G = 1/R - Stevin.info

Inhoud Stevin vwo deel 3
1 Newton en Coulomb Nadruk op de overeenkomsten tussen de twee radiale velden.
1 Het gravitatieveld
2 Gravitatie-energie
3 Het elektrisch veld volgens
Coulomb
4 Numerieke modellen
C3.2
D2.1
H1
2 Kijken in het lichaam B2.4 Alle aspecten van medische beeldvorming.
1
3 Licht van Sterren
1 E2.2
E2.3
E2.4
E2.5
4 Kwantumwereld F1
1 Lichtgolven; interferentie
2 Golven of deeltjes;
foto-elektrisch effect
3 Kwantumverschijnselen
4 Gevangen in een
nanodwangbuis; tunneleffect
Hertzsprung-Russell
Wien; planck-kromme
Stefan-Boltzmann
zonneconstante; em-spectrum; waarnemingstechnieken
4.1 en 4.2 hoorden al bij het vorige examenprogramma.
We herhalen hier alleen de hoofdzaken.
5 Los zand In dit hoofdstuk vegen we allerlei kleinigheden bij elkaar.
1 Stroomgeleiding
2 De wetten van Kirchhoff
3 Informatieoverdracht
4 Dubbel-logpapier
5 Nog losser zand
D1.3
D1.2
B1.6
A12.2
C1.2
C1.3
C2.2
© Hubert Biezeveld, Louis Mathot en Ruud Brouwer
Notaties voor afgeleide functies
Weerstandskrachten
Bewegende mens; stookwaarden
Alle rechten voorbehouden. Zonder voorafgaande, schriftelijke toestemming van de auteurs mogen op geen enkele manier
fragmenten uit dit boek worden overgenomen. Voor zover overname is toegestaan volgens de auteurswet van 1912, dient men
de vergoeding daarvoor te regelen via onze website.
www.stevin.info
stevin@stevin.info
ISBN 97890-89671318

1
Newton en Coulomb
Volgens Gauss is een grootheid
volledig bepaald als je die van alle
kanten hebt bekeken en gemeten.
Wiskundigen schrijven dat voor het
gravitatieveld en het elektrische veld
als volgt op:
Je kunt de massa M binnen een
gesloten oppervlak A berekenen door
de veldsterkte g te sommeren over dat
oppervlak.
Je kunt de lading Q binnen een
gesloten oppervlak A berekenen door
de veldsterkte E te sommeren over dat
oppervlak.
Wat heeft dat met Newton en Coulomb te maken? En hoe volgen de gravitatiewet
en de wet van Coulomb uit deze twee formules?

Je weet dat een steen met massa m op de hoogte h
de zwaarte-energie mgh bezit. Als die steen valt,
neemt de zwaarte-energie af en de kinetische
energie toe.
Gravitatie-energie
Als we de steen niet over een kleine hoogte laten
vallen, maar over een zeer grote, dan kunnen we
deze formule niet gebruiken, want g heeft bij zo’n
val geen constante waarde. Voor die gevallen
gebruiken we deze formule voor de gravitatieenergie
(zie voor de afleiding Extra):
Eg G
r
=− Mm
1.2 Gravitatie-energie 3
1.2 Gravitatie-energie
gravitatie-energie
Dat minteken ziet er op het eerste gezicht raar uit,
maar het is wel handig. Bij zwaarte-energie en
gravitatie-energie mag je het nulpunt leggen waar
je wilt. Als je bijvoorbeeld in Amsterdam een
valproef doet boven een tafel, dan kies je daar
Ez = 0. Iemand in Almere of in Maastricht zal haar
eigen tafel als nulpunt kiezen.
Met de formule Eg =−G M m
gebruikt iedereen
r
hetzelfde nulpunt, namelijk bij r = ∞. Het gaat
immers alleen om verschillen in potentiële
energie. Het minteken geeft aan dat een massa in
de buurt van de aarde gevangen zit en dat je
energie moet toevoeren om die massa aan de
aarde te laten ontsnappen.
Steeds verder schieten
Als we een kogel afschieten, krijgen we
een parabolische baan. Dan beschouwen
we het aardoppervlak als plat. Bij hoge
snelheden moet je rekening houden met
de kromming van de aarde. Newton
bewees al dat de baan dan een ellips is.
Bij precies 7,9 km/s ontstaat een
cirkelbaan en bij snelheden tussen
7,9 km/s en 11,2 km/s weer een ellips,
De ontsnappingssnelheid
Als je een ruimtecapsule naar een andere planeet
wilt sturen, moet er voldoende kinetische energie
aanwezig zijn om hem van de aarde los te maken.
Die energie wordt door de stuwraketten geleverd,
maar die zijn op betrekkelijk kleine hoogte al
uitgewerkt. We kunnen daarom stellen dat de
capsule op zeeniveau (bij r = R) al de
ontsnappingssnelheid vo moet hebben.
(Ek + Eg) zeeniveau = (Ek + Eg)oneindige ⇒
1 2 mM 1 2
mv − G = mv 0 0
2 2 ∞ + ≥ ⇒
R
v >
2GM
R
ofwel v0= 2GM
R
= 2gR
Geostationaire banen
TV-satellieten (op ongeveer zeven aardstralen van
het middelpunt van de aarde, dus r 2 = 49 keer zo
groot) ondervinden daar een aantrekkingskracht
die maar 1
49
is van de aantrekkingskracht vlakbij
de aarde. De waarde voor g is daar 9,8
49 = 0,2 m/s2 .
Als je die waarden voor r en g gebruikt in
2
mv
mg = , vind je voor de omlooptijd de
r
gewenste 24 uur. Dan lijken deze satellieten stil te
staan ten opzichte van de draaiende aarde.
maar nu staat de aarde in het andere
brandpunt. Bij 11,2 km/s gaat de ellips
‘open’ en is de baan een parabool, de kogel
verdwijnt in de ruimte. Bij nog grotere
snelheden is de baan een hyperbool.
Die 11,2 km/s geldt overigens alleen voor
een raket die kort brandt, voor een schot
dus. Als je genoeg brandstof hebt, kun je
ook met kleinere snelheden van start gaan.

4 2 Kijken in het lichaam
MRI is een afkorting voor Magnetic Resonance
Imaging. Een MRI-scanner bevat zeer sterke
magneten. Die hebben invloed op de
waterstofkernen in een lichaam, want dat zijn ook
kleine magneten.
Modellen voor MRI
Om de werking van MRI duidelijk te maken,
kijken we eerst hoe een kompasnaald reageert als
we er een staafmagneet bij in de buurt brengen.
Je weet dat gelijke polen elkaar afstoten en dat
ongelijke elkaar aantrekken. De naald zal met een
vaste frequentie slingerend tot stilstand komen en
uiteindelijk 90° gedraaid zijn.
Hoe sterker het magneetveld, hoe nerveuzer de
naald slingerend tot stilstand komt. De frequentie
van de trilling is dan hoog.
Met een tweede staafmagneet kun je de kompasnaald
weer aan het slingeren krijgen. Je moet die
staafmagneet dan precies met dezelfde frequentie
heen en weer bewegen als waarmee de kompasnaald
slingerend tot stilstand kwam (je zorgt dan
dus voor resonantie).
Als die bewegende magneet plotseling wordt
weggehaald, zal de naald weer slingerend zijn
oude stand opzoeken.
Op http://www.drcmr.dk/JavaCompass/minimal.html
staat een fraaie applet over deze proef.
2.2 De MRI-scanner
Je kunt de waterstofkernen, de protonen, ook
opvatten als draaiende tolletjes. Als een magneetveld
wordt aangezet, zijn er twee draairichtingen
mogelijk: met de draaias in de richting van het
magneetveld of de draaias tegen de klok in. We
noemen dat: ‘spin up’(↑) of ‘spin down’(↓). We
zouden dit de lage en de hoge energietoestand
kunnen noemen.
De verdeling van de protonen over beide energietoestanden
is niet gelijk, want in de natuur wordt
altijd gestreefd naar het laagste energieniveau.
Daarom zijn er meer protonen met spin up (↑) dan
met down (↓). Er is een overschot aan protonen
met spin up.
Maak je het magneetveld sterker, dan zal de
resonantiefrequentie toenemen. Maar ook het
aantal protonen in de lage energietoestand zal
toenemen. Dat overschot is namelijk evenredig
met de sterkte van het magneetveld. MRI werkt
met dit overschot aan protonen, want de overige
protonen heffen elkaars werking op. Dat is ook de
reden waarom systemen met sterkere magneten
betere plaatjes maken dan systemen met een
lagere magneetveldsterkte. Er doen eenvoudigweg
meer protonen mee aan het proces.
Het kost energie om een proton van ↑ naar ↓ om te
zetten. Dat omklappen van de spin gebeurt met
radiogolven. Die golven moeten wel de juiste
frequentie hebben (resoneren); anders lukt het
omklappen niet. Als de radiogolven zijn uitgezet,
vallen de protonen terug in de lage energietoestand
(spin up) en zenden daarbij straling uit.
Vergelijk dit met de kompasnaald in het eerste
model die zijn oude stand opzocht nadat de
bewegende magneet was weggehaald.

De MRI-scanner
Het overschot aan protonen in de lage energietoestand
bij een MRI systeem met een 1,5 T sterke
magneet lijkt niet groot: slechts 9 per miljoen.
Maar omdat er zo verschrikkelijk veel protonen in
het lichaam aanwezig zijn, is het overschot ≈ 10 20
per kg.
MRI gebruikt de waterstofkernen omdat deze
kernen in vergelijking met kernen van andere
elementen het beste reageren op het aangelegde
magneetveld. Door de radiopuls (een wisselend
magneetveld met precies de juiste frequentie)
komen de protonen in de hogere energietoestand.
Als de radiopuls voorbij is, zullen de protonen
weer terug slingeren naar hun laagste energietoestand
en daarbij radiostraling afgeven. Het
terug slingeren duurt even: de relaxatietijd. De
radiostraling die hierbij vrijkomt, wordt met
gevoelige ontvangers (spoelen) waargenomen en
omgezet in een beeld.
Een waterstofatoom kan zeer sterk gebonden zijn,
zoals in vetweefsel, maar ook zwak gebonden,
zoals in water. De sterk gebonden protonen geven
hun energie veel sneller af aan hun omgeving dan
de zwak gebonden protonen. Het tempo waarmee
ze hun energie afgeven is daarom ook anders.
In een MRI-scanner worden drie typen magneetvelden
gebruikt.
1. Het vaste sterke magneetveld
Dit veld wordt door (supergeleidende) stroomspoelen
tot stand gebracht. Het is nodig omdat er
dan meer waterstofatomen in het lichaam van de
patiënt beschikbaar zijn om aan te kunnen meten.
2.2 De MRI-scanner 5
Hoe sterker het vaste magneetveld, hoe meer
waterstofatomen in resonantie kunnen komen en
hoe duidelijker het signaal zal zijn dat de
ontvanger oppikt.
2. Een wisselend magneetveld (de radiogolven)
Dit veld wordt door middel van een wisselstroom
in een kleinere spoel tot stand gebracht. Als de
wisselstroom loopt, staat de ontvanger uit en
omgekeerd. Dit wisselende magneetveld moet de
waterstofkernen in resonantie brengen.
3. Het gradiëntveld
Als het vaste magneetveld overal hetzelfde is, dan
zullen alle protonen in het lichaam een signaal
terug sturen. Hoe kun je dan weten of het signaal
uit het hoofd komt? Met het derde magneetveld
(van de zogenaamde gradiëntspoelen) wordt de
sterkte van het vaste eerste magneetveld als
functie van de plaats gevarieerd.
Stel dat door dit derde magneetveld de sterkte van
het magneetveld in een plak van het hoofd van de
patiënt groter is dan ergens anders. De frequentie
van de radiogolven die de waterstofkernen in het
hoofd moeten laten omklappen zal dan iets hoger
zijn dan in de rest van het lichaam. Ook de
frequentie van de natrillende waterstofkernen zal
hoger zijn. Op deze wijze is uit de frequentie
waarmee de waterstofkernen natrillen, de positie
waar het signaal vandaan kwam te achterhalen.
De frequentie van de natrillende waterstofatomen
wordt, behalve door de sterkte van het magneetveld,
ook beïnvloed door het type weefsel (water
of vet) en een eventueel ingespoten contrastvloeistof.
Tijdens het MRI-onderzoek maken de magneetspoelen
harde, kloppende geluiden. Die worden
veroorzaakt door het in- en uitschakelen van de
stroom in de gradiëntspoelen. Hoewel die star in
een soort hars zijn ingebakken, zijn de krachten
groot genoeg om de spoelen te laten trillen.
Daarom krijgt de patiënt oordoppen in of een
koptelefoon met muziek op. Een MRI-onderzoek
kan soms wel een uur duren. Al die tijd mag je
niet bewegen.

4 Kwantumwereld
Iedereen weet dat je om spoken te vinden naar oude kastelen met dikke muren
moet gaan, zoals dit kasteel van Dracula in Transsylvanië.
Waarom is de kans bij jou thuis veel kleiner?

4.4 Gevangen in een nanodwangbuis; tunneleffect 7
4.4 Gevangen in een nanodwangbuis; tunneleffect
We krijgen met kwantumverschijnselen te maken
als deeltjes (elektronen bijvoorbeeld) opgesloten
zitten in kleine ruimtes.
Een nanodwangbuis
Bekijk een deeltje dat alleen maar heen en weer
kan bewegen in een dicht buisje met lengte L. Dat
staat model voor een elektron in een langgerekt
molecuul of voor een elektron in een metaaldraadje.
Klassiek kan het elektron zich overal in
de buis tussen 0 en L bevinden en alle mogelijke
snelheden en energieën bezitten. Hoe zit dat in de
kwantumfysica?
De golffunctie ψ moet aan de uiteinden nul zijn,
want anders zou ψ 2 daar niet nul zijn en zou het
deeltje buiten de buis gevonden kunnen worden;
ψ 2 bepaalt immers de kans daarop. Uit deze twee
randvoorwaarden zal volgen dat de snelheid niet
alle waarden kan aannemen en de energie dus ook
niet. Beide blijken gekwantiseerd, beide kunnen
niet alle waarden aannemen.
Stationaire toestanden vind je als je de eis stelt:
L = n·½·λb
Hierin is λb de debrogliegolflengte. Met andere
woorden: een half λb moet een geheel aantal keren
passen op de lengte van de buis L.
Omdat het deeltje niet uit het nanobuisje kan
ontsnappen, tekenen we het als een put met
oneindig hoge en oneindig dikke wanden. De
grafieken van ψ en ψ 2 voor de eerste drie gevallen
gaan er dan zo uitzien:
De energietoestanden in de dwangbuis
Een elektron in zo’n buisje heeft alleen maar
kinetische energie; de potentiële energie mag je
nul kiezen. Dat doen we ook bij een valbeweging,
mgh kies je nul op de grond. Dat komt doordat we
eigenlijk alleen maar geïnteresseerd zijn in
energieverschillen. Denk aan de elektronsprongen
in het klassieke atoommodel.
De kinetische energie kunnen we vinden via de
voorwaarde van het precies passen. Dit betekent:
L = n·(½·h/mv) en dus
nh
v =
2mL
Voor de kinetische energie − en dus ook de totale
energie − van toestand n vind je:
2 2 2
1 2 1 ⎛ nh ⎞ n h
n = 2 n = 2 ⎜ ⎟ = 2
E mv m
⎝ 2mL ⎠ 8mL
1⋅
h
Hieruit volgt: E1
= en
2
8mL
E2 = 4E1 ; E3 = 9E1 ; E4 = 16E1 enz.
2
Een deeltje in een doosje
Stationaire toestanden voor een deeltje in een
nanodoosje (een molecuul bijvoorbeeld), vind je
door te eisen dat λb in drie richtingen x, y en z
past. Dan verandert de uitdrukking voor de
energie in:
E
n
2 2 2 2
h ⎛ n n x y n ⎞
z
= ⎜ + + ⎟
2 2 2
8m
⎜ Lx Ly L ⎟
⎝ z ⎠

5
Los zand
Een vrij onbekende stofeigenschap van zand en aarde is de ‘soortelijke
geleidbaarheid’.
Waarom is behalve een fruitteler ook de technische recherche in de waarde
hiervan geïnteresseerd?

Aardwetenschappers herkennen grondsoorten aan
de korrelgrootte, de zuurgraad (pH), de water
absorptie en de elektrische geleidbaarheid.
Elektrische geleidbaarheid
De geleidbaarheid G van een bepaalde grondlaag
geeft aan hoe goed die laag elektriciteit kan
geleiden. Het is in feite niets anders dan het
omgekeerde van de elektrische weerstand R die je
al eerder hebt leren kennen.
= 1
G geleidbaarheid
R
De eenheid van G is Ω -1 of Siemens (S), maar
mho (ohm achterstevoren) mag ook. De wet van
Ohm kunnen we dus op twee manieren schrijven:
U = I·R of I = G·U wet van Ohm
Bij metaaldraden is de soortelijke weerstand ρ de
stofeigenschap die bepaalt in welke mate een stof
de stroom geleidt. Bij aardlagen spreekt men over
de soortelijke geleidbaarheid σ. De soortelijke
weerstand en de soortelijke geleidbaarheid zijn
ook elkaars omgekeerde: σ =
1
ρ
De eenheid van ρ is Ωm dus van σ is hij S/m.
Ga dat na.
Water
De geleidbaarheid is een goede
indicator voor de hoeveelheid
in water opgeloste zouten. Er is
een apparaatje te koop – de
salinometer – waarmee je de
kwaliteit van drinkwater in
mS/m of µS/cm kunt
vaststellen. Maar met twee
elektroden, een batterij en een
weerstandsmeter lukt het ook.
Regenwater geleidt bijna niet; de geleidbaarheid
is zeer laag (bijna 0 µS/cm). Grondwater bezit een
geleidbaarheid van 200 tot meer dan 1500 µS/cm.
5.1 Stroomgeleiding 9
5.1 Stroomgeleiding
Grondwater met grote geleidbaarheid wordt in de
ondiepe lagen vooral aangetroffen nabij de kust en
bij diepere grondwaterwinningen.
Enkele andere voorbeelden: gedestilleerd water
heeft een geleidbaarheid van 50 µS/cm, drinkwater
in Amsterdam komt op 500 µS/cm en
zeewater op 50000 µS/cm.
In de tuinbouw wordt de geleidbaarheid van het
water goed in de gaten gehouden. Een te hoog
zoutgehalte (te grote geleidbaarheid) heeft een
negatieve invloed op het gewas. Elke teelt stelt
zijn specifieke eisen voor de geleidbaarheid.
teelt σ (µS/cm)
tomaat 3000
... ...
aardbeien 1200−1800
Elektrische schakelingen
In de elektrotechniek wordt de geleidbaarheid
weinig gebruikt. Maar als je aan parallelschakelingen
moet rekenen, kan het handig zijn
om met de geleidbaarheid te werken.
De formule voor de vervangingsweerstand Rv bij
een parallelschakeling is:
1 1 1
= + + ...
Rv R1 R2
Met behulp van de geleidbaarheid G = R −1 ziet de
formule er voor het totale geleidingsvermogen Gv
in een parallelschakeling simpeler uit:
Gv = G1 + G2 + ... parallelschakeling

10 Opgaven
Deze opgaven zijn een selectie uit de opgaven van
alle hoofdstukken uit dit deel 3. Sommige horen
bij een paragraaf en zijn dus volgens ons redelijk
simpel; andere zijn pittiger en horen bij een
hoofdstuk.
1 In De reis naar de maan van Jules Verne blijkt
de aarde een tweede maan te hebben op
8140 km hoogte boven het aardoppervlak.
a Welke waarde heeft g op die hoogte?
►Die maan volbrengt haar omloop in 3 uur en
20 minuten.
b Toon aan dat die tijd anderhalf uur langer zou
moeten zijn.
►Aan het begin van de reis sterft de hond
‘Wachter’. Die wordt overboord gezet en vliegt
mee met de raket.
c Leg uit of dat klopt.
►Verne dacht dat de reizigers op één moment
gewichtloos zouden zijn.
d Leg uit of dat klopt.
e Bereken de plaats van het punt tussen aarde en
maan waar de zwaartekracht nul is.
2 Met welke elektrische grootheid komt de
gravitatieversnelling g overeen?
3 De afstand tussen de twee protonen in een
waterstofmolecuul is 10 −10 m. In een heliumkern
is die afstand 10 −15 m.
- Bereken in beide gevallen de waarde van Fe.
4 In een krantenartikel wordt een nieuw deeltje
gemeld met lading: 9,01·10 −19 C.
a Waarom zal dit een drukfout zijn?
►Quarks komen niet los voor. Een neutron
2
bestaat uit drie quarks: een up-quark met + e 3
en twee down-quarks.
b Wat is de lading van een down-quark?
c Bereken de kracht waarmee twee van de drie
elkaar afstoten.
5 Toon aan dat de eenheden kloppen in beide
onbepaaldheidsrelaties.
Opgaven
6 Bij sommige kernen kan een elektron de kern
in worden getrokken (elektronvangst).
a Beweegt het elektron daar sneller of langzamer
dan voorheen? Leg uit.
►Een elektron met kinetische energie 80 eV
passeert een potentiaalput met E = −20 eV.
b Bereken welke debrogliegolflengte het had en
welke het even krijgt.
7 Ultrageluid, uitgezonden door de transducer,
dringt vanuit de lucht het lichaam in.
a Waarom wordt een gel gebruikt?
b Verandert de geluidsnelheid?
c Verandert de frequentie van het geluid?
d Verandert de golflengte van het geluid?
8 Een STM is ideaal als een metaaloppervlak
moet worden afgetast.
a Kan de tip ook van koolstof gemaakt worden?
b Wat zie je op het scherm als de tip afbreekt en
het preparaat een bergje vertoont?
►Meestal wordt de opstelling opgehangen om
trillingen te voorkomen.
c Noem een andere manier om dat te bereiken.

De grafiek van de coulombkracht
De grafiek van Fe tegen r ziet er rond een geladen
holle bol zo uit:
Binnen de bol heerst géén elektrisch veld (kooi
van Faraday). De kracht op een proeflading is
daar dan ook nul. Deze grafiek is niet erg handig
als je met een proef wilt bewijzen dat de wet van
Coulomb klopt. Is de gevonden grafiek wel de
goede kromme? Een kromme lijn lijkt immers al
gauw op een andere kromme lijn. Dan kun je
beter F tegen r −2 uitzetten of logF tegen logr
want dat levert hopelijk een rechte lijn op.
- Leg uit dat de grafiek van logFe tegen logr een
rechte lijn is met een helling −2.
Een zelfbouwsensor voor σ
Schuur twee koperen plaatjes (de elektroden) en
hang ze in het filtraat van de potgrond op steeds
1,0 cm van elkaar. Sluit ze aan op 1,00 V
wisselspanning. Meet de stroomsterkte met een
ampèremeter.
Extra / Doen 11
Extra / Doen
a Leg uit dat de meter nu de de soortelijke
geleidbaarheid σ aangeeft in S/cm.
►Maak een standaardoplossing om je sensor te
ijken. Los daarvoor 1,005 g NaCl op in 1,000 L
gedestilleerd water. De σ van deze oplossing is
2,000 mS/cm. Spoel de elektroden af en hang
ze in de standaardoplossing.
b Geeft de meter 2,0 mA aan? Zo niet, bepaal de
afwijking. Houd met deze afwijking rekening
bij de rest van de proef.
c Meet met deze sensor de σ van de potgrond.
Vergeet niet om de elektroden eerst goed af te
spoelen.
Met je i-phone in de Python
Ga met je i-phone in een kermisattractie en meet
met een geschikte App de versnellingen.
Op www.stevin.info vind je bij Tips en trucs
aanwijzingen.
Een proef met de wet van Coulomb
Hang een kogeltje op aan een lange dubbele draad
met lengte ℓ. In de buurt staat een tweede kogeltje
op een isolerend voetje. Projecteer hun schaduw
op een scherm. Als je beide kogeltjes laadt, zal het
eerste kogeltje uitwijken.
Meet de afstand r op het scherm tussen hun
middelpunten en de de uitwijking d.
Als d klein is ten opzichte van ℓ, is d evenredig
met de elektrische kracht: d ~ Fe. (Zie Extra voor
het bewijs daarvan).
Zet d uit tegen r −2 . Als de wet van Coulomb klopt,
zal dat een rechte lijn door de oorsprong
opleveren.

12 Toets
1 De schwarzschildstraal
Om een zwart gat met massa M kun je een bol
met straal Rs (de schwarzschildstraal) denken
waarbinnen niets te zien is. Op de rand van die
bol is de ontsnappingssnelheid gelijk aan de
lichtsnelheid. Licht kan dus niet uit de bol
ontsnappen.
a Druk Rs uit in G, M en c.
b Welke straal zou de zon moeten hebben zodat
hij een zwart gat zou zijn? Anders gezegd:
bereken de schwarzschildstraal van de zon.
►Stel dat de zon zover gekrompen zou zijn.
c 1 Welke invloed zou dat hebben op dag en nacht?
c 2 Hoe lang zou een jaar dan duren?
2 Een atoom
We vergelijken een zeker atoom met een
nanoblokje dat één elektron bevat. Voor de
energieniveau’s geldt:
E = (n1 2 + n2 2 + n3 2 )·2 eV
a Hoeveel niveau’s zitten er tussen niveau 111 en
niveau 222?
b Is de figuur ongeveer op schaal?
c Bereken welke kleur wordt uitgezonden bij een
overgang tussen die twee niveau’s.
d Bereken de onbepaaldheid in de energie van
het foton als je weet dat het atoom 2,0·10 −8 s op
het hoogste niveau bleef.
Toets
3 Een radiopuls
‘MRI is tv kijken met een radio’, zei een
radioloog eens.
a Verklaar deze uitspraak.
►Om nog betere beelden te verkrijgen, kun je
een contrastvloeistof en/of een contrastgas
toevoegen. Verschillende soorten weefsels
zullen hierdoor een ander signaal geven. Een
voorbeeld van zo’n contrastvloeistof is 129 Xe,
waarmee opvallend duidelijke beelden kunnen
worden gemaakt van longen en bloedvaten.
b Welke eigenschap van de weefsels zal door de
contrastvloeistof worden veranderd?
A de thermische eigenschap;
B de elektrische eigenschap;
C de magnetische eigenschap?
►In vetweefsel is het energieverschil tussen
spin up en spin down bij een proton
2,6⋅10 −7 eV.
c Bereken de frequentie van de radiopuls die
nodig is om het proton in de hoogste energietoestand
te krijgen.
d Welke golflengte heeft het foton dat vrijkomt
als het proton weer naar het laagste
energieniveau terug springt?

Onze plannen
In Stevin vwo deel 3 behandelen we de nieuwe onderwerpen voor het Centraal Examen. Dit zijn:
• B2.4 Medische beeldvorming
• C3.2 Gravitatiekracht en gravitatie-energie; ontsnappingssnelheid.
• D2.1 Radiale elektrische veld. Coulomb.
• E2.2 Licht van sterren; Hertzsprung-Russell.
• E2.4 Stefan-Boltzmann; zonneconstante.
• E2.5 Totale em-spectrum; waarnemingstechnieken.
• F1 Kwantumwereld.
• Allerlei kleinigheden zoals de wetten van Kirchhoff en de regels voor elektrische geleiding.
Die kleinigheden komen ook als apart downloadbare bestanden op onze site te staan.
Op onze site www.stevin.info geven we precies aan welke hoofdstukken en paragrafen van de delen 1 en 2
nog geldig zijn.
Twee voorbeelden:
• Hoofdstuk 7 Energie en arbeid uit deel 1 is nog in zijn geheel bruikbaar. Aan een paar kleinigheden
zoals stookwaarden moet nog wat extra aandacht besteed worden.
• Hoofdstuk 4 Kromme banen uit deel 2. Een flink deel hiervan is nog bruikbaar bij C3.2 Gravitatie,
maar voortdurend heen-en-weer bladeren tussen twee boeken leidt tot chaos. Wat we nodig hebben uit
dit hoofdstuk komt dus in zijn geheel terug in deel 3.
We zorgen ervoor dat er niet voortdurend heen-en-weer gebladerd hoeft te worden tussen deel 3 en
de delen 1 en 2.
Keuzeonderwerpen SE
• E1 Stoffen en materialen. Verplicht.
• E3 Kern- en deeltjesprocessen; behoudswetten.
• F2 Relativiteitstheorie.
• G1 Biofysica. De NiNa-module is onbruikbaar.
• G2 Geofysica. Nagaan wat er van NiNa bruikbaar is.
• I Onderzoek en ontwerp. Verplicht.
We verwachten niet dat er een school is die al in vwo 4 met de keuzeonderwerpen begint. Daar nemen we
dus mooi de tijd voor. We zijn nu van plan voor alle zes de onderwerpen een aparte kleine module te maken
die los besteld kan worden.
Tot slot: u kunt ervan uitgaan dat Stevin ook op tablets en laptops bruikbaar zal zijn.
Heeft u nog vragen? Stel ze ons via stevin@stevin.info.
www.stevin.info

Stevin vwo deel 1
Inhoud NiNa Opmerkingen over tekst Opgaven die
1 Bewegen
1 Meten van tijden en afstanden
2 Grafieken en formules;
snelheid
2 Versnellen
1 Vallen in lucht en vacuüm
2 Optrekken en remmen
3 Drie wetten van Newton
1 De traagheidswet van Newton
2 De krachtwet van Newton
3 De actie/reactiewet van
Newton
4 Vectoren en hefbomen
1 Scalars en vectoren
2 Krachten in evenwicht
3 Hefbomen, katrollen en
tandwielen
kunnen vervallen
C1.1,2 Dit hele hoofdstuk hoort bij het CE. 8, 9, 10, 36, 37,
T1
C1.1,2 Weliswaar hoort x = ½gt 2 niet bij de
examenstof, maar wij zien geen andere
manier om het begrip versnelling te
introduceren. p. 48 kan worden
overgeslagen.
C1.4-6 Het hele hoofdstuk hoort bij het CE, inclusief
de leestekst over gewicht.
C1.3 4.1 en 4.2 horen bij het CE.
Hefbomen etc. uit 4.3 hoort niet meer bij de
stof.
3, 4, 11, 12, 21,
31, 33,
18, 29, 33, T3
19 t/m 30
37 t/m 48
T2, T3
5 Spiegels en lenzen − Dit hoofdstuk is bij het CE en het SE
vervallen.
6 Stroom, spanning en D1.1,3,4 Het hele hoofdstuk hoort bij het CE.
weerstand
De wetten van Kirchhoff en
1 De wet van Ohm
2 Serie en parallel
3 De huisinstallatie
1
G = en
R
in deel 3.
Gserie = ΣG
worden behandeld
7 Energie en arbeid
1 Kinetische energie en
C2.1,2 Het hele hoofdstuk hoort bij het CE.
zwaarte-energie
In deel 3 de formules voor Echem i.v.m. de
2 Energie-omzettingen en
stookwaarden uit tabel 28A.
arbeid
Ook nog aandacht besteden aan energie-
3 Energie in het verkeer /
vermogen
omzettingen bij de bewegende mens.
8 Radioactiviteit
B2.1-3 De paragrafen 8.1 en 8.2 horen bij de stof
1 Ioniserende straling
2 Toepassingen en gevaren
i.v.m. medische beeldvorming.
3 Kernenergie
Van 8.3 hoort alleen p. 227 bij het CE; maar
E = mc 2 45, 46, 52 t/m 58
niet.
ln2
De formule A = N staat in Extra.
t 1
2
De rest van 8.3 kan gebruikt worden voor het
niet-verplichte SE-domein E3.
9 Signaalverwerking
− Dit hoofdstuk is bij het CE en het SE
vervallen.
10 Algemene technieken
Het hele hoofdstuk hoort bij de stof.
model 5
1 Afronden en rekenen A In deel 3 het dubbel-log papier toevoegen.
2 Modellen maken
C1.7

Stevin vwo deel 2
Inhoud NiNa Opmerkingen over tekst Opgaven die
1 Gassen
1 Kracht en druk
2 De gaswet van Boyle
3 De algemene gaswet
− Dit hoofdstuk is voor het CE vervallen.
Sommige onderdelen kunnen op het SE
wel aan de orde komen bij het verplichte
subdomein E1: eigenschappen van stoffen
en materialen.
2 Energie en warmte − Dit hoofdstuk is vervallen voor het CE.
3 Trillen en slingeren
1 Dansen en zwaaien
2 De u(t)-grafiek van de
B1.1,2,4,5 Het hele hoofdstuk hoort bij het CE,
behalve de formule voor de slinger en de
formules voor de energie op p. 60.
harmonische trilling
4 Kromme banen
4.1 hoort niet meer bij de stof.
1 De kogelbaan
4.2 hoort er wel bij i.v.m. (kunst)manen,
2 De middelpuntzoekende kracht C3.1,2 maar deze paragraaf komt ook in deel 3.
5 Licht en zicht − Dit hoofdstuk is vervallen voor het CE.
6 Golven en golfoptica
6.1 en 6.2 horen bij de stof, maar p. 127
1 Golven; geluid
2 Interferentie van golven;
B1.3-5 kan vervallen.
muziekinstrumenten
Van 6.3 vervalt het tralie.
3 Lichtgolven
F1.1
7 Elektromagnetisme
1 Magneten en elektromagneten
2 De lorentzkracht
3 Spoelen in magneetvelden
D2.3,4 Het hele hoofdstuk hoort bij het CE.
8 Inductie
D2.5 8.1 hoort wel bij de stof, maar effectieve 2, 8,
1 Inductiespanning
waarden van U en I zijn vervallen.
2 De transformator
8.2 hoort er niet meer bij.
T1, T3
9 Versnellen en afbuigen D2.1,2 Het hele hoofdstuk hoort bij het CE,
1 Statische elektriciteit
behalve de formules voor de plaat-
2 Versnellen
condensator.
3 Afbuigen in velden
Het radiale veld en de wet van Coulomb
worden behandeld in deel 3.
10 Atomen
E2.1,3 Het hele hoofdstuk hoort (op een paar
1 Fotonen
2 Spectra
F1.2,5 kleinigheden na) bij het CE.
kunnen vervallen
5, 9, 10, 11, 14,
30 t/m 33, 38, T1
16, 21, 22, 27
33 t/m 35, 37,
38, 40, 41, 42
t/m 46
T3

Het nieuwe programma
Domein Subdomein CE
moet in
SE
mag
in SE
A Vaardigheden X X
B Golven
B1
B2
Informatieoverdracht
Medische beeldvorming
X
X
X
X
C
Beweging en
wisselwerking
C1
C2
C3
Kracht en beweging
Energie en wisselwerking
Gravitatie
X
X
X
X
X
X
D Lading en veld
D1
D2**
Elektrische systemen
Elektrische en magnetische velden
X
X
X
X
E1 Eigenschappen van stoffen en materialen X
E Straling en materie E2 Elektromagnetische straling en materie X X
E3* Kern- en deeltjesprocessen bk*
F
Quantumwereld en
relativiteit
F1
F2*
Quantumwereld
Relativiteitstheorie
X
bk*
X
G Leven en aarde
G1*
G2*
Biofysica
Geofysica
bk*
bk*
H
Natuurwetten en
modellen
X X
I
Onderzoek en
ontwerp
I1
I2
I3
Experiment
Modelstudie
Ontwerp
X
X
X
* bk = beperkte keuze: uit deze vier subdomeinen worden er twee gekozen.
Let op: E1 en I zijn verplicht voor het SE.
** Tijdelijke afwijking voor 2016 en 2017.
In het centraal examen van 2016 en 2017 zullen GEEN vragen worden gesteld over subdomein D2. Het
onderwerp mag wel getoetst worden in het SE, maar dat is niet verplicht. Meer informatie hierover is te
vinden in de handreiking van SLO.
NB Het feit dat het hier een tijdelijke afwijking betreft, houdt in dat er vanaf het centraal examen van 2018 wel
vragen gesteld kunnen worden over subdomein D2.