Elektrisk immittans

Elektrisk immittans
Ørjan G. Martinsen 13.11.2006
Ved analyse av likestrømskretser har vi tidligere lært at hvis vi har to eller flere motstander
koblet i serie, så finner vi den totale resistansen R ved følgende formel:
R = R L+
1 + R2
+ Rn
…1
Hvis motstandene derimot er koblet i parallell, finner vi den totale resistansen R slik:
1 1 1 1
= + + L +
…2
R R R R
1
2
Inversverdien av resistans R kalles i dette tilfellet for konduktans G, og ligning 2 blir da:
G = G + G + L+
G
1
n
1 2
n
…3
Vi ser at det blir enklere uttrykk hvis vi regner med resistans i seriekoblinger og med
konduktans i parallellkoblinger. For likestrømskretser er dette bare av praktisk interesse,
dvs. det er like riktig å bruke resistans som konduktans enten motstandene er i serie eller
parallell, uttrykkene blir bare enklere hvis vi velger slik som nevnt ovenfor.
Når vi utvider til vekselstrømskretser gjelder det samme praktiske hensynet mht. å oppnå
enkle uttrykk. I tillegg skal vi se at dersom den totale resistansen eller konduktansen i de
uttrykkene vi får skal beskrive ”virkelig” resistans eller konduktans i kretsen eller systemet
vi skal gjøre beregninger på, så må vi benytte konduktansverdier for en parallellkobling og
resistansverdier for en seriekobling.
Når vi går fra likestrømskretser til vekselstrømskretser, må vi gå fra:
til:
likestrøms-motstand = 1 / likestrøms-ledningsevne → R = 1 / G
vekselstrøms-motstand = 1 / vekselstrøms-ledningsevne → Z = 1 / Y
Vekselstrøms-motstanden kalles impedans Z og er skrevet med uthevet skrift for å vise at
det er en kompleks størrelse. Det samme gjelder den inverse størrelsen admittans Y.
Begrepet immittans er en fellesbetegnelse på impedans og admittans og har følgelig verken
noe symbol eller måleenhet.
La oss starte med admittansen Y. Den er gitt ved:
Y = G + jB
…4

Realdelen G er konduktans som før og representerer fortsatt ohmsk ledningsevne.
Imaginærdelen B kalles susceptans og er et uttrykk for reaktiv ledningsevne, altså
ledningsevnen i en spole eller kondensator:
−1
Spole : B = Kondensator
: B = ωC
…5
ωL
Vi kan tegne admittansen i det komplekse plan på følgende måte:
Figur 1: Elektrisk admittans forutsetter komponenter i parallell
Vi ser at admittansen er den vektorielle summen av konduktans og susceptans, og dersom
disse to størrelsene skal representere to virkelige komponenter, for eksempel en motstand
og en kondensator, så må de være koblet i parallell slik figuren til høyre viser. Enheten for
både admittans, konduktans og susceptans er siemens S = 1/Ω.
Inversverdien av admittansen kaller vi impedans. Den er gitt ved:
=
1
Y
1
=
G + jB
1 G − jB G − jB
Z = ⋅ =
...6
G + jB G − jB G + B
Z ⇒ 2 2
Realverdien av impedansen kalles resistans R og imaginærverdien kalles reaktans X. Både
impedans, resistans og reaktans har enheten ohm Ω.
Av ligning 6 ser vi at:
G
− B
R = og X =
…7
2 2
2 2
G + B
G + B
og det generelle uttrykket for impedansen blir:
I det komplekse plan ser dette slik ut:
Z = R + jX
…8
2

Figur 2: Elektrisk impedans forutsetter komponenter i serie
En kapasitiv reaktans vil tegnes langs negativ imaginærakse og en induktiv reaktans tegnes
langs positiv imaginærakse. Impedansen er her den vektorielle summen av resistans og
reaktans og følgelig må disse ligge i serie dersom de to størrelsene skal representere
virkelige komponenter.
Vi ser av dette at resistans ikke er det inverse av konduktans og at reaktans ikke er det
inverse av susceptans. Eneste unntak fra dette er ved likestrøm hvor vi i ligning 7 ser at R
blir lik 1/G.
Det inverse av for eksempel resistans er den ohmske ledningsevnen til motstanden i en
seriekobling, men vi kan ikke kalle den konduktans siden dette begrepet er forbeholdt
realdelen av admittansen, som altså representerer en parallellkobling. Det samme gjelder
for reaktans og susceptans.
Eksempel med tre komponenter
Figur 3: Krets med tre komponenter
I figuren over ser vi en krets som består av to motstander og en kondensator. Her er
komponenter både i parallell og serie og det er derfor ikke i utgangspunktet noe riktigere å
velge f.eks. impedans i stedet for admittans. La oss prøve med impedans:
1
−1
Z = R1+
hvor X1
=
…9
1 1
+
ωC1
R2
jX1
3

Hvis vi setter inn for X1 og ordner uttrykket slik at real- og imaginær-del blir separert, får
vi:
Her skal vi legge merke til et par ting:
2
R2
R2
ωC1
Z = R +
− j
…10
1 2
2 ( R2ωC1)
+ 1 ( R2ωC1)
+ 1
Av komponentene i kretsen er det kun kondensatoren som har noen reaktans. Likevel
inngår også R2 i imaginærdelen av den totale impedansen for kretsen. Den totale
impedansen, altså en impedansen vi ville målt med et impedansmeter koblet til kretsen, har
altså en resistans hvor alle tre komponenter inngår og en reaktans hvor R2 og C1 inngår.
Hvis vi skulle finne verdiene av R1, R2 og C1 ut fra målinger på kretsen ville det ikke
holde med målinger på kun én frekvens. Hvor mange frekvenser tror du vi ville trenge?
Hvis vi imidlertid visste at for eksempel R1 var 50 Ω og ønsket å finne verdien av de to
andre komponentene ved hjelp av en enkelt måling, så ville det være to alternative måter å
få til det på:
1. Du klarer å koble deg til med impedansmeteret ditt bare over C1 og R2 og derved
unngå R1 i målingene. Hvis du gjør om det du måler til admittansdata, vil realdelen
direkte være 1/R og imaginærdelen være ωC1, siden de fysisk er koblet i parallell.
2. Du trekker verdien av R1 fra realdelen av impedansen du måler og gjør så om til
admittansverdier. Også nå vil realdelen direkte være 1/R og imaginærdelen være ωC1.
Det siste kan enkelt vises ved å ta ligning 10, trekke fra R1 og gjøre om til admittansverdier
etter samme oppskrift som vist i ligning 6:
2
1
1
( R2ωC1)
+ 1
Y = =
=
…11
2
2
Z − R1 R2
R2
ωC1
R2
− jR2
ωC1
− j
2
2
( R2ωC1)
+ 1 ( R2ωC1)
+ 1
Vi multipliserer så med den kompleks konjugerte av nevneren, forenkler uttrykket og får:
1
Y = + jωC1
…12
R2
Vi kunne brukt samme fremgangsmåte hvis R1 ble skiftet ut med en kjent kondensator. Vi
måtte da ha trukket reaktansen til denne kondensatoren fra imaginærdelen av den målte
impedansen og så regnet om til admittansverdier.
Metoden kan selvfølgelig også benyttes hvis vi har en kjent komponent koblet i parallell
med en ukjent immittans. Da trekker man denne komponentens verdi fra den totale
4

admittansen, før man eventuelt regner om til impedansverdier dersom man vet at de
gjenværende komponentene fysisk er koblet i serie.
La oss tenke oss at komponentene i figur 3 har følgende verdier: R1 = 50 Ω, R2 = 100 Ω
og C1 = 1 µF. Modulen og fasen til impedansen Z vil være gitt av følgende uttrykk:
2 2
X
Z = R + X og ϕ = atan
…13
R
R vil her være realdelen av uttrykket i ligning 10 og X vil være imaginærdelen av det
samme uttrykket. Siden X avhenger av frekvensen f, vil både modul og fase variere med
frekvensen, som følgende plott viser:
|Z|
R
X
150
100
50
10 1
0
150
100
50
10 1
0
20
0
-20
-40
-60
10 2
10 2
10 3
10 4
Frekvens
10 3
10 4
Frekvens
0 50 100
R
150 200
10 5
10 5
10 6
10 6
5
Fasevinkel
X
0
-5
-10
-15
-20
-25
10 1
-30
0
-10
-20
-30
-40
10 1
-50
8
6
4
2
0
x 10 -3
Figur 4: Frekvensrespons for kretsen i figur 3
10 2
10 2
10 3
10 4
Frekvens
10 3
10 4
Frekvens
-2
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
G
Figur 4 viser forløpene til modulen av impedansen, fasevinkelen, resistansen og reaktansen
som funksjon av frekvensen. De to nederste plottene viser reaktans som funksjon av
resistans og tilsvarende susceptans som funksjon av konduktans. Denne typen plott har
mange navn, slik som Nyquist-diagram, Cole-plott og Argand-diagram. Vi skal imidlertid
kalle dem Wessel-diagram etter landmåleren Caspar Wessel (1745-1818) fra Vestby som
presenterte denne typen diagrammer allerede i 1797, ni år før Argand. Studér plottene og se
om du forstår årsaken til kurveformen. Kan du for eksempel forklare hvorfor
maksimalverdien for fasevinkelen ikke inntreffer på samme frekvens som maksimalverdien
B
10 5
10 5
10 6
10 6

for reaktansen? (Tips: Se på Wesseldiagrammet for X(R) – hvor på kurven er
maksimalverdien av X, og hvor er maksimalverdien av fasevinkelen?)
6