Appel 42.1 - Geometrie

DE APPEL
GEOMETRIE
ORIGAMI
KLASSIEKE KUNSTEN EN
HIGHTECH OPLOSSINGEN
DUIVELSE GEOMETRIE
De eeuwige honger van de
Bermuda driehoek
j
42.1
Het verenigingsblad van W.S.G. Isaac Newton
VERBETER DE WERELD,
BEGIN BIJ JE FIETS
Column Hugo

CHAIRMAN’S NOTE
62
A
very warm welcome to this brand-new edition of
the Appel. The academic year has just begun and
we have had the pleasure to welcome a lot of new
faces to our association. With nearly 300 first year
students, we have had the largest attendance of
our Kick-In so far. I hope all new students successfully settled
down and everyone is cured of their post-Kick-In illnesses. As a
board, we are now already past the half-year mark, which gives
us only a couple of months before we need to start following
courses again. We experience this as an opportunity for us to
organize a whole lot of enjoyable activities to drag us all through
the colder times.
The theme of this Appel is geometry. The first thing that came
to my mind when I heard about this theme was mathematics. I
remember the first test in mathematics in high school was about
geometry, about three dimensional sizes. At the time, I had no
idea what this had to do with mathematics. Now, as students in
Mechanical Engineering, we learn a lot about calculus and as we
walk through our studies, we more and more understand why
geometry is so important to us. Whether it’s the design of complex
products that are composed of different geometries, or the
solving of a difficult fluid mechanics problem, mathematics is
always at the core of our ability to come up with inventive solutions.
As mechanical engineers, we are not only taught the very
basis of a lot of physical phenomena, we also learn how we can
use this knowledge in a practical way to add boundless value to
our society.
I am sure that the editors have once again succeeded to compose
an Appel full of interesting articles which I will be reading with
great delight. Allow yourself to take a moment of good relaxation
as you browse through this Appel. I wish you lots of reading pleasure
with this new Appel.
Joep van Manen
Chairman of W.S.G. Isaac Newton
Scientia Vincere Tenebras

INHOUD
Colofon
De Appel is een uitgave van het werktuigbouwkundig
studiegenootschap Isaac
Newton in samenwerking met de opleiding
Werktuigbouwkunde aan de faculteit
der Construerende Technische Wetenschappen
van de Universiteit Twente.
Redactie-adres
W.S.G. Isaac Newton t.a.v. de Appel
Postbus 217
7500 AE Enschede
[T] 053 - 489 25 31
[F] 053 - 489 40 05
[E] appel@isaacnewton.utwente.nl
Uitgave
Jaargang 42, nummer 1, november 2019
Oplage
1100 exemplaren
Abonnementen
Abonnementen op de Appel zijn te verkrijgen
bij het bestuur van W.S.G. Isaac Newton.
Abonnementsprijs 25 euro per jaar
© 2019 de Appel
De redactie is op geen enkele wijze
verantwoordelijk voor de inhoud van de
aangeleverde kopij en houdt zich het recht
kopij in te korten en te wijzigen.
Hoofdredacteur
Almer Lagerweij
Eindredacteur
Michiel Louwé
Grafische vormgeving
Fedde Engelen
Jeroen van den Hoogen
Redactie
Daan Flier
Roland Guijs
Koen Kleverwal
Alicia Knijnenburg
Fausto Visser
Joachim van de Weg
Sabine van der Werff
Hugo Wesselink
Drukker
Drukbedrijf.nl
Joan Muyskenweg 114
1114 AN Amsterdam
Advertenties & Advertorials
p. 2 IHC
p. 12 Witteveen+Bos
p. 34 Thales
13
Duivelse Geometrie
De eeuwige honger van de
Bermuda driehoek
16
Houwto
Bierplank
32
Prince Rupert’s Drop
A curious object with
potential
36
Origami
Klassieke kunst en hightech
oplossingen
4
DE APPEL

06 The evolution of
game graphics
09 Voer voor
psychologen
Column Roland
10 De All-star
De Grote Appeltest
26 Oude meetmethodes
Over lichaamsdelen en
duimstokken
28 De Appelredactie
Commisie aan het
woord
30 Symposium
announcement
35 Verbeter de wereld,
begin bij je fiets
Column Hugo
44 Zijn katten vloeibaar?
46 De stelling van
Pythagoras
Het bewijs achter de
meest bekende
wiskundige stelling
REDACTIONEEL
Na een paar hele snelle eerste maanden van dit
academisch jaar zijn we alweer aangekomen
bij het einde van het eerste kwartiel. Hopelijk
bevallen jullie cijfers van dit eerste kwartiel.
Of het nou mee of tegenvalt maakt niet uit,
want de tijd gaat altijd door. Zodoende dat we
zijn aangekomen bij de langverwachte en eerste Appel van
dit jaar! Na een korte zomerstop zijn we weer terug om wat
mooie onderwerpen aan te snijden. Samen met de redactie
en grafici hebben wij ons uiterste best gedaan om iets moois
voor jullie neer te zetten. Deze editie staat één van de oudste
wetenschappen van de wereld in het spotlicht, meetkunde,
ook wel geometrie genoemd.
Meten is weten wordt er maar altijd gezegd, en aangezien
wij als WB’ers erg veel (denken te) weten is geometrie één van
de basisbeginselen van werktuigbouwkunde. Van het meten
van de omtrek van de aarde tot het produceren van microprocessors,
zonder meten komt men nergens. Daterend uit
het klassieke Griekenland werd met als basis de postulaten
van Euclides de gehele meetkunde ontwikkeld. De meetkunde
staat nu als basis voor deze editie. Een onmisbaar persoon
uit de meetkunde is natuurlijk Pythagoras, zijn kennis zal
uitgelicht worden deze editie, samen met de geschiedenis
van meetmethodes zal dit een blik op het verleden geven. Gelukkig
kijken we niet slechts achteruit in de tijd, maar ook
vooruit, of in het nu. Hoe maak je namelijk de mooiste meter
bier? In een how-to zal dat duidelijk worden gemaakt. Of nog
moderner, games, Hoe vertaalt de oude geometrie zich in deze
moderne vorm van entertainment?
Dit is nog maar het tipje van de sluier van wat je allemaal
te wachten staat na het verdere openslaan van deze Appel.
Hierbij onze ode aan de geometrie, veel leesplezier.
Almer Lagerweij
Hoofdredacteur
DE APPEL 5

THE EVOLUTION
OF
VIDEO GAME GRAPHICS
BY DAAN FLIER
“We don’t stop playing because we grow old; we grow old because we stop playing,”
wrote George Bernard Shaw and if you were born in the 20th century or early 21st
century, thanks to video games you may never grow old. We are on the verge of an
exciting time in entertainment history, the dawn of a new era. Games have evolved so
much in the last couple decennia, from 2D to 3D and now we are entering the fourth
dimension as virtual reality is about to transform experiences forever.
6
DE APPEL

In the early stages of video gaming, one of the big problems was in
fact getting any graphics at all. In 1952, one of the very first computer
games ever, called OXO, was invented by Alexander Douglas. It simulated
a game of tic-tac-toe (boter kaas en eieren) which was displayed
on a 35 by 15 dot cathode ray tube. Players used a rotary telephone dial
to enter the moves, selecting which of the nine squares on the board
they wished to move next. The game display would only update when
the game state changed, and it was only available to certain students at
Cambridge University. The next big breakthrough came in 1958, when
William Higinbotham design the game Tennis for Two for
the Brookhaven National Laboratory’s annual public
exhibition. It used an oscilloscope display
and allowed the players to play a game
of tennis with simple physics for the
ball, like wind resistance and gravity,
and even a sound whenever
the ball was contacted. It drew
in major croutes, especially
high school students, unfortunately,
it was only used for
two years before being salvaged
for parts.
The first game that would become
widely available in the
technical and university computing
communities was the 1962 Spacewar!
It was a space combat video game initially
developed by Steve Russel and was expended
upon by multiple students and employees
of universities. Two ships, one called the
‘Wedge’ and the other the ‘Needle’, would
engage in a dogfight while manoeuvring in
a star-filled background. Each ship had limited fuel for manoeuvring
and a limited number of torpedoes and followed Newtonian physics,
remaining in motion even when the player is not accelerating.
So far, all games were only available at exhibitions for regular citizens.
Until 1972, in that year Pong became the first successful arcade video
game. It was a table tennis sports game consisting of simple two-dimensional
graphics, but it set the tone for how successful video gaming
could become.
In 1974, both ‘Maze War’ and ‘Spasim’ were released. Both were the first
to apply the first-person shooter video game genre. Maze War was a
simple black-and-white puzzle game where players would wander
through a maze looking for other avatars, represented by floating eyeballs.
You could gain points by killing other players and lose points by
dying. Spasim was a 32-player networked space flight simulator, also
set in a first-person view. Like Maze War, movements were slow and
Schematic representation of the
‘‘Tennis for Two’’ game, made in 1958.
simple, and turns could only be done in 90-degree angles. Unfortunately,
neither game was released commercially; instead they were more
like radical projects shown off to a select group of university students.
Everyday people would not get their look at a first-person shooter until
the early ‘80s with Battlezone. It used green 3D vector graphics, basic
background environmental effects, like an erupting volcano, and addictive,
score-based gameplay to become widely popular in arcades. While
a simple game by modern standards, it was rather complex for such
an early example, offering the ability to go anywhere in a world, hide
from attacks and fight enemies. A version called the Bradley
trainer was designed for use by the US army, as
targeting training for gunners on the Bradley
fighting vehicle. Because of its use of
first-person pseudo 3D graphics combined
with a viewing goggle that
the player puts his or her face
into Battlezone is sometimes
considered the first virtual reality
arcade video game.
In mid 1980s polygons were
used for the first time to simulate
a 3D environment in the
game I, Robot. While this game
was a financial flop, it did start the
idea of using polygons to create an
entire world. A polygon is a triangular
shaped flat surface, used in 3D graphics
technology to build three-dimensional
figures. Graphics started to truly evolve
during this period of time, becoming ever
more detailed players were able to control
spaceships, explore dungeons and race
in sports cars against their friends. The early 90s started to explore
the realms of 3D by creating the illusion of 3D space. Popular titles at
the time include Wing Commander, Doom and Duke Nukem 3D, which
would use 2D textures and sprites to give the player a faux 3D effect
which was later labelled 2.5D. Since a complete world made from polygons
could not be made due to the limitations of the technology. But we
only needed to wait until the 90s for proper 3D graphics.
After a period of polygons gradually being refined, more advanced versions
began to appear in games, with an increase in how many were
used to make a single three-dimensional model. With the release of
Quake in 1996, millions of people around the world would spend hours
in front of their PCs in dimly lit rooms or with their friends and a LAN
connection. Quake was the first game to feature full 3D worlds and enemies.
At any given time, Quake could render 200 polygons, giving the
game, for the time, a realistic 3D feeling. The player had to find their
way through various maze-like medieval environments while battling
a variety of monsters using different weapons.
DE APPEL 7

Quake, the first game featuring full 3D worlds and enemies, released in 1996.
From the point Quake was released, graphical processing
power began to rapidly increase, likewise increasing
the number of polygons that could be rendered
in game engines. The advancement rate was exponential,
so much so that Quake 4, released in 2006,
(only ten years later) a single player character in the
game had 2,600 polygons.
In modern times, polygon count is no longer even
considered a serious problem in video game creation.
Graphics technology has advanced to such a degree,
that a single character can use 150,000 or more, without
much impact on the hardware. Now the focus is
more on factors such as realistic and detailed lighting
as well as complicated shaders, detailed surface
textures, cel-shading and realistic physics to create
photorealistic graphics for games as Assassin’s Creed
Odyssey and Far Cry New Dawn. Some games go back
to a more animated look and feel like Fortnite and
Borderlands 3. It should be kept in mind, though, that
polygons are still the basis of all 3D graphics, with
no exceptions.
Graphics continue to evolve as the technology behind
them grows. Developers are now able to create cutscenes
in-engine without pre-rendering or filming
full motion videos. Technology has evolved so much
that loading screens will soon become a thing of the
past. But there is still room to improve, games have
a way to go before they can match the photorealism
that postproduction offers in film. Virtual reality allows
us to make another big step forward in making
sure we never grow old. d
8
DE APPEL

COLUMN
ROLAND GUIJS
VOER VOOR PSYCHOLOGEN
De zomervakantie is weer ten einde; de periode
waarin de zon behoort te schijnen en de
studieboeken zonder schuldgevoel weggelegd
kunnen worden. En de zomer is ook de periode
waarin, als door een duistere kracht geleid, de
psycholoog in mij naar boven komt. Wellicht
heeft het ermee te maken dat alles in het leven
een zekere mate van balans nodig heeft en dat
die veroorzaakt wordt door de aanwezigheid
van tegenstellingen. Een stukje vlees smaakt
toch net wat lekkerder met de gedachte dat er
ook vegaburgers bestaan en de aanwezigheid
van de Volkswagen Up!
maakt dat een Ford Mustang
Shelby er alleen maar beter
uit ziet. Of zoals het in de
huidige geest van de internationalisering
op de
universiteit gezegd moet
worden: elke yin heeft
zijn yang. Blijkbaar heeft
mijn hoofd na een heel collegejaar
vol rationaliteit en
algebra de behoefte aan een staat
waarin het er vooral om gaat hoe je
naar iets kijkt. Het makkelijke, en leuke, hieraan
is dat er niet één correct antwoord bestaat. Het
is een beetje als het oplossen van een natuurkundig
probleem zonder centraal assenstelsel,
vanuit verschillende perspectieven komen er
verschillende antwoorden uit, die allemaal correct
kunnen zijn. Zittend in mijn vakantiestoel
laat ik mijn gedachten dan ook langs een breed
scala aan onderwerpen gaan. Hoe komt het bijvoorbeeld
dat sommige mensen tienduizenden
euro’s betalen aan operaties voor hun huisdier
en ik niet eens een goudvis een half jaar in leven
kan houden? En hoe kan iemands drang naar
bekendheid zo groot zijn, dat ze er bereid voor
zijn elk greintje waardigheid op te geven door op
nationale televisie mee te doen aan Temptation
Island of Ex on the Beach? Al is de vraag hoe
iemand het verzint en kan opbrengen om acht
maanden fulltime aan een onderwerp onderzoek
te doen ook een interessante. Dat laatste
bracht me erbij dat de grens tussen psychologie
en werktuigbouwkunde steeds vager begint te
worden. In mijn tijd, toen ik als eerstejaars
Enschede binnenkwam,
was werktuigbouwkunde nog
een mannelijk, oer-Hollands
bolwerk, waar echte mannen
les kregen in hun
moerstaal over staal. Psychologie
daarentegen was
dé plek waar je moest zijn
voor zowel een stukje internationaliteit
als het andere
geslacht, daar zaten immers
de Duitse dames. Inmiddels zijn
we vijf jaar verder en had de Horst qua
etnische diversiteit ook zomaar in een gemiddelde
Rotterdamse wijk kunnen staan. En het
kan niet anders dan dat de samenwerking met
de UvA ook tot de nodige vrouwelijke aanwezigheid
is gaan leiden. Nog even terugkomend op de
Chinese blik op dualiteit, daarin wordt gesteld
dat de yin niet zonder de yang kan en vice versa
en dat ze beide even belangrijk zijn. Maar als we
heel eerlijk zijn, geef ik toch echt de voorkeur
aan professioneel ingenieur en amateur psycholoog,
dan andersom. RG
DE APPEL 9

De Grote
Appeltest
ONDERZOEKERS
TEKST
BEELD
ROLAND GUIJS
MICHIEL LOUWÉ
FAUSTO VISSER
ALMER LAGERWEIJ
JEROEN VAN DEN HOOGEN
De eerste editie van dit jaar brengt veel nieuws met zich mee, één van de dingen
waar ik het meest enthousiast over ben is de Grote Appel Test, GAT. De appel,
een prachtig product waar wij als Nederlanders een groot succes mee behalen,
zowel nationaal als internationaal. Het is heerlijk om uit het vuistje te eten, maar er
kunnen ook prachtige andere producten van gemaakt worden, denk bijvoorbeeld
aan appeltaart en Apfelkorn. Elke editie gaan wij een andere appel belichten met
wat geschiedenis, maar er wordt vooral wetenschappelijk getest wat nou eigenlijk
de beste appel is. We beginnen deze editie met de Elstar, één van de meest
bekende en generieke appels die onze bodem te bieden heeft.
10 DE APPEL

Deel 1: Elstar
DE ALL-STAR
De Elstar is in 1955 ontstaan, toen Arie Schaap een
Golden Delicious met een Ingrid Marie
kruiste, deze kruising vond plaats bij
het Instituut voor Veredeling van
Tuinbouwgewassen (IVT) te Wageningen.
De eerste proefbomen
stonden op het land
van Thijssen in Elst (Gelderland).
Twee jaar na het
overlijden van
Schaap werd er pas
nagedacht over
een naam voor de
appel. Voormalig
werd de appel
aangeduid met het
nummer; IVT 5544-
140, niet een hele
commerciële naam.
Men dacht na over een
samentrekking van zijn
woonplaats Elst en zijn
voornaam Arie. Wat leidde tot
‘Elstarie’, we weten hoe dit zich
verder ontwikkelde toen de appel
uiteindelijk Elstar genoemd werd. In 2006
bestond 45% van alle in Nederland aanwezige
appelareaal (landbouwgrond voor appels) uit Elstar.
PRIJS
Wat maakt een appel nou een goede appel? Nou, als echte Nederlanders
is de prijs dus van belang. Om ervoor te zorgen dat de
test eerlijk verloopt hebben we alle soorten appels bij één winkel
gekocht, de COOP op de campus. De prijs die hier voor de Elstar
gevraagd werd is 1,79 per kilogram. Een koopje zou ik zeggen.
SMAAKERVARING
Een met veel zorg samengesteld onafhankelijk
testpanel heeft blind geproefd.
De reacties waren uitmuntend.
Een impressie van de reacties
is als volgt: ‘snijdt fijn’,
‘zoetzuur’, ‘ de benchmark’
en ‘goede structuur’.
Om de heer F.
Visser te citeren:
‘mag ik nog een
stukje?’ Hij kon er
geen genoeg van
krijgen.
‘APPELTJE
VOOR DE
DORST’
Iedereen
kent
het gezegde, ‘een
appeltje voor de
dorst’ wel. Hieronder
verstaat men iets wat
men opzij legt en bewaart,
om in tijde van nood
te gebruiken. Tegenwoordig
wordt hier geld onder verstaan,
maar aangezien de meeste studenten
geen geld, maar wel dorst hebben, kijken
we naar hoeveel water er eigenlijk in de
appel zit. Voor als men stevige dorst heeft.
Een stukje Elstar is afgesneden, gewogen en vervolgens meerdere
weken ten droge gelegd. Het verschil is verbluffend, een
stukje dat ooit maar liefst 12 gram woog, is geslonken naar een
stukje van 2 gram. Een korte berekening geeft aan dat 83%(!) van
de appel uit water bestaat, een lekker sappig appeltje dus.
CONCLUSIE
De lage prijs, de heerlijke smaak, de structuur, het dorstlessende
vermogen, deze appel heeft het allemaal. Het is naast de Elstar,
een All-star. a
DE APPEL 11

Ruimte voor
talent en ambitie
Levvel
INGENIEURSWERK MENSENWERK
Onze ingenieurs en adviseurs krijgen alle ruimte om het beste uit zichzelf te halen in projecten op het
gebied van water, infrastructuur, milieu en bouw. Wat is jouw talent?
www.witteveenbos.nl > werken bij

DUIVELSE GEOMETRIE
DE EEUWIGE HONGER VAN DE BERMUDA DRIEHOEK
DOOR ROLAND GUIJS
Het is 5 december, 1945 en de gevolgen van de Tweede Wereldoorlog galmen nog na over alle continenten. In
Florida voeren vijf Grumman TBM Avenger torpedo bommenwerpers van de Amerikaanse Marine een navigatie- en
gevechtstraining boven het water uit. Nadat de laatste bommen zijn uitgeworpen, willen ze koers terugzetten naar de
basis op Fort Lauderdale. Ze kregen echter problemen met de navigatie omdat de kompassen een storing vertoonden.
Vluchtleider Taylor oriënteerde zich op vervolgens basis van zicht, maar zag de Bahama’s aan voor de Key West eilanden.
De hierop gebaseerde koers zorgde ervoor dat de vijf vliegtuigen zich meer en meer van Florida verwijderden, om
uiteindelijk zonder brandstof neer te storten in zee, wat het leven kostte van de voltallige crew. Nadat het contact met
de vliegtuigen verloren was, stuurde de basis er meteen een reddingsoperatie op af. Met een dertienkoppige crew
vertrok de Martin PBM Mariner erop uit om de andere vliegtuigen te zoeken. Het laatste wat van dit vliegtuig gehoord
is, was een routine radiobericht om 19:30. Een kleine twee uur later wordt er een explosie in de lucht gerapporteerd
en blijkt de PBM ontploft te zijn. In totaal vinden 27 bekwame mannen die dag hun graf in het koude water van de
Atlantische Oceaan.
DE APPEL 13

Aan de zuidoostzijde van De Verenigde Staten van Amerika, gelegen
boven de idyllische Cariben, ligt de zogenaamde Bermuda driehoek,
in populair engels beter bekend als ‘Devil’s Triangle’. Er bestaan geen officiële
coördinaten van dit gebied, maar ruwweg wordt het gebied tussen
Miami, Puerto Rico en de Bermuda Eilanden bedoeld. Per verhaal verschilt de
oppervlakte van de driehoek overigens wel, variërend van pakweg 1.300.000 tot
3.9000.000 km2, wat betekent dat zelfs de Ierse kust nog tot de regio zou behoren.
Door de jaren heen zijn er diverse verdwijningen geweest van zowel vaar- als vliegtuigen,
waarover de meest uiteenlopende verhalen ronde doen. Een regelmatig terugkerend
plot is de aanwezigheid van buitenaards leven in deze regio. De oorsprong van deze theorie
ligt in 1962, aan de hand van de hierboven beschreven gebeurtenis, genaamd Flight 19. In een
Amerikaanse defensie magazine wordt gememoreerd aan dit voorval, waarbij de auter, Allen Eckert,
beweert dat hij tijdens het voorval de vluchtleider had horen zeggen dat het water groen leek, in plaats
van het gebruikelijke wit. Daarnaast zou in het officiële onderzoek staan dat de vliegtuigen ‘naar Mars zijn
gevlogen’. Deze toch wel subtiele hints naar een buitenaardse macht die de vliegtuigen had doen verdwijnen,
bleek een opmaat voor een hele rits aan auteurs die verder speculeerden op bovennatuurlijke invloeden in de
driehoek.
Zoals altijd bij dergelijke claims ontstaat er een tegenbeweging die aantoont dat het toch wel meevalt met de hoeveelheid
ongelukken. Zo bleken verschillende verhalen over ongelukken compleet verzonnen of was de waarheid aanzienlijk
verdraaid. Vliegtuigen die neergestort waren, bleken überhaupt niet in de lucht te zijn geweest die dag en enorm noodweer
kwam regelmatig voor op wat gerapporteerd was al windstille en kalme dagen. In 2013 werd er nog een wetenschappelijke duit
in het zakje gedaan, toen uit een onderzoek bleek dat de Bermuda driehoek niet eens tot de Top 10 gevaarlijkste wateren voor de
scheepvaart behoort. Dit, ondanks het feit dat het een erg druk bevaren en bevlogen gebied is. Maar zoals vaker is dat wetenschap
niet opgewassen tegen de rotsvaste mening van de mens en zijn er een hoop mensen die onderkennen dat de Bermuda driehoek echt een
ding is. Een van de theorieën is dat de ongelukken zijn veroorzaakt door technologieën, ontwikkeld in het verloren continent Atlantis. Dit
zou interfereren met de installaties op schepen en vliegtuigen, waardoor deze zouden verongelukken. Vervolgens verdwijnen deze technische
BIMINI ROAD
De theorieën over Atlantis worden verder gevoed door de aanwezigheid
van de zogeheten Bimini Road in de driehoek. Dit
is lijn van pakweg 800 meter, gevormd door onder het
water gelegen blokken kalksteen. Een deel van de
blokken zijn geometrisch van vorm en dit in
combinatie met de relatieve oriëntatie ten
opzichte van elkaar is een voedbodem
voor de theorie dat dit resten zijn
van een muur, weg, of iets anders
dat door de mens is aangelegd.
Dit, ondanks het
feit dat er ook wetenschappelijke
verklaringen
voor bestaan.
14 DE APPEL

installaties, bijvoorbeeld om te dienen als reserveonderdelen voor de machines van Atlantis. Ook gaan er
verschillende theorieën rond over UFO’s die voer- en vaartuigen in de Bermuda driehoek zouden aanvallen
of de aanwezigheid van wormholes die complete vliegtuigen in een oogwenk naar een ander universum sturen.
DRAKEN
DRIEHOEK
Zoals met zoveel
dingen, bestaat er
van de Amerikaanse
Bermudadriehoek ook een
Aziatische variant; de Drakendriehoek.
Dit gebied ligt ten oosten
van Japan en ook hiervan is niet echt
vastgelegd wat de officiële coördinaten
zijn. Naast het feit dat er een groep is die er
van overtuigd is dat er hier bovennatuurlijke
krachten aan het werk zijn, schrijven wetenschappers
het over het algemeen toe aan vulkanische activiteit
of de eerder genoemde methaan hydraten.
Naast deze bovennatuurlijke ideeën zijn er ook een aantal wat natuurlijkere verklaringen voor de veronderstelde
gebeurtenissen in de Bermuda driehoek. Een van de meest voor de hand liggende oorzaken is dat de oriëntatie
van het kompas altijd een beetje veranderd, doordat het magnetische en geografische noorden niet op een plek
liggen. Aangezien de Bermuda driehoek een nogal groot gebied beslaat, zal er ongetwijfeld enige variatie zitten
in wat als het Noorden wordt verondersteld. Daarnaast is de Golfstroom op zijn sterkste in de Bermuda driehoek.
Deze warme, lokale, versnelling van het water heeft daar een snelheid tot 3 m/s. Gevolg is dat schepen van hun
koers worden afgeleid door de relatieve snelheid van het water. Zeker als de aandrijving van een vaartuig gestaakt
is of een vliegtuig neerstort, zal deze snel van de oorspronkelijke crash plaats verwijderen. Het terug vinden
hiervan wordt dan ook een stuk lastiger, wat de hoeveelheid ‘verdwijningen’ aanzienlijk kan opschroeven.
Het feit dat het ook erg kan spoken in de Bermuda driehoek maakt het veilig bereizen van deze zee ook niet gemakkelijker.
Zeker in het verleden, toen vliegtuigen en boten nog geen beschikking hadden over geavanceerde
radartechnieken, kon men in een orkaan terecht komen en grote kans dat je hier dan niet uit kwam. Een
andere, interessantere maar onwaarschijnlijke theorie, is dat methaan de oorzaak is van het zinken van
de schepen. Onder de zeebodem ligt op verschillende plekken hoge concentraties methaan hydraat.
Dit is een kristalstructuur met daarin methaan gevangen. Als deze losbreken van de bodem zullen
ze richting de oppervlakte drijven, omdat methaan lichter is dan water. De structuur is echter
stabiel tot ongeveer 18 graden Celsius, daarboven ontsnapt het gas als belletjes. Deze gasbelletjes
echter, verstoren het dragend vermogen van het water, waardoor elk willekeurig
schip gewoon zal zinken. Tot dit punt een sluitende theorie, alleen zijn er in de Bermuda
driehoek helaas niet meer methaan bubbels gebarsten dan op andere plekken onder
de oceaan. Maar zoals de grondbeginselen van de wetenschap voorschrijven is
een stelling waar, tot het tegendeel is bewezen. En wie weet komt op een dag
dus Atlantis bovendrijven of blijkt de oorzaak van de opwarming van de
aarde gewoon op de bodem van de zee te liggen. A
DE APPEL 15

HOUWTO
BIERPLANK
DOOR JOACHIM VAN DE WEG
FOTOGRAFIE MICHIEL LOUWÉ
Wij werktuigbouwers houden wel van een beetje geklus en gebeun. Ik kan mij in dat gedachtegoed zeker vinden, hoewel ik
wel liever hout heb dan staal. Om jullie te overtuigen van het feit dat hout prachtig is zijn Michiel en ik bezig geweest met een
projectje voor deze houwto. We wilden iets doen wat bij werktuigbouwers past en besloten het doegroep-project van de Kick-
In fatsoenlijk over te doen: een biermeter.
Vooraf wil ik wel een ding zeggen: Ik heb inmiddels ruim tien jaar ervaring in de bouw en houtbewerking en de belangrijkste les
tijdens het klussen en beunen is: Onthoud dat alles sterker, harder en sneller is dan jij. Ik ken verhalen van, maar ook mensen
met, missende of niet functionerende vingers en of andere ledematen. Dus, weesch voorzichtig…
16 DE APPEL

DE APPEL 17

De meeste projecten beginnen in mijn geval bij de
tafelzaag. Dit maakt het makkelijk om bestaande
planken smaller of dunner te zagen.
Hoe scherp je zaagblad ook is,
de afwerking van de gezaagde
kant is nooit helemaal fraai.
Hiervoor zijn talloze opties:
schuren, de gezaagde kant
even over de vlakbank halen,
het gebruiken van een
schaafmachine, maar ik gebruik
het liefst een blokschaaf. Het
duurt even om het mes van de
schaaf scherp te krijgen, maar
daarna is het een eenvoudige
klus om de kant helemaal glad
te schaven. Dit geeft ook aan
dat het lang niet altijd het beste
is om elektrisch gereedschap te
gebruiken, in veel gevallen is het
resultaat van handgereedschap
zelfs beter.
18 DE APPEL

Mocht je een hekel hebben aan
hoofdrekenen, dan is dit een
makkelijke manier om het midden van
een plank of balk te vinden. Buig het
haakje van je meetlint naar de lengte
van je stuk, in dit geval 140cm, en
het midden van je stuk bevindt zich
precies in het midden van de bocht.
Als je een parallelle lijn wilt zetten kan
je dat makkelijk doen met behulp van
een duimstok (maar het kan ook met
een meetlint of willekeurig stuk hout).
Houd je duimstok vast bij de afstand
waarop de lijn moet komen en laat je
vingers langs de rand glijden.
Voorboren is in mijn optiek lang niet
zo vaak nodig als men zegt, maar het
is wel handig als je zeker wilt weten
dat je gat op de juiste plek komt.
Met een klein boortje is het veel
makkelijker om precies op de juiste
plek te boren en later kan je met een
grotere boor hetzelfde gat volgen om
zo de juiste plaatsing te krijgen.
DE APPEL 19

20 DE APPEL
Gatenzagen zijn lomp en soms
gevaarlijk. Het is in de eerste
plaats heel belangrijk dat je goed
staat en de boormachine goed
vasthoudt, je zal niet de eerste
zijn die op volle toeren met een
gatenzaag het hout in gaat en
door de terugslag een pols breekt.
Om te voorkomen dat je rook gaat
ontwikkelen tijdens het boren, wat
je stuk kan verpesten maar ook
je gatenzaag stomp maakt, kan
je twee dingen doen: of je haalt
af en toe je boor omhoog om de
spanen uit de tanden van de boor
te laten gaan, of je boort aan de
binnenkant van de snede van de
gatenzaag een gat van ongeveer
een centimeter. Op die manier
kunnen alle tanden hun spanen
ieder rondje kwijt. Als laatste is
het belangrijk om een achterplank
te gebruiken bij een gatenzaag,
dit voorkomt dat je stuk helemaal
versplintert bij het doorkomen van
de gatenzaag.

Er zijn vele manieren om sleuven
te maken. Je zou met een
cirkelzaag of tafelzaag meerdere
zaagsnedes op dezelfde diepte
naast elkaar kunnen maken om
zo de breedte van de sleuf uit te
zagen. Met een beetje schuren
naderhand is de bodem van je
sleuf snel glad. Een zaagsnede
aan beide uiteinden van de sleuf
maken en dan de rest uitsteken
met een (scherpe) beitel werkt
ook goed, vooral bij wat bredere
sleuven.
In dit geval gebruiken we een
freesmachine, die in een beweging
een sleuf maakt die zo breed is
als het freesje zelf. Het mooie van
deze methode is dat de resultaten
erg consistent zijn, het freesje
wordt immers niet ineens smaller
of breder. Bovendien is deze
manier ook erg snel. Om te zorgen
dat de sleuven haaks en recht
lopen laat ik de frees langs een
mal lopen.
DE APPEL 21

De afkortzaag
is een echte
“widowmaker”.
Ontzettend sterk,
en een ongeluk is zo
gebeurd. Maar het is
ook een uitstekende
keus als je haakse
snedes wilt maken,
zoals hier het geval
is. Zorg dat je
vingers altijd uit de
weg zijn.
Het afkanten van een stuk kan ook weer
op meerdere manieren: je kan uiteraard
schuren of een (kleine) blokschaaf
gebruiken, maar in dit geval maken we
gebruik van de freesmachine met een
afrondingsfrees.
Als je een frees gebruikt is het van
belang dat je oplet in welke richting je
freest. Een freesmachine heeft een
vaste draairichting, het is van belang dat
je de frees als het ware door de machine
mee laat trekken en er niet tegenin duwt,
hierdoor krijg je een veel beter resultaat.
22 DE APPEL

Gelijmde verbindingen zijn vaak
sterker dan het materiaal zelf.
Het is wel van belang dat je op
de juiste manier klemt tijdens het
lijmen. In principe is tien à vijftien
minuten meer dan genoeg,
daarna kunnen de lijmklemmen
er weer af. Zorg er wel voor dat
je niet te hard vastklemt, in dat
geval pers je alle lijm eruit en is je
werk voor niks.
DE APPEL 23

24 DE APPEL

DE APPEL 25

OUDE MEETHODES
OVER LICHAAMSDELEN EN DUIMSTOKKEN
Vroeger bestonden er nog niet zulke geavanceerde meetmethodes en apparaten
die nu wel dagelijks gebruikt worden. Metingen werden maar op het oog gedaan,
of vergeleken met iets waarvan de lengte over het algemeen bekend en hetzelfde
was. In de laatste eeuw is hier wel verandering in gekomen, maar hoe het
daarvoor gebeurde wordt hieronder toegelicht.
DOOR KOEN KLEVERWAL
In de Hebreeuwse Bijbel stonden de verwijzingen naar de eerste bekende
systemen van gewichten en maatstaven. Deze zijn uiteraard bedacht
door de oude egyptenaren, rond de vierde eeuw voor Christus. Lengtes
werden gebaseerd op de lengtes van de hand, voorarm of vinger. Tijden
werden toen aan de hand van periodes van de bepaalde hemellichamen.
Als het volume van bijvoorbeeld potten bepaald moest worden, werden
deze gevuld met zaden en die zaden werden achteraf geteld. Later toen
het wegen was ‘uitgevonden’ speelden zaden ook een rol. Zo is de eenheid
karaat, gebruikt om de zuiverheid van goud aan te geven, afgeleid
van een zaadje van de johannesbroodboom. Elk groepje mensen (stam)
had zijn eigen specifieke set aan maten, wat tot behoorlijk wat verwarring
kon zorgen tussen onderlinge stammen.
LICHAAMSDELEN
De methode van voorwerpen vergelijken met het lichaam is niet iets
alleen voorkomend bij de oude egyptenaren, maar kwam lang erna ook
nog voor. Zo kent iedereen de maatstaven de El en de Voet wel. Afgeleid
van de lengte van de elleboog en logischerwijs de voet.
Dit soort eenheden waren tijden lange tijd de standaard. Bij verscheidene
stadshuizen werden voorbeeld lengtes geplaatst, wat de standaard
lengte van de stad is. Dit was omdat er toen nog steeds niet één centrale
lengte was voor heel Nederland. Wat behoorlijk onhandig kon zijn.
Om dit probleem op te lossen is Nederland in 1816 overgegaan op de
Nederlandse variant van het metriek stelsel. Dit stelsel is toch wel wat
anders dan het huidig gebruikte stelsel. Dit verschil zit hem in de benamingen.
Een Nederlandse mijl is duizend meter. Een Nederlandse el is
een meter. Een grein, waar het gezegde ‘geen greintje’ van komt, is een
tiende van een gram. Uiteindelijk ging Nederland in 1870 over naar het
metriek stelsel zoals we het nu kennen.
De hiervoor genoemde eenheden komen wellicht nog wel bekend voor,
maar vroeger werden er ook een heleboel eenheden gebruikt die weinige
mensen zullen kennen. Een voorbeeld hiervan is de oppervlakte
eenheid de morgen. Dit is het oppervlak dat in een ochtend, een morgen,
omgeploegd kon worden door een boer. Om het toch ook weer wat ingewikkeld
te maken, is een morgen overal weer anders. Over het algemeen
komt het neer op iets minder dan een hectare, alleen zijn de Geldersche
en Waterlandsche morgens beduidend kleiner.
Een ander mooi voorbeeld van een bijzondere eenheid is het schepel.
Met het schepel wordt een oppervlakte aangegeven. Over het algemeen
is een schepel verdeeld in vier spint en een mud bestaat dan weer uit
vier schepel. Daar blijft het niet bij, want een zijn ook weer verschillende
maten in spints, waardoor de een schepel ook weer van plaats tot plaats
verschilt. Om het nog verwarrender te maken, een schepel en een mud
werden ook nog eens gebruikt als inhoudsmaten.
MEETMETHODES: MEETWIEL
Het is niet handig om grote afstanden te meten met een stokje van een
armlengte. Wanneer bijvoorbeeld de grootte van een stuk veld bepaald
moest worden, werd dit simpel genoeg gedaan door stappen te tellen.
Om dit makkelijker en nauwkeuriger te doen is het meetwiel bedacht.
26 DE APPEL

Als het ware bestaat het gewoon uit een stok met wiel eraan, dat wiel
heeft dan een bepaalde grootte, zodat een rotatie gelijk staat aan een
MEETMETHODES: MEETLAT
Een oude bekende van iedereen is natuurlijk de meetlat, ook bekend als
de duimstok. Hedendaags nog veel gebruikt, maar al behoorlijk oud. De
eerste meetlatten werden al een paar honderd jaar voor Christus gebruikt.
Maar het welbekende opvouwbare meetlat stamt pas uit 1851.
bepaalde afstand. Hoewel het ontwerp van dit apparaat toch wat is aangepast,
blijft het principe hetzelfde, en wordt nog dagelijks gebruikt.
Enkele jaren daarvoor al, in 1821, is het eerste ontwerp van het meetlint
naar buiten gebracht. Ene meneer Chesterman werkte in de mode industrie,
waar hij metalen linten gebruikte in het maken van grote wijde
jurken. Toen deze jurken uit de mode raakten heeft Chesterman deze
metalen linten hergebruikt. Door markeringen te maken bij bepaalde afstanden
en uiteindelijk op te rollen, kon dit zo verkocht worden als goed
alternatief voor de meetlat. Later is dit ontwerp nog aangepast door er
een vergrendelingsmechanisme op te zetten.
CONCLUSIE
De maatstaven van vroeger waren dus nogal verwarrend. Gelukkig zijn
we nu wel afgestapt van het vergelijken met lichaamslengtes en overgestapt
naar het metrische stelsel. Dit kan vele miscommunicaties voorkomen,
laten we nu hopen dat de minderheid van de wereld die dit nog
niet gebruikt snel wel gaat doen, kuch kuch Amerika. J
DE APPEL 27

COMMISSIE AAN HET WOORD
DE APPELREDACTIE
W.S.G. Isaac Newton kent vele commissie die relatief onbekend
zijn. Om deze commissies even in het zonnetje te zetten kunnen ze
in deze rubriek hun verhaal vertellen. Van oprichting tot afronding,
met alle hoogte- en dieptepunten. Deze keer de mensen achter het
mooiste verenigingsblad van de UT: De Appelredactie
DOOR JOACHIM VAN DE WEG
Almer
Lagerweij
Hoofdredacteur
Michiel
Louwe
Eindredacteur
Hugo
Wesselink
Redacteur
Koen
Kleverwal
Redacteur
Fausto
Visser
Redacteur
Bram
Westerveld
Redacteur
Alicia
Knijnenburg
Redacteur
Tessa
Smits van Oyen
Redacteur
Katarina
Antimirova
Redacteur
Robin
Visscher
Redacteur
Ruben
Klomp
Redacteur
Max
Van de Wouw
Redacteur
Daan
Flier
Redacteur
Redacteur
Ingmar
Krabben
Redacteur
De Appel is een van de dingen die Newton
de vereniging maakt die ze is. Het
is het enige verenigingsblad dat in dit
formaat, met deze regelmaat en kwaliteit
verschijnt. Dat, maar niet alleen dat,
maakt dat de Appelredactie regelmatig
het onderwerp van gesprek is binnen
bestuurlijke kringen. Toch is het, voor
diegenen die niet zo kort op het vuur zitten,
waarschijnlijk niet duidelijk wie er in
de redactie zitten en hoe ze het presteren
om vijf keer per jaar de appel te vullen en
op te maken. Een perfecte kandidaat dus
voor commissie aan het woord.
Allereerst is het belangrijk om te weten
dat de bekende commissie indeling binnen
Newton op de Appel niet van toepassing
is. Er is geen extern, geen promo,
geen penningmeester of secretaris. Dat
maakt het soms overzichtelijk, maar
soms ook lastig. Wat de Appel wel heeft
is een duo als voorzitter. De hoofdredacteur
vormt samen met de eindredacteur
het hoofd van de commissie en zij zijn
dan ook veranwtwoordelijk voor het einresutaat.
De hoofdredacteur zorgt voor
de vulling en voor het op tijd aanleveren
van alle stukken en de eindredacteur is
verantwoordelijk voor de opmaak van
het blad.
Daarmee hebben we twee van de redactieleden
gehad, maar dan blijft de vraag
wie de rest van de redactie vullen, een
groep van inmiddels ruim twintig personen.
De rest van de redactie valt ruwweg
in twee groepen te verdelen: redacteuren
en grafici. En hoewel deze scheidslijn niet
altijd even duidelijk is, is het wel handig
om het zo uit te leggen. De redacteuren
zijn de schrijvers van de artikelen. Op dit
moment zijn er zo’n veertien redacteuren
actief bij de Appel. Dat je redacteur bent,
betekent niet dat je voor iedere editie
een artikel moet schrijven. Mocht je een
keer te druk zijn, dan is het niet erg als
je een keer een editie overslaat. Als de
redacteuren hun werk gedaan hebben,
is het de beurt aan de grafici. Dit kleinere
groepje van redactieleden, ongeveer
zes mensen, maken de artikelen op
in InDesign. Dit gebeurt eigenlijk altijd in
overleg met de redacteur die het stukje
geschreven heeft. Op deze manier komt
altijd goed over wat de redacteur wilde
zeggen met het artikel.
Roland
Guijs
Joachim
van de Weg
Fedde
Engelen
Jeroen
van den Hoogen
Tieme
Vonk
Redacteur
28 DE APPEL

“EEN BEETJE FRIEMELEN
AAN JE LAPTOP”
Als laatste wil ik nog iets verder ingaan op de werkwijze van
de Appel. Omdat de verdeling binnen de commissie niet zo
strak is als bij een “reguliere” commissie wordt er ook niet alijd
zo strak vergaderd of gehandeld. Aan het eind van ieder jaar
sluiten we met (een deel van) de redactie de jaargang af met
een Bierstorm. Tijdens deze avond bedenken we een hele lijst
met thema’s voor de edities van het komende jaar. Uit deze lijst
wordt vervolgens een selectie gemaakt. Met deze lijst op zak
beginnen we iedere editie met een brainstorm voor die editie.
Tijdens deze vergadering, altijd in een pauze, spuien we allerlei
ideeën die iets, soms heel weinig tot niets, met het thema van
de nieuwe Appel te maken hebben. Uit deze thema’s kiest iedere
redacteur een idee en daarover schrijft hij of zij een artikel.
Na de brainstorm wordt er meestal nog twee keer vergaderd
om de voortgang te bespreken.
Als de artikelen dan af zijn is het tijd voor de afmaak- en nakijkavond.
Deze vinden altijd plaats op maandagavond, twee
weken na elkaar. Op deze avonden is er de gelegenheid om je
artikel, indien nodig, af te maken en worden alle artikelen nagekeken
op fouten. Daarnaast worden de artikelen opgemaakt
door de grafici. Na de nakijkavond is de Appel meestal zo goed
als af, en legt de eindredacteur er de laatste hand aan, alvorens
de Appel naar de drukker wordt verstuurd.
Bij de Appel is een veelgehoorde uitspraak: “De Appel is vrijwillig,
doch niet vrijblijvend”. Hiermee wordt bedoeld dat eenieder
vrij is om bij de redactie te komen, we hebben geen selectiecriteria.
Anderzijds streven we wel altijd naar de hoogst
mogelijke kwaliteit. Dus, mocht je na het lezen van deze editie
van de commissie aan het woord nou enthousiast zijn geworden
over de Appel, wees dan welkom bij onze commissie!
Cave Vermem!
DE APPEL 29

SYMPOSIUM ANNOUNCEMENT
TO INFINITY...
18 DECEMBER 2019
30 DE APPEL

AND BEYOND
WWW.TOINFINITYANDBEYOND.NL
DE APPEL 31

PRINCE RUPERT’S DROP
A CURIOUS OBJECT WITH POTENTIAL
BY FAUSTO VISSER
A shape of glass akin to that of a tadpole, this curious glass formation is one
that has captured the attention and curiosity of many. The shape is interesting
but surely not enough for this kind of effect. The bulbous head followed by
a slender tail has another interesting property which has puzzled many for
centuries.
A Prince Rupert’s drop is mechanically very different from a normal
piece of glass. The head can withstand forces one would not expect from
a piece of glass. Hitting the head with a hammer or even a medium calibre
bullet is not enough to shatter the piece. This is in stark contrast to
the tail, which in general is a few millimetres thick and is quite fragile.
A light snip with a pair of pliers or bending the tail will cause the object
to spectacularly explode. To the human eye the object instantly turns
into glass dust.
The Rupert’s drops were supposedly known to glass blowers since the
Roman Empire but the first records of these objects appeared in 1661.
This was after Prince Rupert brought these curious items back from a
trip to Europe and gifted them to king Charles II. The objects took the
fancy of the king as he found it immensely amusing to let an unsuspecting
guest hold onto one and then bend its tail. Many got a good
shock when the trinket in their hands spontaneously disintegrated
with a loud pop. Shortly after the item was brought to the recently founded
Royal Society of which Prince Rupert was also a founding member.
The Royal Society found it a real conundrum why this object that was
certainly made of glass could be so strong yet have such a catastrophic
failure mode.
“And that which makes their Fame ring louder,
With much adoe they shew’d the King
To make glasse Buttons turn to powder,
If off the[m] their tayles you doe but wring.
How this was donne by soe small Force
Did cost the Colledg a Month’s discourse.”
After the Society had studied it intensively Sir Robert Moray included
it in his account of Glass drops which was published in 1661. This is the
source that is generally cited as the first official record of the Prince
Rupert’s drop.
32 DE APPEL

The stresses in a Prince Ruperts drop.
FORMATION
A Prince Rupert’s drop is not inherently hard to make. One takes a red
hot piece of glass and then drop this in a bucket of cold water. Then
there are a few possibilities, the glass can get scattered or splattered
and thus not form one solid shape. Or what happens often when too
much glass is dropped at once, the piece will disintegrate while it is still
submerged. This results in a limited size range that is possible for these
glass formations. Generally, the glass is heated until it is red hot and
then dropped from a height of 20 to 50 cm into a bucket of water at room
temperature. This way drops can be made with a head diameter ranging
between 5 and 35 mm. The tails however, taper from the head down to a
diameter of 0.5 to 3 mm, so much smaller than the head.
MECHANICAL PROPERTIES
Heat transfer through a material is dependant on a few factors, the heatconductivity
of the material and the temperature difference. In such
a quenching process the intial great temperature differential creates
an immense cooling capacity that very quickly decreases as it has to
reach further into the interior of the drop. When the red hot glass hits
the cold water the outer layer cools, shrinks and creates a compressed
outer skin (about 0,75 mm thick) along the entire surface of the drop.
Cold water then continues to cool the object, due to thermal expansion
the interior is shrinking. The outer skin is already solid and now
functions as a sturdy shell, the shrinking of the inner volume now creates
a tensile stress in the core that stresses the outer layer to compress
even more. The skin that is loaded in compression experiences
stress of a magnitude around 600 MPa. While the center is in tensile
load with stresses in the 300- 400 MPa range. These stresses are higher
than most normal steel alloys can handle, and that in a piece of glass.
Heads of a Prince Rupert’s drop can handle unexpectedly high forces,
a static load of 10.000N between two carbide flats can very much be
withstood. Even cracks in the outer skin are not a real problem as these
will be squished by the compressive stresses and thus not propagate
through the drop. However, as soon as a crack can reach the transition
to the tensilily stressed region the fracture front will travel with the
speed of sound through the glass, which is a staggering 5500 km/h.
Thus, an average Prince Ruperts drop of 30 cm will fully fracture in the
timespan of 0.0002 seconds.
RESULTING INVENTIONS
The Prince Ruperts drop showed that glass did not neccesarily have to
be fragile, this insight led to the first steps in the development of hardend
glass. In the 1870’s the first processes to produce this tougher glass
were developed and patented. These processes also used the technique
of quenching but do it in a more controlled temperature cycle with lower
temperature gradients.
The shattering of the drops is inherently safer than normal glass, as the
shards that are produced are incredibly tiny and thus inable to incur
large lacerations in the human skin. This aspect was used for the development
of modern safety glass, this glass is preloaded with stress, just
like the Prince Ruperts drop, to ensure safe fracturing.
Modern glass that experiences harsh conditions is also toughened by
inducing a compressive stress. This, however, is done by submerging
the glass in a bath of hot molten salts where the stress is induced by replacing
small ions in the glass by larger ones. With this process Gorilla
Glass for smartphones is produced.
In the end this trinket which was primarily used for enterainment turned
out to show some important mechanics that led to important and
highly usefull inventions. s
DE APPEL 33

JOIN US
IN EXPLORING
A WORLD OF
POSSIBILITIES
thalescareers.nl
LOCATED IN HENGELO, HUIZEN,
EINDHOVEN AND DELFT
150 INTERNSHIPS AND
GRADUATION ASSIGNMENTS
EVERY YEAR
THE MOST ATTRACTIVE EMPLOYER
OF HIGH TECH JOBS IN THE
FIELD OF SAFETY AND SECURITY
ACTIVE IN DEFENCE,
TRANSPORTATION SYSTEMS
AND CYBER SECURITY

COLUMN
HUGO WESSELINK
VERBETER DE WERELD,
BEGIN BIJ JE FIETS
Mensen die niet in Enschede wonen of hier
pas sinds kort mogen vertoeven, stellen mij vaak
de vraag of hier wel wat te doen is. Hoewel ene
H. Finkers dit vraagstuk al beantwoordde over
Almelo, wil ik dit onderwerp voor Enschede ook
eens aansnijden. Vragen of hier wel eens leuke
feestjes zijn, waar je naar toe moet voor een
goede avond stappen en of we in Twente nog
meer doen dan sporten en studeren, passeren
namelijk regelmatig de revue. Mijn antwoord is
eigenlijk altijd hetzelfde; Ja er is hier zat te doen,
je moet alleen weten wanneer je waar moet zijn.
Des te langer je hier studeert, des te makkelijker
je deze puzzel kunt oplossen. Wanneer je als
student een beetje openstaat voor
wat er om je heen gebeurt, zul je
na een jaar al zo veel feestjes
of borrels voorbij zien komen,
dat je er waarschijnlijk
meer afslaat dan dat
je er bijwoont. Mocht je ze
toch allemaal afgaan, dan
zal je intentie om EC’s te
halen hoogstwaarschijnlijk
niet erg groot zijn, maar dat
is een heel andere discussie.
Er is dus genoeg te doen. Of ik
ook daadwerkelijk naar het feestje heen
ga, hangt af van een aantal factoren. De eerste
twee zijn vanzelfsprekend, het moet in mijn
agenda passen en de entree moet niet buiten
proportie duur zijn. De laatste van de drie is
eigenlijk het belangrijkst, gaan er andere mensen
die ik gezellig vind? Als dit het geval is, of
ik word uitgenodigd door een bekende, dan betrap
ik mijzelf erop dat ik sneller geneigd ben
om daadwerkelijk te gaan. Mondelinge promotie
door een enthousiaste vriend of vriendin werkt
simpelweg het best. Dit geldt voor mij, maar ik
durf te stellen ook voor de gemiddelde student
hier in Twente.
Met deze hypothese wil ik niet beweren dat
we posters en facebook evenementen maar
moeten afschaffen. Via deze kanalen zal bij velen
interesse gewekt worden wat de opkomst voor
je evenement flink verhoogt. Daarnaast staat
deze manier van promotie niemand in de weg en
heeft het geen verdere negatieve consequenties.
Een andere vorm van promotie is een waar
ik mij echter al jaren aan erger. Iedere start van
het collegejaar barst het er weer van. Ik heb het
over de ellendige flyers die aan je fietsstuur geniet
worden met het verzoek om van een willekeurig
clubje lid te worden, naar een feestje te
komen wanneer er al drie anderen gepland
staan, of mee te komen doen met een
introductietraining. Misschien
dat een tiental studenten erdoor
geïnteresseerd raakt,
maar de meesten waaronder
ik echter niet. Deze
groep trekt hem van het
stuur af. Waarna hij vaak
op de grond belandt en de
fietsenrekken twee weken
lang bezaaid liggen met zoveel
papieren rotzooi dat Greta
er boos over zou worden. Om het
probleem aan te pakken en niet enkel
mijn frustratie van mij af te schrijven is bij het
moment van lezen de oplossing bij Newton af
te halen. De klassieke ja/nee brievenbussticker
is iets aangepast met de boodschap dat u geen
flyers meer aan uw stuur wenst te ontvangen.
Zadelhoezen zijn natuurlijk nog zeker welkom,
want van droge billen wordt iedereen blij. Als we
dan collectief afspreken deze sticker te respecteren
kan iedereen gelukkig door met zijn leven
en verdwijnt hopelijk de papieren soep die onze
fietsenrekken teistert. Graag gedaan Greta. HW
DE APPEL 35

ORIGAMI
DOOR SABINE VAN DER WERFF
KLASSIEKE KUNST EN
HIGHTECH OPLOSSINGEN
Misschien heb je het vroeger
wel eens gedaan: van papier een bootje
of een kraanvogel vouwen. Zelfs redelijk recent
hebben een aantal van ons nog een papieren knutselwerk gemaakt
bij het WK papieren vliegtuigjes gooien. Allemaal voorbeelden van
een eeuwenoude Japanse kunst: origami. Hoewel origami op het
eerste gezicht een wat suffige, ouderwetse hobby lijkt, is niets minder
waar. Het is een manier om de meest complexe ontwerpen en figuren te
maken en principes uit deze kunst worden ook toegepast in onder andere
de werktuigbouwkunde. Een goede reden dus om eens in deze papieren
kunstwerkjes te duiken!
WAT IS ORIGAMI?
Het antwoord op deze vraag is eigenlijk heel simpel. Origami
is een samentrekking van twee Japanse woorden:
ori en kami. Ori betekent vouwen, kami betekent papier.
Origami is dus niets minder dan de kunst van het papiervouwen.
Vlak na de uitvinding van het papier bedacht men dat papier
niet enkel gebruikt kon worden om op te schrijven,
maar dat het ook gevouwen kon worden, om zo mooie figuren
te vormen. Dit was al in de eerste of tweede eeuw
na Christus. Vanuit China, waar vermoedelijk het papier is
uitgevonden, waaide de vouwkunst over naar Japan. In Japan
groeide de origami uit tot de vorm die we nu kennen.
Omdat papier een schaars goed was, werden de vroegste
vormen van origami enkel gebruikt voor religieuze ceremonies.
In 1680 wordt in een gedicht beschreven dat origami
vlinders aan de bruid en bruidegom worden gegeven
op hun trouwerij, waarmee duidelijk wordt hoe belangrijk
origami inmiddels is geworden in de Japanse cultuur. Pas
in 1797 wordt het eerste bekende boek over origami gepu-
36 DE APPEL

SENBAZURU
Senbazuru betekent ‘1000 kraanvogels’,
en is tot op de dag van vandaag
een begrip in de Japanse cultuur. Kraanvogels
hebben in Japan een mythische status, ze zouden wel
1000 jaar leven. Daarnaast blijft een kraanvogelkoppeltje elkaar
trouw tot aan de dood. Ze staan daarom symbool voor loyaliteit
en een lang, gelukkig leven.
Iedereen die het voor elkaar krijgt om 1000 kraanvogels te vouwen, één
voor elk levensjaar van de vogel, zal zijn of haar wens in vervulling zien
gaan. Daarnaast wordt geloofd dat een ernstig ziek iemand weer beter wordt
als hij een senbazuru vouwt. Tegenwoordig wordt een senbazuru vaak gegeven
bij trouwerijen, geboortes of voorafgaand aan grote sportprestaties,
om de ontvanger veel trouw of geluk te wensen. Daarnaast gebruikt JAXA,
de Japanse ruimtevaartorganisatie, het vouwen van 1000 kraanvogels om
het geduld en de toewijding van potentiële astronauten te testen.
De bekendheid van senbazuru groeide door het verhaal van Sadako Sasaki, vlak na
de Tweede Wereldoorlog. Tijdens het bombardement op Hiroshima werd zij blootgesteld
aan straling, waardoor zij leukemie kreeg. Op haar twaalfde begon ze met
het vouwen van kraanvogels, in de traditie van de senbazuru. Volgens haar familie
heeft ze dit ook volbracht en ging ze verder met vouwen, omdat haar wens van
genezing niet uitkwam. Sasaki is op 25 oktober 1955 gestorven. Met onder andere
een boek over haar leven en een standbeeld leeft Sasaki verder als internationaal
symbool voor de negatieve invloed die oorlog op kinderen heeft.
bliceerd in Japan: Senbazuru orikata, oftewel “het vouwen
van duizend kraanvogels” (zie tekst rechtsboven). Hierin
stonden instructies voor het vouwen van wel 49 verschillende
soorten kraanvogels.
SOORTEN ORIGAMI
Van bootjes tot kraanvogels en van Pokémon tot Rubiks kubus:
verzin het maar en het is vast al eens gevouwen. Zo is
er actie-origami: bewegende modellen die kunnen vliegen,
opgeblazen moeten worden of met behulp van kinetische
energie een deel van het model kunnen laten bewegen.
Ook bestaan er technieken die meerdere vellen gebruiken,
hier worden verschillende modellen in elkaar geschoven
om samen een nieuwe structuur te vormen. Een andere
origami techniek is het zogenaamde wet-folding, waarbij
het papier nat wordt gemaakt om de vouwen minder scherp
te maken. Dit wordt voornamelijk gebruikt om natuurlijk
ogende modellen van dieren of mensen te maken. Hoewel
er nog veel meer technieken zijn, hebben ze allemaal één
ding gemeen: er wordt niet in het papier gesneden. Als dit
wel gebeurt spreekt men niet meer van origami, maar van
kirigami.
DE APPEL 37

TOEPASSINGEN VAN ORIGAMI
Hartstikke leuk, dat geknutsel en die ceremonies,
maar heeft origami ook nog nut voor ons,
de werktuigbouwkundigen? Jazeker. Bepaalde
aspecten van de origami worden toegepast
in allerlei projecten waar het ‘vouwen’ van de
constructie noodzakelijk is.
KOGELWEREND SCHERM
Een voorbeeld hiervan is een kogelwerend
scherm voor de politie. Een team ingenieurs
van de Brigham Young University wist met
behulp van technieken uit origami een nieuw
scherm te ontwerpen, dat makkelijk in de auto
meegenomen kan worden. Daarnaast was er
ook nog een verbetering in gewicht en functionaliteit.
Waar een conventioneel scherm
slechts één persoon beschermt en makkelijk
40 kilogram kan wegen, biedt dit nieuwe
scherm bescherming aan meerdere personen
voor slechts 25 kilogram.
STARSHADE
Een ander, prachtig voorbeeld van het gebruik
van origami in constructies is Starshade. Dit is
een project van het Jet Propulsion Laboratory
van NASA. NASA doet met behulp van ruimtetelescopen
onderzoek naar exoplaneten, maar
door het licht van sterren dicht bij de telescoop
zijn de verre, donkere planeten slecht zichtbaar.
Starshade is als het ware een gigantisch
zonnescherm, dat voor de ruimtetelescoop in
kwestie moet komen en dit storende licht kan
blokkeren. De Starshade zal minimaal 25 meter
in diameter worden, wat de ontwerpers voor
een probleem zette. Want hoe krijg je zo’n gigantisch
geval de ruimte in? Het antwoord lag
in de origami. De Starshade zal als een soort
bloemknop omhoog gebracht en gepositioneerd
worden. Hierna vouwt het geheel zich
uit, tot een scherm dat qua vorm vergelijkbaar
is met een zonnebloem. Dit alles moet tot op
de millimeter precies. Ter voorbereiding zijn er
veel kleine prototypes gemaakt om een idee te
krijgen van de mogelijkheden van origami en
hoe deze principes uitwerken op andere materialen
dan papier. De schoonheid van het hele
concept is slecht te vatten in tekst en enkele
afbeeldingen, daarom raad ik de lezer ook zeker
aan even een video op te zoeken!
STALEN BOODSCHAPPENTAS
Als je wel eens boodschappen hebt gedaan in
zo’n dun, plastic tasje, zul je vast erkennen dat die tasjes niet zo stevig
zijn. Kunnen we niet gewoon een boodschappentas van staal maken om
dat hele probleem op te lossen? Ja, dat kan zeker, en dat dachten twee
onderzoekers aan de Universiteit van Oxford ook. Met behulp van origami
maakten zij een soort boodschappentas van staal, die plat opgevouwen
kan worden. Dit is een verbetering ten opzichte van bijvoorbeeld
stevige kartonnen dozen, die alleen plat opgevouwen kunnen worden
als de boven- en onderkant open zijn. Ze moeten dan elke keer weer in
elkaar gezet worden voor gebruik, wat tijd kost. Deze stalen doos, daarentegen,
kan met een simpele beweging uitgevouwen worden. Het is dus
een prima oplossing voor de industrie, waar elke seconde telt en soms
behoefte is aan een grotere of kleinere capaciteit. Volgens de onderzoekers
is het een opstapje naar het vouwen van grotere objecten, zoals
gebouwen, om ze zo makkelijk op te bergen als ze tijdelijk niet nodig zijn.
38 DE APPEL

CONSTRUEREN
Origami is niet enkel mooi of praktisch inzetbaar, maar voor
veel wetenschappers ook een fascinerend onderzoeksveld. De
wiskunde achter de vouwkunst wordt veelvuldig onderzocht
en blijft elke keer weer nieuwe inzichten opleveren. Zo is
het gebruik van origami erg voordelig voor het modelleren
van bepaalde constructies, aangezien origami modellen
goed schaalbaar zijn. Veel modellen kunnen namelijk
moeiteloos met groter of kleiner papier (of een ander materiaal)
gemaakt worden, zonder dat dit invloed heeft op de
vorm van het model. Daarnaast is een model gemaakt uit één enkel stuk materiaal
naadloos, wat de kans op waterdichtheid aanzienlijk vergroot, terwijl het uit minder
onderdelen bestaat.
Daarnaast kunnen bepaalde origami-structuren helpen met het aanbrengen van
stijfheid in een constructie. Denk bijvoorbeeld aan een blad aan een boom, dit is dun
en relatief groot qua oppervlakte, maar toch in staat zijn eigen gewicht en af en toe
wat extra massa te dragen. Door dit principe af te kijken en toe te passen in grote oppervlakten
door middel van vouwpatronen, kan een grote stijfheid en sterkte bereikt
worden met minder ondersteuning.
CONCLUSIE
Van een klassieke kunst tot een elegante, hightech oplossing: origami is het allemaal.
De techniek en wiskunde achter het vouwen blijft mensen tot op de dag van vandaag
fascineren. De mogelijkheden zijn eindeloos en bieden ook nieuwe oplossingen voor
alledaagse en wat minder alledaagse uitdagingen, zoals de boodschappentas of de
Starshade. Daarnaast is het ook leuk tijdverdrijf, zo heeft ondergetekende een appel
gevouwen, onder het mom van ‘veldonderzoek’. En dat viel nog flink tegen, origami
vereist een grote precisie! Voor ons als werktuigbouwkundigen loont het zeker om
eens naar origami te kijken en wat inspiratie op te doen, want de toepassingen maken
duidelijk dat het meer dan enkel leuk knutselen is. A
DE APPEL 39

HOWTO DE ORIGAPPEL
Natuurlijk mag in de Appel met het
thema ‘geometrie’ een tutorial over een
origami appel niet ontbreken. Hoewel
dit niet officieel bestempeld mag worden
als origami, er wordt namelijk in het papier
geknipt, is het toch de moeite waard om
zelf eens te proberen. Vooraf wil ik graag
even melden dat precies werken loont, het
eindresultaat wordt er aanzienlijk beter van.
Leg het volgende alvast klaar: een vierkant
papier (wij gebruiken een vierkant van 21 bij
21 centimeter), een schaar en een puntig, lang
voorwerp, zoals een pen of potlood. Voor de steel
en het blad kan je wat restjes papier gebruiken.
1
Begin met je vierkante papier. Vouw de onderste
helft omhoog, zodat je de helft van de oppervlakte
overhoudt.
2
Breng de hoek linksonder diagonaal omhoog en maak
een vouwlijn. Vouw de hoek weer open.
3
Breng van het voorste blad de hoek linksboven diagonaal
omlaag en maak een vouwlijn. Vouw ook deze hoek weer
open. Als het goed is heb je nu met de vouwlijnen een X
gemaakt.
40 DE APPEL

Vouw de hoek rechtsonder diagonaal naar links. De punt
die uiterst links komt te liggen, moet in het midden van
je zojuist gecreëerde X komen.
4
Vouw de linker punt van deze flap terug naar rechts,
waarbij de nu rechterrand van de flap precies op de
rechterrand van de sectie daaronder komt.
5
De hoek linksonder vouw je nu diagonaal naar boven,
waarbij de rand die eerst onderaan lag nu langs de
gevouwen flap rechts komt te liggen.
6
Vouw het papier nu dubbel, waarbij je de linkerkant
achter de rechterkant vouwt.
7
8
Knip het papier af langs de rand van de voorste flap.
Als je het papier nu openvouwt, heb je als het goed is
een vijfhoek. Deze vijfhoek gaan we gebruiken voor de
daadwerkelijke appel.
9
Het is belangrijk dat alle vouwlijnen die eindigen in de
punten van de vijfhoek bergvouwen zijn. Dat betekent
dat deze vouwlijn het hoogste punt is, en het papier
vanaf de vouwlijn naar beneden loopt. Je zult hiervoor
even moeten prutsen en een aantal vouwlijnen die nu
een dalvouw zijn andersom moeten vouwen.
DE APPEL 41

Neem alle hoeken samen en maak het papier plat,
waardoor je een driehoek krijgt.
10
11
Draai het werkstuk 90 graden met de klok mee. Een
van de punten wijst nu naar rechts. Vouw de onderste
hoek diagonaal omhoog, en laat de bovenrand op de
horizontale, centrale vouwlijn vallen. Doe dit voor alle
flapjes. Zorg dat je vouwlijnen strak en scherp zijn.
12
Vouw de punt die nu onderaan ligt, naar het midden
toe. De punt raakt de horizontale, centrale vouwlijn. De
onderrand van deze nieuwe flap moet parallel zijn aan
de horizontale, centrale vouwlijn. Doe dit weer voor alle
secties.
Draai nu het papier zo, dat de binnenste driehoek naar
boven wijst. Vouw de rechter sectie open.
13
Vouw het voorste papier, waarvan de driehoek naar
boven wijst, omlaag. De driehoek die nu gevormd wordt,
moet uitlijnen met de rechter vouw in deze sectie.
14
15
Neem nu het rechter driehoekje, dat je zojuist
opengevouwen hebt. Gebruik iets puntigs om deze
driehoek zit te openen, en vouw de kleine, losse driehoek
naar binnen. Doe dit voor alle secties.
42 DE APPEL

Pak nu je werkstuk op, en spreid de vijf secties netjes uit.
Blaas voorzichtig in het gat dat aan een van beide kanten
zit.
16
Geef de appel de gewenste vorm en maak naar eigen
inzicht een steel en blad.
17
Klaar! Appeltje eitje, toch?
DE APPEL 43

ZIJN KATTEN VLOEIBAAR?
DOOR ALMER LAGERWEIJ
Een vloeistof wordt traditioneel gedefinieerd als een materiaal dat
zijn vorm aanpast om in een omhulsel te passen. Onder sommige
omstandigheden lijken katten hier echter ook aan te voldoen.
Deze paradoxale observatie werd een aantal jaar geleden populair op
het internet en daarbij zijn de nodige memes gemaakt. Toen ik dit voor
het eerst las kon ik er wel om lachen, maar als men er wat langer over
nadenkt, is het vergezocht, maar toch redelijk logisch. Marc-Antoine
Fardin heeft hier wat langer over nagedacht en er zelfs een paper over
geschreven. Voor zijn onderzoek heeft Marc-Antoine in 2017 de 27e Ig
Nobelprijs gewonnen.
IG NOBELPRIJS
De Ig Nobelprijs is een satirische prijs die jaarlijks wordt uitgereikt aan
wetenschappelijk onderzoek dat mensen moet laten lachen, maar ze ook
aan het denken zet. De prijsuitreiking vindt ieder jaar plaats bij Harvard
University. Hoewel de prijs meestal als negatief opgevat wordt door het
veelal triviale onderzoek, zijn er soms wel heuse doorbraken. Zo ontving
een onderzoek naar muggen de Ig Nobelprijs voor biologie. Het onderzoek
bewees dat een soort malariamuggen net zo aangetrokken wordt
door de geur van Limburgse kaas als door de geur van zweetvoeten.
Naar aanleiding van deze resultaten worden er in specifieke delen van
Afrika nu vallen met kaas gebruikt.
WAT IS EEN VLOEISTOF?
Om dieper op de onderzoeksvraag in te gaan moeten we eerst gaan nadenken
wat een vloeistof precies is. Te midden van de definitie staat een
actie, een materiaal moet kunnen veranderen van vorm om in een omhulsel
te passen. Deze actie moet ook binnen een bepaalde tijd voltooid
worden. Deze tijd wordt in de reologie ook wel relaxatietijd genoemd.
44DE APPEL

Als we katten nu als voorbeeld nemen zullen we zien dat zij zich kunnen
aanpassen aan de vorm van een omhulsel indien we ze genoeg
tijd geven. In de reologie is de staat van een materiaal niet een vaste
eigenschap, maar relatief. Wat gemeten moet worden van de kat is
de relaxatietijd. Andere vragen die hierbij omhoogkomen zijn bijvoorbeeld:
‘Waar is deze eigenschap afhankelijk van?’ Ligt het bijvoorbeeld
aan de leeftijd?
Het type omhulsel kan ook van belang zijn, of is de mate van stress
op de kat ook van invloed? (shear thickening of shear thinning misschien).
Uiteraard spreken we nu over mechanische stress en niet
emotionele, alhoewel deze twee begrippen kunnen overlappen.
DEBORAH NUMBER
Wat het onderzoek naar katten laat zien is dat om de staat van een
materiaal te bepalen je twee tijdperiodes moet vergelijken. De relaxatietijd
zelf en de observatie tijd. De observatie tijd is de tijdschaal
waarop we een proces bekijken. Men deelt de relaxatietijd door de experimentele
tijd en als dit getal groter is dan 1 is het materiaal relatief
vast, is het getal lager dan 1 dan is het materiaal relatief vloeibaar. Het
is natuurlijk vanzelfsprekend dat een relaxatietijd van bijvoorbeeld
30 seconden heel lang is wanneer je een tijdschaal van 0,1 seconden
beschouwt. Dit getal is het ‘’Deborah number’’, dit getal is door Markus
Reiner, een technicus uit Israël geopperd, geïnspireerd door een
bijbels vers, wat grof vertaald betekent: ‘’De bergen vloeiden voor de
Heer’’ gezongen door de profeet Deborah in het boek Richteren.
Zelfs als de relaxatietijd heel hoog is (dagen, jaren), kan het gedrag
vloeibaar zijn als het Deborah number maar klein is vergeleken met 1.
Andersom geldt het ook, zelfs als de relaxatietijd heel klein is (milliseconden)
kan het materiaal zich gedragen als vaste stof als het Deborah
number groot is vergeleken met 1. Denk hierbij bijvoorbeeld aan een
ballon met water op het moment dat het wordt doorgeprikt. Plaatje
van doorgeprikte ballon
Op deze manier kunnen vele stoffen die normaal als vast opgevat worden,
als vloeibaar geïnterpreteerd worden, of andersom natuurlijk.
WAARDOOR ZIJN KATTEN ZO FLEXIBEL?
Toch is er een reden waarom katten zich in elke vorm kunnen wurmen.
Een reden hiervoor is de extreem flexibele wervelkolom, ze hebben
meer wervels dan mensen en daarnaast zit er tussen de wervels
een speciale elastische stof. Dit is de reden dat katten zulke goede
jagers zijn, door hun flexibiliteit kunnen ze harder rennen en hoger
springen. Ze kunnen kortere bochten maken en altijd op hun pootjes
landen. Dit verklaart waarom katten hun lijf in zulke bijzondere vormen
kunnen krijgen, maar niet hoe ze door extreem kleine openingen
passen. Dit hebben ze te danken aan hun sleutelbeenderen, bij mensen
zitten deze vast met bot, maar bij katten is dit met spier. Dit is een stuk
flexibeler dan botten, hierdoor passen katten door bijna elk gat, waar
hun hoofd ook doorheen past.
CONCLUSIE
Als we puur en alleen kijken naar de oude definitie van vloeistof, en
het Deborah number, dan ja, katten zijn vloeibaar.
Natuurlijk zijn (levende) katten niet echt een vloeistof, maar toch heeft
een grap ervoor gezorgd dat Marc-Antoine meer onderzoek heeft gedaan
naar de reologie van katten en hem een Ig Nobelprijs bezorgd. n
DE APPEL 45

DE STELLING VAN
PYTHAGORAS
HET BEWIJS ACHTER DE MEEST
BEKENDE WISKUNDIGE STELLING
DOOR ALICIA KNIJNENBURG
We
kunnen
ons vast allemaal
nog wel de mooie tijd bij
wiskunde herinneren, dat het steeds
weer toepassen van de stelling van Pythagoras
onze grootste kopzorg was. Als je eenmaal de schuine
zijde gevonden had, was het niet zo moeilijk meer, hoewel er zelfs
dan nog fouten gemaakt werden. Want zeg nou zelf, de wortel nemen van
een som van twee kwadraten is niet per se makkelijk natuurlijk. Inmiddels worden
we doodgegooid met Gauss, Green en nog genoeg meer en hebben we dus grotere zorgen aan
ons hoofd, maar Pythagoras is waar het allemaal ooit begon. Inmiddels zijn er al meer dan driehonderd
verschillende bewijzen gevonden voor deze beroemde stelling, waarvan de een nog complexer dan de ander.
GESCHIEDENIS
Terug naar waar het allemaal begon: bij de filosoof en wiskundige Pythagoras. Hoewel je door de naam van
de stelling zou denken dat deze door Pythagoras zelf is bedacht, is daar echter geen bewijs van. De
naam is gegeven doordat de stelling bedacht werd door de school van Pythagoras. Echter,
de Babyloniërs hadden ruim 1000 jaar ervoor al het bewijs van de stelling weten
te vinden. Aangezien men hier pas later achter kwam, heeft de stelling
nooit hun naam gedragen en was het uiteindelijk Pythagoras
die er met de eer vandoor ging. Het verhaal gaat dat
hij zo blij was met de ontdekking van de
stelling dat hij direct de goden
een aantal ossen als
offer bracht.
46 DE APPEL

A
BEWIJZEN
VIA VIERKANTEN
Een van de bekendste en makkelijkste
bewijzen is aan de hand van twee vierkanten
in elkaar, zoals hiernaast weergegeven. De oppervlakte
van het grote vierkant kan op twee verschillende manieren
berekend worden. De eerste methode is door de som van a en b te kwadrateren
en daarna de haakjes uit te werken. Bij de tweede methode wordt de oppervlakte
van het kleine vierkant opgeteld bij de oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken. Als je
de vergelijking die daaruit volgt versimpelt blijft uiteindelijk alleen de stelling van Pythagoras nog over.
B
C
Een ander bewijs kan gevonden worden met hetzelfde uitgangspunt waarbij de rechthoekige driehoeken
worden heringericht. Weer starten we met een groot vierkant en een kleine middenin. Hierdoor
ontstaan wederom vier rechthoekige driehoeken. Door de driehoek linksboven naar
rechtsonder te plaatsen onstaat daar een rechthoek van zijden a en b. Hetzelfde
gebeurt wanneer de driehoeken van rechtsboven en linksonder
bij elkaar geplaatst worden, zoals hiernaast. Het
kleine rode vierkant met is nu opgesplitst in de
kleinere groene en blauwe vierkanten.
Hieruit volgt wederom de stelling
van Pythagoras.
GELIJKVORMIGHEID
Voor de vorige twee bewijzen moesten er
extra vierkanten aan te pas komen. Einstein ontdekte
echter een andere manier om de stelling te bewijzen
en dat was door een extra lijn te trekken vanuit de rechte hoek
loodrecht op de schuine zijde. Hierdoor ontstaan twee nieuwe rechthoekige
driehoeken, zie de afbeelding hiernaast. Deze kleine driehoeken zijn beide gelijkvormig
met de originele, grotere driehoek doordat deze één hoek gemeenschappelijk hebben en een
rechte hoek. De oppervlakte van de twee kleine driehoeken opgeteld moet gelijk zijn aan de oppervlakte
van de grote driehoek. Deze eigenschap samen met de gelijkvormigheid leidt uiteindelijk tot de bekende stelling.
PRAKTISCH BEWIJS
Voor de meer praktische werktuigbouwers onder ons kan het bewijs ook praktisch geleverd worden. Minder
nauwkeurig dan de wiskundige bewijzen, maar wel prima om thuis uit te voeren. Aan de drie
zijden van een rechthoekige driehoek worden vierkanten gemaakt, zoals de afbeelding
hiernaast. Nu maak je drie bakken met de oppervlakte van de drie vierkanten
als grondvlak en alle drie met een gelijke hoogte. De grootste bak
kan nu tot de rand gevuld worden met water. Wanneer je
dat vervolgens overgiet in de twee kleinere bakken
zul je zien dat dit precies uitkomt
en daarmee is de stelling van
Pythagoras dus
bewezen! k
C
A
B
DE APPEL 47