Analyse 1 - WbMt1250-12

Wiskunde 1
Wi1030WbMt
I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI
2 september 2013

Inleiding
Studiemateriaal
Onderwerpen Wiskunde 1
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 1

Inleiding
I.A.M. Goddijn
Mekelweg 4, kamer 4.240
tel : (015 27)86408
e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl
homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn
blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl
Spreekuur : volgens afspraak
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 2

Studiemateriaal
Boeken
James Stewart : Calculus (Early Transcedentals)
International Edition (7th edition)
ISBN-13 : 978-0-538-49887-6
David C. Lay Linear Algebra and Its Applications
International Edition (4th edition)
ISBN-13: 978-0-321-62335-5
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 3

Onderwerpen
Ruimtemeetkunde (Stewart)
Lineaire vergelijkingen (Lay)
Limieten, Continuïteit, Differentieerbaarheid (Stewart)
Integratietechnieken (Stewart)
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 4

Ruimtemeetkunde
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 5

Definitie
Meetkundige weergave drietallen reële getallen (x, y, z).
x, y en z heten de coördinaten of kentallen van het punt P.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 6

Notaties
R 2 = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R}
R 3 = R × R × R = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R}
Opmerking
Wanneer een rechthoekig assenstelsel in het platte vlak is
gekozen en een eenheid dan hoort bij elk paar reële getallen x en
y precies één punt P in het platte vlak met coördinaten (x, y).
Omgekeerd hoort bij een punt P in het platte vlak ook precies
één paar coördinaten (x, y).
Eenzelfde opmerking kan over de ruimte worden gemaakt.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 7

Stelling van Pythagoras
De lengte van lijnstuk OQ is
gelijk aan: √ x 2 + y 2 .
De lengte van het lijnstuk QP
is gelijk aan: |z|.
En dus is de lengte van het
lijnstuk OP gelijk aan:
Notatie
|OP|
.
√
x 2 + y 2 + z 2
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 8

De lengte van een lijnstuk (in het platte vlak)
De lengte van het lijnstuk dat de punten P 1 (x 1 , y 1 ) en
P 2 (x 2 , y 2 ) verbindt is gelijk aan:
|P 1 P 2 | = √ (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 .
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 9

De lengte van een lijnstuk in de ruimte
Analoog:
De lengte van het lijnstuk dat de punten P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) en
P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) verbindt is gelijk aan:
|P 1 P 2 | =
√
(x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 .
Gevolg
Een vergelijking van de bol met middelpunt M(a, b, c) en straal
r is gelijk aan:
(x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = r 2 .
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 10

Vectoren
Definitie
Een gericht lijnstuk heeft naast een grootte en een richting.
Zo’n lijnstuk heeft dus een beginpunt en een eindpunt. Het
eindpunt wordt meestal van een pijltje voorzien om de richting
aan te geven.
Notaties
−→
AB of AB
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 11

Definitie
Twee gerichte lijnstukken zijn equivalent of gelijk als ze door
een verplaatsing in elkaar zijn over te voeren.
Kiezen we een oorsprong in het platte vlak of de ruimte dan
wordt een gericht lijnstuk dat in de oorsprong begint ook wel
vector genoemd. Elk gericht lijnstuk is dus equivalent met een
vector.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 12

Er geldt dus:
−→
CD = −→ AB
Notatie
−→ u of u of u
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 13

De nulvector
De nulvector is de vector met lengte 0. Dit is de enige vector
zonder richting.
Notatie
0
De tegengestelde vector
Als u een vector is en v is de vector die even lang is als u maar
tegengesteld gericht dan heet v de tegengestelde van u.
Notatie
−u
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 14

Vermenigvuldiging met een factor
Als u een vector is en c een reëel getal en v is de vector die |c|
maal zo lang is als u en dezelfde richting heeft als u als c > 0
en tegengesteld is aan u als c < 0 dan heet v de
vermenigvuldiging van u met c.
Notatie
cu
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 15

De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee
technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 16

Het gerichte lijnstuk van de
‘kop’ van v naar de ‘kop’ van
u is gelijk aan u − v.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 17

Om het werken met vectoren te vergemakkelijken tekenen we
een rechthoekig assenstelsel in het platte vlak (de ruimte) en
noemen we de eenheidsvectoren (vectoren met lengte 1) in de
richting van de positieve assen, i en j (i, j en k).
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 18

Opmerking
Iedere vector kan op precies één manier worden uitgedrukt in i
en j (i, j en k).
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 19

Opmerking
Iedere vector kan op precies één manier worden uitgedrukt in i
en j (i, j en k).
Er geldt:
u = (xi + yj) + zk = xi + yj + zk.
x, y en z heten de kentallen van de vector u.
Notaties
u = xi + yj + zk = 〈x, y, z〉 of
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k = 〈a 1 , a 2 , a 3 〉
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 19

Bewerkingen
Als a = 〈a 1 , a 2 〉 en b = 〈b 1 , b 2 〉 dan
a + b = 〈a 1 + b 1 , a 2 + b 2 〉
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 20

Bewerkingen
Als a = 〈a 1 , a 2 , a 3 〉, b = 〈b 1 , b 2 , b 3 〉 en c een reëel getal dan
geldt:
1. a + b = 〈a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 〉,
2. ca = 〈ca 1 , ca 2 , ca 3 〉,
√
3. |a| = a1 2 + a2 2 + a2 3
is de lengte van de vector a.
Als a ≠ 0 dan is bovendien u =
de richting van a.
a
|a|
de vector met lengte 1 in
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
2 september 2013 21

Ruimtemeetkunde

Optelling van vectoren
a + b =
(a 1 i + a 2 j) + (b 1 i + b 2 j) =
(a 1 + b 1 )i + (a 2 + b 2 )j of
a + b =
〈a 1 , a 2 〉 + 〈b 1 , b 2 〉 =
〈a 1 + b 1 , a 2 + b 2 〉
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 1

Bewerkingen
Als a = 〈a 1 , a 2 , a 3 〉, b = 〈b 1 , b 2 , b 3 〉 en c een reëel getal dan
geldt:
1. a + b = 〈a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 〉,
2. ca = 〈ca 1 , ca 2 , ca 3 〉,
√
3. |a| = a1 2 + a2 2 + a2 3
is de lengte van de vector a.
Als a ≠ 0 dan is bovendien u =
de richting van a.
a
|a|
de vector met lengte 1 in
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 2

Het inwendig product van twee vectoren
Definitie
Als a = 〈a 1 , a 2 〉 en b = 〈b 1 , b 2 〉 vectoren zijn in het platte
vlak dan heet a 1 b 1 + a 2 b 2 het inwendig product van a en b.
Als a = 〈a 1 , a 2 , a 3 〉 en b = 〈b 1 , b 2 , b 3 〉 vectoren zijn in de
ruimte dan heet a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 het inwendig product
van a en b.
Notaties
(a, b), 〈a, b〉 en a • b.
Aan de laatste notatie ontleent het inwendig product de naam
‘dot product’.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 3

Stelling
Laten a, b en c vectoren zijn en c een getal. Dan geldt:
1. a • b = b • a,
2. a • (b + c) = a • b + a • c,
3. (ca) • b = c(a • b),
4. a • a ≥ 0 en a • a = 0 ⇐⇒ a = 0,
5. a • a = |a| 2 .
Stelling
Als a en b vectoren zijn dan a • b = |a|b| cos(θ) waarbij θ de
hoek is tussen a en b.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 4

Deze stelling kan worden bewezen door gebruik te maken van
de cosinusregel.
Pas de stelling van Pythagoras
toe op de driehoeken ADC en
DBC en trek de verkregen
vergelijkingen van elkaar af.
c 2 − 2cp = a 2 − b 2
a 2 = b 2 + c 2 − 2cp
Gebruik vervolgens dat cos θ = p b
Dit geeft ( cosinusregel ): a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos θ.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 5

Definitie
Twee vectoren a en b, beiden verschillend van 0, staan
loodrecht op elkaar of heten orthogonaal als hun ingesloten
hoek gelijk is aan π 2 .
Afspraak is dat 0 loodrecht op elk andere vector staat.
Gevolg
Twee vectoren a en b zijn orthogonaal dan en slechts dan als
a • b = 0.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 6

Notaties
proj a b en
comp a b
Definities
Het veelvoud van a met de
kortste afstand tot b heet de
loodrechte pojectie van b op
de drager van a.
Is â =
a dan is deze
|a|
projectie een veelvoud s van â,
s heet de scalaire projectie van
b op de drager van a.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 7

( a • b
proj a b =
a • a
( a • b
)
a =
|a| 2 )
a =
( a • b
|a|
) a
|a| =
comp a b â en
comp a b = cos(θ)|b|.
I.A.M. Goddijn
Faculteit EWI
5 september 2013 8

C^^cV\l L üecioreo b "^-^adot comp^ Cb")a2_^
a
ci.rOf'^Cb)
4=^ 3bj- bg,
5 ^ b|:=^t CéB(R., LOiWiL^-eM^i^)