Hoofdstuk 3 N gekoppelde oscillatoren

de rol speelt van een golfgetal zoals we die kennen voor een trillende snaar. Merk op dat
combineren van vergelijkingen (3.6) en (3.8) oplevert dat de eigentrilling x j (t) gegeven
wordt door:
x j (t) = (A k sin kja + B k coskja) · cos(ωt − ϕ) = C k cos(kja − ψ) · cos(ωt − ϕ)
Deze lijkt dus erg op een staande golf die voldoet aan de 1 dimensionale golfvergelijking
zoals we die ook gebruikt hebben voor het vinden van de eigentrillingen van een trillende
snaar.
Voor de amplitudes A j geldt:
A j+1 + A j−1
= A k [sin k(j + 1)a + sin k(j − 1)a] + B k [cos k(j + 1)a + cosk(j − 1)a]
= 2A k sin kja coska + 2B k coskja coska
= 2 (A k sin kja + B k cos kja)cos ka
= 2A j coska
Dit betekent dat vergelijking (3.7) overgaat in:
ofwel
(2K − Mω 2 )A j = 2KA j cos ka
(2K − Mω 2 ) = 2K coska
dus ω 2 = 2K M (1 − coska) = 2K M
Dit resulteert in:
(2 sin2
ka
2 )
K
ω = 2√
M sin(1 ka) (3.9)
2
Dit verband tussen de frequentie ω en het golfgetal k heet de dispersierelatie en is te zien
in figuur 3.2. De dispersierelatie beschrijft dat bij een bepaald golfgetal k een bepaalde
frequentie ω hoort, en omgekeerd, dat bij een bepaalde frequentie een zeker golfgetal hoort,
ofwel een welbepaalde verhouding tussen de amplitudes van de diverse oscillatoren.
Merk op dat we tot nu toe de randvoorwaarden nog niet gebruikt hebben. De dispersierelatie
(3.9) geldt dus altijd voor een lineaire keten van gekoppelde oscillatoren ongeacht
de randvoorwaarden. In de volgende paragraaf zullen we zien dat de randvoorwaarden
uiteindelijk de feitelijke eigentrillingen en eigenfrequenties van het systeem gaan bepalen.
3.2.2 Eigentrillingen
We passen in dit voorbeeld vaste randvoorwaarden toe, gedefinieerd door vergelijking
(3.4):
• x 0 (t) = 0 geeft A 0 = 0 wat leidt tot B k = 0 → A j = A k sin kja
21