OP eN Neer MeT De rOLTraP - Nederlandse Wiskunde Olympiade

hoog gaat, of omhoog over een roltrap die omlaaggaat, dat maakt natuurlijkniet uit voor onsprobleem.Dion zal in hetzelfdetempo op dederde roltrap lopenen voor de middelsteroltrap bellen ze hun goedevriend Thijs op. Ookhij zal in hetzelfde tempostappen zetten als Dionen Raymond. Stel nu dater ook nog eens vier extra,identieke roltrappendirect inhet verlengdevanelk vande drie roltrappenliggen.Raymond, Thijsen Dion gaan nu elkop hun eigen vijftal roltrappenin hetzelfde tempovan onderaf stappen zetten.Uit de gegevens in de opgave volgtdat Dion na precies 60 = 5 · 12 stappenboven aan zijn vijf roltrappen staat.Op dat moment heeft Raymond nog maaréén van de vijf roltrappen afgelegd. Aangezienwe weten dat de roltrappen van Dion en Raymondeven snel gaan, maar in tegengestelde richting, ligtde snelheid van Thijs precies tussen de snelhedenvan Dion en Raymond. Thijs zal zich dus na 60stappen precies tussen Dion en Raymond bevinden.Hij heeft dus in 60 stappen drie stilstaande roltrappenbeklommen. Voor één stilstaande roltrap zijndus 20 stappen nodig. We vinden opnieuw dat destilstaande roltrap uit 20 treden bestaat. ■HArmONISCH GEmIddELdEAls in de opgave Dion d stappen nodig heeftom boven te komen en Raymond r stappen ombeneden te komen, zien we dat in het algemeende roltrap precies21d + 1 rtreden heeft. Dit heet het harmonisch gemiddeldevan d en r. Het harmonisch gemiddeldeis kleiner dan het gewone gemiddelde d+r (dit2wordt ook wel het rekenkundig gemiddelde genoemd),tenzij d = r; dan zijn beide gemiddeldesgelijk en ook nog eens gelijk aan de waardevan d en r.Het harmonisch gemiddelde heeft allerlei eigenschappengemeen met het gewone gemiddelde.Zo zit het gewone gemiddelde van tweegetallen altijd tussen de grootste en de kleinstevan de twee; hetzelfde geldt voor het harmonischgemiddelde. Ook geldt voor beide: als d en r meteen bepaalde factor toenemen, dan neemt het gemiddeldevan de twee getallen toe met diezelfdefactor. Dus als Dion 120 stappen nodig had gehaden Raymond 600, kunnen we meteen zeggendat de roltrap 200 treden hoog is.PYTHAGORAS Februari 201129