Aantekening HAVO 4B Hoofdstuk 1 : Formules en ... - Groenewald

Aantekening HAVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud
Les 1 Oppervlakte driehoeken
Oppervlakte driehoek = ½ basis ∙ hoogte
Oppervlakte parallellogram = basis ∙ hoogte
Oppervlakte trapezium = ½ (basis + top) ∙ hoogte
Oppervlakte cirkel = π ∙ straal 2
VB1 Gegeven zijn twee driehoeken ABC.
a. Een driehoek met basis 6 en schuine 5.
b. Willekeurige driehoek met AB=5, BC = 6 en AC = 10.
Bereken de oppervlakte van beide driehoeken ABC
Opl
a. Met formule.
b. Uitleggen met er omheen bouwen.
Les 2 Tangens, sinus en cosinus
Er zijn drie formules
tan
A
overstaanderechthoekszijde
aanliggenderechthoekszijde
overstaanderechthoekszijde
sin A
schuine zijde
aanliggenderechthoekszijde
cos A
schuine zijde
O
A
O
S
A
S

VB1.
Gegeven is driehoek ABC met hoogtelijn CD.
AC = 10, CD = 6 en ∠B = 70.
a. Bereken ∠A.
b. Bereken BD
Opl
a.
CD 6
sin A
AC 10
A
37
b.
CD
tan B
BD
6
tan 70
BD
6
BD
tan 70
Les 3 : Oppervlakte van een cirkelsegment
VB2.
Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal 5.
2,
18
In deze driehoek is de gelijkzijdige driehoek ABC getekend.
Opl.
a.
a. Bereken AB.
b. Bereken de oppervlakte van ∆ ABM.
1. De hoek ∠M1 = 360 : 3 = 120 ∘ .
2. Omdat MA = MB is :
180 120
∠A = ∠B = 30
2
3. MA = MB = straal = 5
4.
AX
cos A
AM
AX
cos30
5
AX 5cos(
30)
4,
33
5. AB = 2∙AX = 8,66
b. MQ 2 = AM 2 – AQ 2 = 5 2 – 4,33 2 = 6,25 MQ = 2,5
Opp ∆ABM = ½ ∙ AB ∙ MQ = ½ ∙ 8,66 ∙ 2,5 = 10,8
C
A D B
A B
M
C
A Q
B

Les 3 : De oppervlakte van een cirkelsegment ( = taartpunt)
VB2.Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal 5.
In deze driehoek is de gelijkzijdige driehoek ABC getekend.
Bereken de oppervlakte van het gearceerde gebied.
Opl.
Opp Gearceerde = Opp Cirkelsegment – Opp ∆ABC.
1. Opp cirkelsegment
∠AMB = 360 : 3 = 120
Opp cirkelsegment =
2. Opp ∆ABM = ½ ∙ AB ∙ MQ = ½ ∙ 8,66 ∙ 2,5 = 10,8
3. Opp Gearceerde = Opp Cirkelsegment – Opp ∆ABC = 26,2 – 10,8 = 15,4
Les 4 : Driehoek tekenen met hoeken onbekend
VB1. Teken de gelijkbenige driehoek ABC met AB = 8 en AC = BC = 5
Opl.
Teken AB = 8 en gebruik de passer om C te vinden
A B

Les 5 De middelpuntshoek berekenen
VB1. De uitslag van een kegelmantel is een gedeelte van de cirkel met
middelpuntshoek = 200 ∘ . De straal van de uitslag = 10. Bereken de straal van de
grondcirkel van de kegel.
Opl.
A
3 cm
T
9 cm
S
1. De omtrek van de cirkel = 2π∙10 = 20π
2. De omtrek van de grondcirkel =
3. De straal van de grondcirkel is dan :
Les 6 De oppervlakte van de kegelmantel berekenen
Gegeven is de kegel met hoogte 8 en tophoek = 70 graden.
a. Bereken de oppervlakte van de kegelmantel.
Opl.
a. Stappenplan voor oppervlakte kegelmantel
1. Bereken mbv de tophoek de straal van de grote cirkel (R) en de straal van
de grondcirkel (r).
200
2. Omtrek grote cirkel = 2πR en Omtrek grondcirkel = 2πr
3. Opp grote cirkel = πR2 .
2
r 2 r 2
4. Opp kegelmantel =
R
R r R
2
R R

Opl
1. r en R berekenen
T
M
Tan ∠T = AM / TM dus AM = 8 tan 35 = 5,60 dus r = 5,60
Cos ∠T = AM / TA dus TA = 8 / cos 35 = 9,77 dus R = 9,77
2. Omtrek grote cirkel = 2πR en Omtrek grondcirkel = 2πr
Omtrek grote cirkel = 2π x 9,77 = 19,54π
Omtrek grondcirkel = 2π x 5,60 = 11,2π
3. Opp grote cirkel = πR 2 = π x 9,77 2 = 299,87
2r
11,
2
2R
19,
54
r 5,
60
299, 87 299,
87 171,
R 9,
77
4. Opp kegelmantel = 299,
87 299,
87 171,
88
Of 88
A

Les 7 De oppervlakte van de afgeknotte kegel(mantel)
Gegeven is de afgeknotte kegel met hoogte 10 en straal grondcirkel = 9 en
straal top = 3.
a. Bereken de oppervlakte van de niet-afgeknotte kegel.
b. Bereken de oppervlakte van de afgeknotte kegelmantel.
Stappenplan voor oppervlakte van de afgeknotte kegelmantel. Er geldt :
Opp afgeknotte kegelmantel = Opp totale kegelmantel – Opp top kegelmantel
A. De totale kegel :
1. Eerst de hoogte berekenen van de niet-afgeknotte kegel.
2. Bereken de straal R van de kegel
3. Bereken de Oppervlakte van de kegelmantel
B. De topkegel :
4. Eerst de hoogte berekenen van de niet-afgeknotte kegel. (=1*)
5. Bereken de straal R van de topkegel (= 2*)
6. Bereken de oppervlakte van topkegelmantel (=3*)
Opp afgeknotte kegelmantel = Opp totale kegelmantel – Opp top kegelmantel,

Opl.
a. Stappenplan
1. Eerst de hoogte berekenen van de niet-afgeknotte kegel.
Voor de hoogte geldt
9 : 3 = (x+10) : x. Kruiselings vermenigvuldigen geeft
9x = 3(x+10)
9x = 3x + 30
6x = 30
x= 5
Dus de hoogte is 15 cm.
2. Bereken de straal R
R 2 = 15 2 + 9 2 = 225 + 81 = 306 R = √306
3. Bereken de Oppervlakte van de kegelmantel
r 2
Oppervlakte = R
R
9
(
306
2
306)
494,
6
4. Totale oppervlakte
Totale oppervlakte = opp mantel + opp grondcirkel = 494,6 + π x 9 2 = 749,1

. Opp afgeknotte kegelmantel = Opp totale kegelmantel – Opp top kegelmantel +
bovencirkel.
De Oppervlakte van de totale kegelmantel = 494,6 (zie a stap 3)
4. Eerst de hoogte berekenen van de topkegel.
Dus de hoogte is 5 cm. (zie stap 1)
5. Bereken de straal R van de top
R 2 = 5 2 + 3 2 = 25 + 9 = 34 R = √34 (of 1/3 x √306)
6. Bereken de Oppervlakte van de topmantel
r 2
Oppervlakte top = R
R
3
(
34
2
34)
54,
96
Opp afgeknotte kegelmantel = Opp totale kegelmantel – Opp top kegelmantel
Opp afgeknotte kegelmantel = 494,6 – 54,96 = 439,6
Les 8 De oppervlakte van een bol
Oppervlakte bol = 4 ∙ π ∙ r 2
VB. Gegeven is een bol met straal 7.
a. Bereken de oppervlakte van de bol.
Van een andere bol is de oppervlakte 70 cm 2 .
Opl.
b. Bereken de straal.
a. Oppervlakte bol = 4 ∙ π ∙ 7 2 = 196π (=615,75)
b. Oppervlakte bol = 4 ∙ π ∙ r 2 = 70
r 2 = 5,57
r = 2,36

Les 9 De inhoud van ruimtefiguren
1. Inhoud bol = 4/3 ∙ π ∙ r 3
2. Inhoud prisma = Opp Grondvlak ∙ hoogte = G ∙ h
3. Inhoud cilinder = Opp Grondvlak ∙ hoogte = G ∙ h = π ∙ r 2 ∙ h
4. Inhoud piramide = 1/3 Opp Grondvlak ∙ hoogte = 1/3 ∙ G ∙ h
5. Inhoud kegel = 1/3 Opp Grondvlak ∙ hoogte = 1/3 ∙ G ∙ h = 1/3 π ∙ r 2 ∙ h
VB1
Gegeven is de kegel met hoogte 10 en straal grondcirkel = 9
Bereken de inhoud van de kegel.
Opl
Inhoud kegel = 1/3 ∙ G ∙ h = 1/3 π ∙ r 2 ∙ h = 1/3 π ∙ 9 2 ∙ 10 = 270π