Ciparu elektronika un datoru arhitektūra
Ciparu elektronika un datoru arhitektūra
Ciparu elektronika un datoru arhitektūra
- No tags were found...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
.<strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra. ..Gints NeimanisRTU2010.09.01... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 1 / 140
. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 2 / 140
Ievads. Kursa saturs - <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong>Kursa saturs <strong>un</strong> prasībasAnalogie <strong>un</strong> diskrētie lielumiInformācijas attēlošana diskrētās sistēmās <strong>un</strong> datoros (binārie kodi,negatīvo skaitļu kodēšana, skaitļi ar peldošo komatu u.t.t)Aritmētisko operāciju izpilde datoros<strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong>s loģiskie pamati (Būla algebra, Karno kartes)Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automātiLoģisko ierīccu shēmu tehnika (DTL,TTL, ECL, CMOS)Diskrētie automāti (reģistri, skaitītāji)Kombinacionālās shēmas (de/kodētāji, de/multipleksori, summatori). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 3 / 140
. Kursa prasībasIevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasībasIzstrādāti laboratorijas darbi (pielaide pie eksāmena)Eksāmens (mutisks) – 8 ballesApmeklējums – 2 balles (>85% - 2 b.; >50% - 1 b.)Studiju patstāvīgais darbs - lekciju materiālu, uzskates līdzekļupatstāvīga veidošana u.t.t. -1 balle (ja ir kas izcils – 2 balles)Kurss veidots izmantojot arī prof. A.Klūga projekta LeTeRa ietvarosizveidotos studiju materiālus.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 4 / 140
. Kursa prasībasIevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasībasIzstrādāti laboratorijas darbi (pielaide pie eksāmena)Eksāmens (mutisks) – 8 ballesApmeklējums – 2 balles (>85% - 2 b.; >50% - 1 b.)Studiju patstāvīgais darbs - lekciju materiālu, uzskates līdzekļupatstāvīga veidošana u.t.t. -1 balle (ja ir kas izcils – 2 balles)Kurss veidots izmantojot arī prof. A.Klūga projekta LeTeRa ietvarosizveidotos studiju materiālus.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 4 / 140
. Kursa prasībasIevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasībasIzstrādāti laboratorijas darbi (pielaide pie eksāmena)Eksāmens (mutisks) – 8 ballesApmeklējums – 2 balles (>85% - 2 b.; >50% - 1 b.)Studiju patstāvīgais darbs - lekciju materiālu, uzskates līdzekļupatstāvīga veidošana u.t.t. -1 balle (ja ir kas izcils – 2 balles)Kurss veidots izmantojot arī prof. A.Klūga projekta LeTeRa ietvarosizveidotos studiju materiālus.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 4 / 140
. Kursa prasībasIevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasībasIzstrādāti laboratorijas darbi (pielaide pie eksāmena)Eksāmens (mutisks) – 8 ballesApmeklējums – 2 balles (>85% - 2 b.; >50% - 1 b.)Studiju patstāvīgais darbs - lekciju materiālu, uzskates līdzekļupatstāvīga veidošana u.t.t. -1 balle (ja ir kas izcils – 2 balles)Kurss veidots izmantojot arī prof. A.Klūga projekta LeTeRa ietvarosizveidotos studiju materiālus.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 4 / 140
. Literatūra..IevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasībasA. Saha and N. Manna. Digital Principles and Logic Design.INFINITYSCIENCE PRESS, 2007. 507 lpp.A. Klūga. <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra. Rīga, RTU. 2007.g.William Stallings. Computer Organization and Architecture: Designingfor Performance. 6th edition, Prentice Hall, Inc., 2002, 816 lpp.R.Tocci, N.Widmer. Digital Systems: Principles and application. 8thedition, Prentice Hall, Inc., 2001, 1024 lpp.B.Ciļkers, A.Klūga, V.Makejevs, A.Pozdņakovs. Datoru uzbūves pamati(lekciju kurss). R., RAU, 1997, 108 lppБ.Я.Цилкер, А.М.Клуга, В.Я.Макеев, А.В.Поздняков. Основыпостроения ЦВМ (курс лекций), R. RAU, 1997, 122 lpp.Б.М.Каган. Электронные вычислительные машины и системы:Учеб. пособие для вузов. - 3-е изд., - М.: Энергоатомиздат, 1991, 592lpp.J.Priedīte. <strong>Ciparu</strong> Tehnika energoautomātikā. Elektrisko tīklu, sistēmu<strong>un</strong> automatizācijas specialitāšu studentiem. RTU Izdevniecība, R – 2004,314 lpp.J.Greivulis, I.Raņķis. Iekārtu vadības elektroniskie elementi <strong>un</strong> mezgli. -Rīga: Avots, 1997 - 288 lpp.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 5 / 140
IevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasības. Analogie signāli <strong>un</strong> diskrētie signāli..Analogie lielumi var mainīties nepārtraukti dotajā diapazonā:temperatūra, ātrums, zvaigžņu spožumsDiskrētie lielumi mainās ar kādu intervālu dotajā diapazonā:temperatūras nolasījums, ātruma nolasījums, zvaigžņu skaits. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 6 / 140
. <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong>..IevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasības<strong>Ciparu</strong> (diskrētās) <strong>elektronika</strong>s iestādes strādā ar diskrētu līmeņusignāliem. Parasti izmanto 2 līmeņu signālus – 0 <strong>un</strong> 1.<strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong>s priekšrocības pār analogajām iekārtām:vieglāk projektēt (slēdži, 2 līmeņu signāli)vieglāk uzglabāt atmiņāaugsta precizitāteiespēja veidot programmējamas iekārtas. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 7 / 140
. Pārveidotāji..IevadsKursa saturs <strong>un</strong> prasībasAnalogais diskrētais pārveidotājs – pārveido analogos signālus diskrētoslielumos – ADPDiskrētais analogais pārveidotājs – pārveido diskrētos signālos analogosPiemēram:skaņas ierakstīšana mikrofons - CD – atskaņotājsmodulators – demodulators jeb modems. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 8 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Nepozicionālās skaitīšanas sistēmas..Pozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmasNepozicionālās skaitīšanas sistēmās ciparu nozīme nav atkarīga nopozīcijas skaitlīRaksturīgs piemērs: romiešu skaitļiI - 5V - 5X - 10L - 50M - 1000piem., MLIX - 1059. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 9 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Pozicionālās skaitīšanas sistēmas..Pozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmasPozicionālajās skaitīšanas sistēmās katra cipara vērtību nosaka tāatrašanās vieta skaitlī.Simbolu - ciparu skaitu, kas var atrasties katrā pozīcijā, sauc par skaitļasistēmas bāzi, piemēram,decimālajiem skaitļiem katrā pozīcijā var atrasties 10 cipari (0-9), tāpēc todecimālajiem skaitļiem sistēmas bāze ir 10.bināriem (diviskiem) skaitļiem katrā pozīcijā var atrasties 2 cipari (0 vai1), tāpēc tiem sistēmas bāze ir 2.heksadecimāliem (sešpadsmitisks) skaitļiem katrā pozīcija var atrasties16 simboli (no 0 līdz 9, <strong>un</strong> A, B, C, D, E, <strong>un</strong> F) <strong>un</strong> tiem sistēmas bāze ir 16. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 10 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Pozicionālās skaitīšanas sistēmas.Pozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmasPozicionālai skaitīšanas sistēmā skaitli var uzrakstīt kā polinomu:A s = a k ∗ s k + a k−1 ∗ s k−1 + ... + a k0 ∗ s k0 + a k−1 ∗ s k−1 + ... + a −m ∗ s −m =∑ ki=−m a i ∗ s i.‘kur:A - skaitlis ar bāzi sa – cipars skaitļa pozīcijāk...0 – veselā skaitļa kārtu numuri−1...m – daļskaitļa kārtu numuriPiemēram263, 74 10 = 2 2 ∗ 10 2 + 6 1 ∗ 10 1 + 3 0 ∗ 10 0 + 7 −1 ∗ 10 −1 + 4 −2 ∗ 10 −2. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 11 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Binārā skaitīšanas sistēma..Pozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmasSistēmas bāze ir 2 (s=2) <strong>un</strong> tajā eksistē tikai divi simboli 0 <strong>un</strong> 1. Binārosistēmu izmanto ciparu elektroniskās ierīcēs <strong>un</strong> datoros, jo tā ērtirealizējama lietojot fiziskus elementus ar diviem stabiliem stāvokļiem,viens no kuriem attēlo vieninieku, bet otrs – nulli.Skaitļa pieraksta piemērs binārajā sistēmā:(169.625) 10 = 1 ∗ 2 7 + 0 ∗ 2 6 + 1 ∗ 2 5 + 0 ∗ 2 4 + 1 ∗ 2 3 + 0 ∗ 2 2 + 0 ∗2 1 + 1 ∗ 2 0 + 1 ∗ 2 −1 + 0 ∗ 2 −2 + 1 ∗ 2 −3 = (10101001.101) 2Binārā skaitļa attēlošana prasa apmēram 3,3 reizes vairāk kārtu nekāattiecīgā decimālā skaitļa attēlošana. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 12 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Oktālā (astotnieku) skaitīšanas sistēma...Pozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmasŠī skaitīšanas sistēma attiecas pie bināri kodētām sistēmām, jo sistēmasbāze ir divnieka veselā pakāpe: s = 2 3 = 8.Oktālajā sistēmā tiek lietoti tikai astoņi simboli - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 <strong>un</strong> 7.Skaitļa pieraksta piemērs oktālajā sistēmā:(169.625) 10 = 2 ∗ 8 2 + 5 ∗ 8 1 + 1 ∗ 8 0 + 5 ∗ 8 −1 = (251.5) 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 13 / 140
Skaitīšanas sistēmasPozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmas. Heksadecimālā (sešpadsmitnieku) skaitīšanas sistēma..Arī šī skaitīšanas sistēma attiecas pie bināri kodētām sistēmām, josistēmas bāze ir divnieka 4. pakāpe s = 2 4 = 16.Heksadecimālajā sistēmā tiek izmantoti sekojoši simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E <strong>un</strong> F,kur A 16 = 10 10 , B 16 = 11 10 , C 16 = 12 10 , D 16 = 13 10 , E 16 = 14 10 ,F 16 = 15 10Skaitļa pieraksta piemērs šajā sistēmā:(169.625) 10 = A ∗ 16 1 + 9 ∗ 16 0 + A ∗ 16 −1 = (A9.A) 16. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 14 / 140
Skaitīšanas sistēmasPozicionālās <strong>un</strong> nepozicionālās skaitīšanas sistēmas. Skaitļu no 0 līdz 20 attēlošana dažās sistēmās..decimāla bināra oktāla heksadecimāla bināri decimāla ( 8421)0 0 0 0 000000001 1 1 1 000000012 10 2 2 000000103 11 3 3 000000114 100 4 4 000001005 101 5 5 000001016 110 6 6 000001107 111 7 7 000001118 1000 10 8 000010009 1001 11 9 0000100110 1010 12 A 0001000011 1011 13 B 0001000112 1100 14 C 0001001013 1101 15 D 0001001114 1110 16 E 0001010015 1111 17 F 0001010116 10000 20 10 0001011017 10001 21 11 0001011118 10010 22 12 0001100019 10011 23 13 0001100120 10100 24 14 00011010. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 15 / 140
. Bināri decimālie kodi..Skaitīšanas sistēmasBināri decimālie kodiReizēm lieto bināri decimālos kodus jeb BCD (Binary coded decimal)kodus.BCD gadījumā katrs decimālais cipars tiek aizvietots ar binārokombināciju (parasti 4 bitiem). BCD izmantošana ļauj vienkāršikonvertēt decimālos skaitļus par bināriem <strong>un</strong> otrādi.BCD koda 8421 piemērs:Skaitlis 6473 10 decimālajā pierakstā: 6 4 7 3Skaitlis 6473 10 BCD 8421 kodā: 0110 0100 0111 0011. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 16 / 140
. Bināri decimālie kodiSkaitīšanas sistēmasBināri decimālie kodi.Bināri decimālos kodus var iedalīt:Izsvērtajos, kur koda skaitļi atbilst pozicionālajam novietojumam, <strong>un</strong>skaitļa 7 pieraksta piemērs8421: 7 10 = 0 ∗ 8 + 1 ∗ 4 + 1 ∗ 2 + 1 ∗ 1 = 0111 bcd842184-2-1: 7 10 = 1 ∗ 8 + 0 ∗ 4 − 0 ∗ 2 − 1 ∗ 1 = 1001 bcd84−2−12421: 7 10 = 1 ∗ 2 + 1 ∗ 4 + 0 ∗ 2 + 1 ∗ 1 = 1101 bcd2421Neizsvērtajos, kur skaitli iegūst ar atbilstības tabulām:Excess-3 jeb XS3 kodsGreja kods2 no 5 kods.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 17 / 140
. Excess-3..Skaitīšanas sistēmasBināri decimālie kodiExcess-3 jeb XS3 kodā salīdzinājumā ar 8421 ir nobīde +3, t.i -0 10 = 0011, 1 10 = 0100, 2 10 = 0101 u.t.t.. Tādā veidā arī aprēķinaExcess-3 koda vērtību decimālajam ciparam - tā binārajam kodampieskaita 3.vienmērīgāk slogojas biti (tas ir nozīmīgi releju iekārtās, bet netranzistoru)atšķirībā no 8421 tas ir paškomplementārs (self-complementary kods -invertētais kods ir skaitļa apgrieztais kods. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 18 / 140
. Greja kodsSkaitīšanas sistēmasBināri decimālie kodi.Greja kods ir neizsvērtais kods, ko var izmantot BCD kodēšanai, bet to varizmantot arī lielāku skaitļu kodēšanā.Greja koda īpatnība - palielinoties vai samazinoties vērtībai par 1, kodāmainās tikai viens bits nevis vairāki. Tas īpaši svarīgi releju soļuskaitītājos, lai nepieļautu, ka kādā pārslēgšanās brīdī iespējamasvairākas signālu kombinācijas.Greja kodu sauc arī par spoguļkodu - atainojamo skaitļu vidū (piem., 4.kārtu skaitlī - starp 7 <strong>un</strong> 8) var ievietot ”spoguli” <strong>un</strong> vienādā attālumāesošie skaitļi Greja kodā atšķiras tikai ar vecākās kārtas bitu., piem., 4kārtu skaitļos:7 <strong>un</strong> 8 - 0100 <strong>un</strong> 11003 <strong>un</strong> 12 - 0010 <strong>un</strong> 1010. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 19 / 140
. Kods 2 no 5Skaitīšanas sistēmas Bināri decimālie kodi.Kods ”2 no 5” ir neizsvērtais bināri kodētais decimālais kods, kurā katrudecimālo skaitli kodā ar 5 bitiem, no kuriem tieši divi ir ”1”. Tādā veidā ”2 no. 5” ir arī kļūdas atrodošais kods (error-detection code).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 20 / 140
Skaitīšanas sistēmasBināri decimālie kodi. Skaitļu 0 - 9 kodēšana dažos BCD kodos.Decimālais skaitlis XS3 Greja 2 no 5.0 0011 0000 000111 0100 0001 001012 0101 0011 001103 0110 0010 010014 0111 0110 010105 1000 0111 011006 1001 0101 100017 1010 0100 100108 1011 1100 101009 1100 1101 11000. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 21 / 140
Skaitīšanas sistēmasSkaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēm. Skaitļu pārvēršana no vienas sistēmas otrā..Tiešā metodeAtņemšanas metodeDalīšanas metode. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 22 / 140
. Tiešā metodeSkaitīšanas sistēmasSkaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēm.Tiešo metodi parasti izmanto, lai konvertētu skaitļus uz decimālajiemTiešajā metodē vecās pozicionālās sistēmas zīmes ar ja<strong>un</strong>ās sistēmas zīmēm<strong>un</strong> saskaita:.Piemēram, 21, 5 10 jākonvertē uz bināro:10 ∗ 1010 1 + 1 ∗ 1010 0 + 101 ∗ 1010 −1 = 10100 + 1 + 0, 1 = 10101, 1Piemēram 1001011, 11 jākonvertē uz decimālo:1∗2 6 +0∗2 5 +0∗2 4 +1∗2 3 +0∗2 2 +1∗2 1 +1∗2 0 +1∗2 −1 +1∗2 −2 =64 + 8 + 2 + 1 + 0, 5 + 0, 25 = 75, 75. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 23 / 140
. Atņemšanas metodeSkaitīšanas sistēmasSkaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēm.Atņemšanas metodi parasti izmanto, lai konvertētu decimālo skaitli uzskaitli ar bināro sistēmu.No decimālā skaitļa jāatņem lielākā iespējamā pakāpes vērtībaNo atlikuma atņem nākamās kārtas pakāpes vērtība līdz iegūst nullesatlikumuJa atņemšana bija iespējama – raksta 1Ja atņemšanas nebija iespējama – raksta 0. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 24 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Atņemšanas metodes piemērs.Konvertēt 21, 5 10 uz bināro kodu:atņemšana starpība binārā koda kolona21,5 – 2 4 = 5,5 15,5 – 2 3 = 05,5 – 2 2 = 1,5 11,5 – 2 1 = 01,5 – 2 0 = 0,5 10,5 – 2 −1 = 0 1. Rezultāts: 10101.1 2Skaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēm. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 25 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Dalīšanas metode ar veseliem skaitļiem.. Rezultāts: 139 10 = 213 8Skaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēmSkaitli dala ar ja<strong>un</strong>ās sistēmas bāzi, kas uzrakstīta vecajā sistēmā.Dalīšanu veic, kamēr pēdējais dalāmais ir 0Skaitlis ja<strong>un</strong>ajā sistēmā tiek iegūts no atlikumiem, tos pierakstotapgrieztā kārtībāPiemērs: pārveidot skaitli 139 no decimālās uz oktālo sistēmu:139/8 = 17 (atlikums = 3)17/8 = 2 (atlikums = 1)2/8 = 0 (atlikums = 2). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 26 / 140
. Daļskaitļu pārvēršana.Skaitīšanas sistēmasSkaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēmDaļskaitļu pārvēršana notiek pēc reizināšanas algoritma, kurā vecāssistēmas daļskaitli reizina ar ja<strong>un</strong>ās sistēmas bāzi h.Pēc katras reizināšanas pieraksta veselo skaitļa daļu, pēc tam to atmet<strong>un</strong> veic iegūtās daļas ja<strong>un</strong>u reizināšanu.Reizināšanu izpilda, kamēr tiek iegūts nulles rezultāts vai vajadzīgaiskārtu skaits aiz komata.Daļskaitļa kodu ja<strong>un</strong>ajā h sistēmā dod veselo skaitļu ailē stāvošo ciparusecība, kas uzrakstīta ar vecās s sistēmas zīmēm. Tās jāapmaina arja<strong>un</strong>ās h sistēmas zīmēm, lai iegūtu rezultātu ja<strong>un</strong>ajā sistēmā.Parasti izmanto decimāldaļskaitļu konvertēšanai uz oktālo <strong>un</strong> heksadecimālo. kodu. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 27 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Daļskaitļu pārvēršanas piemērs.Pārvērst 0, 6054875 10 uz heksadecimālo sistēmu:Reizināšana rezultāts skaitļa veselā daļa0, 6054875 ∗ 16 = 9,6875 90, 6875 ∗ 16 = 11,0 11->B. Rezultāts: 0, 6054875 10 = 0, 9B 16Skaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēm. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 28 / 140
Skaitīšanas sistēmasSkaitļu konvertēšana starp dažādām sistēmas bāzēm. Skaitļu ar bāzi 2 i pārvēršana sistēmā ar bāzi 2 j.Skaitļu ar bāzi 2 n savstarpēja konvertēšana ir ļoti vienkārša <strong>un</strong> ātra,izmantojot bināro sistēmu. Konvertēšanas secība:Pāriet uz bināro sistēmuBināro skaitli sadala pa j blokiem, ja nepieciešams, pieraksta galos 0katru j bloku izsaka ja<strong>un</strong>ajā sistēmāPiemēram, skaitli D7, E 16 konvertēt uz oktālo sistēmu:1101 0111 , 1110Skaitlis D7, E 16 izteikts binārā sistēmā011 010 111 , 111 000biti sadalīti blokos pa 3 (oktālās sistēmas 2 pakāpe) <strong>un</strong> pierakstītas 0’es327, 7 8 - bitu bloki pārrakstīti oktālajā sistēmā.. Rezultāts: D7, E 16 = 327, 7 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 29 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Negatīvo skaitļu kodēšana datorāNegatīvu skaitļu kodēšana.Līdz šim tika apskatīti tikai pozitīvie skaitļi. Negatīvo skaitļu kodēšanai tiekizmantotas trīs metodes:.tiešā metode (sign-magnitudeapgrieztais kods (ones’ complement)papildkods (twos’ complement). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 30 / 140
. Tiešā metode..Skaitīšanas sistēmasNegatīvu skaitļu kodēšanaNegatīvo skaitli šajā kodā attēlo parastā veidā (izmanto tiešā kodazīmes) <strong>un</strong> zīmes kārtā liek 1. Šim kodēšanas veidam ir tāds trūkums, kanullei ir divi attēlojumi, 4 kārtu skaitlī ar zīmi piemēram, +0 attēlojas kā0 000 <strong>un</strong> –0 kā 1 000 (zīmes kārta atdalīta ar atstarpi).Kaut arī tiešā metode intuitīvāk ir uztverama cilvēkam, datoros tā navpiemērota aritmētisko darbību veikšanai.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 31 / 140
Skaitīšanas sistēmasNegatīvu skaitļu kodēšana. Binārā skaitļa apgrieztais kods (complement)..Skaitļa apgrieztais kods ir skaitlis, kas papildina doto skaitli līdzlielākajam skaitlim, ko var izteikt ar tādu pašu zīmju skaitu.Lai binārajā skaitīšanas sistēmā negatīvam skaitlim iegūtu apgrieztokodu, tā zīmes ailē jāliek 1, bet visās citās pozīcijās nulles jānomaina arvieniniekiem, bet vieninieki ar nullēm.Elektronikā šo darbību sauc par invertēšanu.Pozitīvo skaitļu pieraksts nemainās <strong>un</strong> sakrīt ar tiešo kodu.Piemērs: jāuzraksta -6 apgrieztajā kodā 4-kārtu skaitlī, kur vecākā ir zīmeskārta1. veids - ja +6 10 = 0110, tad bitus invertējam <strong>un</strong> iegūstam −6 10 = 10012. veids - ar 3 kārtām lielākais skaitlis ir 7, tāpēc -6 apgrieztā kodā rakstām001 2 (7-6=1) <strong>un</strong> vecākajā - zīmes kārtā mainam 0 uz 1 <strong>un</strong> arī iegūstam 1001Problēmas - joprojām 2 nulles (pozitīva <strong>un</strong> negatīva), bitu pārbīde pieatņemšanas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 32 / 140
Skaitīšanas sistēmasNegatīvu skaitļu kodēšana. Binārā skaitļa papildkods (twos complement)..Skaitļa papildkods ir skaitlis, kas papildina doto skaitli līdz tuvākajamlielākajam skaitlim, ko var izteikt kā veselu dotās skaitīšanas sistēmasbāzes pakāpi, tas ir ko var izteikt ar vienu <strong>un</strong> nullēm.Lai binārajā skaitīšanas sistēmā negatīvam skaitlim uzrakstītupapildkodu, vispirms uzraksta skaitļa apgriezto kodu <strong>un</strong> tad tamja<strong>un</strong>ākajā kārtā pieskaita vieninieku,piem., −13 10 :Tiešais kods: - 0001101Apgrieztais kods: 1 1110010Papildkods: 1 1110011Otra metode: tiešā koda skaitlim visus ja<strong>un</strong>ākos bitus ar nullēm <strong>un</strong>pirmo vieninieku atstāj nemainītus bet visus nākamos vecākos bitusTiešais kods: - 0001100invertē, piem., −12 10 papildkods ir:Papildkods: 1 1110100. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 33 / 140
Skaitīšanas sistēmasNegatīvu skaitļu kodēšana. Tiešā, apgrieztā <strong>un</strong> papildkoda tabula..decimālais tiešais apgrieztais papildkods7 0111 0111 01116 0110 0110 01105 0101 0101 01014 0100 0100 01003 0011 0011 00112 0010 0010 00101 0001 0001 00010 0000 0000 0000-0 1000 1111 --1 1001 1110 1111-2 1010 1101 1110-3 1011 1100 1101-4 1100 1011 1100-5 1101 1010 1011-6 1110 1001 1010-7 1111 1000 1001. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 34 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Skaitļu ar fiksētu komatu attēlošanaSkaitļu attēlošana ar fiksētu <strong>un</strong> peldošo komatu.Skaitļus ar fiksētu komatu var attēlot bez <strong>un</strong> ar zīmes kārtas, kā arī arkomatu pirms vecākās kārtas vai pēc ja<strong>un</strong>ākās. Tādējādi, atkarībā no datorapieņemtā attēlošanas veida, binārais kods 1001 var nozīmēt:Skaitļi bez zīmes kārtasKomats aiz ja<strong>un</strong>ākās kārtas 1001 = 1001, 0 = 9 10Komats pirms vecākās kārtas 1001 = 0, 1001 = (1/2 + 1/16) 10Skaitlis ar zīmes kārtuKomats aiz ja<strong>un</strong>ākās kārtas 1001 = 1001, 0 = −1 10 , ja negatīvie skaitļiattēloti tiešajā kodāKomats pirms vecākās kārtas 1001 = 1(0), 001 = −(1/8) 10Bieži vien skaitļa lielums, vai precizitāte, ko var iegūt ar fiksētiem komatiem. ir nepietiekama, tāpēc skaitļus var kodēt arī peldošā komata formātā. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 35 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Peldošā komata formāts.Skaitļu attēlošana ar fiksētu <strong>un</strong> peldošo komatuA = ±q ∗ s p, kur:p – skaitļa A kārta,s – skaitīšanas sistēmas bāze,q – skaitļa A mantisa.Piem., 32 bitu skaitļa peldošā komata formātā uzglabāšana datora 32 kārtās(pēc IEEE 754 standarta)0 1 ... 8 9 ... 31.zīmes bits nobīdītās pakāpes biti mantisas biti. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 36 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Skaitļu ar peldošo komatu attēlošana..Skaitļu attēlošana ar fiksētu <strong>un</strong> peldošo komatuSkaitli sauc par normalizētu, ja mantisas vecākā kārta nav vienāda ar 0.t.i. mantisa veido īsto daļu ar komatu pirms zīmīgā cipara, bet pakāpe irvesels skaitlis, kas norāda, kur novietot komatu.Datoros pakāpes speciāli nobīda, lai tās būtu vesels skaitlis bez zīmes.piem., ja pakāpei atvēlēti 8 kārtas (kopā), tad nobīdei lieto skaitli2(8 − 1) − 1 = 127, t.i. nobīdītā pakāpe 15 patiesībā ir15 − 127 = −112, <strong>un</strong> pakāpe 129 ir 129 − 127 = 2“Slēptais vieninieks” - binārā sistēmā mantisā nav jēgas uzrādīt ”1”pirms komata, jo tāpat skaidrs, ka tam tur ir jābūt, ja veikta atbilstošanormalizācija.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 37 / 140
Skaitīšanas sistēmasSkaitļu attēlošana ar fiksētu <strong>un</strong> peldošo komatu. Skaitļa peldošā komata formātā (IEEE-754 32bit) piemērsDots skaitlis 673, 375 10 - izteikt peldošā komata formātāKonvertējam 673,375 uz bināro formātu: 1010100001, 011 2Normalizētā mantisa: 2 9 ∗ 1, 010100001011 (normalizācijas nobīdepakāpei: +9)Nobīdītā pakāpe +127 + 9 = 136 10 : 10001000 2Skaitlis peldošā komata formātā ar nobīdīto pakāpi <strong>un</strong> slēpto vieniniekumantisā:0 10001000 01010000101100000000000. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 38 / 140
Skaitīšanas sistēmasSkaitļu attēlošana ar fiksētu <strong>un</strong> peldošo komatu. Skaitļa peldošā komata formātā (IEEE-754 32bit) piemērsSekojošo skaitli no peldošā komata formāta izteikt kā bināru skaitli:00111110011000000000000000000000Vizuāli sadalam zīmes - pakāpes - mantisas blokos:0 01111100 11000000000000000000000Zīme 0: pozitīvs skaitlisNobīdītā pakāpe: 01111100 jeb 124Īstā pakāpe: 124 − 127 = −3Mantisa ar atja<strong>un</strong>otu ”1”: 1, 11Rezultāts: 1, 11 ∗ 2 −3 jeb 0, 00111, t.i. 0, 21875 10. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 39 / 140
Skaitīšanas sistēmasSkaitļu attēlošana ar fiksētu <strong>un</strong> peldošo komatu. attēlojamo skaitļu precizitāte <strong>un</strong> diapazons... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 40 / 140
. Datu kodēšana datorosSkaitīšanas sistēmasDatu kodēšana datoros.Simbolu informācijai datorā tāpat atbilst noteikta binārā kombinācija, kastiek izveidota kā tabula. Pašreiz tiek izmantotas vairākas kodēšanas tabulas.Visās tajās tiek izmantots “svara” princips, kas nozīmē ka simbolu svarspieaug alfabēta kārtībā, tā burta D kods lielāks par C burta kodu. Visbiežākizmanto divas simbolu kodēšanas tabulas ar astoņām kārtām viena simbolaattēlošanai:.paplašināto binārās kodēšanas tabulu EBCDIC (Extended Binary CodedDecimal Interchange Code);amerikāņu standartu informācijas apmaiņai ASCII (American StandartCode for Information Interchange).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 41 / 140
Skaitīšanas sistēmas. Izvilkums no ASCII tabulas.Datu kodēšana datorosvertikāli - ja<strong>un</strong>ākie biti (4-0), horizontāli - vecākie (7-5)010 011 100 101 110 1110000 0 @ P ` p0001 ! 1 A Q a q0010 " 2 B R b r0011 # 3 C S c s0100 $ 4 D T d t0101 % 5 E U e u0110 & 6 F V f v0111 ' 7 G W g w1000 ( 8 H X h x1001 ) 9 I Y i y1010 * : J Z j z1011 + ; K [ k {1100 , < L \ l |1101 - = M ] m }1110 . > N ^ n ~1111 / ? O _ o.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 42 / 140
Aritmētiskās darbības. Algebriskā summēšana apgrieztajā kodāSaskaitot pozitīvu skaitli attēlo tiešajā kodā, bet negatīvo skaitliapgrieztajā kodā.Šos kodus aritmētiski summē ieskaitot zīmes kārtas (zk), kuras uzskatapar veseliem skaitļiem.Ja zīmes kārtā veidojas pārnesums, to pieskaita kodu summas ja<strong>un</strong>ākajaikārtai, veidojot riņķa pārnesumu.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>apgrieztajā kodā, ja mīnuss zīme.Apskatīsim piemēru, kad pie +15 10 jāpieskaita –9 10 .15 0 0001111-09 +1 1110110-----------------10 0000101 (pārnese zk!)------> +1 (pārnesi zk summējam ar rezultātu)06 0 0000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 43 / 140
Aritmētiskās darbības. Algebriskā summēšana apgrieztajā kodāSaskaitot pozitīvu skaitli attēlo tiešajā kodā, bet negatīvo skaitliapgrieztajā kodā.Šos kodus aritmētiski summē ieskaitot zīmes kārtas (zk), kuras uzskatapar veseliem skaitļiem.Ja zīmes kārtā veidojas pārnesums, to pieskaita kodu summas ja<strong>un</strong>ākajaikārtai, veidojot riņķa pārnesumu.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>apgrieztajā kodā, ja mīnuss zīme.Apskatīsim piemēru, kad pie +15 10 jāpieskaita –9 10 .15 0 0001111-09 +1 1110110-----------------10 0000101 (pārnese zk!)------> +1 (pārnesi zk summējam ar rezultātu)06 0 0000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 43 / 140
Aritmētiskās darbības. Algebriskā summēšana apgrieztajā kodāSaskaitot pozitīvu skaitli attēlo tiešajā kodā, bet negatīvo skaitliapgrieztajā kodā.Šos kodus aritmētiski summē ieskaitot zīmes kārtas (zk), kuras uzskatapar veseliem skaitļiem.Ja zīmes kārtā veidojas pārnesums, to pieskaita kodu summas ja<strong>un</strong>ākajaikārtai, veidojot riņķa pārnesumu.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>apgrieztajā kodā, ja mīnuss zīme.Apskatīsim piemēru, kad pie +15 10 jāpieskaita –9 10 .15 0 0001111-09 +1 1110110-----------------10 0000101 (pārnese zk!)------> +1 (pārnesi zk summējam ar rezultātu)06 0 0000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 43 / 140
Aritmētiskās darbības. Algebriskā summēšana apgrieztajā kodāSaskaitot pozitīvu skaitli attēlo tiešajā kodā, bet negatīvo skaitliapgrieztajā kodā.Šos kodus aritmētiski summē ieskaitot zīmes kārtas (zk), kuras uzskatapar veseliem skaitļiem.Ja zīmes kārtā veidojas pārnesums, to pieskaita kodu summas ja<strong>un</strong>ākajaikārtai, veidojot riņķa pārnesumu.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>apgrieztajā kodā, ja mīnuss zīme.Apskatīsim piemēru, kad pie +15 10 jāpieskaita –9 10 .15 0 0001111-09 +1 1110110-----------------10 0000101 (pārnese zk!)------> +1 (pārnesi zk summējam ar rezultātu)06 0 0000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 43 / 140
Aritmētiskās darbības. Algebriskā summēšana apgrieztajā kodāSaskaitot pozitīvu skaitli attēlo tiešajā kodā, bet negatīvo skaitliapgrieztajā kodā.Šos kodus aritmētiski summē ieskaitot zīmes kārtas (zk), kuras uzskatapar veseliem skaitļiem.Ja zīmes kārtā veidojas pārnesums, to pieskaita kodu summas ja<strong>un</strong>ākajaikārtai, veidojot riņķa pārnesumu.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>apgrieztajā kodā, ja mīnuss zīme.Apskatīsim piemēru, kad pie +15 10 jāpieskaita –9 10 .15 0 0001111-09 +1 1110110-----------------10 0000101 (pārnese zk!)------> +1 (pārnesi zk summējam ar rezultātu)06 0 0000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 43 / 140
Aritmētiskās darbības. Algebriskā summēšana apgrieztajā kodāSaskaitot pozitīvu skaitli attēlo tiešajā kodā, bet negatīvo skaitliapgrieztajā kodā.Šos kodus aritmētiski summē ieskaitot zīmes kārtas (zk), kuras uzskatapar veseliem skaitļiem.Ja zīmes kārtā veidojas pārnesums, to pieskaita kodu summas ja<strong>un</strong>ākajaikārtai, veidojot riņķa pārnesumu.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>apgrieztajā kodā, ja mīnuss zīme.Apskatīsim piemēru, kad pie +15 10 jāpieskaita –9 10 .15 0 0001111-09 +1 1110110-----------------10 0000101 (pārnese zk!)------> +1 (pārnesi zk summējam ar rezultātu)06 0 0000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 43 / 140
Aritmētiskās darbības. Aritmētiskā summēšana papildkodāSaskaitot papildkodā pozitīvus skaitļus attēlo tiešajā kodā, bet negatīvospapildkodā.Šos skaitļu kodus aritmētiski summē, ieskaitot zīmes kārtas.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>papildkodā, ja mīnuss zīme.Atšķirība no summēšanas ar apgriezto kodu: ja zīmes kārtā veidojaspārnese, tad to vienkārši atmet (nesummē klāt ja<strong>un</strong>ākajai kārtai). Tāpēcdarbības ar papildkodu ir vienkāršākas nekā ar tiešo vai apgriezto kodu!Summēt 19+(-27)19 0 0010011-27 1 1100101 (papildkodā)------------------- 8 1 1111000 (jeb -0001000 tiešajā kodā). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 44 / 140
Aritmētiskās darbības. Aritmētiskā summēšana papildkodāSaskaitot papildkodā pozitīvus skaitļus attēlo tiešajā kodā, bet negatīvospapildkodā.Šos skaitļu kodus aritmētiski summē, ieskaitot zīmes kārtas.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>papildkodā, ja mīnuss zīme.Atšķirība no summēšanas ar apgriezto kodu: ja zīmes kārtā veidojaspārnese, tad to vienkārši atmet (nesummē klāt ja<strong>un</strong>ākajai kārtai). Tāpēcdarbības ar papildkodu ir vienkāršākas nekā ar tiešo vai apgriezto kodu!Summēt 19+(-27)19 0 0010011-27 1 1100101 (papildkodā)------------------- 8 1 1111000 (jeb -0001000 tiešajā kodā). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 44 / 140
Aritmētiskās darbības. Aritmētiskā summēšana papildkodāSaskaitot papildkodā pozitīvus skaitļus attēlo tiešajā kodā, bet negatīvospapildkodā.Šos skaitļu kodus aritmētiski summē, ieskaitot zīmes kārtas.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>papildkodā, ja mīnuss zīme.Atšķirība no summēšanas ar apgriezto kodu: ja zīmes kārtā veidojaspārnese, tad to vienkārši atmet (nesummē klāt ja<strong>un</strong>ākajai kārtai). Tāpēcdarbības ar papildkodu ir vienkāršākas nekā ar tiešo vai apgriezto kodu!Summēt 19+(-27)19 0 0010011-27 1 1100101 (papildkodā)------------------- 8 1 1111000 (jeb -0001000 tiešajā kodā). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 44 / 140
Aritmētiskās darbības. Aritmētiskā summēšana papildkodāSaskaitot papildkodā pozitīvus skaitļus attēlo tiešajā kodā, bet negatīvospapildkodā.Šos skaitļu kodus aritmētiski summē, ieskaitot zīmes kārtas.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>papildkodā, ja mīnuss zīme.Atšķirība no summēšanas ar apgriezto kodu: ja zīmes kārtā veidojaspārnese, tad to vienkārši atmet (nesummē klāt ja<strong>un</strong>ākajai kārtai). Tāpēcdarbības ar papildkodu ir vienkāršākas nekā ar tiešo vai apgriezto kodu!Summēt 19+(-27)19 0 0010011-27 1 1100101 (papildkodā)------------------- 8 1 1111000 (jeb -0001000 tiešajā kodā). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 44 / 140
Aritmētiskās darbības. Aritmētiskā summēšana papildkodāSaskaitot papildkodā pozitīvus skaitļus attēlo tiešajā kodā, bet negatīvospapildkodā.Šos skaitļu kodus aritmētiski summē, ieskaitot zīmes kārtas.Rezultātā iegūtā summa ir tiešajā kodā, ja tai ir pluss zīme <strong>un</strong>papildkodā, ja mīnuss zīme.Atšķirība no summēšanas ar apgriezto kodu: ja zīmes kārtā veidojaspārnese, tad to vienkārši atmet (nesummē klāt ja<strong>un</strong>ākajai kārtai). Tāpēcdarbības ar papildkodu ir vienkāršākas nekā ar tiešo vai apgriezto kodu!Summēt 19+(-27)19 0 0010011-27 1 1100101 (papildkodā)------------------- 8 1 1111000 (jeb -0001000 tiešajā kodā). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 44 / 140
Aritmētiskās darbības. Pārpildes fiksēšana.Saskaitot algebriski var veidoties pārpilde (overflow), kad visas datora kārtasir aizņemtas <strong>un</strong> rezultāts neietilpst atvēlētajās kārtās.Pārpildi var vienkārši konstatēt pēc pārneses uz <strong>un</strong> no zīmes kārtu. Pārpildeir sekojošos 2 gadījumos:Summējot datus ir pārnese uz zīmes kārtu, bet nav pārnese zīmes kārtā.Summējot datus nav pārnese uz zīmes kārtu, bet ir pārnese zīmes kārtā.. Tātad pārpildi var fiksēt pēc XOR loģiskās f-jas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 45 / 140
. Pārpildes piemēri..Aritmētiskās darbībaspārpilde, summējot divus lielus skaitļus:+7 0 0111+12 0 1100---------------+19 1 0011 (pārnese tikai uz zīmes kārtu!)pārpilde, summējot divus lielus negatīvus skaitļus:-9 1 0111 (-9 papildkodā)-13 1 0011 (-13 papildkodā)---------------+19 10 0011 (pārnese tikai zīmes kārtā!). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 46 / 140
. Pārpildes piemēri..Aritmētiskās darbībaspārpilde, summējot divus lielus skaitļus:+7 0 0111+12 0 1100---------------+19 1 0011 (pārnese tikai uz zīmes kārtu!)pārpilde, summējot divus lielus negatīvus skaitļus:-9 1 0111 (-9 papildkodā)-13 1 0011 (-13 papildkodā)---------------+19 10 0011 (pārnese tikai zīmes kārtā!). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 46 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu algebriskā summēšana.. .1 Mantisai atja<strong>un</strong>o slēpto “1”...2 Ja pakāpes atšķiras, tad veic kārtu nolīdzināšanu - mazākajam skaitlimpalielina pakāpi, attiecīgi veicot mantisas nobīdi pa labi...3 Summē mantisas, <strong>un</strong> rezultātu normalizē. Ja rodas pārnese uz pakāpeskārtu, tad pakāpei piesummē +1.Jautājums: Kas notiek, summējot skaitļus IEEE754 32bit formā, ja pakāpes. ievērojami atšķiras viena no otras, piemēram, skaitļu pakāpes ir 12 <strong>un</strong> 92?. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 47 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu algebriskā summēšana.. .1 Mantisai atja<strong>un</strong>o slēpto “1”...2 Ja pakāpes atšķiras, tad veic kārtu nolīdzināšanu - mazākajam skaitlimpalielina pakāpi, attiecīgi veicot mantisas nobīdi pa labi...3 Summē mantisas, <strong>un</strong> rezultātu normalizē. Ja rodas pārnese uz pakāpeskārtu, tad pakāpei piesummē +1.Jautājums: Kas notiek, summējot skaitļus IEEE754 32bit formā, ja pakāpes. ievērojami atšķiras viena no otras, piemēram, skaitļu pakāpes ir 12 <strong>un</strong> 92?. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 47 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu algebriskā summēšana.. .1 Mantisai atja<strong>un</strong>o slēpto “1”...2 Ja pakāpes atšķiras, tad veic kārtu nolīdzināšanu - mazākajam skaitlimpalielina pakāpi, attiecīgi veicot mantisas nobīdi pa labi...3 Summē mantisas, <strong>un</strong> rezultātu normalizē. Ja rodas pārnese uz pakāpeskārtu, tad pakāpei piesummē +1.Jautājums: Kas notiek, summējot skaitļus IEEE754 32bit formā, ja pakāpes. ievērojami atšķiras viena no otras, piemēram, skaitļu pakāpes ir 12 <strong>un</strong> 92?. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 47 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu algebriskā summēšana.. .1 Mantisai atja<strong>un</strong>o slēpto “1”...2 Ja pakāpes atšķiras, tad veic kārtu nolīdzināšanu - mazākajam skaitlimpalielina pakāpi, attiecīgi veicot mantisas nobīdi pa labi...3 Summē mantisas, <strong>un</strong> rezultātu normalizē. Ja rodas pārnese uz pakāpeskārtu, tad pakāpei piesummē +1.Jautājums: Kas notiek, summējot skaitļus IEEE754 32bit formā, ja pakāpes. ievērojami atšķiras viena no otras, piemēram, skaitļu pakāpes ir 12 <strong>un</strong> 92?. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 47 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu peldošā komata formātā summēšanas piemērs.Pieņemsim, ka jāsummē 23, 5 10 ar 0, 3750 10000011 0111100000... (23,5 peldošā komata formātā)0 01111101 1000000000... (0,375 peldošā komata formātā)Atja<strong>un</strong>ojam slēptos "1":0 10000011 1011110000...0 01111101 1100000000...Nolīdzinam pakāpi - otram skaitlim mantisu nobīdam par 6:0 10000011 0000001100...Summējam mantisas:1011110000...0000001100...--------------------------1011111100...Slēpjam "1" <strong>un</strong> iegūstam rezultātu peldošā komata formātā:0 10000011 01111110000000000000000.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 48 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu peldošā komata formātā summēšanas piemērs.Pieņemsim, ka jāsummē 23, 5 10 ar 0, 3750 10000011 0111100000... (23,5 peldošā komata formātā)0 01111101 1000000000... (0,375 peldošā komata formātā)Atja<strong>un</strong>ojam slēptos "1":0 10000011 1011110000...0 01111101 1100000000...Nolīdzinam pakāpi - otram skaitlim mantisu nobīdam par 6:0 10000011 0000001100...Summējam mantisas:1011110000...0000001100...--------------------------1011111100...Slēpjam "1" <strong>un</strong> iegūstam rezultātu peldošā komata formātā:0 10000011 01111110000000000000000.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 48 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu peldošā komata formātā summēšanas piemērs.Pieņemsim, ka jāsummē 23, 5 10 ar 0, 3750 10000011 0111100000... (23,5 peldošā komata formātā)0 01111101 1000000000... (0,375 peldošā komata formātā)Atja<strong>un</strong>ojam slēptos "1":0 10000011 1011110000...0 01111101 1100000000...Nolīdzinam pakāpi - otram skaitlim mantisu nobīdam par 6:0 10000011 0000001100...Summējam mantisas:1011110000...0000001100...--------------------------1011111100...Slēpjam "1" <strong>un</strong> iegūstam rezultātu peldošā komata formātā:0 10000011 01111110000000000000000.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 48 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu peldošā komata formātā summēšanas piemērs.Pieņemsim, ka jāsummē 23, 5 10 ar 0, 3750 10000011 0111100000... (23,5 peldošā komata formātā)0 01111101 1000000000... (0,375 peldošā komata formātā)Atja<strong>un</strong>ojam slēptos "1":0 10000011 1011110000...0 01111101 1100000000...Nolīdzinam pakāpi - otram skaitlim mantisu nobīdam par 6:0 10000011 0000001100...Summējam mantisas:1011110000...0000001100...--------------------------1011111100...Slēpjam "1" <strong>un</strong> iegūstam rezultātu peldošā komata formātā:0 10000011 01111110000000000000000.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 48 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu peldošā komata formātā summēšanas piemērs.Pieņemsim, ka jāsummē 23, 5 10 ar 0, 3750 10000011 0111100000... (23,5 peldošā komata formātā)0 01111101 1000000000... (0,375 peldošā komata formātā)Atja<strong>un</strong>ojam slēptos "1":0 10000011 1011110000...0 01111101 1100000000...Nolīdzinam pakāpi - otram skaitlim mantisu nobīdam par 6:0 10000011 0000001100...Summējam mantisas:1011110000...0000001100...--------------------------1011111100...Slēpjam "1" <strong>un</strong> iegūstam rezultātu peldošā komata formātā:0 10000011 01111110000000000000000.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 48 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu reizināšana.Reizināšanu izpilda veicot summēšanas <strong>un</strong> nobīdes operācijas. Ja attiecīgajāreizinātāja kārtā ir vieninieks, veic reizināmā summēšanu ar nobīdīto pa labi,iepriekšējā ciklā iegūto summu (starpsummu), ja nulle - veic tikai nobīdi.Salīdzināšanas - summēšanas - bīdes cikls jāveic tik reižu, cik kārtu irreizināmajos skaitļos. Reizinājuma rezultātam jāatvēl 2x vairāk bitu, kaizejas datiem. Piemēram, bināri jāsareizina 6 ∗ 13:6 0110+13 1101+----------------0000 (sākums)1. cikls 0110 (summē, jo reizinātāja simbols = "1")0110 (bīde)+2. cikls 0110 (tikai bīde)3. cikls 011110 (summē)011110 (bīde)4. cikls 1001110 (summē)1001110 (bīde)-------------------Rezultāts: 01001110 (64+8+4+2=78).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 49 / 140
Aritmētiskās darbības. Dalīšanas operāciju izpilde binārā sistēmā.Dalīšanas darbības binārā sistēmā var realizēt ar secīgām salīdzināšanas <strong>un</strong>atņemšanas darbībām..Katrā ciklā no dalāmā tiek ņemts pēc kārtas nākamais vecākais bits,pievienots starprezultātam <strong>un</strong> starprezultāts salīdzināts ar dalītāju.Ja starprezultāts ir vienāds vai lielāks par dalītāju, tad no tā tiekatņemts dalītājs <strong>un</strong> rezultāta vecākajā brīvajā bitā ierakstīts 1.Ja starprezultāts ir mazāks par dalītāju, tad rezultāta vecākajā brīvajākārtā ieraksta 0.Atņemšanas darbība tiek realizēta ar bināru summēšanu - t.i., dalītājuizsaka kā negatīvu skaitli, piemēram, papildkodā <strong>un</strong> to summē arstarprezultātu.Salīdzināšanas - atņemšanas cikls ir jāveic tik reižu, cik kārtu irdalāmajā. Pēc noteiktā skaita ciklu pabeigšanas rezultāts veidojas norezultāta bitiem, bet starprezultāta bitos atrodas atlikums.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 50 / 140
Aritmētiskās darbības. Dalīšanas operāciju izpilde binārā sistēmā.Dalīšanas darbības binārā sistēmā var realizēt ar secīgām salīdzināšanas <strong>un</strong>atņemšanas darbībām..Katrā ciklā no dalāmā tiek ņemts pēc kārtas nākamais vecākais bits,pievienots starprezultātam <strong>un</strong> starprezultāts salīdzināts ar dalītāju.Ja starprezultāts ir vienāds vai lielāks par dalītāju, tad no tā tiekatņemts dalītājs <strong>un</strong> rezultāta vecākajā brīvajā bitā ierakstīts 1.Ja starprezultāts ir mazāks par dalītāju, tad rezultāta vecākajā brīvajākārtā ieraksta 0.Atņemšanas darbība tiek realizēta ar bināru summēšanu - t.i., dalītājuizsaka kā negatīvu skaitli, piemēram, papildkodā <strong>un</strong> to summē arstarprezultātu.Salīdzināšanas - atņemšanas cikls ir jāveic tik reižu, cik kārtu irdalāmajā. Pēc noteiktā skaita ciklu pabeigšanas rezultāts veidojas norezultāta bitiem, bet starprezultāta bitos atrodas atlikums.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 50 / 140
Aritmētiskās darbības. Dalīšanas operāciju izpilde binārā sistēmā.Dalīšanas darbības binārā sistēmā var realizēt ar secīgām salīdzināšanas <strong>un</strong>atņemšanas darbībām..Katrā ciklā no dalāmā tiek ņemts pēc kārtas nākamais vecākais bits,pievienots starprezultātam <strong>un</strong> starprezultāts salīdzināts ar dalītāju.Ja starprezultāts ir vienāds vai lielāks par dalītāju, tad no tā tiekatņemts dalītājs <strong>un</strong> rezultāta vecākajā brīvajā bitā ierakstīts 1.Ja starprezultāts ir mazāks par dalītāju, tad rezultāta vecākajā brīvajākārtā ieraksta 0.Atņemšanas darbība tiek realizēta ar bināru summēšanu - t.i., dalītājuizsaka kā negatīvu skaitli, piemēram, papildkodā <strong>un</strong> to summē arstarprezultātu.Salīdzināšanas - atņemšanas cikls ir jāveic tik reižu, cik kārtu irdalāmajā. Pēc noteiktā skaita ciklu pabeigšanas rezultāts veidojas norezultāta bitiem, bet starprezultāta bitos atrodas atlikums.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 50 / 140
Aritmētiskās darbības. Dalīšanas operāciju izpilde binārā sistēmā.Dalīšanas darbības binārā sistēmā var realizēt ar secīgām salīdzināšanas <strong>un</strong>atņemšanas darbībām..Katrā ciklā no dalāmā tiek ņemts pēc kārtas nākamais vecākais bits,pievienots starprezultātam <strong>un</strong> starprezultāts salīdzināts ar dalītāju.Ja starprezultāts ir vienāds vai lielāks par dalītāju, tad no tā tiekatņemts dalītājs <strong>un</strong> rezultāta vecākajā brīvajā bitā ierakstīts 1.Ja starprezultāts ir mazāks par dalītāju, tad rezultāta vecākajā brīvajākārtā ieraksta 0.Atņemšanas darbība tiek realizēta ar bināru summēšanu - t.i., dalītājuizsaka kā negatīvu skaitli, piemēram, papildkodā <strong>un</strong> to summē arstarprezultātu.Salīdzināšanas - atņemšanas cikls ir jāveic tik reižu, cik kārtu irdalāmajā. Pēc noteiktā skaita ciklu pabeigšanas rezultāts veidojas norezultāta bitiem, bet starprezultāta bitos atrodas atlikums.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 50 / 140
Aritmētiskās darbības. Dalīšanas operāciju izpilde binārā sistēmā.Dalīšanas darbības binārā sistēmā var realizēt ar secīgām salīdzināšanas <strong>un</strong>atņemšanas darbībām..Katrā ciklā no dalāmā tiek ņemts pēc kārtas nākamais vecākais bits,pievienots starprezultātam <strong>un</strong> starprezultāts salīdzināts ar dalītāju.Ja starprezultāts ir vienāds vai lielāks par dalītāju, tad no tā tiekatņemts dalītājs <strong>un</strong> rezultāta vecākajā brīvajā bitā ierakstīts 1.Ja starprezultāts ir mazāks par dalītāju, tad rezultāta vecākajā brīvajākārtā ieraksta 0.Atņemšanas darbība tiek realizēta ar bināru summēšanu - t.i., dalītājuizsaka kā negatīvu skaitli, piemēram, papildkodā <strong>un</strong> to summē arstarprezultātu.Salīdzināšanas - atņemšanas cikls ir jāveic tik reižu, cik kārtu irdalāmajā. Pēc noteiktā skaita ciklu pabeigšanas rezultāts veidojas norezultāta bitiem, bet starprezultāta bitos atrodas atlikums.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 50 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Bināru skaitļu dalīšanas piemērs.Piemēram, jādala skaitļi 42/7 (00101010 2 /111 2 ). Skaitlis “-7“ papildkodā= 11001Dalāmais <strong>un</strong> Darbība Rezultātastarprezultātibiti001010101. 0 nevar atņemt 02. 00 nevar atņemt 003. 001 nevar atņemt 0004. 0010 nevar atņemt 00005. 00101 nevar atņemt 000006. 001010 var atņemt (1010 >= 111) 000001000011 starpība (0 1010 + 1 1001) 0000017. 0000111 var atņemt (111 >= 111) 00000110000000 starpība (0 1011 + 1 1011) 00000118. 00000000 nevar atņemt 00000110---------------------------------------------------Atlikums: 0.Rezultāts: 00000110. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 51 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu reizināšana.Reizināšanu peldošo skaitļu formātā:.Mantisām atja<strong>un</strong>o slēptos ”1” <strong>un</strong> tās sareizina savā starpā. Pēcreizinājuma mantisā ir 2x vairāk bitu <strong>un</strong> puse ja<strong>un</strong>āko bitu ir jāatmet, jotos nevaram vairs uzrādīt mantisā. Matricu reizinājumam normalizācijāvar veidoties arī +1 pie pakāpes.Nobīdītās pakāpes summē, tām pieskaita pārnesi no mantisureizinājuma, ja tāda veidojas, <strong>un</strong> atņem nobīdi.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 52 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu reizināšana.Reizināšanu peldošo skaitļu formātā:.Mantisām atja<strong>un</strong>o slēptos ”1” <strong>un</strong> tās sareizina savā starpā. Pēcreizinājuma mantisā ir 2x vairāk bitu <strong>un</strong> puse ja<strong>un</strong>āko bitu ir jāatmet, jotos nevaram vairs uzrādīt mantisā. Matricu reizinājumam normalizācijāvar veidoties arī +1 pie pakāpes.Nobīdītās pakāpes summē, tām pieskaita pārnesi no mantisureizinājuma, ja tāda veidojas, <strong>un</strong> atņem nobīdi.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 52 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu dalīšana.Dalīšana peldošo skaitļu formātā:.Mantisas dala savā starpā.No dalāmā skaitļa pakāpes atņem dalītāja pakāpi <strong>un</strong> pieskaita nobīdi.Normalizē mantisu <strong>un</strong> veido slēpto “1”, veicot korekcijas pakāpē.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 53 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu dalīšana.Dalīšana peldošo skaitļu formātā:.Mantisas dala savā starpā.No dalāmā skaitļa pakāpes atņem dalītāja pakāpi <strong>un</strong> pieskaita nobīdi.Normalizē mantisu <strong>un</strong> veido slēpto “1”, veicot korekcijas pakāpē.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 53 / 140
Aritmētiskās darbības. Skaitļu ar peldošo komatu dalīšana.Dalīšana peldošo skaitļu formātā:.Mantisas dala savā starpā.No dalāmā skaitļa pakāpes atņem dalītāja pakāpi <strong>un</strong> pieskaita nobīdi.Normalizē mantisu <strong>un</strong> veido slēpto “1”, veicot korekcijas pakāpē.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 53 / 140
Binārā loģika. Binārie mainīgie <strong>un</strong> pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcijas..Lai formāli aprakstītu ciparu iekārtu mezglus veicot to analīzi <strong>un</strong>sintēzi, tiek izmantots loģiskās algebras kārtulas. Loģisko algebru 1854.gadā ieviesa Georgs Būls (1815-1864) <strong>un</strong> bieži tā tiek saukta viņā vārdā –Būla algebra (Boolean algebra)Mainīgie loģiskajā algebrā var būt ar divām vērtībām: 0 vai 1.Tādus mainīgos sauc par loģiskiem vai Būla <strong>un</strong> apzīmēsim ar A, B u.t.t.Pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas (PF) jeb loģiskās f<strong>un</strong>kcijas ir atkarīgas noloģiskiem mainīgiem, <strong>un</strong> tāpat kā to argumenti var pieņemt tikai divasvērtības: 0 <strong>un</strong> 1. PF apzīmēsim ar f(A,B,..) vai ar Y.Vienkāršas PF var kalpot par argumentu sarežģītākām pārslēgšanasf<strong>un</strong>kcijām.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 54 / 140
. Īstenības tabulas.Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas uzdod ar īstenības tabulām, kurās parāda visasiespējamās mainīgo vērtības <strong>un</strong> tām attiecīgās PF vērtības. nmainīgajiem atbilst 2 n PF vērtības.Piemēram, uzdosim divas PF f 1 <strong>un</strong> f 2 , kas atkarīgas no 3 mainīgajiem(n=3) - A, B <strong>un</strong> C. Trim mainīgajiem atbilst 2 3 = 8 kombinācijas..A B C f 1 f 20 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 55 / 140
Binārā loģika. Loģiskais noliegums jeb inversijaElementārās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas.Loģisko noliegumu jeb inversiju sauc par NE (NOT).F<strong>un</strong>kcijas NE vērtība ir 0, ja mainīgas ir 1, <strong>un</strong> 1 - ja mainīgais ir 0.Analītiskais pieraksts: f(x) = x, bet izmanto arī:f(x) = x ′f(x) = ¬xĪstenības tabula:x f(x)0 11 0Apzīmējumi pēc Eiropas (IEC <strong>un</strong> BS) <strong>un</strong> ASV (ANSI) standartiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 56 / 140
Binārā loģikaElementārās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Loģiskais reizinājums jeb konj<strong>un</strong>kcija..Loģiskā reizināšana (konj<strong>un</strong>kcija). Šo f<strong>un</strong>kciju sauc par UN (angliskiAND).Konj<strong>un</strong>kcija no jebkura skaita mainīgo pieņem vērtību 1 tikai tad, ja visimainīgie ir stāvoklī 1 . Visos citos gadījumos pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijasvērtība vienāda ar 0.Analītiskie pieraksti:f(x 1 , x 2 ) = x 1 ∧ x 2f(x 1 , x 2 ) = x 1 ∗ x 2f(x 1 , x 2 ) = x 1 &x 2. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 57 / 140
Binārā loģikaElementārās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Konj<strong>un</strong>kcijas īstenības tabula <strong>un</strong> apzīmējumi shēmās.Īstenības tabulax 1 x 2 f(x 1 , x 2 )0 0 00 1 01 0 01 1 1Apzīmējumi pēc IEC <strong>un</strong> ANSI standartiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 58 / 140
Binārā loģika. Loģiskā summa jeb disj<strong>un</strong>kcija..Elementārās loģiskās f<strong>un</strong>kcijasLoģiskās summas (disj<strong>un</strong>kcijas) f<strong>un</strong>kciju sauc par VAI (angliski OR).Disj<strong>un</strong>kcija no jebkura skaita mainīgo pieņem vērtību 1 gadījumos, jakaut viens mainīgais ir stāvoklī 1. PF vērtība 0 ir tikai tad, kad visumainīgo vērtības ir 0Analītiskie pieraksti:f(x 1 , x 2 ) = x 1 ∨ x 2f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 59 / 140
Binārā loģikaElementārās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Disj<strong>un</strong>kcijas īstenības tabula <strong>un</strong> apzīmējumi shēmās.Īstenības tabulax1 x2 f(x 1 , x 2 )0 0 00 1 11 0 11 1 1Apzīmējumi pēc IEC <strong>un</strong> ANSI standartiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 60 / 140
. Konj<strong>un</strong>kcijas inversija..Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijasKonj<strong>un</strong>kcijas inversijas f<strong>un</strong>kciju sauc par UN–NE (angliski NAND).Konj<strong>un</strong>kcijas inversija no jebkura skaita mainīgo pieņem vērtību 0 tikaitad, ja visi mainīgi ir stāvoklī 1 . Visos citos gadījumos pārslēgšanasf<strong>un</strong>kcijas vērtība vienāda ar 1.Īstenības tabulax 1 x 2 f(x 1 , x 2 )0 0 10 1 11 0 11 1 0. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 61 / 140
Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Konj<strong>un</strong>kcijas inversijas analītiskie pieraksti <strong>un</strong> apzīmējumi.UN-NE Analītiskie pierakstif(x 1 , x 2 ) = x 1 ∧ x 2f(x 1 , x 2 ) = x 1 ∗ x 2f(x 1 , x 2 ) = x 1 &x 2UN-NE apzīmējumi pēc Eiropas <strong>un</strong> ANSI standartiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 62 / 140
. Disj<strong>un</strong>kcijas inversija..Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijasDisj<strong>un</strong>kcijas inversijas f<strong>un</strong>kciju sauc par VAI–NE (angliski NOR).Disj<strong>un</strong>kcijas inversija no jebkura skaita mainīgo pieņem vērtību 1 tikaitad, ja visi mainīgi ir stāvoklī 0 . Visos citos gadījumos pārslēgšanasf<strong>un</strong>kcijas vērtība vienāda ar 0.Īstenības tabulax 1 x 2 f(x 1 , x 2 )0 0 10 1 01 0 01 1 0. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 63 / 140
Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Disj<strong>un</strong>kcijas inversijas analītiskie pieraksti <strong>un</strong> apzīmējumi.VAI-NE Analītiskie pierakstif(x 1 , x 2 ) = x 1 ∨ x 2f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2VAI-NE apzīmējumi pēc Eiropas <strong>un</strong> ANSI standartiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 64 / 140
. Izslēdzošais VAI..Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijasIzslēdzošo VAI sauc arī par summēšanu pēc moduļa 2, vai nevienlīdzībasf<strong>un</strong>kciju (angliski XOR, kas radies no apzīmējuma eXclusive OR).Izslēdzošā VAI f<strong>un</strong>kcija pie diviem mainīgiem pieņem vērtību 0, ja šiemainīgie ir vienādā stāvoklī 0 vai 1 . Visos citos gadījumos pārslēgšanasf<strong>un</strong>kcijas vērtība vienāda ar 1. Tātad, ja kaut viens no mainīgiem ir citāstāvoklī kā otrs, PF vērtība vienāda ar 1.Izslēdzošā VAI īstenības tabulax 1 x 2 f(x 1 , x 2 )0 0 00 1 11 0 11 1 0. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 65 / 140
Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Izslēdzošā VAI analītiskais pieraksts <strong>un</strong> apzīmējumi.Analītiskais pieraksts: f(x 1 , x 2 ) = x 1 ⊕ x 2Izslēdzošā VAI apzīmējumi pēc Eiropas <strong>un</strong> ANSI standartiemXOR var izveidot no elementārajām f<strong>un</strong>kcijām (konj<strong>un</strong>kciju disj<strong>un</strong>kcija):f(x 1 , x 2 ) = x 1 ∗ x 2 + x 1 ∗ x 2Shēmā to var izveidot sekojoši:.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 66 / 140
Binārā loģikaAtvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas. Atvasinātās loģiskās f<strong>un</strong>kcijas - XNOR.Izslēdzošā VAI-NE (angliski XNOR). Šī shēma realizē pretēju f<strong>un</strong>kciju kāizslēdzošā VAI, tas ir vienādības vai pārskaitļa f<strong>un</strong>kciju:x 1 x 2 f(x 1 , x 2 )0 0 10 1 01 0 01 1 1Analītiskais pieraksts: f(x 1 , x 2 ) = x 1 ⊕ x 2Izslēdzošā VAI apzīmējumi pēc Eiropas <strong>un</strong> ANSI standartiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 67 / 140
Binārā loģika. Būla algebras pamatpostulātiBūla algebra.Veicot visas iespējamās loģiskās darbības ar vienu vai diviem mainīgajiem,kurus aizvieto ar iespējamām vērtībām 0 <strong>un</strong> 1, var iegūt sekojošo tabulu,kurā attēloti Būla algebras pamatpostulāti:.0 ∗ 0 = 0 0 + 0 = 00 ∗ 1 = 0 0 + 1 = 11 ∗ 0 = 0 1 + 0 = 11 ∗ 1 = 1 1 + 1 = 10 = 1 1 = 0. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 68 / 140
. Būla algebras teorēmas IBinārā loģikaBūla algebraPamatpostulātos aizvietojot kādu no mainīgā vērtībām ar X, varam iegūtsekojošas Būla algebras teorēmas:.. .1 Jebkurš mainīgais reizināts ar 0 dod 0:X ∗ 0 = 0.. .2 Jebkurš mainīgais reizināts ar 1 dod mainīgā vērtību:X ∗ 1 = X,.. .3 Jebkurš mainīgais reizināts ar sevi dod mainīgo:X ∗ X = X, teorēmu var attiecināt uz jebkuru skaitu reizināšanasdarbību: X ∗ X ∗ ... ∗ X = X.. .4 Mainīgā reizinājums ar inverso mainīgā vērtību dod 0:X ∗ X = 0.. .5 Pieskaitot pie mainīgā 0 rezultāts nemainās:X + 0 = X. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 69 / 140
. Būla algebras teorēmas IIBinārā loģikaBūla algebra...6 Pieskaitot pie mainīgā 1, rezultāts vienmēr būs 1:X + 1 = 1...7 Pieskaitot pie mainīgā tādu pašu mainīgo rezultāts nemainās:X + X = X, teorēmu var attiecināt uz jebkuru skaitu saskaitīšanasdarbību: X + X + ... + X = X...8 Pieskaitot pie mainīgā inverso mainīgā lielumu rezultāts būs 1:X + X = 1...9 Mainīgā divkārša inversija dod rezultātā mainīgā lielumu: X = X. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 70 / 140
Binārā loģika. Būla algebras pamatlikumi IBūla algebra.Komutatīvais likums.. .Mainot vietām saskaitāmos vai reizināmos to loģiskā summa vai reizinājumsnemainās:A + B = B + AA ∗ B = B ∗ ALikums attiecas uz jebkuru skaitu mainīgo.. ...Asociatīvais likums.. .Pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas vērtība nemainās no darbību secības disj<strong>un</strong>kcijas <strong>un</strong>konj<strong>un</strong>kcijas izteiksmēs:A + (B + C) = (A + B) + CA ∗ (B ∗ C) = (A ∗ B) ∗ C. ..... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 71 / 140
Binārā loģika. Būla algebras pamatlikumi IIBūla algebra.Distributīvais likums.. .Distributīvais likums konj<strong>un</strong>kcijai vēsta, ka mainīgo var iznest pirmsiekavām:A ∗ (B + C) = A ∗ B + A ∗ CDistributīvais likums Būla algebrā disj<strong>un</strong>kcijai ir sekojošs:(A + B) ∗ (A + C) = A + BC. ...De Morgāna likums.. .Ar inversijas palīdzību jebkuru konj<strong>un</strong>kciju var izteikt par dispersiju, <strong>un</strong>jebkuru dispersiju - par konj<strong>un</strong>kciju. To dara sekojoši:(A + B) = A ∗ B(A ∗ B) = A + B. ..... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 72 / 140
Binārā loģika. Būla algebras pamatlikumi IIIBūla algebra.Absorbcijas likums.. .Pieskaitot pie mainīgā šī paša mainīgā reizinājumu ar citu mainīgo iegūstammainīgā vērtību (absorbējam otru mainīgo):A + A ∗ B = A. ...Ekspansijas (saplūdes) likums.. .Mainīgā reizinājuma ar otru mainīgo <strong>un</strong> tā inversiju summa vienāda armainīgā vērtību:(A ∗ B) + (A ∗ B) = A(A + B) ∗ (A + B) = A. ..... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 73 / 140
Binārā loģika. Pārslēgšanās f<strong>un</strong>kciju pieraksts..Pārslēgšanās f-jasDisj<strong>un</strong>ktīvā PF (pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcijas) forma pamatojas uzelementārām konjukcijām.Konj<strong>un</strong>kciju no jebkura skaita loģiskiem mainīgiem x 1 , x 2 , ... , x n saucpar elementāru, ja viņā kā reizinātājs ietilpst katrs mainīgais vai tāinversija tikai vienu reizi.Piemēram, konj<strong>un</strong>kcija: (A ∗ B) ir elementāra, bet (A ∗ B) - nav.viena mainīgā simbols elementārā konjukcijā var atkārtoties tikai vienureizi, jo A ∗ A = A, <strong>un</strong> A ∗ A = 0Mainīgo skaits, kas ietilpst konj<strong>un</strong>kcijā, nosaka tās ranguApvienojot elementārās konj<strong>un</strong>kcijas ar disj<strong>un</strong>kciju (jeb reizinājumusumma), tiek iegūta disj<strong>un</strong>ktīvā forma.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 74 / 140
Binārā loģika. Pārslēgšanās f<strong>un</strong>kciju pieraksts..Pārslēgšanās f-jasDisj<strong>un</strong>ktīvā PF (pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcijas) forma pamatojas uzelementārām konjukcijām.Konj<strong>un</strong>kciju no jebkura skaita loģiskiem mainīgiem x 1 , x 2 , ... , x n saucpar elementāru, ja viņā kā reizinātājs ietilpst katrs mainīgais vai tāinversija tikai vienu reizi.Piemēram, konj<strong>un</strong>kcija: (A ∗ B) ir elementāra, bet (A ∗ B) - nav.viena mainīgā simbols elementārā konjukcijā var atkārtoties tikai vienureizi, jo A ∗ A = A, <strong>un</strong> A ∗ A = 0Mainīgo skaits, kas ietilpst konj<strong>un</strong>kcijā, nosaka tās ranguApvienojot elementārās konj<strong>un</strong>kcijas ar disj<strong>un</strong>kciju (jeb reizinājumusumma), tiek iegūta disj<strong>un</strong>ktīvā forma.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 74 / 140
Binārā loģika. Pārslēgšanās f<strong>un</strong>kciju pieraksts..Pārslēgšanās f-jasDisj<strong>un</strong>ktīvā PF (pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcijas) forma pamatojas uzelementārām konjukcijām.Konj<strong>un</strong>kciju no jebkura skaita loģiskiem mainīgiem x 1 , x 2 , ... , x n saucpar elementāru, ja viņā kā reizinātājs ietilpst katrs mainīgais vai tāinversija tikai vienu reizi.Piemēram, konj<strong>un</strong>kcija: (A ∗ B) ir elementāra, bet (A ∗ B) - nav.viena mainīgā simbols elementārā konjukcijā var atkārtoties tikai vienureizi, jo A ∗ A = A, <strong>un</strong> A ∗ A = 0Mainīgo skaits, kas ietilpst konj<strong>un</strong>kcijā, nosaka tās ranguApvienojot elementārās konj<strong>un</strong>kcijas ar disj<strong>un</strong>kciju (jeb reizinājumusumma), tiek iegūta disj<strong>un</strong>ktīvā forma.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 74 / 140
Binārā loģika. Pārslēgšanās f<strong>un</strong>kciju pieraksts..Pārslēgšanās f-jasDisj<strong>un</strong>ktīvā PF (pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcijas) forma pamatojas uzelementārām konjukcijām.Konj<strong>un</strong>kciju no jebkura skaita loģiskiem mainīgiem x 1 , x 2 , ... , x n saucpar elementāru, ja viņā kā reizinātājs ietilpst katrs mainīgais vai tāinversija tikai vienu reizi.Piemēram, konj<strong>un</strong>kcija: (A ∗ B) ir elementāra, bet (A ∗ B) - nav.viena mainīgā simbols elementārā konjukcijā var atkārtoties tikai vienureizi, jo A ∗ A = A, <strong>un</strong> A ∗ A = 0Mainīgo skaits, kas ietilpst konj<strong>un</strong>kcijā, nosaka tās ranguApvienojot elementārās konj<strong>un</strong>kcijas ar disj<strong>un</strong>kciju (jeb reizinājumusumma), tiek iegūta disj<strong>un</strong>ktīvā forma.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 74 / 140
Binārā loģika. Pārslēgšanās f<strong>un</strong>kciju pieraksts..Pārslēgšanās f-jasDisj<strong>un</strong>ktīvā PF (pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcijas) forma pamatojas uzelementārām konjukcijām.Konj<strong>un</strong>kciju no jebkura skaita loģiskiem mainīgiem x 1 , x 2 , ... , x n saucpar elementāru, ja viņā kā reizinātājs ietilpst katrs mainīgais vai tāinversija tikai vienu reizi.Piemēram, konj<strong>un</strong>kcija: (A ∗ B) ir elementāra, bet (A ∗ B) - nav.viena mainīgā simbols elementārā konjukcijā var atkārtoties tikai vienureizi, jo A ∗ A = A, <strong>un</strong> A ∗ A = 0Mainīgo skaits, kas ietilpst konj<strong>un</strong>kcijā, nosaka tās ranguApvienojot elementārās konj<strong>un</strong>kcijas ar disj<strong>un</strong>kciju (jeb reizinājumusumma), tiek iegūta disj<strong>un</strong>ktīvā forma.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 74 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PDNF)..Pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PDNF)... .Par pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas no n mainīgajiem PDNF sauc formu, kur visāmkonj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n.. ..PDNF pierakstu veic pamatojoties uz īstenības tabulas datiem:.Lai to izdarītu nepieciešams katru mainīgo ansambli atainot ar n-rangaelementārām konj<strong>un</strong>kcijām <strong>un</strong> iegūtās konj<strong>un</strong>kcijas apvienot ardisj<strong>un</strong>kciju.Ar disj<strong>un</strong>kciju apvieno tikai tās elementārās konj<strong>un</strong>kcijas, kas dodloģiskās f<strong>un</strong>kcijas stāvokli 1.Katrā PDNF konj<strong>un</strong>kcijā ar noliegumu tiek ņemti tie mainīgie, kamansamblī ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 75 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PDNF)..Pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PDNF)... .Par pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas no n mainīgajiem PDNF sauc formu, kur visāmkonj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n.. ..PDNF pierakstu veic pamatojoties uz īstenības tabulas datiem:.Lai to izdarītu nepieciešams katru mainīgo ansambli atainot ar n-rangaelementārām konj<strong>un</strong>kcijām <strong>un</strong> iegūtās konj<strong>un</strong>kcijas apvienot ardisj<strong>un</strong>kciju.Ar disj<strong>un</strong>kciju apvieno tikai tās elementārās konj<strong>un</strong>kcijas, kas dodloģiskās f<strong>un</strong>kcijas stāvokli 1.Katrā PDNF konj<strong>un</strong>kcijā ar noliegumu tiek ņemti tie mainīgie, kamansamblī ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 75 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PDNF)..Pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PDNF)... .Par pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas no n mainīgajiem PDNF sauc formu, kur visāmkonj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n.. ..PDNF pierakstu veic pamatojoties uz īstenības tabulas datiem:.Lai to izdarītu nepieciešams katru mainīgo ansambli atainot ar n-rangaelementārām konj<strong>un</strong>kcijām <strong>un</strong> iegūtās konj<strong>un</strong>kcijas apvienot ardisj<strong>un</strong>kciju.Ar disj<strong>un</strong>kciju apvieno tikai tās elementārās konj<strong>un</strong>kcijas, kas dodloģiskās f<strong>un</strong>kcijas stāvokli 1.Katrā PDNF konj<strong>un</strong>kcijā ar noliegumu tiek ņemti tie mainīgie, kamansamblī ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 75 / 140
. PDNF piemēri.Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasA B C X Y0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1.X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Y = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 76 / 140
. PDNF piemēri.Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasA B C X Y0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1.X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Y = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 76 / 140
. PDNF realizācija shēmāBinārā loģikaPārslēgšanās f-jas.F-jas X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) attēlojums shēmā:.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 77 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
. PDNF vienkāršošana..Binārā loģikaPārslēgšanās f-jasF<strong>un</strong>kcionālās shēmas sarežģītību novērtē ar cenu “c”, kuru aprēķina kāloģisko elementu ieeju skaita summu:c = k ∗ n + k,kur n – ieejas mainīgo skaits,k – shēmā izmantoto UN shēmu skaits.Piemērā dotās shēmas cena ir 3 ∗ 3 + 3 = 12. Izmantojot absorbcijas <strong>un</strong>ekspansijas likumus PDNF cenšas vienkāršot, lai samazinātu shēmassarežģītību <strong>un</strong> cenu.Lai vienkāršotu f-ju, to papildina ar A ∗ B ∗ CX = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Apvieno konj<strong>un</strong>kcijas, kurās viens mainīgais ir invertēts:X = A ∗ C ∗ (B + C) + B ∗ C ∗ (A + A)Izmantojot Būla algebru, izteiksmes vienkāršo:X = A ∗ C + B ∗ CIegūtās izteiksmes cena ir 2 ∗ 3 + 2 = 8. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 78 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Konj<strong>un</strong>ktīvā normālformu (KNF) <strong>un</strong> pilnīgā KNF..Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PKNF)... .Par PKNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijai no n argumentiem sauc tādu formu, kurvisām disj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n <strong>un</strong> tās apvieno ar konj<strong>un</strong>kciju.. ...PKNF tiek sastādīta izmantojot īstenības tabulas rindiņas, kurāsf<strong>un</strong>kcijai ir nulles vērtība.Katrai tādai rindai atbilst elementārā disj<strong>un</strong>kcija, kuras pēc tam apvienoar konj<strong>un</strong>kcijuElementārās disj<strong>un</strong>kcijās ar inversiju tiek ņemti mainīgie, kam ir vērtība1.Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma tiek saukta arī par 0 konstatējošuizteiksmi, jo attiecas uz grupām (rindām) kurās PF ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 79 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Konj<strong>un</strong>ktīvā normālformu (KNF) <strong>un</strong> pilnīgā KNF..Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PKNF)... .Par PKNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijai no n argumentiem sauc tādu formu, kurvisām disj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n <strong>un</strong> tās apvieno ar konj<strong>un</strong>kciju.. ...PKNF tiek sastādīta izmantojot īstenības tabulas rindiņas, kurāsf<strong>un</strong>kcijai ir nulles vērtība.Katrai tādai rindai atbilst elementārā disj<strong>un</strong>kcija, kuras pēc tam apvienoar konj<strong>un</strong>kcijuElementārās disj<strong>un</strong>kcijās ar inversiju tiek ņemti mainīgie, kam ir vērtība1.Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma tiek saukta arī par 0 konstatējošuizteiksmi, jo attiecas uz grupām (rindām) kurās PF ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 79 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Konj<strong>un</strong>ktīvā normālformu (KNF) <strong>un</strong> pilnīgā KNF..Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PKNF)... .Par PKNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijai no n argumentiem sauc tādu formu, kurvisām disj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n <strong>un</strong> tās apvieno ar konj<strong>un</strong>kciju.. ...PKNF tiek sastādīta izmantojot īstenības tabulas rindiņas, kurāsf<strong>un</strong>kcijai ir nulles vērtība.Katrai tādai rindai atbilst elementārā disj<strong>un</strong>kcija, kuras pēc tam apvienoar konj<strong>un</strong>kcijuElementārās disj<strong>un</strong>kcijās ar inversiju tiek ņemti mainīgie, kam ir vērtība1.Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma tiek saukta arī par 0 konstatējošuizteiksmi, jo attiecas uz grupām (rindām) kurās PF ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 79 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Konj<strong>un</strong>ktīvā normālformu (KNF) <strong>un</strong> pilnīgā KNF..Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma (PKNF)... .Par PKNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijai no n argumentiem sauc tādu formu, kurvisām disj<strong>un</strong>kcijām ir rangs n <strong>un</strong> tās apvieno ar konj<strong>un</strong>kciju.. ...PKNF tiek sastādīta izmantojot īstenības tabulas rindiņas, kurāsf<strong>un</strong>kcijai ir nulles vērtība.Katrai tādai rindai atbilst elementārā disj<strong>un</strong>kcija, kuras pēc tam apvienoar konj<strong>un</strong>kcijuElementārās disj<strong>un</strong>kcijās ar inversiju tiek ņemti mainīgie, kam ir vērtība1.Pilnīgā konj<strong>un</strong>ktīvā normālā forma tiek saukta arī par 0 konstatējošuizteiksmi, jo attiecas uz grupām (rindām) kurās PF ir 0 vērtība... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 79 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Pilnīgās konj<strong>un</strong>ktīvās normālās formas piemēri.A B C X Y0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1.X = (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C)Y = (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 80 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. Pilnīgās konj<strong>un</strong>ktīvās normālās formas piemēri.A B C X Y0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1.X = (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C)Y = (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C) ∗ (A + B + C). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 80 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģika. SOP, POS, mintermi, makstermi..Pārslēgšanās f-jasPilno disj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par “Reizinājumu summa”(SoP - Sum of Products) jeb mintermu.Mintermus bieži vien norāda ar mazo m <strong>un</strong> norāda no binārajāmveidojošās decimālās vērtības.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X mintermi ir m 1 , m 3 , m 5Y mintermi ir m 0 , m 2 , m 6 , m 7 .Mintermus var apzīmēt arī ar summas simbolu ∑ , piem., X = ∑ (1, 3, 5)<strong>un</strong> Y = ∑ (0, 2, 6, 7)Pilno konj<strong>un</strong>ktīvo normālo formu sauc arī par“Summu reizinājumu”(PoS - Product of sums) jeb makstermu.Makstermus apzīmē ar lielo M <strong>un</strong> pievieno atbilstošo decimālo vērtību.Piemēra f<strong>un</strong>kcijas X makstermi ir M 0 , M 2 , M 4 , M 6 , M 7Y makstermi ir M 1 , M 3 , M 4 , M 5Makstermus var apzīmēt ar reizinājuma simbolu ∏ , piem.,X = ∏ (0, 2, 4, 6, 7) <strong>un</strong> Y = ∏ (1, 3, 4, 5)Jāatceras, ka KNF <strong>un</strong> DNF ir savā starpā vienkārši konvertējamas,izmantojot DeMorgāna likumu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 81 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. F<strong>un</strong>kcionāli pilnīgas loģisko f<strong>un</strong>kciju sistēmas..Elementāro loģisko f<strong>un</strong>kciju kopums tiek saukts par pilnīgu, ja ar tāpalīdzību var formulas veidā uzrakstīt jebkuru pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju.Apskatīto loģisko f<strong>un</strong>kciju UN, NE <strong>un</strong> VAI kopums ir f<strong>un</strong>kcionāli pilnīgs.Arī tehnisko elementu kopums, kas realizē šīs trīs loģiskās operācijasbūs f<strong>un</strong>kcionāli pilnīgs.F<strong>un</strong>kcionāli pilnīgu loģisko f<strong>un</strong>kciju īpašības ir arī loģisko f<strong>un</strong>kcijukopumiem UN, NE <strong>un</strong> VAI, NE.Izmantojot f<strong>un</strong>kcijas UN <strong>un</strong> NE var realizēt iztrūkstošo f<strong>un</strong>kciju VAI arsekojošiem pārveidojumiem:A + B = A + B = A ∗ BIzmantojot f<strong>un</strong>kcijas VAI <strong>un</strong> NE var realizēt iztrūkstošo f<strong>un</strong>kciju UN arsekojošiem pārveidojumiem:A ∗ B = A ∗ B = A + B. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 82 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanās f-jas. F<strong>un</strong>kcionāli pilnīgas loģisko f<strong>un</strong>kciju sistēmas..Tādā veidā kopumam UN, VAI <strong>un</strong> NE ir red<strong>un</strong>dance (pārmērība), jof<strong>un</strong>kcionāli pilnīgi ir arī kopumi UN-NE <strong>un</strong> VAI-NE ar kuru palīdzību varrealizēt jebkuru pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju.Lai realizētu pārslēdzošo f<strong>un</strong>kciju, izmantojot loģisko f<strong>un</strong>kciju UN-NE,pārslēgšanās f<strong>un</strong>kcija jāuzraksta DNF. Tālāk jāizpilda divkārša inversija<strong>un</strong> pielietojot De Morgāna likumu iegūsim realizējamās f<strong>un</strong>kcijas formu.Uzdevums: pārveidot f-ju X = A ∗ C + B ∗ C, lai to varētu izveidot arUN-NE elementiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 83 / 140
. PF minimizācija..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai minimizētu loģisko izteiksmi var izmantot Būla algebras likumus <strong>un</strong>teorēmas, tomēr zinātnieki vienmēr ir tiekušies pēc formāliempaņēmieniem kā veikt PF minimizāciju.Viens no vecākiem paņēmieniem ir britu matemātiķa Džona Vena(J.Venn) izstrādāta diagrammu metode. 1952. gadā loģisko f<strong>un</strong>kcijuvienkāršošanas grafisko metodi piedāvāja E.Veičs (Veitch). Šo metodipilnveidoja M.Karno (M.Karnaugh). Viņa izstrādātās kartes joprojāmplaši pielieto pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijai <strong>un</strong> tāpēc mēs ar tāmiepazīsimies sīkāk.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 84 / 140
. PF minimizācija..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai minimizētu loģisko izteiksmi var izmantot Būla algebras likumus <strong>un</strong>teorēmas, tomēr zinātnieki vienmēr ir tiekušies pēc formāliempaņēmieniem kā veikt PF minimizāciju.Viens no vecākiem paņēmieniem ir britu matemātiķa Džona Vena(J.Venn) izstrādāta diagrammu metode. 1952. gadā loģisko f<strong>un</strong>kcijuvienkāršošanas grafisko metodi piedāvāja E.Veičs (Veitch). Šo metodipilnveidoja M.Karno (M.Karnaugh). Viņa izstrādātās kartes joprojāmplaši pielieto pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijai <strong>un</strong> tāpēc mēs ar tāmiepazīsimies sīkāk.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 84 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaKarno kartei ir taisnstūra vai kvadrāta forma.Taisnstūris sadalīts 2 n rūtiņās (n - pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas argumentuskaits).Katrai diagrammas rūtiņai atbilst noteikta konj<strong>un</strong>kcija, pie tamkonj<strong>un</strong>kcijas izvietotas tā, lai blakus esošās rūtiņās (gan horizontāli, ganvertikāli) tajās ietilpstošie mainīgie neatšķirtos vairāk par vienamainīgā vērtību (Greja kods).Šajā gadījumā jebkuras blakus esošās konj<strong>un</strong>kcijas gan kolonā, ganrindiņā var saplūst (absorbcijas likums) pēc attiecīgā mainīgā.Blakus esošas ir arī konj<strong>un</strong>kcijas, kas atrodas vienas rindas abās malās<strong>un</strong> vienas kolonas augšā <strong>un</strong> apakšā.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 85 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaKarno kartei ir taisnstūra vai kvadrāta forma.Taisnstūris sadalīts 2 n rūtiņās (n - pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas argumentuskaits).Katrai diagrammas rūtiņai atbilst noteikta konj<strong>un</strong>kcija, pie tamkonj<strong>un</strong>kcijas izvietotas tā, lai blakus esošās rūtiņās (gan horizontāli, ganvertikāli) tajās ietilpstošie mainīgie neatšķirtos vairāk par vienamainīgā vērtību (Greja kods).Šajā gadījumā jebkuras blakus esošās konj<strong>un</strong>kcijas gan kolonā, ganrindiņā var saplūst (absorbcijas likums) pēc attiecīgā mainīgā.Blakus esošas ir arī konj<strong>un</strong>kcijas, kas atrodas vienas rindas abās malās<strong>un</strong> vienas kolonas augšā <strong>un</strong> apakšā.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 85 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaKarno kartei ir taisnstūra vai kvadrāta forma.Taisnstūris sadalīts 2 n rūtiņās (n - pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas argumentuskaits).Katrai diagrammas rūtiņai atbilst noteikta konj<strong>un</strong>kcija, pie tamkonj<strong>un</strong>kcijas izvietotas tā, lai blakus esošās rūtiņās (gan horizontāli, ganvertikāli) tajās ietilpstošie mainīgie neatšķirtos vairāk par vienamainīgā vērtību (Greja kods).Šajā gadījumā jebkuras blakus esošās konj<strong>un</strong>kcijas gan kolonā, ganrindiņā var saplūst (absorbcijas likums) pēc attiecīgā mainīgā.Blakus esošas ir arī konj<strong>un</strong>kcijas, kas atrodas vienas rindas abās malās<strong>un</strong> vienas kolonas augšā <strong>un</strong> apakšā.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 85 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaKarno kartei ir taisnstūra vai kvadrāta forma.Taisnstūris sadalīts 2 n rūtiņās (n - pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas argumentuskaits).Katrai diagrammas rūtiņai atbilst noteikta konj<strong>un</strong>kcija, pie tamkonj<strong>un</strong>kcijas izvietotas tā, lai blakus esošās rūtiņās (gan horizontāli, ganvertikāli) tajās ietilpstošie mainīgie neatšķirtos vairāk par vienamainīgā vērtību (Greja kods).Šajā gadījumā jebkuras blakus esošās konj<strong>un</strong>kcijas gan kolonā, ganrindiņā var saplūst (absorbcijas likums) pēc attiecīgā mainīgā.Blakus esošas ir arī konj<strong>un</strong>kcijas, kas atrodas vienas rindas abās malās<strong>un</strong> vienas kolonas augšā <strong>un</strong> apakšā.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 85 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaKarno kartei ir taisnstūra vai kvadrāta forma.Taisnstūris sadalīts 2 n rūtiņās (n - pārslēgšanas f<strong>un</strong>kcijas argumentuskaits).Katrai diagrammas rūtiņai atbilst noteikta konj<strong>un</strong>kcija, pie tamkonj<strong>un</strong>kcijas izvietotas tā, lai blakus esošās rūtiņās (gan horizontāli, ganvertikāli) tajās ietilpstošie mainīgie neatšķirtos vairāk par vienamainīgā vērtību (Greja kods).Šajā gadījumā jebkuras blakus esošās konj<strong>un</strong>kcijas gan kolonā, ganrindiņā var saplūst (absorbcijas likums) pēc attiecīgā mainīgā.Blakus esošas ir arī konj<strong>un</strong>kcijas, kas atrodas vienas rindas abās malās<strong>un</strong> vienas kolonas augšā <strong>un</strong> apakšā.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 85 / 140
. Karno karšu piemēri.Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaBBAAtt.: Karno karte 2 mainīgajiemACCA ∗ B A ∗ B A ∗ B A ∗ BAtt.: Karno karte 3 mainīgajiemC ∗ DC ∗ DC ∗ DC ∗ DA ∗ B A ∗ B A ∗ B A ∗ BAtt.: Karno karte 4 mainīgajiemAB CD 00 01 11 1000011110Att.: Karno karte 4 mainīgajiem - citspieraksta veidsJāatceras, ka izvēlētie mainīgie reizinājuma pārī (A ∗ B vai A ∗ C) vai konkrētsmainīgo novietojums (horizontāli vai vertikāli) nav nozīmīgs - svarīgi ir tas,. lai tie būtu sakārtoti pēc Greja koda.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 86 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
. Karno karšu metode..Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaLai veiktu PF minimizāciju jāuzraksta f<strong>un</strong>kcijas pilnīgā disj<strong>un</strong>ktīvānormālā forma, pēc tam aizpilda Karno karti vajadzīgajam mainīgoskaitam. Karno kartes rūtiņā ieraksta 1, ja PF attiecīgajā argumentukopumā ir vienāda ar 1. Pārējās rūtiņās ieraksta nulles vai atstāj tukšas.Aizpildītā Karno kartē, pēc sekojošiem noteikumiem ar kontūru tiekapvilktas rūtiņas ar vieninieka vērtībām:kontūriem jāietver tikai rūtiņas ar vieninieka vērtību;rūtiņu skaits kontūros var būt tikai 2 i , tas ir 1, 2, 4, 8 utt.;vieninieki vienas kolonas vai rindas abos galos var ietilpt kontūrā;katram kontūram jāietver maksimālais rūtiņu skaits ar vieniniekavērtībām, bet kontūru skaitam jābūt minimālam.Pēc tam uzraksta minimizēto DNF pārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju kā vienkāršoimplikantu disj<strong>un</strong>kciju, kas apraksta iegūtos kontūrus. Vienkāršajāimplikantē, kas apraksta kontūru, iekļauj tikai tos mainīgos, kas visāskontūra rūtiņās nemaina savu vērtību (mainīgā vērtība ir tieša vaiinversa).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 87 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs ar Karno karšu metodi.F<strong>un</strong>kcijas X pilnīgā DNF:X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Vienādojums pārrakstīts Karno kartēf(A,B,C):CA.Karno karte ar apvilktiem lokiem:Af(A,B,C):C✎☞ ☞0 1 1 0✍ ✌BB 0 1 0 02 3✍✌76Minimzētā f-ja no Karno kartes: X = (A ∗ C) + B ∗ C020001311157510464. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 88 / 14000
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs ar Karno karšu metodi.F<strong>un</strong>kcijas X pilnīgā DNF:X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Vienādojums pārrakstīts Karno kartēf(A,B,C):CA.Karno karte ar apvilktiem lokiem:Af(A,B,C):C✎☞ ☞0 1 1 0✍ ✌BB 0 1 0 02 3✍✌76Minimzētā f-ja no Karno kartes: X = (A ∗ C) + B ∗ C020001311157510464. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 88 / 14000
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs ar Karno karšu metodi.F<strong>un</strong>kcijas X pilnīgā DNF:X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Vienādojums pārrakstīts Karno kartēf(A,B,C):CA.Karno karte ar apvilktiem lokiem:Af(A,B,C):C✎☞ ☞0 1 1 0✍ ✌BB 0 1 0 02 3✍✌76Minimzētā f-ja no Karno kartes: X = (A ∗ C) + B ∗ C020001311157510464. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 88 / 14000
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs ar Karno karšu metodi.F<strong>un</strong>kcijas X pilnīgā DNF:X = (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C) + (A ∗ B ∗ C)Vienādojums pārrakstīts Karno kartēf(A,B,C):CA.Karno karte ar apvilktiem lokiem:Af(A,B,C):C✎☞ ☞0 1 1 0✍ ✌BB 0 1 0 02 3✍✌76Minimzētā f-ja no Karno kartes: X = (A ∗ C) + B ∗ C020001311157510464. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 88 / 14000
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 2 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-jaf(A, B, C, D) = m 7 + m 9 + m 10 + m 11 + m 12 + m 13 + m 14 + m 15F<strong>un</strong>kcijas PDNF: f(A, B, C, D) =A ′ BCD + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + AB ′ CD + ABC ′ D ′ + ABC ′ D + ABCD ′ + ABCDKarno karte ar apvilktiem lokiem:Bf(A,B,C,D):D.AC0 0 0 00 1 5 4✎ ☞0 0 1 02✎3 7 6☞✬✩1✍1 1✌✍✌10801111 1 1✫✪915131412Minimizētā f-ja: f(A, B, C, D) = AB ′ C + AD + BCD + AB. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 89 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 2 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-jaf(A, B, C, D) = m 7 + m 9 + m 10 + m 11 + m 12 + m 13 + m 14 + m 15F<strong>un</strong>kcijas PDNF: f(A, B, C, D) =A ′ BCD + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + AB ′ CD + ABC ′ D ′ + ABC ′ D + ABCD ′ + ABCDKarno karte ar apvilktiem lokiem:Bf(A,B,C,D):D.AC0 0 0 00 1 5 4✎ ☞0 0 1 02✎3 7 6☞✬✩1✍1 1✌✍✌10801111 1 1✫✪915131412Minimizētā f-ja: f(A, B, C, D) = AB ′ C + AD + BCD + AB. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 89 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 2 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-jaf(A, B, C, D) = m 7 + m 9 + m 10 + m 11 + m 12 + m 13 + m 14 + m 15F<strong>un</strong>kcijas PDNF: f(A, B, C, D) =A ′ BCD + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + AB ′ CD + ABC ′ D ′ + ABC ′ D + ABCD ′ + ABCDKarno karte ar apvilktiem lokiem:Bf(A,B,C,D):D.AC0 0 0 00 1 5 4✎ ☞0 0 1 02✎3 7 6☞✬✩1✍1 1✌✍✌10801111 1 1✫✪915131412Minimizētā f-ja: f(A, B, C, D) = AB ′ C + AD + BCD + AB. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 89 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 2 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-jaf(A, B, C, D) = m 7 + m 9 + m 10 + m 11 + m 12 + m 13 + m 14 + m 15F<strong>un</strong>kcijas PDNF: f(A, B, C, D) =A ′ BCD + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + AB ′ CD + ABC ′ D ′ + ABC ′ D + ABCD ′ + ABCDKarno karte ar apvilktiem lokiem:Bf(A,B,C,D):D.AC0 0 0 00 1 5 4✎ ☞0 0 1 02✎3 7 6☞✬✩1✍1 1✌✍✌10801111 1 1✫✪915131412Minimizētā f-ja: f(A, B, C, D) = AB ′ C + AD + BCD + AB. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 89 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 3 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-ja:f(A, B, C, D) = m 0 + m 1 + m 2 + m 6 + m 7 + m 8 + m 9 + m 10 + m 14F-jas PDNF f(A, B, C, D) = A ′ B ′ C ′ D ′ + A ′ B ′ C ′ D + A ′ B ′ CD ′ + A ′ BCD ′ +A ′ BCD + AB ′ C ′ D ′ + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + A ′ B ′ C ′ DKarno karte ar apvilktiem lokiem - jāatceras, ka Karno kartes ganvertikāli, gan horizontāli ir “nepārtraukta”:Bf(A,B,C,D):D.AC1 1 0 00✫✪1 5 4✩✎✬☞1 0 1 1✍ ✌2371 0 0 110✬✩✪1115 14 ✫1 1890136012Minimizētā f-ja no Karno kartes: f(A, B, C, D) = CD ′ + B ′ C ′ + A ′ BC. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 90 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 3 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-ja:f(A, B, C, D) = m 0 + m 1 + m 2 + m 6 + m 7 + m 8 + m 9 + m 10 + m 14F-jas PDNF f(A, B, C, D) = A ′ B ′ C ′ D ′ + A ′ B ′ C ′ D + A ′ B ′ CD ′ + A ′ BCD ′ +A ′ BCD + AB ′ C ′ D ′ + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + A ′ B ′ C ′ DKarno karte ar apvilktiem lokiem - jāatceras, ka Karno kartes ganvertikāli, gan horizontāli ir “nepārtraukta”:Bf(A,B,C,D):D.AC1 1 0 00✫✪1 5 4✩✎✬☞1 0 1 1✍ ✌2371 0 0 110✬✩✪1115 14 ✫1 1890136012Minimizētā f-ja no Karno kartes: f(A, B, C, D) = CD ′ + B ′ C ′ + A ′ BC. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 90 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 3 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-ja:f(A, B, C, D) = m 0 + m 1 + m 2 + m 6 + m 7 + m 8 + m 9 + m 10 + m 14F-jas PDNF f(A, B, C, D) = A ′ B ′ C ′ D ′ + A ′ B ′ C ′ D + A ′ B ′ CD ′ + A ′ BCD ′ +A ′ BCD + AB ′ C ′ D ′ + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + A ′ B ′ C ′ DKarno karte ar apvilktiem lokiem - jāatceras, ka Karno kartes ganvertikāli, gan horizontāli ir “nepārtraukta”:Bf(A,B,C,D):D.AC1 1 0 00✫✪1 5 4✩✎✬☞1 0 1 1✍ ✌2371 0 0 110✬✩✪1115 14 ✫1 1890136012Minimizētā f-ja no Karno kartes: f(A, B, C, D) = CD ′ + B ′ C ′ + A ′ BC. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 90 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs 3 ar Karno karšu metodi.Ar mintermiem uzdota f-ja:f(A, B, C, D) = m 0 + m 1 + m 2 + m 6 + m 7 + m 8 + m 9 + m 10 + m 14F-jas PDNF f(A, B, C, D) = A ′ B ′ C ′ D ′ + A ′ B ′ C ′ D + A ′ B ′ CD ′ + A ′ BCD ′ +A ′ BCD + AB ′ C ′ D ′ + AB ′ C ′ D + AB ′ CD ′ + A ′ B ′ C ′ DKarno karte ar apvilktiem lokiem - jāatceras, ka Karno kartes ganvertikāli, gan horizontāli ir “nepārtraukta”:Bf(A,B,C,D):D.AC1 1 0 00✫✪1 5 4✩✎✬☞1 0 1 1✍ ✌2371 0 0 110✬✩✪1115 14 ✫1 1890136012Minimizētā f-ja no Karno kartes: f(A, B, C, D) = CD ′ + B ′ C ′ + A ′ BC. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 90 / 140
.Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācijaF<strong>un</strong>kcijas minimizācija pēc Karno karšu metodes,izmantojot PKNF.Lai minimizētu izteiksmi ar Karno karti izmantojot PKNF (jeb makstermus,jeb summu produktus), jārīkojas sekojoši:.Izveidojam Karno karti, bet nullītes liekam tajās disj<strong>un</strong>kcijās, kur f-jasrezultāts = O. Pārējās Karno kartes šūnās tiek ierakstīts 1. Iegūtā Karnokarte ir identiska tai, ja to veidotu no PDNF, jeb mintermiem.Karno kartē apvelk lokus, bet šoreiz tos velk ap “0”.No apvilktajiem lokiem iegūst summas, bet f-jas rezultāts ir invertēts (joesam ieguvuši “0” konstatējošo izteiksmi).invertējam izteiksmes abas puses, <strong>un</strong>, ja vēlamies iegūt izteiksmikonj<strong>un</strong>tīvā formā, tad ar deMorgāna likumiem palīdzību pārveidojamdisj<strong>un</strong>ktīvo formu par konj<strong>un</strong>ktīvo.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 91 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs no PKNF..Izteiksme uzdota ar makstermiem:F = f(A, B, C, D) = M 0 ∗ M 1 ∗ M 4 ∗ M 5 ∗ M 6 ∗ M 8 ∗ M 9 ∗ M 12 ∗ M 13 ∗ M 14Karno karte:Bf(A,B,C,D):D✓✏0 0 0 0✫ ✪AC0211311 110 11✬0 089571115013460014✩0✒✑12No lokiem iegūtā f-ja: F ′ = C ′ + BD ′ , jeb F = (C ′ + BD ′ ) ′f-jas pārveidošana konj<strong>un</strong>ktīvā formā ar deMorgāna likumiem:f(A, B, C, D) = (C ′ + BD ′ ) ′ = C ′′ (BD ′ ) ′ = C(B ′ + D ′′ ) = C(B ′ + D). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 92 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs no PKNF..Izteiksme uzdota ar makstermiem:F = f(A, B, C, D) = M 0 ∗ M 1 ∗ M 4 ∗ M 5 ∗ M 6 ∗ M 8 ∗ M 9 ∗ M 12 ∗ M 13 ∗ M 14Karno karte:Bf(A,B,C,D):D✓✏0 0 0 0✫ ✪AC0211311 110 11✬0 089571115013460014✩0✒✑12No lokiem iegūtā f-ja: F ′ = C ′ + BD ′ , jeb F = (C ′ + BD ′ ) ′f-jas pārveidošana konj<strong>un</strong>ktīvā formā ar deMorgāna likumiem:f(A, B, C, D) = (C ′ + BD ′ ) ′ = C ′′ (BD ′ ) ′ = C(B ′ + D ′′ ) = C(B ′ + D). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 92 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs no PKNF..Izteiksme uzdota ar makstermiem:F = f(A, B, C, D) = M 0 ∗ M 1 ∗ M 4 ∗ M 5 ∗ M 6 ∗ M 8 ∗ M 9 ∗ M 12 ∗ M 13 ∗ M 14Karno karte:Bf(A,B,C,D):D✓✏0 0 0 0✫ ✪AC0211311 110 11✬0 089571115013460014✩0✒✑12No lokiem iegūtā f-ja: F ′ = C ′ + BD ′ , jeb F = (C ′ + BD ′ ) ′f-jas pārveidošana konj<strong>un</strong>ktīvā formā ar deMorgāna likumiem:f(A, B, C, D) = (C ′ + BD ′ ) ′ = C ′′ (BD ′ ) ′ = C(B ′ + D ′′ ) = C(B ′ + D). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 92 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. F<strong>un</strong>kcijas minimizācijas piemērs no PKNF..Izteiksme uzdota ar makstermiem:F = f(A, B, C, D) = M 0 ∗ M 1 ∗ M 4 ∗ M 5 ∗ M 6 ∗ M 8 ∗ M 9 ∗ M 12 ∗ M 13 ∗ M 14Karno karte:Bf(A,B,C,D):D✓✏0 0 0 0✫ ✪AC0211311 110 11✬0 089571115013460014✩0✒✑12No lokiem iegūtā f-ja: F ′ = C ′ + BD ′ , jeb F = (C ′ + BD ′ ) ′f-jas pārveidošana konj<strong>un</strong>ktīvā formā ar deMorgāna likumiem:f(A, B, C, D) = (C ′ + BD ′ ) ′ = C ′′ (BD ′ ) ′ = C(B ′ + D ′′ ) = C(B ′ + D). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 92 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Neizmantoto kombināciju pielietošana Karno kartēs..Praksē digitālās sistēmās iespējamas situācijas, kurās netiek izmantotaspilnīgi visas iespējamās ievades mainīgo kombinācijas. Tādējādiīstenības tabulās pie šīm kombinācijām f<strong>un</strong>kcijas rezultātā mēs varamrakstīt gan “0”, gan “1” vērtību - jo praksē tās netiks izmantotas <strong>un</strong>shēmas darbību neietekmēs.Šādas kombinācijas tiek sauktas par DON’T-CARE COMBINATIONS <strong>un</strong> tāsmēs varam izmantot savā labā, lai minimizētu f-jasŠādos gadījumos mēs Karno kartē tos apzīmējam ar “x” <strong>un</strong> velkot lokusmēs varam brīvi izvēlēties, vai tos iekļaut vai neiekļaut lokos - ja varamizveidot lielāku loku, iekļaujot “x”, tad mēs paplašinam šo loku (joattiecīgi tiek samazināts mainīgo skaits konj<strong>un</strong>kcijā), bet ja kāda “x”iekļaušana nav lietderīga - tad to neiekļaujam lokā.Pierakstot vienādojumu mintermu vai makstermu pierakstā, šīmkombinācijām izmanto Φ simbolu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 93 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Piemēram, RS trigerim ir aizliegts stāvoklis, kur abiem ieejas mainīgiemir “1” vērtība, jeb šādas kombinācijas netiek apskatītas <strong>un</strong> izmantotas:S R Q N0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 x1 1 1 xf<strong>un</strong>kcijas N pilnīgā DNF ir:N = S ′ R ′ Q + SR ′ Q ′ + SR ′ Qf<strong>un</strong>kcijas N mintermi irN = ∑ (1, 4, 5),to var papildināt sekojoši:N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 94 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Piemēram, RS trigerim ir aizliegts stāvoklis, kur abiem ieejas mainīgiemir “1” vērtība, jeb šādas kombinācijas netiek apskatītas <strong>un</strong> izmantotas:S R Q N0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 x1 1 1 xf<strong>un</strong>kcijas N pilnīgā DNF ir:N = S ′ R ′ Q + SR ′ Q ′ + SR ′ Qf<strong>un</strong>kcijas N mintermi irN = ∑ (1, 4, 5),to var papildināt sekojoši:N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 94 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Piemēram, RS trigerim ir aizliegts stāvoklis, kur abiem ieejas mainīgiemir “1” vērtība, jeb šādas kombinācijas netiek apskatītas <strong>un</strong> izmantotas:S R Q N0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 x1 1 1 xf<strong>un</strong>kcijas N pilnīgā DNF ir:N = S ′ R ′ Q + SR ′ Q ′ + SR ′ Qf<strong>un</strong>kcijas N mintermi irN = ∑ (1, 4, 5),to var papildināt sekojoši:N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 94 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Piemēram, RS trigerim ir aizliegts stāvoklis, kur abiem ieejas mainīgiemir “1” vērtība, jeb šādas kombinācijas netiek apskatītas <strong>un</strong> izmantotas:S R Q N0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 x1 1 1 xf<strong>un</strong>kcijas N pilnīgā DNF ir:N = S ′ R ′ Q + SR ′ Q ′ + SR ′ Qf<strong>un</strong>kcijas N mintermi irN = ∑ (1, 4, 5),to var papildināt sekojoši:N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7). . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 94 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Iegūtai f-jai N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7), veidojam Karno karti:Karno karte:Sf(SRQ):Q✎ ✬☞✩0 1 1 1✍ ✌R02013054x x✫✪76Iegūtā minimizētā f<strong>un</strong>kcija:N = R ′ Q + SJa izmanto tikai mintermu f-ju bez neizmantotajām kombinācijām, tadviegli pārliecināties, ka f-ja pēc minimizācijas ir:N = R ′ Q + SR ′. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 95 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Iegūtai f-jai N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7), veidojam Karno karti:Karno karte:Sf(SRQ):Q✎ ✬☞✩0 1 1 1✍ ✌R02013054x x✫✪76Iegūtā minimizētā f<strong>un</strong>kcija:N = R ′ Q + SJa izmanto tikai mintermu f-ju bez neizmantotajām kombinācijām, tadviegli pārliecināties, ka f-ja pēc minimizācijas ir:N = R ′ Q + SR ′. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 95 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Iegūtai f-jai N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7), veidojam Karno karti:Karno karte:Sf(SRQ):Q✎ ✬☞✩0 1 1 1✍ ✌R02013054x x✫✪76Iegūtā minimizētā f<strong>un</strong>kcija:N = R ′ Q + SJa izmanto tikai mintermu f-ju bez neizmantotajām kombinācijām, tadviegli pārliecināties, ka f-ja pēc minimizācijas ir:N = R ′ Q + SR ′. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 95 / 140
Binārā loģikaPārslēgšanas f<strong>un</strong>kciju minimizācija. Don’t-care kombināciju pielietošanas piemērs..Iegūtai f-jai N = ∑ (1, 4, 5) + Φ(6, 7), veidojam Karno karti:Karno karte:Sf(SRQ):Q✎ ✬☞✩0 1 1 1✍ ✌R02013054x x✫✪76Iegūtā minimizētā f<strong>un</strong>kcija:N = R ′ Q + SJa izmanto tikai mintermu f-ju bez neizmantotajām kombinācijām, tadviegli pārliecināties, ka f-ja pēc minimizācijas ir:N = R ′ Q + SR ′. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 95 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti.Elektroniskai shēmai diskrētās informācijas apstrādāšanai var būt sieeju <strong>un</strong> k izeju.Visu ieejas signālu kombinācija veido shēmas ieejas vārdu, bet visasizeju signālu kombinācijas – izejas vārdu.Visas šādas shēmas iedalās kombinacionālajās shēmās <strong>un</strong> diskrētosautomātos.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 96 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti.Elektroniskai shēmai diskrētās informācijas apstrādāšanai var būt sieeju <strong>un</strong> k izeju.Visu ieejas signālu kombinācija veido shēmas ieejas vārdu, bet visasizeju signālu kombinācijas – izejas vārdu.Visas šādas shēmas iedalās kombinacionālajās shēmās <strong>un</strong> diskrētosautomātos.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 96 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti.Elektroniskai shēmai diskrētās informācijas apstrādāšanai var būt sieeju <strong>un</strong> k izeju.Visu ieejas signālu kombinācija veido shēmas ieejas vārdu, bet visasizeju signālu kombinācijas – izejas vārdu.Visas šādas shēmas iedalās kombinacionālajās shēmās <strong>un</strong> diskrētosautomātos.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 96 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Kombinacionālās shēmas..Kombinacionālās shēmās izejas vārdu y i (t) viennozīmīgi nosaka shēmasieejas signālu kombinācija jeb vārds x j (t), kas padots uz shēmas ieejāmdotajā laika momentā. Kombinacionālās shēmas darbs būs noteikts, jadota atbilstība starp ieejas vārdu <strong>un</strong> izejas vārdu, piemēram ar tabulasvai analītisku izteiksmi.Kombinacionālās shēmas nesatur atmiņas elementus.Piemēram, visi loģiskie elementi <strong>un</strong> visas iepriekš apskatītās loģiskāsshēmas pieder pie šīs grupas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 97 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti (DA) atšķirībā no kombinacionālajām shēmām ietvernoteiktu skaitu iekšējo stāvokļu Q r (t).Ieejas signālu iedarbībā diskrētais automāts pāriet no viena stāvokļaotrā <strong>un</strong> izdod izejas vārdu, kas ir atkarīgs noieejas vārda dotajā laika momentā<strong>un</strong> iekšējā stāvokļa iepriekšējā laika momentāIeejas vārds <strong>un</strong> DA stāvoklis nosaka arī stāvokli, kādā pāries diskrētaisautomāts nākošajā laika momentā.DA satur atmiņas elementus vai laika aiztures elementus, kas fiksēdiskrētā automāta stāvokli.Vispārējā gadījumā DA satur kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> atmiņaselementus. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 98 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētā automāta vispārīga shēma.Lai aprakstītu diskrētā automāta darbu, nepieciešams uzdot kombinacionāloshēmu loģiskās f<strong>un</strong>kcijas f1(Q,x) <strong>un</strong> f2(Q,x), kā arī DA iekšējo sākuma stāvokliQ(0). Tad diskrētā automāta darbu var aprakstīt ar sekojošiemvienādojumiem:.Q(t) = f1(Q(t − 1), x(t)), jeb DA iekšējais stāvoklis tiek uzstādītsvadoties no ieejas vārda <strong>un</strong> tā iepriekšējā stāvokļa. DA iekšājais stāvoklisparasti mainas brīdī, kad tiek saņemts sinhronizācijas (Clk) signāls.y(t) = f2(Q(t − 1), x(t)), jeb izejas vārds veidojas no DA iepriekšuzstādīta stāvokļa <strong>un</strong> ieejas vārda. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 99 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētā automāta vispārīga shēma.Lai aprakstītu diskrētā automāta darbu, nepieciešams uzdot kombinacionāloshēmu loģiskās f<strong>un</strong>kcijas f1(Q,x) <strong>un</strong> f2(Q,x), kā arī DA iekšējo sākuma stāvokliQ(0). Tad diskrētā automāta darbu var aprakstīt ar sekojošiemvienādojumiem:.Q(t) = f1(Q(t − 1), x(t)), jeb DA iekšējais stāvoklis tiek uzstādītsvadoties no ieejas vārda <strong>un</strong> tā iepriekšējā stāvokļa. DA iekšājais stāvoklisparasti mainas brīdī, kad tiek saņemts sinhronizācijas (Clk) signāls.y(t) = f2(Q(t − 1), x(t)), jeb izejas vārds veidojas no DA iepriekšuzstādīta stāvokļa <strong>un</strong> ieejas vārda. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 99 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Diskrētie automāti.Diskrētos automātus sauc arī par Secīgajām shēmām, jo, lai aprakstītu todarbību, ir jāņem vērā tā stāvoklis iepriekšējā brīdī.Diskrētos automātus var iedalīt vairākās grupās atkarībā no tā, kāformējas izejas vārds <strong>un</strong> iekšējais stāvoklisVienkāršākajā gadījumā DA sastāv tikai no atmiņas elementa:.Tādi, piemēram, ir visi trigeri. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 100 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Mili <strong>un</strong> Mūra automāti.Mūra (Moore) automāti ir tādi, kuriem izejas vārdu nosaka tikaiautomāta iepriekšējais stāvoklis. Šādos automātos ieejas vārds formētikai iekšējo automāta stāvokli.Mili (Mealy) automāti savukārt ir tādi, kuriem izejas vārdu nosaka ganautomāta iepriekšējais stāvoklis, gan ieejas vārds. Šādos automātosieejas vārds tātad formē gan automāta iekšējo stāvokli, gan izejas vārdu... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 101 / 140
Kombinacionālās shēmas <strong>un</strong> diskrētie automāti. Mili <strong>un</strong> Mūra automāti.Mūra (Moore) automāti ir tādi, kuriem izejas vārdu nosaka tikaiautomāta iepriekšējais stāvoklis. Šādos automātos ieejas vārds formētikai iekšējo automāta stāvokli.Mili (Mealy) automāti savukārt ir tādi, kuriem izejas vārdu nosaka ganautomāta iepriekšējais stāvoklis, gan ieejas vārds. Šādos automātosieejas vārds tātad formē gan automāta iekšējo stāvokli, gan izejas vārdu... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 101 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko ierīču shēmu tehnika..Atšķirībā no analogām shēmām ciparu ierīces strādā tikai divosstāvokļos. Šie stāvokļi raksturojas ar sekojošiem spriegumiem:.1 . Spriegums lielāks par kādu uzdotu lielumu U H (H - High). .2 . Spriegums mazāks par uzdoto lielumu U L . (L - Low)Pie tam spriegums U H lielāks par U L (U H > U L ). Stāvokli kad U > U Huzskata par loģiskās f<strong>un</strong>kcijas pareizo rezultātu (risinājums ir jebvieninieka stāvoklis U1), bet stāvokli U < U L par nepareizo (risinājumanav jeb nulles stāvokli U0). Spriegumu vērtības U H , U L var būt dažādas<strong>un</strong> ir atkarīgas no izmantotās shēmas.Sprieguma stāvoklis starp abiem lielumiem U H <strong>un</strong> U L ir aizliegts <strong>un</strong> toneinterpretē. Piemēram, spriegumi var būt sekojoši: U H = 2, 4V <strong>un</strong>U L = 0, 4V.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 102 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko ierīču shēmu tehnika..Atšķirībā no analogām shēmām ciparu ierīces strādā tikai divosstāvokļos. Šie stāvokļi raksturojas ar sekojošiem spriegumiem:.1 . Spriegums lielāks par kādu uzdotu lielumu U H (H - High). .2 . Spriegums mazāks par uzdoto lielumu U L . (L - Low)Pie tam spriegums U H lielāks par U L (U H > U L ). Stāvokli kad U > U Huzskata par loģiskās f<strong>un</strong>kcijas pareizo rezultātu (risinājums ir jebvieninieka stāvoklis U1), bet stāvokli U < U L par nepareizo (risinājumanav jeb nulles stāvokli U0). Spriegumu vērtības U H , U L var būt dažādas<strong>un</strong> ir atkarīgas no izmantotās shēmas.Sprieguma stāvoklis starp abiem lielumiem U H <strong>un</strong> U L ir aizliegts <strong>un</strong> toneinterpretē. Piemēram, spriegumi var būt sekojoši: U H = 2, 4V <strong>un</strong>U L = 0, 4V.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 102 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko ierīču shēmu tehnika..Atšķirībā no analogām shēmām ciparu ierīces strādā tikai divosstāvokļos. Šie stāvokļi raksturojas ar sekojošiem spriegumiem:.1 . Spriegums lielāks par kādu uzdotu lielumu U H (H - High). .2 . Spriegums mazāks par uzdoto lielumu U L . (L - Low)Pie tam spriegums U H lielāks par U L (U H > U L ). Stāvokli kad U > U Huzskata par loģiskās f<strong>un</strong>kcijas pareizo rezultātu (risinājums ir jebvieninieka stāvoklis U1), bet stāvokli U < U L par nepareizo (risinājumanav jeb nulles stāvokli U0). Spriegumu vērtības U H , U L var būt dažādas<strong>un</strong> ir atkarīgas no izmantotās shēmas.Sprieguma stāvoklis starp abiem lielumiem U H <strong>un</strong> U L ir aizliegts <strong>un</strong> toneinterpretē. Piemēram, spriegumi var būt sekojoši: U H = 2, 4V <strong>un</strong>U L = 0, 4V.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 102 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko ierīču shēmu tehnika..Atšķirībā no analogām shēmām ciparu ierīces strādā tikai divosstāvokļos. Šie stāvokļi raksturojas ar sekojošiem spriegumiem:.1 . Spriegums lielāks par kādu uzdotu lielumu U H (H - High). .2 . Spriegums mazāks par uzdoto lielumu U L . (L - Low)Pie tam spriegums U H lielāks par U L (U H > U L ). Stāvokli kad U > U Huzskata par loģiskās f<strong>un</strong>kcijas pareizo rezultātu (risinājums ir jebvieninieka stāvoklis U1), bet stāvokli U < U L par nepareizo (risinājumanav jeb nulles stāvokli U0). Spriegumu vērtības U H , U L var būt dažādas<strong>un</strong> ir atkarīgas no izmantotās shēmas.Sprieguma stāvoklis starp abiem lielumiem U H <strong>un</strong> U L ir aizliegts <strong>un</strong> toneinterpretē. Piemēram, spriegumi var būt sekojoši: U H = 2, 4V <strong>un</strong>U L = 0, 4V.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 102 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko ierīču shēmu tehnika..Atšķirībā no analogām shēmām ciparu ierīces strādā tikai divosstāvokļos. Šie stāvokļi raksturojas ar sekojošiem spriegumiem:.1 . Spriegums lielāks par kādu uzdotu lielumu U H (H - High). .2 . Spriegums mazāks par uzdoto lielumu U L . (L - Low)Pie tam spriegums U H lielāks par U L (U H > U L ). Stāvokli kad U > U Huzskata par loģiskās f<strong>un</strong>kcijas pareizo rezultātu (risinājums ir jebvieninieka stāvoklis U1), bet stāvokli U < U L par nepareizo (risinājumanav jeb nulles stāvokli U0). Spriegumu vērtības U H , U L var būt dažādas<strong>un</strong> ir atkarīgas no izmantotās shēmas.Sprieguma stāvoklis starp abiem lielumiem U H <strong>un</strong> U L ir aizliegts <strong>un</strong> toneinterpretē. Piemēram, spriegumi var būt sekojoši: U H = 2, 4V <strong>un</strong>U L = 0, 4V.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 102 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko elementu statiskie <strong>un</strong> dinamiskie parametri..Loģisko elementu (LE) shēmas raksturo statiskie <strong>un</strong> dinamiskieparametri.Statiskie raksturojumi ir ieejas raksturlīkne I ie = f(U ie ), izejasraksturlīkne I iz = f(U iz ), <strong>un</strong> pārvades raksturlīkne U iz = f(U ie ), kā arīieejas <strong>un</strong> izejas spriegumi <strong>un</strong> strāvas pie attiecīgā stāvokļa 1 vai 0(U 0 ie , U1 ie , U0 iz , U1 iz , I0 ie , I1 ie , I0 iz , I1 iz ).Lai LE normāli f<strong>un</strong>kcionētu tā tiešajai <strong>un</strong> apgrieztajai pārvadesraksturlīknei jākrustojas vismaz trijos p<strong>un</strong>ktos A,C,B. Apgrieztoraksturlīkni iegūst no tiešās vienkārši izmainot koordinātu asis.Ja krustošanās p<strong>un</strong>ktu skaits mazāks par trīs, tad saslēdzot LE virknēnetiek nodrošināti elementu binārie stāvokļi.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 103 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko elementu statiskie <strong>un</strong> dinamiskie parametri..Loģisko elementu (LE) shēmas raksturo statiskie <strong>un</strong> dinamiskieparametri.Statiskie raksturojumi ir ieejas raksturlīkne I ie = f(U ie ), izejasraksturlīkne I iz = f(U iz ), <strong>un</strong> pārvades raksturlīkne U iz = f(U ie ), kā arīieejas <strong>un</strong> izejas spriegumi <strong>un</strong> strāvas pie attiecīgā stāvokļa 1 vai 0(U 0 ie , U1 ie , U0 iz , U1 iz , I0 ie , I1 ie , I0 iz , I1 iz ).Lai LE normāli f<strong>un</strong>kcionētu tā tiešajai <strong>un</strong> apgrieztajai pārvadesraksturlīknei jākrustojas vismaz trijos p<strong>un</strong>ktos A,C,B. Apgrieztoraksturlīkni iegūst no tiešās vienkārši izmainot koordinātu asis.Ja krustošanās p<strong>un</strong>ktu skaits mazāks par trīs, tad saslēdzot LE virknēnetiek nodrošināti elementu binārie stāvokļi.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 103 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko elementu statiskie <strong>un</strong> dinamiskie parametri..Loģisko elementu (LE) shēmas raksturo statiskie <strong>un</strong> dinamiskieparametri.Statiskie raksturojumi ir ieejas raksturlīkne I ie = f(U ie ), izejasraksturlīkne I iz = f(U iz ), <strong>un</strong> pārvades raksturlīkne U iz = f(U ie ), kā arīieejas <strong>un</strong> izejas spriegumi <strong>un</strong> strāvas pie attiecīgā stāvokļa 1 vai 0(U 0 ie , U1 ie , U0 iz , U1 iz , I0 ie , I1 ie , I0 iz , I1 iz ).Lai LE normāli f<strong>un</strong>kcionētu tā tiešajai <strong>un</strong> apgrieztajai pārvadesraksturlīknei jākrustojas vismaz trijos p<strong>un</strong>ktos A,C,B. Apgrieztoraksturlīkni iegūst no tiešās vienkārši izmainot koordinātu asis.Ja krustošanās p<strong>un</strong>ktu skaits mazāks par trīs, tad saslēdzot LE virknēnetiek nodrošināti elementu binārie stāvokļi.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 103 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko elementu statiskie <strong>un</strong> dinamiskie parametri..Loģisko elementu (LE) shēmas raksturo statiskie <strong>un</strong> dinamiskieparametri.Statiskie raksturojumi ir ieejas raksturlīkne I ie = f(U ie ), izejasraksturlīkne I iz = f(U iz ), <strong>un</strong> pārvades raksturlīkne U iz = f(U ie ), kā arīieejas <strong>un</strong> izejas spriegumi <strong>un</strong> strāvas pie attiecīgā stāvokļa 1 vai 0(U 0 ie , U1 ie , U0 iz , U1 iz , I0 ie , I1 ie , I0 iz , I1 iz ).Lai LE normāli f<strong>un</strong>kcionētu tā tiešajai <strong>un</strong> apgrieztajai pārvadesraksturlīknei jākrustojas vismaz trijos p<strong>un</strong>ktos A,C,B. Apgrieztoraksturlīkni iegūst no tiešās vienkārši izmainot koordinātu asis.Ja krustošanās p<strong>un</strong>ktu skaits mazāks par trīs, tad saslēdzot LE virknēnetiek nodrošināti elementu binārie stāvokļi.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 103 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. NE elementa raksturlīkne... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 104 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE statiskie rādītāji..Bez tam loģiskās mikroshēmas raksturo patērētā jaudaP pat = 0.5(P 0 pat + P 1 pat) , kas ir vidējais lielums starp patērēto jaudu 0 <strong>un</strong> 1stāvoklī.Tā kā loģiskās shēmas izejai var tikt pieslēgtas vairākas citumikroshēmu ieejas, tad ieved ieeju apvienošanas koeficientu m <strong>un</strong> izejusazarojuma koeficientu – n.Ieeju apvienošanas koeficients raksturo loģiskā elementa pieļaujamoloģisko ieeju skaitu, izejas sazarojuma koeficients – pieļaujamoidentisko loģisko shēmu ieeju skaitu, ko var pieslēgt pie vienas izejas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 105 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE statiskie rādītāji..Bez tam loģiskās mikroshēmas raksturo patērētā jaudaP pat = 0.5(P 0 pat + P 1 pat) , kas ir vidējais lielums starp patērēto jaudu 0 <strong>un</strong> 1stāvoklī.Tā kā loģiskās shēmas izejai var tikt pieslēgtas vairākas citumikroshēmu ieejas, tad ieved ieeju apvienošanas koeficientu m <strong>un</strong> izejusazarojuma koeficientu – n.Ieeju apvienošanas koeficients raksturo loģiskā elementa pieļaujamoloģisko ieeju skaitu, izejas sazarojuma koeficients – pieļaujamoidentisko loģisko shēmu ieeju skaitu, ko var pieslēgt pie vienas izejas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 105 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE statiskie rādītāji..Bez tam loģiskās mikroshēmas raksturo patērētā jaudaP pat = 0.5(P 0 pat + P 1 pat) , kas ir vidējais lielums starp patērēto jaudu 0 <strong>un</strong> 1stāvoklī.Tā kā loģiskās shēmas izejai var tikt pieslēgtas vairākas citumikroshēmu ieejas, tad ieved ieeju apvienošanas koeficientu m <strong>un</strong> izejusazarojuma koeficientu – n.Ieeju apvienošanas koeficients raksturo loģiskā elementa pieļaujamoloģisko ieeju skaitu, izejas sazarojuma koeficients – pieļaujamoidentisko loģisko shēmu ieeju skaitu, ko var pieslēgt pie vienas izejas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 105 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE dinamiskie parametri..Dinamiskie parametri raksturo ciparu mikroshēmu ātrdarbību.Galvenie dinamiskie parametri iraiztures laiks pārejot no stāvokļa 1 stāvoklī 0 – t 1,0aiztures laiks pārejot no stāvokļa 0 stāvoklī 1 – t 0,1kā arī vidējais aiztures laiks t av = 0.5(t 0,1 + t 1,0 ).Liela nozīme ir integrētam parametram: patērētās jaudas <strong>un</strong> vidējāsaiztures laika reizinājumam A = P pat ∗ t av . Jo mazāks ir parametrs A, jolielāka ātrdarbība pie mazākas patērētās jaudas. Šī parametra nozīmesevišķi svarīga sakarā ar enerģijas taupīšanas pasākumiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 106 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE dinamiskie parametri..Dinamiskie parametri raksturo ciparu mikroshēmu ātrdarbību.Galvenie dinamiskie parametri iraiztures laiks pārejot no stāvokļa 1 stāvoklī 0 – t 1,0aiztures laiks pārejot no stāvokļa 0 stāvoklī 1 – t 0,1kā arī vidējais aiztures laiks t av = 0.5(t 0,1 + t 1,0 ).Liela nozīme ir integrētam parametram: patērētās jaudas <strong>un</strong> vidējāsaiztures laika reizinājumam A = P pat ∗ t av . Jo mazāks ir parametrs A, jolielāka ātrdarbība pie mazākas patērētās jaudas. Šī parametra nozīmesevišķi svarīga sakarā ar enerģijas taupīšanas pasākumiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 106 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE dinamiskie parametri..Dinamiskie parametri raksturo ciparu mikroshēmu ātrdarbību.Galvenie dinamiskie parametri iraiztures laiks pārejot no stāvokļa 1 stāvoklī 0 – t 1,0aiztures laiks pārejot no stāvokļa 0 stāvoklī 1 – t 0,1kā arī vidējais aiztures laiks t av = 0.5(t 0,1 + t 1,0 ).Liela nozīme ir integrētam parametram: patērētās jaudas <strong>un</strong> vidējāsaiztures laika reizinājumam A = P pat ∗ t av . Jo mazāks ir parametrs A, jolielāka ātrdarbība pie mazākas patērētās jaudas. Šī parametra nozīmesevišķi svarīga sakarā ar enerģijas taupīšanas pasākumiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 106 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE dinamiskie parametri..Dinamiskie parametri raksturo ciparu mikroshēmu ātrdarbību.Galvenie dinamiskie parametri iraiztures laiks pārejot no stāvokļa 1 stāvoklī 0 – t 1,0aiztures laiks pārejot no stāvokļa 0 stāvoklī 1 – t 0,1kā arī vidējais aiztures laiks t av = 0.5(t 0,1 + t 1,0 ).Liela nozīme ir integrētam parametram: patērētās jaudas <strong>un</strong> vidējāsaiztures laika reizinājumam A = P pat ∗ t av . Jo mazāks ir parametrs A, jolielāka ātrdarbība pie mazākas patērētās jaudas. Šī parametra nozīmesevišķi svarīga sakarā ar enerģijas taupīšanas pasākumiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 106 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE dinamiskie parametri..Dinamiskie parametri raksturo ciparu mikroshēmu ātrdarbību.Galvenie dinamiskie parametri iraiztures laiks pārejot no stāvokļa 1 stāvoklī 0 – t 1,0aiztures laiks pārejot no stāvokļa 0 stāvoklī 1 – t 0,1kā arī vidējais aiztures laiks t av = 0.5(t 0,1 + t 1,0 ).Liela nozīme ir integrētam parametram: patērētās jaudas <strong>un</strong> vidējāsaiztures laika reizinājumam A = P pat ∗ t av . Jo mazāks ir parametrs A, jolielāka ātrdarbība pie mazākas patērētās jaudas. Šī parametra nozīmesevišķi svarīga sakarā ar enerģijas taupīšanas pasākumiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 106 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE dinamiskie parametri..Dinamiskie parametri raksturo ciparu mikroshēmu ātrdarbību.Galvenie dinamiskie parametri iraiztures laiks pārejot no stāvokļa 1 stāvoklī 0 – t 1,0aiztures laiks pārejot no stāvokļa 0 stāvoklī 1 – t 0,1kā arī vidējais aiztures laiks t av = 0.5(t 0,1 + t 1,0 ).Liela nozīme ir integrētam parametram: patērētās jaudas <strong>un</strong> vidējāsaiztures laika reizinājumam A = P pat ∗ t av . Jo mazāks ir parametrs A, jolielāka ātrdarbība pie mazākas patērētās jaudas. Šī parametra nozīmesevišķi svarīga sakarā ar enerģijas taupīšanas pasākumiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 106 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. LE Dinamiskie rādītāji - NE raksturlīkne... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 107 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. Loģisko ierīču shēmu tehnika..Pašlaik visbiežāk loģisko elementu mikroshēmas veido izmantojotbipolāro tranzistoru <strong>un</strong> lauktranzistoru loģiskās shēmas. Uz bipolārotranzistoru bāzes veidotajās mikroshēmās visplašāk pielieto:tranzistoru- tranzistoru loģiskās (TTL) shēmasemiteru saites loģiskās (ESL) shēmas.Uz lauktranzistoru bāzes veidotajās mikroshēmās visbiežāk pielietokomplementārās metāls – oksīds – pusvadītājs (KMOP (CMOS -Complementary metal–oxide–semiconductor)) shēmas.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 108 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. DTL - diožu tranzistoru loģiskā shēma.Diožu – tranzistoru loģiskās (DTL) shēmas bāzes elements UN-NE:UN-NE elementu veido diodes VD1, VD2 <strong>un</strong> rezistors R1.Tranzistors VT1 <strong>un</strong> rezistori R2 <strong>un</strong> R3 izpilda invertora f<strong>un</strong>kciju.Diodes VD3 <strong>un</strong> VD4 nodrošina tranzistora aizvēršanu pie zema līmeņa ieejas. signāla Uie1 vai Uie2.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 109 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. TTL – Tranzistoru tranzistoru loģiskās shēmas.Ja visi ieejas potenciāli ir augsta līmeņa, strāva kas plūst caur rezistoru R1 paatvērtu tiešajā virzienā pāreju bāze – kolektors tranzistoram VT1, plūst uztranzistora VT2 bāzi <strong>un</strong> izsauc tā atvēršanu... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 110 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. TTL – Tranzistoru tranzistoru loģiskās shēmas ar Z stāvokli.Bieži vien shēmās elementi ir pievienoti pie datu maģistrāles <strong>un</strong> pie vienasmaģistrāles ir pieslēgti daudzi elementi, bet datus maģistrālē jānosūta tikaivienam elementam (t.i. maģistrālā jāpadod U H vai U L spriegums), tādāgadījumā visiem pārējiem elementiem ir jābūt “atslēgtiem”, jeb jābūt “Z“stāvoklim. Konkrēto elementu aktivizē, padodot EO (Enable Output) signālu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 111 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. TTL <strong>un</strong> TTLŠ shēmas..TTL <strong>un</strong> TTLŠ shēmas tiek ražotas vairākās sērijās. Tās ir standarta TTLsērijas SN54/SN74 (133 <strong>un</strong> K155 sērijas Austrumeiropas valstīs),palielinātas <strong>un</strong> samazinātas ātrdarbības sērijas SN54H (130 sērija),SN54L/SN74L (134 <strong>un</strong> KP134 sērija) (šeit H- high –liela ātrdarbība, L – lowmaza patērētā jauda), kuras izstrādājusi firma Texas Instruments.Mikroshēmas ar Šotkija diodēm (TTLŠ) tiek ražotas sekojošās sērijās:standarta SN54S/SN74S (šeit burts nozīmē Šotkija diožu izmantojumumikroshēmā);mazas jaudas mikroshēmas ar Šotkija diodēm SN54LS/SN74LS;uzlabotas mikroshēmas ar Šotkija diodēm SN54AS;uzlabotas mazas jaudas mikroshēmas ar Šotkija diodēmSN54ALS/SN74ALS;uzlabotas mikroshēmas ar augstu ātrdarbību <strong>un</strong> mazu patērēto jaudu54F/74F (šeit burts F nozīmē FAST – Fairchild Advanced Schottky TTL), kurasizstrādājusi firma Fairchild. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 112 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. ESL – Emitera saites loģiskās shēmas.Emitera saites loģiskās (ESL) mikroshēmas sastāv no tranzistoru shēmām arapvienotiem emiteriem <strong>un</strong> tām salīdzinājumā ar citām mikroshēmām irvislielākā ātrdarbība <strong>un</strong> arī vislielākā patērētā jauda. To nodrošina tajāsizmantotie nepiesātinātie tranzistoru diferenciālie pastiprinātāji (attēlātranzistori VT1-VT3). Šajās shēmās izejā tiek izmantots emitera atkārtotājs,. kas paātrina slodzes kapacitātes ātru uzlādēšanos.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 113 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. ESL VAI <strong>un</strong> VAI-NE shēma.Attēla parādīts ESL bāzes elements, kas izpilda loģisko f<strong>un</strong>kciju VAI – izejāU iz2 <strong>un</strong> f<strong>un</strong>kciju VAI-NE izejā U iz1 ... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 114 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. <strong>Ciparu</strong> mikroshēmas uz lauktranzistoriem.Loģisko mikroshēmu patērēto jaudu var krasi samazināt izmantojotlauktranzistorus. <strong>Ciparu</strong> mikroshēmās plaši izmanto lauktranzistorus aroksīda izolāciju, kas veido struktūru metāls - oksīds – pusvadītājs (MOP). Jauz kristāla novieto abus komplementāros tranzistora veidus, tad šādustranzistorus sauc par komplementāriem MOP, jeb KMOP (angliski - CMOS).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 115 / 140
Loģisko ierīču shēmu tehnika. <strong>Ciparu</strong> loģisko mikroshēmu raksturojumi... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 116 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. Diskrētie automāti..Diskrētie automāti satur atmiņas elementus <strong>un</strong> to izejas signāla vērtībair atkarīga gan no ieejas signāliem gan arī no iekšējā stāvokļa. Biežiliteratūrā diskrētos automātus sauc par virknes loģiskām shēmām, jebsecīgām shēmām (sequential circuits, sequential logic), tā norādot uz laikasakarībām šo elementu f<strong>un</strong>kcionēšanā. Diskrēto automātu aprakstamizmanto stāvokļa tabulas iepriekš izmantoto īstenības tabulu vietā.Vienkāršākais diskrētais automāts ir trigeris, kas glabā vienu bituinformācijas. Uz trigera bāzes tiek veidoti sarežģītāki diskrētieautomāti – reģistri <strong>un</strong> skaitītāji.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 117 / 140
. Trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigeriem ir divi stabili stāvokļi, ko tie var ieņemt neierobežotu laiku,vienu no tiem sauc par loģiskā vieninieka, otru par loģiskās nullesstāvokli.Pāreja no viena stāvokļa otrā notiek lēcienveidīgi ieejas signāluiedarbībā.Trigeriem ir divas izejas Q (vieninieka) <strong>un</strong> (nulles jeb inversā).Trigeris atrodas 1 stāvoklī, ja izejā Q ir loģiskais 1, bet izejā loģiskā nulle<strong>un</strong> trigeris atrodas nulles stāvoklī pie pretējiem izeju stāvokļiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 118 / 140
. Trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigeriem ir divi stabili stāvokļi, ko tie var ieņemt neierobežotu laiku,vienu no tiem sauc par loģiskā vieninieka, otru par loģiskās nullesstāvokli.Pāreja no viena stāvokļa otrā notiek lēcienveidīgi ieejas signāluiedarbībā.Trigeriem ir divas izejas Q (vieninieka) <strong>un</strong> (nulles jeb inversā).Trigeris atrodas 1 stāvoklī, ja izejā Q ir loģiskais 1, bet izejā loģiskā nulle<strong>un</strong> trigeris atrodas nulles stāvoklī pie pretējiem izeju stāvokļiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 118 / 140
. Trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigeriem ir divi stabili stāvokļi, ko tie var ieņemt neierobežotu laiku,vienu no tiem sauc par loģiskā vieninieka, otru par loģiskās nullesstāvokli.Pāreja no viena stāvokļa otrā notiek lēcienveidīgi ieejas signāluiedarbībā.Trigeriem ir divas izejas Q (vieninieka) <strong>un</strong> (nulles jeb inversā).Trigeris atrodas 1 stāvoklī, ja izejā Q ir loģiskais 1, bet izejā loģiskā nulle<strong>un</strong> trigeris atrodas nulles stāvoklī pie pretējiem izeju stāvokļiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 118 / 140
. Trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigeriem ir divi stabili stāvokļi, ko tie var ieņemt neierobežotu laiku,vienu no tiem sauc par loģiskā vieninieka, otru par loģiskās nullesstāvokli.Pāreja no viena stāvokļa otrā notiek lēcienveidīgi ieejas signāluiedarbībā.Trigeriem ir divas izejas Q (vieninieka) <strong>un</strong> (nulles jeb inversā).Trigeris atrodas 1 stāvoklī, ja izejā Q ir loģiskais 1, bet izejā loģiskā nulle<strong>un</strong> trigeris atrodas nulles stāvoklī pie pretējiem izeju stāvokļiem.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 118 / 140
. Trigeru iedalījums..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigerus var iedalītsinhronajosasinhronajos trigeros.Asinhronajos trigeros informācijas izmaiņa var notikt jebkurā laikā, kadtiek padoti ieejas signāli.Sinhronajos trigeros ieejas signāli iedarbojas tikai noteiktos laikaintervālos, kurus nosaka takts signāla klātbūtne. Šo signāla ieeju saucpar “C” no angļu vārda “clock”.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 119 / 140
. Trigeru iedalījums..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigerus var iedalītsinhronajosasinhronajos trigeros.Asinhronajos trigeros informācijas izmaiņa var notikt jebkurā laikā, kadtiek padoti ieejas signāli.Sinhronajos trigeros ieejas signāli iedarbojas tikai noteiktos laikaintervālos, kurus nosaka takts signāla klātbūtne. Šo signāla ieeju saucpar “C” no angļu vārda “clock”.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 119 / 140
. Trigeru iedalījums..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigerus var iedalītsinhronajosasinhronajos trigeros.Asinhronajos trigeros informācijas izmaiņa var notikt jebkurā laikā, kadtiek padoti ieejas signāli.Sinhronajos trigeros ieejas signāli iedarbojas tikai noteiktos laikaintervālos, kurus nosaka takts signāla klātbūtne. Šo signāla ieeju saucpar “C” no angļu vārda “clock”.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 119 / 140
. Trigeru iedalījums..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigerus var iedalītsinhronajosasinhronajos trigeros.Asinhronajos trigeros informācijas izmaiņa var notikt jebkurā laikā, kadtiek padoti ieejas signāli.Sinhronajos trigeros ieejas signāli iedarbojas tikai noteiktos laikaintervālos, kurus nosaka takts signāla klātbūtne. Šo signāla ieeju saucpar “C” no angļu vārda “clock”.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 119 / 140
. Trigeru iedalījums..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriTrigerus var iedalītsinhronajosasinhronajos trigeros.Asinhronajos trigeros informācijas izmaiņa var notikt jebkurā laikā, kadtiek padoti ieejas signāli.Sinhronajos trigeros ieejas signāli iedarbojas tikai noteiktos laikaintervālos, kurus nosaka takts signāla klātbūtne. Šo signāla ieeju saucpar “C” no angļu vārda “clock”.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 119 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. Statiskie <strong>un</strong> dinamiskie trigeriTrigeri.Trigerus var iedalīt arī statiskajos <strong>un</strong> dinamiskajos.Statiskie trigeri ir tādi, kuri izmaiņas veic jebkurā brīdī atbilstoši ieejasvārdam (piemēram, RSC trigerim ar ieslēgtu (1) C ieeju, ieslēdzot (1) arīS ieeju, izeja uzstādās kā “1”.Dinamiskie trigeri ir tādi, kuri izejas vārdu maina tikai noteiktā brīdī –parasti pie C signāla izmaiņas. Iepriekšējā piemērā, ja RSC trigeris būtudinamiskais, tad izejā “1” uzstādīsies nevis uzreiz, bet brīdī, kad uz Cieeja tiks izslēgta (“0”) - edge-triggered. Shēmās <strong>un</strong> tabulās parastinorāda, kurā situācijā notiks izmaiņas, piemēram, ar attiecīgā virzienabultiņu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 120 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. Statiskie <strong>un</strong> dinamiskie trigeriTrigeri.Trigerus var iedalīt arī statiskajos <strong>un</strong> dinamiskajos.Statiskie trigeri ir tādi, kuri izmaiņas veic jebkurā brīdī atbilstoši ieejasvārdam (piemēram, RSC trigerim ar ieslēgtu (1) C ieeju, ieslēdzot (1) arīS ieeju, izeja uzstādās kā “1”.Dinamiskie trigeri ir tādi, kuri izejas vārdu maina tikai noteiktā brīdī –parasti pie C signāla izmaiņas. Iepriekšējā piemērā, ja RSC trigeris būtudinamiskais, tad izejā “1” uzstādīsies nevis uzreiz, bet brīdī, kad uz Cieeja tiks izslēgta (“0”) - edge-triggered. Shēmās <strong>un</strong> tabulās parastinorāda, kurā situācijā notiks izmaiņas, piemēram, ar attiecīgā virzienabultiņu.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 120 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri. Sinhrono trigeru asinhronās ieejas..Sinhronie trigeri var tikt papildināti arī ar asinhronajām ieejām. Tasnozīmē, ka trigeris nostrādā ne tikai brīdī, kad atļaujošais signāls(piemēram, C signāls statiskajam trigerim vai C maiņa no 1 uz 0dinamiskajam trigerim), bet arī nekavējoties situācijās, kad uzasinhronajām ieejām tiek padota attiecīga kombinācija.Piemēram, JK trigeris, kas ir sinhronais trigeris, parasti tiek papildinātsar RS ieejām. Ja ieejas vārds uz JK nostrādā tikai pie C signāla, tadpadodot jebkurā laika brīdī R signālu – trigeris tiek “resetots” -uzstādīts 0 stāvoklī.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 121 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri. Sinhrono trigeru asinhronās ieejas..Sinhronie trigeri var tikt papildināti arī ar asinhronajām ieejām. Tasnozīmē, ka trigeris nostrādā ne tikai brīdī, kad atļaujošais signāls(piemēram, C signāls statiskajam trigerim vai C maiņa no 1 uz 0dinamiskajam trigerim), bet arī nekavējoties situācijās, kad uzasinhronajām ieejām tiek padota attiecīga kombinācija.Piemēram, JK trigeris, kas ir sinhronais trigeris, parasti tiek papildinātsar RS ieejām. Ja ieejas vārds uz JK nostrādā tikai pie C signāla, tadpadodot jebkurā laika brīdī R signālu – trigeris tiek “resetots” -uzstādīts 0 stāvoklī.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 121 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. “Latch” <strong>un</strong> “flip-flop”Trigeri.Angļu valodā trigeru vietā parasti saka “latch” vai “flip-flop”..Latch – trigeris, kas uzreiz uzstāda izejas vārdu atkarībā no ieejas vārda<strong>un</strong> iepriekšējā stāvokļa - asinhronais trigerisFlip-flop – trigeris, kas izejas vārdu uzstāda tikai padodot C signālu. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 122 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. “Latch” <strong>un</strong> “flip-flop”Trigeri.Angļu valodā trigeru vietā parasti saka “latch” vai “flip-flop”..Latch – trigeris, kas uzreiz uzstāda izejas vārdu atkarībā no ieejas vārda<strong>un</strong> iepriekšējā stāvokļa - asinhronais trigerisFlip-flop – trigeris, kas izejas vārdu uzstāda tikai padodot C signālu. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 122 / 140
. TrigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Atkarībā no veida kādā tiek mainīta vai ierakstīta informācija trigeros izšķir:.TrigeriRS trigeri (R - atgriešanas ieeja, “reset” angļu valodā <strong>un</strong> S - iestatīšanasieeja, “set” angļu valodā);RSC trigeri – taktējami RS trigeri;D trigeri (D – datu ieeja, “data” angļu valodā);JK trigeri (J – ieslēgšanas ieeja, “jeck” angļu valodā <strong>un</strong> K – izslēgšanasieeja, “kill” angļu valodā);T trigeri (T – stāvokļa maiņa, “toggle” angļu valodā nozīmē kūleņot).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 123 / 140
. TrigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Atkarībā no veida kādā tiek mainīta vai ierakstīta informācija trigeros izšķir:.TrigeriRS trigeri (R - atgriešanas ieeja, “reset” angļu valodā <strong>un</strong> S - iestatīšanasieeja, “set” angļu valodā);RSC trigeri – taktējami RS trigeri;D trigeri (D – datu ieeja, “data” angļu valodā);JK trigeri (J – ieslēgšanas ieeja, “jeck” angļu valodā <strong>un</strong> K – izslēgšanasieeja, “kill” angļu valodā);T trigeri (T – stāvokļa maiņa, “toggle” angļu valodā nozīmē kūleņot).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 123 / 140
. TrigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Atkarībā no veida kādā tiek mainīta vai ierakstīta informācija trigeros izšķir:.TrigeriRS trigeri (R - atgriešanas ieeja, “reset” angļu valodā <strong>un</strong> S - iestatīšanasieeja, “set” angļu valodā);RSC trigeri – taktējami RS trigeri;D trigeri (D – datu ieeja, “data” angļu valodā);JK trigeri (J – ieslēgšanas ieeja, “jeck” angļu valodā <strong>un</strong> K – izslēgšanasieeja, “kill” angļu valodā);T trigeri (T – stāvokļa maiņa, “toggle” angļu valodā nozīmē kūleņot).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 123 / 140
. TrigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Atkarībā no veida kādā tiek mainīta vai ierakstīta informācija trigeros izšķir:.TrigeriRS trigeri (R - atgriešanas ieeja, “reset” angļu valodā <strong>un</strong> S - iestatīšanasieeja, “set” angļu valodā);RSC trigeri – taktējami RS trigeri;D trigeri (D – datu ieeja, “data” angļu valodā);JK trigeri (J – ieslēgšanas ieeja, “jeck” angļu valodā <strong>un</strong> K – izslēgšanasieeja, “kill” angļu valodā);T trigeri (T – stāvokļa maiņa, “toggle” angļu valodā nozīmē kūleņot).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 123 / 140
. TrigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Atkarībā no veida kādā tiek mainīta vai ierakstīta informācija trigeros izšķir:.TrigeriRS trigeri (R - atgriešanas ieeja, “reset” angļu valodā <strong>un</strong> S - iestatīšanasieeja, “set” angļu valodā);RSC trigeri – taktējami RS trigeri;D trigeri (D – datu ieeja, “data” angļu valodā);JK trigeri (J – ieslēgšanas ieeja, “jeck” angļu valodā <strong>un</strong> K – izslēgšanasieeja, “kill” angļu valodā);T trigeri (T – stāvokļa maiņa, “toggle” angļu valodā nozīmē kūleņot).. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 123 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. Asinhronie RS trigeri.Ja šāda trigera ieejā S padod loģisko signālu 1, bet ieejā R saglabā 0 signālu,tad trigera izejā Q signāls kļūst vienāds ar 1 (inversā izejā 0) neatkarīgi vaitrigeris jau bija šajā stāvoklī vai ari līdz tam bija pretējā stāvoklī. Ja pēc tam Sieejā padosim 0 signālu trigera stāvoklis nemainīsies. Padodot ieejā R loģiskosignālu 1, bet ieejā S saglabājot 0 signālu, trigeris pāries nulles stāvoklī.Trigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 124 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. RS trigera stāvokļu tabula.Trigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 125 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. RS trigera laika diagramma.TrigeriTrigera stāvoklis mainās uz pretējo padodot attiecīgā ieejā 1 signālu. Laitrigera f<strong>un</strong>kcionēšana būtu pareiza ieejas signāli vienlaicīgi nevar būt 1stāvoklī <strong>un</strong> tas nedaudz mazina šo trigeru pielietošanu, bet viņi ir daudzu. sarežģītāku trigeru bāze.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 126 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri. Asinhronie RS trigeri ar UN-NE elementiem... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 127 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri. Asinhronie RS trigeri ar UN-NE elementiem.Trigera stāvoklis mainās uz pretējo padodot attiecīgā ieejā 0 signālu.. Lai trigera f<strong>un</strong>kcionēšana būtu pareiza, ieejas signāli vienlaicīgi nevar būt 0.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 128 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri. RSC trigeris ar UN-NE elementiem.Kamēr nav padots sinhronizācijas signāls C (šajā ieejā loģiskā 0), DD3 <strong>un</strong> DD4izejās ir loģiskais vieninieks <strong>un</strong> RS trigeris no elementiem DD1 <strong>un</strong> DD2saglabā savu stāvokli. Padodot ieejā C loģisko vieninieku <strong>un</strong> attiecīgo. pārslēgšanas signālu R=1 vai S=1 notiks informācijas ieraksts trigerī.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 129 / 140
. RSC stāvokļu tabula.Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriKā redzams no stāvokļa tabulas arī šim trigerim ir aizliegts stāvoklis kad visiieejas signāli ir loģiskā vieninieka stāvoklī. Lai novērstu šo trūkumu RSC. trigeri pārveido par D trigeri ar vienu informācijas ieeju <strong>un</strong> takts ieeju.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 130 / 140
. D trigerisDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Attēlā parādīta D trigera shēma, kurā izmantots RSC trigeris DD2 ar papilduinvertoru DD1. Informācijas, kas padota uz ieeju D, ieraksts trigerī tiek veiktslaika momentā kad padodas sinhronizācijas signāls ar loģiskā vieniniekavērtību. Tā kā uz ieejām R <strong>un</strong> S padodas pretēji loģiskie signāli, tad tiekizslēgts gadījums kad ieejās būs aizliegtā kombinācija S=R=1.Trigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 131 / 140
. D trigeris.Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 132 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. Sinhronais JK trigeris.Trigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 133 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. Sinhronais JK trigeris.Tas ir trigeris, kura darbu vada ar J <strong>un</strong> K ieejām līdzīgi kā tas bija RSC trigerī,kuru vadīja ar S <strong>un</strong> R ieejām. Atšķirība ir tā, ka JK trigerī tāpat kā D trigerīieejām nav neatļautas loģisko signālu kombinācijas. Ja trigeris ir 0 stāvoklī(inversajā DD3 izejā loģiskais 1), tad padodot uz J <strong>un</strong> C ieejām loģisko 1 DD1izejā būs loģiskā 0, kas nostādīs DD3 vieninieka stāvoklī (izejā Q =1). Ja JKtrigeris būs loģiskā 1 stāvoklī (izejā Q=1), tad vienlaicīgi padodot uz ieejām K<strong>un</strong> C loģisko 1 DD2 izejā būs loģiska 0 <strong>un</strong> trigeris pāries loģiskās nulles. stāvoklī.Trigeri. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 134 / 140
. T trigeris.Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriVienlaicīgi padodot loģisko 1 uz J <strong>un</strong> K ieejām, trigera stāvoklis mainīsies uzpretējo pie katra laika signāla padošanas. Tātad pie J=K=1, mēs no JK trigera. iegūstam T trigeri. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 135 / 140
Diskrēti automāti / Secīgās shēmas. D trigeris uz JK trigera bāzes.Uz JK trigera bāzes var izveidot arī D trigeri. Šajā gadījumā shēmu veido tiešitā pat kā izmantojot RSC trigeri lai iegūtu D trigeri – pievienojot vienuinvertoru. Tātad JK trigeris ir ļoti <strong>un</strong>iversāls <strong>un</strong> to var plaši pielietot dažādutrigeru shēmu veidošanā.Trigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 136 / 140
. Divpakāpju trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriVisi iepriekš apskatītie trigeri bija statiski. Tie reaģēja uz visām ieejassignāla izmaiņām, kamēr ieejā C bija loģiskā 1 signāls.Bieži nepieciešami trigeri, kur ieeja C ir dinamiska – informācijasizmaiņas notiek tikai mainoties signālam no 0 uz 1 vai no 1 uz 0. Laiizveidotu šādu trigeri nepieciešami divi trigeri vadošais (angliski“master”) <strong>un</strong> atkarīgais (angliski “slave”).Divpakāpju trigeri var sastāvēt no diviem RSC vai JK trigeriem.Apskatīsim shēmu, kas sastāv no diviem RSC trigeriem. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 137 / 140
. Divpakāpju trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriVisi iepriekš apskatītie trigeri bija statiski. Tie reaģēja uz visām ieejassignāla izmaiņām, kamēr ieejā C bija loģiskā 1 signāls.Bieži nepieciešami trigeri, kur ieeja C ir dinamiska – informācijasizmaiņas notiek tikai mainoties signālam no 0 uz 1 vai no 1 uz 0. Laiizveidotu šādu trigeri nepieciešami divi trigeri vadošais (angliski“master”) <strong>un</strong> atkarīgais (angliski “slave”).Divpakāpju trigeri var sastāvēt no diviem RSC vai JK trigeriem.Apskatīsim shēmu, kas sastāv no diviem RSC trigeriem. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 137 / 140
. Divpakāpju trigeri..Diskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeriVisi iepriekš apskatītie trigeri bija statiski. Tie reaģēja uz visām ieejassignāla izmaiņām, kamēr ieejā C bija loģiskā 1 signāls.Bieži nepieciešami trigeri, kur ieeja C ir dinamiska – informācijasizmaiņas notiek tikai mainoties signālam no 0 uz 1 vai no 1 uz 0. Laiizveidotu šādu trigeri nepieciešami divi trigeri vadošais (angliski“master”) <strong>un</strong> atkarīgais (angliski “slave”).Divpakāpju trigeri var sastāvēt no diviem RSC vai JK trigeriem.Apskatīsim shēmu, kas sastāv no diviem RSC trigeriem. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 137 / 140
. Divpakāpju trigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmas.Vadošajā trigerī DD2 informācija, kas padota uz ieejām S <strong>un</strong> R ierakstās kad Csignāls ir loģiskais 1, Mainoties C signālam no stāvokļa 1 uz 0 informācija novadošā trigera ierakstās atkarīgajā trigerī DD3 <strong>un</strong> padodas uz izejas spailēmQs.Trigeri.. . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 138 / 140
. Divpakāpju trigeriDiskrēti automāti / Secīgās shēmasTrigeri.Kā redzams no laika diagrammām, informācijas ieraksts apskatītajādivpakāpju trigerī notiek pie C signāla pārejas no loģiskā stāvokļa 1 uzstāvokli 0... . . . . .Gints Neimanis (RTU) <strong>Ciparu</strong> <strong>elektronika</strong> <strong>un</strong> <strong>datoru</strong> arhitektūra 2010.09.01 139 / 140
Change language