Katholieke Hogeschool Limburg Automatisering – Systeemtheorie

Katholieke Hogeschool Limburg
Automatisering – Systeemtheorie
Johan Baeten
Cursus gedoceerd aan 3e jaar Industrieel Ingenieur
opties Elektromechanica en Elektronica
15 september 2002

c○
Katholieke Hogeschool Limburg
Departement industriële wetenschappen en technologie
Universitaire campus gebouw B, bus 3, B-3590 Diepenbeek, Belgium
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of
openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of op
welke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.

Inhoudstafel
Inhoudstafel
I
1 Inleiding 1
2 De Laplace-transformatie 3
2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.1 Lineariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.2 Differentiatietheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.3 Integratietheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.4 Eindwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.5 Beginwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.6 Schaalfactortheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.7 Eerste verschuivingstheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.8 Tweede verschuivingstheorema (reële translatie) . . . . . . . . . 9
2.4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie) . . . . . . . . 9
2.4.10 Deling door t (complexe integratie) . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.11 Convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 De inverse Laplace-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen . . . . . 13
2.7 Transformatietabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Systemen van eerste orde 15
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Voorbeeld van een eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Tijd- en frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Tijdrespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 21
3.9 Het Nyquist-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.10 Het Black- of Nichols-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.11 Het nulpunten-polen-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.12 Eerste orde met differentiërende werking . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I

Inhoudstafel
3.13 De zuivere integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.14 De zuivere differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.16 Bode-diagram van een willekeurig systeem . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.18 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.19 Bewijs “p = jω” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Het tweede orde systeem 37
4.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Het standaard tweede orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 De staprespons van het tweede orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Doorschot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Het nulpunten-polen-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem . . . . . . . 47
4.8 Doorschot bij een tweede orde systeem met complexe polen . . . . . . . 50
4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek . . . . . . . . . . . . . 51
4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd 55
5.1 Hogere orde systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Tijddomeinspecificaties voor hogere orde . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Systemen met looptijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5 Frequentieanalyse van een systeem met looptijd . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Voorbeeld: oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliografie 61
A Ideale systemen 63
A.1 Fysische veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 Elementtype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2.1 Veralgemeende inductantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.2.2 Veralgemeende capaciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.2.3 Veralgemeende weerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.3 Het vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.4 Ideale bronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.5 Ideale transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.7 Equivalente systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.8 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
II

Hoofdstuk 1
Inleiding
Deze cursus beschrijft en analyseert het gedrag van elementaire systemen. Zulk een systeem
wordt in het meest eenvoudige geval voorgesteld door een blokje. Een aaneenschakeling van
systemen elk beschreven door blokjes levert dan een blokkendiagram op. De blokken stellen
de fysische processen voor. Elk proces zet bepaalde grootheden om in andere grootheden.
Bijvoorbeeld, een lamp, als proces, zet elektriciteit om in licht. Figuur 1.1 stelt een proces
schematisch voor. De aankomende pijl duidt de ingangsgrootheid of het ingangssignaal
aan. De vertrekkende pijl geeft het uitgangssignaal weer.
Figuur 1.1: Voorstelling van een proces als blokje; a) algemeen, b) versterker
Figuur 1.2 geeft nog twee basiselementen uit een blokkendiagram: het vergelijkingspunt,
om signalen te combineren (optellen) of te vergelijken (aftrekken) en de aftakking, om een
signaal meerdere malen te gebruiken.
Figuur 1.2: Bewerkingen op signalen
De hier beschouwde systemen zijn allen causaal (zie later), lineair of lineariseerbaar, en
tijdinvariant 1 . Verder beperken we ons in deze cursus tot analoge systemen met één enkele
(continue) ingang en één enkele (continue) uitgang of SISO-systemen (Eng.:‘Single Input,
Single Output’).
1 Een systeem is tijdinvariant indien de coëfficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking constant
zijn.
1

1 Inleiding
De beoogde analyse is meestal tweevoudig. Enerzijds onderzoeken we het gedrag van het
systeem in de tijd, zoals bijvoorbeeld de reactie van het systeem op een plotse stapvormige
wijziging aan de ingang. Anderzijds is ook het frequentiegedrag van een systeem belangrijk.
De frequentieanalyse onderzoekt hoe het systeem reageert op een continue, sinusvormige
ingang.
Vertrekkend vanuit de differentiaalvergelijking, die het systeem beschrijft, zullen we
eerst met behulp van de Laplace-transformatie de transfertfunktie (TF) opstellen. Deze
ligt aan de basis van de analyse van het systeemgedrag in tijd- en in frequentiedomein.
De cursus is als volgt opgedeeld. Hoofdstuk 2 beschrijft de Laplace-transformatie.
Hoofdstukken 3 en 4 behandelen systemen van eerste en tweede orde. Hoofdstuk 5 beschrijft
kort systemen van hogere orde en analyseert het enige niet-lineaire blokje, dat we
voorlopig zullen toelaten in een blokschema, namelijk dit voor een dode tijd.
De hier geziene leerstof beperkt zich tot de essentiële basis voor de (latere) cursus
regeltechniek. Belangrijke aspecten uit de systeemtheorie die voorlopig nog niet aan bod
komen zijn de analyse digitale systemen, de analyse van MIMO-systemen (Eng.:‘Multiple
Inputs, Multiple Outputs’) en de beschrijving van het systeem in de toestandsruimte als
een alternatief voor de TF.
2 Johan Baeten

Hoofdstuk 2
De Laplace-transformatie
2.1 Inleiding
Het gedrag of de evolutie van een systeem (in de tijd) wordt klassiek beschreven met behulp
van differentiaalvergelijkingen welke een verband leggen tussen ingangs- en uitgangssignaal
(of signalen) van het systeem. Bijvoorbeeld, voor een capaciteit C met als ingang de stroom
i(t) en als uitgang de spanning V (t) is de beschrijvende differentiaalvergelijking:
V (t) = V (0) + 1 C
∫ t
i(t)dt.
0
Een meer beknopte beschrijving van een systeem is de transfertfunctie (TF). Deze geeft
het verband tussen ingang en uitgang van het systeem weer als een algebraïsche vergelijking
(dit is zonder afgeleiden of integralen). Om tot de gezochte TF te komen moeten we de
Laplace-transformatie (welk een integraaltransformatie is) toepassen.
Naast het bekomen van de TF laat het gebruik van de Laplace-transformatie ook toe
om differentiaalvergelijkingen op een alternatieve manier op te lossen. Zoals we later zullen
zien, verschaft de Laplace-transformatie bovendien inzicht in de frequentie-eigenschappen
van een systeem.
2.2 Definitie
De Laplace-getransformeerde van een functie f(t) wordt gedefinieerd als:
F (p) = L {f(t)} =
∫ ∞
0
f(t)e −pt dt (2.1)
op voorwaarde dat deze integraal bestaat (of dat de functie f(t)e −pt convergeert).
De invers Laplace-getransformeerde is:
f(t) = L −1 {F (p)} = 1
2πj
∫
a+j∞
a−j∞
F (p)e pt dp (2.2)
3

2 De Laplace-transformatie
Bovenstaande formules geven in feite de eenzijdige Laplace-transformatie weer. Dit wil
zeggen dat de integraal enkel genomen wordt voor positieve tijden in de veronderstelling
dat de functie f(t) een causale functie is. Causale functies bestaan enkel voor positieve
tijden en zijn nul voor negatieve tijden. (Indien op tijdstip t = 0 een Dirac-impuls optreedt
(zie verder) moet als ondergrens voor de integraal 0 − genomen worden.)
Indien F (p) de Laplace-getransformeerde is van f(t) (en dus f(t) de invers Laplacegetransformeerde
van F (p)) dan vormen deze beide functies een transformatiepaar. We
stellen dit schematisch voor als:
f(t) ↔ F (p)
2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies
Deze paragraaf past de Laplace-transformatie toe op enkele eenvoudige functies. Er wordt
niet naar gestreefd om een wiskundig zo correct mogelijke afleiding te geven, doch eerder
om op een eenvoudige, soms intuïtieve wijze tot de correcte oplossing te komen.
• De Dirac-impuls: f(t) = δ(t). De Dirac-impuls wordt gedefinieerd als een functie die
0 is, voor alle tijdstippen verschillend van 0, en ∞ voor t = 0:
{
∞ voor t = 0,
δ(t) =
(2.3)
0 voor t ≠ 0.
Het oppervlak van (of onder) deze functie is in principe 0 · ∞ of onbepaald. Per
definitie stellen we echter dat het oppervlak onder de puls 1 is:
∫ ∞
−∞
δ(t)dt =
∫ 0+
0 − δ(t)dt ≡ 1
De Laplace-getransformeerde van de Dirac-impuls wordt dan:
L{δ(t)} =
∫ ∞
0
δ(t)e −pt dt =
∫ 0+
0 − δ(t)e −p·0 dt +
∫ ∞
0 + 0 · e −pt dt = 1 + 0 (2.4)
Bijgevolg is de Dirac-impuls het tijdsignaal dat overeenstemt met de eenheid in het
Laplace-domein:
δ(t) ↔ 1
• Stap: f(t) = a (met a een constant reëel getal)
∫ ∞
[ e
L{f(t)} = L{a} = ae −pt −pt
dt = a
−p
op voorwaarde dat p > 0.
0
] ∞
0
= a p
4 Johan Baeten

2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies
• Exponentiële: f(t) = e at (met a een constant reëel getal)
∫ ∞
∫ ∞ [ e
L{e at } = e at e −pt dt = e (a−p)t (a−p)t
dt =
a − p
op voorwaarde dat p > a.
0
0
] ∞
0
= 1
p − a
• Talud of ‘ramp’: f(t) = t
L{t} =
∫ ∞
0
te −pt dt =
∫ ∞
op voorwaarde dat p > 0.
0
( ) e
−pt
td =
−p
[
− t p e−pt ] ∞
0
+ 1 p
∫ ∞
0
e −pt dt = 0+ 1 p
[ e
−pt
−p
] ∞
0
= 1 p 2
• f(t) = t n (bv. met n = 2 parabolisch of kwadratisch)
L{t n } = n!
p n
∫∞
0
e −pt dt = n!
p n+1
op voorwaarde dat p > 0 (zonder bewijs).
• Cosinus: f(t) = cos at
L{cos at} =
∫ ∞
0
cos at e −pt dt =
[ cos at e
−pt
=
−p
= 1 p − a p
∫ ∞
0
] ∞
0
−
∫ ∞
0
∫ ∞
0
( ) e
−pt
cos at d
−p
(2.5)
(−a sin at) e−pt
dt (2.6)
−p
sin at e −pt dt. (2.7)
De overgang van vergelijking 2.5 naar vergelijking 2.6 stemt overeen met vergelijking
2.13. Het tweede gedeelte van vergelijking 2.7 lossen we nu op dezelfde wijze
op:
∫ ∞
0
sin at e −pt dt =
∫ ∞
0
( ) e
−pt
sin at d
−p
[ sin at e
−pt
=
−p
= a p
∫ ∞
0
] ∞
0
−
∫ ∞
0
(a cos at) e−pt
−p dt
cos at e −pt dt = a L{cos at} (2.8)
p
Johan Baeten 5

2 De Laplace-transformatie
De overblijvende integraal in vergelijking 2.8 is per definitie de Laplacegetransformeerde
van cos at. Substitutie van vergelijking 2.8 in 2.7 levert:
of
L{cos at} = 1 p − a2
L{cos at}
p2 L{cos at} =
p
p 2 + a 2 . △ (2.9)
• De Laplace-getransformeerde van een sinus, f(t) = sin at, kan op analoge wijze als
die van de cosinus afgeleid worden. L{sin at} volgt echter rechtstreeks uit vergelijkingen
2.8 en 2.9:
L{sin at} =
∫ ∞
2.4 Eigenschappen
2.4.1 Lineariteit
0
sin at e −pt dt = a a
L{cos at} =
p
p 2 + a 2 . (2.10)
De Laplace-transformatie is lineair omdat de som en de vermenigvuldiging lineair zijn of:
L {a.f (t) + b.g (t)} = a.L {f (t)} + b.L {g (t)} = aF (p) + bG(p) (2.11)
met a en b willekeurige constanten.
Bijvoorbeeld:
L{cosh at} = L{ eat + e −at
} = 1 2 2 L{eat } + 1 2 L{e−at } = 1 2
[ 1
p − a + 1 ]
=
p + a
p
p 2 − a 2
op voorwaarde dat p > |a|. Verifieer zelf op analoge wijze dat L{sinh at} = a/(p 2 − a 2 )
wetende dat sinh at = (e at − e −at )/2.
2.4.2 Differentiatietheorema
De Laplace-getransformeerde van de afgeleide functie is gelijk aan de Laplacegetransformeerde
van die functie vermenigvuldigd met p minus de beginvoorwaarde.
Indien f(t) ↔ F (p) dan df(t)
dt
↔ pF (p) − f(o). (2.12)
Kortweg zeggen we: “Afleiden komt overeen met een vermenigvuldiging met p”. Het bewijs
voor deze zeer belangrijke eigenschap maakt gebruik van volgende vergelijking:
∫ b
f ′ gdt = fg| b a −
∫ b
fg ′ dt. (2.13)
a
a
6 Johan Baeten

2.4 Eigenschappen
De functie g is nu e −pt of
L{f ′ (t)} =
∫ ∞
f ′ (t)e −pt dt = f(t)e −pt | ∞ 0
−
∫ ∞
f(t)e −pt (−p)dt
0
0
∫ ∞
= f(∞)e −p∞ − f(0) + p f(t)e −pt dt.
De Laplace-getransformeerde L{f ′ (t)} bestaat op voorwaarde dat f(t) van exponentiële
orde is of met andere woorden dat f(∞)e −p∞ = 0 en is
0
L{f ′ (t)} = pL{f(t)} − f(0).
△
Voor een tweede afgeleide vinden we door herhaaldelijk toepassen van eigenschap 2.12
L{f ′′ (t)} = pL{f ′ (t)} − f ′ (0)
= p[pF (p) − f(0)] − f ′ (0)
= p 2 F (p) − pf(0) − f ′ (0).
Voor een hogere orde afgeleide wordt dit
d n f(t)
dt n
↔ p n F (p) − p n−1 n−2 df(0)
f(o) − p − · · · − dn−1 f(0)
.
dt
dt n−1
Bijvoorbeeld: om de Laplace-getransformeerde van een sinus te berekenen in de veronderstelling
dat we deze voor een cosinus reeds kennen, kunnen we het afleidingstheorema
op de volgende wijze gebruiken
d cos at
dt
= −a sin at of sin at = − 1 d cos at
a dt
Toepassing van de Laplace-transformatie op linker- en rechterlid geeft
L{sin at} = − 1 { } d cos at
a L = − 1 (
)
p
p ·
dt a p 2 + a − 1 a
=
2 p 2 + a . 2
Dit stemt natuurlijk overeen met vergelijking 2.10.
2.4.3 Integratietheorema
De Laplace-getransformeerde van de geïntegreerde functie is gelijk aan de Laplacegetransformeerde
van die functie gedeeld door p of
∫
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t)dt ↔ F (p)
p . (2.14)
Johan Baeten 7

2 De Laplace-transformatie
Kortweg zeggen we: “Integreren komt overeen met een deling door p”. Het bewijs voor
deze eigenschap maakt gebruik van het differentiatietheorema (eigenschap 2.12).
Stel g(t) =
Verder geldt
dus
∫ t
0
f(t)dt dan is g(t) continu en is f(t) = dg(t) .
dt
{ } dg(t)
F (p) = L{f(t)} = L = pG(p) − g(0) met g(0) =
dt
{∫
L
}
f(t)dt = L{g(t)} = G(p) = F (p)
p . △
2.4.4 Eindwaardetheorema
∫ 0
0
f(0)dt = 0
De eindwaarde van de tijdfunctie f(t) wordt verkregen als de limiet voor p gaande naar
nul van de Laplace-getransformeerde van f(t), vermenigvuldigd met p.
Bewijs:
Indien f(t) ↔ F (p) dan lim
t→∞
f(t) = lim
p→0
pF (p).
lim
p→0
pF (p) = lim
p→0
⎛
= lim ⎝
p→0
=
∫ ∞
0
(pF (p) − f(0) + f(0))
⎞
∫ ∞
0
f ′ (t)e −pt dt + f(0) ⎠
f ′ (t)dt + f(0) = f(∞) − f(0) + f(0)
= f(∞). △
2.4.5 Beginwaardetheorema
Indien f(t) ↔ F (p) dan lim
p→∞
pF (p) = f(0).
2.4.6 Schaalfactortheorema
Het schaalfactortheorema is vooral nuttig wanneer de tijdbasis moet omgerekend worden
naar een andere tijdeenheid.
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(at) ↔ 1 ( p
)
a F .
a
Zonder bewijs.
8 Johan Baeten

2.4 Eigenschappen
2.4.7 Eerste verschuivingstheorema
Men noemt dit theorema ook het theorema van de complexe translatie omdat het betrekking
heeft op een toename van p, waar p (zoals we later zullen zien) een ‘complex getal’ is.
Indien
f(t) ↔ F (p) dan e at f(t) ↔ F (p − a).
Verifieer dit aan de hand van de definitie van de Laplace-transformatie.
2.4.8 Tweede verschuivingstheorema (reële translatie)
Let er op dat de tijdfuncties causaal zijn en dit na verschuiving moeten blijven.
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t − a) ↔ e −ap F (p). (2.15)
Zonder bewijs.
2.4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie)
dF (p)
Indien f(t) ↔ F (p) dan tf(t) ↔ −
dp
of door herhaaldelijk toepassen:
Indien f(t) ↔ F (p) dan t n f(t) ↔ (−1) n d n F (p)
dp n .
Zonder bewijs.
2.4.10 Deling door t (complexe integratie)
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t)
t
∫ ∞
↔ F (u)du.
p
Zonder bewijs.
2.4.11 Convolutie
Het symbool ∗ geeft de convolutiebewerking weer.
Indien f(t) ↔ F (p) en g(t) ↔ G(p) dan f(t) ∗ g(t) ↔ F (p) · G(p).
De Laplace-getransformeerde van de convolutie van twee tijdsignalen stemt overeen met de
vermenigvuldiging van de Laplace-getransformeerden van deze signalen. Zonder bewijs.
Johan Baeten 9

2 De Laplace-transformatie
2.5 De inverse Laplace-transformatie
De bewerking L −1 {F (p)} = f(t) wordt de inverse Laplace-transformatie genoemd. De
complexe functie F (p) is voor de hier beschouwde klasse van systemen steeds voor te
stellen als een verhouding van veeltermen in p.
F (p) = T (p)
N(p)
Voor fysisch realiseerbare systemen is de graad van de tellerveelterm T (p) kleiner dan of
maximaal gelijk aan de graad van de noemerveelterm N(p). In deze gevallen kan door splitsing
in partieelbreuken de echte breuk die F (p) voorstelt, herleid worden tot een som van
eenvoudigere breuken waarvan we via de tabel met elementaire Laplace-transformatieparen
(samengevat in paragraaf 2.7) tot de corresponderende tijdfunctie kunnen komen. In feite
maken we hier gebruik van de lineariteitseigenschap van de inverse Laplace-transformatie
L −1 {c 1 F (p) + c 2 G(p)} = c 1 L −1 {F (p)} + c 2 L −1 {G(p)} = c 1 f(t) + c 2 g(t) (2.16)
met c 1 en c 2 willekeurige constanten.
Voor elke enkelvoudige wortel p i van de noemerveelterm (of pool 1 ) van F (p) geeft de
partieelbreuksplitsing een breuk van de vorm
A i
p − p i
met A i = lim
p→pi
(p − p i )F (p). (2.17)
Voor elke meervoudige pool p i (r-keer) in F (p) bevat de partieelbreuksplitsing volgende
breuken
A 0
(p − p i ) r +
A 1
(p − p i ) r−1 + · · · + A r−1
p − p i
met A j = 1 j! lim
p→p j
d j
dp j [(p − p i) r F (p)] . (2.18)
De coëfficiënt die hoort bij de enkelvoudige pool volgt rechtstreeks uit vergelijking 2.17.
De coëfficiënten die horen bij de meervoudige polen daarentegen kan men beter niet bepalen
met vergelijking 2.18 maar door gelijkstelling van de tellers in linker- en rechterlid nadat
de partieelbreuken op gelijke noemer werden gebracht.
Dit geldt ook voor complex toegevoegde polen die zullen leiden tot sinusvormige tijdsignalen
in overeenstemming met de formules 12 tot en met 15 uit de transformatietabel op
pagina 14. Voor elk complex toegevoegd polenpaar a ± jb bevat de partieelbreuksplitsing
volgende term
Bp + C
(p − a) 2 + b 2 . (2.19)
Bij zuiver complex toegevoegde polen is a = 0 en is de bovenstaande breuk eenvoudig de
som van een cosinus en een sinus (respectievelijk met coëfficiënten B en C). Indien a ≠ 0
moet de teller Bp + C nog herschreven worden als (B(p − a) + (C + a/B) en komt de
totale breuk overeen met een gedempte cosinus en een gedempte sinus respectievelijk met
1 De wortels van de noemerveelterm van F (p) zijn per definitie de polen van F (p).
10 Johan Baeten

2.5 De inverse Laplace-transformatie
coëfficiënten B en (C +a/B)/b. Leer deze laatste twee formules echter niet vanbuiten maar
leid ze telkens weer af!
De mogelijkheid tot meervoudige (of samenvallende) complex toegevoegde polen laten
we hier buiten beschouwing.
Voorbeelden:
{
}
• Gevraagd L −1 p − 1
(p + 2)(p + 1)p
p − 1
(p + 2)(p + 1)p ≡ A
(p + 2) + B
(p + 1) + C p
Volgens vergelijking 2.17 zijn
(p + 2)(p − 1)
A = lim
p→−2(p + 2)(p + 1)p
(p + 1)(p − 1)
B = lim
p→−1(p + 2)(p + 1)p
(−2 − 1)
=
(−2 + 1)(−2) = −3 2
(−1 − 1)
=
(−1 + 2)(−1) = 2
(p)(p − 1)
C = lim
p→0 (p + 2)(p + 1)p = (−1)
(2)(1) = −1 2
Dit geeft:
{
}
L −1 p − 1
(p + 2)(p + 1)p
{ −3
= L −1 2(p + 2) + 2
(p + 1) − 1
2p
}
= − 3 2 L−1 { 1
(p + 2)
}
+ 2L −1 { 1
(p + 1)
}
− 1 { } 1
2 L−1 p
= − 3 2 e−2t + 2e −t − 1 2
△
{ } p
• Gevraagd L −1 2 + 1
(p − 2) 3
of
p 2 + 1
(p − 2) ≡ A
3 (p − 2) + B
(p − 2) + C
2 (p − 2) = A(p − 2)2+ B(p − 2) + c
3 (p − 2) 3
p 2 + 1 ≡ Ap 2 + (B − 4A)p + 4A − 2B + C
Dan is
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A = 1
B − 4A = 0 → B = 4
4A − 2B + C = 1 → C = 5
Johan Baeten 11

2 De Laplace-transformatie
of
{ } { } { } { }
p
L −1 2 + 1
1
= L −1 + 4L −1 1
+ 5L −1 1
(p − 2) 3 (p − 2)
(p − 2) 2 (p − 2) 3
{ }
• Gevraagd L −1 p
p 2 + 4p + 5
= e 2t + 4te 2t + 5 2 t2 e 2t
= 1 2 e2t (5t 2 + 8t + 2)
De wortels van de noemer zijn −2 ± j. Dit geeft voor de partieelbreuksplitsing
p
p 2 + 4p + 5 =
p
(p + 2) 2 + 1 ≡ Ap + B
(p + 2) 2 + 1
Bijgevolg is A = 1 en B = 0. Voor de inverse transformatie moet bovenstaande
breuk echter herschreven worden als een som van de formules 14 en 15 uit de transformatietabel
(zie paragraaf 2.7). Dit geeft:
p
(p + 2) 2 + 1
≡
C(p + 2)
(p + 2) 2 + 1 + D
(p + 2) 2 + 1
Eenvoudige gelijkstelling levert C = 1 en D = −2, of
{ } {
} {
}
L −1 p
= L −1 p + 2
− L −1 2
p 2 + 4p + 5 (p + 2) 2 + 1 (p + 2) 2 + 1
= e −2t cos t − 2e −2t sin t
Later zullen we zien, dat we de som van een sinus en een cosinus (met dezelfde
pulsatie) nog kunnen herschrijven als een sinus met faseverschuiving.
12 Johan Baeten

2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen
2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue
systemen
De oplossing van elke differentiaalvergelijking van de vorm
met
D y |y(t)| = D x |x(t)|
D y = b n
d n
dt n + · · · + b 0
en D x = a n
d n
dt n + · · · + a 0
kan teruggebracht worden tot eenvoudige algebraïsche bewerkingen via de Laplacetransformatie.
Toepassing van de Laplace-transformatie op beide leden levert:
b n [p n Y (p) − y(0)p n−1 − y ′ (0)p n−2 − · · · − y n−1 (0)]
+b n−1 [p n−1 Y (p) − y(0)p n−2 − y ′ (0)p n−3 − · · · − y n−2 (0)]
+ · · · + b 1 [pY (p) − y(0)] + b 0 Y (p)
= a n [p n X(p) − x(0)p n−1 − x ′ (0)p n−2 − · · · − x n−1 (0)]
+a n−1 [p n−1 X(p) − x(0)p n−1 − x ′ (0)p n−2 − · · · − x n−2 (0)]
+ · · · + a 1 [pX(p) − x(0)] + a 0 X(p).
Dit is een algebraïsche vergelijking die als volgt herschikt kan worden
Y (p) = H(p)X(p) + E(p) met H(p) = a np n + a n−1 p n−1 + · · · + a 0
b n p n + b n−1 p n−1 + · · · + b 0
en E(p) een verhouding van rationele veeltermen in p. De coëfficiënten van de tellerveelterm
zijn functie van y(0), y ′ (0) · · · y n−1 (0), de beginvoorwaarden voor de uitgang (de eerste
n − 1 afgeleiden van de uitgang op tijdstip 0), en de waarden x(0), x ′ (0) · · · x n−1 (0) de
beginvoorwaarden voor de ingang. De noemerveelterm is dezelfde als die van H(p).
De functie H(p) wordt de systeemfunctie of de transfertfunctie van het door de differentiaalvergelijking
beschreven systeem, genoemd.
Johan Baeten 13

2 De Laplace-transformatie
2.7 Transformatietabel
Onderstaande tabel geeft een samenvatting van enkele Laplace-transformatieparen.
tabel geeft voor elk tijdsignaal ook het verloop aan.
De
f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p)
1. δ(t) 1
2.
f(t)
δ(t − nT) e −nTp
3. u(t) 1
1
p
f(t)
4. tu(t) 1
5.
p 2
1
2 t2 u(t) 1
p 3
f(t)
6. t n u(t) n!
p n+1
f(t)
7. e −at u(t) 1
p + a
8.
f(t)
te −at u(t) 1
(p + a) 2
9.
f(t)
f(t)
f(t)
f(t)
nT
tijd
tijd
tijd
tijd
tijd
tijd
1
2 t2 e −at u(t) 1
(p + a) 3
10.
f(t)
t n e −at u(t) n!
(p + a) n+1
f(t)
tijd
tijd
tijd
tijd
11. (1 − e −at )u(t)
tijd
a
p(p + a)
f(t)
12. sin (ωt)u(t) ω
tijd
p 2 + ω 2
f(t)
13. cos (ωt)u(t)
tijd
p
p 2 + ω 2
f(t)
14. e −at sin (ωt)u(t) ω
tijd
(p + a) 2 + ω 2
15.
f(t)
e −at cos (ωt)u(t) p + a
(p + a) 2 + ω 2
tijd
Figuur 2.1: Tabel met Laplace-transformatieparen
14 Johan Baeten

Hoofdstuk 3
Systemen van eerste orde
3.1 Inleiding
Het meest eenvoudige systeem is dit van eerste orde (naast een zuivere versterking of verzwakking
hetgeen in feite een nulde orde systeem is). Na de definitie en een voorbeeld van
een eerste orde systeem, zal dit hoofdstuk de verschillende mogelijke ’voorstellingswijzen’
van systemen aan de hand van het eerste orde model behandelen. We onderscheiden hierin
twee grote groepen, namelijk de tijdrespons en de frequentierespons.
Andere mogelijke voorstellingswijzen zijn het nulpunten-polen-diagram en de transfertfunctie.
Elk van de diagrammen, responscurven of modellen vertalen hetzelfde systeem op
een eigen specifieke wijze qua eigenschappen en interprtatie.
3.2 Voorbeeld van een eerste orde systeem
Deze paragraaf beschrijft bij wijze van voorbeeld de afleiding van een elektrisch eerste orde
systeem. Merk hierbij op dat er evengoed elektronische, thermodynamische, hydraulische,
pneumatische, thermische, (bio)chemische of mechanische eerste orde systemen bestaan.
Uiteindelijk zullen al deze eerste orde systemen (van welke aard ook) beschreven worden
door dezelfde transfertfunctie. Alle eerste orde systemen gedragen zich dan ook op dezelfde
wijze niettegenstaande dat het telkens om verschillende ingangs- en uitgangsgrootheden
gaat.
Laten we eerst de transfertfunctie berekenen van het systeem uit figuur 3.1, namelijk
de RC-kring. Hierbij is V in de ingangsspanning en V uit , de spanning over de condensator,
de uitgangsspanning.
We weten dat we de condensator waarde C mogen vervangen door de veralgemeende
impedantiewaarde van een condensator 1/pC. Nu mogen we de condensator als een gewone
Figuur 3.1: Voorbeeld 1e orde systeem: RC-kring
15

3 Systemen van eerste orde
weerstand beschouwen. De TF volgt dan uit de volgende regel:
Dus
“Spanningen verhouden zich zoals de weerstanden waarover ze staan.”
TF = V uit(p)
V in (p) =
1/pC
R + 1/pC = 1
1 + RCp .
De hoogste macht van p in de noemer is 1. Per definitie (zie later) is dit dan een eerste orde
systeem. In de voorgaande berekeningen werd onmiddellijk de eenvoudigste weg gevolgd.
Men kan de transfertfunctie ook op een andere manier berekenen. Veronderstel dat er een
stroom i door de kring vloeit. Dan geldt
V in (t) = Ri(t) + V uit (t) met V uit (t) = 1 C
Substitutie geeft
V in (t) = RC dV uit(t)
dt
+ V uit (t).
∫
i(t)dt of i(t) = C dV uit(t)
dt
Toepassing van de Laplace-transformatie op deze differentiaalvergelijking levert dezelfde
transfertfunctie op als voorheen.
V in (p) = (RCp + 1) V uit (p) → V uit(p)
V in (p) = 1
1 + RCp .
Bij de Laplace-transformatie werd verondersteld dat de beginspanning over de condensator
V uit (0) gelijk is aan nul of met andere woorden dat de beginspanning over de condensator als
referentiespanning moet beschouwd worden. De spanning V uit , voor tijdstippen verschillend
van 0, is bijgevolg de afwijking van de werkelijke spanning over de condensator t.o.v. de
spanning op ogenblik t = 0.
3.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem
De orde van een systeem is gelijk aan de hoogste macht van p in de noemer van de transfertfunctie.
Dit wil zeggen dat bij een eerste orde systeem de hoogste macht van p in de
noemer gelijk is aan 1. De hoogste macht van p komt in feite overeen met de graad van
de differentiaalvergelijking die het systeem beschrijft. De orde van een systeem is dus ook
gelijk aan de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking (zie voorgaand voorbeeld).
Bij fysische systemen weten we verder dat de graad van de teller van de transfertfunctie
nooit groter kan zijn dan die van noemer. Er zijn dan nog vier mogelijk transfertfuncties
die voldoen aan de eisen van een eerste orde systeem.
1
τ i p
,
1
1 + τp
,
τ d p
1 + τp
,
1 + τ v p
1 + τp
Bij elk van deze transfertfuncties kan nog een versterking K staan.
16 Johan Baeten

3.4 Tijd- en frequentierespons
Indien men echter spreekt van ’het eerste orde systeem’, dan gaat het steeds om de
volgende TF:
T F 1e orde =
K
1 + τp
In deze transfertfunctie staan twee parameters.
• K is de statische versterking.
(3.1)
• τ is de tijdconstante.
De tijdconstante heeft als dimensie seconden op voorwaarde dat de in- en uitgangsgrootheden
dezelfde dimensie hebben. De statische versterkingsfactor is dan dimensieloos.
Verder onderscheiden we de integrator- en differentiatortransfertfunctie.
T F int. = 1
τ i p
en
T F diff. = τ d p
met τ i de integratietijdconstante en τ d de differentiatietijdconstante. De differentiator zal
in de praktijk nooit alleen voorkomen maar steeds in combinatie met andere systemen.
(De differentiator is in feite ook geen eerste orde systeem).
De volgende paragrafen beschrijven om te beginnen het gedrag van het eerste orde systeem
in tijd- en frequentiedomein. Daarna komen dan o.a. de integrator en de differentiator
op dezelfde wijze kort aan bod.
3.4 Tijd- en frequentierespons
De reactie van een systeem op een wel bepaald ingangssignaal bepaalt per definitie de
eigenschappen van dit systeem. Bij de analyse van een systeem zal men een gekend signaal
aanleggen en het hieruit voortvloeiend uitgangssignaal of de respons bestuderen.
Hierbij onderscheidt men twee soorten van ingangssignalen: willekeurige (nietperiodische)
signalen of periodische signalen. De eerste groep worden tijdsignalen of tijdfuncties
genoemd, de tweede groep frequentiesignalen. De meest gebruikte tijdfuncties zijn
de stap-, de impuls- en de ‘ramp’- of taludfunctie. Het meest gebruikte frequentiesignaal
is een sinus. De keuze van het aangelegde signaal hangt samen met de beoogde analyse.
Dit kan een tijdrespons of een frequentierespons zijn. Figuur 3.2 geeft een overzicht.
Figuur 3.2: Overzicht analysemogelijkheden
Johan Baeten 17

3 Systemen van eerste orde
3.5 Tijdrespons
Bij de gebruikte tijdfuncties als ingangssignalen is de stapfunctie de belangrijkste. Volledigheidshalve
komen echter ook de impulsrespons en de taludrespons aan bod. Figuur 3.3
Figuur 3.3: Tijdfuncties met overeenkomstige Laplace-formules
geeft de stap-, ramp- en impulsfunctie grafisch weer samen met de Laplace-formules. Merk
op dat een stap de integraal is van een impuls en dat een talud de integraal is van een stap,
waarbij integreren overeenstemt met een vermenigvuldiging met 1/p. De constante krijgt
bij de integratiestap telkens een andere naam.
Uit de definitie van de transfertfunctie volgt dat de uitgang gelijk is aan de ingang
maal de transfertfunctie (met alle veranderlijken of functies i.f.v. p). De staprespons S(p)
is bijgevolg gelijk aan de TF maal de ingang (-stap) E/p of
S(p) =
K
1 + τp · E
p
Dit geeft onmiddellijk het uitgangssignaal i.f.v. p. Het uitgangssignaal i.f.v. de tijd is
de invers Laplace-getransformeerde van bovenstaande formule. Dit gebeurt via partieelbreuksplitsing
en de Laplace-transformatietabel. Partieelbreuksplitsing geeft:
S(p) =
K
1 + τp · E
p =
A
1
+ p + B p
τ
De nog ongekende waarden A en B, volgen uit de gelijkstelling 1 van rechter en linker lid.
K
1 + τp · E
p
=
τAp + (1 + τp) B
(1 + τp) p
→ KE = B + τ (A + B) p
of B = KE en A = −KE. Met behulp van de transformatietabel op pagina 14 wordt de
staprespons
)
S(t) = Ae − t τ + B = KE
(1 − e − t τ
1 Gebruik ook eens vergelijking 2.17 om A en B te bepalen.
18 Johan Baeten

3.5 Tijdrespons
Deze functie is nul voor t = 0, gelijk aan KE voor t = ∞ en bereikt na een tijd τ 63%
van haar uiteindelijke waarde (=KE). De afgeleide van deze functie op het tijdstip t = 0,
levert de hoek α waarmee de curve vertrekt en is
α =bgtg ( KE
τ
)
.
Figuur 3.4: Staprespons van een eerste orde systeem
Figuur 3.4 geeft de staprespons weer. Uit de oplossing volgt dat de uitgang zijn uiteindelijke
waarde zo goed als bereikt heeft na 5 maal de tijdconstante. De tijdconstante is
dus een indicatie voor de snelheid van het systeem. Systemen met een grote tijdconstante
zijn langzame systemen, systemen met een kleine tijdconstante zijn snelle systemen.
Figuur 3.5: Impuls- en ramprespons van het eerste orde systeem
Nu kunnen we de statische versterkingsfactor en de tijdconstante definiëren:
• De tijdconstante is de tijd waarbij de uitgang (van een eerste orde systeem) als
respons op een stap, 63% van de uiteindelijke waarde bereikt of ook de tijd waarbij
de uitgang de uiteindelijke waarde bereikt indien ze met dezelfde snelheid zou blijven
toenemen als op het tijdstip nul.
• De statische versterkingsfactor is de factor waarmee het ingangssignaal versterkt
wordt indien dit niet meer verandert en indien men lang genoeg wacht of m.a.w. de
statische versterkingsfactor is de factor waarmee ’statische’ signalen (frequentie nul)
versterkt worden door het systeem.
Johan Baeten 19

3 Systemen van eerste orde
De impuls- en ramprespons kunnen op analoge wijze behandeld worden. Figuur 3.5
geeft de oplossing.
3.6 Frequentierespons
De frequentierespons van een systeem is de blijvende reactie van het systeem op een sinusoïdaal
signaal, dat meestal bestaat uit één enkele sinus met een bepaalde frequentie f
of pulsatie ω en met een bepaalde amplitude A. Zie volgende figuur.
Figuur 3.6: Frequentieanalyse
Het uiteindelijk uitgangssignaal zal terug een sinus zijn maar met een andere amplitude
en met een faseverschuiving t.o.v. het ingangssignaal. In het voorbeeld getekend in
figuur 3.6, is de faseverschuiving ϕ negatief.
Een negatieve faseverschuiving geeft aan dat de uitgangssinus later door nul gaat dan
de ingangssinus of dat de uitgang naijlt op de ingang. Bij een positieve faseverschuiving
ijlt de uitgang voor op de ingang.
De frequentieanalyse gaat na hoe groot de versterking of verzwakking en hoe groot de
faseverschuiving veroorzaakt door het systeem, zijn en dit voor alle mogelijk pulsatiewaarden,
dus voor ω gaande van 0 tot ∞.
De onmiddellijke reactie op een plots aangelegde sinus bestaat in feite uit twee delen,
het overgangsverschijnsel en de regimetoestand. Het overgangsverschijnsel sterft vlug
uit, zodat de frequentierespons enkel de regimetoestand beschrijft. Figuur 3.7 geeft een
schematisch voorbeeld.
Figuur 3.7: Overgangsverschijnsel en regimetoestand
Het resultaat van de frequentieanalyse kan op verschillende wijzen worden voorgesteld.
De twee belangrijkste voorstellingswijzen zijn het Bode-diagram en het Nyquist-diagram.
20 Johan Baeten

3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem
Indien de transfertfunctie van het systeem gekend is, kan men de versterking en de faseverschuiving
gemakkelijk vinden door p gelijk te stellen aan jω en in te vullen in de
transfertfunctie. Het bewijs hiervoor volgt uit de invers Laplace-transformatie van de uitgang
bij een sinus als ingangsignaal. Voor het eerste orde systeem worden de afleidingen
en berekeningen voor dit bewijs gegeven op het einde van dit hoofdstuk (paragraaf 3.19).
3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem
De karakteristieken van de frequentierespons volgen uit de gelijkstelling van p met jω in
de TF:
T F 1eorde = G(p) =
K
1 + pτ → G(jω) = K
1 + jωτ
(3.2)
G(jω) is een complex getal dat verandert i.f.v. de pulsatie ω. De absolute waarde van
G(jω), voorgesteld door M, is gelijk aan de versterking. De hoek van G(jω) is gelijk aan
de faseverschuiving ϕ.
en
K
G(jω) =
1 + jωτ = Mejϕ met
M = |G(jω)| =
K
∣1 + jωτ ∣ = K
|1 + jωτ| = K
√ (3.3)
1 + ω2 τ 2
ϕ = ∠G(jω) = ∠Teller − ∠Noemer = 0 − bgtg(ωτ) (3.4)
M en ϕ zijn functies van ω. Deze waarden worden meestal in figuren, zoals het Bode-, het
Nyquist- en het Black-diagram, weergegeven.
3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem
In het Bode-diagram wordt enerzijds de versterking A in dB en anderzijds de faseverschuiving
ϕ in graden i.f.v. de pulsatie ω uitgezet, waarbij de pulsatie-as een logaritmische
schaalverdeling heeft.
De decibel-waarde van een versterking is gelijk aan het 20 maal het logaritme van die
waarde:
A = 20 log M = 20 log |G(jω)|
Bij een logaritmische schaalverdeling stemt een vermenigvuldiging met een factor (bijvoorbeeld
·10) overeen met een vaste afstand op de logaritmische schaal. Figuur 3.8 geeft
de opbouw van het Bode-diagram weer. Om het amplitudegedeelte van het Bode-diagram
te tekenen gaan we de functie die A weergeeft i.f.v. ω, evalueren voor zeer kleine ω-waarden,
voor ω = 1/τ en voor zeer grote ω-waarden.
( )
K
A(ω) = 20 log M(ω) = 20 log √ = 20 log K − 20 log √ 1 + ω 2 τ 2
1 + ω2 τ 2
Johan Baeten 21

3 Systemen van eerste orde
Figuur 3.8: Het Bode-diagram
• Voor zeer kleine ω-waarden geldt
ωτ > 1 → A = 20 log K − 20 log (ωτ) .
Dit is een rechte die voor de waarde ω = 1/τ gelijk is aan 20 log K. Indien we ook nog
de helling kennen van deze rechte dan kunnen we deze tekenen. De helling vinden we
met de volgende redenering: Indien ω met een factor 10 vergroot, dan gaat de rechte
door het punt met grootte A 2 :
ω 2 = 10ω 1 → A 2 = 20 log K − 20 log (ω 2 τ)
A 2 = 20 log K − 20 log (10ω 1 τ)
A 2 = 20 log K − 20 log (ω 1 τ) − 20 log (10)
A 2 = A 1 − 20 log (10) = A 1 − 20dB
Dit komt erop neer dat de rechte een helling heeft van -20 dB per decade waarbij een
decade de afstand is die op de logaritmische schaal overeenstemt met een factor 10.
In feite werden nu drie punten exact berekend:
• de asymptotische waarde voor ω gaande naar 0,
• de waarde bij de breekpulsatie ω = 1/τ en
• de asymptotische waarde voor ω gaande naar ∞.
22 Johan Baeten

3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem
Figuur 3.9: Bode-diagram van het eerste orde systeem
Het asymptotisch amplitudegedeelte van het Bode-diagram bestaat uit twee asymptoten.
Het werkelijke verloop is rakend aan de asymptoten en heeft in het breekpunt (bij de
breekpulsatie) een afwijking van -3 dB. Figuur 3.9 geeft het volledige Bode-diagram. Het
faseverloop volgt rechtstreeks uit de formule die de faseverschuiving beschrijft i.f.v. ω. De
faseverschuiving is nul bij ω = 0, is −45 ◦ bij ω = 1/τ en wordt −90 ◦ voor ω gaande naar
∞. Merk op dat ω = ∞ en ω = 0 op een logaritmische schaal de limietwaarden vormen.
Voorbeeld: Teken het Bode-diagram van het volgende eerste orde systeem:
G(p) = 10
2p + 1
Gegeven: τ = 2 sec en K = 10.
Bepaal eerst de breekpulsatie ω k = 1/τ = 1/2 rad/sec = 0,5 rad/sec (Let op de eenheid!)
• Teken een horizontale die de verticale as snijdt in 20log(K) = 20 dB;
• Teken een rechte met helling -20dB/dekade die de vorige horizontale rechte snijdt bij
de breekpulsatie;
• Teken het punt dat 3 dB lager ligt dan het snijpunt van de twee rechten;
• Teken tenslotte een vloeiende lijn door dit punt en rakend aan de twee rechten.
• Teken nu het faseverloop onder het amplitudeverloop. Duid hiervoor het punt aan
waarbij de fase −45 ◦ wordt, en teken hierdoor een vloeiende curve beginnend bij nul
en eindigend bij −90 ◦ .
Johan Baeten 23

3 Systemen van eerste orde
Een goede benadering voor het faseverloop is een rechte die vertrekt in 0 ◦ bij 1/10 van de
breekpulsatie en die aankomt in -90 ◦ bij 10 keer de breekpulsatie. Voor het eerste punt is
de fase omzeggens 0 ◦ , na het tweede punt is de fase bijna 90 ◦ . Vergelijk nu het resultaat
met figuur 3.10.
Figuur 3.10: Bode-diagram van eerste orde systeem met K = 10 en τ = 2 sec
Interpretatie: In het gebied ω = 0 tot ω = 1/τ worden de sinusvormige signalen
vrijwel onverzwakt (met dezelfde versterking) doorgelaten. Dit frequentiegebied noemen
we de bandbreedte van het systeem. Daar enkel de lage frequenties onverzwakt worden
doorgelaten, noemt men dit ook een laagdoorlaatfilter.
3.9 Het Nyquist-diagram
Het Nyquist-diagram vormt naast het Bode-diagram een tweede mogelijke manier om het
frequentiegedrag van een systeem voor te stellen. In het Nyquist-diagram wordt het reëel
en het imaginair deel van de transfertfunctie uitgezet en dit voor alle pulsaties gaande van
nul tot oneindig. Bij elk uitgezet punt wordt vermeld bij welke frequentie dit punt behoort.
De Nyquist-curve moet dus gegradueerd worden naar de pulsatie ω.
Een schets van het Nyquist-diagram is meestal voldoende. Deze schets wordt afgeleid
uit het Bode-diagram, zodat er in feite geen berekeningen nodig zijn. Volledigheidshalve
worden de formules toch gegeven.
G(jω) =
Re [G (jω)] =
K
1 + jτω = K
(1 − jτω) (3.5)
1 + τ 2 ω2 K
en Im [G (jω)] = − Kτω
(3.6)
1 + τ 2 ω 2 1 + τ 2 ω 2
24 Johan Baeten

3.9 Het Nyquist-diagram
Men kan het Nyquist-diagram ook opbouwen door voor elke pulsatie ω een vector met
lengte M uit te zetten onder een hoek ϕ.
Figuur 3.11 geeft de algemeenheden van het Nyquist-diagram weer. De positieve zin
voor de hoek ϕ is tegenuurwijzerszin. De getekende hoek is bijgevolg negatief.
Figuur 3.11: Het Nyquist-diagram
Om het Nyquist-diagram van het eerste orde systeem te tekenen bepalen we eerst enkele
punten
ω = 0 → Re = K Im = 0 M = K ϕ = 0 ◦
ω = 1/τ → Re = K/2 Im = −K/2 M = K √ 2/2 ϕ = −45 ◦
ω = ∞ → Re = 0 Im = 0 M = 0 ϕ = −90 ◦
Men kan wiskundig afleiden dat het Nyquist-diagram voor het eerste orde systeem in
feite een halve cirkel is. Zie figuur 3.12.
K
Figuur 3.12: Nyquiqst-diagram van het eerste orde systeem
De pijl geeft de toenemende waarde van ω aan. De hoek is negatief in uurwijzerszin.
Schets nu bij wijze van oefening het Nyquist-diagram van 10/(1+2p), (zie vorige oefening).
Figuur 3.13 geeft de oplossing.
Johan Baeten 25

3 Systemen van eerste orde
Figuur 3.13: Het Nyquist-diagram van 10/(1 + 2p)
3.10 Het Black- of Nichols-diagram
In het Black- of Nichols-diagram wordt de versterking A (in dB) uitgezet in functie van
de faseverschuiving ϕ (in graden). Zoals bij het Nyquist-diagram tekent men enkel het
kwadrant waar de TF betrekking op heeft. In dit geval kwadrant 3. Zie figuur 3.14.
Figuur 3.14: Black- of Nichols-diagram van het eerste orde systeem met K = 1
Ook het Black-diagram wordt gegradueerd naar de pulsatie ω. Dit wil zeggen dat we bij
enkele set van punten (versterking, faseverschuiving) de (bijbehorende) pulsatie aangeven.
3.11 Het nulpunten-polen-diagram
De nulpunten van een systeem zijn de nulpunten van de teller van de transfertfunctie. De
polen van een systeem zijn de nulpunten van de noemer van de transfertfunctie.
26 Johan Baeten

3.11 Het nulpunten-polen-diagram
Het nulpunten-polen-diagram geeft de nulpunten en de polen van het systeem weer,
getekend in het complex vlak. Een nulpunt wordt aangeduid met een ‘o’ en een pool met
een ‘x’. Zoals bij de staprespons gezien is, bepalen de polen het transiënt gedrag van het
systeem. Elke (reële) pool a komt overeen met een exponentieel tijdgedrag:
1
→ e at .
p − a
• Indien a positief is dan wordt de exponentiële functie steeds groter. Het ‘transiënt’
gedrag sterft niet uit of het systeem is instabiel.
• Indien a negatief is dan sterft de ‘reactie’ vanzelf uit, zodat het systeem stabiel
is. (Met reactie bedoelen we de uitgang als respons op een willekeurige ingang bijvoorbeeld
ruis). Naarmate a meer negatief is, zal het overgangsverschijnsel vlugger
uitsterven.
• Indien a = 0, dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Het
overgangsverschijnsel sterft niet uit en wordt ook niet noodzakelijk oneindig groot.
De ligging van de polen en de nulpunten geeft dus informatie over de vorm van de
transfertfunctie en over het tijdgedrag van het systeem. Figuur 3.15 geeft het nulpuntenpolen-diagram
van het eerste orde systeem.
Figuur 3.15: Nulpunten-polen-diagram van het eerste orde systeem
Merk op dat 1/τ de breekpulsatie is uitgedrukt in rad/sec en dat −1/τ de pool is van
het eerste orde systeem. Figuur 3.16 geeft het verband tussen de ligging van de pool en
het transiënt gedrag.
Figuur 3.16: Verband tussen het nulpunten-polen-diagram en het transiënt gedrag
In de volgende paragrafen worden Bode-, Nyquist- Black- en nulpunten-polendiagrammen
gegeven voor het eerste orde systeem met differentiërende werking, de integrator,
de differentiator en het ‘omgekeerde eerste orde systeem’. De figuren volgen
allemaal uit de transfertfunctie op een analoge wijze als in de voorgaande paragrafen.
Johan Baeten 27

3 Systemen van eerste orde
3.12 Eerste orde met differentiërende werking
Neem als voorbeeld de CR-kring uit figuur 3.17. De transfertfunctie hiervoor is
Figuur 3.17: Voorbeeld: 1e orde systeem met differentiërende werking: CR-kring
V uit
= RCp
V in RCp + 1 =
τp
τp + 1
met τ = RC [sec] .
De statische versterking K voor deze kring is gelijk aan 1. Figuur 3.18 geeft de eenheidsstaprespons
en de ramprespons . Figuur 3.19 geeft het Bode-, Nyquist- en Black-diagram.
Figuur 3.18: Stap- en ramprespons van een systeem met differentiërende werking
Figuur 3.19: Frequentiediagrammen voor eerste orde systeem met differentiërende werking
28 Johan Baeten

3.13 De zuivere integrator
3.13 De zuivere integrator
Als voorbeeld nemen we een vloeistofreservoir. Zie figuur 3.20.
Figuur 3.20: Het vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuivere integrator
Het instromend water zal een verandering van de hoogte veroorzaken. We schrijven:
Φ in (t) = ρA dh(t)
dt
of
H(p)
φ in (p) = 1
τp
met ρA = τ [sec]
De uitgang van de integrator is het geïntegreerde (of ’continu opgetelde’) ingangssignaal.
De transfertfunctie is
T F integrator = 1
pτ i
. (3.7)
De staprespons van de integrator is een lineair stijgende lijn. De impulsrespons van de
integrator is een stap. Zie figuur 3.21.
Figuur 3.21: Stap- en impulsrespons van de integrator
De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω.
G i (jω) = −j 1
ωτ i
→ M = 1
ωτ i
en ϕ = −90 ◦
→ Re = 0 en Im = − 1
ωτ i
Figuur 3.22 geeft het Bode-, het Nyquist- en het nulpunten-polen diagram van de
integrator.
Johan Baeten 29

3 Systemen van eerste orde
Figuur 3.22: Frequentierespons van de integrator
3.14 De zuivere differentiator
De uitgang van de differentiator is de afgeleide van het ingangssignaal. De transfertfunctie
is
T F differentiator = pτ d . (3.8)
Een benaderend voorbeeld van een zuivere differentiator is een drukvat. Zie figuur 3.23.
Figuur 3.23: Het drukvat als voorbeeld van een zuivere differentiator
Voor dit systeem geldt
dP (t)
Φ uit (t) = C
dt
→
Φ uit(p)
P (p)
= pC = pτ d .
Dit geeft inderdaad de TF van de differentiator. De staprespons van de differentiator is
een impuls. De impulsrespons van de differentiator is oneindig en heeft geen betekenis.
Figuur 3.24 geeft de staprespons weer.
Figuur 3.24: Staprespons van de differentiator
De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω.
G d (jω) = jωτ d → M = ωτ d en ϕ = 90 ◦
→ Re = 0 en Im = ωτ d
.
Figuur 3.25 geeft het Bode-, het Nyquist- en Black-diagram van de differentiator.
30 Johan Baeten

3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem
Figuur 3.25: Frequentierespons van de differentiator
3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem
De transfertfunctie is
T F = 1 + τ v p. (3.9)
Dit systeem komt in feite nooit alleen voor. De transfertfunctie moet gezien worden als
een deel van de totale transfertfunctie van het gehele systeem. De staprespons heeft geen
directe betekenis en wordt derhalve niet besproken. De frequentierespons is wel belangrijk.
(We zullen later zien dat dit in feite de TF is van de ideale PD-regelaar).
Gelijkstelling van p met jω geeft:
G(jω) = 1 + jτ v ω → Re =
√
1 Im = τ v ω
M = 1 + (τ v ω) 2 ϕ = bgtg (τω) .
Figuur 3.26 geeft het Bode- en Nyquist-diagram overeenkomstig deze transfertfunctie.
Hierbij is vooral het Bode-diagram belangrijk. Voor zeer kleine pulsaties is de versterking
gelijk aan 1 of dus 0 dB, voor zeer grote pulsaties is de versterking gelijk aan τω en neemt
ze dus evenredig toe met ω.
Figuur 3.26: Frequentierespons van het ’omgekeerde’ eerste orde systeem
Om het Bode-diagram van het omgekeerde eerste orde systeem te bekomen, moet men
het Bode-diagram van het eerste orde systeem spiegelen rond de pulsatie-as.
Johan Baeten 31

3 Systemen van eerste orde
Mnemotechnisch trucje: Als p in de teller staat van de TF, zal het amplitude- en faseverloop
naar ‘boven’ toe verlopen, als p in de noemer van de TF staat, zal het amplitudeen
faseverloop naar ‘onder’ toe verlopen.
3.16 Bode-diagram van een willekeurig systeem
Met de kennis over de Bode-diagrammen van de afzonderlijke stukken, waaruit de TF
bestaat, kan gemakkelijk het volledige Bode-diagram opgesteld worden. Neem bijvoorbeeld
een TF die bestaat uit drie stukken
G(p) =
A
B.C
Het Bode-diagram geeft de fase en de versterking:
20 log G(jω) = 20 log( ∣ ∣
A ∣) = 20 log |A| + 20 log( ∣ ∣
1 ∣) + 20 log( ∣ ∣
1 ∣)
B.C
B
C
∠G(jω) = ∠( A ) = ∠A + ∠( 1 ) + ∠( 1 )
B.C B C
Het totale Bode-diagram bestaat dus uit de som van de afzonderlijke Bode-diagrammen.
Teken daarom eerst deze afzonderlijke stukken en tel ze vervolgens op om de volledige
frequentierespons te bekomen.
Figuur 3.27: Oefening
• Voorbeeld Teken het Bode-diagram van G(p) =
(1 + 5p)
. Teken eerst de afzonder-
p(1 + 10p)
lijke stukken overeenkomstig
(1 + 5p) ,
1
(1 + 10p)
en
1 p
en tel deze vervolgens op. Figuur 3.27 geeft enkel het asymptotisch verloop. Het
werkelijk verloop is natuurlijk vloeiender en wordt weergegeven in figuur 3.28.
32 Johan Baeten

3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld
Figuur 3.28: Voorbeeld Bode-diagram van (1 + 5p)/(1 + 10p)p
3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld
Deze paragraaf geeft voor de verschillende besproken systemen het nulpunten-polen-beeld.
Zoals eerder vermeld, is een nulpunt de wortel van de teller van de TF, en een pool de
wortel van de noemer van de TF. Nulpunten duiden we schematisch aan met een bolletje
(‘o’), polen met een kruisje (‘x’). Zie figuur 3.29.
Het eerste orde systeem met integrerende werking benadert de zuivere integrator des
te meer naarmate −1/τ naar 0 gaat of naarmate τ toeneemt. Het eerste orde systeem
met differentiërende werking benadert de zuivere differentiator des te meer naarmate −1/τ
naar −∞ gaat of naarmate τ afneemt.
3.18 Oefeningen
• De ‘LAG’-COMPENSATOR of naijlingsketen
Bereken de TF voor het systeem uit figuur 3.30.a. Vervang de tijdconstante in de
teller door τ, in de noemer door kτ. Bereken en teken de stapweergave, het Bode-,
Nyquist- en Black-diagram.
Bereken eveneens de TF=x 2 /x 1 voor het systeem uit figuur 3.30.b. Wat stel je vast
• De ‘LEAD’-COMPENSATOR of voorijlingsketen
Bereken de TF voor het systeem uit figuur 3.31. Vervang de tijdconstante in de
noemer door τ en in de teller door kτ. Bereken en teken de stapweergave, het Bode-,
Nyquist- en Black-diagram.
Johan Baeten 33

3 Systemen van eerste orde
Figuur 3.29: Samenvatting : Nulpunten-polen-beeld of nulpunten-polen-diagram
Figuur 3.30: Oefening : a) elektrisch voorbeeld; b) mechanisch voorbeeld
3.19 Bewijs “p = jω”
Om aan te tonen dat “p = jω” 2 , berekenen we de respons het eerste orde systeem op een
sinus.
2 p is in het algemeen een complex getal. Te stellen dat “p = jω” houdt in dat het overgangsverschijnsel
verwaarloosd wordt om zo enkel de regimerespons over te houden. p is dus niet identiek gelijk aan “p = jω”
maar door de gelijkstelling kan wel de frequentierespons op eenvoudige wijze berekend worden.
34 Johan Baeten

3.19 Bewijs “p = jω”
Figuur 3.31: Oefening: elektrisch voorbeeld
V uit (p)
V in (p) =
K
1 + pτ
met V in (p) =
A ω zodat V
p 2 + ω 2 uit (p) = K
1 + pτ . A ω
p 2 + ω . 2
De tijdfunctie V uit (t) is gelijk aan de invers-Laplace-getransformeerde van V uit (p). Hiervoor
voeren we eerst een partieelbreuksplitsing door.
V uit (p) =
K
1 + pτ . A ω
p 2 + ω 2 =
X
p + 1/τ + Y ′
p + jω + Z′
p − jω
De complexe constanten Y ′ en Z ′ brengen echter heel wat rekenwerk met zich mee. De
partieelbreuksplitsing kan daarom beter op de volgende wijze gebeuren:
V uit (p) =
K
1 + pτ . Aω
p 2 + ω 2 =
X
p + 1/τ + Y p + Z
p 2 + ω . (3.10)
2
De waarde van X volgt uit de toepassing van vergelijking 2.17. Y en Z volgen dan uit de
gelijkstelling van linker- en rechterlid van vergelijking 3.10.
en
X =
K/τ
1/τ + p ·
(p + 1/τ) K/τ
lim
p→−1/τ 1/τ + p
Aω
p 2 + ω 2 =
·
A ω
p 2 + ω 2 =
X
p + 1/τ + Y p + Z
p 2 + ω 2
KAωτ
1 + τ 2 ω 2
= (p + 1/τ)(Y p + Z) + X(p2 + ω 2 )
.
(p + 1/τ)(p 2 + ω 2 )
Waaruit volgt
KAω
τ
≡ (X + Y )p 2 + ( Y τ + Z)p + Xω2 + Z τ
of Y = −X en Z = X/τ.
Het eerste stuk (X/(p + 1/τ)) uit vergelijking 3.10 komt overeen met een exponentieel
dalende functie e −t/τ , die uiteindelijk (voor grote t-waarden) uitsterft. Zij zorgt voor het
overgangsverschijnsel. Het tweede deel vormt de regimerespons van het eerste orde systeem.
Johan Baeten 35

3 Systemen van eerste orde
De volgende vergelijkingen herschrijven dit deel als de som van een sinus en een cosinus en
vervolgens als een sinus met een faseverschuiving.
V uit−regime (p) = Y p + Z
p 2 + ω 2 =
KA ( ω
1 + ω 2 τ 2 p 2 + ω − ωτ 2
De overeenstemmende regimerespons in de tijd is:
V uit−regime (t) =
KA [sin(ωt) − ωτ cos(ωt)]
1 + ω 2 τ
2
)
p
p 2 + ω 2
Deze laatste vergelijking herschrijven we als een sinus met een faseverschuiving.
sin(ωt) − ωτ cos(ωt) = L [sin(ωt + ϕ)]
= L [sin(ωt) cos ϕ + cos(ωt) sin ϕ]
Gelijkstellen van linker- en rechterlid levert de formules voor L en ϕ.
L cos ϕ = 1 → tgϕ = −ωτ
L sin ϕ = −ωt → L = √ 1 + ω 2 τ 2
De regimerespons wordt uiteindelijk
V uit (t) =
KA [sin(ωt) − ωτ cos(ωt)]
1 + ω 2 τ
2
= KA L [sin(ωt + ϕ)]
1 + ω 2 τ
2
KA
= √ [sin(ωt − bgtg(ωτ)]
1 + ω2 τ
2
Dit wil zeggen dat de uitgang (in regimetoestand) eveneens een sinus is met dezelfde
frequentie ω als de ingang, maar in fase verschoven over ϕ = −bgtg(ωτ) en met versterking
M = K/( √ 1 + ω 2 τ 2 ).
Dit resultaat wordt onmiddellijk verkregen door in de transfertfunctie p te vervangen
door jω en vervolgens te absolute waarde en de hoek te berekenen:
met
en
G(p) =
K
1 + pτ → G(jω) = K
1 + jωτ = Mejϕ
M = |G(jω)| =
K
∣1 + jωτ ∣ =
K
|1 + jωτ| = K
√
1 + ω2 τ 2
ϕ = ∠G(jω) = ∠Teller − ∠Noemer = 0 − bgtg(ωτ).
△
36 Johan Baeten

Hoofdstuk 4
Het tweede orde systeem
4.1 Inleidend voorbeeld
Neem het massa-veer-demper systeem uit figuur 4.1. De ingangsgrootheid van dit systeem
is de aangelegde kracht. De uitgangsgrootheid is de verplaatsing van de massa. Merk op
dat zulke systemen zeer frequent voorkomen, denk maar aan de ophanging van een auto,
demping van bewegende onderdelen, enz.
Figuur 4.1: Voorbeeld: massa-veer-demper systeem
De transfertfunctie volgt uit de krachtenvergelijking. De aangelegde kracht veroorzaakt
een versnelling van de massa, wordt tegengewerkt door de demper (kracht evenredig met
de snelheid) en ondervindt een tegenwerkende kracht van de veer (veerkracht evenredig
met de verplaatsing). Dit geeft volgende vergelijkingen bij krachtenevenwicht:
F (t) = m.a(t) + F f (t) + F x (t) = m.a(t) + b.v(t) + k.x(t)
= m · d2 x(t)
dt 2
+ b · dx(t)
dt
+ k.x(t) . (4.1)
Toepassing van de Laplace-transformatie op vergelijking 4.1 geeft de TF.
F (p) = ( m.p 2 + b.p + k ) X(p) → T F = X(p)
F (p) = 1
m.p 2 + b.p + k
De hoogste macht van p (in de noemer) is gelijk aan twee. Dit systeem is derhalve een
tweede orde systeem.
37

4 Het tweede orde systeem
Indien de wortels van de noemer (dit zijn per definitie de polen van het systeem)
reëel zijn, dan kan de transfertfunctie gezien worden als een samenvoeging van twee eerste
orde systemen (waarbij de uitgang van het eerste systeem de ingang is voor het tweede
systeem). Bij samenvallende polen geeft de ontbinding zelfs twee identieke eerste orde
systemen. Indien echter de polen complex toegevoegd zijn, dan is er geen ontbinding in
twee eerste orde systemen mogelijk en ziet de reactie van het systeem er ook volledig anders
uit dan bij een aaneenschakeling van twee eerste orde systemen.
De berekeningen en afleidingen, worden toegelicht aan de hand van de standaardvorm
van het tweede orde systeem.
4.2 Het standaard tweede orde systeem
De TF van het standaard tweede orde systeem is:
Kω 2 n
G(p) =
p 2 + 2ζω n p + ωn
2
met
• ω n de natuurlijke eigenpulsatie,
(4.2)
• ζ (‘zeta’) de dempingscoëfficiënt 1 en
• K de statische versterkingsfactor.
Bij gelijkstelling van de oplossing uit voorgaand voorbeeld met vergelijking 4.2 geldt
voor het massa-veer-demper systeem:
√
1
m.p 2 + b.p + k = Kωn
2 k b
→ ω
p 2 + 2ζω n p + ωn
2 n = ζ =
m 2 √ K = 1
km k
De dempingscoëfficiënt ζ is evenredig met de demping b, aanwezig in het systeem, maar
niet identiek gelijk aan b. Indien er geen demping is in het systeem (b = 0), dan is ζ = 0.
4.3 De staprespons van het tweede orde systeem
Deze paragraaf analyseert de staprespons van het tweede orde systeem. Neem als voorbeeld
het massa-veer-demper systeem, zet dit in verticale positie, breng de masse uit haar
evenwichtspositie en laat ze dan plots los. Wat zal er gebeuren Hoe zal de plaats van de
massa in functie van de tijd evolueren Intuïtief weten we dat de massa terug naar haar
evenwichtspositie zal gaan. Indien de demping in het systeem klein is, dan zal de massa
eerst voorbij haar evenwichtspositie schieten en vervolgens lichtjes oscillerend naar haar
eindwaarde toegaan. Indien de demping in het systeem groot is, dan zal de massa langzaam
en zonder oscillatie naar de eindwaarde toe bewegen. Figuur 4.2 geeft een overzicht
van de ‘testopstelling’ en geeft een mogelijke beweging van de massa bij ‘weinig’ demping.
De standaard TF van het tweede orde systeem is nu juist zodanig gekozen dat de waarde
van ζ bepaalt hoe de reactie van het systeem zal zijn.
1 ζ wordt ook vaak aangeduid met de letter z.
38 Johan Baeten

4.3 De staprespons van het tweede orde systeem
Figuur 4.2: Voorbeeld staprespons van een tweede orde systeem
• Indien ζ > 1, dan zal er geen oscillatie optreden. De demping in het systeem is in dit
geval te groot om een oscillatie toe te laten. Naarmate ζ groter is, zal ook de demping
in het systeem groter zijn en zal elke verandering trager verlopen. Het systeem
is overgedempt. Paragraaf 4.7 toont aan dat de staprespons van een overgedempt
systeem wiskundig weergegeven wordt door de formule:
Staprespons ζ>1 =
( √
( √
ζ2 − 1 − ζ
K 1 −
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ+
)
ζ 2 −1
− ζ + √ ζ 2 ( √
) )
− 1
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ− ζ 2 −1
. (4.3)
De staprespons bevat twee exponentieel afnemende termen. Voor de tijd t gaande
naar oneindig worden deze twee termen gelijk aan nul en blijft enkel de waarde K
over. (De aangelegde stap had grootte één).
Voor ζ > 1 zijn de twee polen van het systeem reëel. Deze twee reële polen stemmen
overeen met de exponentiële termen uit de staprespons. De polen zijn:
P 1,2 = −ω n
(ζ ± √ )
ζ 2 − 1 .
In feite is het tweede orde systeem voor ζ > 1 niets anders dan een aaneenschakeling
van twee eerste orde systemen.
• Indien ζ = 1, is het systeem kritisch gedempt. Elke verandering zal zo snel mogelijk
gevolgd worden, zonder oscillatie en zonder doorschot (Eng.:‘overshoot’). Wiskundig
ziet de staprespons eruit als:
Staprespons ζ=1 = K [ 1 − (1 + ω n t) e −ωnt] . (4.4)
De twee polen vallen nu samen en zijn:
P 1 = P 2 = −ω n .
Een tweede orde systeem met ζ = 1 is hetzelfde als een aaneenschakeling van twee
eerste orde systemen met dezelfde polen, zoals figuur 4.3 aangeeft.
Johan Baeten 39

4 Het tweede orde systeem
Figuur 4.3: Ontbinding van 2e orde in cascade van 2 eerste orde systemen
• Indien ζ < 1 worden de polen van het tweede orde systeem complex (toegevoegd):
(
P 1 = −ω n ζ + j √ )
(
1 − ζ 2 en P1 ∗ = −ω n ζ − j √ )
1 − ζ 2
De staprespons ziet er nu helemaal anders uit. Zoals in figuur 4.2 geschetst is, zal de
eindwaarde eerst overschreden en nadien, eventueel oscillerend, bereikt worden. Dit
wordt een gedempte oscillatie genoemd. De wiskundige formule van de staprespons
voor ζ < 1 is:
(
√ ))
Staprespons ζ 1 , ζ = 1 en ζ < 1
Figuur 4.6 geeft tenslotte de staprespons van een ongedempt tweede orde systeem (ζ
= 0). Door het aanleggen van een stap wordt een blijvende oscillatie opgewekt met een
pulsatie ω n . Voor een systeem met ω n = 1 r/s, is de frequentie van de oscillatie ω n /2π of
0,16 Hz. Vergelijk deze waarde met figuur 4.6.
40 Johan Baeten

4.4 Doorschot
Figuur 4.5: 2e orde staprespons voor verschillende ζ waarden met ω n = 1 r/s en K = 1
Figuur 4.6: Staprespons voor ζ = 0 , ω n = 1 r/s en K = 1
4.4 Doorschot
De doorschot (Eng.:’overshoot’) D wordt gedefinieerd als:
D = V stap max − K
K
(4.7)
Figuur 4.7 geeft deze definitie grafisch weer. De doorschot wordt normaal in procent
uitgedrukt. Figuur 4.7 geeft ook aan hoe uit de staprespons de eigenpulsatie (ω p = 2π/T p )
bepaald kan worden.
Johan Baeten 41

4 Het tweede orde systeem
Figuur 4.7: Doorschot D en eigenperiode T p
Paragraaf 4.8 toont aan dat de doorschot enkel afhangt van de demping in het systeem of
m.a.w. enkel bepaald wordt door de dempingscoëfficiënt ζ. Het verband wordt weergegeven
door de formule:
−ζπ
√
D = e 1 − ζ
2
of ζ =
− ln D
√
ln 2 D + π 2 (4.8)
Figuur 4.8 geeft eveneens dit verband of deze formule weer. (Vergelijk figuren 4.5
en 4.8). Dit eenduidig verband is vooral belangrijk bij de identificatie van een systeem:
door de doorschot te meten, kan de dempingscoëfficiënt bepaald worden.
Figuur 4.8: Doorschot D i.f.v. de dempingscoëfficiënt ζ
Opmerking: De grootte van de doorschot D volgt uit de eerste piek. Het tijdstip waarop
deze piek optreedt T piek , is gelijk aan de halve eigenperiode T p .
T piek = T p
2 = π ω p
.
Met vergelijking 4.5 levert dit
(
√ )
π
D = − e−ζωn ωp
√ sin π
1 − ζ
2
ω p + bgtg
1 − ζ
2 ω p ζ
( (
π
= − e−ζωn ωp
√ − sin bgtg
1 − ζ
2
√ ))
1 − ζ
2
ζ
42 Johan Baeten

4.5 Frequentierespons
of
D = e −ζωn π − √
ωp = e ζπ
1−ζ 2
△
4.5 Frequentierespons
De frequentierespons van het tweede orde systeem volgt uit de TF, na substitutie van p door
jω. Dit geeft een complexe functie waarvan de absolute waarde de versterking voorstelt
(van ingang naar uitgang) en waarvan de hoek overeenkomt met de faseverschuiving:
G(p) =
Kω 2 n
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n
→ G(jω) =
Kω 2 n
ω 2 n − ω 2 + j2ζω n ω
De versterking M is:
M = |G(jω)| =
of met u = ω/ω n wordt dit
M =
Kω 2 n
√(ω 2 n − ω 2 ) 2 + (2ζω n ω) 2 =
K
√ ( ( ) ) 2 2
ω
1 −
ω n
+
(
2ζ ω ω n
) 2
(4.9)
K
√(1 − u 2 ) 2 + (2ζu) 2 . (4.10)
De faseverschuiving is:
ϕ = ∠G(jω) = −bgtg
( ) 2ζωn ω
ωn 2 − ω 2
of
( ) 2ζu
ϕ = −bgtg . (4.11)
1 − u 2
De variabele u stelt hierbij de genormeerde pulsatie voor.
Figuren 4.9 en 4.10 geven de frequentierespons voor verschillende ζ waarden weer, voorgesteld
in Bode- en Nyquist-diagram. De natuurlijke eigenpulsatie ω n is steeds gelijk aan
1 r/s (zodat we in feite een genormeerd diagram krijgen u = ω) en de statische versterkingsfactor
K is eveneens gelijk aan 1.
Toets figuren 4.9 en 4.10 aan de formules 4.10 en 4.11 (met K = 1). Dit geeft:
• voor u = 0, M = 1 en ϕ = 0 ◦ . A = 20 log M = 0 dB.
• vooru = 1, M = 1/2ζ en ϕ = −90 ◦ . Voor ζ < 0, 5 is de versterking M > 1.
• voor u = ∞, M = 0, ϕ = −180 ◦ en A= 20 log(0) = -∞.
Ook hier kunnen we een asymptotisch Bode-diagram tekenen. Indien ζ ≥ 1, komt
dit overeen met het tekenen en optellen van het asymptotisch diagram van de twee eerste
orde systemen, waarin het tweede orde systeem ontbindt. Indien ζ < 1, verloopt het
Johan Baeten 43

4 Het tweede orde systeem
Figuur 4.9: Bode-diagram van 2e orde systeem voor ζ = 0,1; 0,3; 0,707; 1 en 5 (ω n = 1r/s, K=1)
Figuur 4.10: Nyquist-diagram voor verschillende ζ waarden, gegradueerd naar ω (ω n = 1r/s)
asymptotisch Bode-diagram horizontaal tot aan het breekpunt u = 1 (ω = ω n ) en vanaf
dan 40 dB/decade dalend.
Zoals figuur 4.9 toont zullen bepaalde frequenties rond de natuurlijke eigenfrequentie
(u = 1) door een tweede orde systeem (met een kleine ζ waarde) versterkt worden. De
44 Johan Baeten

4.5 Frequentierespons
frequentie of pulsatie die het meest versterkt wordt, wordt de resonantiefrequentie of resonantiepulsatie
genoemd. Zoals uit de berekeningen uit paragraaf 4.9 volgt, wordt de
resonantiepulsatie ω r gegeven door
ω r = ω n
√
1 − 2ζ2 . (4.12)
Deze resonantiepulsatie bestaat enkel indien
ζ ≤ 1 √
2
= 0, 707.
De maximale versterking die bij deze pulsatie optreedt is
max |G(jω)| = |G(jω r)| =
ω=0→∞
K
2ζ √ 1 − ζ 2
De resonantiepulsatie ω r is nooit groter dan de eigenpulsatie ω n . De piek in het amplitudegedeelte
van het Bode-diagram treedt dus steeds op voor de natuurlijke eigenpulsatie.
Enkel in het geval dat er geen demping is in het systeem (ζ = 0), is de resonantiepulsatie
gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie. De grootte van de resonantiepiek is hier zelfs
oneindig.
Dit speciale geval wordt weergegeven in figuur 4.11. Het amplitudeverloop toont een
oneindige piek juist bij de natuurlijke eigenpulsatie, het faseverloop is trapvormig en springt
van 0 ◦ op 180 ◦ bij de natuurlijke eigenpulsatie. (Vergelijk de figuur met de formules op
de voorgaande pagina’s). De oneindige resonantiepiek stemt overeen met de blijvende
oscillatie t.g.v. een stap (zie figuur 4.6). Beide geven de rand van de stabiliteit aan.
Figuur 4.11: Bode-diagram van 2e orde systeem met ζ ≃ 0
Johan Baeten 45

4 Het tweede orde systeem
4.6 Het nulpunten-polen-diagram
Het nulpunten-polen-diagram geeft de ligging van de polen van het systeem weer in het
complex vlak. Zoals paragraaf 4.3 aangeeft heeft het tweede orde systeem afhankelijk van
de dempingscoëfficiënt twee reële of twee complex toegevoegde polen. Daar waar vroeger
bij het eerste orde systeem de polen enkel reëel waren en dus steeds op de reële as lagen,
kunnen nu ook complex toegevoegde polen voorkomen en vormt dus het volledige complexe
vlak de mogelijke verzameling van polen van een tweede orde systeem.
De ligging van de polen bepaalt het transiënt gedrag en hiermee de stabiliteit van het
systeem. Dit volgt rechtstreeks uit het volgend Laplace-transformatiepaar:
1
(p − a) 2 + b 2 ↔ 1 b eat sin bt.
De complexe pool a + jb, veroorzaakt (zoals eerder gezien bij de staprespons) een
transiënt gedrag dat bestaat uit een exponentiële factor en een sinus.
• Een negatieve waarde voor a, geeft een uitdempende sinus.
• Indien a positief is, divergeert de sinus.
• b stemt in de twee gevallen overeen met de pulsatie van de sinus.
Figuur 4.12 geeft deze relaties weer.
Figuur 4.12: Verband tussen de ligging van de complexe polen en het transiënt gedrag
46 Johan Baeten

4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem
4.7 Afleiding staprespons voor tweede orde systeem
De algemene TF is:
V 2 (p)
V 1 (p) =
Kω 2 n
.
p 2 + 2ζω n p + ωn
2
Hierbij is V 2 de uitgangsgrootheid en V 1 de ingangsgrootheid.
wordt
Met V 1 (p) = 1/p (stap)
V 2 (p) =
Kω 2 n
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n
· 1
p .
Afhankelijk van de waarde van ζ, bezit het systeem reële, samenvallende of complex
toegevoegde polen.
1. ζ > 1: Overgedempt systeem: Cascadeschakeling van twee eerste orde systemen.
p 1,2 = −ω n
(ζ ± √ )
ζ 2 − 1 zodat de partiëelbreuksplitsing eruit ziet als
met
V 2 (p)| ζ>1 = A p +
A =
Dit geeft
Kω 2 n
(−p 1 ) (−p 2 ) =
B
p − p 1
+
C
p − p 2
=
Kω 2 n
ω 2 n (ζ 2 − (ζ 2 − 1)) = K
Kω 2 n
(p) (p − p 1 ) (p − p 2 )
Kωn
2 B =
(p 1 ) (p 1 − p 2 ) = Kωn
2 K
−ω n
(ζ + √ ) √ =
ζ 2 − 1 (−2)ω n ζ2 − 1
Kω 2 n
C =
(p 2 ) (p 2 − p 1 ) = Kωn
2
−ω n
(ζ − √ ) √
ζ 2 − 1 2ω n ζ2 − 1
V 2 (t)| ζ>1 =
( √ ) ( √ ))
(K + Be −ωnt ζ+ ζ 2 −1
+ Ce −ωnt ζ− ζ 2 −1
K
= −
(
ζ − √ )
ζ 2 − 1
2 √ ζ 2 − 1
(
ζ + √ ζ 2 − 1
2 √ ζ 2 − 1
)
.
of
V 2 (t)| ζ>1 = K
(
1 + ζ − √ ζ 2 ( √
− 1
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ+
)
ζ 2 −1
− ζ + √ ζ 2 ( √
) )
− 1
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ− ζ 2 −1
.
Controle op de juistheid : vul t = 0 in, dan moet V 2 (t) = 0 !!
Johan Baeten 47

4 Het tweede orde systeem
2. ζ = 1: Kritisch gedempt systeem: Cascade van twee identieke 1e orde systemen. Het
kritisch gedempt 2e orde systeem komt overeen met de cascade schakeling van twee
identieke eerste orde systemen met tijdconstante gelijk aan 1/ω n . De polen zijn
p 1 = p 2 = −ω n zodat de partiëelbreuksplitsing eruit ziet als
met
V 2 (p)| ζ=1 = A p + Bp + C
(p − p 1 ) 2 = Kω 2 n
(p) (p − p 1 ) 2
A =
waaruit volgt dat
Dit geeft
Kω2 n
(−p 1 ) 2 = K en (Bp + C) p + K (p + ω n) 2 = Kω 2 n
B + K = 0 → B = −K en C + 2Kω n = 0 → C = −2Kω n .
V 2 (t)| ζ=1 = A + B d ( ) te
−ω nt
+ C ( te −ωnt)
dt
= 1 − K ( e −ωnt − ω n te −ωnt) − 2Kω n te −ωnt
= K [ 1 − (1 + ω n t) e −ωnt] .
Ofwel op de volgende manier
V 2 (p)| ζ=1 = A p +
B
(p − p 1 ) + C
(p − p 1 ) 2 = Kωn
2
(p) (p − p 1 ) 2
met A = K en K(p + ω n ) 2 + B(p + ω n )p + Cp ≡ Kω 2 n waaruit volgt dat
bij p 2 → K + B = 0 → B = −K
bij p 1 → 2Kω n + Bω n + C = 0 → C = −Kω n
.
Dit geeft natuurlijk hetzelfde eindresultaat:
V 2 (t)| ζ=1 = A + Be −ωnt + Cte −ωnt = K [ 1 − (1 + ω n t) e −ωnt] .
3. ζ < 1 : Ondergedempt systeem: Oscillerend overgangsgedrag.
De complex toegevoegde polen zijn
(
p 1 = −ω n ζ + j √ )
(
1 − ζ 2 en p ∗ 1 = −ω n ζ − j √ )
1 − ζ 2
zodat de partiëelbreuksplitsing eruit ziet als
V 2 (p)| ζ

4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem
met
A =
B =
C =
Kω 2 n
(−p 1 ) (−p ∗ 1 ) =
Kω 2 n
Kω 2 n
ω 2 n (ζ 2 + (1 − ζ 2 )) = K
(p 1 ) (p 1 − p ∗ 1 ) = Kω
(
n
2
−ω n ζ + j √ ) √
1 − ζ 2 (−2j)ω n 1 − ζ 2
Kω 2 n
(p ∗ 1 ) (p∗ 1 − p 1 ) = Kω
(
n
2
−ω n ζ − j √ ) √
1 − ζ 2 (2j)ω n 1 − ζ 2
Merk op dat C het complex toegevoegde is van B. Substitutie geeft
(
) (
))
V 2 (t)| ζ

4 Het tweede orde systeem
Het uiteindelijk resultaat wordt
(
V 2 | ζ

4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek
De piektijden worden gegeven door T piek . Bij de eerste piek treedt het maximum op.
Invullen van deze tijd in de oplossing voor de staprespons (vergelijking 4.13) geeft de
grootte van de uitgang en zo ook de mogelijkheid om de doorschot D te berekenen.
√ (
1−ζ
V 2 max = K
(1 2 √
√ ) )
− e−ωnζπ′ωn √ sin ω n 1 − ζ
2 √π
+ bgtg 1−ζ 2
1 − ζ
2
ω n 1−ζ 2 ζ
√ (
= K
(1 − e−ζπ′ 1−ζ √ ) )
2
1−ζ
√ sin π + bgtg
2
1 − ζ
2
ζ
= K
√ (
(1 + e−ζπ′ 1−ζ √
2
√ sin bgtg
1 − ζ
2
1−ζ 2
ζ
) ) √1−ζ
== K
(1 + e−ζπ′ 2 √
√ 1 − ζ
2
1 − ζ
2
)
of
) √1−ζ
V 2 max = K
(1 + e −ζπ′ 2
→ D = V 2 max − K
K
= e −ζπ′ √1−ζ 2 . △ (4.14)
4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek
De versterking wordt gegeven door
M =
K
√(1 − u 2 ) 2 + (2ζu) 2 met u = ω ω n
de genormeerde pulsatie.
Deze functie is maximaal indien de noemer minimaal is. Bovendien is de wortel (in de noemer)
minimaal indien dat wat onder de wortel staat minimaal is. De maximale versterking
treedt bijgevolg op bij de pulsatie waarvoor
of
d [
(1 − u 2 ) 2 + (2ζu) 2] = 0
du
2(1 − u 2 )(−2u) + 8ζ 2 u = 0
u 2 − 1 + 2ζ 2 = 0
u = √ 1 − 2ζ 2 → ω r = ω n
√
1 − 2ζ2 .
Deze waarde bestaat enkel indien ζ ≤ 1/ √ 2.
De versterking voor ω r is
M max =
K
√
(1 − (1 − 2ζ 2 )) 2 +
(2ζ √ ) =
2
1 − 2ζ 2
K
2ζ √ 1 − ζ 2 .
De maximale versterking wordt de resonantiepiek genoemd. Deze is enkel afhankelijk van
ζ en wordt oneindig bij ζ = 0.
Johan Baeten 51

4 Het tweede orde systeem
4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem
Gelijkstelling van de TF voor de RLC-schakeling uit figuur 4.13 met de standaard TF geeft
of
V 2 (p)
V 1 (p) =
V 2 (p)
V 1 (p) =
Hieruit volgt
⎧
⎪⎨ ωn 2 = 1
CL
2ζω n = R L
⎪⎩
K = 1
1/pC
R + pL + 1/pC ≡
Kω 2 n
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n
1
1/pC
R + pL + 1/pC = CL
p 2 + Rp + 1
L
⎧ √
1
ω n =
CL
⎪⎨ √
→ C
ζ = R 2
⎪⎩
L
K = 1
CL
=
Kω 2 n
.
p 2 + 2ζω n p + ωn
2
. (4.15)
Figuur 4.13: RLC-keten als tweede orde systeem
• Oefening 1: Gegeven: ω n = 10000 r/s, ζ = 5; 1; 0,707; 0,3 en 0,1. Gevraagd: Welke
componenten moeten we gebruiken bij een RLC-keten om aan de gegeven waarden
te voldoen Hoe groot zijn de doorschot en de eigenpulsatie voor de verschillende ζ
waarden
Antwoord: Kies bijvoorbeeld L = 100 mH, dan moet C = 100 nF en R = 10 kΩ,
2 kΩ, 1,4 kΩ, 600 Ω, 200 Ω. De doorschot D en eigenpulsatie ω p bestaan enkel voor
de kleinste ζ waarden. We vinden volgende waarden:
ζ D ω p
0,70 4,6 % 7141 r/s
0,30 37,2 % 9539 r/s
0,10 72,9 % 9950 r/s
• Oefening 2: Leid de TF’s af voor de schakelingen uit figuur 4.14. Hoe groot zijn de
eindwaarden van de spanningen indien de ingangsspanning een stap van 1 Volt is
Oplossing: De TF’s voor de verschillende spanningen zijn:
V R (p)
V 1 (p) =
pRCω 2 n
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n
en
V L(p)
V 1 (p) = p 2
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n
52 Johan Baeten

4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem
Figuur 4.14: CRL- en CLR-keten
met ζ en ω n gegeven in vergelijking 4.15.
De eindwaarden (t → ∞) zijn (bij een aangelegde stap met grootte 1):
V R (∞) = 0 en V L (∞) = 0
Merk op dat met V 1 (p) = 1/p, de som V 2 (p) + V R (p) + V L (p) = 1/p of V 2 (t) + V R (t) +
V L (t) ≡ 1. Dit moet zo zijn want de som van de drie spanningen in de kring moet
steeds gelijk zijn aan de aangelegde spanning.
• Oefening 3: Bereken de resonantiepulsatie voor een tweede orde systeem met ω n =
10000 r/s, ζ = 0,3. Hoe groot is de versterking voor deze frequentie Vergelijk het
resultaat met figuur 4.9.
Oplossing: ω r = 9055 r/s of f r = 1441 Hz. Versterking M = 1,747 en A = 4,9 dB.
• Oefening 4: Schets het Black-diagram voor het tweede orde systeem voor verschillende
ζ waarden.
Johan Baeten 53

4 Het tweede orde systeem
54 Johan Baeten

Hoofdstuk 5
Hogere orde systemen en dode tijd
5.1 Hogere orde systemen
De parameters K en τ beschrijven volledig het eerste orde systemen. Tweede orde systemen
worden volledig beschreven door K, ω n en ζ bij ondergedempte systemen of door de twee
tijdconstanten τ 1 en τ 2 bij overgedempte systemen. Voor hogere orde systemen zijn w n en ζ
echter niet gespecificeerd omdat deze niet bestaan 1 . Praktisch zullen we trachten de hogere
orde systemen te benaderen door een aaneenschakeling van systemen van eerste en tweede
orde. In het geval dat het fysisch systeem effectief bestaat uit zulk een aaneenschakeling
van eerste en tweede orde systemen is deze zienswijze volledig juist. Vaak kan men het
fysisch systeem echter niet meer opdelen in kleinere delen en stelt het wiskundig model dat
die opsplitsing wel voorziet dus niet meer ‘exact’ de werkelijkheid voor.
Bovendien mag men niet vergeten dat vele fysische systemen een orde bezitten die naar
oneindig toegaat. Hier is een vereenvoudiging noodzakelijk.
5.2 Tijddomeinspecificaties voor hogere orde
Om de staprespons van een hoger orde systeem te beschrijven zijn volgende parameters
belangrijk:
• De maximum doorschot D: uitgedrukt in % van de stapgrootte;
• Het aantal oscillaties;
• De stijgtijd (Eng.:’rise time’) T r : dit is de tijd die het systeem nodig heeft om van
10% naar 90% van de eindwaarde te gaan als het ingangssignaal een stap is. Zie
figuur 5.1;
• De eindwaarde tijd (Eng.:’settling time’) T s voor x%: dit is de tijd die een systeem
nodig heeft om zijn staprespons binnen x% van de eindwaarde te krijgen;
• De piektijd (Eng.:’peak time’) T piek : dit is de tijd nodig om het eerste maximum te
bereiken;
1 Er kunnen wel waarden voor w n en ζ opgegeven worden overeenkomstig de dominante polen
55

5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd
• De statische fout of stationaire fout (Eng.:’steady state error’) ε ss : dit is de fout die
bestaat tussen de werkelijke en de gewenste uitgang als de tijd naar oneindig gaat.
Figuur 5.1 geeft de hierboven vermelde definities en waarden weer.
Figuur 5.1: Tijddomeinspecificaties voor hogere orde systemen
Meestal zal men een hoger orde systeem identificeren aan de hand van een opgemeten
staprespons. De verschillende identificatiemethodes (die in de cursus regeltechniek en in de
bijbehorende labo’s aan bod komen) zullen aan de hand van de staprespons een benaderend
model geven. Vaak komt hierbij ook een dode tijd of looptijd voor (zie verder).
5.3 Frequentierespons
Vermits een hoger orde systeem bestaat uit een aaneenschakeling van eerste en tweede orde
systemen, dan kunnen we de frequentierespons van het geheel gemakkelijk berekenen of
tekenen:
• De totale versterking is immers het produkt van de afzonderlijke versterkingen (uitgedrukt
als factor) of de som van de afzonderlijke versterkingen uitgedrukt in dB.
• De totale faseverschuiving is de som van de afzonderlijke faseverschuivingen.
Zoals paragraaf 3.16 aangaf, volgt het Bode-diagram voor het geheel uit de som van de
Bode-diagrammen van de afzonderlijke systemen. Dit zal later nog herhaaldelijk aan bod
komen bij de oefeningen.
5.4 Systemen met looptijd
De looptijd wordt ook wel de vertragingstijd, de dode tijd (Eng.:‘Dead Time’) of de voortplantingstijd
genoemd.
56 Johan Baeten

5.4 Systemen met looptijd
Figuur 5.2: Voorbeelden van systemen met looptijd of dode tijd
De looptijd of dode tijd is de tijd die voorbij gaat tussen het aanleggen van het ingangssignaal
en de eerste reactie van het systeem hierop.
Figuur 5.2 geeft enkele voorbeelden.
In het eerste voorbeeld wordt een last via een loopband op een vrachtwagen geplaatst.
Na het lossen van de last duurt het nog 3 seconden voor de vrachtwagen het ’plots vallen’
van de last voelt en hierop reageert (bijvoorbeeld door lichtjes te zakken). De looptijd is 3
seconden.
In het tweede voorbeeld zal de sensor die de staaldikte van een pas gewalste plaat meet
steeds 2 seconden achteroplopen met de uitgegeven informatie. Immers de dikte die nu
gewalst wordt, wordt pas na twee seconden gemeten. Men kan de looptijd verkleinen door
de sensor dichter bij de wals te plaatsen. Kunnen we de looptijd echter volledig teniet
doen
In het derde voorbeeld regelen we de temperatuur van het water (bijvoorbeeld bij een
douche) samengesteld uit een warme en een koude stroom. Elke actie die we ondernemen
heeft enige tijd nodig vooraleer we deze actie waarnemen: dit tijdsverschil is de looptijd.
Figuur 5.2 geeft ook het tijddiagram weer voor een zuivere vertraging. Hiervoor geldt:
y(t) = x(t − T v )
Volgens het tweede verschuivingstheorema van de Laplace-transformatie, vergelijking 2.15,
wordt dit
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t − a) ↔ e −ap F (p)
Y (p) = X(p)e −pTv (5.1)
Johan Baeten 57

5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd
De dode tijd wordt dus wiskundig voorgesteld als een negatieve exponentiële macht in
het p-domein. De eenheid van T v is seconden.
Figuur 5.3: Fasegedeelte van Bode-diagram voor zuivere looptijd; Amplitude is steeds 0 dB
5.5 Frequentieanalyse van een systeem met looptijd
De TF voor een systeem dat bestaat uit een zuivere vertraging T v , is:
G(p) = e −pTv
Om de frequentierespons van dit systeem te kennen, stellen we weerom p = jω.
G(jω) = e −jωT v = cos ωT v − j sin ωT v
Dit geeft de versterking M of A en de faseverschuiving ϕ:
√
M = |G(jω)| = (cos ωT v ) 2 + (sin ωT v ) 2 = 1 (5.2)
of
A = 20 log M = 20 log 1 = 0 dB (5.3)
en
[ ] − sin ωTv
ϕ = bgtg
= bgtg [−tg (ωT v )] = −ωT v . (5.4)
cos ωT v
Vermits ω wordt uitgedrukt in rad/sec en T v in sec, is de eenheid voor de faseverschuiving
in vergelijking 5.4 radialen!!
58 Johan Baeten

5.6 Voorbeeld: oefening
De looptijd verandert niets aan het amplitudediagram, maar wel aan het fasediagram.
De faseverschuiving is evenredig met de frequentie of pulsatie. Voor ω = 1/T v is ϕ = −1 radiaal
of -57 ◦ . Tengevolge van de logaritmische schaalverdeling voor ω in het Bode-diagram
loopt de kromme voor ϕ echter onverwacht snel weg! Zie figuur 5.3. Merk op dat de x-as
van figuur 5.3, omwille van de algemeenheid, ω · T v aangeeft!
Het Nyquist-diagram voor een systeem bestaande uit een zuivere looptijd is weergegeven
in figuur 5.4 en is een perfecte cirkel. Door de evenredigheid tussen ω en ϕ ontstaat een
gelijkmatige ω-verdeling langs de cirkel.
Figuur 5.4: Nyquist-diagram van een zuivere looptijd
5.6 Voorbeeld: oefening
Opgave 1: Bereken enkele punten uit het Bode-diagram (dit is vooral belangrijk voor het
faseverloop) en teken het Bode-diagram voor het volgend systeem.
G(p) =
e−p
1 + 5p
Oplossing: De dode tijd is 1 seconde. De tijdconstante τ = 5 seconden. De breekpulsatie
ω k = 1/τ = 0, 2 r/s. De statische versterking K = 1. Het asymptotisch amplitudeverloop
begint bij 0 dB en daalt vanaf ω = 0, 2 r/s met 20 dB/dekade. Het faseverloop bestaat
uit een stuk t.g.v. het eerste orde systeem (zie eerder) en uit een stuk t.g.v. de dode tijd.
Figuur 5.5 geeft het resultaat.
Opgave 2: Hoe ziet de stap- of impulsrespons eruit voor het hierboven gegeven systeem
Johan Baeten 59

5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd
Figuur 5.5: Bode-diagram van een eerste orde systeem (τ = 5 s) met dode tijd (T v = 1 s)
60 Johan Baeten

Bibliografie
[1] Jacques Denis “Wiskunde – Laplace Transformatie” KHLim, IWT
[2] Victor Berwaerts “Automatisering – Regeltechniek” Standaard uitgeverij
[3] Hendrik Van Brussel “Systemen en signalen,” KULeuven
[4] http://www.khlim.be/∼jbaeten → Cursussen → Systeemtheorie
61

Bijlage A
Ideale systemen
Deze appendix bespreekt de ideale systeemelementen en geeft een samenvatting. Door
de algemene aanpak en de analogieën die hieruit voortvloeien kunnen verbanden gelegd
worden tussen elektrische, mechanische en andere systemen. Deze verbanden worden ook
benadrukt door de gelijkvormige TF’s.
A.1 Fysische veranderlijken
De fysische veranderlijken worden opgedeeld in de zogenaamde lopende veranderlijken
(Eng.:‘through-variables’) en staande veranderlijken (Eng.:‘across-variables’).
De lopende veranderlijken meten de doorgang van een grootheid door een systeemelement
zoals de stroom door een weerstand, de kracht door een veer of het vloeistofdebiet
door een leiding. Om de lopende veranderlijke te meten moet de kring onderbroken worden.
Het algemeen symbool voor de lopende veranderlijke is f.
De staande veranderlijken meten het verschil in de toestand tussen de uiteinden van
het systeemelement, zoals de drukval over een leiding, de spanning over een weerstand of
het snelheidsverschil tussen de uiteinden van een demper. Om de staande veranderlijke te
meten wordt het meettoestel “over de klemmen”geplaatst. Het algemeen symbool voor de
staande veranderlijke is v (met als indices de punten tussen dewelke gemeten wordt).
A.2 Elementtype
Er bestaan verschillende ideale (fysische) elementen met empirische verbanden tussen
staande en lopende veranderlijken al dan niet in geïntegreerde vorm. We gebruiken volgende
algemene variabelen:
v Staande veranderlijke
∫
x Geïntegreerde staande veranderlijke ( vdt)
f Lopende veranderlijke
∫
h Geïntegreerde lopende veranderlijke (
fdt)
63

A Ideale systemen
A.2.1
Veralgemeende inductantie
Bij de zuivere, ideale veralgemeende inductantie is de geïntegreerde staande veranderlijke
evenredig met de lopende veranderlijke of de staande veranderlijke evenredig met de afgeleide
van de lopende veranderlijke, met evenredigheidsconstante L ,de inductantiewaarde.
x 12 = Lf of v 12 = L df
dt
Figuur A.1 geeft twee voorbeelden van veralgemeende inductanties.
Figuur A.1: Inductanties
A.2.2
Veralgemeende capaciteit
Bij de zuivere, ideale veralgemeende capaciteit is de geïntegreerde lopende veranderlijke
evenredig met de staande veranderlijke of de lopende veranderlijke evenredig met de afgeleide
van de staande veranderlijke, met evenredigheidsconstante C ,de waarde van de
veralgemeende capaciteit.
h = Cv 12 of f = C dv 12
dt
Figuur A.2 geeft twee voorbeelden van veralgemeende capaciteiten.
Figuur A.2: Capaciteiten
A.2.3
Veralgemeende weerstand
Bij de zuivere veralgemeende weerstand is de staande veranderlijke evenredig met de lopende
veranderlijke met als evenredigheidsconstante R of 1/R, waarbij de tekens steeds
gelijk zijn.
v 12 = 1 R f
Figuur A.3 geeft twee voorbeelden van veralgemeende weerstanden. Voorbeelden:
64 Johan Baeten

A.3 Het vermogen
A.3 Het vermogen
Figuur A.3: Weerstanden
Het vermogen dat in een element door de uiteinden 1 en 2 gaat is steeds gelijk aan het
produkt van de staande en de lopende veranderlijke.
P = fv 12
Voor een weerstand zijn de tekens van f en v 12 steeds gelijk. Het vermogen geleverd aan
de veralgemeende weerstand P = f · v 12 is steeds positief. Een veralgemeende weerstand
dissipeert dus energie. Voor een capaciteit en een inductantie is de energie gelijk aan de
integraal van het vermogen:
E =
∫ t
P dt =
∫ t
fv 12 dt
0
0
De enige uitzondering op deze energiebetrekkingen is het thermisch systeem. Daar is het
vermogen de lopende veranderlijke zelf (de warmteflux q) en de energie is de geïntegreerde
lopende veranderlijke (de hoeveelheid overgebrachte warmt).
A.4 Ideale bronnen
Een toestel dat energie aan een systeem kan toevoeren of ontnemen wordt een bron genoemd.
Bij de analyse van systemen is het nuttig ideale bronnen te beschouwen.
Indien de bronveranderlijke een staande veranderlijke is, noemen we dit een v-bron.
Deze bron is ideaal wanneer de bronveranderlijke onafhankelijk is van de f-veranderlijke
die door de bron moet geleverd worden.
Indien de bronveranderlijke een lopende veranderlijke is, noemen we dit een f-bron.
Deze f-bron is ideaal wanneer de bronveranderlijke onafhankelijk is van de v-waarde die
over de bron ontstaat.
A.5 Ideale transformatoren
Bij een veralgemeende zuivere ideale transformator bestaat er een eenduidig verband tussen
twee paren van staande of geïntegreerde staande veranderlijken of tussen twee lopende
veranderlijke met transformatieverhouding n,
x b = nx a of v b = nv a
Johan Baeten 65

A Ideale systemen
waarbij de totale energieflux in het toestel nul is
P = f a v a + f b v b = 0 zodat f b = − 1 n f a.
Voorbeelden van ideale transformatoren worden gegeven in de samenvattende tabel A.2 in
paragraaf A.8.
Opmerkingen: Indien er een kruiselings verband is tussen een staande en een lopende
veranderlijke voor twee gekoppelde systeemelementen dan spreekt men van een gyrator. Indien
de veranderlijken betrekking hebben op twee verschillende energiesoorten dan worden
dit omzetters genoemd, bijvoorbeeld opnemers of sensoren.
A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen
Door de wijze waarop de verschillende systeemelementen op elkaar inwerken worden voorwaarden
opgelegd aan de betrekkingen tussen de paren veranderlijken die elk van de systeemelementen
definiëren. Deze voorwaarden zijn de evenwichtsvoorwaarden en de verenigbaarheidsvoorwaarden.
Evenwichtsvoorwaarden zijn steeds betrekkingen tussen lopende veranderlijken. Zij
worden, naargelang de discipline, soms knooppuntvergelijkingen of continuïteitsvergelijkingen
genoemd. Voorbeelden zijn de stroomwet van Kirchhoff in een knooppunt van een elektrisch
netwerk, het krachtenevenwicht in een punt van een mechanische structuur of de
continuïteitsvoorwaarde van een vloeistofstroom.
Verenigbaarheidsvoorwaarden zijn altijd betrekkingen tussen staande veranderlijken.
Zij worden soms kringloopvergelijkingen of verbindingsvoorwaarden genoemd. Voorbeelden
zijn de spanningswet van Kirchhoff in de kringloop of geometrische verbindingsvoorwaarden
in mechanische systemen.
A.7 Equivalente systemen
Door de analogieën, weergegeven in figuur A.5, kunnen mechanische structuren die bestaan
uit ideale elementen omgerekend worden naar volledig equivalente elektrische schema’s.
Hiervoor laten we de kracht overeenkomen met de stroom en de snelheid of het
snelheidsverschil (eventueel t.o.v. stilstand) met de spanning of het spanningsverschil in de
overeenstemmende punten (of omgekeerd). Een massa komt zo overeen met een capaciteit,
een veer met een inductantie en een demper met een weerstand. Samengevat geeft dit
volgende equivalente waarden voor mechanische en elektrische systemen:
⎧
{
F ↔ i
⎪⎨ m ↔ C
→ 1/k ↔ L .
v 12 ↔ V 12 ⎪⎩
b ↔ 1/R
Deze analogieën geven in feite weer dat alle (ideale) systemen zich op een gelijkaardige
manier gedragen. Zo kan het elektrisch equivalent van een mechanische structuur gebruikt
worden om gesimuleerde ‘testen’ uit te voeren op de structuur door het meten van de
elektrische schakeling.
Figuur A.4 geeft voorbeelden van equivalente systemen. De TF’s van deze systemen
zijn dan ook dezelfde.
66 Johan Baeten

A.8 Samenvatting
Figuur A.4: Voorbeelden van mechanisch-elektrisch-equivalenten
A.8 Samenvatting
Gebruikte variabelen:
E energie P vermogen
ω hoeksnelheid M moment
ϑ temperatuur q warmtestroom
v translatiesnelheid V elektrische spanning
f veralgemeende lopende veranderlijke i stroom
h veralg. geïntegreerde lopende veranderlijke F kracht
v veralgemeende staande veranderlijke P druk
x veralg. geïntegreerde staande veranderlijke Q debiet
Gebruikte constanten:
R elektrische weerstand L elektrische inductantie
C elektrische capaciteit b demping (translatie)
k veerstijfheid m massa
B demping (rotatie) K rotatieveerstijfheid
I traagheidsmoment R f hydraulische weerstand
I hydraulische inertantie C f hydraulische capaciteit
R t thermische weerstand C t thermische capaciteit
Johan Baeten 67

A Ideale systemen
Figuur A.5: Ideale systeemelementen
Tabel A.1: Staande en lopende veranderlijken
68 Johan Baeten

A.8 Samenvatting
Systeem Grootheid Brontype
Batterij Elektrische spanning v
Hydraulische pomp Debiet f
Smeltend ijs Temperatuur v
Koppelmotor Koppel f
Oceaandiepte Druk v
Tabel A.2: Voorbeelden van fysische v- en f-bronnen
Figuur A.6: Ideale transformatoren
Johan Baeten 69