Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering

Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering
Sammanfattande bedömning
Samhället ökar sin användning av beräkningar, baserade på mer data, bättre modeller,
nya algoritmer och bättre datorer, till exempel i Google, optimering och prognoser för
väder och risk. Matematik får då nya uppgifter, till exempel att optimalt hantera stora
datamängder, vilka genererar matematiska frågeställningar där beräkningsmatematik
och optimeringslära är centrala. Beräkningsmatematik och optimeringslära spelar en
viktig roll som kunskapsbrygga mellan matematik och andra vetenskaper, som nu
använder mer avancerade och beräkningskrävande modeller. Även i Sverige pågår
mer tillämpad matematikforskning inom högdimensionella problem och hantering av
stora datamängder. Dess tidigare fokus på fysikproblem och kontinuummekanik har
breddats till att omfatta beräkningar i kemi och biologi, med väsentliga inslag av hög
dimension, stokastik och algoritmer för mer parallell datorarkitektur.
Några exempel på forskningsfält i beräkningsmatematik är:
en pålitlig beräkning behöver en skattning av felen från modellen, data och
diskretiseringen; svensk forskning är framstående i sådan a posteriori felanalys
baserad på variationskalkyl;
datorernas kapacitet ökar möjligheterna att lösa svåra beräkningsproblem, men
utvecklingen av snabbare algoritmer för att lösa problem listigare har visat sig
vara minst lika värdefull, bildkompression med wavelets (i mpeg) istället för
med fourierserier (i jpeg) är ett exempel där svensk harmonisk analys lagt
grunderna;
den ökande beräkningskapaciteten gör det möjligt att lösa svårare problem, till
exempel har svensk beräkningsmatematik en framträdande roll för lösning av
problem med flera rums- och tidsskalor och är aktivt inom beräkningar med
stokastik och hantering av högdimensionella problem med hjälp av gleshet.
Ämnesbeskrivning
Beräkningsmatematik och optimering är en metodvetenskap för numeriska
beräkningar och matematisk modellering inom naturvetenskap, teknik och
samhällsvetenskap. Ämnet innehåller inslag av matematisk analys och
algoritmutveckling, studium av matematiska modeller för tillämpningar, numeriska
experiment samt programutveckling.
Några exempel på viktiga beräkningsfrågeställningar som studeras i stor utsträckning
av matematiker är att optimera, att säkert avgöra beräkningars noggrannhet, att
konstruera nya snabbare algoritmer (till exempel baserat på wavelets) och att hantera
osäkerhet i data. I algoritmutvecklingar studeras också frågor som rör utvecklingen av
datorarkitektur, till exempel att konstruera effektiva algoritmer för distribuerade
system och parallelldatorer.
VR-NT:s webbforum januari 2011 – Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering

Beräkningsmatematiken startade med konstruktionen av de första datorerna på
fyrtiotalet. Sveriges satsning på beräkningar var också tidig med den egna datorn
BESK som blev klar 1953. I ett internationellt perspektiv har svensk forskning tidigt
placerat Sverige på en ledande plats i analys och utveckling av metoder för lösning av
differentialekvationer, vilka bildar basen för modellering i naturvetenskap. Sverige
har därför en god position för fortsatt framgång i en ny fas där fokus är mer på
problem i hög dimension, optimering av större problem, mer fundamental
modellering och närmare kontakt med tillämpningar. Beräkningsmatematikens
tidigare fokus på fysikproblem och deterministisk kontinuummekanik breddas nu till
att omfatta beräkningar i kemi och biologi ofta med stokastisk modellering och på att
utveckla nya algoritmer för ny datorarkitektur.
Styrkor svagheter och ämnesmässiga trender
Ett förenklat sätt att beskriva trenden i matematikens samverkan med tillämpningar är
följande. Vid begynnelsen av kvantitativ beskrivning i naturvetenskap av Newton var
matematisk och naturvetenskaplig forskning bedrivet av en och samma person. Djupet
och bredden i matematiken utvecklas hela tiden samtidigt som realismen i
naturvetenskapens modeller förbättras med mer insiktsfull modellering. Det blir då
svårare för en enskild forskare att följa med utvecklingen både i den djupare
generalitet matematik får och i den mer krävande modellering som används i
naturvetenskap. Å andra sidan har forskningen både i matematik och i andra
vetenskaper mycket att vinna på att stimulera varandra, så kontakten mellan dem är
viktig och där ser beräkningsmatematikern typiskt sin forskningsuppgift att aktivt
bidra med ny matematisk modellering och beräkning för att lösa problem.
Förenklat kan det sägas att beräkningsmatematiken i förra århundradet dominerades
av lösning av problem i kontinummekanik och behovet av direktkontakt med
tillämpningar var inte så stort eftersom den matematiska förståelsen av dessa problem
räcker långt. Nu när datorkapaciteten medger mer avancerad modellering krävs också
mer kunskap om tillämpningar för att göra beräkningar. Traditionella beräkningar
sätts också i ett större sammanhang: till exempel istället för att bara beräkna
hållfastheten i en konstruktion söks svar på den svårare frågan att beräkna en optimal
konstruktion som uppfyller givna last och hållfasthetskrav. Detta kräver mer av
beräkningsmatematikern som nu ofta behöver expertkunskap inte bara om
diskretisering av differentialekvationer, utan också om stokastisk modellering och
optimering, tillsammans med god kontakt med vetenskapsområdet för beräkningen,
till exempel i materialvetenskap.
Att beräkningar får allt större genomslag ger beräkningsmatematiken nya
förutsättningar. Även om matematiker dominerade användandet av de tidiga
datorerna, så är det definitivt bara en bråkdel av alla beräkningar som nu görs av
matematiker och många bra idéer om beräkningar kommer från andra än matematiker.
Man kan då undra om det behövs matematiker som arbetar med beräkningar? Svaret
är att beräkningar bara har ett värde om de är pålitliga och därför är i någon mening
matematikens stringens avgörande. Matematiker har också visat att deras insats är
VR-NT:s webbforum januari 2011 – Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering

etydelsefull för att konstruera nya snabbare algoritmer; till exempel visar det sig
matematikernas insats i algoritmutveckling, från direkt Gausseliminering till
avancerade multigridmetoder, har gett lika mycket tidsvinst för lösning av partiella
differentialekvationer som hårdvarans fenomenala utveckling. Svenska exempel på
algoritmutveckling är de första waveletsmetoderna och adaptiva metoder med
inbyggd felkontroll. Beräkningsmatematiken fyller också en viktig roll i samverkan
mellan matematiken och andra vetenskaper, både för att föra ut matematik till andra
vetenskaper och för att fånga in nya frågeställningar till matematiken. Till exempel
söker matematiken och andra vetenskaper metoder för att hantera fler biologiska
fenomen där ny matematisk modellering behövs.
Den traditionella uppdelningen av matematikinstitutioner i separata avdelningar för
matematisk statistik och numerisk analys, som i dess skapande var värdefull för att
bygga upp dessa nya ämnen, kan nu vara hämmande eftersom det är svårare att skilja
frågor om beräkning och osäkerhet i data. Internationellt kan man därför allt oftare se
att matematisk statistik/sannolikhetslära, numerisk analys och optimering ingår som
en enhet i forskarutbildningar i beräkningsmatematik. Kortfattat kan det sägas att en
modern beräkningsmatematiker behöver bredare kunskap än de tidigare stjärnorna
inom området använde. Sverige hänger väl med i denna krävande trend med goda
exempel på beräkningsmatematiker som överbryggar flera områden, men vår
traditionella organisation av separerade avdelningar på universitet behöver vitaliseras,
till exempel med forskarutbildningsprogram som sträcker sig över flera avdelningar
och forskningsråd som stimulerar matematikens samverkan med andra vetenskaper.
Hot och möjligheter
Eftersom beräkningar görs av fler kvantitativa vetenskaper och i större omfattning får
forskningen om beräkningar ökad betydelse; den moderna forskningen i
beräkningsmatematik och optimering kräver ofta djupa kunskaper i tillämpningar och
därmed bredare kompetens. En styrka är beräkningsmatematikens goda teoretiska
grund, speciellt i Sverige. En utmaning är att organisera forskarutbildningen i
tillämpad matematik för att bättre samverka med tillämpningar. En av matematikens
huvudstyrkor är dess generalitet, men det finns som i alla vetenskaper en tendens till
att forskare blir mer specialiserade, medan de stora forskningsfrågorna ofta kräver
bred kompetens. Sådan specialisering pågår överallt och i alla ämnen, inte bara i
Sverige, men ett litet land har i mindre utsträckning råd med många specialiserade
grupper. Kanske är också matematiken mer sårbar för sådan specialisering eftersom
en av dess huvudpoänger är att vara generell. Det finns en lovande trend i bredare
forskarutbildningar i tillämpad matematik i Sverige. Nya lektorer som anställs i
beräkningsmatematik har typiskt utmärkt meritering, med postdok-anställning på
internationellt ledande universitet. Det är viktigt att det svenska
matematikforskningsinstitutet Institut Mittag-Leffler får god finansiering, så att det
även i fortsättningen kan stödja nordisk matematikforskning av internationell hög
klass i utvalda områden. Det är också väsentligt att beräkningsmatematiken är fortsatt
väl förankrad i tvärvetenskapliga forskningssatsningar, till exempel e-science;
VR-NT:s webbforum januari 2011 – Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering

eräkningsmatematiken har en nyckelroll för att åstadkomma samverkan mellan
matematik och andra vetenskaper men också mellan olika vetenskaper, till exempel
för frågeställningar i multifysik med samband mellan strömning och hållfasthet,
mellan kemi, elektromagnetism och mekanik i biologi.
Forskningsinfrastruktur
Storskaliga beräkningar stimulerar matematisk forskning med nya problem, både på
den tillämpade och den fundamentala sidan. Dessa beräkningar bidrar också till ökad
samverkan med andra vetenskaper. Därför är investeringar i superdatorer värdefulla.
Sverige har ett forskningsinstitut för matematik, Institut Mittag-Leffler, som har haft
en fundamental betydelse för utvecklingen av svensk och nordisk matematik genom
sina terminsvisa teman i aktuella matematiska forskningsfält och inbjudan av
världsledande forskare. Institut Mittag-Leffler har en potential att ytterligare öka sin
insats för svensk matematik om det får bättre finansiering för att också inkludera
sommar/vinterskolor, konferenser och doktorandkurser, som skulle stärka nordiska
matematikers kompetens.
VR-NT:s webbforum januari 2011 – Beräkningsmatematik, optimering och matematisk modellering