Formelsamling

Innhold
1 Grunnleggende statistikk 2
1.1 Beregning av standardavvik s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Enkel T -test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Uparet T -test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Paret T -test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Modeller 4
2.1 Enveis ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Enveis ANOVA med like store gjentak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Toveis ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Treveis ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Faktorielt gjentaksforsøk med 2 variabler uten blokking . . . . . . . . . . 8
2.6 Split-plot blokkforsøk med 2 variabler i tillegg til blokk . . . . . . . . . . 9
2.7 Split-plot gjentaksforsøk med 2 variabler (uten blokking) . . . . . . . . . 10
3 Detaljanalyse 11
3.1 Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Parvis sammenlikning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 LSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Lineær kontrast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Korrelasjon og regresjon 12
4.1 Korrelasjon og regresjon: Enkle lineære sammenhenger . . . . . . . . . . 12
4.2 Testing av regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Tabeller 14
5.1 Students T -fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Fischers F -fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Nøkkel for ˚a finne riktig modell i kurset førsøksmetodikk 16
7 Indekser ijk brukt i formelsamlingen 17
1

1 Grunnleggende statistikk 2
1 Grunnleggende statistikk
1.1 Beregning av standardavvik s
For ˚a finne ut hvor stort standardavviket er i et sett med tall.
Framgangsm˚ate:
Gjennomsnitt er X: X =
X
N
Korreksjonsledd er CT : CT = N · X 2 = ( X) 2
Kvadratsum er SS : SS = X 2 −CT
Frihetsgrader er DF : DF = N − 1
Middelkvadratsum er MS : MS = SS
DF
Standardavvik er s : s = √ MS
1.2 Enkel T -test
Testing av en populasjon.
Det er tilsammen N m˚alinger med verdier X1 til XN.
X
Gjennomsnitt er X : X =
N
Standardavvik er sX : sX =
Standardfeil er SE : SE = sX
√N
Testobservator er TT : TT =
X 2 − N · X 2
X − µ0
SE
N − 1
Konfidensintervall : µ = X ± t DF
α/2 SE
Forutsetter at differansen X − µ0 er positiv. Hvis n˚a TT er større enn Tα eller Tα/2
(ensidig eller tosidig for gitt signifikansniv˚a α) har vi p˚avist statistisk sikker forskjell.
N

1 Grunnleggende statistikk 3
1.3 Uparet T -test
Testing av forskjell mellom 2 normalfordelte populasjoner. To tilfeldige utvalg av prøver
fra normalfordelte populasjoner testes. Det trenger ikke være like mange prøver fra hver
populasjon. Spesialtilfelle av enveis ANOVA.
Indeksen i har verdiene 1 g 2 for de to utvalgene. For eksempel har utvalg 1 N1
m˚alinger.
Gjennomsnitt Xi og standardavvik si : Xi =
Xi
Ni
, si =
Blandet varians er s 2 P : s2 P = DF1 · s 2 1 + DF2 · s 2 2
DF1 + DF2
Standardfeil er SE : SE = sP
1
+ 1
=
Testobservator er TT : TT = X1 − X2
SE
N1
N2
= ∆X
SE
2 2
Xi − Ni · Xi
s 2 P
N1
Ni − 1
+ s2 P
N2
Konfidensintervall : ∆µ = ∆X ± t DF
α/2 SE der ∆µ = µ1 − µ2
Forutsetter at differansen ∆X = X1 − X2 er positiv. Hvis n˚a TT er større enn Tα
eller Tα/2 (ensidig eller tosidig for gitt signifikansniv˚a α) har vi p˚avist en forskjell.
1.4 Paret T -test
Testing av forskjell i en populasjon p˚a to tidspunkter eller to steder eller under to
forskjellige forhold. Det samme individet m˚ales før og etter eller her og der eller under
det ene forholdet og s˚a under det andre forholdet. Spesialtilfelle av to-veis ANOVA.
Det er tilsammen N m˚alinger med differansene D1 til DN.
D
Gjennomsnitt og standardavvik : D= sD =
N
Standardfeil og testobservator : SE = sD
√N
TT = D
SE
D 2 − N · D 2
N − 1
Konfidensintervall : ∆µ = D ± t DF
α/2 SE der ∆µ = µ1 − µ2
Forutsetter at differansen D er positiv. Hvis n˚a TT er større enn Tα eller Tα/2 (ensidig
eller tosidig for gitt signifikansniv˚a α) har vi p˚avist en forskjell.

2 Modeller 4
2 Modeller
2.1 Enveis ANOVA
For ˚a teste om 3 eller flere normalfordelte populasjoner er forskjellige, og hvilke av
populasjonen som er forskjellige.
Det behøver ikke være like mange prøver/gjentak fra hver populasjon.
Populasjonene er A, B, C, ...
XA, XB, XC, ... tallobservasjonene i utvalgene
NA, NB, NC, ... antall observasjoner i utvalgene
N = NA + NB + NC + . . . er det totale antall observasjoner i materialet som testes.
NP er antall populasjoner som testes.
Framgangsm˚ate
1. Gjennomsnittet for hvert utvalg er XA = XA/NA (tilsvarende for B, C etc).
2. Frihetsgradene for hvert utvalg er DFA = NA − 1 (tilsvarende for B, C etc).
3. Korreksjonsleddet for hele materialet er CT = N · X 2 = ( X) 2 /N.
Her er X = XA + XB + XC + . . .
4. Sett opp variansanalysen etter følgende formler :
Kilde
Faktor NP − 1
Frihetsgrader Kvadratsum M.kv.sum Testobs.
DF SS MS FT
( XA) 2 /NA + ( XB) 2 /NB
+( XC) 2 /NC + . . . − CT
Feil DFA + DFB + DFC + . . . SS Total − SS Faktor
Total NA + NB + NC + . . . − 1
Her er X 2 = X 2 A + X 2 B + X 2 C
+ . . ..
X 2 − CT
SS Faktor
DFFaktor SSFeil DFFeil 5. Dersom testobservator FT er større enn kritisk verdi Fα i F -tabellen er det signifikant
forskjell mellom to eller flere av populasjonene, med det signifikansniv˚aet α
man velger. (DF Teller →, DF Nevner ↓)
6. Test p˚a forskjell mellom bare to av utvalgene, for eksempel utvalgene A og B,
blir som beskrevet foran (Uparet T -test). Blandet varians blir s 2 P = MS Feil og
utvalgsstørrelsene blir NA og NB (hvis vi sammenlikner populasjonene A og B).
MS Faktor
MS Feil

2 Modeller 5
2.2 Enveis ANOVA med like store gjentak
Antall gjentak er a, og i er nummer av gjentak. Det er ingen systematisk innbyrdes
forskjell mellom gjentakene. NB! Gjentakene f˚ar ingen egen linje i variansanalysen under !
Variabel B er forsøksfaktoren og kan være sorter, gjødselmengder, bakterietyper,
konsentrasjoner, lysstyrker eller ...
Indeksen j er nummer av B, b = antall av B.
Variansanalysen : CT = X 2 ••/(a · b)
Kilde
Frihetsgrader Kvadratsum Middelkvadrat Testobs.
DF SS MS FT
B b − 1
j X2 •j
− CT MSB =
a
SSB
DFB
Feil b · (a − 1) SS Total − SSB MS Feil = SS Feil
DF Feil
Total (a · b) − 1
i,j X2 ij − CT
MSB
MS Feil
Hvis FT er større enn Fα i F -tabellen er det signifikant forskjell mellom to eller flere
trinn av variabel B, med valgt signifikansniv˚ae α. (DF Teller →, DF Nevner ↓)
Se ellers under Detaljanalyse.

2 Modeller 6
2.3 Toveis ANOVA
Blokkforsøk med 1 variabel i tillegg til blokk.
Antall blokker er a og i er nummer av blokk. (Blokk er gjentak med en antatt
systematisk innbyrdes forskjell som f.eks. jordstykker etter hverandre i en helling, griser
fra et kull er en blokk og griser fra et annet kull er en annen blokk osv.)
Variabel B = Sorter, gjødselmengder, bakterietyper, konsentrasjoner, lysstyrker etc.
Indeksen j er nummer av sort og b = antall av B.
Variansanalysen : CT = X 2 ••/(a · b)
Kilde
Frihetsgrader Kvadratsum Middelkvadrat Testobs.
DF SS MS FT
Blokk a − 1
B b − 1
i X2 i•
b
− CT MS Blokk = SS Blokk
DF Blokk
j X2 •j
− CT MSB =
a
SSB
DFB
Feil (a − 1) · (b − 1) SSTotal − SSBlokk − SSB MSFeil = SS
i,j
Feil
DFFeil X2 ij − CT
Total (a · b) − 1
MS Blokk
MS Feil
MSB
MS Feil
Hvis FT er større enn Fα i F -tabellen er det signifikant forskjell mellom to eller flere
trinn av variabel B, med valgt signifikansniv˚ae α. (DF Teller →, DF Nevner ↓)
Se ellers under Detaljanalyse.

2 Modeller 7
2.4 Treveis ANOVA
Faktorielt blokkforsøk med 2 variabler i tillegg til blokk. Variabel B og C kombineres i
hvert ledd – for eksempel i hver forsøksrute eller p˚a hvert forsøksdyr.
• Antall blokker er a, i nummer av blokk.
• Variabel B, j = nummer av B, b = antall av B
• Variabel C, k = nummer av C, c = antall av C.
CT = X 2 •••/(a · b · c)
Kilde
Blokk a − 1
B b − 1
C c − 1
Samspill B ∗ C (b − 1)(c − 1)
Frihetsgrader Kvadratsum Middelkvadrat Testobs.
DF SS MS FT
Feil (a − 1) · (bc − 1)
Total (a · b · c) − 1
i X2 i••
b · c − CT MS Blokk = SS Blokk
j X2 •j•
DF Blokk
a · c − CT MSB = SSB
DFB
k X2 ••k
a · b − CT MSC = SSC
DFC
j,k X2 •jk
− CT
a
−SSB − SSC
SS Total − SS Blokk − SSB
−SSC − SSB∗C
− CT
i,j,k X2 ijk
MSB∗C = SSB∗C
DFB∗C
MS Feil = SS Feil
DF Feil
Hvis testobservatoren FB∗C ikke viser samspill kan hovedeffektene B og C testes. For
disse faktorene kan det beregnes LSD med standardfeil
SEB = MSFeil · 2
a · c og SEC
= MSFeil · 2
a · b .
for de to variablene.
Hvis testobservatoren FB∗C viser samspill kan det beregnes LSD for ulike kombinasjoner
av B og C med standardfeil
SEB∗C = MSFeil · 2
a .
For kontraster m˚a teller under rottegnet tilpasses situasjonen (se Detaljanalyse).
MS Blokk
MS Feil
MSB
MS Feil
MSC
MS Feil
MSB∗C
MS Feil

2 Modeller 8
2.5 Faktorielt gjentaksforsøk med 2 variabler uten blokking
Variabel B og C kombineres i hvert ledd – for eksempel i hver forsøksrute eller p˚a hvert
forsøksdyr.
• Antall gjentak er a, i er nummer av gjentak.
• Variabel B, j = nummer av B, b = antall av B
• Variabel C, k = nummer av C, c = antall av C.
CT = X 2 •••/(a · b · c)
Kilde
B b − 1
C c − 1
Frihetsgrader Kvadratsum Middelkvadrat Testobs.
DF SS MS FT
j X2 •j•
a · c − CT MSB = SSB
DFB
k X2 ••k
a · b − CT MSC = SSC
DFC
j,k X2 •jk
− CT
Samspill B ∗ C (b − 1)(c − 1) a
−SSB − SSC
SSTotal − SSB
Feil (a − 1) · b · c
−SSC − SSB∗C
Total (a · b · c) − 1
i,j,k X2 ijk − CT
MSB∗C = SSB∗C
DFB∗C
MS Feil = SS Feil
DF Feil
MSB
MS Feil
MSC
MS Feil
MSB∗C
MS Feil
Hvis testobservatoren FB∗C ikke viser samspill kan hovedeffektene B og C testes. For
disse faktorene kan det beregnes LSD med standardfeil
SEB = MSFeil · 2
a · c og SEC
= MSFeil · 2
a · b .
for de to variablene.
Hvis testobservatoren FB∗C viser samspill kan det beregnes LSD for ulike kombinasjoner
av B og C med standardfeil
SEB∗C = MSFeil · 2
a .
For kontraster m˚a teller under rottegnet tilpasses situasjonen (se Detaljanalyse).

2 Modeller 9
2.6 Split-plot blokkforsøk med 2 variabler i tillegg til blokk
Antall blokker er a, i = nummer av blokk.
Variabel B = storrutefaktor, j = nummer av B og b = antall av B.
Variabel C = sm˚arutefaktor, k = nummer av C og c = antall av C.
Variansanalysen : CT = X 2 •••/(a · b · c)
Frihetsgrader Kvadratsum Middelkvadrat Testobs.
Kilde
DF SS MS FT
Blokk a − 1
i X2 i••/(b · c) − CT SSBlokk/DFBlokk MSBlokk/MSFeil
B b − 1
j X2 •j•/(a · c) − CT SSB/DFB MSB/MSBlokk∗B Blokk∗B (a − 1)(b − 1)
C c − 1
B ∗ C (b − 1)(c − 1)
i,j X2 ij•/c − CT
−SS Blokk − SSB
SS Blokk∗B/DF Blokk∗B
MS Blokk∗B/MS Feil
k X2 ••k /(a · b) − CT SSC/DFC MSC/MS Feil
j,k X2 •jk
/a − CT
−SSB − SSC
SS Total − SS Blokk − SSB
Feil (a − 1) · b · (c − 1) −SSBlokk∗B − SSC − SSB∗C
Total (a · b · c) − 1
i,j,k X2 ijk − CT
SSB∗C/DFB∗C
SS Feil/DF Feil
Hvis det ikke er samspill mellom faktorene B og C kan storrutefaktoren B testes
med
FB = MSB
.
MSBlokk∗B Sm˚arutefaktoren C testes p˚a vanlig m˚ate ved
FC = MSC
.
MSFeil Ved beregning av LSD for hovedeffektene blir standardfeilene
SEB = MSBlokk∗B · 2
a · c og SEC
= MSFeil · 2
a · b
for storrutefaktoren B og for sm˚arutefaktoren C
Ved samspill kan man teste forskjellige kombinasjoner av B og C. Standardfeilen for
LSD blir da
SEB∗C = MSFeil · 2
a .
For kontraster m˚a teller under rottegnet tilpasses situasjonen (se Detaljanalyse).
MSB∗C/MS Feil

2 Modeller 10
2.7 Split-plot gjentaksforsøk med 2 variabler (uten blokking)
Antall gjentak er a, i = nummer av gjentak.
Variabel B = storrutefaktor, j = nummer av B og b = antall av B.
Variabel C = sm˚arutefaktor, k = nummer av C og c = antall av C.
Variansanalysen : CT = X 2 •••/(a · b · c)
Frihetsgrader Kvadratsum Middelkvadrat Testobs.
Kilde
DF SS MS FT
B b − 1
j X2 •j•/(a · c) − CT SSB/DFB MSB/MSBlokk∗B
Blokk∗B (a − 1) · b
C c − 1
k X2 ••k /(a · b) − CT SSC/DFC MSC/MSFeil B ∗ C (b − 1)(c − 1)
i,j X2 ij•/c − CT − SSB SS Blokk∗B/DF Blokk∗B MS Blokk∗B/MS Feil
j,k X2 •jk
/a − CT
−SSB − SSC
SSTotal − SSB
Feil (a − 1) · b · (c − 1)
−SSBlokk∗B − SSC − SSB∗C
Total (a · b · c) − 1
i,j,k X2 ijk − CT
SSB∗C/DFB∗C
SS Feil/DF Feil
Hvis det ikke er samspill mellom faktorene B og C kan storrutefaktoren B testes
med
FB = MSB
.
MSBlokk∗B Sm˚arutefaktoren C testes p˚a vanlig m˚ate ved
FC = MSC
.
MSFeil Ved beregning av LSD for hovedeffektene blir standardfeilene
SEB = MSBlokk∗B · 2
a · c og SEC
= MSFeil · 2
a · b
for storrutefaktoren B og for sm˚arutefaktoren C
Ved samspill kan man teste forskjellige kombinasjoner av B og C. Standardfeilen for
LSD blir da
SEB∗C = MSFeil · 2
a .
For kontraster m˚a teller under rottegnet tilpasses situasjonen (se Detaljanalyse).
MSB∗C/MS Feil

3 Detaljanalyse 11
3 Detaljanalyse
3.1 Diagram
For kvantitativ forsøksfaktor med 3 eller flere trinn er det greit ˚a tegne en responskurve.
En kvalitativ forsøksfaktor kan tegnes som søyledigram.
3.2 Parvis sammenlikning
Parvis sammenlikning av to ledd blir som beskrevet under Uparet T -test. Blandet
varians blir MS Feil med frihetsgrader DF Feil.
3.3 LSD
Hvis det er aktuelt med mere enn en sammenlikning er det vanlig ˚a beregne LSD for et
gitt signifikansniv˚a α.
Standardfeilen SE er
SE = MSFeil · 2
n
der n er antall observasjoner i gjennomsnittsverdiene som sammenliknes. For eksempel
blir n = a (a er antall gjentak/blokker) i enveis og toveis ANOVA. Frihetsgradene blir
DF Feil. N˚a blir
LSD = T DFFeil
α/2 · SE
De differansene mellom gjennomsnittsverdier som er større enn LSD er signifikant forskjellige
p˚a niv˚a α.
3.4 Lineær kontrast
For en kvalitativ forsøksfaktor med for eksempel 4 trinn (trinn nummer 1, 2, 3 og 4) er
en (av flere mulige) lineær kontrast L gitt ved
L = h1X1 + h2X2 + h3X3 + h4X4 der h1 + h2 + h3 + h4 = 0 .
Testobservator for denne forskjellen blir
TL = L
med standardfeil SE =
SE
MSFeil
h 2 1 + h 2 2 + h 2 3 + h 2 4
der n er antall observasjoner i gjennomsnittsverdiene som sammenliknes. Frihetsgradene
blir DF Feil. For et gitt signifikansniv˚a α sammenliknes testobservator med kritisk verdi
T DFFeil
α/2
n

4 Korrelasjon og regresjon 12
4 Korrelasjon og regresjon
4.1 Korrelasjon og regresjon: Enkle lineære sammenhenger
Ofte er det interessant ˚a knytte to størrelser sammen for ˚a se hvordan den ene avhenger
av den andre. For eksempel vil avling avhenge av gjødsling, en aktivitet (hos dyr eller
planter) kan avhenge av temperatur, oppslutning om et politisk parti kan endre seg over
tid. Slike sammenhenger kan analyseres ved hjelp av lineær regresjon. Uavhengig variabel
kalles X (gjødsling, temperatur, tid) og responsvariabel eller avhengig variabel
(avling, aktivitet, oppslutning) kalles Y .
Korrelasjonskoeffisienten R har alltid en verdi mellom -1 og +1. Hvis absoluttverdien
er nær 1 kan vi slutte at det er god lineær sammenheng. N˚ar den er nær 0 er
sammenhengen d˚arlig. Mer presist kan vi si at for 0.7 < |R| ≤ 1 er den lineære sammenhengen
god. Ellers er den d˚arlig til fraværende. Men vi kan ikke stole blindt p˚a R. Ogs˚a
for krumlinjete sammenhenger vil R kunne f˚a verdi nær ±1. Determinasjonskoeffisienten
R 2 uttrykker hvor stor del av endringen i Y som skyldes endring i X.
Sammenhengen mellom variablene X og Y er gitt ved regresjonslinjen :
ˆY = ˆα + ˆ βX
der ˆ β er stigningstallet eller regresjonskoeffisienten og ˆα er konstantleddet (skjæringen
med Y -aksen).
For˚a beregne R, ˆ β og ˆα i et utvalg med n par av observasjoner trenger vi gjennomsnitt
og kvadratsummer til X og Y :
N˚a blir
X = ( X)/n Y = ( Y )/n
SSX = X 2 − ( X) 2 /n SSY = Y 2 − ( Y ) 2 /n
SSXY = X · Y − ( X) ( Y ) /n
R =
SSXY
√ SSX · SSY
,
ˆ β = SSXY
SSX
Eksempel p˚a oppsett for grunnlagsberegningene :
X Y X 2 XY Y 2
obs.1 2 5 4 10 25
obs.2 3 4 9 12 16
obs.3 4 3 16 12 9
Sum 9 12 29 34 50
Middel (n = 3) 3 4
og ˆα = Y − ˆ β · X

4 Korrelasjon og regresjon 13
4.2 Testing av regresjon
For ˚a analysere regresjonslinjen trenger vi standardfeilen for regresjonen gitt ved
(1 − R
SE =
2 )SSY
n − 2
N˚a blir et (1 − α) · 100%-konfidensintervall for regresjonskoeffisienten β
β = ˆ β ± T n−2
α/2
SE
√ .
SSX
Hvis 0 ligger inne i intervallet er det ingen sammenheng mellom X og Y .
Et (1 − α) · 100%-konfidensintervall for hele regresjonslinjen blir
α + βX = (ˆα + ˆ βX) ± T n−2
α/2
· SE ·
1 (X − X)2
+
n SSX
Et (1 − α) · 100%-prediksjonsintervall for en enkeltobservasjon blir
α + βX = (ˆα + ˆ βX) ± T n−2
α/2 · SE · 1 + 1 (X − X)2
+
n SSX

5 Tabeller 14
5 Tabeller
5.1 Students T -fordeling
α → α →
DF 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 DF 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
1 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 80 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 100 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 200 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601
17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 500 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586
18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 1000 1,282 1,646 1,962 2,330 2,581
19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576
20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845
5.2 Fischers F -fordeling
Frihetsgrader for teller
α DF 1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 50 100 200 ∞
0,05 2 18,5 19,0 19,2 19,3 19,3 19,3 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5
0,01 98,5 99,0 99,2 99,3 99,3 99,3 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5
0,001 998 998 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999
0,05 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,66 8,62 8,58 8,55 8,54 8,53
0,01 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,2 26,7 26,5 26,4 26,2 26,2 26,1
0,001 167 148 141 137 135 133 131 129 126 125 125 124 124 123
0,05 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,80 5,75 5,70 5,66 5,65 5,63
0,01 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,6 14,0 13,8 13,7 13,6 13,5 13,5
0,001 74,1 61,3 56,2 53,4 51,7 50,5 49,0 48,1 46,1 45,4 44,9 44,5 44,3 44,0
0,05 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,56 4,50 4,44 4,41 4,39 4,37
0,01 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 10,1 9,55 9,38 9,24 9,13 9,08 9,02
0,001 47,1 37,1 33,2 31,1 29,8 28,8 27,7 26,9 25,4 24,9 24,4 24,1 24,0 23,8

5 Tabeller 15
Frihetsgrader for teller
α DF 1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 50 100 200 ∞
0,05 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,87 3,81 3,75 3,71 3,69 3,67
0,01 13,8 11,0 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,87 7,40 7,23 7,09 6,99 6,93 6,88
0,001 35,5 27,0 23,7 21,9 20,8 20,0 19,0 18,4 17,1 16,7 16,3 16,0 15,9 15,8
0,05 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,44 3,38 3,32 3,27 3,25 3,23
0,01 12,3 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,84 6,62 6,16 5,99 5,86 5,75 5,70 5,65
0,001 29,3 21,7 18,8 17,2 16,2 15,5 14,6 14,1 12,9 12,5 12,2 12,0 11,8 11,7
0,05 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,15 3,08 3,02 2,97 2,95 2,93
0,01 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,03 5,81 5,36 5,20 5,07 4,96 4,91 4,86
0,001 25,4 18,5 15,8 14,4 13,5 12,9 12,1 11,5 10,5 10,1 9,80 9,57 9,45 9,33
0,05 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 2,94 2,86 2,80 2,76 2,73 2,71
0,01 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,26 4,81 4,65 4,52 4,41 4,36 4,31
0,001 22,9 16,4 13,9 12,6 11,7 11,1 10,4 9,89 8,90 8,55 8,26 8,04 7,93 7,81
0,05 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,77 2,70 2,64 2,59 2,56 2,54
0,01 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,06 4,85 4,41 4,25 4,12 4,01 3,96 3,91
0,001 21,0 14,9 12,6 11,3 10,5 9,93 9,20 8,75 7,80 7,47 7,19 6,98 6,87 6,76
0,05 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,75 2,54 2,47 2,40 2,35 2,32 2,30
0,01 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,50 4,30 3,86 3,70 3,57 3,47 3,41 3,36
0,001 18,6 13,0 10,8 9,63 8,89 8,38 7,71 7,29 6,40 6,09 5,83 5,63 5,52 5,42
0,05 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,60 2,39 2,31 2,24 2,19 2,16 2,13
0,01 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,14 3,94 3,51 3,35 3,22 3,11 3,06 3,00
0,001 17,1 11,8 9,73 8,62 7,92 7,44 6,80 6,40 5,56 5,25 5,00 4,81 4,71 4,60
0,05 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,49 2,28 2,19 2,12 2,07 2,04 2,01
0,01 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 3,89 3,69 3,26 3,10 2,97 2,86 2,81 2,75
0,001 16,1 11,0 9,01 7,94 7,27 6,80 6,20 5,81 4,99 4,70 4,45 4,26 4,16 4,06
0,05 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,12 2,04 1,97 1,91 1,88 1,84
0,01 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,37 2,94 2,78 2,64 2,54 2,48 2,42
0,001 14,8 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,44 5,08 4,29 4,00 3,77 3,58 3,48 3,38
0,05 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,16 1,93 1,84 1,76 1,70 1,66 1,62
0,01 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,17 2,98 2,55 2,39 2,25 2,13 2,07 2,01
0,001 13,3 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,58 4,24 3,49 3,22 2,98 2,79 2,69 2,59
0,05 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,08 1,84 1,74 1,66 1,59 1,55 1,51
0,01 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 2,99 2,80 2,37 2,20 2,06 1,94 1,87 1,80
0,001 12,6 8,25 6,59 5,70 5,13 4,73 4,21 3,87 3,15 2,87 2,64 2,44 2,34 2,23
0,05 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,10 1,99 1,75 1,65 1,56 1,48 1,44 1,39
0,01 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,82 2,63 2,20 2,03 1,88 1,75 1,68 1,60
0,001 12,0 7,77 6,17 5,31 4,76 4,37 3,86 3,54 2,83 2,55 2,32 2,12 2,01 1,89
0,05 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,02 1,91 1,66 1,55 1,46 1,37 1,32 1,25
0,01 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,66 2,47 2,03 1,86 1,70 1,56 1,48 1,38
0,001 11,4 7,32 5,78 4,95 4,42 4,04 3,55 3,24 2,53 2,26 2,02 1,81 1,68 1,54
0,05 ∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 1,94 1,83 1,57 1,46 1,35 1,24 1,17 1,01
0,01 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,51 2,32 1,88 1,70 1,52 1,36 1,25 1,01
0,001 10,8 6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,27 2,96 2,27 1,99 1,73 1,49 1,34 1,00

6 Nøkkel for modell 16
6 Nøkkel for˚a finne riktig modell i kurset førsøksmetodikk
1 variabel
– Hvor mange ledd/niv˚aer/trinn har variabelen ?
∗ 2 ledd : uparet eller paret T -test
∗ 3 eller flere ledd
· Ulikt antall observasjoner/gjentak : 1-veis ANOVA
· Likt antall observasjoner/gjentak
Gjentaksforsøk : 1-veis ANOVA med like mange gjentak
Blokkforsøk : 2-veis ANOVA
2 variabler p˚a samme niv˚a (ikke storruter og sm˚aruter)
– Blokk : faktorielt blokkforsøk med 2 variabler (3-veis ANOVA)
– Gjentak : faktorielt gjentaksforsøk med 2 variabler
2 variabler der den ene er p˚a storruter og den andre p˚a sm˚aruter
– Blokk : split-plot blokkforsøk med 2 variabler
– Gjentak : split-plot gjentaksforsøk med 2 variabler
1 variabel
Blokkforsøk Gjentaksforsøk
Blokkforsøk med 1 variabel Gjentaksforsøk med 1 variabel
(2-veis ANOVA) (1-veis ANOVA)
Faktorielt Split-plot Faktorielt Split-plot
2 variabler blokkforsøk blokkforsøk gjentaksforsøk gjentaksforsøk
med 2 variabler med 2 variabler med 2 variabler med 2 variabler
(3-veis ANOVA)

7 Indekser brukt i formelsamlingen 17
7 Indekser ijk brukt i formelsamlingen
Eksempel : 2 faktorer (3 blokker og 4 ledd)
• Xij betyr en enkeltobservasjon
• Xi• betyr summen av observasjoner i en blokk
Eksempel : X2• = X21 + X22 + X23 + X24
• X•j betyr summen av observasjoner for hvert ledd
Eksempel : X•3 = X13 + X23 + X33
• X•• betyr summen av alle observasjoner
Eksempel : X•• = X11 + X12 + . . . + X34
• X 2 •• betyr kvadratet av summen av alle observasjoner
Eksempel : X 2 •• = (X11 + X12 + . . . + X34) 2
i = 1 i = 2 i = 3 X•j
j = 1 X11 X21 X31 X•1
j = 2 X12 X22 X32 X•2
j = 3 X13 X23 X33 X•3
j = 4 X14 X24 X34 X•4
Xi• X1• X2• X3•
• X 2 ij betyr summen av kvadatene av hver observasjon
Eksempel : X 2 ij = X 2 11 + X 2 12 + . . . + X 2 34
• X 2 i• betyr summen av kvadratene av summene i hver blokk
Eksempel : X 2 i• = (X11 + X12 + X13 + X14) 2 + (X21 + X22 + X23 + X24) 2 + (X31 +
X32 + X33 + X34) 2
• X 2 •j betyr summen av kvadratene av summene for hvert ledd
Eksempel : X 2 •j = (X11 + X21 + X31) 2 + (X12 + X22 + X32) 2 + (X13 + X23 +
X33) 2 + (X14 + X24 + X34) 2
N˚ar det er snakk om blokk + 2 faktorer utvides kodesystemet til ˚a inkludere indeksen
k for den andre faktoren i en treveistabell.