MC538/MC548 - Análise de Algoritmos II Lista de Exerc´ıcios 1

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5. Considere o seguinte problema: dados n intervalos na reta real, definidos pelos seus pontos de início e de fim, projete um algoritmo que lista todos os intervalos que estão contidos dentro de pelo menos um dos outros intervalos passados na entrada. O seu algoritmo deve ter complexidade O(n log n). 6. Denote porMAX o problema do exercício 4 e porINTERVAL o problema do exercício 5. Encontre uma redução de complexidade linear de MAX para INTERVAL. É possível usar o algoritmo desenvolvido no exercício anterior e a redução proposta por você para projetar um algoritmo para MAX ? Em caso afirmativo, como se compara a complexidade deste algoritmo com a do algoritmo do exercício 4 ? 7. Encontre uma redução de complexidade linear de INTERVAL para MAX. 8. Usando o conceito de dominância entre pontos do exercício 4, pode-se definir os Paretos de um dado conjunto não vazio de pontos P = {p1, . . .,pn} no plano da seguinte forma: (i) o Pareto 1 de P, denotado por P1, é o conjunto de pontos maximais de P; (ii) para i ≥ 2, o Pareto i de P, denotado por Pi, é o conjunto de pontos maximais de P \ (P1 ∪ . . . ∪ Pi−1). Chamemos de índice de Pareto de P o maior valor de i para o qual o Pareto i é não vazio. Denotemos por i(P) este valor. Dado um conjunto P como acima, considere o problema de encontrar os i(P) primeiros Paretos de P. Projete um algoritmo O(n log n) para este problema. 9. Encontre uma redução polinomial do problema de ordenação de um vetor de n elementos para o problema PARETO do exercício anterior. A sua redução deve ter complexidade O(n). Pergunta-se: esta redução prova que o algoritmo do exercício anterior é ótimo (do ponto de vista de complexidade computacional) ? Justifique sua resposta. 10. Uma matriz quadrada é dita ser triangular inferior (superior) se todos os seus elementos não nulos estiverem na diagonal principal ou abaixo (acima) dela. Seja MMIS o problema de multiplicar uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior e MMA o problema de multiplicar duas matrizes quadradas arbitrárias. Seja T(n) a complexidade de um algoritmo ótimo para resolver MMIS quando as matrizes passadas na entrada tem dimensão n×n. Suponha que T(cn) ∈ O(T(n)) para toda constante c > 0. Mostre que MMIS é pelo menos tão difícil quanto MMA no sentido de que ambos têm a mesma cota inferior (supondo o modelo de computação usual). 11. Seja S um conjunto de n pontos distintos do plano. Seja G = (V, E) o grafo completo onde cada vértice de corresponde a um ponto de S (ou seja, V = S). Além disso, suponha que para cada aresta (u, v) em E está associado um custo c(u, v) igual à distância euclideana entre os pontos u e v em S. Mostre que o problema de encontrar a árvore geradora mínima em um grafo G deste tipo tem cota inferior Ω(n log n). 2
12. Considere dados um grafo orientado G = (V, E), um vértice especial s em V e custos c(v) ≥ 0 para cada vértice v em V . Suponha que o custo de um caminho orientado representado pela seqüência de vértices (s, x1, x2, . . .,xk, v) seja dado por k i=1 c(xi), ou seja, o custo de um caminho é a soma do custo dos seus vértices internos. Assim, se (s, v) é uma aresta do grafo, o custo deste caminho é zero. Deseja-se encontrar um caminho de custo mínimo de s para todos os vértices de V \ {s}. Projete um algoritmo de complexidade polinomial para este problema usando uma redução que envolva o problema do caminho mais curto em grafos com custos nas arestas (veja por exemplo U. Manber, Introduction to Algorithms: A Creative Approach, Addison Wesley, 1989, seção 7.5). 13. Um emparelhamento em um grafo não orientado G é um subconjunto de arestas sem pontas em comum. Um emparelhamento é máximo se tem o maior número possível de arestas. O problema do emparelhamento máximo em grafos bipartidos (EMGB) consiste em dado um grafo bipartido G encontrar um emparelhamento máximo em G. Dados vértices s e t em um grafo não orientado, dizemos que uma coleção P1, P2, . . .,Pk de caminhos com início em s e final em t é disjunta se para quaisquer caminhos Pi e Pj, os únicos vértices em comum desses são exatamente s e t. O problema dos caminhos disjuntos (CD) consiste em dados um grafo G e vértices s e t em G encontrar uma coleção disjunta máxima de caminhos. Mostre que EMGB é redutível em tempo polinomial a CD. Dica: Humm. . . Onde colocar os vértices s e t ? 14. Seja G = (V, E) um grafo não orientado tal que pra cada vértice v do grafo temos associado uma função b(v) ≤ g(v), onde g(v) é o grau de v em G. Um b-emparelhamento é um subgrafo B de G tal que cada vértice v tem grau exatamente b(v) em B. Em particular, quando b(v) = 1 para todo v ∈ V , temos o problema do emparelhamento perfeito. Reduza o problema de verificar se um grafo tem um b-emparelhamento ao problema de verificar se um grafo tem um emparelhamento perfeito. Dica: Dado o grafo G = (V, E), considere o seguinte grafo G ′ construído como segue. Para cada v ∈ V crie g(v) − b(v) vértices, v1, . . .,v g(v)−b(v). Se (u, v) é uma aresta de G, então (1) crie os vértices euv e evu. Esses são os vértices de G ′ . As arestas são as seguintes: para cada (u, v) em G, (1) crie uma aresta (euv, evu), (2) crie as arestas (evu, vi) para i = 1, 2, . . .,g(v) −b(v) e (3) as arestas (euv, uj) para j = 1, 2, . . .,g(u) −b(u). Mostre que G tem um b-emparelhamento se e somente se G ′ tem um emparelhamento perfeito. 3
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