15.02.2015 Views

Daudzskaldņi un planāri grafi - LU NMS

Daudzskaldņi un planāri grafi - LU NMS

Daudzskaldņi un planāri grafi - LU NMS

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

MAZ<br />

Ā<br />

MATEM Ā<br />

TIKAS<br />

UNIVERSIT Ā<br />

TE


Kas kop ī gs<br />

regul ā<br />

riem<br />

daudzskald ņ<br />

iem<br />

<strong>un</strong><br />

Maz ā matem ā tikas <strong>un</strong>iversit ā te 1.<br />

nodarb ība,<br />

2011. gada 3. decembris<br />

plan ā riem <strong>grafi</strong>em<br />

<br />

U FMF docente,<br />

<strong>LU</strong> A. Liepas <strong>NMS</strong> vadītāja p.i.<br />

Dace Bonka


Defin ī<br />

cijas<br />

Daudzskaldnis ir galīgs telpisks ķermenis, kuru no visām<br />

pusēm ierobežo plaknes.<br />

Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas vien ā pus ē<br />

no katras plaknes, kas to ierobežo.<br />

Plaknes daļas, kas veido ķermeņa virsmu, ir daudzstūri.<br />

Tās sauc par daudzskaldņa<br />

skaldnē m. Daudzstūru<br />

virsotnes sauc par daudzskaldņa<br />

virsotnē m,<br />

bet daudzstūru malas sauc par daudzskaldņa<br />

šķautnē m.<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība,<br />

2011. gada 3. decembris


Defin ī<br />

cijas<br />

Par regulāru daudzskaldni sauc izliektu<br />

daudzskaldni, kuram<br />

◦ visas skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri<br />

<strong>un</strong><br />

◦ no katras virsotnes iziet vienāds skaits<br />

šķautņu.<br />

Visus regulāros daudzskaldņus sauc par Platona<br />

ķermeņ iem.<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība,<br />

2011. gada 3. decembris


Cik ir regul ā<br />

ro daudzskald ņ<br />

u<br />

Skaldnes – regulāri daudzstūri<br />

Trijstūri<br />

60°<br />

Kvadrāti<br />

90°<br />

120°<br />

Piecstūri<br />

108°<br />

Sešstūri<br />

Cik šķautnes var iziet no vienas virsotnes<br />

◦ Skaldnes – trijstūri: 3, 4, vai 5<br />

◦ Skaldnes – kvadrāti: 3<br />

◦ Skaldnes – piecstūri: 3<br />

◦ Skaldnēm nevar būt vairāk k ā piecas malas<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


Regul ā<br />

rie daudzskald ņ<br />

i<br />

Platona ķermeņi<br />

Nosaukums<br />

k<br />

no virsotnes<br />

izejošo<br />

šķautņu<br />

skaits<br />

n<br />

skaldnes<br />

malu<br />

skaits<br />

F<br />

skaldņu<br />

skaits<br />

E<br />

šķautņu<br />

skaits<br />

Tetraedrs 3 3 4 6 4<br />

V<br />

virsotņu<br />

skaits<br />

Kubs 3 4 6 12 8<br />

Dodekaedrs 3 5 12 30 20<br />

Oktaedrs 4 3 8 12 6<br />

Ikosaedrs 5 3 20 30 12<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


No sengrie ķ<br />

u valodas<br />

-edrs : ἕδρα (hedra) – ģeometriska ķermeņa skaldne<br />

1 mono 11 hendeca<br />

2 di 12 dodeca<br />

3 tri 13 trideca<br />

4 tetra ...<br />

5 penta 20 icosa<br />

6 hexa 30 triaconta<br />

7 hepta 40 tetraconta<br />

8 octa ...<br />

9 ennea 100 hecta<br />

10 deca<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


Eilera formula<br />

Visiem izliektiem daudzskaldņiem:<br />

(ar ī Dekarta – Eilera formula)<br />

V+F-E=2<br />

Leonards Eilers<br />

(Leonhard Euler)<br />

(1707. –1783.), grafu<br />

teorijas pamatlicējs<br />

Renē Dekarts (René Descartes)<br />

(1596. – 1650.), franču<br />

matemātiķis, filozofs <strong>un</strong> zinātnieks<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


Grafi<br />

Par grafu sauksim p<strong>un</strong>ktu sistēmu, kur ā<br />

daži p<strong>un</strong>kti varbūt ir savienoti sav ā starp ā<br />

ar līniju.<br />

◦ P<strong>un</strong>ktus sauc par virsotnēm<br />

◦ Līnijas sauc par šķautnēm<br />

Grafam nav svarīgi, kād ā veid ā <strong>un</strong> ar kādām līnijām virsotnes<br />

ir savienotas, svarīgi ir tikai tas, kuras virsotnes ir<br />

savienotas.<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība,<br />

2011. gada 3. decembris


Plan ā<br />

ri <strong>grafi</strong><br />

Ja grafu var uzzīmēt t ā, ka t ā šķautnes<br />

nekrustojas, to sauc par planā ru grafu.<br />

Šajos trīs zīmējumos attēlots viens <strong>un</strong> tas pats grafs<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


Regul ā<br />

ri daudzskald ņ<br />

i <strong>un</strong><br />

plan ā<br />

ri <strong>grafi</strong><br />

Izliektu daudzskaldni centrāli projicējot<br />

plaknē, iegūst planāru grafu.<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


Regul ā<br />

ri daudzskald ņ<br />

i <strong>un</strong><br />

plan ā<br />

ri <strong>grafi</strong><br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība,<br />

2011. gada 3. decembris


Eilera formula plan ā<br />

ros grafos<br />

Eilera formula ir spēk ā ar ī planāriem<br />

<strong>grafi</strong>em<br />

V+F-E=2<br />

V – virsotņu skaits<br />

E – šķautņu skaits<br />

F – plaknes apgabalu skaits, kurās šķautnes sadala<br />

plakni, ieskaitot ārējo bezgalīgo daļu<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība,<br />

2011. gada 3. decembris


Pusregul ā<br />

ri daudzskald ņ<br />

i jeb<br />

Arhim ē da ķ erme ņ<br />

i<br />

Arhimēda ķermeņi<br />

ir izliekti daudzskaldņi, kuriem no<br />

katras virsotnes ieziet vienāds skaits šķautņu, bet kuru<br />

skaldnes ir divu veidu regulāri daudzstūri<br />

Prizmas:<br />

Antiprizmas:<br />

Maz ā matemātikas <strong>un</strong>iversitāte, 1.<br />

nodarbība, 2011. gada 3. decembris


Maz ā matem ā tikas <strong>un</strong>iversit ā te 1.<br />

nodarb ība,<br />

2011. gada 3. decembris<br />

Paldies par uzman ī<br />

bu!

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!