OP eN Neer MeT De rOLTraP - Nederlandse Wiskunde Olympiade

Op 4 februari vond de eerste ronde van de Wiskunde Olympiade voor de vijftigste keerplaats op diverse middelbare scholen. de wedstrijd bestond uit acht vijfkeuzevragen (2 puntenper goed antwoord) en vier open vragen (5 punten per goed antwoord). de opgavenwaren dusdanig uitdagend, dat het oplossen van een paar opgaven al een hele prestatiewas. Uiteraard was het doel ook om met plezier aan interessante wiskunderaadsels te werken,en dat is ongetwijfeld gelukt. In dit artikel bekijken we een van de vier open vragen.door Julian LyczakOP eN Neer MeTDe rOLTraPOpgave B2 (NWO eerste ronde 2011):In een warenhuis loopt een roltrap van de beganegrond naar de eerste verdieping. Dion gaatmet deze roltrap omhoog; hij zet hierbij zelfook nog een aantal stappen in een vast tempo.Raymond loopt over dezelfde roltrap, tegende richting in, van boven naar beneden en zethierbij stappen in hetzelfde tempo als Dion. Zenemen allebei één trede per stap. Dion is naprecies 12 stappen boven; Raymond is na precies60 stappen beneden.Hoeveel stappen zou Dion nodig hebben omboven te komen als de roltrap stilstond?Blijkbaar zit er zelfs wiskunde verstopt in het lopenop een roltrap... Een eerste gedachte is misschiendat het aantal stappen voor de stilstaande roltraphet gemiddelde is van de genoemde 12 en 60, dus(12 + 60)/2 = 36. Maar we zullen zien dat dit tesimpel gedacht is.tWEE VErGELIJKINGEN, tWEE ONBEKENdENWe bekijken het probleem eerst eens van deandere kant, met verzonnen getallen. Neem bijvoorbeeldeen roltrap met 45 treden. Dat is dus hetaantal stappen dat nodig is om boven te komen alsde roltrap stilstaat. We nemen verder aan dat deroltrap een zodanige snelheid heeft dat als Diontwee stappen heeft gezet, de roltrap één trede is opgeschovenmet Dion mee. Dan hoeft hij dus vooriedere 3 treden die hij stijgt, maar 2 stappen te zetten.Hij zal dus in 45 · 2 = 30 stappen boven zijn.3Voor Raymond, die van boven naar benedenloopt, gaat de roltrap juist tegen zijn looprichtingin. Voor iedere 2 stappen die hij zet, is hij eigenlijkmaar 1 van de 45 treden gedaald. Hij zal dus wel45 · 2 = 90 stappen nodig hebben. Het gemiddeldeis (30 + 90)/2 = 60, maar de roltrap is toch echt1slechts 45 treden lang. De vraag is hoe we nu vandie 30 en 90 wél op 45 kunnen uitkomen.Om dit te onderzoeken, voeren we variabelenin. Zoals we al in het probeersel hierboven zagen,is het misschien slim om het aantal treden van eenstilstaande roltrap een naam te geven. We kiezenvoor t, van treden. Verder hebben we nóg een parametergebruikt: het aantal treden dat de roltrap opschuiftin de tijd dat Dion of Raymond precies éénstap doen. Deze parameter zullen we aangeven metv. In het verhaal hierboven was v = 1 2 .Dion loopt met de roltrap mee en zal dus als hij1 stap zet, 1 + v trede stijgen. Maar Raymond beweegttegen de roltrap in, en daalt effectief slechts1 – v trede per stap. Het aantal stappen dat nodig isom t treden te stijgen als je per stap 1 + v treden beweegt,is simpelweg 1+v . Net zo zal Raymond pre-tt cies 1−v stappen nodig hebben om weer beneden tekomen. Deze aantallen waren gegeven in de opgaveen we vinden dus het stelsel van vergelijkingent1+v =12 en t=60. (1)1−vUit beide vergelijkingen kunnen we v oplossen, wat27PYTHAGORASFebruari 2011

160 (die gelijk is aan 1−vtANtWOOrdEN1. De roltrap staat stil.) helemaal weg en krijgen we t = 24.3. Raymond komt nooit beneden aan, want voor elke stap die hij naar beneden zet, stijgt de roltrapook een trede. Raymonds snelheid 1 – v is hier dus gelijk aan 0. In formule (2) valt daarom de term2. De snelheid van de roltrap is dan eigenlijk negatief. Oftewel: de roltrap loopt niet van beneden naarboven, maar juist van boven naar beneden.Om OVEr NA tE dENKEN1. Dion en Raymond komen nog bij een andere roltrap en doen daar hetzelfde: Dion loopt naar boven,Raymond in hetzelfde tempo naar beneden. Maar nu blijkt dat ze precies evenveel stappen nodighebben. Wat is er met deze roltrap aan de hand?2. Hoe zit dat eigenlijk als Dion juist meer stappen nodig heeft dan Raymond?3. Bekijk weer een nieuwe roltrap, waarvoor geldt dat als Dion 1 stap zet, hij al 2 treden gestegen is. AlsDion weer 12 stappen nodig heeft om boven te komen, hoeveel stappen heeft Raymond dan nodigom beneden te komen? Hoeveel treden heeft de roltrap?28leidt totHiermee krijgen we een eenvoudige lineaire vergelijkingvoor v: 1 + v = 5 – 5v. Deze kunnen we her-tt−1=v =1−12 60 ,schrijven tot 6v = 4 om te vinden v = 2 . Als we dit3dusweer invullen in een van onze eerste vergelijkingen⎛ 1t ⎜12 + 1 ⎞⎟= t⎝ 60⎠12 + t60 =2.(1), bijvoorbeeld t/(1 + v) = 12, vinden we datt = 12 · (1 + 2 ) = 20. Ter controle kunnen we3Hieruit volgt datnog nagaan of we dezelfde t krijgen als we2t/(1 – v) = 60 hadden gekozen om onzet =112 + 1 . (2) v in in te vullen: t = 60 · (1 – 2 3 ) = 20.60Gelukkig maar.Teller en noemer met 60 vermenigvuldigen levertt = 1205+1 = 20. Hiermee hebben we de opgave opgelost! VIJFtIEN rOLtrAppEN Toch kunnenwe de opgave ook zonder al dit rekenwerkoplossen. Bekijk daarvoor drieBrEUKEN OmdrAAIEN Een andere manierom v te elimineren, die in dit geval toevallig mooi identieke roltrappen naast elkaar. Dewerkt: draai alle breuken in (1) om:eerste roltrap loopt naar beneden, de1+v= 1 1−ven = 1 tweede staat stil en de derde loopt naart 12 t 60 .boven, even snel als de eerste roltrap naarbeneden loopt.Als we deze twee vergelijkingen optellen, valt v weg: We laten Raymond nu omhoog lopen,maar wel op de eerste roltrap,2t =1+v + 1−v = 1t t 12 + 1 60 ,dus nog steeds tegen de roltraprichtingin. Want of hijwaarmee we weer vinden datnou omlaag loopt over2een roltrap die omt=112 + 1 = 20.60Overigens hadden we ook eerst v kunnen bepalenen dan die waarde weer invullen om t te vinden.Als we de twee vergelijkingen (1) op elkaar delen,verliezen we direct de t:⎛ t ⎞⎜ ⎟1+v1−v = ⎝1−v⎠= 60⎛ t ⎞ 12 =5. ⎜ ⎟⎝1+v⎠PYTHAGORAS Februari 2011

hoog gaat, of omhoog over een roltrap die omlaaggaat, dat maakt natuurlijkniet uit voor onsprobleem.Dion zal in hetzelfdetempo op dederde roltrap lopenen voor de middelsteroltrap bellen ze hun goedevriend Thijs op. Ookhij zal in hetzelfde tempostappen zetten als Dionen Raymond. Stel nu dater ook nog eens vier extra,identieke roltrappendirect inhet verlengdevanelk vande drie roltrappenliggen.Raymond, Thijsen Dion gaan nu elkop hun eigen vijftal roltrappenin hetzelfde tempovan onderaf stappen zetten.Uit de gegevens in de opgave volgtdat Dion na precies 60 = 5 · 12 stappenboven aan zijn vijf roltrappen staat.Op dat moment heeft Raymond nog maaréén van de vijf roltrappen afgelegd. Aangezienwe weten dat de roltrappen van Dion en Raymondeven snel gaan, maar in tegengestelde richting, ligtde snelheid van Thijs precies tussen de snelhedenvan Dion en Raymond. Thijs zal zich dus na 60stappen precies tussen Dion en Raymond bevinden.Hij heeft dus in 60 stappen drie stilstaande roltrappenbeklommen. Voor één stilstaande roltrap zijndus 20 stappen nodig. We vinden opnieuw dat destilstaande roltrap uit 20 treden bestaat. ■HArmONISCH GEmIddELdEAls in de opgave Dion d stappen nodig heeftom boven te komen en Raymond r stappen ombeneden te komen, zien we dat in het algemeende roltrap precies21d + 1 rtreden heeft. Dit heet het harmonisch gemiddeldevan d en r. Het harmonisch gemiddeldeis kleiner dan het gewone gemiddelde d+r (dit2wordt ook wel het rekenkundig gemiddelde genoemd),tenzij d = r; dan zijn beide gemiddeldesgelijk en ook nog eens gelijk aan de waardevan d en r.Het harmonisch gemiddelde heeft allerlei eigenschappengemeen met het gewone gemiddelde.Zo zit het gewone gemiddelde van tweegetallen altijd tussen de grootste en de kleinstevan de twee; hetzelfde geldt voor het harmonischgemiddelde. Ook geldt voor beide: als d en r meteen bepaalde factor toenemen, dan neemt het gemiddeldevan de twee getallen toe met diezelfdefactor. Dus als Dion 120 stappen nodig had gehaden Raymond 600, kunnen we meteen zeggendat de roltrap 200 treden hoog is.PYTHAGORAS Februari 201129