Glimt fra matematikkens historie - Matematikkforlaget

Kapittel 37 

ARVEN FRA PYTAGORAS 

Glimt fra matematikkens historie 

Etter det første tusenårsskiftet begynte Europa å "våkne opp" etter en periode som ofte blir kalt 

"de mørke århundrene". Parallelt med denne oppvåkningen vokste interessen for fortiden. I et 

forsøk på å finne seg selv i en historisk sammenheng begynte en å studere det som hadde skjedd 

i Hellas i hundreårene før Kristi fødsel. En studerte gresk historie, gresk mytologi, og en leste 

det som var skrevet av og om greske statsmenn, filosofer og vitenskapsmenn. Dette slo så godt 

an at det, sammen med arven etter romerne, kom til å danne utgangspunktet for utviklingen av 

det nye Europa. Dermed ble den gamle greske matematikken også utgangspunktet for vår 

matematikk. Først i nyere tid er vi blitt oppmerksomme på andre typer matematikk som andre 

kulturer hadde utviklet. 

Fordi dagens matematikk er en ren videreutvikling av det en klarte å finne ut om den gamle 

greske matematikken, er det enkelt å si hvor og når det hele startet. Ikke nok med det, vi kan 

faktisk ta og føle på "vår matematikks vugge" den dag i dag. Det er restene av Hera-tempelet 

som ble bygd i det sjette århundret f.Kr. på den greske øya Samos. Sjefen for de greske gudene 

het Zeus, og tempelet ble bygd til ære for kona hans. Hun het Hera. 

På denne øya ble stamfaren til vår matematikk født i året 569 f.Kr. Han het 

Pytagoras. Kanskje inspirert av det religiøse miljøet på øya under 

oppveksten, utviklet han en slags religion der tall var nøkkelen til 

forståelse av den guddommelige verdensordning. Denne religionen fortalte 

om en harmonisk matematisk verdensordning der alt kunne telles. Det en 

så, hørte, luktet osv., bestod av så og så mange eller så og så mye av et 

eller annet, det fantes enheter for alt. Ved å studere tall fikk en større 

innsikt, og en kom dermed nærmere guddommen. Dette studiet kunne 

teoretisk drives så langt at en selv ble guddommelig. 

Pytagoras sin heltallsreligion var kanskje også starten på den utviklingen som har resultert i vår 

vestlige musikk. Med tall som utgangspunkt utviklet Pytagoras en harmonilære som stemmer 

bra med de harmoniene som har slått an hos oss. Utgangspunktet var at dersom en delte en 

streng i like lange stykker, dvs. et heltallig antall like lange strenger, og spilte på en av de 

kortere strengene, så ville den gi en tone som passet sammen med den tonen som den 

opprinnelige strengen hadde gitt. Egentlig mente han vel at det var guddommen som hadde gjort 

at det var slik. 

Kapittel 37 – GLIMT FRA MATEMATIKKENS HISTORIE © MATEMATIKKFORLAGET Side 676

Tallreligionen til Pytagoras baserte seg ikke bare på tro. Påstander om at noe av det vi sanser 

rundt oss, kan forklares som tallforhold, måtte begrunnes eller bevises. 

Som det første matematiske beviset regner vi gjerne et 

som forteller noe om alle rettvinklete trekanter, uansett 

størrelse. Det slår fast at når vi ser en rettvinklet trekant, 

kan vi være sikre på at kvadratet av hypotenusen er lik 

summen av kvadratene av de to katetene. 

Et par av de kildene vi hadde tilgang til da vi skulle sette oss inn i den gamle greske 

matematikken, antyder at det var Pytagoras som oppdaget og beviste dette. I dag kaller vi 

matematiske forhold eller påstander som er bevist, for teorem eller setninger. Forholdet foran 

kalles derfor Pytagoras’ setning. I dag vet vi at andre kulturer hadde kjent det lenge før. 

Pytagoras innførte bevis som et krav i matematikken, men det slo tilbake. Et bevis må godtas 

enten en liker det eller ikke. Et bevis som virker harmløst på oss, fikk det religiøse byggverket 

til Pytagoras til å ryste i grunnvollene. Vi tar oss tid til å se på beviset, det gir deg ekstra trening 

i å følge algebraiske resonnement: 

Problemet startet med følgende "uskyldige" lille 

rettvinklete trekant: 

Ifølge Pytagoras’ setning må kvadratet av hypotenusen være 1 2 + 1 2 . 

Den pytagoreiske religionen fortalte om en verden der alle forhold skulle kunne uttrykkes med 

hele tall. Brøker passer også inn her, brøker er bare en måte å skifte målenhet på. Sju femdeler 

angir for eksempel at vi har delt én enhet i fem, og at vi har sju av den nye enheten. Fordi hver 

av katetene hadde lengde 1, og fordi hypotenusen var lengre, men ikke dobbelt så lang, måtte 

den enheten som hypotenusen skulle kunne måles med, være mindre, kanskje femdeler. 

Lengden av hypotenusen skulle være et visst antall av denne mindre enheten, "på øyemål" 

kunne en forvente noe i nærheten av sju femdeler. 


La oss prøve å finne denne brøken. I første omgang kaller vi telleren a og nevneren b 

og forutsetter at brøken er forkortet så mye som mulig. 

Det gir følgende lengder på sidene i trekanten: 

Ifølge Pytagoras’ setning må følgende gjelde: 

a 

( ) 

b 

a 

( ) 

b 

2 

2 

= 1 

2 = 

2 

+ 1 

= 1 + 1 = 2 

Kvadratet av brøken a på b skal altså være lik 2: 

2 

a 2 a a a ⋅ a 

Vi prøver oss fram: ( ) = ⋅ = = 2 

b b b b ⋅ b 

a ⋅ a 

Hvis brøken skal være lik 2, må telleren være dobbelt så stor som nevneren, og brøken 

b ⋅ b 

a 

må kunne forkortes. Men vi har forutsatt at brøken er forkortet så mye som mulig på 

b 

a ⋅ a a a 

forhånd. Den kan ikke forkortes mer. Da kan heller ikke brøken ( = ⋅ ) forkortes. 

b ⋅ b b b 

Konklusjonen må derfor bli at lengden på denne hypotenusen ikke kan skrives som en brøk. 

Det må derfor finnes en type tall som ikke kan skrives på brøkform. 

Dette forvirret Pytagoras og medarbeiderne hans. Når så matematikken for dem også var 

religion, skapte dette en krise. De hadde ingen forklaring og reagerte med en slags panisk 

proteksjonisme. Inntil religionen kunne tilpasses den nye oppdagelsen, forsøkte de å holde 

oppdagelsen hemmelig. Det klarte de selvfølgelig ikke, og de klarte heller ikke å få orden på 

religionen sin. 


I dag kaller vi tall som ikke kan skrives på brøkform, for irrasjonale tall. Hvis vi skulle skrive 

dem som desimalbrøk, ville vi aldri bli ferdige, de har uendelig mange desimaler. Det mest 

berømte irrasjonale tallet er tallet π (pi), som forteller hvor mange ganger diameteren i en sirkel 

kan legges langs sirkelbuen. Tallet i eksemplet foran, lengden på hypotenusen, er tallet 2 , 

som vi leser "kvadratrota av to". 

Grekerne visste at det fantes noen merkelige tall, de vi i dag kaller irrasjonale, men de ville så 

gjerne at verden skulle kunne forklares med hele tall. Derfor prøvde de, så godt det lot seg 

gjøre, å forklare den slik. Tankegangen til Pytagoras hadde slått rot. Det er en hovedgrunn til at 

grekerne brukte passer, linjal og linjealgebra i stedet for bokstavalgebra. En linje kan ha en 

hvilken som helst lengde. Men uansett hvilken målenhet vi velger, får vi problem med å tallfeste 

noen lengder. Skifter vi målenhet, får vi problem med andre lengder. Dette var uforståelig for 

grekerne, de valgte en defensiv holdning og prøvde å styre unna irrasjonale størrelser ved å 

bruke linjealgebra. 

Rundt år 300 f.Kr. oppsummerte og systematiserte grekeren 

Euklid utviklingen til da i boka Elementer. Det er i 

hovedsak denne boka som har formidlet den gamle greske 

matematikken til oss. For å få satt alt i system tok Euklid 

utgangspunkt i det beviskravet som Pytagoras hadde innført. 

Deretter fant han fram til et passende utvalg grunnpåstander 

(ti stykker) som var slik at alt av datidens matematikk kunne 

utledes (bevises) fra dem. Dermed innførte han det vi i dag 

kaller aksiom. Et aksiom var for Euklid en påstand som var 

så selvinnlysende at det ikke var nødvendig å bevise den. 

Dermed kunne alle enes om utgangspunktet, og det som ble 

bevist ut fra det, måtte være sant. 

I dag har vi et litt annet forhold til aksiomer. Vi stoler ikke så mye på oss selv at vi vil gjøre oss 

til dommere over hva som er sant og hva som er usant. Når nye grener av matematikken skal 

utvikles, prøver vi oss fram med å ta utgangspunkt i et tilsynelatende passende utvalg aksiomer. 

Hvis den matematikken som kan utledes fra dem virker interessant, og spesielt dersom den kan 

anvendes til noe praktisk, så er den enn så lenge god matematikk. 

Det er blant annet en kritisk undersøkelse av matematikken til Euklid som har fått oss til å være 

varsomme med å slå fast at noe er sant. Euklid beviser for eksempel at summen av vinklene i en 

trekant er 180°, og det virker sant. Men hvis vi tar hensyn til at Jorda er en kule, så kan vi si at 

det er galt. Summen av vinklene i en trekant på en kule, er større enn 180°. 


Denne "vær varsom"-holdningen er en av grunnene til at 

bildene til den nå avdøde billedkunstneren Maurits C. Escher 

er populære hos matematikerne. Mange av bildene hans 

understreker på en humoristisk måte at selv om noe ved første 

øyekast virker logisk og sant, så holder det kanskje ikke 

likevel. Her er ett av dem: 

Euklid samlet den klassiske greske matematikken i boka Elementer rundt år 300 f.Kr., og det 

var på høy tid. Den greske matematiske 

blomstringstiden skulle snart ta slutt. Vi regner 

Arkimedes som den siste av de store greske 

matematikerne. Han levde fra år 287 f.Kr til år 212 f.Kr. 

Sett med våre øyne og i et historisk perspektiv var den 

greske matematiske aktiviteten fra Pytagoras til 

Arkimedes i stor grad et lokalt fenomen. Årsaken har 

blant annet med holdning å gjøre. Grekerne så på 

matematikken som en slags filosofi, den var bare for 

tanken. De la stort sett lite vekt på å finne ut og forklare 

hva den kunne brukes til rent praktisk. Et unntak var 

Arkimedes. Han var både teoretiker og praktiker, men 

selv ikke Arkimedes kunne endre det bildet grekerne 

selv hadde gitt av matematikken som ren tenkelek. De 

fleste andre syntes det var fint at grekerne tok seg av 

filosofien, men selv var de mer opptatt av praktisk 

nytteverdi. Det var også den romerske kulturen som 

etter hvert overtok mer og mer. Fordi den greske 

matematikken ble sett på som en del av filosofien, ofret 

romerne den liten oppmerksomhet. Dermed var det en 

stor fare for at den greske matematikken skulle gå tapt 

for ettertiden, men i det nære Østen skjedde det noe som skulle få stor betydning på mange 

områder, også for matematikken. 

I år 630 erobret Muhammed Mekka. Hans ideer om hvordan mennesker skal tenke og oppføre 

seg, som han mente å ha fått fra Gud (Allah), er oppsummert i boka Koranen. De som vil leve 

etter disse reglene, kaller vi muslimer. De muslimske levereglene eller den muslimske lære 

kaller vi samlet for islam. Islam slo an i områdene syd og øst for Middelhavet, vi kan si hos 

araberne. 


Denne læren utviklet seg etter hvert i flere retninger, men de toneangivende retningene satte pris 

på kunnskap, og i dette ligger det store for matematikken. De greske matematikkbøkene ble 

oversatt til arabisk og brukt. Sett med våre øyne tok araberne vare på den greske matematikken 

da det meste av den greske originallitteraturen forsvant. Hvis vi igjen skiller mellom anvendt 

matematikk og ren matematikk, kan vi si at araberne videreutviklet den anvendte matematikken 

(spesielt navigasjon), men ikke den rene matematikken i vesentlig grad, med ett unntak. 

Unntaket er den arabiske matematikeren al-Khuwãrizmi som arbeidet i Bagdad rundt år 800 

e.Kr. I en bok som ble mye brukt av ettertiden, forklarte han hvordan ligninger kunne løses med 

en metode som han kalte gjenoppbygging. Det arabiske ordet for gjenoppbygging, aljabr, har 

gitt oss ordet algebra. al-Khuwãrizmi har indirekte gitt oss enda et ord. Fra navnet hans har vi 

utledet ordet algoritme. 

al-Khuwãrizmi skrev tall på en ny måte. I stedet for den tungvinte greske måten brukte han 

indiske siffer. På tolvhundretallet gjorde italieneren Fibonacci det samme for å ha et bedre 

tallsystem enn det romerske. På femtenhundretallet forenklet den tyske perspektivmaleren 

Albrecht Dürer skrivemåten for disse indiske sifrene, og det er dette forslaget (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 

7, 8 og 9) vi bruker i dag. 

Mange kilder forteller oss at våre siffer har indisk opprinnelse. En engelsk matematikkbok som 

kom ut i det fjortende århundret, sier det slik: 

|| forthermore ye most vndirstonde that in this craft ben vsed teen figurys, as here bene writen 

for esampul … in the quych we vse teen figurys of Inde. 

Questio. || why teen fyguris of Inde? Solucio. For as I have sayd afore thei were fonde fyrst in 

Inde. 

Den arabiske kulturen spredte seg langs sydkysten av Middelhavet og nådde Spania før 

tusenårsskiftet. Der skjedde det noe interessant som vi kan ta lærdom av i dag. Forskjellige 

grupper, deriblant muslimer og kristne, levde og arbeidet sammen i et stort sett harmonisk 

fellesskap. Derfor ble Spania, og spesielt byen Toledo, en viktig kanal for formidling av den 

klassiske greske litteraturen til det nye Europa. 

Euklids bok Elementer ble oversatt fra arabisk, og den ble etter hvert Boka med stor B i 

matematikken. Matematikk var i lang tid ensbetydende med innholdet i Elementer. Den 

allmenne holdningen var også i hovedsak slik at alt som kom fra det 

klassiske Hellas, var bra og udiskutabelt. Det var også det bildet av universet 

som grekeren Ptolemaios hadde gitt rundt år 150 e.Kr. Ifølge han stod Jorda 

i sentrum. Sola og Månen var planeter på lik linje med de andre planetene, 

og alle kretset i perfekte sirkelbaner rundt Jorda. Jorda stod stille i sentrum 

av universet, Jorda var universets sentrum. Bokstavelig talt alt dreide seg om 

den eller kanskje heller om oss. 

Fordi astronomien fikk stor betydning for den videre utviklingen av matematikken, skal vi vie 

den oppmerksomhet her. 


Ptolemaios sitt bilde av universet, med Jorda i sentrum, ble godtatt uten innvendinger, ideen 

kom jo fra det klassiske Hellas. Kirken likte også dette universet med Jorda og menneskene 

(skapt i Guds bilde) i sentrum, og dermed ble det samtidig farlig å mene noe annet. 

Inkvisisjonen, en kirkelig domstol, kunne idømme strenge straffer for kjetteri, dvs. å mene noe 

annet enn det kirken sa var rett. Tortur ble brukt for å tvinge fram tilståelser, og etter tilståelse 

var brenning på bål en vanlig dom. 

Polakken Nicolaus Copernicus (1473–1543) likte også Ptolemaios sitt bilde 

av universet, men han fant at observasjonene ble lettere å forklare hvis Sola 

ble plassert i sentrum. Kanskje Ptolemaios tok feil. Men det torde han ikke si, 

ikke før han lå for døden, sytti år gammel. Da publiserte han ideene sine i 

boka "De Revolutionibus Orbium Coelestium" (Om det himmelske kretsløps 

omdreininger). Reformatoren Martin Luther skal ha kommentert boka slik: 

”Denne idioten prøver å snu opp-ned på hele den astronomiske vitenskap”. 

Tyskeren Johannes Kepler (1571–1630) videreutviklet ideene til Copernicus. I 

stedet for sirkelbaner foreslo han at planetene gikk rundt Sola i elliptiske baner. 

Det gav enda bedre overensstemmelse med observasjonene. Den norske dikteren 

André Bjerke (1918–1985) har en versjon av hvordan Kepler fant at 

planetbanene var elliptiske. Den kan du lese om i diktet ”Kepler og Marsbanen”. 

Kepler hadde tilgang til mange og meget pålitelige observasjoner. Årsaken til 

det var at Kepler, etter en del om og men, fikk tilgang til notatene til en av hans læremestere, 

dansken Tycho Brahe. Fordi Brahe var skandinav, og fordi hans liv på mange måter var et 

eventyr, skal vi gi ham litt ekstra stor plass her. 

Tycho Brahe ble i 1546 født inn i en rik adelsfamilie i Skåne, som på den tiden 

var en del av Danmark. I Ystad kan vi i dag besøke den skolestua der han var 

elev i gutteårene. Tycho ble sendt til Tyskland for å studere jus, men det ble det 

ikke noe av. Astronomi fascinerte ham, og astronom ville han være. I 1572 ble 

han “verdensberømt” da han oppdaget en ny stjerne, en supernova, i stjernebildet 

Cassiopeia. Han vurderte å bosette seg i utlandet, men danskekongen Fredrik 2. 

ville at denne berømte vitenskapsmannen skulle arbeide i hjemlandet. Derfor tilbød kongen han 

øya Ven, som ligger utenfor den i dag svenske byen Landskrona (hvis du kjenner Evert Taubes 

vise “Flickan från Backafall”, vet du kanskje at “flickan” bodde på Ven). Dette var et tilbud 

Tycho ikke kunne avslå, han aksepterte det og flyttet til øya. Der bygde han et observatorium 

som han kalte Uranienborg, og senere et bedre som han kalte Stjerneborg. Enormt mange meget 

nøyaktige observasjoner ble gjort i Uranienborg og Stjerneborg, med stadig bedre instrumenter 

som Tycho selv konstruerte. For å publisere teoriene sine etablerte han papirproduksjon og et 

trykkeri på øya. Øya Ven ble et samlingspunkt for tidens ledende vitenskapsmenn, mange 

besøkte Tycho der for å diskutere med han og lære av han. 


Tycho Brahe er i dag ikke så allment kjent som Copernicus og Kepler, men hans innsats blir 

husket. En representant for den amerikanske romfartsorganisasjonen NASA delte æren for en 

vellykket romferd med Tycho ved å rulle ut et kart, peke på øya Ven og si: “Here it all started”. 

Observasjonene til Tycho bekreftet at Copernicus hadde et godt poeng, observasjonene ble mer 

logiske hvis en tenkte seg Sola i sentrum. Men Tycho sa seg likevel ikke helt enig med 

Copernicus. Måten han argumenterte på, er interessant psykologisk. Den forteller oss mye om 

tidsånden, hvordan folk tenkte på den tiden. Selv om observasjonene stemte godt med 

Copernicus sitt verdensbilde med Sola i sentrum og planetene, inklusive Jorda, i bane rundt 

Sola, så kunne det ikke være slik, det var for lite guddommelig. Mennesket er skapt i Guds 

bilde, og da kan det ikke være plassert på en planet som har en så lite framtredende plass i 

universet (lignende argument ble brukt mot Charles Darwins bok, “Artenes opprinnelse” (“On 

the Origin of Species by Means of Natural Selection”) da den kom ut over 250 år senere, i 

1859). Tycho foreslo et slags kompromiss. Sola og Månen kretset rundt Jorda. De andre 

planetene var en slags måner til Sola og kretset rundt den. 

Tycho Brahe fikk dyrke sin vitenskap uforstyrret på Ven så lenge Fredrik 2. levde, men da 

Kristian 4. overtok kongemakten, fikk Tycho problemer. Kristian 4. likte ikke den måten Tycho 

“regjerte” øya Ven på. Tycho var en hard herre for bøndene på øya, og han vanskjøttet øyas 

faste installasjoner, deriblant et viktig fyr. Konflikten tilspisset seg, og Tycho forlot Ven i 1597. 

Etter en tid slo han seg ned i Praha der han ble personlig astronom for keiseren. Han fikk gode 

arbeidsforhold og de assistentene han ville ha. En av dem var Johannes Kepler som, i likhet med 

de andre assistentene, fikk et begrenset innsyn i det store observasjonsmateriale Tycho hadde 

samlet. Samarbeidet med Kepler ble ikke langvarig, i året 1601 døde Tycho Brahe etter at han 

måtte forlate en middag på grunn av magesmerter. Før vi forlater Tycho Brahe, tar vi med at han 

hele sitt voksne liv hadde en sølvplate montert på neseryggen for å skjule skadene etter en duell 

i ungdomsårene. 

Etter Tychos død fikk Kepler tilgang til alle observasjonene Tycho hadde gjort. Han studerte 

dem nøye og konkluderte med at de planetene som da var kjent, Merkur, Venus, Jorda, Mars, 

Jupiter og Saturn, gikk i ellipseformede baner rundt Sola. 

Italieneren Galileo Galilei (1564–1642) var enig med Copernicus i at 

Sola stod i sentrum, og med Kepler i at planetene beveget seg i 

elliptiske baner. Galilei var berømt, anerkjent, selvsikker og frittalende, 

og det han skrev og sa, ble lagt merke til. Han var også en dyktig 

praktiker og konstruerte stjernekikkerter som bidrog til å 

sannsynliggjøre teoriene. Kirken følte at den måtte reagere. I 1633, 69 

år gammel, ble han brakt til et torturkammer, men historien kjenner 

ikke til hva som foregikk der. Vi tror at han bare ble truet med at 

instrumentene ville bli brukt på ham dersom han ikke fornektet det 

universet som Copernicus hadde foreslått. Han skrev under på at Jorda stod stille i sentrum av 

universet, men historien kan (selvfølgelig) også fortelle at de som stod nærmest, såvidt kunne 

høre ham si "e pur si muove" (men den beveger seg nå likevel). 


Ptolemaios, Copernicus, Kepler, Brahe og Galilei kunne bruke 

matematikk som grekeren Apollonius (ca. 262 f.Kr. – ca. 190 f.Kr.) 

publiserte i boka ”Kjeglesnitt” (engelsk ”On conics”). Der forklarte 

Apollonius hvordan en kunne gjøre beregninger med forskjellige 

typer kurver ved å la kjegler bli snittet av en plan flate. 

Ved å endre plasseringen av snittflaten kan vi få fram sirkler, 

ellipser, parabler og hyperbler. 

Galilei brukte også observasjoner og Apollonius’ matematikk til å begrunne at et objekt som blir 

kastet eller skutt ut, vil følge en parabelbane. 

På jorda er dette bare tilnærmet sant for tunge gjenstander. På månen vil det være sant for alle 

typer gjenstander. Hvorfor? 

Copernicus, Kepler og Galilei fikk problemer da de rokket ved etablerte ”sannheter”. I dag 

stiller en del fysikere seg kritiske til tolkningen av den rødforskyvingen vi registrerer når vi 

observerer fjerne himmellegemer og til teorien om Big Bang. Noen av dem mener at det 

hemmer deres karrieremuligheter. 


Kirkens sterke stilling på kontinentet på sekstenhundretallet bidro til å flytte begivenhetenes 

sentrum nordover, og nå nærmer vi oss startskuddet for matematikkens neste blomstringstid. 

Scenen er England, og alt er klart for en av tidenes betydeligste forestillinger. Hovedrolleinnehaveren 

heter Isaac Newton. Han ble født i året 1642, det samme året som Galilei døde. 

Isaac Newton satte på en elegant måte sammen det puslespillet som blant 

andre Copernicus, Brahe, Kepler og Galilei hadde levert biter til. Bitene 

ble "limt" sammen av en ny type matematikk som han, inspirert av den 

franske matematikeren Pierre Fermat, utviklet for anledningen. Det er 

denne matematikken vi i dag kaller derivasjon og integrasjon. 

Newton var også en religiøs tenker. På nettet kan du finne mye om det. Her forteller vi deg at 

noen kilder mener at han så på Skaperen som den som ”sparket” det hele i gang, og at han var 

den privilegerte som fant de fysiske lovene Skaperen (”the Grand Architect”) hadde bestemt at 

Universet skulle følge. 

Som matematiker og fysiker var Isaac Newton en gigant, men det å være menneske taklet han 

ikke bedre enn de fleste andre, kanskje heller dårligere. En berømt uttalelse "Hypothesis non 

fingo" (Jeg lager ingen hypoteser) forteller oss mye om ham. Han presenterte ikke teorier om 

universet, men endelige sannheter, trodde han. Et annet sitat, "Hvis jeg har kunnet se lenger enn 

andre, er det fordi jeg har kunnet stå på skuldrene til kjemper," forteller oss at Newton også 

kunne være ydmyk, men da kanskje spesielt hvis det lå en slags storhet i å være det. 

Newton kom lett på kant med kolleger. Berømt er krangelen mellom han 

og den tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) om 

hvem av dem som skulle ha æren for den nye matematikken. Krangelen 

hemmet kanskje utviklingen av matematikken. Så lenge den pågikk, 

hadde matematikkmiljøene på kontinentet og matematikkmiljøene i 

England lite kontakt med hverandre. 

Ettertiden har kommet til at Newton og Leibniz utviklet den nye matematikken omtrent samtidig 

og uavhengig av hverandre. Leibniz bedrev ren matematisk forskning, mens Newton utviklet 

den matematikken han trengte for blant annet å begrunne at universet var slik han sa. 

Ettertiden husker Newton best, men den terminologien og de symbolene vi bruker, stammer i 

hovedsak fra Leibniz. Før vi avslutter denne sladrehistorien, nevner vi, i rettferdighetens navn, 

at hovedpersonene ikke deltok så aktivt i krangelen om opphavsretten. Den ble i hovedsak ført 

av tilhengerne til henholdsvis Newton og Leibniz. 

Newton og Leibniz avfyrte startskuddet for en utvikling, eller rettere flere, som ved å anvende 

den nye matematikken forandret verden. Den industrielle revolusjonen er et eksempel. Den rene 

matematikken gikk samtidig inn i en ny blomstringstid, og den blomstrer fortsatt. 


En matematisk disiplin som opptar matematikere i dag, er fraktal geometri. Mens klassisk 

geometri er éndimensjonal, todimensjonal osv., er "dimensjonene" i fraktal geometri ikke 

nødvendigvis heltallige. I klassisk geometri blir vi før eller senere ferdige med en figur, men det 

er ikke alltid tilfellet i fraktal geometri. Mange fraktalgeometriske "figurer" er mer prosesser 

som aldri tar slutt. Under har vi latt et PC-program gi en bildetolkning av et gitt stadium i en 

slik prosess: 

Vi supplerer bildet med noen tanker fra “den fraktale geometriens far”, 

polakken Benoit B. Mandelbrot (1924–): 

“The boundary between the set of truths and 

the set of fantasies is meant to suggest a 

randomly meandering coastline which, no 

matter how closely you examine it, always has 

finer levels of structure and is consequently 

impossible to describe exactly in any finite 

way” 


Fraktal geometri befinner seg ennå på forskningsstadiet. Deler av denne forskningen kalles også 

kaosforskning (en del fraktalgeometriske "figurer" kan virke temmelig kaotiske). I denne 

forskningen dukker et par spesielle tall opp såpass ofte at vi mistenker dem for å være to nye 

irrasjonale naturkonstanter (slektninger til π). Det er tallene 

2,50290787509589284... 

4,66920160910299097... 

Når vi lar en datamaskin framstille (tolke) stadier i fraktalgeometriske prosesser som 

todimensjonale bilder, blir resultatene ofte overraskende kjente mønstre. Blant disse er det for 

eksempel noen som ligner planter, og andre som rett og slett er vakre landskapsbilder. Denne 

likheten med verden rundt oss gir forventninger om at fraktal geometri kan bli et nyttig verktøy 

i naturfagene. Men ennå er det mange ubesvarte spørsmål, og det inspirerer til mange 

forskjellige typer forslag og teorier. 

En gruppe blander igjen religion og matematikk (tilbake til Pytagoras). Det at så mange 

fraktalgeometriske figurer ligner objekt vi kan observere, sannsynliggjør at skaperen tenker 

"fraktalgeometrisk", foreslår "nypytagoreerne". 

Andre grupper, noen av dem er kanskje overraskende 

store, forsøker på forskjellige måter å løsrive seg fra den 

newtonske måten å tenke på, og det gjør egentlig fraktal 

geometri og kaosteori til noe langt mer enn en ren 

matematisk disiplin. Enkelte mener at vi i dag er vitne til 

et paradigmeskifte (paradigme betyr måte å tenke på) i 

vitenskapen. Den store tyske dikteren Johann Wolfgang 

von Goethe (1749–1832), eller rettere den mindre kjente 

vitenskapsmannen Goethe, "deltar" faktisk i denne 

paradigmedebatten. Goethe likte ikke teoriene til 

Newton, de gav et for enkelt bilde av virkeligheten. 

Derfor publiserte han en del alternative konkurrerende 

teorier, deriblant en fargelære som gjorde farger til noe 

mer enn bestemte bølgelengder (Newton brukte 

betegnelsen lysarter) hos lys. Denne fargelæren arbeidet 

han med i ti år. 


Uenigheten med Newton i synet på lys og farger formulerte Goethe slik (vi har supplert med en 

engelsk gjendiktning): 

Freunde, flieht die dunkle Kammer, 

Wo man euch das Licht verzwickt 

Und mit kümmerlichstem Jammer 

Sich verschroben Bildern bückt. 

Abergläubische Verehrer 

Gab’s die Jahre her genug. 

In den Köpfen eurer Lehrer 

Laßt Gespenst und Wahn und Trug. 

Wenn der Blick an heitern Tagen 

Sich zur Himmelbläue lenkt, 

Beim Sirok der Sonnenwagen 

Purpurrot sich niedersenkt: 

Da gebt der Natur die Ehre, 

Froh, an Aug’ und Herz gesund, 

Und erkennt der Farbenlehre 

Allgemeinen ewigen Grund. 

Friends, escape the dark enclosure, 

where they tear the light apart 

and in wreched bleak exposure 

twist, and cripple Natur’s heart. 

Superstitions and confusions 

are with us since ancient times– 

leave the specters and delusions 

in the heads of narrow minds. 

When you turn your eyes to heaven 

skyward to the azure flow, 

when at dusk the Sun is driven 

down in crimson fireglow 

Then in Nature’s deepest kernel 

healthy, glad of the heart and sight 

you perceive the great eternal 

essence of chromatic light. 

Det at Goethe ikke var enig med Newton, hadde liten eller ingen effekt. Teoriene til Newton var 

allerede etablerte "sannheter". En så på Goethes naturvitenskapelige teorier som mer eller 

mindre fikse ideer hos en stor forfatter. Noen har i dag et annet syn. Blant de mange teoriene 

som presenteres i forbindelse med fraktal geometri og kaosteori, er noen inspirert av 

vitenskapsmannen Goethes måte å tenke på. 

Men det er også mange som advarer mot å ha store forventninger. De påpeker at kaosteori og 

fraktal geometri så langt har forklart lite i naturen, og at det at enkelte fraktalgeometriske figurer 

ligner objekt i naturen, ikke nødvendigvis betyr at kaosteori og fraktal geometri kan forklare 

hvorfor disse objektene ser ut og oppfører seg som de gjør. 

Kanskje vil fraktal geometri vise seg nyttig på områder en ennå ikke har tenkt på. I dag blir det 

forsket på å bruke fraktal geometri til å lagre bilder. Det er en forholdsvis ny ide. 

Vi avrunder med en skisse som samler kronologisk sentrale personer i en produktiv periode i 

fysikkens og matematikkens historie.

Glimt fra matematikkens historie - Matematikkforlaget

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?