2.7 Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et ...

2.7 Primtall og primtallsfaktorisering
Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn 1, som ikke er delelig med
andre tall enn 1 og seg selv, altså bare delelig med 1 og p (og egentlig også −1
og −p)
At et tall a er delelig med et tall b betyr at a b
er et er et heltall. For eksempel
er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3 og 15 = 3 · 5 er det
ikke.
Teorem Alle heltall større enn 1 er enten primtall eller de kan skrives som
et produkt av primtall. Det å skrive om heltall til et produkt av primtall kalles
å primtallsfaktorisere
Eksempler:
6 = 2 · 3 456 = 2 · 2 · 2 · 3 · 19 = 2 3 · 3 · 19 44550 = 2 · 3 3 · 5 2 · 11
Tips til primtallsfaktoriseringen:
• Alle partall (tall som ender på 0,2,4,6 eller 8) har 2 som faktor
• Alle tall som ender på 5 eller 0 har 5 som faktor
• Hvis et tall har 3 som faktor, vil siffersummen (finnes ved å legge sammen
sifrene tallet består av) til tallet også ha 3 som faktor. Sagt på en annen
måte, hvis et tall er delelig med 3 er siffersummen det også (og omvendt).
Eksempel: Primtallsfaktoriser 924
Vi ser at 924 er et partall og vi kan derfor skrive 924 = 2 · 464 (Vi finner 464
ved å dele 924 på 2).
Videre er 464 et partall og vi finner derfor at 464 = 2 · 231.
231 er derimot ikke et partall. Det slutter heller ikke på 5, så vi vet at det ikke
har 2 eller 5 som faktorer. Men siffersummen til 231 (2 + 3 + 1 = 6) er delelig
på 3, derfor må 231 være det. Vi finner at 231 = 3 · 77.
77 = 7 · 11 som begge er primtall. Det gir denne primtallsfaktoriseringen.
924 = 2 · 464 = 2 2 · 231 = 2 2 · 3 · 77 = 2 2 · 3 · 7 · 11
Nyttige anvendelser av primtallsfaktorisering når det gjelder brøk:
Hvis a b
skal bli et heltall må a inneholde alle primtallsfaktorene til b.
Hvis a b
skal kunne forkortest må primtallsfaktoriseringen av tallene ha minst en
felles faktor.
Eksempler:
Hva blir 648
108
Vi primtallsfaktoriserer teller og nevner og får
648
108 = 23 · 3 4
2 2 · 3 3 = 2 · 3 = 6
Legg merke til at alle faktorene som er i 108 også er i 648.
Hva blir 495
616
Vi primtallsfaktoriserer teller og nevner og får
495
616 = 32 · 5 · 11
2 3 · 7 · 11 = 32 · 5
2 3 · 7 = 45
56
1

Hva blir 117
88 117
88 = 32 · 13
2 3 · 11
Siden teller og nevner etter primtallsfaktoriseringen ikke inneholder noen felles
faktor, kan ikke brøken forkortes.
Primtallsfaktorisering kan også brukes til å finne minste fellesnevner for to
brøker.
Eksempel: Hva er 7
60 + 13
84
Alternativ 1: Vi kan gange nevnerne med hverandre for å få en fellesnevner.
7
60 + 13
84 = 7 · 84 13 · 60 588 + 780
+ = = 1368
60 · 84 84 · 60 60 · 84 5040
for så å forkorte ned denne brøken.
Alternativ 2: Vi primtallsfaktoriserer nevnerne først
7
60 + 13
84 = 7
2 2 · 3 · 5 + 13
2 2 · 3 · 7
Vi ser nå at vi bare trenger utvide den ene brøken med 7 og den andre med 5
for å få felles nevner
7
2 2 · 3 · 5 + 13
2 2 · 3 · 7 = 7 · 7
2 2 · 3 · 5 · 7 + 13 · 5 49 + 65
2 2 = · 3 · 7 · 5 2 2 · 3 · 5 · 7 = 114
2 2 · 3 · 5 · 7
Nå slipper vi å ha unødvendig store tall i teller og nevner, og i tillegg er nevneren
alt primtallsfaktorisert, så det er lettere å forkorte brøken
114
2 2 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 · 19
2 2 · 3 · 5 · 7 = 19
2 · 5 · 7 = 19
70
Primtallsfaktorisering kan også være nyttig når det gjelder potensregning (inkl.
regning med rottegn):
Eksempler
48 2
6 4 = (24 · 3) 2
(2 · 3) 4 = 28 · 3 2
2 4 · 3 4 = 28−4 · 3 2−4 = 2 4 · 3 −2 = 16 9
√
18 ·
4 √ 2500 = (2 · 3 2 ) 1 2 · (22 · 5 4 ) 1 4 = 2
1
2 · 3 · 2
1
2 · 5 = 2 · 3 · 5 = 30
√ √ √
56a + 126 23 · 7a + √ 2 · 3
√ =
2 · 7
√ = 2√ 2 · 7a + 3 √ √
2 · 7 2 · 7(2a + 3)
350 2 · 7 · 5
2
5 √ =
2 · 7
5 √ = 2a + 3
2 · 7 5
2

Oppgave 2.5 - Bruk av kalkulator I den følgende oppgaven, er først et
regnestykke gitt, og så et forslag til hvordan det skal tastes inn på kalkulator.
Finn feilen i disse forslagene og skriv opp hvordan disse stykkene burde skrives
inn påå kalkulator.
Eksempel: √ 2 · 50 Kalkulatorforslag: √ 2 × 50
Feilen med forslaget er at nå blir roten bare tatt av det første tallet (tilsvarer
stykket √ 2 · 50 ≈ 70.71). Riktig inntasting på kalkulator skal være √ (2 × 50)
(som forresten er lik 10).
1. Finn feilen
(a) 5+17+4−2+31−16
5
Kalkulatorforslag: 5 + 17 + 4 − 2 + 31 − 16 ÷ 5
(b) 64−38
5+11
Kalkulatorforslag: 64 − 38 ÷ 5 + 11
35
(c)
16·6
Kalkulatorforslag: 35 ÷ 16 × 6
12+5
(d) (16+31) :
70−31
Kalkulatorforslag: (16+31)÷(12+5)÷(70−31)
(e) Få kalkulatoren til å forkolte 9720
24840
for deg. Kalkulatorforslag:
Oppgave 2.6 - Primtallsfaktorisering
1. Primtallsfaktoriser tallene
(a) 216
(b) 825
(c) 1035
(d) 3773
2. Løs oppgavene ved hjelp av primtallsfaktorisering (ikke bruk kalkulator,
løsningene fra oppgavene over kan være nyttige)
(a) 3√ 216
(b) √ 56 · 7
√
(c)
27
825
(d) 23x−69
1035
(e)
1
49 + 23
3773
(f)
5
56 − 3
40
(g)
5
18p + 8
45q
(h) √ 6x− √ 27 √
75
3

Oppgave 3.6 - manipulering av formler Snu om på formlene, slik at den
oppgitte variabelen står alene på den ene siden. Eksempel: y = ax + b, finn en
formel for a, når x ≠ 0.
1. Snu om på formlene
y = ax + b ⇔ y − b = ax ⇔ a = y − b
x
(a) v = s t
, finn en formel for t
(b) F = k Qq
r
, finn en formel for q
2
(c) F = G Mm
r
, finn en formel for r, r > 0
2
(d) 1 R = 1 R 1
+ 1 R 2
, finn en formel for R.
(e) s = vt + 1 2 at2 , finn en formel for t, alle variabler større enn 0.
(f) y = e kx , finn en formel for k (du trenger materiale fra kap 5 for å
løse denne)
4

Fasitt
Oppgave 2.5 - Bruk av kalukator
1. Riktig måte å skrive ting inn på kalkulator er
(a) (5 + 17 + 4 − 2 + 31 − 16) ÷ 5
(b) (64 − 38) ÷ (5 + 11)
(c) Enten 35(÷16 × 6) eller 35 ÷ 16 ÷ 6
(d) Enten (16+31)÷((12+5)÷(70−31)) eller (16+31)÷(12+5)×(70−31)
(e) Skriv inn 9720⊥24840. ⊥ tegnet kommer ved å trykke på brøktasten
på kalkulatoren (merket a b c
). Få noen til å lære deg å bruke den hvis
du ikke kan med den.
Oppgave 2.6 - Primtallsfaktorisering
1. Primtallsfaktoringen er
(a) 216 = 2 3 · 3 3
(b) 825 = 3 · 5 2 · 11
(c) 1035 = 3 2 · 5 · 23
(d) 3773 = 7 3 · 11
2. Løsning
(a) 6
(b) 14 √ 2
3
(c)
5 √ = 3√ 11
11 55
(d) x−3
45
(e)
100
3773
(f)
1
70
(g) 25q+16p
90pq
(h) √ 2x−3
5
Oppgave 3.6 - manipulering av formler
1. De riktige formlene
(a) t = s v
(b) q = F r2
(c) r =
kQ
√
GMm
F
(d) R = R1R2
R 1+R 2
(e) t = −v+√ v 2 +2as
a
(f) k = ln y
x
5