Modulehandleiding Dynamica 2 Schokkend materiaal

Modulehandleiding Dynamica 2
Ir. P. van den Hombergh
Schokkend materiaal
Fontys Technische Hogeschool Venlo
Werktuigbouwkunde/ Industrieel Product Ontwerp
Hulsterweg 2-6 Venlo
The Netherland
27 april 2006
3 6 7 0 4 7

ii Module Dynamica 2

Inhoudsopgave
1 Module handleiding 1
1.1 Module identificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Te behandelen stof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Indeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Toetsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Mathematisch model van het mechanisch systeem 4
2.1 De componenten van een mechanisch systeem . . . . . . . . . 4
2.2 Bewegingsvergelijking van de vrije trilling . . . . . . . . . . . 5
2.3 Systeemkentaldefinities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Gedwongen trillingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Oplossing van de D.V. voor de gedwongen trilling. . . 8
2.4.2 Stationaire oplossing van de gedwongen trilling . . . . 9
2.4.3 Overdrachtsgrafieken van de stationaire gedwongen trilling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Reduceren van massatraagheden etc. . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Voorbeeld van reduceren . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Doorleiding van trillingen: isolatie . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1 Kracht op de vloer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2 Trilling van de massa t.g.v. beweging van de vloer . . 17
2.7 Onbalans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Meetinstrumentarium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9 Zwaartekracht met een schakelaar. . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Simulatie 26
3.1 Simulatie met behulp van digitale computer . . . . . . . . . . 26
3.2 Simulatiebouwstenen in PSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Het invoeren van het model en de simulatieparameters . . . . 28
4 Nuttige formules 30
iii

Lijst van figuren
2.1 Kracht en verplaatsing in het complexe vlak . . . . . . . . . . 5
2.2 De vier gevallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Kracht en verplaatsing in het complexe vlak . . . . . . . . . . 8
2.4 Voorbeeld inschakelverschijnsel . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Nyqvist diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Logaritmisch bode diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Een massatraagheid via een overbrenging gekoppeld aan een
motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Kracht en verplaatsing in het complexe vlak . . . . . . . . . . 15
2.9 Kracht op vloer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Overdracht kracht op vloer en verplaatsing massa. . . . . . . . 18
2.11 Om de bibbers te krijgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.12 Symmetrische onbalans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.13 Overdracht bij onbalans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.14 Als het spannend wordt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.15 Versnellingsmeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.16 Overdracht van versnellingsmeter en seismograaf. . . . . . . . 24
2.17 Seismograaf. Let op de ’slappe’ ophanging. . . . . . . . . . . 24
2.18 Uitgeschakelde zwaartekracht. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Massaveersysteem en blokschema . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Systeem met twee massa’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv

Lijst van tabellen
3.1 Blokdefinities in PSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1 β > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 β < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
v

Hoofdstuk 1
Module handleiding
1.1 Module identificatie
Module-titel: Dynamica 2: Mechanische trillingen.
Code: DYN2
Opgesteld door: Ir. P. van den Hombergh met correcties van Ir. A Janssen, Ir
A. Hulsbosch en Ir L. Cleven.
Datum: 27 april 2006
Studierichting: Werktuigbouwkunde/Industrieel Product Ontwerp
Aantal ECS: 3
Aantal studiebelastingseenheden: 84
Kwartester: I1
Voorafgaande modulen: DYN1
Vervolgmodulen: Geen.
Bijbehorend practicum: 2 computersimulatieproeven tijdens practicum
algemeen.
1.2 Inleiding
Een belangrijke, speciale klasse van problemen uit de dynamica omvat de translatie
en rotatie beweging van lichamen onder invloed van verstoringen, waarbij
de lichamen aan de omgeving “verbonden” zijn via krachten die werken naar
een relatief evenwichtspunt. Door de interne massa en deze “terugtrekkende”
krachten kunnen er systemen ontstaan die versterkt reageren op de genoemde
verstoringen. Voorbeelden zijn: Het in resonatie geraken van een snaar op een
strijkinstrument (gewenst), het in eigentrilling geraken van constructies, soms
met deffect als gevolg, en het in onbalans zijn van een centrifuge, die daarbij
probeert voorbij zijn eigenfrequentie te komen. Of dit laatste slaagt is onder
andere afhankelijk van de regelmatigheid van de belading.
1

2 Module Dynamica 2
1.3 Te behandelen stof
De te bestuderen stof omvat de volgende onderwerpen:
• Massa veersystemen, vrije trillingen
• Opstellen van het wiskundig model met behulp van vrijlichaamschets
e.d.
• Beschouwing t.a.v. de differentiaalvergelijking.
• Oplossing van de dv. onder verschillende randvoorwaarden.
• gedwongen trillingen.
• Het systeem bekeken in het complexe vlak en in het frequentiedomein;
Nyqvist en bode diagram.
• Reduceren van massatraagheid.
• Verschillende afgeleide overdrachten: trillingsisolatie, dynamometer, sysmograaf
etc.
1.4 Indeling
Mechanische oscilatoren en mogelijke uitvoeringen Week 1. Hoe kan een
harmonische oscilator opgebouwd zijn. Vrijlichaamschets en opbouw
rekenmodel. Serie en parallelschakeling van elementen.
De differentiaalvergelijking van het massaveersysteem Week 2. De differentiaalvergelijking
als basis van de beschouwingen. Vrije trillingen.
Verschillende dempingssituaties. Oplossen d.v. n.a.v. randvoorwaarden.
Systemen met starre overbrengingen Week 3. Systemen met overbrengingen.
Reduceren van massatraagheden, veerwerking en demping.
Gedwongen trillingen I Week 4 Gedwongen trillingen. Inschakelverschijnsel
en stationaire trilling.
Gedwongen trillingen II Week 5. Versterking en verzwakking, opslingeren.
De frequentie karakteristiek. Bode- en Nyquistdiagram.
Meer vrijheidsgraden Week 7. Verschillende andere overbrengingen: trillingsisolatie,
trillingsopwekking door onbalans, meetinstrumenten. Met
behulp van simulatiegereedschappen zal in de twee practicummiddagen
geoefend worden met gekoppelde systemen.
Vragen Week 7, herhaling en oefening.

Module Dynamica 2 3
1.5 Toetsing
De module wordt getoetst met een schriftelijk tentamen van 120 minuten. Hierin
wordt een aantal vraagstukken gegeven, van vergelijkbaar niveau als de opgaven
gemaakt tijdens de lessen.

massa m
veerstijfheid k
dempings
Hoofdstuk 2
Mathematisch model van het
mechanisch systeem
Een korte samenvatting van de theorie voor eenvoudige massa- veer- dempersystemen.
2.1 De componenten van een mechanisch systeem
De componenten in een systeem dat een trilling van mechanische oorsprong ondergaat
zijn achtereenvolgens massa, demper en veer. De wet van Newton leert
ons dat willen wij een massa een versnelling geven, dan dienen wij deze massa
aan te duwen met een netto kracht die evenredig is met de massa m in kilogram
en de gewenste versnelling volgens F = ma. De elasticiteitswet van Hooke
leert ons dat een elastisch element (een veer) zich verzet tegen verandering van
lengte. Verbinden we een uiteinde van de veer met de vaste wereld, dan zal
het andere uiteinde slechts van plaats willen wijken, indien wij hier een kracht
aanbrengen in de richting van de gewenste verplaatsing, evenredig met de ver-
plaatsing en de veerstijfheid k van de veer. De viscositeitswetten van Stokes en
Napier leren ons dat een visceuse demper zich verzet tegen snelheidsverschillen
tussen de beide ten opzichte van elkaar bewegende delen. Als we net als bij
de veer een uiteinde van de demper met de vaste wereld verbinden, dan zal het
andere uiteinde slechts aan een bepaalde snelheid willen meedoen, als we een
kracht uitoefenen in de richting van de gewenste snelheid, evenredig met die
snelheid en de dempingsconstante ρ van de demper. Van elk van deze compo-
constante ρ nenten kan men dus zeggen dat zij zich verzetten tegen de verandering van een
der afgeleiden van de verplaatsing. De veer verzet zich tegen de verplaatsing
zelf, de nulde afgeleide, de demper tegen beweging, de eerste afgeleide van de
verplaatsing en de massa tegen de toename van de beweging. De wetten voor
elk van de componenten is te schrijven in termen van de afgeleide naar de tijd,
waarbij de relatie voor de veer de nulde afgeleide heeft. Vanwege de compacte
notatie zullen we voor de afgeleide naar de tijd de fluxie schrijven, dat wil
zeggen een puntje boven het symbool voor de eerste afgeleide en twee puntjes
voor de tweede afgeleide. De wetten luiden dan:
• Voor de veer Fv = kx
4

Module Dynamica 2 5
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
m
x
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
ρ
k
vrijlichaamschets
m.g/2
Figuur 2.1: Kracht en verplaatsing in het complexe vlak
• Voor de demper Fd = ρ ˙x
• Voor de massa F = m¨x
2.2 Bewegingsvergelijking van de vrije trilling
m
x
m.g
x
.
m.g/2
In figuur 2.1 is een eenvoudig massaveer systeem getekend, waarin de hier
beschreven systeemcomponenten zijn te vinden. In rust zal de massa van het
systeem zich bevinden op de coördinaat x = 0. In gedachten geven we het
systeem nu een uitwijking naar rechts, d.w.z. in positieve x-richting. Tevens
veronderstellen we op dat moment een snelheid in dezelfde richting. Het gevolg
daarvan is terug te vinden in de vrijlichaamschets van de figuur. Nu kunnen we
het volgende concluderen 1 :
ΣF = −Fv − Fd
F_v
F_d
(2.1)
De veer en de demperkracht verzetten zich tegen dit experiment door op de
massa een kracht tegengesteld aan de gedachte verplaatsing en beweging uit te
oefenen. Door nu de systeemcomponentvergelijkingen in te vullen krijgen we:
ΣF = m · ¨x = −k · x − ρ · ˙x (2.2)
Dit is te herschrijven zodanig dat alle termen in x en afgeleiden van x aan
de linkerzijde van het = teken komen te staan. Dit levert dan een lineaire
differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten op:
m · ¨x + ρ · ˙x + k · x = 0 (2.3)
De oplossing van deze dv is te vinden door toepassen van de functiesubstitutie
van Euler. Met andere woorden we veronderstellen een exponentiaal functie en
zijn afgeleiden als oplossingsfunctie:
x = X · e λ·t
˙x = λ · X · e λ·t
¨x = λ 2 · X · e λ·t
(2.4)
(2.5)
(2.6)
1 We laten de verticale krachten buiten beschouwing, omdat we in die richting evenwicht
veronderstellen. Dit moet later nog wel geverifieerd moeten worden

6 Module Dynamica 2
Ingevulde in de dv, waarbij de gemeenschappelijke term X · e λ·t buiten haakjes
is gezet, levert dit dan:
Xe λ·t {m · λ 2 + ρ · λ + k} = 0 (2.7)
Deze vergelijking kan steeds een gelijkheid worden op twee manieren:
• X = 0. Dit is waar als de beginuitwijking 0 is, met andere woorden als
het systeem steeds in de rust en dus evenwichtstoestand blijft.
• De vierkantsvergelijking in λ: m · λ 2 + ρ · λ + k is gelijk aan 0.
Karakteristieke
Het laatste geval is het meest interessante, en verdient dus nadere beschouwing.
Deze vierkantsvergelijking wordt overigens de Karakteristieke vergelijking gevergelijking
noemd. De vierkantsvergelijking wordt 0 voor
λ1,2 = −ρ ± ρ2 − 4 · m · k
= −
2 · m
ρ
2m ±
ρ
2 −
2m
k
m
(2.8)
eigenhoeksnelheid
ωn
Bij deze oplossing zijn een aantal bijzondere gevallen te onderscheiden:
1. discriminant D = b 2 − 4 · a · c > 0. Beide wortels λ1,2 zijn reëel en
negatief.
ρ
(−
x(t) = A · e 2m −
q
( ρ
2m) 2 − k
m )·t ρ
(−
+ B · e 2m +
q
( ρ
2m) 2 − k
m )·t
(2.9)
2. discriminant D = b 2 − 4 · a · c = 0. Beide wortels zijn gelijk en negatief.
ρ
−
x(t) = A · e 2m ·t ρ
−
+ t · B · e 2m ·t
(2.10)
3. discriminant D = b2 − 4 · a · c < 0. Beide wortels λ1,2 zijn complex en
elkaars complexe geconjugeerde.
ρ
− k
x(t) = A · e 2m · cos(
m −
ρ
2 · t + φ) (2.11)
2m
4. ρ = 0, geen demping en beide imaginair, van tegengesteld teken.
k
x(t) = A · cos( · t + φ) (2.12)
m
Een plaatje van de beweging in elk van de vier gevallen is te zien in figuur 2.2.
2.3 Systeemkentaldefinities
In de vorige paragraaf hebben we gezien, dat het gedrag van het systeem bepaald
wordt door de componenten. Met name de hoeksnelheid waarmee het
systeem trilt is kenmerkend. Om het een en ander verkort te kunnen opschrijven
definiëren we een aantal kentallen. Als eerste definiëren we de eigenhoeksnelheid
ωn, in radialen per seconde, wordt enkel bepaald door de systeemkom

Module Dynamica 2 7
(a) geval 1
x
v
x
v
e macht
- e macht
(c) geval 3
Figuur 2.2: De vier gevallen.
(b) geval 2
(d) geval 4
x
v
x
v

8 Module Dynamica 2
II
ω
Im
III IV
φ
F
X
I
Re
x
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
Fe
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
m
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
Figuur 2.3: Kracht en verplaatsing in het complexe vlak
ponenten m en k volgens
k
ωn =
m
(2.13)
gedempteeigen- Indien in het systeem demping aanwezig is met dempingsconstante ρ, dan is
de gedempte eigenhoeksnelheid ωd de frequentie waarmee het systeem ongehoeksnelheid
ωd dwongen trilt :
k ρ2
ωd = −
m 4m2 (2.14)
dempings-
In de figuur bij de vier gevallen is al enigzins te zien dat de mate van demping
bepalend is voor het al dan niet oscileren na een start met een beginuitwijking.
Door nu de grens de kritische demping te noemen, kunnen de verhouding
tussen deze demping en de aanwezige demping een eigen naam geven: de
dempingsverhouding β. Deze is gedefiniëerd als
verhouding
β β = ρ
2 √ km
(2.15)
Deze β is een maat voor de uitdempsnelheid van de trilling. Dan is ook de
hoeksnelheid waarmee het gedempte systeem trilt in β uit te drukken:
2.4 Gedwongen trillingen
ωd = ωn · 1 − β 2 (2.16)
Indien een systeem (zie figuur 2.3) aangestoten wordt door een periodieke
kracht F = ˆ F cos ωt, dan geldt voor het systeem de differentiaalvergelijking
m¨x + ρ ˙x + kx = ˆ F cos ωt (2.17)
Deze vergelijking is op dezelfde wijze af te leiden als die in paragraaf 2.1.
2.4.1 Oplossing van de D.V. voor de gedwongen trilling.
Uit de wiskunde is bekend dat de differentiaaloperator lineair is. Zijn er nu voor
een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen mogelijk, dan is ook de som
van de oplossingen een oplossing. Hiervan maken we gebruik door eerst de
oplossing van de d.v. te bepalen waarbij het rechterlid nul is. De oplossing is
ρ
k

Module Dynamica 2 9
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 20 40 60 80 100
Figuur 2.4: Voorbeeld inschakelverschijnsel
(uiteraard) dezelfde als de oplossing voor de vrije trillingen uit paragraaf 2.1.
Dit deel van de oplossing beschrijft het zogenaamde inschakelverschijnsel, dat
in de meeste, dat wil zeggen gedempte, gevallen uitsterft. De totale oplossing
is dus steeds de oplossing die het inschakelverschijnsel beschrijft + de oplossing
voor de zogenaamde stationaire gedwongen trilling. In figuur 2.4 is een
voorbeeld van het inschakelverschijnsel te zien.
2.4.2 Stationaire oplossing van de gedwongen trilling
Aangezien het deel dat het inschakelverschijnsel beschrijft reeds opgelost is,
hoeven we alleen nog maar het deel dat de aanhoudende beweging beschijft op
te lossen. We zullen de d.v. in het complexe vlak oplossen. Hoewel het oplossen
met louter sinussen en cosinussen ook gaat en mogelijk beter te begrijpen 2 ,
is dit veel bewerkelijker. De truc is te bedenken dat de aandrijvende functie
F (t) = ˆ F cos(ωt) te beschouwen is als het reële deel van de functie F e iωt , met
andere woorden:
F (t) = ˆ F cos(ωt) = RE( F e iωt ) (2.18)
Merk op dat er een strikte relatie bestaat tussen de symbolen. Zo is een symbool
met een “hoedje”, bijvoorbeeld ˆ F de amplitude van een trilling en daardoor per
definitie gelijk aan de lengte van de overeenkomstige complexe vector, in dit
geval F . Het symbool zonder bovenversiering is de scalaire waarde, dat wil
zeggen de projectie op de reële as. Die geeft uiteindelijk weer wat wij in werkelijkheid
van het hele gebeuren kunnen zien. Let op:, F is een (harmonische)
functie van de tijd, ˆ F en F zijn constanten.
Oplossen? Eigenlijk kiezen in het complexe vlak, en dan wat rekenwerk.
2 We blijven immers in de reële wereld
x

10 Module Dynamica 2
fasoren
Daar gaan we.
kies x(t) = Xe iωt
dan volgt voor de 1e afgeleide ˙ x(t) = iω Xe iωt
en de 2e afgeleide ¨ x(t) = −ω 2 Xe iωt
Substitueer deze in de d.v. van vergelijking 2.17:
Xe iωt {−mω 2 + iρω + k} = F e iωt
(2.19)
We zien nu, dat er een vaste verhouding bestaat tussen de krachtfunctie en de
resulterende verplaatsingsfunctie. Deze verhouding is een complex getal, wat
als gevolg heeft dat de verhouding zowel een grootte relatie als een faserelatie
aangeeft. De complexe verhouding tussen de vectoren X en F 3 bedraagt:
X
F =
1
−mω 2 + iρω + k
(2.20)
en beschrijft zowel een grootteverandering als een fasedraaiing tussen ingang
F en uitgang x. De oplossing is terug te voeren uit het complexe vlak, waarin
we voor x(t) kunnen schrijven:
x(t) = ˆ X cos(ωt + φ) (2.21)
De constanten in deze vergelijking hebben de volgende relatie met de aandrijvende
kracht:
ˆX
De amplitudes:
ˆF =
1
−mω2
1
+iρω+k = √ (2.22)
(k−mω2 ) 2 +(ρω) 2
1
De fase: φ = arg( −mω2 +iρω+k ) = 0 − arctan ρω
k−mω2
(2.23)
2.4.3 Overdrachtsgrafieken van de stationaire gedwongen trilling
De linker en rechterleden van de differentiaalvergelijking zijn ook op te vatten
als projecties van twee om de oorsprong roterende vectoren, met de naam
fasoren, X en F rond de oorsprong in het complexe vlak. Daar deze vec-
toren moeten voldoen aan de gegeven differentiaalvergelijking, geldt voor x:
x(t) = RE{ Xe iωt } en voor F : F (t) = RE{ F e iωt }. Door de overgang naar
het complexe vlak kunnen we nu de overdracht H = x
F
H = X
F =
1
−mω 2 + iρω + k
1
=
k .
1
schrijven als
− ω2
ω2 ω + 2iβ + 1
n ωn
(2.24)
Hierbij dienen zowel x als F opgevat te worden als de genoemde fasoren in het
complexe vlak. Uit deze relatie kunnen we aflezen dat de verhouding tussen
kracht en verplaatsing behalve van de veerstijfheid, demping en de massa ook
nog afhangt van de verhouding tussen de “hoeksnelheid” van de kracht en de
eigenhoeksnelheid van het systeem. Deze verhouding noemen we de frequen-
3 Ik zeg zelf altijd: X tengevolge van F

Module Dynamica 2 11
tieverhouding ν = ω
ωn
. Merk op dat bij hoeksnelheid ω = 0 (een systeem in frequentiever-
rust) de verhouding weer als vanouds alleen bepaald wordt door de veerstijfheid
in het systeem. De overdracht is een complex getal. De overdracht verandert,
zoals de formule aangeeft, met de hoeksnelheid waarmee de kracht oscileert.
Van deze frequentieafhankelijkheid van de overdracht H is een grafiek te ma-
houding ν = ω
ωn
ken in het complexe vlak. Het is een polaire diagram en wordt Nyqvistdiagram Nyqvistdiagram
genoemd. Door eerst de veerstijfheid k uit de vergelijking te verwijderen, is
de overdracht dimensieloos geworden, waarbij de vorm van het diagram alleen
nog maar bepaald wordt door de dempingsverhouding β. Hierin is zowel de
grootte als de faseverdraaiing van de overdracht af te lezen. De overdracht is
bij ν = 0 gelijk aan {1, 0 · i} en zal met toenemende frequentie door het 4e
kwadrant (Re positief en Im negatief) draaien. Bij ν = 1 wordt de imaginaire
as doorsneden op {0, − 1 }. Daarna gaat het verder in het derde kwadrant, met
2β
afnemende grootte en een hoek die asymtotisch nadert tot -180 graden.
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
β=0.01
β=0.02
β=0.05
β=0.1
β=0.2
β=0.5
β=1
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Figuur 2.5: Nyqvist diagram
In figuur 2.5 is dit diagram weergegeven voor β =0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5
en 1. De frequentieverhouding ν loopt van 0 tot 10 in 100 stapjes. Met de markeringen
in de lijnen worden de stapjes weergegeven. Goed is te zien dat in
de buurt van de eigen frequentie de fase achterstand snel toeneemt van 0 via
−90 naar −180 graden. In veel gevallen4 zijn we niet geïnteresseerd in de faseachterstand,
maar alleen in de “versterking” van de overdracht. Dit wordt
beter weergegeven in het Bodediagram. In de bovenste grafiek vinden we de
modulus (lengt van de vector) van de overdracht, in de onderste de hoekverdraaing).
Het bodediagram wordt bepaald door de modulus van de overdracht
te bepalen, en die ook weer als functie van de frequentieverhouding en de dempingsverhouding
weer te geven.
Bodediagram
|H| =
1
(1 − ν2 ) 2 + (2βν) 2
(2.25)
4 Behalve in de regeltechniek

12 Module Dynamica 2
Ook hier is het diagram weer het interessantst in de buurt van ν = 1. De
weergave op dubbel logaritmische assen wordt vaak toegepast, met name in de
regeltechniek en de elektrotechniek.
De twee rechte lijnen zijn de asymptoten van de bundel functies. Bij een
tweede orde systeem, waarvan hier sprake is, zal de schuin aflopende asymptoot
overeenkomen met 1
ν2 . Merk op dat de overdracht strek afneemt voorbij
de eigenhoeksnelheid. Elektrotchnici noemen een dergelijke overdracht een
laagdoorlaatfilter

Module Dynamica 2 13
|H|
arg(H)
100
10
1
0.1
0.01
0.01 0.1 1 10 100
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
hoeksnelheidsverhouding ν
β=0.01
β=0.02
β=0.05
β=0.2
β=0.5
β=0.1
β=1
β=1.2
β=1.5
0.01 0.1 1 10 100
hoeksnelheidsverhouding ν
Figuur 2.6: Logaritmisch bode diagram
β=0.01
β=0.02
β=0.05
β=0.2
β=0.5
β=0.1
β=1
β=1.2
β=1.5

14 Module Dynamica 2
nu i = ni
= n2
n1
gereduceerde
massa J red
2.5 Reduceren van massatraagheden etc.
Het komt vaak voor dat een systeem opgebouwd is uit een aantal onderdelen,
die met starre, dat wil zeggen niet elastische, overbrengingen met elkaar verbonden
zijn. Zie figuur 2.7. Dit heeft tot gevolg dat de kracht of het koppel die
as2
J
n u
as1
M
Figuur 2.7: Een massatraagheid via een overbrenging gekoppeld aan een motor
via de overbrenging op een massa werkt, eerst via de overbrenging gekoppeld
wordt, en daar dan een kleiner of groter effect teweeg brengt. De techniek om
te bepalen welke massatraagheid de motor nu voelt heet het reduceren van de
massatraagheid.
Laten we de hoeksnelverdraaiing, hoeksnelheid en hoekversnelling aan de
motoras φ, ˙ φ en ¨ φ noemen, en de overeenkomstige waarden aan de as van de
massatraagheid J θ, ˙ θ en ¨ θ. De overbrenging zelf wordt bepaald door i = nu
ni =
n2
n1
. De massatraagheid van de last bedraagt J, en de massatraagheid van de
motor is j. Laten we het nettokoppel op de motor as M1 noemen, waarbij geldt:
M1 = M − j · ¨ φ. Dit is dus het koppel dat overblijft om de massatraagheid
van de last te versnellen. We zullen nu het effect van het koppel M1 op de
hoekversnelling ¨ φ van de motoras bepalen. Het koppel op as 2 bedraagt M2 =
De versnelling die daardoor veroorzaakt wordt bij J bedraagt:
M1
i
¨θ = M2
J
= M1
iJ
n i
(2.26)
Aangezien er sprake is van een vaste (starre) overbrenging, zal de versnelling
die we kunnen vaststellen op de motoras gelijk zijn aan:
waardoor de “wet van newton” voor dit systeem wordt:
¨θ = i · ¨ φ (2.27)
M1 = i 2 · J · ¨ φ (2.28)
De massatraagheid die de motor ziet, de zogenaamde gereduceerde massa J red :
J red = i 2 · J (2.29)

Module Dynamica 2 15
2.5.1 Voorbeeld van reduceren
In figuur 2.8 is een massaveer systeem gegeven met een massaloze stang, die
roteert om een draaipunt. De afstand a is de afstand van het draaipunt tot het
koppelpunt van de massa m2@. De afstand b is de afstand van het koppelpunt
van de veer k tot het draaipunt. Gevraagd wordt de bewegingsvergelijking van
dit systeem in de beweging x van de massa en in de beweging z, zijnde de
uitwijking van het koppelpunt van de veer.
01
01
01
01
01
z
k
a
b
x
00000
11111
00000
11111
01
01
01
01
z
F1
Fv Fv
Figuur 2.8: Kracht en verplaatsing in het complexe vlak
Oplossing
Voor de beweging uitgedrukt in x De wet van Newton levert voor de krachten
op de massa
= m¨x = −F1
(2.30)
m
Aangezien de stang massaloos is geldt hiervoor J · ¨ φ = 0 · ¨ φ (veronderstel
de hoekverdraaiing φ linksom positief):
J
= 0 = −F1 · a + Fv · b ⇒ F1 = b
a · Fv = b
· k · z (2.31)
a
Met de relatie z = b · x volgt hieruit:
a
m¨x = −F1 = − b
a
b
· k · x ⇒ m¨x +
a
F1
x
m
2 b
· k · x = 0 (2.32)
a
Merk in deze laatste vergelijking op dat door het uitdrukken van de beweging
van het systeem in de coördinaat x de veerstijfheid is gereduceerd

16 Module Dynamica 2
van z naar x met de overbrenging z . Met andere woorden: welke verplaat-
x
sing/snelheid/versnelling wordt voor z teweeg gebracht bij een verplaatsing in
x. Als b groter is dan a, zal de stijfheid in dit geval overigens zijn toegenomen.
Voor de beweging uitgedrukt in z geldt uiteraard dezelfde wet van Newton.
· ¨z Dan volgt voor de afleiding:
Nu maken we gebruik van de relatie ¨x = a
b
F1 = −m¨x = −m a
· ¨z (2.33)
b
Fv = a
b F1 = − a
· ma · ¨z (2.34)
b b
Hiermee hebben dezelfde differentiaalvergelijking te pakken:
a
2 · m · ¨z + k · z = 0 (2.35)
b
Beide differentiaalvergelijkingen hebben dezelfde trillingstijd. Uiteraard zullen
uitwijkingen, en ook de randvoorwaarden met de overbrengverhouding verschillen.
Merk op dat in dit geval de massa gereduceerd is van x naar z, met de
, waarbij nu z het primaire stelsel is.
verhouding x
z
2.6 Doorleiding van trillingen: isolatie
Een van de toepassingsgebieden van de in deze module behandelde theorie is
het bepalen van de doorleiding van trillingen door het systeem en de invloed
daarop van massa, stijfheid en demping in het systeem. Daarbij kun je dan
denken aan door het systeem opgewekte trillingen, maar ook trillingen die door
het systeem doorgelaten worden.
2.6.1 Kracht op de vloer
FA
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
y
x
FA
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
FV/2
FD
FV/2
FV/2 FD FV/2
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
Figuur 2.9: Kracht op vloer
Als eerste zullen we een systeem (zie figuur 2.9 beschouwen, dat aan de
massa aangestoten wordt met een harmonische kracht Fa = ˆ F cos(ωt). We
onderzoeken, welke krachten in het totaal door veer en demper worden doorgeleid
naar de vloer. We veronderstellen de vloer star. Allereerst onderzoeken

Module Dynamica 2 17
we het krachtenspel op de massa. Deze is (op het verschil horizontaal/verticaal
na) hetzelfde te zijn als bij het probleem in paragraaf 2.4.2 op blz. 9.
We beschouwen nu weer het krachtenspel op de massa, nu in verticale richting.
F = m¨x = −Fa − Fv − Fd
V
(2.36)
Dit levert de standaard overdracht van verplaatsing x ten gevolge van kracht
op:
X
1 1
=
F k −ν2
(2.37)
+ 2iβν + 1
Om de kracht die door veer en demper worden doorgeleid naar de vloer te bepalen
kunnen we het volgende stellen. We maken daarbij gebruik van het feit dat
differentiëren in het complexe vlak in dit geval neerkomt op vermenigvuldigen
met i · ω
Fv = k · x = k · X
F · F (2.38)
Fd = ρ · ˙ x = d
ρ ·
dt
X
F ·
Fa = i · ω · ρ · X
F · Fa (2.39)
Daarmee wordt de overdracht van de kracht op de harmonische kracht op
de massa naar totale kracht op de vloer:
Fvloer
Fa
= (k + iρω) · 1 1
k −ν2 + 2iβν + 1
Met enige omwerking is dit te schrijven als
Fvloer
Fa
=
1 + 2iβν
−ν 2 + 2iβν + 1
2.6.2 Trilling van de massa t.g.v. beweging van de vloer
(2.40)
(2.41)
In dit geval treedt de situatie dat beide uiteinden van demper en veer bewegen.
Voorts geldt dat er geen aandrijvende kracht op de massa aanwezig is. Voor
veer en dempkracht geldt dan:
Fv = k · (x − y) (2.42)
Fd = ρ · ( ˙x − ˙y) (2.43)
Daarmee wordt de bewegingsvergelijking:
F = m¨x = −k · (x − y) − ρ · ( ˙x − ˙y) (2.44)
V
Scheiden van x en y levert dan de vergelijking op:
m¨x + ρ ˙x + kx = ρ ˙y + ky (2.45)

18 Module Dynamica 2
Omdat ook hier geldt dat in de stationaire situatie x en y harmonische functies
zijn, geldt weer in het complexe vlak : d = vermenigvuldigen met iω
dt
Dit kunnen we toepassen op de vergelijking 2.45, nadat we het geheel overgevoerd
hebben naar het complexe vlak:
−mω 2 + iρω + k Xe iωt = {iρω + k} Y e iωt
(2.46)
Hierin valt goed de overdracht van Y naar X te herkennen, met de bekende
omwerking naar de frequentieverhouding:
X
Y =
k + iρω
−mω 2 + iρω + k =
1 + 2iβν
−ν 2 + 2iβν + 1
(2.47)
Merk op dat dit precies dezelfde formule is als die voor de kracht op de
vloer waarbij de massa met een kracht wordt aangestoten.
De grafiek van deze overdracht is te vinden in figuur 2.10
|H|
100
10
1
0.1
0.01
0.01 0.1 1 10 100
ν
B=0.01
B=0.02
B=0.05
B=0.1
B=0.2
B=0.5
B=1
Figuur 2.10: Overdracht kracht op vloer en verplaatsing massa.

Module Dynamica 2 19
Figuur 2.11: Om de bibbers te krijgen
m
2 o
2.7 Onbalans
r
Figuur 2.12: Symmetrische onbalans
In het geval van een symmetrische onbalans volgens figuur 2.12, waarin de
twee onbalans massa’s, elk met massa mo , roteren met een hoeksnelheid ω
2
treedt allereerst het volgende krachtenspel op:
De centripetale kracht Fc die uitgeoefend wordt door de verbindingsstang
tussen lager en onbalansmassa
|Fc| = mo
· r · ω2
(2.48)
2
Deze kracht werkt in tegengestelde richting op het lagerhuis in de machine.
De verticale krachten welke ten gevolge van de twee onbalansen, met tegengestelde
richting draaiend, op de machine worden uitgeoefend zijn dan:
F h
F v
2
FV 1 + FV 2 = mo · r · ω 2 sin(ωt) (2.49)
Indien (zoals hier het geval) de onbalansen in horizontale richting steeds in
spiegelbeeld staan, zullen de horizontale componenten van de lagerkrachten
precies tegengesteld zijn, en elkaar dus opheffen.
De kracht die de onbalansen uitoefenen is dus een harmonische kracht. Uit
de afleidingen in paragraaf 2.4.2 op pagina 9 volgt dan voor de differentiaalvergelijking:
m¨x + ρ ˙x + kx = mo · rω 2 sin ωt (2.50)
en voor de verplaatsing van de massa:
ˆX
=
morω2 1
−mω 2 + iρω + k
F v
F d
F v
F h
F v
2
1
=
k ·
1
−ν2 + 2iβν + 1
(2.51)

20 Module Dynamica 2
In veel gevallen zijn we echter meer geinteresseerd in de kracht op de vloer
(Denk aan trillingen die naar de omgeving worden doorgeleid, maar ook aan
trilplaten om trotoirtegels vast te trillen).
De kracht die via de veer wordt doorgegeven is:
Fv = kx = k · morω 2 ·
1
−mω 2 + iρω + 1
De kracht die via de demper wordt doorgegeven is:
Fd = ρ ˙x = ρ · morω 2 ·
Daarmee wordt de totale kracht op de vloer:
iω
−ω 2 + iρω + 1
2
(2.52)
(2.53)
ˆF vloer = morω 2
k + iρω
·
−mω2
= morω
+ iρω + k
2
ω 1 + 2iβν
n · ·
ωn −ν2 + 2iβν + 1
(2.54)
Daarmee is er een soort overdracht te definiëren als onbalanskracht ten gevolge
van hoeksnelheid, frequentieverhouding, onbalansmassa en arm.
ˆF vloer
morω 2 n
= ν2 (1 + 2iβν)
−ν 2 + 2iβν + 1
(2.55)
Deze overdracht geeft als grafiek figuur 2.13 op de pagina hiernaast. Merk
op dat met name bij grote demping de krachten op de vloer sterk toeneemt
als gevolg van de afhankelijkheid in de derde macht van de frequentieverhouding
ν.
2.8 Meetinstrumentarium
Bij het ontwerpen van meetinstrumentarium waarin verplaatsingen en of versnellingen
gemeten moeten worden, is het niet altijd mogelijk om gebruik te
maken van een vergelijkende meting, waarbij gemeten wordt ten opzichte van
een referentiecoördinaat. Van een dergelijke situatie zijn twee voorbeelden te
geven, te weten
• De seismograaf
• De accelerometer of versnellingsmeter.
In het eerste geval wil men in feite de trilling van de aarde meten, en dan is
het lastig om een vast referentiepunt te vinden . . .
In het tweede geval wil men versnellingen meten, waarbij het niet gewenst
is om via meetinstrumentarium de meting te beïnvloeden. Denk aan de krachten
die nodig zijn om een loper over een lineaal te bewegen. Versnellingsmeters
zijn dan ook altijd zeer klein en licht.
In figuur 2.15 is een model gegeven van het massaveersysteem zoals dat
voorkomt bij bedoelde instrumenten. In deze figuur zijn drie coördinaatsystemen
aangegeven. Ten eerste de beweging van de omgeving met coördinaat y, ten

Module Dynamica 2 21
|H|
100
10
1
0.1
β=0.01
β=0.02
β=0.05
β=0.1
β=0.2
β=0.5
β=1
0.01
0.01 0.1 1 10 100
Figuur 2.13: Overdracht bij onbalans
ν

22 Module Dynamica 2
Figuur 2.14: Als het spannend wordt
Figuur 2.15: Versnellingsmeter

Module Dynamica 2 23
tweede de beweging van de massa in de meter met x, en ten derde de beweging
van de massa ten opzichte van het huis z. y ( de trilling) of ¨y willen we
meten, maar het enige wat betrouwbaar uit het instrument komt is de relatieve
verplaatsing z. Hoe is nu de overdracht van de trilling van de omgeving op de
beweging van de massa te bepalen.
Uit de afleiding van de overdracht van de beweging van de vloer naar de
beweging van de massa hebben we geleerd dat de massa volgens de overdracht:
X
Y =
k + iρω
−mω 2 + iρω + k =
De meetbare relatieve beweging is:
1 + 2iβν
−ν 2 + 2iβν + 1
(2.56)
z = y − x (2.57)
Gebruik makend van dezelfde truc als bij de afleiding in paragraaf 2.6.1 kunnen
we stellen:
z = y − y ·
X
1 + 2iβν
= y 1 −
Y −ν2
−ν
= y
+ 2iβν + 1
2
−ν2
(2.58)
+ 2iβν + 1
En dus is de overdracht van beweging van omgeving naar de relatieve beweging:
Z
Y =
(2.59)
−ν 2
−ν 2 + 2iβν + 1
De grafiek van deze overdracht staat in figuur 2.17
In de grafiek is te zien, dat bij aanstootfrequenties lager dan de eigenfrequentie,
het systeem bij lage demping vrijwel lineair is met ω 2 , hetgeen overeenkomt
met de versnelling van het systeem. Een versnellingsopnemer zal dus
een hoge eigenfrequentie hebben (relatief stijve veren en licht vrije massa zijn).
(Ver) voorbij de eigenfrequentie zien we dat de overdracht asymtotisch naar
1 gaat, met andere woorden, de verplaatsing wordt mooi één op een doorgegeven
5 . Dit is het toepassingsgebied van een seismograaf, die dus een lage
eigenfrequentie zal hebben en dus relatief zwaar en slap zal zijn.
2.9 Zwaartekracht met een schakelaar.
In deze theorie wordt steeds uitgegaan van lineaire systemen. Tevens wordt
telkens gemodelleerd rond een evenwichtspunt. Hoe zit het nu met de zwaartekracht,
die in onze normale aardse situatie altijd aanwezig is. Welnu, die
kunnen we uitschakelen. Beschouw het systeem in figuur 2.18. Bij normale
zwaartekracht zal het systeem in evenwicht hangen indien de veerkracht precies
gelijk is aan de zwaartekracht. Met andere woorden:
5 Wel is het teken omgedraaid
Σv = 0 = −m.g + Fv,evenwicht = −m · g + k · δst
(2.60)

24 Module Dynamica 2
z/x
100
10
1
Overdracht z/x
0.1
0.1 1 10 100
ν
β=0.01
β=0.02
β=0.05
β=0.1
β=0.2
β=0.5
β=1
Figuur 2.16: Overdracht van versnellingsmeter en seismograaf.
Figuur 2.17: Seismograaf. Let op de ’slappe’ ophanging.

Module Dynamica 2 25
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
Zonder zwaartekracht
y
AAN
δ st
z
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
m.g
Met zwaartekracht
Figuur 2.18: Uitgeschakelde zwaartekracht.
De veerkracht is direct gekoppeld aan de statische uitrekking van de veer δstvolgens
de relatie
Fv,evenwicht = −k · δst
(2.61)
Indien het nulpunt van de z -coördinaat zich bevindt op de plaats van evenwicht
dan geldt voor een situatie, waarbij we in gedachten het systeem een uitwijking
geven in de positieve coördinaatrichting (merk op dat veer en demper zich verzetten,
dus krachten leveren tegen de opgedrongen verplaatsing/snelheid in):
ΣV = −m.g − Fv − Fd = −m.g − k · z − ρ · ˙z (2.62)
Indien we nu een nieuw coördinaatsysteem y invoeren, met het nulpunt
op de ongespannen veerlengte dan geldt de volgende relatie tussen de twee
coördinaat systemen (en de afgeleiden):
y = z + δst
˙y = ˙z + 0
¨y = ¨z
Indien we nu de vergelijking 2.62 overvoeren in de nieuwe coördinaat y
dan geldt :
ΣV = −m.g − Fv − Fd (2.63)
= −m.g − k · (z − δst) − ρ · ˙z (2.64)
= −k · y − ρ · ˙y (2.65)
Als differentiaalvergelijking levert dit precies hetzelfde op als de situatie
waarbij de zwaartekracht niet megenomen is. Let op, dit is alleen toegestaan
als het systeem opgebouwd is uit lineaire elementen. Is dit laatste niet het
geval, dan kunnen we bij kleine uitwijkingen tijdens de trillingen het systeem
lineariseren. Dit wordt hier niet verder besproken, maar is onderwerp in o.a.
regeltechniek.

Hoofdstuk 3
Simulatie
Dit hoofdstuk is geschreven als korte handleiding om simulaties uit te voeren
met het pakket PSI. Dat is in 2003 niet meer echt gangbaar. Echter vergelijkbare
simulaties zijn uit te voeren met het pakket matlab.
Bij systemen die complexer zijn als het “eenvoudige” massaveersysteem
met een massa, veer en demper bestaat er natuurlijk altijd de mogelijkheid om
het probleem mathematisch op te lossen. Vaak is het echter eenvoudiger om
het systeem met een daarvoor geschikt simulatiepakket te simuleren. Daarenboven
kan in een simulatiepakket op een vaak eenvoudige manier gebruik
gemaakt worden van het simuleren van niet lineaire componenten, zoals Coulombse
wrijving of speling.
3.1 Simulatie met behulp van digitale computer
Met behulp van digitale computers is het zeer goed mogelijk om simulaties
te maken van complexe systemen. De verkrijgbare simulatieprogrammas zijn
zeer divers in hun uitvoeringsvorm, maar het interne werkingsprincipe voor
wat betreft het bereken van de simulatieoutput is steeds dezelfde. Met name op
het gebied van de integratie zoals die voorkomt bij de overgang van snelheid
naar versnelling wordt de integraal bepaald door het bij een momentane waarde
tellen van het product van een tijdstapje en de ingang van de integrator. Door
dit principe is het kiezen van de tijdstap waarmee gerekend wordt belangrijk.
Bij een simulatie is een waarde van 0.2 van de kleinste tijdconstante in het
systeem een goede beginwaarde. Voor de hier gebruikte tweede orde systemen
is dan een waarde van 2π passend. Voorts is een aantrekkelijke waarde voor de
5
“tijd” waarover gesimuleerd wordt 1,5 à 2 maal de periodetijd van de trilling.
3.2 Simulatiebouwstenen in PSI
Om een systeem met behulp van het pakket PSI te kunnen simuleren, dient
men eerst een geschikt blokschema op te bouwen van dit model, waarna dit
blokschema met de beschikbare blokken in PSI ingevoerd kan worden. Let op!
Bij het maken van een blokschema krijgt het blok als naam de naam van het
uitgangssignaal. De volgende blokken zijn van toepassing bij het simuleren
van massaveersystemen.
26

Module Dynamica 2 27
Versterking [GAI] De versterking of gain is en blok met een ingang en een
uitgang. Het uitgangssignaal wordt bepaald door het ingangssignaal met
de versterkingsfactor te vermenigvuldigen.
Constante [CON] De constante heeft een uitgang, zijnde de constante waarde.
Integrator [INT] De integrator levert de integraal over de tijd van het ingangssignaal.
Als parameter kan de integratieconstante ofwel de beginwaarde
worden opgegeven.
Optelling [ADD] De optelling kan gebruikt worden om twee of drie signalen
(van dezelfde dimensie) bij elkaar op te tellen.
Aftrekking [SUB] De aftrekking levert het verschil van de ingangssignalen.
Bang-bang [BNG] De bangbang functie kan slechts twee uitgangswaarde afleveren.
De af te leveren uitgangswaarden zijn te programmeren. De
keuze welke uitgang geleverd moet worden wordt bepaald door een derde
parameter.
Sinusfunctie [SIN] Levert de sinus van het ingangssignaal. Het ingangssignaal
kan ook nog eerst vermenigvuldigd worden met een constante (=hoeksnelheid),
en er kan ook nog een beginhoek bijgeteld worden.
In tabel 3.1 is een overzicht gegeven van de definities van de functies.
Naam invoer definitie opmerkingen
Ook drie
ingangen zijn
[ADD] U [ADD] I1,I2 U = I1 + I2 mogelijk
[SUB] U [SUB] I1,I2 U = I1 − I2 let op volgorde
Parameter 1
bepaalt de
[CON] U [CON] P1 U = P1
waarde.
P1 is de ver-
[GAI] U [GAI] I P1 U = P1 · I
sterkingsfactor
[INT] U [INT] I P1 U = Integratiecon-
Idt + P1
stante
P1
P3
P2
[BNG] U [BNG] I P1 P2 P3
if I ≥ P3
then U = P2
else U = P1
[SIN] U [SIN] I P1 P2 1.00 U = sin(P1 · I + P2)
Tabel 3.1: Blokdefinities in PSI
P1
P3 = 1.00
vanwege PSI

28 Module Dynamica 2
F
ADD
+
SUB
-
Fvd
+
+
x
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
m
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
GAI INT INT
Fr
1/m
a
1/s
v
1/s
x
Fd
Fv
ρ
GAI
Figuur 3.1: Massaveersysteem en blokschema
3.3 Het invoeren van het model en de simulatieparameters
Het invoeren van de blokken in het model gebeurt het handigst met behulp van
de editor “EA”. De werking hiervan wijst zich vanzelf. Na het invoer van de
editor kan deze verlaten worden met behulp van de -toets. Eventuele
inconsistenties in het model worden door PSI opgemerkt, welke eerst opgelost
moeten worden alvorens verder te kunnen.
Daarna moet nog het integratieinterval (zie paragraaf 3.1) en de eindtijd
ingevuld worden. Dit kan met het t commando.
t
integration time: 0.01
final time: 10
Natuurlijk wil je ook output zijn, welke je kunt aangeven met het o commando.
0
outputs to be shown: X,V,A
Aan de hand van deze definities is het blokschema in figuur 3.1 op te zetten.
Opdrachten
De eerste opdracht in het practicum luidt: Voer het model van figuur 3.1 in
in PSI, en simuleer een systeem met een eigenhoeksnelheid van 1 rad
sec en een
dempingsverhouding van 0.25
Tweede opdracht: Drijf het bovengenoemde systeem aan met een cosinusvormige
kracht met een hoeksnelheid van 3 rad
sec .
Derde opdracht: Vervang de demper in bovenstaand systeem door Coulombse
wrijving met behulp van het [BNG] blok.
Vierde opdracht: simuleer het systeem met twee massa’s volgens figuur 3.2
ρ
k
GAI
k

Module Dynamica 2 29
ADD
F1
F2
x1
k1 k2
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
ρ1
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
m1
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
+
SUB
Fd2v2
+ -
+ +
Fvd1
-
Fr11
+
GAI
GAI
+
ADD
GAI
Fv2
k2
+
ADD
+
Fd2
GAI
ρ2
v2-v1
Fr
Fd1
Fr12
Fv1
1/m1
GAI
1/m2
a1
a2
ρ1
ρ2
-
+
SUB
x2
m2
GAI
k1
INT
INT
1/s
v1
1/s
x2-x1
x1
INT
INT
1/s
v2
1/s
x2
Figuur 3.2: Systeem met twee massa’s
-
SUB
+

Hoofdstuk 4
Nuttige formules
Algemene definities
Vrije trillingen
ωd = ωn
k
ωn =
m
β = ρ
1 − β 2 =
2 √ km
ν = ω
ωn
k
m −
ρ
2 2m
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
β = 0 ⇒ x(t) = A. cos(ωn.t + φ) (4.6)
ρ
−
0 < β < 1 ⇒ x(t) = A.e 2m .t cos(ωd.t + φ) (4.7)
β > 1 ⇒ x(t) = e −ρ
2m t
Logaritmisch decrement:
β = 1 ⇒ x(t) = (A + B.t)e −ρ
2m t
q
A.e ( ρ
2m) 2 − k
m .t + B.e −
q
( ρ
2m) 2 − k
m .t
(4.8)
(4.9)
δ = 2πβ
. (4.10)
1 − β2 Oplossingsmatrix vrije trillen en randvoorwaarden
Oplossingen van de vrije trillings situaties bij verschillende dempingsverhoudingen
en verschillende randvoorwaarden. Door de dempingsverhouding
te berekenen en de randvoorwaarden met de tabel te vergelijken kan snel de
oplossingsfunctie bepaald worden.
30

Module Dynamica 2 31
λ1,2 = − ρ
2m ±
ρ 2 k − 2m m
β > 1 x(t) = C1 · e λ1·t + C2 · e λ2·t
x(0) = X0 C1 = X0
1− λ 1
λ2
˙x(0) = 0 C2 = − λ1
λ2 C1
˙x(t) = λ1C1e λ1t + λ2C2e λ2t
x(0) = 0 C1 = V0
λ1−λ2 =
˙x(0) = V0 C2 = −C1
x(0) = X0 C1 = V0−λ1X0
λ1−λ2
˙x(0) = V0 C2 = X0 − C1
Tabel 4.1: β > 1
β = 1 x(t) = (C1 · +tC2) · e λ·t
λ = − ρ
2m
q
( ρ
˙x(t) = (λC1 + C2 + tλC2)e λt
x(0) = X0 C1 = X0
˙x(0) = 0 C2 = −λ · X0
x(0) = 0 C1 = 0
˙x(0) = V0 C2 = V0
x(0) = X0 C1 = X0
˙x(0) = V0 C2 = V0 − λX0
Tabel 4.2: β = 1
V0
2m) 2 − k
m

32 Module Dynamica 2
k
β < 1 ωd = m − ρ 2 − x(t) = C · e 2m
ρ
2m t cos(ωd · t + φ)
λ1,2 = − ρ
ρ
− 2m t − ρ
β = 0 ωn =
2m ± iωd ˙x(t) = Ce 2m cos(ωdt + φ)
−ωd sin(ωdt + φ)}
x(0) = X0 C = X0
cos(φ)
˙x(0) = 0 φ = − arctan( ρ/(2m)
ωd
x(0) = 0 C = V0
ωd
˙x(0) = V0 φ = − π
2
x(0) = X0 C = X0
cos φ
˙x(0) = V0 φ = − arctan(
λ1,2 = ±i
Tabel 4.3: β < 1
k
m
k
m
x(0) = xo C = X0
˙x(0) = 0 φ = 0
x(0) = 0 C = − V0
ωn
˙x(0) = V0 φ = − π
2
x(0) = x0 C = X0
cos φ
V0+ ρ
)
2m X0
X0ωd
x(t) = C · cos(ωnt + φ)
˙x(t) = −Cωn sin(ωnt + φ)
˙x(0) = V0 φ = − arctan
Tabel 4.4: β = 0
V0
ωn
X0
)

Module Dynamica 2 33
Gedwongen trillingen
Overdracht kracht naar verplaatsing ( X en F zijn hier beide vectoren in het
complexe vlak):
X
F =
1
−mω 2 + iρω + k
Overdracht kracht F naar snelheid ˙ X:
˙X
F =
iω
−mω 2 + iρω + k
Overdracht kracht F naar versnelling ¨ X:
¨X
F =
−ω 2
−mω 2 + iρω + k
1
=
k .
1
1 + 2 i βν − ν2 1 iν
= √ .
km 1 + 2 i βν + −ν2 1
=
m .
−ν2 1 + 2 i βν − ν2 (4.11)
(4.12)
(4.13)
Overdracht beweging vloer Z naar beweging X van massa (passieve trillingsisolatie)
of kracht F op massa naar kracht op vloer K.
X
Z = K
F =
iρω + k
−mω 2 + iρω + k
= 1 + 2 i βν
1 + 2 i βν − ν 2
(4.14)
Kracht F op de vloer ten gevolge van onbalans met hoeksnelheid ω, massa
m en excentriciteit r:
F
r.m.ω 2 n
= −ν2 .(1 + 2 i βν)
1 + 2 i βν − ν 2
(4.15)