DaudzskaldÅi un planÄri grafi - LU NMS
DaudzskaldÅi un planÄri grafi - LU NMS
DaudzskaldÅi un planÄri grafi - LU NMS
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
MAZ<br />
Ā<br />
MATEM Ā<br />
TIKAS<br />
UNIVERSIT Ā<br />
TE
Kas kop ī gs<br />
regul ā<br />
riem<br />
daudzskald ņ<br />
iem<br />
<strong>un</strong><br />
Maz ā matem ā tikas <strong>un</strong>iversit ā te 1.<br />
nodarb ība,<br />
2011. gada 3. decembris<br />
plan ā riem <strong>grafi</strong>em<br />
<br />
U FMF docente,<br />
<strong>LU</strong> A. Liepas <strong>NMS</strong> vadītāja p.i.<br />
Dace Bonka
Defin ī<br />
cijas<br />
Daudzskaldnis ir galīgs telpisks ķermenis, kuru no visām<br />
pusēm ierobežo plaknes.<br />
Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas vien ā pus ē<br />
no katras plaknes, kas to ierobežo.<br />
Plaknes daļas, kas veido ķermeņa virsmu, ir daudzstūri.<br />
Tās sauc par daudzskaldņa<br />
skaldnē m. Daudzstūru<br />
virsotnes sauc par daudzskaldņa<br />
virsotnē m,<br />
bet daudzstūru malas sauc par daudzskaldņa<br />
šķautnē m.<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība,<br />
2011. gada 3. decembris
Defin ī<br />
cijas<br />
Par regulāru daudzskaldni sauc izliektu<br />
daudzskaldni, kuram<br />
◦ visas skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri<br />
<strong>un</strong><br />
◦ no katras virsotnes iziet vienāds skaits<br />
šķautņu.<br />
Visus regulāros daudzskaldņus sauc par Platona<br />
ķermeņ iem.<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība,<br />
2011. gada 3. decembris
Cik ir regul ā<br />
ro daudzskald ņ<br />
u<br />
Skaldnes – regulāri daudzstūri<br />
Trijstūri<br />
60°<br />
Kvadrāti<br />
90°<br />
120°<br />
Piecstūri<br />
108°<br />
Sešstūri<br />
Cik šķautnes var iziet no vienas virsotnes<br />
◦ Skaldnes – trijstūri: 3, 4, vai 5<br />
◦ Skaldnes – kvadrāti: 3<br />
◦ Skaldnes – piecstūri: 3<br />
◦ Skaldnēm nevar būt vairāk k ā piecas malas<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
Regul ā<br />
rie daudzskald ņ<br />
i<br />
Platona ķermeņi<br />
Nosaukums<br />
k<br />
no virsotnes<br />
izejošo<br />
šķautņu<br />
skaits<br />
n<br />
skaldnes<br />
malu<br />
skaits<br />
F<br />
skaldņu<br />
skaits<br />
E<br />
šķautņu<br />
skaits<br />
Tetraedrs 3 3 4 6 4<br />
V<br />
virsotņu<br />
skaits<br />
Kubs 3 4 6 12 8<br />
Dodekaedrs 3 5 12 30 20<br />
Oktaedrs 4 3 8 12 6<br />
Ikosaedrs 5 3 20 30 12<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
No sengrie ķ<br />
u valodas<br />
-edrs : ἕδρα (hedra) – ģeometriska ķermeņa skaldne<br />
1 mono 11 hendeca<br />
2 di 12 dodeca<br />
3 tri 13 trideca<br />
4 tetra ...<br />
5 penta 20 icosa<br />
6 hexa 30 triaconta<br />
7 hepta 40 tetraconta<br />
8 octa ...<br />
9 ennea 100 hecta<br />
10 deca<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
Eilera formula<br />
Visiem izliektiem daudzskaldņiem:<br />
(ar ī Dekarta – Eilera formula)<br />
V+F-E=2<br />
Leonards Eilers<br />
(Leonhard Euler)<br />
(1707. –1783.), grafu<br />
teorijas pamatlicējs<br />
Renē Dekarts (René Descartes)<br />
(1596. – 1650.), franču<br />
matemātiķis, filozofs <strong>un</strong> zinātnieks<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
Grafi<br />
Par grafu sauksim p<strong>un</strong>ktu sistēmu, kur ā<br />
daži p<strong>un</strong>kti varbūt ir savienoti sav ā starp ā<br />
ar līniju.<br />
◦ P<strong>un</strong>ktus sauc par virsotnēm<br />
◦ Līnijas sauc par šķautnēm<br />
Grafam nav svarīgi, kād ā veid ā <strong>un</strong> ar kādām līnijām virsotnes<br />
ir savienotas, svarīgi ir tikai tas, kuras virsotnes ir<br />
savienotas.<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība,<br />
2011. gada 3. decembris
Plan ā<br />
ri <strong>grafi</strong><br />
Ja grafu var uzzīmēt t ā, ka t ā šķautnes<br />
nekrustojas, to sauc par planā ru grafu.<br />
Šajos trīs zīmējumos attēlots viens <strong>un</strong> tas pats grafs<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
Regul ā<br />
ri daudzskald ņ<br />
i <strong>un</strong><br />
plan ā<br />
ri <strong>grafi</strong><br />
Izliektu daudzskaldni centrāli projicējot<br />
plaknē, iegūst planāru grafu.<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
Regul ā<br />
ri daudzskald ņ<br />
i <strong>un</strong><br />
plan ā<br />
ri <strong>grafi</strong><br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība,<br />
2011. gada 3. decembris
Eilera formula plan ā<br />
ros grafos<br />
Eilera formula ir spēk ā ar ī planāriem<br />
<strong>grafi</strong>em<br />
V+F-E=2<br />
V – virsotņu skaits<br />
E – šķautņu skaits<br />
F – plaknes apgabalu skaits, kurās šķautnes sadala<br />
plakni, ieskaitot ārējo bezgalīgo daļu<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība,<br />
2011. gada 3. decembris
Pusregul ā<br />
ri daudzskald ņ<br />
i jeb<br />
Arhim ē da ķ erme ņ<br />
i<br />
Arhimēda ķermeņi<br />
ir izliekti daudzskaldņi, kuriem no<br />
katras virsotnes ieziet vienāds skaits šķautņu, bet kuru<br />
skaldnes ir divu veidu regulāri daudzstūri<br />
Prizmas:<br />
Antiprizmas:<br />
Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />
nodarbība, 2011. gada 3. decembris
Maz ā matem ā tikas <strong>un</strong>iversit ā te 1.<br />
nodarb ība,<br />
2011. gada 3. decembris<br />
Paldies par uzman ī<br />
bu!
Change language