lauką kuria du taškiniai krūviai q1 = 2q ir q2 = - q, nutolę atstumu d vienas nuo 

kito. Nustatyti taško, kuriame elektrinio lauko stipris lygus nuliui ir kuris yra tiesėje, 

jungiančioje šiuos krūvius, padėtį. 

9.8. Keturi kondensatoriai C1 = 2 µF, C2 =2 µF, C3 = 3 µF 

ir C4 = 1 µF sujungti taip, kaip parodyta paveikslėlyje. 

Potencialų skirtumas tarp ketvirtojo kondensatoriaus 

elektrodų 100 V. Rasti kiekvieno kondensatoriaus krūvį 

ir potencialų skirtumus tarp kiekvieno kondensatoriaus 

elektrodų, o taip pat visos baterijos krūvį ir potencialų 

skirtumą. 

9.9. Srovės šaltinio vidinė varža yra r. Prie šio šaltinio prijungiamas R = r varžos rezistorius. 

Po to prijungiamas antras toks pat rezistorius a) nuosekliai; b) lygiagrečiai pirmajam. Kiek 

kartų pasikeis išsiskyręs šilumos kiekis išorinėje grandinės dalyje per tą patį laiką abiem 

atvejais, prijungus antrąjį rezistorių. 

9.10. Trys šaltiniai sujungti, kaip parodyta paveikslėlyje. Šaltinių 

elektrovaros ε1 = 10,0 V, ε2 = 5 V, ε3 = 6,0 V ir vidinės 

varžos r1 = 0,1 Ω, r2 = 0,2 Ω, r3 = 0,1 Ω. Apskaičiuokite 

įtampos kritimą rezistoriuose R1 = 5 Ω, R2 = 1,0 Ω, 

R3 = 3,0 Ω. 

47 

C1 

m1 

α 

C2 

ε1 

ε2 

ε3 

R1 

R2 

R3 

C4 

m2 

β 

C3

10.1. Automobilis judėdamas pastoviu 0,5 m/s 2 pagreičiu, 200 m kelio atkarpoje pasiekė 15 m/s 

greitį. Koks buvo automobilio pradinis greitis? 

10.2. Materialiojo taško svyravimo lygtis x = A cos ωt, čia A = 2·10 -2 m. Svyravimų dažnis 

ν = 0,5 Hz. Apskaičiuokite: a) taško greitį po t = 1 s; b) taško greitį, kai jo koordinatė 

x = 10 -2 m. 

10.3. Ant lygaus stalo padėtas m = 4 kg masės tašelis,. 

prie kurio pririšti du siūlai. Siūla i permesti per 

skridinius, pritvirtintus prie stalo kraštų . Prie 

laisvųjų siūlų galų pririšti pasvarai, kurių masės 

m1 = 1 kg ir m2 = 2 kg. Kokiu pagreičiu judės 

tašelis? Skridinių masės ir trinties nepaisyti. 

m 

m1 m2 

10.4. m = 10 g masės kulka, lėkdama gulsčiai v1 = 600 m/s greičiu, pataiko į M = 1 kg masės 

kabančią lentą ir ją pramuša. Iš lentos kulka išlekia v2 = 400 m/s greičiu. Kokiu greičiu 

pajudės lenta? Kiek kulkos pradinės kinetinės energijos virto vidine? 

10.5. Auditorijos aukštis 5 m, grindų plotas 200 m 2 . Oro temperatūra auditorijoje 17˚C, slėgis 

1,01·10 5 Pa. Oro molio masė 29·10 -3 kg/mol. Apskaičiuokite auditorijoje esančio oro 

masę. 

10.6. Azoto dujos, kurių pradinis tūris 10 ℓ ir slėgis 0,2 MPa izotermiškai išsiplėtė iki 28 ℓ 

tūrio. Rasti dujoms suteiktą šilumos kiekį ir jų atliktą darbą. 

10.7. Apskaičiuokite q = 10 nC taškinio krūvio sukurto elektrinio lauko stiprį taške, 

nutolusiame 10 cm nuo krūvio. Dielektrikas alyva, kurios ε = 2,2. 

10.8. Apskaičiuokite trijų vienodų kondensatorių 

(C1 = C2 = C3 = C) sistemos talpą tarp taškų 

A ir B. Kondensatorių jungimo schema 

pavaizduota paveikslėlyje. 

A 

C1 

B 

C2 C3 

10.9. 0°C temperatūros vieno laidininko varža n kartų didesnė už kito. Temperatūriniai 

laidininkų varžos koeficientai lygūs α1 ir α2. Kam lygus temperatūrinis varžos 

koeficientas laidininko, sudaryto iš pirmųjų dviejų, sujungtų: a) nuosekliai; 

b) lygiagrečiai? 

10.10. Apskaičiuokite rezistoriaus R varžą, jeigu šaltinių 

vidaus varžos vienodos ir lygios 0,3 Ω, ε1 = 1,3 V, 

ε2 = 1,4 V, ε3 = 1,5 V, I2 = 0,66 A. 

48 

I2 

R 

ε1 

ε2 

ε3

11.1. Iš stotelės, tolygiai greitėdamas a = 1 m/s 2 pagreičiu, pradeda važiuoti autobusas. Po 2 s iš 

tos pačios stotelės pradeda važiuoti dviratininkas pastoviu 4 m/s greičiu. Po kiek laiko 

dviratininkas pavys autobusą? 

11.2. Materialiojo taško svyravimo lygtis x = A cos ω(t + τ), čia ω = π s -1 , τ = 0,2 s. 

Apskaičiuokite svyravimo periodą T ir pradinę fazę φ0. 

11.3. Kilnojamasis ir nekilnojamasis skridiniai sujungti virve. 

Prie kilnojamojo skridinio prikabintas m = 10 kg masės 

krovinys. Kokia jėga F reikia traukti laisvąjį virvės galą, 

kad krovinys kiltų a = 4 m/s 2 pagreičiu? Skridinių masės ir 

trinties nepaisyti. 

11.4. Iš spyruoklinio pistoleto stačiai aukštyn iššauta m = 20 g masės kulka. Spyruoklė, kurios 

standumas k = 200 N/m, prieš šūvį buvo suspausta ∆x = 10 cm. Į kokį aukštį h pakilo 

kulka? Spyruoklės masės nepaisykite. 

11.5. Rasti vandenilio tankį, kai slėgis 9,7 . 10 5 Pa, temperatūra 17˚ C. 

11.6. Izotermiškai plečiantis deguonies dujoms, kurių medžiagos kiekis lygus 1 moliui, o 

temperatūra 300 K, suteiktas 2 kJ šilumos kiekis. Kiek kartų padidėjo dujų tūris? 

11.7. Atstumas tarp dipolio krūvių q = ± 3,2 nC yra 10 cm. Rasti dipolio sukurto elektrinio 

lauko stiprį ir potencialą taške, nutolusiame 8 cm atstumu tiek nuo pirmojo, tiek ir nuo 

antrojo krūvio. 

11.8. C1 = 1 µF talpos kondensatorius, įelektrintas 

iki 110 V įtampos, prijungiamas lygiagrečiai 

prie dviejų nuosekliai sujungtų neįelektrintų 

kondensatorių (žr. paveikslėlį), kurių talpos 

C2 = 2 µF ir C3 = 3 µF, sistemos galų. Koks 

krūvis pratekės jungiamaisiais laidais? 

a r 

m 

C2 C3 

11.9. Elemento gnybtai sujungiami laidu, kurio varža 4 Ω, po to kitu laidu, kurio varža 9 Ω. 

Abiem atvejais per tą patį laiką išskiriamas vienodas šilumos kiekis. Nustatykite elemento 

vidinę varžą. 

11.10. Apskaičiuokite rezistoriaus R2 varžą, jei šaltinio 

elektrovara ε = 120 V, R3 = 20 Ω, R4 = 25 Ω, 

o įtampos kritimas rezistoriuje R1 lygus 40 V. 

Ampermetras rodo 2 A. Šaltinio ir ampermetro 

varžos nepaisykite. 

49 

A 

R2 

R3 

ε1 

C1 

R1 

R4 

F r

12.1. Iš tam tikro aukščio tuo pačiu momentu vienodais pradiniais greičiais v0 metami du kūnai: 

vienas vertikaliai aukštyn, kitas – vertikaliai žemyn. Kokia atstumo tarp jų priklausomybė 

nuo laiko? 

12.2. Materialiojo taško svyravimo lygtis x = A sin ω(t + τ), čia ω = 2,5π s -1 , τ = 0,4 s. 

Apskaičiuokite svyravimo periodą T, dažnį ν ir pradinę fazę φ0. 

12.3. Kilnojamasis ir nekilnojamasis skridiniai sujungti virve. 

Prie kilnojamojo skridinio prikabintas m1 = 10 kg masės 

krovinys, prie nekilnojamojo – m2 = 7 kg masės krovinys. 

Kokiu pagreičiu judės m1 masės krovinys? Skridinių masės 

ir trinties nepaisyti. 

12.4. 0,5 kg masės kūnas metamas 20 m/s pradiniu greičiu 60° kampu į horizontą. 

Apskaičiuokite kūno kinetinę ir potencinę energiją aukščiausiame trajektorijos taške. 

12.5. Rasti deguonies tankį, kai slėgis 2 . 10 5 Pa, temperatūra 20˚ C. 

12.6. Koks išsiskirs šilumos kiekis, jeigu azoto dujas, kurių masė 1 g, pradinė temperatūra 

280 K ir slėgis 0,1 MPa, izotermiškai suspausti iki 1 MPa slėgio? 

A 

12.7. Rasti elektrinio dipolio, kurio elektrinis momentas 

1·10 -12 C . m, elektrinio lauko stiprį ir potencialą taškuose 

A ir B, kurie nutolę 10 cm atstumu nuo dipolio centro. 

r 

12.8. Trys kondensatoriai, kurių talpos C1 = 1 µF, C2 =2 µF, C3 = 3 µF prijungti prie 1,1 kV 

įtampos šaltinio. Rasti kiekvieno kondensatoriaus energiją, kai kondensatoriai sujungti 

a) nuosekliai, b) lygiagrečiai. 

12.9. Per t = 10 s srovės stipris laidininke tolygiai padidėjo nuo I0 = 0 iki I = 3 A. 

Apskaičiuokite laidininko skerspjūviu pratekėjusį krūvį q. 

12.10. Šaltinio elektrovara ε = 100 V, R1 = R3 = 40 Ω, 

R2 = 80 Ω ir R4 = 34 Ω. Apskaičiuokite srovės, 

tekančios rezistoriumi R2, stiprį ir įtampos 

kritimą šiame rezistoriuje. Šaltinio vidaus 

varžos nepaisykite. 

50 

-q 

r 

ε 

R4 

m1 

R1 R2 

+q 

m2 

R3 

B

13.1. Akmuo metamas vertikaliai į viršų 20 m/s pradiniu greičiu. Po kiek laiko akmuo bus 

aukštyje: a) 15 m, b) 20 m, c) 25 m? 

13.2. Taško svyravimo lygtis x = A cos ωt, čia A = 5 cm, ω = 2 s -1 . Apskaičiuokite taško 

pagreitį tuo momentu, kai jo greitis v1 = 8 cm/s. 

13.3. M = 9 kg masės ritinys gali suktis apie apie horizontalią ašį, einančią per ritinio masės 

centrą ir statmeną ritinio pagrindui. Apie ritinį užvyniojamas siūlas, kurio gale pririštas 

m = 2 kg masės krovinys. Kroviniui leidžiama judėti be pradinio greičio. Apskaičiuokite, 

kokiu pagreičiu judės krovinys.Trinties nepaisykite. 

13.4. Du m1 = 0,6 kg ir m2 = 0,4 kg masės rutuliai juda horizontalia plokštuma greičiais 

v1 = 5 m/s ir v2 = 10 m/s. Kūnai juda kryptimis, tarp kurių yra α = 90° kampas. Susidūrę 

jie toliau juda kaip vienas kūnas. Apskaičiuokite rutulių greitį po smūgio ir kampą tarp 

pradinės pirmojo rutulio judėjimo krypties ir sistemos judėjimo krypties po smūgio. Į 

pasipriešinimą judėjimui nekreipkite dėmesio. 

13.5. Nubrėžti 0,5 g vandenilio izotermą, kai temperatūra 0˚ C. 

13.6. Besiplėsdamos vandenilio dujos atliko 6 kJ darbą. Rasti dujoms suteiktą šilumos kiekį, 

jeigu procesas vyko a) izobariškai; b) izotermiškai. 

A 

13.7. Dipolį, kurio elektrinis momentas p = 0,12 nC . m, sudaro 

taškiniai krūviai q = ± 1 nC. Rasti elektrinio lauko stiprį 

ir potencialą taškuose A ir B, jeigu atstumas nuo dipolio 

r = 8 cm. 

13.8. Sistema, sudaryta iš trijų kondensatorių, prijungta 

prie U įtampos srovės šaltinio. Apskaičiuokite 

sistemoje sukauptą energiją. 

13.9. Reostatas pagamintas iš nikelininės 0,5 mm 2 skerspjūvio ploto vielos, vartoja 30 W galią, 

o jo gnybtų įtampa lygi 15 V. Kokio ilgio viela susukta reostate? 

13.10. 36 Ω varžos viela sukarpyta į keletą lygių dalių ir dalys sujungtos lygiagrečiai. Tokios 

vielos varža lygi 1 Ω. Į kiek dalių sukarpyta viela? 

51 

U 

-q 

r 

C1 

r 

C2 

C3 

+q 

B

14.1. Vertikaliai aukštyn iššauta kulka nukrito po 120 s. Kokiu pradiniu greičiu buvo iššauta 

kulka? Į kokį didžiausią aukštį ji buvo pakilusi? 

14.2. Taško svyravimo lygtis x = A sin ωt. Kažkuriuo laiko momentu taško poslinkis x1 buvo 

5 cm. Kai svyravimų fazė padidėjo dvigubai, taško poslinkis x2 buvo 8 cm. Kokia 

svyravimo amplitudė A? 

14.3. R = 0,5 m spindulio ritinys gali suktis apie apie horizontalią ašį, einančią per ritinio 

masės centrą ir statmeną ritinio pagrindui. Apie ritinį užvyniojamas siūlas, kurio gale 

pririštas m = 10 kg masės krovinys. Krovinys leidžiasi žemyn a = 2,04 m/s 2 pagreičiu. 

Apskaičiuokite ritinio inercijos momentą. 

14.4. Ant h aukščio stalo krašto guli m1 masės rutuliukas. Į rutuliuką pataiko greičiu v 

horizontaliai judanti m2 masės kulka ir įstringa jame. Kokiu atstumu nuo stalo rutuliukas 

nukris ant žemės? 

14.5. Nubrėžti 1 g vandenilio izotermą, kai temperatūra 100˚ C. 

14.6. Oras, kurio pradinis slėgis 100 kPa ir tūris 10 ℓ, adiabatiškai suslėgtas iki 1ℓ tūrio. Koks 

tapo oro slėgis? 

14.7. Koks reikalingas greitinantis potencialas, kad suteiktume 30·10 6 m/s greitį a) elektronui, 

b) protonui? 

14.8. Kondensatoriaus, kurio talpa 1 µF, įelektrintas iki 300 V įtampos ir prijungtas 

lygiagrečiai prie 2 µF talpos neįelektrinto kondensatoriaus. Rasti šios sistemos energijos 

pokytį, nusistovėjus pusiausvyrai. 

14.9. Elektriniam židiniui sunaudota 50 m nikelininio laido, kurio skerspjūvio plotas 1,4 mm 2 . 

Apskaičiuokite židinio vartojamą galią ir per 2 h suvartotą jo energiją, kai tinklo įtampa 

120 V. 

14.10. Apskaičiuokite visomis grandinės dalimis tekančių srovių 

stiprius, jeigu ε1 = 20,0 V, ε2 = 33,0 V, r1 = 0,2 Ω, r2 = 0,5 Ω, 

R1 = 0,8 Ω, R2 = 2,0 Ω. 

52 

I3 

ε2 

ε1 

R2 

R1

15.1. Kiek kartų reikia padidinti vertikaliai į viršų mesto kūno pradinį greitį, kad jo pakilimo 

aukštis padidėtų n kartų? 

15.2. Sudedami du vienos krypties ir vienodo periodo harmoniniai svyravimai. A1 = 10 cm, 

A2 = 6 cm. Atstojamojo svyravimo amplitudė A = 14 cm. Apskaičiuokite sudedamų 

svyravimų fazių skirtumą ∆φ. 

15.3. Apskaičiuokite Žemės inercijos momentą sukimosi ašies atžvilgiu. Žemės spindulys 

R = 6,4 Mm, masė M = 6·10 24 kg. 

15.4. m1 masės rutulys judėdamas horizontaliai susiduria su m2 masės nejudančiu rutuliu. 

Smūgis centrinis, absoliučiai tamprus. Kokią savo kinetinės energijos dalį pirmasis 

rutulys perdavė antrajam? 

15.5. Nubrėžti 15,5 g deguonies izotermą, kai temperatūra 29 ˚ C. 

15.6. Anglies dvideginis CO2, kurio masė 400 g, šildomas izobariškai ir jo temperatūra padidėja 

50 K. Rasti dujų vidinės energijos pokytį, dujoms suteiktą šilumos kiekį ir jų atliktą 

darbą. 

15.7. Dulkelė, kurios masė 1·10 -12 kg ir krūvis q = 5e ( čia e = 1,6·10 -19 C ), prabėga 3 MV 

greitinantį potencialų skirtumą. Kokį greitį įgijo dulkelė? Kokia jos kinetinė energija? 

15.8. Plokščias orinis 1,11 nF talpos kondensatorius įelektrintas iki 300 V potencialų skirtumo. 

Po to, kai kondensatorius atjungiamas nuo šaltinio, atstumas tarp jo plokštelių 

padidinamas 5 kartus. Rasti potencialų skirtumą tarp praskėstų kondensatoriaus 

plokštelių ir išorinių jėgų atliktą darbą, praskečiant plokšteles. 

15.9. Elektromagneto varža 20°C temperatūroje yra 50,2 Ω. Darbo metu jo varža padidėja iki 

61,4 Ω. Iki kokios temperatūros įkaista elektromagnetas darbo metu, jeigu žinome, kad jo 

apvija varinė? 

15.10. Kokį srovės stiprį rodo ampermetras, jeigu šaltinio 

ε = 10 V, r = 1 Ω, naudingumo koeficientas 0,8? 

Apskaičiuokite įtampos kritimą rezistoriuje R2, 

jeigu įtampos kritimas rezistoriuje R1 yra 4 V, o 

rezistoriuje R2 – 2 V. 

53 

A 

R2 

R3 

ε1 

R1 

R4

16.1. Nuo 20 m aukščio bokšto horizontaliai mestas akmuo nukrito už 30 m nuo bokšto 

papėdės. Kokiu greičiu buvo mestas akmuo? Koks buvo akmens greitis smūgio į žemę 

momentu? 

16.2. Sudedami du vienos krypties, vienodos amplitudės ir vienodo periodo harmoniniai 

svyravimai. Atstojamojo svyravimo amplitudė tokia pat: A1 = A2 = A. Apskaičiuokite 

sudedamų svyravimų fazių skirtumą ∆φ. 

16.3. Apskaičiuokite plono, tiesaus, ℓ = 0,5 m ilgio ir m = 0,2 kg masės strypo inercijos 

momentą ašies, statmenos strypui ir einančios per tašką, esantį 0,15 m atstumu nuo strypo 

vieno galo, atžvilgiu. 

16.4. m = 60 kg masės sportininkas iš h = 5 m aukščio šoka į vandens baseiną. Per t = 0,4 s jo 

greitis dėl vandens pasipriešinimo sumažėja iki 0. Kokia vidutine jėga vanduo veikė 

sportininką? 

16.5. Nubrėžti 15,5 g deguonies izotermą, kai temperatūra 180 ˚ C. 

16.6. Deguonis, kurio masė 600 g, atšaldomas nuo 100˚C iki 20˚C, palaikant pastovų tūrį. 

Rasti dujų vidinės energijos pokytį, dujoms suteiktą šilumos kiekį ir jų atliktą darbą. 

16.7. Dalelė, prabėga 600 kV greitinantį potencialų skirtumą ir įgyja 5,4·10 6 m/s greitį. Rasti 

dalelės specifinį krūvį (dalelės krūvio ir masės santykį).. 

16.8. Plokščiasis kondensatorius užkrautas iki 1 kV potencialų skirtumo. Atstumas tarp jo 

plokštelių 1 kV, dielektrikas – stiklas (stiklo santykinė dielektrinė skvarba ε = 7). Rasti 

kondensatoriaus elektrinio lauko energijos tankį. 

16.9. Kokį srovės stiprį rodys ampermetras, jeigu šaltinio 

elektrovara ε = 100 V, vidinė varža r = 2 Ω, R1 = 25 Ω, 

R3 = 78 Ω. Rezistoriuje R1 išsiskirianti galia lygi 16 W. 

Ampermetro varžos nepaisykite. 

16.10 Grandinę sudaro šaltinis, kurio vidinė varža r = 4 Ω, ir R = 20 Ω varžynas. Kokia turi 

būti prie varžyno prijungto rezistoriaus varža, kad juo tekanti srovė nepriklausytų nuo to, 

kaip prijungtas rezistorius: lygiagrečiai ar nuosekliai? 

54 

A 

ε 

R3 

R1 

R2

17.1. Kūnas metamas 10 m/s pradiniu greičiu 30° kampu į horizontaliąją plokštumą. 

Apskaičiuokite kūno normalinį ir tangentinį pagreičius po a) 0,25 s, b) 0,5 s, c) 0,75 s. 

17.2. Sudedami du vienodo periodo ir vienos krypties harmoniniai svyravimai. Svyravimų 

amplitudės A1 = A2 = 2 cm. Pradinės svyravimų fazės φ1 = π/2 ir φ2 = π/3. Apskaičiuokite 

atstojamojo svyravimo amplitudę A ir pradinę fazę φ. 

17.3. Apskaičiuokite m = 0,3 kg masės materialaus taško inercijos momentą ašies, nutolosios 

nuo taško ℓ = 0,2 m atstumu, atžvilgiu. 

17.4. Svyruoklė buvo atlenkta nuo pusiausvyros padėties ir paleista svyruoti. Jai pereinant 

pusiausvyros padėtį, jos siūlas per vidurį užsikabino už vinies. Sutrumpėjusi svyruoklė 

atsilenkė β = 60° kampu. Apskaičiuokite, kokiu kampu buvo atlenkta svyruoklė. 

17.5. 5 g azoto yra 4 ℓ tūrio uždarame inde. Pradinė dujų temperatūra 20˚ C. Po to dujos 

šildomos iki 40˚ C. Rasti dujų slėgį inde iki ir po šildymo. 

17.6. Dujos, atlikdamos ciklinį procesą, iš šildytuvo gauna 4 kJ šilumos. Rasti ciklo metu 

atliktą darbą, jei jo terminis naudingumo koeficientas 0,1. 

17.7. Kokios eilės dydis yra elektrostatinių ir gravitacinių traukos jėgų tarp elektrono ir 

protono santykis? 

17.8. Rasti 2 cm spindulio metalinės sferos, panardintos į vandenį elektrinę talpą (vandens 

santykinė dielektrinė skvarba ε = 81). 

17.9. Tarp taškų, kurių potencialai skiriasi 30 V, du laidininkai buvo įjungti iš pradžių 

nuosekliai, po to lygiagrečiai. Laidininkų varža lygi 10 Ω ir 6 Ω. Kiek šilumos abiem 

atvejais per 58 s išsiskyrė kiekviename laidininke? 

17.10. Apskaičiuokite grandine tekančių srovių stiprius, jei ε1 = 30 V, 

ε2 = 16 V, šaltinių vidaus varžos r1 = 1 Ω, r2 = 2 Ω, apkrovos 

varža R = 25 Ω. 

55 

ε1 

ε2 

R

18.1. Kūnas metamas 60 m/s pradiniu greičiu 45° kampu į horizontą. Koks trajektorijos 

kreivumo spindulys pradiniame taške ir aukščiausiame pakilimo taške? Koks normalinis 

ir tangentinis pagreitis tuose taškuose? 

18.2. Sudedami du vienodo periodo ir vienos krypties harmoniniai svyravimai. Svyravimų 

lygtys: x1 = A1 cos(ωt + φ1) ir x2 = A2 cos(ωt + φ2), čia A1 = 10 -2 m, A2 = 2 . 10 -2 m, 

φ1 = π/6 rad, φ2 = π/2 rad. Apskaičiuokite suminio svyravimo amplitudę ir pradinę fazę. 

18.3. Du maži m = 10 g masės rutuliukai sujungti plonu, nesvariu ℓ = 0,2 cm ilgio strypu. 

Apskaičiuokite sistemos inercijos momentą ašies, statmenos strypui ir einančios per 

sistemos masių centrą, atžvilgiu. 

18.4. M = 40 kg masės berniukas stovi ant ledo šalia m = 4 kg masės rogučių. Berniukas 

pastumia rogutes ir suteikia joms v = 6 m/s greitį, o pats juda priešinga kryptimi. Kokį 

darbą atliko berniukas? 

18.5. Dujų tankis esant 10˚ C temperatūrai ir 9,2·10 5 Pa slėgiui, 0,34 kg/m 3 . Rasti šių dujų 

molinę masę. 

18.6. Idealiosios dujos atlieka Karno ciklą. Šaldytuvo temperatūra 290 K. Kiek kartų padidės 

ciklo naudingumo koeficientas, jei šildytuvo temperatūra padidės nuo 400 K iki 600 K? 

18.7. Kvadrato, kurio kraštinė a, viršūnėse taškiniai krūviai 

išdėstyti taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Rasti 

šių krūvių sukurto elektrinio lauko stiprį ir potencialą 

kvadrato centre. 

q -q 

-q q 

18.8. Koks šilumos kiekis išsiskirs išsikraunant plokščiajam kondensatoriui, jeigu potencialų 

skirtumas tarp jo plokštelių 15 kV, atstumas 1 mm, kiekvienos plokštelės plotas 300 cm 2 , 

dielektrikas žėrutis ( žėručio santykinė dielektrinė skvarba ε = 7). 

18.9. Kokia yra šviečiančios lemputės volframinio siūlelio temperatūra, jeigu žinome, kad 

srovė, tekanti siūleliu lemputės įjungimo momentu ( temperatūra 20°C), 12,5 karto 

didesnė už srovę, tekančią lemputei šviečiant. 

18.10. Apskaičiuokite grandine tekančių srovių stiprius, 

jei ε1 = 1 V, ε2 =3 V, ε3 = 5 V, R1 = 2 Ω, 

R2 = 4 Ω, R3 = 2 Ω. Vidinės šaltinių varžos 

nepaisykite. 

56 

ε1 

R1 

ε2 

R2 

ε3 

R3

19.1. Iš aukšto bokšto horizontaliąja kryptimi metamas akmuo 15 m/s pradiniu greičiu. 

Apskaičiuokite trajektorijos kreivumo spindulį po 2 s. 

19.2. Materialusis taškas tuo pačiu metu svyruoja dviem statmenomis kryptimis. Svyravimų 

lygtys x = A cos ωt ir y = A cos(ωt + φ1). Čia A = 2 m, φ1 = π/2. Užrašykite taško 

trajektorijos lygtį. 

19.3. Du m1 = 10 g ir m2 = 20 g masės rutuliukai pritvirtinti prie plono, nesvaraus, ℓ = 0,4 m 

ilgio strypo, kaip parodyta paveikslėlyje . Apskaičiuokite sistemos inercijos momentą 

ašies, statmenos strypui ir einančios per laisvąjį strypo galą, atžvilgiu. Tarkite, kad 

rutuliukai yra materialūs taškai. 

19.4. Kūnas pradeda laisvai kristi iš didelio aukščio. Apskaičiuokite jo kinetinės energijos po 

pirmųjų 3 s ir kinetinės energijos pokyčio, įvykusio per kitas tris sekundes, santykį. 

19.5. Kam lygus oro tankis inde, jeigu oras praretintas iki 1·10 -9 Pa slėgio. Oro temperatūra 

inde 15˚ C. 

19.6. Idealiosios dujos atlieka Karno ciklą. 2/3 šilumos, gautos iš šildytuvo, dujos atiduoda 

šaldytuvui. Šaldytuvo temperatūra 280 K. Rasti šildytuvo temperatūrą. 

19.7. Kvadrato, kurio kraštinė a, viršūnėse taškiniai krūviai išdėstyti 

taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Rasti šių krūvių sukurto 

elektrinio lauko stiprį ir potencialą kvadrato centre. 

q q 

q 

q 

19.8. Rasti penkių vienodos talpos 

( C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = C ) 

kondensatorių sistemos talpą tarp 

taškų A ir B (kondensatorių jungimo 

schema pavaizduota paveikslėlyje). 

A 

O 

C4 

ℓ/2 

m1 

ℓ/2 

C1 C2 C3 

19.9. Srovės stipris laidininke kinta pagal dėsnį I = 4 + 2t. Apskaičiuokite laidininko 

skerspjūviu pratekėjusį krūvį nuo t1 = 2 s iki t2 = 6 s. Koks turi būti nuolatinės srovės 

stipris, kad per tą patį laiką skerspjūviu pratekėtų toks pat krūvis? 

19.10. Apskaičiuokite per kiekvieną šaltinį tekančių srovių 

stiprius. Šaltinių vidaus varžos vienodos ir lygios 0,3 Ω. 

ε1 = 1,3 V, ε2 = 1,4 V, ε3 = 1,5 V, R = 0,6 Ω. 

57 

R 

ε1 

ε2 

ε3 

C5 

m2 

B

20.1. Krepšininkas metė kamuolį į krepšį 8 m/s pradiniu greičiu 60° kampu į horizontą. 

Kamuolys įkrito į krepšį po 1 s. Kokiu greičiu kamuolys įkrito į krepšį? 

20.2. Materialusis taškas tuo pačiu metu svyruoja dviem statmenomis kryptimis. Svyravimų 

lygtys x = A1 cos ωt ir y = A2 cos (ωt + φ2). Čia A1 = 1m, A2 = 2m, φ2 = π. Užrašykite 

taško trajektorijos lygtį. 

20.3. Du m1 = 10 g ir m2 = 20 g masės rutuliukai pritvirtinti prie plono, nesvaraus, ℓ = 0,4 m 

ilgio strypo, kaip parodyta paveikslėlyje. Apskaičiuokite sistemos inercijos momentą 

ašies, statmenos strypui ir einančios per laisvąjį strypo galą, atžvilgiu. Tarkite, kad 

rutuliukai yra materialieji taškai. 

m2 m1 

O 

20.4. Automobilis važiuoja v = 72 km/h greičiu. Apskaičiuokite automobilio stabdymo kelią, 

jei trinties koeficientas tarp kelio ir ratų yra 0,3. 

20.5. 12 g dujų, kurių temperatūra 7˚ C, užima 4 . 10 -3 m 3 tūrį. Izobariškai šildant dujas, jų 

tankis tapo 0,6 kg/m 3 . Iki kokios temperatūros pašildytos dujos? 

20.6. Idealiosios dujos atlieka Karno ciklą. Šildytuvo temperatūra 470 K, šaldytuvo – 280 K. 

Izotermiškai plečiantis dujos atlieka 100 J darbą. Rasti ciklo terminį naudingumo 

koeficientą ir šilumos kiekį, kurį atidavė izotermiškai suslegiamos dujos. 

20.7. Kvadrato, kurio kraštinė a, viršūnėse taškiniai krūviai 

išdėstyti taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Rasti šių 

krūvių sukurto elektrinio lauko stiprį ir potencialą 

kvadrato centre. 

ℓ/2 

q 

ℓ/2 

q 

-q -q 

20.8. Tarpas tarp kondensatoriaus plokštelių užpildytas dielektriku, kurio santykinė dielektrinė 

skvarba ε = 5 ir tūris 100 cm 3 . Paviršinių krūvių tankis ant kondensatoriaus plokštelių 

8,85 nC/m 2 . Rasti darbą, kurį reikėtų atlikti, ištraukiant dielektriką. 

20.9. Įtampa tarp geležinio ℓ = 10 m ilgio laido galų U = 6 V. Apskaičiuokite srovės tankį. 

20.10. Apskaičiuokite srovės stiprį grandinėje. 

ε1 = ε2 = ε3 = 2,2 V, r1 = r2 = r3 = 20 mΩ, 

R1 = R2 = 2 Ω, R3 = 6 Ω, R4 = 4 Ω ir 

R5 = 0,9 Ω. 

58 

ε1 

ε2 

R5 

ε3 

R1 

R2 

R3 

R4

7. LITERATŪRA 

1. Karpus A. Mechanika: paskaitos. Vilnius, 2003. 160 p. 

2. Matvejevas A. Elektra ir magnetizmas. Vilnius, 1991. 376 p. 

3. Ambrasas V. Fizikos uždavinynas /V. Ambrasas ,B. Martinėnas . Vilnius, 1996. 409 p. 

4. Чертов А. Г. Задачник по физике /Чертов А. Г., Воробьев А. А. Москва, 1988. 

530с. 

5. Гельфгат И. М. 1001 задача по физике с решениями/ Гельфгат И. М., 

Гендельштейн Л. Э., Кирик Л. А. Харьков-Москва, 1995. 592 с. 

6. Pelanskis S. Bendrosios fizikos uždavinynas. Mechanika/ Pelanskis S., Pelanskienė A. 

Šiauliai, 2000. 1 d. 84 p. 

7. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики. Москва, 1991. 303 с. 

8. Мин Чен. Задачи по физике с решениями. Москва, 1988. 296 с. 

59

MOLEKULINĖS FIZIKOS IR TERMODINAMIKOS PAGRINDAI

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?