FYS2130 Svingninger og bølger, Prosjektoppgave V2011

FYS2130 Svingninger og bølger, Prosjektoppgave
V2011
Kandidatnummer 49

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Prosjektoppgave FYS2130 V2011
Oppgave 1
a) Vi skal aller først se på beregninger av elektromagnetiske bølger (“stråling”) fra
mobiltelefoniantenner. Vi tenker her på basestasjoner for mobiltelefoni som vist på hhv. figur
1 og figur 2.
Figur 1 i : Basestasjon for mobiltelefoni på industribygg ved Ensjø T-banestasjon.
Figur 2 ii : To ulike antennetyper brukes for to ulike frekvensområder. Fra bildet (og fra figur 1) kan man
se at de er tiltet noen grader oppover.
Side 1 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Disse bildene er tatt på nordøstveggen av et industribygg like ved Ensjø T-banestasjon i Oslo.
Videre finnes det to størrelser på denne typen antenner, og fra oppgaveteksten har vi oppgitt
at noen er 2.6 m lange og brukes for 900 , og noen er 1.3 m lange og brukes for 1.8
kommunikasjon – noe vi skal bruke i beregningene våre.
Først ønsker vi å beregne og plott et antennediagram for 900 , i et vertikalt snitt som
forventes dersom antennen lages på aller enkleste måte. Den aller enkleste antennen vi kan
lage er en dipolantenne med to identiske ladninger, men med motsatt fortegn. Disse
ladningene vil være plassert litt fra hverandre og vil danne elektriske felt normalt på
strømretningen.
Fra læreboken iii har vi gitt at intensitetsfordelingen for et dipol er gitt på samme måte som
diffraksjon fra én spalt. Tanken er her at vi ser for oss en enkel spalt som belyses fra en side og
fordeles deretter. Fra figur 3 ser vi en forventet intensitetfordeling ved diffraksjon fra en spalt.
Tilsvarende vil vi kunne forvente for feltet rundt et dipol.
Figur 3: Forventet intensitetsfordeling for et dipol. Se programvedlegg 1 for detaljer rundt generering
denne figuren.
Videre kan vi bruke formelen for intensitetsfordelingen for å lage et antennediagram for
dipolet. Vi bruker da formelen
hvor
, ,
2
Side 2 av 21
/
/
1
. 2

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
er her bølgelengden og er vinkelen fra mellom dipolet og feltet. Videre ønsker vi å finne
effektiviteten, , med hensyn på . Vi bruker her
,
, /
,
/
, Side 3 av 21
Deretter gjør vi om til Decibel-skalaen. Dette gjøres på formen
/
/
. 3
10·log 4
med utgangspunkt i effektiviteten som er uten benevnelse. Videre finner vi også
bølgelenden ved
5
og vi bruker lengden som er gitt i oppgaveteksten. Med dette kan vi så plotte dataen i et
polardiagram. Da dette diagrammet vil være symmetrisk om vertikalen, plotter programmet
først høyre side, for så å plotte samme data på venstre side. Resultatet av dette kan du se i figur
4. Antennediagrammet er skalert til 40 som er det valgte dynamiske området mellom
minimal og maksimal effekt.
Figur 4: Antennediagrammet i vertikalplan med et dynamisk område på 40 .
Programmet som lager både polardiagrammet og fordelingsdiagrammet er å finne i
programvedlegg 1.

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
b) Videre kan vi påpeke likheter og forskjeller mellom polardiagrammet vi genererte i oppgave
1a) og den virkelige antennens diagram som vist i figur 5.
Den største forskjellen vi ser mellom disse er symmetrien om den vertikale og horisontale
aksen. Det vi også ser er at mens vår enkle modell er like sterk på begge sider av
vertikalplanet, er den faktiske modellen mer konsentrert på den ene siden. Det er med andre
ord veldig lav intensitetsprofil på den siden av antennen som er vendt inn mot en vegg.
Samtidig ser vi også at strålingen er konsentrert vinkelrett ut fra antennen og at strålingen
langs antennen er lav sammenlignet med strålingen ellers.
270
300
240
330
210
Figur 5: Antennediagram i et vertikalplan i stråleretningen for en svært vanlig antenne for GSM 900.
Antennens er en Kathrein 80010621 antenne.
Når det kommer til likheter ser vi at begge diagrammene har et sentralt maksimum normalt på
strømretningen, likevel skiller det enkle diagrammet seg ut da den har et maksimum i alle
retninger vinkelrett på strømretningen (og ikke bare på en side).Vi ser også at begge
diagrammenes intensitet reduseres sterk parallelt med antennen.
c) Videre kan vi beregne den relative intensiteten på bakken i antennens antennens stråleretning
for en rekke punkter i avstand 10 til 2000 vekk fra veggen der antennen er plassert.
Antennes høyde over bakken estimerer vi ved hjelp av bildet i figur 1 og høyden på huset
finner vi til å være 13.05 ved hjelp av bildeanalyse. Prosessen er gjort ved hjelp av
MATLAB, og programmet finnes i programvedlegg 2. Den relative intensiteten er deretter
funnet med geometri og plottet i figur 6. Programmet som ble brukt for å gjøre dette finnes
som programvedlegg 3. Ved hjelp av vinklene funnet med dette programmet ble det manuelt
0
180
Side 4 av 21
3
10
20
30
30
150
60
120
90

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
lagt til relative intensiteter for de avstandene som ble valgt ut. Disse intensitetene ble lest av
diagrammene for de to antennemodellene.
Vi har her valgt å sammenligne den enkle modellen med den faktiske modellen for å se
forskjellen mellom disse to. Dette skyldes forskjellen i signalkonsentrasjon som kan være
fornuftig å se på. Vi antar i denne beregningen at terrenget er horisontalt i den angitte
retningen.
Figur 6: Relative intensiteter for den forenklede og den faktiske antennen med hensyns på avstand fra
disse.
Fra figur 6 ser vi at den relative intensiteten til den enkle modellen er høyere enn den faktiske
modellen ved en avstand på 10 . Dipolmodellen oppnår raskere full intensitet, mens den
faktiske antennen gradvis blir sterkere etter et par hundre meter. Ved 1500 er intensiteten til
de to modellene tilnærmet like.
d) Fra fotografiet i figur en ser vi at antennene er montert slik at de vippes litt ut fra veggen
nederst sammenlignet med øverst. Vi får også oppgitt at antennene ofte er vippet opp cirka 5
grader i forhold til loddlinjen, og at de iblandt vippes nedover også. Grunnen til dette kan
være at feltet er konsentrert slik at man kan dekke en ønsket geografisk område ved å endre
retningen. Terrenget kan selvsagt ha mye å si det også. Antar vi for eksempel at en basestasjon
er lokalisert på en bakketopp, vil det være naturlig å vippe antennen nedover slik at delen med
størst intensitetprofil treffer det ønskede området.
e) Det har vært mye debatt rundt plassering av basestasjoner. Blant annet blir det mye frustrasjon
når basestasjoner settes opp på for eksempel høye master like i nærheten av idrettsbaner eller
lekeplasser. Mange mener at antennene burde vært plassert lengre unna, men ut fra resultatene
i deloppgave 1) ser vi fra den relative intensitetskurven at det er lite eller ingen stråling rett
under basestasjonen. Faktisk ser det ut som om at strålingen ikke blir betydelig før etter cirka
Side 5 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
100 meter, noe som betyr at strålingen idrettsbaner og lekeplasser blir utsatt for er minimal i
forhold til hovedfeltene som sendes ut fra basestasjonene.
Med andre ord kan vi konkludere med at kort avstand til en basestasjon ikke nødvendigvis
betyr at man blir utsatt for mye stråling. Hvor mye stråling man blir utsatt for er kommer ann
på hvor nærme man befinner seg, og vinkelen mellom deg og basestasjonen. Da feltene fra en
basestasjon er konsentrert, kan man – i teorien – befinne seg like under en basestasjon uten å
bli utsatt for stråling.
f) Fra Helse- og Omsorgsdepartementets nettsider for Elektromagnetiske felt og helse iv har vi at
hvor er lengden på antennen og er bølgelengden. Fra dette ser vi at for antenner brukt
ved 900 kun er avhengig av lengden på antennen. Tar vi utgangspunkt i antennen som
er 2.6 (vertikalt) ser vi fra 6 at en antenne som er fjerdeparten så lang ville hatt en lavere
intensitet, mens en antenne som er fire ganger så lang ville gitt en høyere intensitet.
g) I bystrøk er de høyeste intensitetene vi i praksis finner ofte betydelig lavere enn de høyeste
intensitetene vi finner i grisgrent strøk. Dette kan komme av flere faktorer. En betydelig faktor
er basestasjontetthetene og brukergrensesnittet/kapasiteten på hver av disse. For et bystrøk vil
vi kunne anta at brukertettheten er større enn i et grisgrent strøk, og at det er en begrensning på
antall brukere på hver basestasjon. Med andre ord trengs det flere basestasjoner for å kunne
behandle alle brukerne i byområdet enn på et grisgrent område.
Her kommer vi til det andre punktet. Dersom det er flere basestasjoner i nærheten som dekker
samme område, vil den enkeltes stråleintensitet bidra til en stråleintensitet som er unødvendig
høy. Det vil derfor være bedre å begrense intensiteten slik at områdene ikke overlappes i like
stor grad som de ellers ville gjort, eller at de overlappes med en minimal effekt.
Til sammenligning trengs det kanskje bare en basestasjon med høyere intensitet for å gi
brukerne i et gresgrent område dekning. Disse faktorene kan føre til at effekten i et bystrøk
ligger lavere enn foreslåtte grenseverdier.
Side 6 av 21
6

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Oppgave 2
a) Resten av prosjektoppgaven dreier seg om waveletanalyse, og vi skal begynne med å betrakte
en Morlet wavelet. Denne kan gis på formen
Ψ , ,
Side 7 av 21
hvor er frekvensen vi ønsker å analysere signalet for. Videre er denne waveleten beskrevet
som en funksjon av tiden , og midtpunktet for waveleten finnes ved tiden . er her en
bølgetallsparameter som angir omtrentlig antall periodetider der er plass til innenfor
omhyllingskurven for waveleten. Konstanten kan gis på mange ulike måter, men her bruker
vi
√
der er som ovenfor og er samplingsfrekvensen for et konkret signal. Det kan også
påpekes at waveleten må beskrives i samme tidsoppløsning som det samplede signalet.
Det første vi ønsker å gjøre er å betrakte Morlet waveleten. Det vi ønsker å undersøke er om
fourierspekteret til waveleten endrer seg med posisjonen for midtpunktet. Vi er da
interessert i å sjekke realdel, imaginærdel og absoluttverdien av frekvensspekteret. For å gjøre
dette bruker vi MATLAB, og programmet ligger vedlagt som programvedlegg 4. I tillegg
bruker vi også funksjonen morlet.m (v1.0) som beregner 7 og 8 med hensyn på . Fra
programmet får vi figurene 7-11 med forskjellig .
Figur 7: Plottet til venstre viser morlet wavelet ved 2 . Til høyre er et utsnitt fra tilhørende
fourierspekter med realdel, imaginærdel og absoluttverdi.
7
8

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 8: Plottet til venstre viser morlet wavelet ved 1 . Til høyre er et utsnitt fra tilhørende
fourierspekter med realdel, imaginærdel og absoluttverdi.
Figur 9: Plottet til venstre viser morlet wavelet ved 0 . Til høyre er et utsnitt fra tilhørende
fourierspekter med realdel, imaginærdel og absoluttverdi.
Figur 10: Plottet til venstre viser morlet wavelet ved 1 . Til høyre er et utsnitt fra tilhørende
fourierspekter med realdel, imaginærdel og absoluttverdi.
Side 8 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 11: Plottet til venstre viser morlet wavelet ved 1 . Til høyre er et utsnitt fra tilhørende
fourierspekter med realdel, imaginærdel og absoluttverdi.
Fra figurene 7-11 ser vi at hverken realdel, imaginærdel eller absoluttverdien av disse
forandrer seg ved varierende . Større versjoner av plottene i figur 9 vises i hhv. figur 12 og
13.
Figur 12: Plottet av en morlet wavelet ved 0 .
Side 9 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 13: Utsnitt av fourierspekteret til morlet wavelet vist i figur 12 .
Videre ønsker vi også å sjekke om absoluttverdien til den fourieromvendte waveleten svarer til
det matematiske uttrykket for den fourieromvendte av en Morlet-wavelet definert ved
hvor 1/ der
Ψ
Side 10 av 21
9
1 10
er det -te elementet i arrayen . er her definert ved 1,2,3, … , . Igjen bruker vi
MATLAB, og programmet er å finne i samme programvedlegg. I tillegg bruker vi her
funksjonen fomorlet.m (v1.0). Resultatet av dette er vist i figur 14.

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 14: Sammenligning av absoluttverdien til den fourieromvendte waveleten og det matematiske
uttrykket for den fourieromvendte av en Morletwavelet .
Fra resultatene vist i figur 14, ser vi at absoluttverdien til den fourieromvendte waveleten er
tilnærmet lik det matematiske uttrykket for den fourieromvendte av en Morlet-wavelet.
b) Videre skal vi sammenligne to waveletransformasjoner. Den ene kan gjøres med brute force
etter formelen
, ∑ Ψ, ,t
11
hvor er signalet som skal analyseres. Den alternative måten er å først fourieromvende
slik at vi får et frekvensspekter . Deretter multipliseres dette med den fourieromvendte til
waveleten gitt ved 10, før man foretar en invers fast fourier transform av produktet. Deretter
tas absoluttverdien av resultatet. Vi ønsker her å sammenligne de to måtene med hensyn på
resultat og tid. Vi har her valgt 100 og bruker programmet funnet i programvedlegg 5 til
å analysere signalet i datafilen testdata1.txt, samplet ved 10000 (2 8192 punkter). Vi
har her modifisert funksjonene morlet.m og fomorlet.m slik at de leser inn flere parametre, og
markert disse som v1.1.
Ved kjøring av programmet får vi at tiden det tar å gjennomføre med brute force er 19.2997
sekunder, mens tiden det tar å gjennomføre på den alternative måten er 0.0020 sekunder. Med
andre ord vil den alternative metoden lønne seg dersom det er snakk om
wavelettransformasjon for mange forskjellige frekvenser, da denne bruker mye mindre tid.
Resultatet før absoluttverdien ble tatt er vist i figur 15, og gjelder for begge metodene.
Figurene 16 og 17 viser resultatet når absoluttverdien er tatt.
Side 11 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 15: , før absoluttverdien er tatt. Dette plottet blir likt for begge metodene .
Figur 16: , for brute force når absoluttverdi er tatt.
Side 12 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 16: , for den alternative transformasjonen etter at absoluttverdien er tatt.
Vi ser fra figurene 15 og 16 at de to metodene gir samme analyseresultat, men beregner dette
med forskjellig tid. Den alternative metoden er mye raskere enn det brute force-metoden er.
c) Vi utvider så programmet med hensyn på den alternative metoden, slik at vi får et generelt
program for waveletanalyse der vi kan angi hvilket frekvensområde som skal analyseres og
antall perioder innenfor omhyllingskurven . Vi tar også hensyn til at stereolydfil i wavformat
med to kanaler. Vi har her valgt å videreføre programmet til en funksjon som kan
kalles ved å definere variable.
waveletanalyse(navn,famin,famax,K,ds,N,nstart,df)
I denne funksjonen er navn filnavnet på signalet som skal analyseres, famin er nedre
frekvensgrense for signalet og famax er øvre grense. Videre er K bølgetallet, ds er
nedsamplingsraten for billedbehandling og N angir antall punkter som kan analyseres fra
nstart som er punktet vi analyserer fra. Til slutt har vi df som angir hvilke som skal velges
mellom famin og famax. Denne funksjon ligger vedlagt som programvedlegg 6. Vi
programmet for å se at det fungerer tilfredstillende ved å kjøre kommandoen
>> waveletanalyse('gjok.wav',0,6000,6,128,0,2^15,8)
i MATLAB. I figur 17 ser vi hvordan hele signalet ser ut, og i figur 18. Ser vi det valgte
utsnittet for en kanal. Signalet er et stereokanal, så vi plukker ut en av disse kanalene for
analyse. Vi har her valgt ut et litt spennende område.
Side 13 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 17: Visualisering av signalet gjok.wav med hensyn på tid.
Figur 18: Visualisering av signatutsnittet fra gjok.wav med hensyn på tid. Vi ser her på en kanal.
Side 14 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Fra figurene 17 og 18 ser vi hvordan det hentes ut et utsnitt fra hele signalet. Videre analyseres
dette signalet for forskjellige frekvenser, her for hver åttende . Resultatet av dette er vist i
figur 19 og 20, hvor sistnevnte viser den relative intensiteten med hensyn på .
Figur 19: Wavelettransformasjon av filen gjok.wav for en spesifisert del av hele signalet.
Figur 20: Intensitetsprofil med hensyn på . Vi ser fra dette at en topp rundt cirka 800 .
Side 15 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Fra figur 20 ser vi at det er en intensitetstopp rundt cirka 800 . Vi kan igjen bruke
programmet til å plukke ut denne spennende delen.
>> waveletanalyse('gjok.wav',0,1500,6,128,0,2^15,2)
Dette gir et plott som er ganske likt som i figur 19, men for frekvensintervallet fra 0 til
1500 .
Figur 21: Wavelettransformasjon for utsnitt av filen gjok.wav for 0,1500.
Vi kan med dette anta at at programmet fungerer tilfredsstillende, og bruke dette videre for å
analysere lydfiler.
d) Videre bruker vi programmet fra forrige deloppgave på filen Bokfink4.wav. Vi ønsker med
dette å komme frem til en optimalisert analyse av signalet med hensyn til frekvensområde og
parameteren . Vi må derfor plukke ut et område i filen som virker interessant. Da
programmet visualiserer hele signalet, kan vi velge den delen som virker mest interessant. Når
det gjelder parameteren er dette noe vi må prøve oss frem til. En større betyr at hele
waveleten strekker seg over et større tidsintervall enn for en mindre . Dette vil føre til at en
en skarp detalj i signalutsnittet vil bli mer uklar for en stor enn for en liten . Likevel er det
slik at både en for lav eller for høy -verdi vil gjøre signalet mer uklart. Vi finner derfor den
optimale løsningen ved å prøve oss frem.
Vi kan begynne med å kjøre programmet for en lav og høy -verdi for å vise forskjellen har
for analysen. Figur 22 viser hele signalet, og figur 23 viser utsnittet vi ser på med forskjellige
verdier for .
Side 16 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 22: Visualisering av signalet Bokfink4.wav.
Figur 23: Signalutsnitt fra Bokfink4.wav som vi bruker for å optimalisere analysen.
Vi kjører først for en lav -verdi, og ser hvordan resultatene blir. Resultatene for dette er vist i
figur 24. For en høy verdi ser vi resultatene i figur 25. Kommandoene vi gir i MATLAB er
følgende:
Side 17 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
>> waveletanalyse('Bokfink4.wav',0,15000,6,128,2^17,2^15,2^6)
>> waveletanalyse('Bokfink4.wav',0,15000,10000,128,2^17,2^15,2^6)
Figur 24: Resultater for 6.
Figur 25: Resultater for 10000 (kanskje i overkant høyt tall, men det demonstrerer forskjellen).
Fra figurene 24 og 25 ser vi tydelige eksempler på analyser som er uklare. I figur 24 blir
frekvensene glattet ut, mens vi i figur 25 ser at detaljene i signalutsnittet er dratt ut og diffuse.
Den optimale analysen befinner seg med andre ord et sted mellom disse, og den finner vi ved å
prøve oss frem. Vi ser også at det ikke er nødvendig å se på intervallet så langt som til
15000 , slik at vi kan begrense intervallet til 0,10000 .
Med litt prøving finner vi at 100 er den verdien vi bør velge for å få en optimal analyse.
Her ser man fortsatt detaljene i signalet, samtidig som frekvensspekteret gir detaljer om
signalet. Wavelettransformasjonen er vist i figur 26, og det tilhørende frekvensspekteret er vist
i figur 27. Vi kjører kommandoen
>> waveletanalyse('Bokfink4.wav',0,10000,100,128,1024*32*4,2^15,2^5)
i MATLAB, hvor vi velger hver 2 frekvens i intervallet 0,10000 , og bruker en
nedsamplingsrate på 128 punkter.
Side 18 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
Figur 26: Wavelettransformasjon for 100.
Figur 27: Frekvensspekter 100.
Fra figurene over ser vi at signalet fortsatt er detaljert, samtidig som frekvensene er mer
tydelige enn for en lavere . Det må likevel påpekes at det for analyse av mindre områder
(frekvens eller tid) i signalet bør velges en mindre for å beholde de minste detaljene i
signalet, men dette må man prøve seg frem til. vil også variere for forskjellige lydfiler.
Side 19 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
e) Vi analyser så en vedvarende lyd fra en trompet (trompet3.wav). Vi bruker samme funksjon
som i forrige oppgave og kjører kommandoen
waveletanalyse('trompet3.wav',0,10000,50,128,1024*32*4,2^15,2^5)
hvor vi har valgt 50. I figur 28 vises hele signalet og utsnittet vi har valgt.
Wavelettransformasjonen vises i figur 29.
Figur 28: Plottet til venstre hele signalet, mens plottet til høyre viser utsnittet av dette som skal
analyseres.
Figur 29: Wavelettransformasjon av utsnittet ved 50.
Fra analysen ovenfor ser vi mange aspekter som kun kan vises ved hjelp av
wavelettransformasjon, og som ikke er mulig å få ut av fouriertransformasjon eller signalet.
Disse aspektene er at vi kan ha flere frekvenser samtidig og at vi ser frekvensbildet med
hensyn på tid. Wavelettransformasjon gir også et fint visuelt bilde av både frekvensutviklingen
og tiden i samme plot. I figur 30 ser vi også den relative intensitetsprofilen med hensyn på
frekvensen .
Side 20 av 21

FYS2130 Svingninger og bølger Prosjektoppgave V2011 Kand. nr. 49
f) -
Figur 30: Relativ intensitetsprofil for wavelettransformasjon ved 50.
Til sammenligning kan vi påpeke at vi med fouriertransformasjon bare ser på frekvensene
som forekommer i signalet – det eksisterer med andre ord ikke et tidsperspektiv ved en slik
analyse. Dersom man ønsker å kartlegge frekvensene for et relativt stort signal kan det likevel
være greit å bare bruke fouriertransformasjon da dette er en mindre krevende metode. Ved
bruk av wavelettransformasjon som vi her har gjort (i figurene 28-30) er det større
begrensninger ved behandling av et signal, enn det er ved fouriertransformasjon (dersom vi
ønsker en figur lik resultatet i figur 30).
i Bilde og figurtekst fra prosjektoppgaven FYS2130.
"http://www.uio.no/studier/emner/matnat/fys/FYS2130/v11/Prosjektoppgave2011d.pdf." onsdag. 5 mai 2011.
ii Bilde og figurtekst fra prosjektoppgaven FYS2130.
"http://www.uio.no/studier/emner/matnat/fys/FYS2130/v11/Prosjektoppgave2011d.pdf." onsdag. 5 mai 2011.
iii Vistnes, Arnt Inge. Svingninger og Bølger. Prøveutgave Oslo: Tapir Akademisk Forlag, 2011.
iv Elektromagnetiske felt og helse, "http://www.regjeringen.no/nb/dep/hod/dok/nouer/1995/nou-1995-
20/16/4.html?id=337710" lørdag 7. Mai 2011
Side 21 av 21

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Programvedlegg 1
3 %--------------------------------------------------------%
4
5
6 % Oppgave 1a
7
8 % Variabler
9 Imax = 1;
10 Lambda = 3e8/(900e6); % Bølgelengde
11 L = 2.6; % Antennestørrelse
12
13 % Intensitetsfordeling
14 th = -pi:0.01:pi;
15 B = 2*pi*L*sin(th)/Lambda;
16 I = Imax*((sin(B/2))./(B/2)).^2;
17
18 figure();
19 plot(th,I); title('Intensitetsfordeling'); set(gca,'Xticklabel',[]);
20 xlabel('vinkel (\theta)'); ylabel('Relativ intensitet');
21
22 % Data
23 N = 361; % Antall punkter
24 th = linspace(-(pi/2),(pi/2),N);
25 th = th(2:N-1); % Fjerne th=-pi/2 and th=pi/2
26 dyn=40; % Grense
27 b=1; % Linjebredde
28
29 % Beregne effekt (dB)
30 B = 2*pi*L*sin(th)/Lambda;
31 g = Imax*((sin(B/2))./(B/2)).^2;
32
33 c = 1 / max(g); % Normaliseringsfaktor
34 th = [-pi/2, th, pi/2]; % Legge til th=-pi/2 and th=pi/2
35 g = [0, c*g, 0]; % g-data
36
37 gdb = 10 * log10(g); % Gjøre om til dB
38
39 % Plotte antennediagrammet i et polardiagram
40 figure()
41 sty = ':'; % stil
42 Nf = 10; % Fontstørrelse
43 gdb = (gdb + dyn)/dyn; % Skalerer til maksimumsverdi - 40 dB
44
45 x = gdb .* cos(th);
46 y = gdb .* sin(th);
47
48 % Sirkel
49 Nstep = 400;
50 phi0 = (0:Nstep) * 2*pi / Nstep;
51 x0 = sin(phi0);
52 y0 = cos(phi0);
53
54 % Plott data
55 plot(x, y, 'Color', 'b', 'LineWidth', b);
56 hold on;
57 plot(-x, y, 'Color', 'b', 'LineWidth', b);
58
59 % Plott akse

60 hold on;
61 plot(x0, y0,'Color', 'k', 'LineWidth', b);
62 plot(0.75*x0, 0.75*y0, sty, 0.50*x0, 0.50*y0, sty, 0.25*x0, 0.25*y0, sty);
63
64 axis square;
65 R = 1.1;
66 axis([-R, R, -R, R]);
67 axis off;
68
69 % Linje (akse)
70 line([0,0],[-1,1],'Color', 'k');
71 line([-1,1],[0,0],'Color', 'k');
72 x1 = 1/sqrt(2); y1 = 1/sqrt(2);
73 line([-x1,x1], [-y1,y1],'Color', 'k', 'linestyle', sty);
74 line([-x1,x1], [y1,-y1],'Color', 'k', 'linestyle', sty);
75
76 % Figurinformasjon
77 text(0, 1.02, '270^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'center', 'vert', 'bottom');
78 text(0, -0.99, '90^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'center', 'vert', 'top');
79 text(1, 0.01, '180^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert', 'middle');
80 text(-1.02, 0.01, '\theta = 0^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'right', 'vert',
'middle');
81
82 text(1.04*x1, y1, '225^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert',
'bottom');
83 text(0.98*x1, -0.98*y1, '135^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert', 'top');
84 text(-0.97*x1, 1.02*y1, '315^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'right', 'vert',
'bottom');
85 text(-1.01*x1, -1.01*y1, '45^o', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'right', 'vert', 'top');
86
87 label1 = sprintf('-%d', 0.25*dyn);
88 label2 = sprintf('-%d', 0.50*dyn);
89 label3 = sprintf('-%d', 0.75*dyn);
90
91 text(0.765, 0.125, label1, 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert', 'top');
92 text(0.515, 0.125, label2, 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert', 'top');
93 text(0.265, 0.125, label3, 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert', 'top');
94 text(0.55, -0.005, 'dB', 'fontsize', Nf, 'horiz', 'left', 'vert', 'top');
95
96 title('Antennediagram for 900 MHz (vertikalt snitt)');

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Programvedlegg 2
3 %--------------------------------------------------------%
4
5
6 % Oppgave 1c
7
8 % Hent data
9 data = imread('oppgave1c.png');
10 figure()
11 data=data(:,:,1);
12 imagesc(data);
13
14 % Høyde på huset i px
15 px = 0;
16 for i=1:380
17 if data(i,200) 98 && data(i,169) < 150)
25 len = len + 1;
26 end
27 end
28
29 % Beregn høyde i m
30 mpx = 2.6/len;
31 height = px*mpx
32
33 % height = 13.0491

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Programvedlegg 3
3 %--------------------------------------------------------%
4
5
6 % Oppgave 1c forts.
7
8 % Data
9 h = 13.0491; % m
10 L = 2.6; % m
11 mp = h - L/2; % m
12 l = [10, 20, 50, 100, 500, 1000, 1500, 2000]; % m
13
14 % Pytagoras for beregning av lengde fra senter av mast
15 h = sqrt(mp^2 + l.^2); % m
16
17 % Beregne theta
18 th = asind(l./h) % grader fra senit
19
20 % Fra dette leser vi av verdier som er relativ intensitet
21 % katval = 10*log(gdb) = 10*log(I/Imax)
22 katval = [12 3 20 19 35 39 40 40]; % db
23
24 % Data fra oppgave 1a)
25 dipval = [12 20 25 35 40 40 40 40]; % db
26
27 % Plott figurer
28 figure(1);
29 plot(l, katval, '*--r', l, dipval, '*--b');
30 title('Relativ intensitet på bakken');
31 legend('Kathrein 80010621','Enkel dipolmodell');
32 xlabel('meter (m)'); ylabel('decibel (db)');
33 axis([0 2100 0 45]);
34
35 figure(2);
36 katval = katval/max(katval);
37 dipval = dipval/max(dipval);
38 plot(l, katval, '*--r', l, dipval, '*--b');
39 title('Relativ intensitet på bakken');
40 legend('Kathrein 80010621','Enkel dipolmodell');
41 xlabel('meter (m)'); ylabel('I/max(I)');
42 axis([0 2100 0 1.1]);

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Programvedlegg 4
3 %--------------------------------------------------------%
4
5
6 % oppgave 2a
7
8 %--------------------------------------------------------%
9 % Del 1 - Undersøk om [...]
10 %--------------------------------------------------------%
11
12 % Betrakter forflyttning fra t'=0 til t=(n-1)
13 n=2;
14
15 for index=-2:n;
16
17 % Hent data for wavelet
18 [psi t] = morlet(index); % v1.0
19 n = length(psi);
20 fourier = fft(psi,n)/n;
21 y = 0:(n-1);
22 figure(); plot(t, psi);
23 txt=sprintf('Morlet wavelet ved t_m = %.1f',(index));
24 title(txt); legend('\psi(f_a, t_m, K)');
25 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Amplitude');
26
27 % Generer fourierspekter for data
28 %figure(); plot(y(1:50),fourier(1:50), 's-');
29 %txt=sprintf('Fourierspekter for n = %.1f',index);
30 %title(txt);
31
32 % Plott realdel
33 figure();
34 plot(y(1:50),real(fourier(1:50)), '-b');
35
36 % Plott imaginærdel
37 hold('on');
38 plot(y(1:50),imag(fourier(1:50)), '-r');
39
40 % Plott absoluttverdi
41 plot(y(1:50),abs(fourier(1:50)), '-g');
42
43 % Sett på labels o.l. på fourierdata
44 txt=sprintf('Realdel, imaginærdel og absoluttverdi for n = %.1f',index);
45 title(txt); legend('Realdel','Imaginærdel','Absoluttverdi');
46 xlabel('Datanummer'); ylabel('Amplitude');
47 hold('off');
48 end
49
50 %--------------------------------------------------------%
51 % Del 2 - Sjekk også at [...]
52 %--------------------------------------------------------%
53
54 % Omvendt fourier
55 clear all; figure();
56 [y x] = fomorlet(0); % v1.0
57 [psi t] = morlet(0); % v1.0
58 psi2 = abs(fft(psi));
59 n=length(x); % n=length(t)=length(x)

60 array = 0:(n-1); % x-akse
61
62 % Plott resultat
63 plot(array(1:50),y(1:50),'s', array(1:100), psi2(1:100), 's');
64 title('Sammenligning av wavelets'); xlabel('datanummer'); ylabel('Amplitude');
65 legend('Matematisk uttrykk for fourieromvendte \psi','Absoluttverdien til
fourieromvendt \psi');

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Programvedlegg 5
3 %--------------------------------------------------------%
4
5
6 % oppgave 2b
7
8 % Importer data
9 data = load('testdata1.txt');
10 g=zeros(1,length(data));
11 g(1,:) = data(:,1);
12
13 % Variabler
14 fa = 100;
15 N = 2^13;
16 fs = 10000;
17 K = 4;
18 t = N/fs;
19 dt = t/N;
20 tmax = t;
21
22 %--------------------------------------------------------%
23 % % Brute force
24 %--------------------------------------------------------%
25
26 % Tid s1 og beregn for bf
27 ticID = tic;
28 k = 0;
29 for i=1:N
30 [psi t] = morlet(fs,fa,N,K,k,tmax); % v1.1
31 wk(i) = sum(g.*psi);
32 k= k+dt;
33 end
34
35 % Stopp s1
36 s1 = toc(ticID);
37
38 figure();
39 plot(t, wk);
40 title('Brute force'); legend('w_k(t_m,f_a)');
41 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Amplitude');
42 figure();
43 plot(t, abs(wk));
44 title('Brute force'); legend('abs(w_k(t_m,f_a))');
45 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Amplitude');
46
47
48 %--------------------------------------------------------%
49 % % Alternativ transformasjon
50 %--------------------------------------------------------%
51
52 % Tid s2 og beregn for at
53 ticID = tic;
54 fg = fft(g);
55 [psi t] = fomorlet(fs,fa,K,N); % v1.1
56 wk = fg.*psi;
57 wk = ifft(wk);
58
59 % Stopp s2

60 s2 = toc(ticID);
61
62 figure();
63 plot(t, abs(wk));
64 title('Alternativ transformasjon'); legend('Alternativ abs(w_k)');
65 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Amplitude');
66
67 % Vis s1 og s2
68 s1
69 s2
70
71 %--------------------------------------------------------%
72 % % Resultater for s1 og s2
73 %--------------------------------------------------------%
74
75 % s1 = 19.2997
76 % s2 = 0.0020

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Programvedlegg 6
3 %--------------------------------------------------------%
4
5
6 % oppgave 2c
7
8 function waveletanalyse(navn,famin,famax,K,ds,N,nstart,df)
9
10 % navn er filnavnet på filen vi henter data fra (-)
11 % famin er laveste frekvens vi ønsker å analysere (Hz)
12 % famax er høyeste frekvens vi ønsker å analysere (Hz)
13 % K er bølgetallet (-)
14 % ds er nedsamplingsraten, ds = 0 gir ingen nedsampling
15 % N er antall punkter, ved N=0 velges det 1024*32 punkter
16 % nstart er startpunkt i fil
17 % df er antall frekvenser som velges
18 % e.g.: >> waveletanalyse('gjok.wav',0,6000,6,128,0,2^15,4)
19
20 % Data for plott av hele signalet
21 [khel, fs, type] = wavread(navn);
22 t = linspace(0,length(khel)/fs,length(khel));
23
24 % Variabler
25 if N == 0
26 N = 1024*32; % Antall punkter
27 end
28 nslutt = nstart+N-1; % Sluttpunkt i fil
29
30 % Hent data
31 [k, fs, type] = wavread(navn, [nstart nslutt]);
32
33 g = zeros(1,N); % Tom array for en kanal
34 g(1,:) = k(:,1); % Legger inn en kanal
35 %wavplay(g,Fs); % Tester signal
36 %T = N/fs; % Total tid
37 Tstart = nstart/fs; % Starttid
38
39 % plotter hele signalet
40 figure()
41 plot(t,khel(:,1))
42 title('Signalplott'); legend('Lest signal');
43 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Amplitude');
44
45 %--------------------------------------------------------%
46 % % Alternativ transformasjon
47 %--------------------------------------------------------%
48
49 frek = famin:df:famax;
50 frekval = zeros(length(frek),1);
51 data = zeros(length(frek),N);
52 di = 0; % Arrayindeks
53 for index=famin:df:famax
54 fg = fft(g);
55 [psi t] = fomorlet(fs,index,K,N); % v1.1
56 wk = fg.*psi;
57 wk = ifft(wk);
58 di = di + 1; % neste element
59 data(di,:) = sqrt(abs(wk)); % Beregner sqrt(abs)

60 frekval(di) = sum(abs(wk)); % Beregner sum(abs)
61 end
62
63 % Downsampling med korresponderende array
64 if ds < 1
65 g = g(1:ds:length(g));
66 data = data(:,1:ds:N);
67 t = t(1:ds:length(t));
68 end
69
70 % faktor for relativ intensitet
71 frekk = max(frekval);
72 frekrel = frekval/frekk;
73
74 % Dataplott
75 figure(); plot(t+Tstart,g,'-b');
76 title('Signalutsnitt'); legend('Signalutsnitt (monosignal)');
77 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Amplitude');
78 figure(); imagesc(t+Tstart,frek,real(data));
79 title('Alternativ transformasjon'); legend('Alternativ abs(w_k)');
80 xlabel('Tid (s)'); ylabel('Frekvens');
81 figure(); plot(frek,frekrel,'-b');
82 title('Relativ intensitetsprofil'); legend('Relativ intensitet');
83 xlabel('Frekvens'); ylabel('Intensitet');
84 end

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Morlet v1.0, ligning (1) og (2)
3 %--------------------------------------------------------%
4
5 function [psi,t]=morlet(tm)
6
7 % tm er midtpunkt (s)
8
9 % Beregne variabler
10 N = 2^8;
11 fs = 2^10;
12 t = linspace(tm-0.125,tm+0.125,N);
13 K = 4;
14 fa = 65;
15 n = 0:(N-1);
16
17 t = linspace(min(t), max(t), N); % t med hensyn på N
18
19 % Beregne verdier
20 C1 = sqrt((sqrt(2*pi)*fa/(K*fs)));
21 psi = C1*exp(i*2*pi*fa*(t-tm)).*exp(-0.5*(2*pi*fa*(t-tm)/K).^2);
22 end

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Morlet v1.1, ligning (1) og (2)
3 %--------------------------------------------------------%
4
5 function [psi,t]=morlet(fs,fa,N,K,tm,tmax)
6
7 % fs er samplingsfrekvens (Hz)
8 % fa er frekvensen vi ønsker å analysere (Hz)
9 % N er antall punkter (-)
10 % K er bølgetallet (-)
11 % tm er midtpunkt (s)
12
13 % Beregne variabler
14 t = linspace(0,tmax,N);
15 n = 0:(N-1);
16
17 t = linspace(min(t), max(t), N); % t med hensyn på N
18
19 % Beregne verdier
20 C1 = sqrt((sqrt(2*pi)*fa/(K*fs)));
21 psi = C1*exp(i*2*pi*fa*(t-tm)).*exp(-0.5*(2*pi*fa*(t-tm)/K).^2);
22 end

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Fomorlet v1.0, ligning (3) og (4)
3 %--------------------------------------------------------%
4
5 function [psi,t]=fomorlet(tm)
6
7 % tm er midtpunkt (s)
8
9 % Beregne variabler
10 N = 2^8;
11 fs = 2^10;
12 t = linspace(tm-0.125,tm+0.125,N);
13 K = 4;
14 fa = 65;
15 n = 0:(N-1);
16
17 t = linspace(min(t), max(t), N); % t med hensyn på N
18
19 % Beregne verdier
20 C1 = sqrt((sqrt(2*pi)*fa/(K*fs)));
21 C2 = 1/C1;
22 eta = ((K*fs)/((N+1)*fa))*(n-1);
23 psi = C2*exp(-0.5.*(K-eta).^2);
24 end

1 %--------------------------------------------------------%
2 % % Fomorlet v1.1, ligning (3) og (4)
3 %--------------------------------------------------------%
4
5 function [psi,t]=fomorlet(fs,fa,K,N)
6
7 % fs er samplingsfrekvens (Hz)
8 % fa er frekvensen vi ønsker å analysere (Hz)
9 % K er bølgetallet (-)
10 % N er antall punkter (-)
11
12 % Beregne variabler
13 t = N/fs;
14 t = linspace(0,t,N); % t med hensyn på N
15 n = 1:length(t); % generere ny n
16
17 % Beregne verdier
18 C1 = sqrt((sqrt(2*pi)*fa/(K*fs)));
19 C2 = 1/C1;
20 eta = ((K*fs)/((N+1)*fa))*(n-1);
21 psi = C2*exp(-0.5.*(K-eta).^2);
22 end