Hoofdstuk 3 N gekoppelde oscillatoren

n = 1
a)
N = 7
__
2 __ K
M
b) N = 7 7
6
5
n = 2
n = 3
Frequentie
1
2
3
4
Dispersiecurve
Eigenfrequenties
n = 4
n = 5
0
0
__
2 __ K
M
c) N = 29
__ π
2a
golfgetal k
__ π
a
n = 6
Frequentie
n = 7
j = 0 1 2 3 4 5 6 7 8
L = (N+1) a = 8 a
0
0
__ π
2a
golfgetal k
__ π
a
Figuur 3.3: a) Schematische representatie van de eigentrillingen van een lineaire keten van
N = 7 gekoppelde massa’s met vaste randvoorwaarden. De uitwijkingen die hier transversaal
zijn aangegeven, zijn in werkelijkheid longitudinaal. b) De bijbehorende discrete
eigenfrequenties voor N = 7, aangebracht in de dispersiecurve. c) de eigenfrequenties voor
N = 29. Met toenemende N wordt de dispersiecurve steeds meer opgevuld.
3.3 De algemene oplossing (vaste randvoorwaarden)
De algemene oplossing is te schrijven als een lineaire combinatie van de eigentrillingen
gegeven door vergelijking (3.10):
x j (t) = ∑ k
A k sin kja cos(ω k t − ϕ k ) (3.13)
of in termen van n:
x j (t) =
N∑
n=1
A n sin nπj
N + 1 cos(ω nt − ϕ n ) (3.14)
De eigenmodes kunnen worden gekarakteriseerd door k of door n. Er bestaat namelijk
een eenduidig verband tusen beiden. Met behulp van de N eigentrillingen kunnen we de
24