KROM MAKEN WAT RECHT IS - Pythagoras

16
Krom maKen wat re
door Arnout Jaspers
In een park in Leiden staat een prieel met een sterk
geplooid dak (figuur 1). Toch is te zien dat het dak
uitsluitend door rechte houten palen gevormd
wordt. Het dak bestaat uit vier onderling verbonden,
identieke, zogeheten regeloppervlakken.
De definitie van een regeloppervlak is dat door
elk punt ten minste één rechte lijn (‘regel’) loopt
die zelf ook helemaal in dat oppervlak ligt. Dat laat
verrassend verknoopte structuren toe, zoals de Möbiusband
(figuur 2) of de zadelvorm van de parabolische
hyperboloïde (figuur 3).
Een klassiek regeloppervlak is ook de Wig van
Wallis (figuur 4). Die heeft een cirkel als grondvlak
en een rechte lijn loodrecht boven de middellijn
van de cirkel als bovenrand. De regels lopen van
een punt op de bovenrand naar een punt op de cirkel.
De gimmick van de Wig van Wallis is dat zijn
bovenaanzicht een cirkel is, het zij-aanzicht dwars
op de bovenrand een vierkant, en het zij-aanzicht
in het verlengde van de bovenrand een driehoek.
Ingenieurs, architecten en meubelontwerpers
werken graag met regeloppervlakken, juist omdat
heel simpele bouwelementen als regels kunnen
fungeren, terwijl toch een elegant gewelfd oppervlak
ontstaat. Zelfs de natuur heeft er een voorkeur
voor: de vorm van het DNA-molecuul – de dubbele
helix – bestaat uit ‘traptreden’ die met hun middelpunten
op elkaar liggen, maar telkens over een vaste
hoek ten opzichte van elkaar verdraaid zijn.
De grootste regeloppervlakken die je in de werkelijkheid
tegenkomt, zijn de gewapend betonnen
koeltorens van elektriciteitscentrales (figuur 5). Die
hebben de vorm van een eenbladige hyperboloïde
(figuur 6). Dit is zelfs een dubbel regeloppervlak.
Figuur 1 Een prieel in de Leidse Hout
Figuur 2 Möbiusband
Figuur 3 Zadelvorm van de parabolische
hyperboloïde
Figuur 4 De Wig van Wallis
Figuur 5 Een koeltoren
Figuur 6 Een eenbladige hyperboloïde
Figuur 1
Figuur 2
PYTHAGORAS
februari 2008
Figuur 3

Cht is
Figuur 4
REGELOPPERVLAKKEN Een regeloppervlak
S voldoet altijd aan een parametervergelijking
van de vorm
S(t, u) = p(t) + u . r(t).
S is een oppervlak in de driedimensionale
ruimte en dus heeft elk punt op S drie coördinaten
x S , y S en z S . P is een kromme (die mag
ook recht zijn, natuurlijk) die in S loopt, u is
een parameter (een getal dat binnen zekere
grenzen mag variëren) en r is een kromme op
een bol met straal 1 (r(t) geeft de richting aan
van de rechte lijn voor een zekere waarde t).
Bijvoorbeeld:
Figuur 5
Figuur 6
beschrijft een Möbiusband met een breedte
die wordt bepaald door de uiterste waarden
van u.
PYTHAGORAS februari 2008
17