71 3. SUDĖTINIS TAŠKO JUDĖJIMAS 3.1. Reliatyvusis, keliamasis ...

71
3. SUDĖTINIS TAŠKO JUDĖJIMAS
3.1. Reliatyvusis, keliamasis ir absoliutusis judėjimai
Taško judėjimas vadinamas sudėtiniu, kai jis juda atžvilgiu koordinačių sistemos, kuri
juda kitos nejudančios koordinačių sistemos atžvilgiu. Taško judėjimas nejudančios
koordinačių sistemos atžvilgiu vadinamas absoliučiuoju , o judančios sistemos atžvilgiu -
reliatyviuoju. Keliamuoju judėjimu vadinamas judančios koordinačių sistemos ir visų su ja
nekintamai susijusių taškų judėjimas nejudančios sistemos atžvilgiu.
Panagrinėkime pavyzdį. Tarkim, žmogus (jį laikome tašku) eina važiuojančio
traukinio vagonu. Jo judėjimas Žemės atžvilgiu vadinamas absoliučiuoju, o judėjimas vagono
atžvilgiu - reliatyviuoju. Įsivaizduokime, kad žmogus sustoja, t.y. nejuda vagono atžvilgiu, jo
judėjimas kartu su vagonu Žemės atžvilgiu vadinamas keliamuoju.
Absoliučiojo, keliamojo ir reliatyviojo judėjimų trajektorijos, greičiai ir pagreičiai yra
skirtingi.
3.2. Greičių sudėties teorema
Taško, kurio judėjimas sudėtinis, absoliutusis greitis lygus keliamojo ir reliatyviojo
greičių geometrinei sumai:
v = v + v . (3.1)
a
k
r
Šis teiginys vadinamas greičių sudėties teorema.
Sprendžiant uždavinius, taško keliamasis ir reliatyvusis judėjimai nagrinėjami atskirai.
Jo keliamasis ir reliatyvusis greičiai apskaičiuojami panaudojant 1.3 arba 2.5 skyrių formules
priklausomai nuo taško judėjimo pobūdžio (slinkimo ar sukimosi).
Ieškodami taško absoliučiojo greičio, keliamąjį ir reliatyvųjį greičius sudedame,
atsižvelgdami į jų kryptis (3.1) lygybė. Galimi trys atvejai:
A
A
v r
α
v r
v k
v a
3.1 pav.
3.2 pav.
v k
v a
1) jei tarp taško A greičių v k ir vr
vektorių yra
kampas a, absoliučiojo greičio v a modulis randamas,
panaudojant kosinusų teoremą
2 2
v r
a = vk
+ vr
+ 2v
k v cos α , (3.2)
ir yra nukreiptas iš šių vektorių sudaryto
lygiagretainio įstrižaine;
2) jei taško A keliamojo ir reliatyviojo greičių
vektoriai statmeni vienas kitam, taško absoliučiojo
greičio modulį patogiausia apskaičiuoti, panaudojant
Pitagoro teoremą:
a
2
k
2
r
v = v + v ; (3.3)

v r
v
v
A a
k
3.3 pav.
72
3) jei taško A keliamojo ir reliatyviojo greičių
vektoriai yra vienoje tiesėje, taško absoliučiojo
greičio modulis lygus abiejų greičių algebrinei
sumai ir nukreiptas didesniojo vektoriaus
kryptimi.
Taško absoliutųjį greitį galima rasti ir projekcijų metodu, v k ir vr
projektuojant į
pasirinktas Dekarto koordinačių ašis x ir y.
v
a
2
Ax
čia vAx = vkx + vrx ,
vAy = vky + vry .
Pavyzdžiai
2
Ay
= v + v ,
(3.4)
1. Lygiašonio stačiojo trikampio formos figūra juda tiesiai greičiu v = 5 m/s. Šios figūros
nuožulnia plokštuma slenka kūnas A greičiu vr = 2t m/s. Apskaičiuokite kūno A absoliutųjį
greitį po 5 s nuo judėjimo pradžios, atsižvelgiant į tai, kad pradiniu momentu vr = 0.
SPRENDIMAS.Kūno A slinkimas
A k v
45 0
v r
v a
nuožulnia plokštuma yra reliatyvusis. Po 5 s
jo reliatyvusis greitis vr =2×5=10 m/s.
Kūno slinkimas kartu su plokštuma yra
keliamasis. Todėl jo keliamasis greitis vk
= 5 m/s.
Iš greičių sudėties teoremos žinome,
kad taško absoliutusis greitis
va = vk
+ vr
.
3.4 paveiksle matome, kad tarp
v k ir vr
yra 45 o 3.4 pav.
kampas. Todėl kūno A
absoliutųjį greitį galima apskaičiuoti pasinaudojant kosinusų teorema:
v
a
=
v
2
k
+ v
2
r
+ 2v
r
v
k
cos 45
o
=
5
2
+ 10
2
+ 2 ⋅ 5 ⋅10
⋅ 0,
707 ≈ 14 m/s .
2. Kilnojamasis transporteris slenka 5 m/s greičiu. Transporterio juostos būgnas, kurio
spindulys r = 0,1 m, sukasi pastoviu kampiniu greičiu w = 7,5 rad/s. Apskaičiuokite
transporterio juostos taškų M1 ir M2 absoliučiuosius greičius (3.5 pav., a).
SPRENDIMAS. Transporterio juostos taškų M1 ir M2 judėjimas sudėtinis. Transporterio
judėjimas yra keliamasis. Transporterio juostos judėjimas judančio transporterio atžvilgiu yra
reliatyvusis. Absoliutusis greitis apskaičiuojamas kaip keliamojo ir reliatyviojo greičių
geometrinė suma (3.5 pav., b):
čia vk = 5m/s.
v = v + v ;
a
k
r

30 0
M2
M1
ω
v
73
v r
α2
M2
M1
3.5 pav., a 3.5 pav., b
Transporterio juostos taškų reliatyvusis greitis
vr = w × r ,
nes juostos slinkimo transporterio atžvilgiu greitis lygus būgno paviršiaus taškų linijiniams
greičiams. Taigi
v r
= ω⋅
r = 7,
5
⋅
0,
1
=
v 2
v r
vK
0,
75 m/s.
Taškų M1 ir M2 absoliučiuosius greičius apskaičiuojame iš formulės
čia a - kampas tarp v r ir v k .
Gauname:
v
v
2
1
=
=
v
v
2
k
2
k
+ v
+ v
2
r
2
r
+ 2v
+
2v
k
k
⋅ v
⋅ v
2 2
v a k r k r
r
r
α1
= v + v + 2v
v cos α ;
cos 60
cos 120
o
o
=
=
5
2
5
2
+
+
0,
75
2
0,
75
2
+ 2 ⋅ 5 ⋅
− 2 ⋅ 5 ⋅
0,
75
vK
⋅
0,
75
ω
0,
5
⋅
0,
5
=
=
r
v 1
5,
41 m/s;
3. Hidraulinėje turbinoje vanduo iš nukreipimo prietaiso patenka į besisukantį darbo ratą,
kurio mentelės sumontuotos taip, kad išvengtų vandens smūgio, t.y. vandens dalelių
reliatyvusis greitis būtų mentelės liestinėje. Apskaičiuokite, kokiu reliatyviuoju greičiu judės
vandens dalelės, kai jos patenka į darbo ratą (taškas M), jeigu absoliutusis greitis va tuo
momentu lygus 15 m/s, kampas tarp absoliučiojo greičio ir spindulio a = 60 o , R = OM =
2 m , darbo rato n = 30 sūk./min .
4,
67
m/s.

R
M
α
3.6 pav., a
v
v r
v
74
SPRENDIMAS. Vandens dalelių
hidraulinėje turbinoje judėjimas yra
sudėtinis. Vandens dalelių judėjimas
besisukančio darbo rato atžvilgiu -
reliatyvusis, o darbo rato sukimasis,
laikant, kad vandens dalelės tuo momentu
nejuda, yra keliamasis.
Kadangi keliamasis judėjimas yra
darbo rato sukimasis, tai
ω
k
πn
π ⋅ 30
= = = π rad/s,
30 30
vk = wk×OM = p×2 = 2×3,14 = 6,28 m/s.
v k yra statmenas sukimosi spinduliui R
= OM ir nukreiptas darbo rato sukimosi
kryptimi (žr. 3.6 pav., b).
M K
Sąlygoje teigiama, kad relia-
O
y
β
ωk
3.6 pav., b
v a
x
α=60 0
o
v v v v cos 30 v 15 0,
866 6,
28
rx = ax − kx = a ⋅ − k = ⋅ − =
v
v
ry
r
= v
a
cos 60
2
rx
o
2
ry
tyvusis greitis yra mentelės liestinėje
vandens patekimo į darbo ratą taške M
(žr. 3.6 pav., b).
Kaip žinome, absoliutusis greitis
v = v + v . (a)
a
k
r
Iš (a) lygybės išsireiškiame ieškomą
reliatyvųjį greitį
v = v − v
(b)
r
a
k
ir (b) lygybės abi puses projektuojame į
pasirinktas koordinačių ašis x ir y:
6,
71 m/s ,
− 0 = 15 ⋅ 0,
5 =
7,
5 m/s
= v + v = 6,
71 + 7,
5 = 10,
06 m/s .
Apskaičiuojame kampą tarp reliatyviojo greičio ir spindulio:
v
tgβ
=
v
rx
ry
b = 41,5 o .
6,
71
= =
7,
5
2
0,
895 ,
2
,

75
4. 3.7 pav., a, parodytame kulisiniame mechanizme skriejikas AC sukasi apie ašį A ir
slankikliu C priverčia judėti kulisę BD. Duoti atstumai AB = 0,42 m ir AC = 0,26 m. Koks
kulisės BD kampinis greitis tuo momentu, kai skriejiko kampinis greitis wAC = 16 rad/s ir a =
30 o .
SPRENDIMAS. 3.7 pav., b, išnagrinėtas taško C (šarnyro C centro) judėjimas. Šis taškas juda
apskritimu, kurio spindulys AC. Taško greitis v C statmenas AC. Slankiklio taškas,
sutampantis su C, juda tuo pačiu greičiu v C . Greitį v C skaidome į vektoriaus komponentus:
v k , statmeną BC, ir v r , nukreiptą išilgai BD. Taško C judėjimą galime laikyti sudėtiniu,
susidedančiu iš dviejų judėjimų: 1) kartu su kulise BD greičiu v k ir
2) kulisės kreipiamosiose greičiu v r . Tada kulisės judėjimas yra keliamasis, o slankiklio
judėjimas kulisės atžvilgiu - reliatyvusis.
A
B
α
ωAC
C
3.7 pav., a
Iš stačiojo trikampio CNM randame:
D
A
B
vk C
AC
α
γ
C
ωAC
90 0
v r
vK
β
N
3.7 pav., b
D
v C
= v cosβ
= AC ⋅ ω cosβ
. (a)
Remdamiesi kosinusų teorema, iš trikampio ABC apskaičiuojame:
BC =
=
AB
2
0,
42
+ AC
2
+
2
0,
26
− 2AB
⋅ AC
2
cos 30
=
− 2 ⋅ 0,
42 ⋅ 0,
26 ⋅ 0,
866 =
Tam pačiam trikampiui, taikydami sinusų teoremą, apskaičiuojame
nes sin(180 o - b) = sinb. Iš čia randame
Iš (a) lygybės apskaičiuojame
sin α 0,
42 ⋅ 0,
5
sin β = AB = =
BC 0,
234
cos β =
v k
1 − sin
2
β =
0,
442.
=
0,
26 ⋅16
⋅ 0,
422 = 1,
84 m/s.
0,
898,
o
M
0,
234 m.

Kulisės taško, sutampančio su tašku C, greitis yra v k , todėl kulisės kampinis greitis
ω
BD
=
vk BC
76
1,
840
= =
0,
234
3.3. Koriolio teorema
7,
86 rad/s.
Absoliutusis taško pagreitis yra lygus keliamojo, reliatyviojo ir Koriolio pagreičių
geometrinei sumai:
a a k r c
Šis teiginys vadinamas Koriolio teorema. k
komponentus, todėl bendruoju atveju
a
= a + a + a .
(3.5)
τ
k
n
k
τ
r
a ir r
n
r
a = a + a + a + a + a
a gali turėti tangentinį ir normalinį
c
. (3.6)
Koriolio pagreitis lygus dvigubai dviejų vektorių ω ir vr
vektorinei sandaugai:
Jo dydis
a = 2ω
× v .
c
r
a c
r
= 2ωv
sin ;
(3.7)
čia j - kampas tarp kampinio greičio vektoriaus (jis nukreiptas išilgai ašies, apie kurią sukasi
koordinačių sistema) ir reliatyviojo greičio vektoriaus.
Koriolio pagreitis statmenas
v r
v rp
ϕ
ω
90 0
3.8 pav.
a c
P
abiem vektoriams ω ir vr
. Jo kryptis
nustatoma pagal vektorinės sandaugos
taisyklę, t.y. žiūrint iš ω vektoriaus
galo į pradžią, jį reikia sukti kryptimi,
priešinga laikrodžio rodyklės sukimosi
krypčiai, iki sutapdinimo su v
r
vektoriumi kampu, mažesniu nei 180 o .
Kaip matome 3.8 paveiksle, c a
kryptį galima nustatyti v r
suprojektavus į plokštumą P, statmeną
ω vektoriui, ir projekciją v rp pasukus
90 o kampu kampinio greičio w
(keliamojo judėjimo) sukimosi
kryptimi.
Jei vektoriai ω ir vr
statmeni vienas kitam, c a krypčiai nustatyti pakanka v r pasukti
90 o kampu w sukimosi kryptimi.
Koriolio pagreitis ac = 0, kai:
1) wk = 0 (keliamasis judėjimas yra slenkamasis, arba wk tuo momentu lygus nuliui) ;
2) vr = 0 ;
3) j = 0 arba j = 180 o (t.y k r v ω ).
Sprendžiant uždavinius, taško keliamasis ir reliatyvusis judėjimai nagrinėjami atskirai.

77
Taško keliamojo ir reliatyviojo judėjimo tangentiniai ir normaliniai pagreičiai apskaičiuojami
panaudojant 1.4 arba 2.5 skyriuose pateiktas taško pagreičio formules priklausomai nuo
judėjimo pobūdžio (slinkimo ar sukimosi). Koriolio pagreitis apskaičiuojamas iš (3.7)
formulės.
Iš (3.6) lygybės matome, kad absoliutusis pagreitis randamas sudėjus visus pagreičius,
atsižvelgiant į jų kryptis. Tam pasinaudojame projekcijų metodu, pvz., per nagrinėjamą tašką
A brėžiame Dekarto koordinačių ašis ir į jas suprojektuojame visus pagreičius:
čia
Pavyzdžiai
a
Aa
=
a
τ
2
Ax
+ a
n
2
Ay
+ a
2
Az
a Ax = a kx + a kx + a rx + a rx + a cx,
τ
n
a Ay = a ky + a ky + a ry + a ry + a cy ,
Az
τ
kz
n
kz
τ
τ
τ
rz
;
n
n
n
rz
a = a + a + a + a + a
1. Ant vežimėlio, judančio į dešinę pagreičiu a = 0,492 m/s 2 , pritvirtintas elektros variklis,
kurio rotorius sukasi pagal dėsnį j = t 2 rad . Rotoriaus spindulys r = 0,2 m. Apskaičiuokite
taško A absoliutųjį pagreitį, kai t = 1 s, jei tuo momentu taškas užima
3.9 pav. nurodytą padėtį.
SPRENDIMAS. Iš Koriolio teoremos
y1
n
r
a τ
a
O
30 0
A
3.9 pav.
r
τ
a k
x1
a
x
cz
.
žinome, kad absoliutusis taško A
pagreitis
A
n
r
τ
r
n
k
τ
k
a = a + a + a + a + a
Taško A sukimasis kartu su rotoriumi
yra reliatyvusis judėjimas, o jo
slinkimas kartu su vežimėliu -
keliamasis judėjimas. Kadangi
keliamasis judėjimas yra slinkimas, wk
= 0. Tada ir Koriolio pagreitis
ac = 0 (žr. 3.7 formulę).
Taigi taško A keliamasis
pagreitis
2
a k = 0,
492 m/s . Jis
nukreiptas lygiagrečiai su x ašimi (žr.
3.9 pav.).
Taško A reliatyviojo judėjimo
normalinį ir tangentinį pagreičius apskaičiuojame pagal sukamojo judėjimo formules:
n
a r
τ
a r
= rω
= rε,
2
,
kur r = OA .
Kampinį greitį ir kampinį pagreitį randame, apskaičiuodami kampo j ir w išvestines laiko
atžvilgiu:
d ϕ
ω = = 2t
rad/s, kai t = 1 s, w = 2 rad/s ,
dt
c
.

78
d 2
ω
ε = = 2 rad/s
dt
Tada taško A reliatyvusis normalinis pagreitis a r = 0,
2 ⋅ 2 = 0,
8 m/s . Jis nukreiptas
į kreivumo centrą 0 (žr. 3.9 pav.). Taško A reliatyvusis tangentinis pagreitis
τ
a r
2
= 0,
2 ⋅ 2 = 0,
4 m/s ir nukreiptas kreivės liestine taške A rotoriaus sukimo kryptimi. Taigi
taško A absoliutusis pagreitis
n τ τ
a = a r + a r + a k
.
n
a . (a)
Taško A absoliučiojo pagreičio dydį randame (a) lygybės visus narius projektuodami į
Dekarto koordinačių ašis x1 ir y1, nubrėžtas per tašką A ir nukreiptas taip, kad kuo daugiau
pagreičių būtų statmeni šioms ašims ar su jomis lygiagretūs. Kadangi visų trijų pagreičių
vektoriai išsidėstę vienoje plokštumoje, projektavimui naudojamos tik dvi Dekarto
koordinačių sistemos ašys.
Apskaičiuojame šių pagreičių komponentus x1 ir y1 ašyse:
Taško A absoliutusis pagreitis
a
a
a
Ax 1
Ay 1
= a
= a
k
n
r
sin 30
− a
k
o
+ a
cos 30
2 2
A = a Ax + a
1 Ay1
=
τ
r
o
=
=
0,
246
0,
8
0,
646
−
2
+
2
0,
4
0,
426
+
=
=
0,
374
2
0,
646 m/s
0,
374 m/s
2
=
2
2
,
.
0,
746 m/s
π
2. Stačiakampis ABCD sukasi apie kraštinę CD pastoviu kampiniu greičiu ω =
2
rad/s.
π
Išilgai kraštinės AB juda taškas M pagal dėsnį AM = sr
= a sin t
2
Apskaičiuokite taško M absoliutųjį pagreitį, kai t = 1 s.
m. DA = CB = am .
SPRENDIMAS. Iš Koriolio teoremos žinome, kad taško absoliutusis pagreitis
τ
n
a a = a r + a r + a k + a k + a c .
Taško M slinkimas kraštine AB - jo reliatyvusis judėjimas. Jo reliatyvusis greitis:
v
r
ds r π π
= = a cos t ;
dt 2 2
τ
n
2
.

C B
O
D
n
a k
3.10 pav.
a a
M
a r
A
79
kai t = 1 s, vr=0,
2
dv r π π
a r = a r = = −a
sin t;
dt 4 2
τ
aπ
2
kai t = 1 s, a r = − m/s .
4
a = 0 (nes judėjimas tiesiaeigis);
Jis nukreiptas į kreivumo (šiuo atveju apskritimo) centrą 0.
n
r
2
ac = 0, nes vr = 0 (žr. 3.3 sk. 3.7 formulę).
Taško M sukimasis kartu su stačiakampiu -
jo keliamasis judėjimas. Sukdamasis jis spinduliu
OM = a brėžia apskritimą, kurio plokštuma statmena
ašiai CD. Taško M keliamasis normalinis pagreitis
2
n 2 aπ
2
a k = aω
= m/s .
4
τ
a k
Taško M keliamasis tangentinis pagreitis = aε
= 0,
nes
duota, kad w = const.). Taško M absoliutusis pagreitis
a
a
2 4 2 4 2
2
n 2 a π a π aπ
k + a r = + =
d ω
ε = = 0 (sąlygoje
dt
2 2
= a
m/s .
16 16 4
3. Diskas, kurio spindulys OM = R = 0,5 m, iš ramybės būsenos sukasi pastoviu kampiniu
pagreičiu eK = 0,2 rad/s 2 prieš laikrodžio rodyklę. Disko paviršiumi laikrodžio rodyklės
kryptimi slenka taškas M pastoviu greičiu vr = 0,5 m/s (3.11 pav., a).
Apskaičiuokite taško M absoliutųjį greitį ir pagreitį, kai t = 5 s .
ωk
εk
O
vK
M
v r
ωk
n
a k
3.11 pav., a 3.11 pav., b
εk
n
a r
y
M
τ
k
a = a
SPRENDIMAS. Taško M absoliutusis greitis (žinome iš greičių sudėties teoremos)
v = v + v .
a
k
r
Taško M keliamąjį greitį apskaičiuojame iš formulės vk = Rw .
Kampinį greitį randame iš tolygiai kintamo sukimosi formulės w = w0+et. Šiuo atveju
keliamasis kampinis greitis
90 0
v r
a c
a
x

ω
k
=
0,
2
⋅ 5 =
80
1 rad/s.
Tada vk = 0,5×1 = 0,5 m/s ir nukreiptas apskritimo liestine taške M kampinio greičio
kryptimi (priešinga kryptimi negu reliatyvusis greitis) (3.11 pav., a).
Taško M absoliutusis greitis, kai t = 5 s:
va = vk - vr = 0.
Taško M absoliutusis pagreitis (žr. Koriolio teoremą)
a
τ
k
n
k
τ
r
n
r
a = a + a + a + a + a
c
. (a)
Taško M keliamojo pagreičio tangentinį komponentą a rasime iš lygybės at
= R × e :
τ
k
a = 0,
5 ⋅ 0,
2 =
Jis nukreiptas apskritimo liestine taške M kampinio pagreičio ek kryptimi (3.11 pav., b).
n
Keliamojo pagreičio normalinį komponentą a rasime iš lygybės an
= R×w 2 :
n
k
a = 0,
5 ⋅1
=
0,
1
0,
5 m/s
Jis nukreiptas į apskritimo centrą (3.11 pav., b).
τ dv r
Taško M reliatyviojo pagreičio tangentinis komponentas a r = = 0 , nes šiuo
dt
atveju vr = const .
2 2
n v vr
0,
25
2
Reliatyviojo pagreičio normalinis komponentas a r = = = = 0,
5 m/s . Jis
ρ R 0,
5
nukreiptas į apskritimo centrą (3.11 pav., b).
Taško M Koriolio pagreičio dydis (žr. 3.3 sk. 3.7 formulę)
a c = 2ωk
vr
sin α.
Šiuo atveju Ša = 90 o . Jis yra tarp vr
ir ω k vektorių (reikia prisiminti, kad ω vektorius
visada sutampa su ašimi, apie kurią sukasi kūnas, šiuo atveju diskas):
a c
m/s
= 2 ⋅1
⋅ 0,
5 = 1 m/s.
Jo kryptis parodyta 3.11 pav., b,( žr. 3.3 sk.).
Suprojektuojame (a) lygybės visus narius į per tašką M nubrėžtas x ir y ašis:
n
2
k
.
2
τ
k
a ax = a c − a k − a k = 1 − 0,
5 −
ay = a k
τ
a =
0,
1
τ
m/s
2
.
.
0,
5
=
0 ,

Taško M absoliutusis pagreitis
a
a
= a =
τ
k
0,
1
81
m/s
4. Žiedas, kurio spindulys R = 1 m, sukasi prieš laikrodžio rodyklę brėžinio plokštumoje apie
nejudamą ašį O pagal dėsnį j = pt (t išreikštas sekundėmis, j - radianais); čia j - kampas,
kurį sudaro apskritimo skersmuo su horizontalia tiese. Apskritimu iš taško O į tašką A pagal
laikrodžio rodyklę juda taškas M pagal dėsnį s = pt (t išreikštas sekundėmis, s - metrais).
Apskaičiuokite taško M absoliutųjį pagreitį laiko momentais t1 = 0,5 s ir t2 = 1 s (3.12
pav., a).
M
O
j
3.12 pav., a
A
a c
v r
2
B
a a
.
a = a
r
A
n
r
O '
n
k
a k = a
ϕ = 90 0
O
y
3.12 pav., b
SPRENDIMAS. Taško M judėjimas yra sudėtinis. Apskritimo sukimasis apie nejudamą ašį O
yra keliamasis, taško M judėjimas apskritimu - reliatyvusis. Apskaičiuojame taško M padėtį
laiko momentais t1 ir t2:
kai
π π
t 1 = 0,
5 s, s 1 = m, ϕ = rad ,
2 2
t 2 = 1 s, s2
= π m, ϕ = π rad .
Todėl judantis taškas M momentu t1 = 0,5 s yra apskritimo taške B (3.12 pav., b), o
momentu t2 = 1 s - apskritimo taške A (3.12 pav., c). Absoliutusis pagreitis apskai-čiuojamas
pagal Koriolio teoremą:
Nagrinėjamu atveju
Reliatyvusis taško greitis
o reliatyvusis tangentinis pagreitis
Reliatyvusis normalinis pagreitis
a = a + a + a .
a
a
a
v r
a
a
τ
r
n
r
= a
=
r
n
r
ds
dt
dv
=
dt
k
+ a
τ
r
= π m
r
=
0.
c
+ a
n
k
/ s,
2 2
v r π
=
= = π
R 1
2
+ a
τ
k
m/s
+ a
2
.
c
. (a)
x

82
Jis nukreiptas į kreivumo centrą O'.
R - reliatyviojo judėjimo trajektorijos kreivumo spindulys. Skaičiuodami keliamąjį
pagreitį, tariame, kad taškas nejuda apskritimo atžvilgiu ir yra padėtyje B, kai t1 = 0,5 s, ir
padėtyje A, kai t2 = 1 s. Tada
τ
a k = ε k
n
a k
2
= ωk
⋅ OM ,
⋅OM;
čia OM - taško M atstumas nuo sukimosi ašies.
a c
v r
τ
k
A
a r k a
O '
a
B
3.12 pav., c
Todėl a = 0 ir kai t1
= 0,5 s, a
y
ϕ = 180 0
O
k1
2
kai t2 = 1 s, a = a = 2π
m/s .
k2
Pagreičiai
Koriolio pagreitį:
n
k1 n
k2
ir
n
a k2
2
x
n
k1
2
Kai t = t1 ,
OM = OB = 2 m = 1,41 m,
kai t = t2 ,
OM = OA = 2 m .
Keliamojo judėjimo kampinis greitis
dϕ
ω k = = π rad/s = const,
dt
o kampinis pagreitis
ε
k
=
= a = π 2 m/s ,
2
ω
dt
d k
a nukreipti į sukimosi ašį, einančią per tašką O. Apskaičiuojame
a c = 2(
ωk
× vr
).
Keliamojo sukimosi kampinio greičio vektorius ω k statmenas brėžinio plokštumai ir
nukreiptas į mus. Reliatyvusis greitis yra apskritimo liestinėje. Bet kuriuo laiko momentu
ir v
vektoriai ω k r statmeni . Todėl laiko momentais t1 ir t2 Koriolio pagreitis
a
c1
= a
c2
= 2ω
k
⋅ v
r
π
⋅ sin = 2π
2
Pagreičių a c1
ir a c2
kryptys laiko momentais t1 ir t2 parodytos 3.12 pav., b, ir 3.12 pav., c .
Skaičiuodami taško M absoliutųjį pagreitį a a , taikome projekcijų metodą.
Projektuojame vektorinės lygybės (a) kairiąją ir dešiniąją puses į pasirinktas ašis Ox ir Oy
(3.12 pav., b, 3.12 pav., c).
Kai t = t1, a ax = a r1
− a c1
+ a k
2 2 2
= π − 2π
2
2
+ π = 0,
a
ay
= −a
k
2
2
= −π
todėl aa = p 2 m/s 2 ir vektorius a a nukreiptas žemyn. Kai t = t2, tai
2
,
=
2
0.
m/s
2
.

a
a x
= a
a a y =
r2
+ a
ir vektorius a a nukreiptas x ašies kryptimi.
0
83
k2
− a
c2
= π
2
+ 2π
2
− 2π
5. Plokščias žiedas, kurio spindulys r, standžiai sujungtas su velenu AB, besisukančiu (3.13
pav., a) nurodyta kryptimi pastoviu kampiniu greičiu w. Žiedo viduje rodyklės kryptimi juda
skystis pastoviu greičiu vr. Apskaičiuokite skysčio dalelių absoliutųjį pagreitį, esant 1 , 2 , 3 ,
4 padėtims.
r
r
1
n
a r
n
a k
v r
A B
v r
r
3.13 pav., a
3
n
a r
n
a k
3.13 pav., c
ω
ω
r
y
r
2
x
= π
a c
2
n
a r
3.13 pav., b
m/s
A B
4
v r
n
a k
z
a c
n
a r
r
x
y
3.13 pav., d
SPRENDIMAS. Iš Koriolio teoremos žinome, kad taško absoliutusis pagreitis
a
a
= a
n
r
+ a
τ
r
+ a
Skysčio dalelių judėjimas žiedo viduje laikomas reliatyviuoju, o jų sukimasis kartu su
velenu - keliamuoju.
n
k
+ a
τ
k
+ a
c
.
2
2
z
,
v r
n
a k
ω
ω

84
Duotas dalelių reliatyvusis greitis vr, todėl reliatyvųjį normalinį pagreitį
apskaičiuojame iš formulės =
ρ
r n v
τ dv r
a r , o reliatyvųjį tangentinį pagreitį - iš formulės a r = .
dt
τ
Kadangi vr = const, tai a = 0 r , o normalinis pagreitis, kaip visada, nukreipiamas į
kreivumo centrą (3.13 pav., a).
Duotas veleno sukimosi kampinis greitis w, todėl dalelių keliamąjį normalinį pagreitį
apskaičiuojame iš formulės
n
k
2
R a = ω , keliamąjį tangentinį - iš formulės
τ
a k = Rε
= 0,
nes
dω
ε = = 0, (duota, kad w = const.).
dt
Koriolio pagreičio didumą apskaičiuojame iš formulės ac = 2wk vr sina .
Taigi
a
n
a
n
a a + = . (a)
1 padėtis (3.13 pav., a)
ρ = r, R = r, ∠α
= 0, nes ω v .
2
r
a
r
k +
n vr
n 2
Tada a r = , a k = rω
, a c = 0.
r
Kadangi abu pagreičiai yra vienoje teisėje ir nukreipti priešingomis kryptimis, dalelių
absoliutusis pagreitis lygus abiejų pagreičių skirtumui ir nukreiptas didesniojo pagreičio
kryptimi:
2
n n 2 vr
a a = a k − a r = rω
− .
r
2 padėtis (3.13 pav., b)
o
ρ = r, R = 2r,
∠α
= 90
, nes vr
⊥ω.
2
n vr
n 2
o
Tada a r = , a k = 2rω
, a c = 2ωv
r (sin90 = 1).
r
Koriolio pagreičio vektorius statmenas paveikslo plokštumai. Jį nustatome reliatyviojo greičio
vektorių vr sukdami 90 o kampu keliamojo kampinio greičio kryptimi.
Dalelių absoliučiojo pagreičio dydį apskaičiuojame (a) lygybės visus narius
projektuodami į visas tris Dekarto koordinačių ašis x, y, z, nes pagreičių vektoriai išsidėstę
erdvėje:
Tada
3 padėtis (3.13 pav., c)
o
ρ = r,
R = 3r,
∠α
= 180
.
2
a
a
=
a
a
ax
2
ax
= a
+ a
c
2
ay
,
a
+ a
ay
2
az
c
= a
=
n
r
,
a
az
( 2ωv
r
= a
)
2
n
k
.
2 ⎛ v ⎞ r
+ ⎜ ⎟
⎜ r ⎟
⎝ ⎠
2
+ ( 2rω
2
)
2
2
vr
2
= + 2rω
.
r
n vr
n 2
o
Tada a r = , a k = 3rω
, a c = 0 (sin180 = 0).
r
Abiejų pagreičių kryptys sutampa, todėl dalelių absoliutusis pagreitis lygus abiejų pagreičių
sumai:

85
n n 2 vr
a a = a k + a r = 3rω
+ .
r
4 padėtis (3.13 pav., d)
o
ρ = r, R = 2r,
∠α
= 90
, ( vr
⊥ω).
2
n vr
Tada a r = ,
r
n
a k
2
= 2rω
, a c = 2ωv
r . Koriolio pagreičio vektorius statmenas paveikslo
plokštumai ir nukreiptas nuo mūsų:
a
2
ax
2
ay
2
az
a = a + a + a .
Kadangi a = a , a = a , a = a , tai
ax
a
a
=
c
a
2
ax
ay
+ a
2
ay
n
r
+ a
2
az
az
=
n
k
( 2ωv
r
)
2
2 ⎛ v ⎞ r
+ ⎜ ⎟
⎜ r ⎟
⎝ ⎠
2
2
+ ( 2rω
2
)
2
2
vr
2
= + 2rω
.
r
6. Statusis trikampis ABC sukasi apie ašį Cz' pagal dėsnį j=10t - 2t 2 rad. AB=2a=0,2 m,
ŠABC = a = 60 o . Įžambine AB svyruoja taškas M pagal dėsnį BM = s =
Apskaičiuokite taško M absoliutųjį pagreitį, kai t = 2 s.
y
x
60 0
ε
ω
B
D
C
z '
n
a k
ϕ
ω
τ
a r
a c
v r
τ
a k
z
M
A
a cos
πt m.
6
SPRENDIMAS. Taško M svyravimas
įžambine AB vadinamas reliatyviuoju
judėjimu, o jo sukimasis kartu su
trikampiu ABC apie ašį Cz' - keliamuoju.
Kai t = 2 s ,
π ⋅ 2
BM = s = a cos = 0,
1⋅
0,
5 =
6
ds aπ
πt
vr = = − sin ;
dt 6 6
kai t = 2 s ,
0,
05
0,
1⋅
3,
14 ⋅ 0,
866
v r = −
= −0,
045 m / s.
6
Minuso ženklas rodo, kad šiuo atveju
3.14 pav.
v r kryptis priešinga taško M judėjimo krypčiai:
dϕ
ω = = 10 − 4t,
kai t = 2 s, w = 2 rad/s ,
dt
dω
2
ε = = −4
rad/s (sukimasis lėtėjantis).
dt
Taško M absoliutusis pagreitis (žr. Koriolio teoremą)
a
a
= a
n
r
+ a
τ
r
+ a
n
k
+ a
τ
k
c
m,
+ a , (a)

a
a
n
k
n
k
= Rω
=
2
,
0,
0433
86
R = MD = BMsin60
⋅ 2
2
= 0,173
m/s
2
.
o
=
0,
05
⋅
0,
866
=
0,
0433 m ,
Keliamojo normalinio pagreičio vektorius nukreiptas į taško M spinduliu MD
brėžiamo apskritimo kreivumo centrą D (3.14 pav.). Šio apskritimo plokštuma statmena ašiai
Cz':
τ
2
a = Rε
= −0,
0433 ⋅ 4 = -0,173 m/s .
k
Šio pagreičio vektorius nukreiptas aukščiau minėto apskritimo liestine taške M
priešingai taško M sukimosi krypčiai:
a
τ
r
2
dv
=
dt
r
2
aπ
⋅ π πt
0,
1π
2π
= − cos = − cos .
6 ⋅ 6 6 36 6
τ 0,
1⋅
3,
14 ⋅ 0,
5
2
Kai t = 2 s, a r = −
= −0,
0137 m/s .
36
τ
Kadangi vr ir a ženklai vienodi, taškas M nagrinėjamu momentu slenka greitėdamas.
n
r
r
a = 0, nes taško M reliatyvusis judėjimas tiesiaeigis.
0,
045 o
2
a c = 2 ωvr
sin α = 2 2 ⋅ sin 60 = 0,
157 m/s .
120
Koriolio pagreičio kryptį nustatome v r projektuodami į plokštumą, statmeną ωˆ
vektoriui (jis sutampa su ašimi, apie kurią sukasi kūnas), ir šią projekciją pasukdami 90 o
kampu w sukimosi kryptimi (3.14 pav.).
Taško M absoliutusis pagreitis
a
2
ax
2
ay
2
az
a = a + a + a .
Absoliučiojo pagreičio projekcijas randame (a) lygybės visus narius projektuodami į
Dekarto koordinačių ašis, nubrėžtas per tašką M.
3.14 paveiksle y ir z ašys yra brėžinio plokštumoje, Ox ašis statmena šiai plokštumai ir
nukreipta į mus:
a
a
a
a
ax
ay
az
a
= a + a
τ
= a
k
n
k
= a
τ
=
r
+ a
c
τ
r
sin 30
0,
1090
=
0,
173
cos 30
o
+
=
o
+
=
0,
0137
0,
0342
0,
157
0,
173
+
⋅
0,
5
=
+
=
0,
0001
0,
33 m/s
0,
0137
⋅
2
;
0,
866
0,
0068 m/s
=
0,
38 m/s
2
2
;
.
=
0,
185
7. Automobilis tiesia kelio atkarpa važiuoja pagreičiu a0 = 2 m/s 2 . Ant išilginio veleno
įtvirtintas besisukantis skriemulys, kurio spindulys R = 0,25 m. Tuo laiko momentu
1 1
skriemulio kampinis greitis w=4 , kampinis pagreitis ε = 4 .
2
s
s
m/s
2
;

87
Apskaičiuokite skriemulio paviršiuje esančių taškų absoliutųjį pagreitį tam tikru laiko
momentu
SKRIEMULYS
3.15 pav., a 3.15 pav., b
ε
x
ω
τ
a r
A
n
a r
z
a = a
SPRENDIMAS. Važiuojant automobiliui, taškų, esančių skriemulio paviršiuje,
judėjimas pakelės medžių (nejudančios koordinačių sistemos) atžvilgiu yra sudėtinis. Taškų,
esančių skriemulio paviršiuje, sukimasis apie važiuojančio automobilio (judanti koordinačių
sistema) išilginę ašį yra reliatyvusis, o skriemulio judėjimas kartu su automobiliu nejudančios
koordinačių sistemos (pakelės medžio) atžvilgiu, laikant, kad tuo metu jis nesisuka, -
keliamasis. Todėl keliamasis pagreitis yra lygus pagreičiui, kuriuo tuo laiko momentu
važiuoja automobilis: ak = a0 = 2 m/s 2 . Reliatyvusis pagreitis
a ,
k
τ
r
a ,
a + a
a
r = a r
τ
τ
r
n
r
n
r
,
= ε ⋅ R = 4 ⋅ 0,
25 = 1 m/s
2
a = ω R = 4 ⋅ 0,
25 =
n
a r kryptys parodytos 3.15 pav., b.
2
2
,
4 m/s
Kadangi keliamasis judėjimas yra slenkamasis, tai Koriolio pagreitis ac = 0. Tada absoliutusis
pagreitis
Pagreičiai
a
k
,
a
τ
r
, a
n
r
a
k
τ
r
a = a + a + a
yra statmeni vienas kitam (žr. 3.15 pav., b), todėl
a
a
=
a
2
k
+ ( a
τ
r
n
r
)
2
.
+ ( a
n
r
)
2
2
=
.
2
2
+ 1
2
+ 4
2
=
k
0
4,
58 m/s
8. Dviratis važiuoja horizontaliu kelio ruožu pagal dėsnį s = 0,1t 2 (s - matuojamas metrais, t -
0,
2t
sekundėmis). Jo rato I, kampinis greitis ω 1 = rad/s . Duota: l = 0,18 m, z1 = 18
0,
35
krumplių, z2 = 48 krumpliai. Apskaičiuokite dviračio pedalų taškų M ir N absoliučiuosius
2
y
.

88
greičius ir pagreičius laiko momentu t = 10 s, laikydami, kad tuo momentu skriejikas MN
yra vertikalioje padėtyje. Dviratis važiuoja neslysdamas.
SPRENDIMAS. Pedalų
taškų M ir N judėjimas yra
sudėtinis. Taškų M ir N sukimasis
kartu su pedalais apie ašį O
važiuojančio dviračio atžvilgiu
M
yra reliatyvusis, o dviračio
I
II
O
ω2
l
važiavimas tiesiu kelio ruožu,
laikant, kad tuo momentu pedalai
(kartu taškai M ir N) nesisuka
pakelės medžio atžvilgiu, yra
keliamasis. Dviračio judėjimo
l dėsnis yra
s = 0,1t
N
2 (m), tai keliamasis greitis
ir pagreitis
ω1
v k = s ′ = 0,
2t
m/s ,
3.16 pav., a 2
a = v ′ = 0,
2 m/s .
Laiko momentu t = 10 s vk = 2 m/s . v k , a k kryptys sutampa su dviračio važiavimo
kryptimi (žr. 3.16 pav., b). Reliatyvusis greitis lygus taškų M ir N sukimosi su pedalais apie
ašį O greičiui:
vr = w2 × l.
ω1
I
v r
τ
a r
II
n
a r
M
N
O
n
a r
τ
a r
ω2
v r
3.16 pav., b
Apskaičiuojame pedalų sukimosi kampinį greitį w2:
ω
ω
1
2
z 2
= ,
z
1
l
v
l
k
k
a k
k
v r
M
n
a r
M
N
a
ak
a a
v k
v a
a
τ
− k r
a
τ
a r
n
a r
a
τ
a r
N k a
τ
a r
v a
v k
v r

89
ω1z
1 0,
2t
⋅18
ω 2 = = = 0,
214t
rad/s .
z 0,
35 ⋅ 48
2
Laiko momentu t = 10 s w2 = 2,14 rad/s, vr = 2,14 × 0,18 = 0,385 m/s .
Absoliutusis greitis lygus keliamojo ir reliatyviojo greičių geometrinei sumai:
Taško M absoliutusis greitis
nes k ir vr
v = v + v .
a
k
r
vaM = vk + vr = 2 + 0,385 = 2,385 m/s ,
v yra vienoje tiesėje ir vienodai nukreipti (3.16 pav., b).
Taško N absoliutusis greitis
nes k ir vr
vaN = vk - vr = 2 - 0,385 = 1,615 m/s ,
v yra vienoje tiesėje, bet priešingai nukreipti (3.16 pav., b).
Reliatyvusis pagreitis
a + a
r = a r
τ
τ
a r = ε 2
ε
a
2
τ
r
n
r
= ω′
=
2
⋅ l,
=
0,
214
2
2
n
r
,
( 0,
214t)
⋅
0,
18
=
′ =
0,
214 rad/s
0,
039 m/s
a = ω ⋅ l = ( 0,
214t)
⋅ 0,
18 =
n
2
2
,
2
,
0,
00824t
Laiko momentu t = 10 s a r = 0,
824 m/s .
Kadangi keliamasis judėjimas yra slenkamasis judėjimas, tai Koriolio pagreitis ac =
0, nes wk = 0.
Taško M absoliutusis pagreitis lygus (3.16 pav., b)
a
aM
=
( a
+ a
τ
r
)
+ ( a
Taško N absoliutusis pagreitis
a
aN
=
( a
k
k
− a
τ
r
)
2
2
+ ( a
n
r
n
r
)
)
2
2
=
=
( 0,
2
( 0,
2
−
+
2
0,
039)
0,
039)
2
2
+
+
0,
824
0,
824
2
2
=
=
2
.
0,
86 m/s
0,
841 m/s
9. Sraigtasparnis skrenda horizontaliai pastoviu 40 m/s greičiu, sraigtui sukantis pastoviu
kampiniu greičiu 60 rad/s (3.17 pav., a). Apskaičiuokite absoliutųjį greitį ir pagreitį sraigto
taškų, nutolusių nuo vertikalios sukimosi ašies atstumu R = 0,5 m, jei M1M3 statmena M2M4,
o sraigtasparnio greitis lygiagretus su tiese M4M2 .
2
2
.
.

90
SPRENDIMAS. Tarkime, kad sraigtasparnis skrenda x ašies kryptimi, o sraigtas sukasi
vertikalios z ašies atžvilgiu. Sraigtasparnio slenkamąjį judėjimą x ašies kryptimi laikykime
keliamuoju, o sraigto sukimąsi sraigtasparnio korpuso atžvilgiu - reliatyviuoju.
Tada visų sraigto taškų keliamasis greitis
M4
M1
vk = 40 m/s .
M3
M2
v
M1
v 4r
a 1
v 1
v k
M4
v 4
a
α
v
v 1r
k
4
O
z
a 2
ω
M2
v 2r
3.17 pav., a 3.17 pav., b
Kadangi sraigto taškai M1, M2, M3, M4 nuo sukimosi ašies z nutolę atstumu R, tai taškų
reliatyvieji greičiai yra vienodo dydžio
čia wr - sraigto kampinis greitis.
Taškų M2 ir M4 v k statmenas v r , todėl
v
k
α
v 3r
v1r = v2r = v3r = v4r = vr = wr × R = 0,5 × 60 = 30 m/s ;
v
2
2
r
2
k
a 3
= v = v + v = 30 + 40 = 50 m/s .
Kampą, kurį absoliutieji greičiai sudaro su x ašimi, pažymime a. Tada
4
v 2r
v 4r
30
tgα
= = = = 0,
750 .
v v 40
k
Iš čia a = 36 o 50¢. Taškų M1 ir M3 keliamasis ir reliatyvus greičiai yra vienoje tiesėje, todėl
k
2
2
x
v 2
M3
v
v k
3

91
v1 = vk + vr = 40 + 30 = 70 m/s ,
v3 = vk - vr = 40 - 30 = 10 m/s .
Skaičiuojame pagreičius. Kadangi keliamasis judėjimas yra slenkamasis, tai Koriolio
pagreitis lygus nuliui, todėl absoliutusis pagreitis
a = a + a .
a
k
r
Kadangi keliamasis judėjimas yra slenkamasis judėjimas pastoviu greičiu (vk = const), tai
a k = 0 , o reliatyvųjį pagreitį galime išskaidyti į tangentinį ir normalinį komponentus:
n
τ
a r = a r + a r .
dωr Kadangi wr = const, tai ε r =
dt
τ
= 0 ir a r
n
= 0,
a a = a r .
Taigi visų taškų absoliutusis pagreitis
n 2
2
2
a a = a r = R ⋅ ωr
= 0,
5⋅
60 = 1800 m/s ir yra
nukreiptas į reliatyviojo judėjimo apskritimo centrą O.
10. Rutuliukas P juda disko išpjova iš taško A link B greičiu v = 1,2 m/s . Diskas sukasi apie
ašį, statmeną disko plokštumai. Apskaičiuokite rutuliuko P absoliutųjį greitį ir pagreitį tuo
laiko momentu, kai jis yra arčiausiai disko centro, OP = 0,3 m . Šiuo laiko momentu disko
sukimo kampinis greitis w = 3 rad/s , lėtėjančio sukimosi kampinis pagreitis e = 8 rad/s 2 .
R
ω
ε
O
A
P
B
0,3
3.18 pav., a
ω
O
v r
A
P
v k
B
v a
3.18 pav., b
SPRENDIMAS. Rutuliuko P judėjimas yra sudėtinis. Jo judėjimas disko išpjova
greičiu vr = v = 1,2 m/s yra reliatyvusis. Disko sukimasis apie ašį, statmeną disko
plokštumai, laikant, kad rutuliukas tuo momentu reliatyviuoju judesiu nejuda, yra keliamasis:
= ω⋅
OP = 3 ⋅ 0,
3 = 0,
9 m/s .
Absoliutusis greitis
Kadangi k , vr
v k
v = v + v .
a
k
v yra vienoje tiesėje ir nukreipti į tą pačią pusę (3.18 pav., b), tai
r
va = vk + vr = 1,2 + 0,9 = 2,1 m/s .

Absoliutusis pagreitis
Keliamojo pagreičio komponentai
n
a k , a k
τ
a a
a c
a
k
r
92
a = a + a + a = a + a + a + a
τ
k
c
τ
k
a = ε ⋅OP
= 8 ⋅ 0,
3 =
n
k
2
a = ω ⋅ OP = 3 ⋅ 0,
3 =
2
n
k
r
2,
4 m/s
kryptys parodytos 3.18 pav., c . Rutuliukas disko išpjova AB juda pastoviu greičiu vr
= 1,2 m/s, todėl ar = v′ r = 0. Koriolio
A
pagreitis
absoliutusis pagreitis
n
a k
ω
O
3.18 pav., c
a
τ
a k
P
B
v r
ε
n 2 τ
k + a c ) + ( a k
2
2,
7
m/s
2
,
a c = 2ωvr
sin ϕ = 2 ⋅ 3 ⋅1,
2 sin 90
2
.
c
.
o =
7,
2
m/s
kampas j = 90 o , nes kampinio greičio
vektorius ω yra ašyje, statmenoje brėžinio
plokštumai, o reliatyvusis greitis yra brėžinio
plokštumoje. Kadangi vektoriai ω ir v r
statmeni vienas kitam, a c krypčiai nustatyti
pakanka r v pasukti 90o kampu w sukimosi
kryptimi (3.18 pav., c). Kaip matome
brėžinyje , vektoriai n
a k ir a c yra vienoje
tiesėje, o
2
τ
a k yra statmenoje tiesėje, tai
a = ( a
) = ( 2,
7 + 7,
2)
+ 2,
4 = 10,
18 m/s .
11. Disko, besisukančio apie ašį O1O2 kampiniu greičiu w = 2t rad/s, spinduliu iš taško O
link krašto juda taškas M pagal dėsnį OM = s = 0,4t 2 m. Spindulys OM su ašimi O1O2
sudaro 60 o kampą.
Apskaičiuokite taško M absoliutųjį pagreitį laiko momentu t = 1 s .
SPRENDIMAS. Taško M judėjimas yra sudėtinis. Jo judėjimas spinduliu besisukančio disko
atžvilgiu yra reliatyvusis. Disko sukimasis apie ašį O1O2, laikant, kad tuo metu taškas M
spinduliu nejuda, keliamasis. Reliatyvusis taško M greitis
v r
= s ′ = 0,
8t
m/s ,
2
2
2
,

O1
O1
x
v k
a c
O
a
τ
k
O
90 0
v rz
M
60 0
M
60 0
z
K
3.19 pav., b
n
a k
3.19 pav., a
a r
v r
v
a
ε
=
v
ω
2
k
ω
93
O2
+ v
O2
2
r
=
y
ω
0,
7
2
laiko momentu t = 2 s vr= 0,8 m/s .
Keliamasis greitis
vk = w × MK ,
MK - taško M atstumas iki sukimosi
ašies O1O2 .
MK = OM sin60 o = 0,4t 2 × 0,866 =
= 0,35t 2 m .
Laiko momentu t = 1 s
MK = 0,35 m ,
vk = 2t × 0,35 = 0,7t = 0,7 m/s .
Greitis v k yra vertikalaus
apskritimo, kurio spindulys MK,
liestinėje nukreiptas disko sukimosi
kampinio greičio kryptimi (3.19
pav., b).
Absoliutusis taško M greitis
v = v + v .
a
k
r
Kaip matome 3.19 pav., b , greičių
v k ir v r vektoriai yra tarpusavyje
statmeni, todėl
+
0,
8
Absoliutųjį pagreitį apskaičiuojame panaudodami Koriolio teoremą:
Keliamasis tangentinis pagreitis
τ
a
k
r
c
τ
k
n
k
2
=
r
1,
06
a = a + a + a = a + a + a + a
τ
a k
= ε ⋅ MK ,
ε = ω′ = ( 2t)
′ = 2 rad/s
τ
k
a = 2 ⋅ 0,
35 =
Pagreitis a k yra apskritimo, kurio spindulys MK, liestinėje nukreiptas disko kampinio
pagreičio kryptimi.
Keliamasis normalinis pagreitis
0,
7
m/s
laiko momentu t = 1 s a k = 1,
39 m/s . Pagreitis
apskritimo spinduliu MK sukimosi ašies link.
n
a
n
k
2
= ω ⋅ MK = ( 2t)
2
2
2
2
.
,
⋅ 0,
35 =
n
a k
1,
39t
2
c
m/s.
.
m/s
2
,
yra statmenas τ
a k ir nukreiptas

94
Kadangi reliatyvusis judėjimas yra slenkamasis, tai
Apskaičiuojame Koriolio pagreitį:
a = v′
=
r
r
0,
8 m/s
2
.
ac = 2w × vr sinj = 2×2×0,8×sin60 o = 2,77 m/s 2 .
j = 60 o - tai kampas tarp kampinio greičio vektoriaus, kuris nukreiptas išilgai disko sukimosi
ašies O1O2 , ir reliatyviojo greičio vektoriaus v r (3.19 pav., b).
Koriolio pagreičio c a kryptį nustatysime v r suprojektavę į ašį Mz, statmeną ω
vektoriui ir projekciją v rz pasukdami 90 o kampu kampinio greičio w sukimosi kryptimi (3.19
pav., b).
Absoliučiajam pagreičiui apskaičiuoti taikome projekcijų metodą:
a
a
a
ax
ay
=
a
2
ax
+ a
= a + a
τ
k
r
c
2
ay
=
o
+ a
0,
7
2
az
+
,
2,
77
a = a cos 60 = 0,
8 ⋅ 0,
5 =
a
a
az
a
= a
=
r
cos 30
3,
47
2
+
o
− a
0,
4
2
n
k
=
0,
8
=
⋅
3,
47 m/s
0,
4 m/s
0,
866
+ ( −0,
697)
2
=
−
2
2
,
,
1,
39
=
3,
56 m/s
−0,
697 m/s
12. Keičiantis mašinos apkrovimui, išcentrinio Vato reguliatoriaus, besisukančio apie
vertikaliąją ašį, rutuliai tolsta nuo šios ašies. Rutuliai pritvirtinti strypais, kurių ilgis l =
0,40 m. Atstumas tarp strypų pritvirtinimo ašių 2e = 0,10 m. Tam tikru momentu rutuliai
strypų pritvirtinimo ašių atžvilgiu sukasi kampiniu greičiu w1 = 2 rad/s ir kampiniu
pagreičiu e1 = 0,2 rad/s 2 , o kampai, kuriuos sudaro strypai su reguliatoriaus ašimi, a = 30 o
(3.20 pav., a); reguliatorius sukasi kampiniu greičiu w = 8 rad/s ir kampiniu pagreičiu e = 0,4
rad/s 2 .
SPRENDIMAS. Keliamasis rutulių judėjimas - rutulių sukimasis apie vertikaliąją ašį
kampiniu greičiu wk = w = 8 rad/s ir kampiniu pagreičiu ek = e = 0,4 rad/s 2 .
Keliamajame judėjime rutuliai horizontalioje plokštumoje brėžia apskritimą.
Apskritimo centras yra reguliatoriaus ašyje taške O. Nagrinėjamu momentu rutuliai nutolę
atstumu
R = e + lsin30 o = 0,05 + 0,40 × 0,5 = 0,25 m .
2
.
2
,

α
2e
ω
3.20 pav., a
ω1
95
C
R
O
x
2e
B
ωk
90 0
3.20 pav., b
Reliatyvusis rutulių judėjimas - strypų su rutuliais sukimasis apskritimais, kurių centrai yra
taškuose B ir C. Todėl reliatyvusis kampinis greitis wr = w1 = 2 rad/s, reliatyvusis kampinis
pagreitis er = e1 = 0,2 rad/s 2 . Skaičiuojame absoliutųjį greitį (3.20 pav., b):
Keliamasis greitis savo dydžiu lygus
v = v + v .
a
k
r
vk = R × wk = 0,25 × 8 = 2 m/s
ir yra keliamojo judėjimo trajektorijos liestinėje. Todėl jis statmenas OM ir yra horizontalioje
plokštumoje. Reliatyvusis greitis yra reliatyviojo judėjimo trajektorijos liestinėje ir statmenas
BM. Jo modulis
vr = l × wr = 0,4 × 2 = 0,8 m/s .
Kadangi reliatyvusis greitis yra OMB plokštumoje, o keliamasis greitis statmenas tai
plokštumai, todėl
v
a
=
v
2
k
+ v
2
r
=
2
2
+
0,
8
2
=
ωr
2,
15 m/s.
Pagal Koriolio formulę apskaičiuojame absoliutųjį pagreitį a a (3.20 pav., c):
a = a + a + a .
Keliamasis ir reliatyvusis judėjimai yra sukamieji, todėl
a
a
k
n
k
r
τ
k
c
n
r
τ
r
a = a + a + a + a + a . (a)
c
z
v k
M
90 0
v a
v r
y

96
Reliatyvusis normalinis pagreitis n
a r nukreiptas į reliatyviojo judėjimo trajektorijos
kreivumo centrą. Reliatyvusis tangentinis pagreitis τ
r
a yra apskritimo, esančio brėžinio
plokštumoje, liestinėje, o jo kryptis liestinėje nustatoma pagal ε r kryptį. Keliamasis
normalinis pagreitis n
a k nukreiptas į keliamojo judėjimo trajektorijos kreivumo centrą.
Keliamasis tangentinis pagreitis τ
a k yra horizontalaus apskritimo liestinėje. Jis nukreiptas
kampinio pagreičio ek kryptimi. Visų šių pagreičių moduliai:
C
ω r
ω k
ε k
ε r
ωk
O
60 0
x
B
n
a r
n
a k
ωr
z
τ
a k
M
a c
90 0
30 0
v r
v′ r
τ
a r
y
a
a
a
a
n
r
τ
r
n
k
τ
k
2
r
= l ω = 0,
4 ⋅ 2 = 1,
6 m/s ,
= l ⋅ ε = 0,
4 ⋅ 0,
2 =
2
= R ⋅ ω
= R ⋅ ε
2
k
k
2
2
= 0,
25 ⋅ 8
=
0,
25
⋅
0,
4
2
0,
08 m/s
=
=
16 m/s
2
0,
1 m/s
Koriolio pagreičio a c modulis
a
c
= 2ω
⋅ v sin( ω , v ) =
k r
k r
o
= 2 ⋅ 8 ⋅ 0,
8sin
60 = 11,
08 m/s
nes kampas tarp keliamojo judėjimo
kampinio greičio vektoriaus ω k ir
reliatyviojo greičio r v vektoriaus yra 60o (žr.
3.20 pav., c). Koriolio pagreičio krypčiai
nustatyti reliatyvųjį greitį r v
suprojektuojame į plokštumą, statmeną ω k
3.20 pav., c
vektoriui. Gautą projekciją v′ r , esančią y
ašyje, pasukame stačiu kampu xy plokštumoje keliamojo sukimosi kryptimi. Gauname, kad
n n τ
Koriolio pagreitis yra x ašyje, bet nukreiptas priešinga kryptimi. Pagreičiai a , a , a yra
τ
plokštumoje yz. Pagreičiai a c ir a k yra x ašyje. Absoliučiojo pagreičio a a modulio
apskaičiavimui taikome projekcijų metodą. Projektuojame (a) vektorinės lygybės kairiąją ir
dešiniąją puses į koordinačių ašis.
Turime:
a = −a
τ
2
− a = −11,
08 − 0,
1 = −11,
18 m/s ,
Todėl
a x
a y = a r
τ
c
k
o
n
k
n
r
o
a cos 30 − a − a cos 60 = 0,
08 ⋅ 0,
866 − 16 − 1,
6 ⋅ 0,
5 = −16,
73 m/s ,
a z = a r
τ
o
n
r
a cos 60 + a cos 30 = 0,
08 ⋅ 0,
5 + 1,
6 ⋅ 0,
866 =
a
2
a = ( −11,
18)
+ ( −16,
73)
+ ( 1,
42)
= 20,
17 m/s .
2
o
2
2
1,
42 m/s
2
k
.
2
,
2
,
2
.
,
r
r
2