MC538/MC548 - Análise de Algoritmos II Lista de Exerc´ıcios 1

MC538/MC548 - Análise de Algoritmos II
Lista de Exercícios 1
1. Sejam P1 e P2 dois problemas tais que P1 ∝n P2 e suponha que P1 tem cota inferior Ω(n log n),
onde n é um parâmetro que mede o tamanho da entrada do problema P1. Quais das seguintes
afirmações são verdadeiras ? Justifique cuidadosamente as suas respostas.
(a) Ω(n log n) também é cota inferior para P2.
(b) Todo algoritmo que resolve P1 também pode ser usado para resolver P2.
(c) Todo algoritmo que resolve P2 também pode ser usado para resolver P1.
(d) O problema P2 pode ser resolvido no pior caso em tempo O(n log n).
2. Sejam P1 e P2 dois problemas tais que um deles tenha cota inferior Ω(n k ), para algum k > 1,
num modelo computacional M e o outro é solúvel em tempo O(n log n) no mesmo modelo
computacional M. Se P1 é redutível a P2 em tempo linear, decida qual é qual. O parâmetro
n denota o tamanho da entrada dos dois problemas.
3. A idéia deste exercício é entender porque em geral é fácil reduzir (Turing) um problema de
otimização para sua versão de decisão. Considere o problema da Árvore Geradora Mínima
(AGM):
Dado um grafo não orientado G = (V, E) com custos inteiros nas arestas, encontrar
uma árvore geradora de custo mínimo de G.
Considere agora a versão de decisão (AGMdec) do mesmo:
Dados um grafo G = (V, E) com custos nas arestas e um número W, decidir se
existe uma árvore geradora em G de custo menor ou igual a W (a resposta é SIM
ou N~AO.)
Suponha que n e m denotam o número de vértices e arestas de G e que os valores absolutos
dos custos são limitados por um valor C. Suponha que você tem à disposição um algoritmo
polinomial Alg que resolve AGMdec.
(a) Mostre, usando Alg, como determinar o custo de uma árvore geradora mínima de G em
tempo polinomial em n, m e log C.
(b) Mostre, usando Alg e o custo de uma árvore geradora mínima determinada em (a), como
encontrar uma árvore geradora mínima de G em tempo polinomial.
(c) Conclua que AGM ∝poli AGMdec.
4. Diz-se que um ponto p = (xp, yp) do plano domina um outro ponto distinto q = (xq, yq) do
plano se xp ≥ xq e yp ≥ yq. Um ponto p é maximal em relação a um conjunto de pontos S
se p ∈ S e nenhum ponto de S domina p.
Projete um algoritmo de complexidade O(n log n) para encontrar todos os pontos maximais
de um conjunto P contendo n pontos distintos no plano.
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5. Considere o seguinte problema: dados n intervalos na reta real, definidos pelos seus pontos
de início e de fim, projete um algoritmo que lista todos os intervalos que estão contidos
dentro de pelo menos um dos outros intervalos passados na entrada. O seu algoritmo deve
ter complexidade O(n log n).
6. Denote porMAX o problema do exercício 4 e porINTERVAL o problema do exercício 5. Encontre
uma redução de complexidade linear de MAX para INTERVAL.
É possível usar o algoritmo desenvolvido no exercício anterior e a redução proposta por você
para projetar um algoritmo para MAX ? Em caso afirmativo, como se compara a complexidade
deste algoritmo com a do algoritmo do exercício 4 ?
7. Encontre uma redução de complexidade linear de INTERVAL para MAX.
8. Usando o conceito de dominância entre pontos do exercício 4, pode-se definir os Paretos de
um dado conjunto não vazio de pontos P = {p1, . . .,pn} no plano da seguinte forma:
(i) o Pareto 1 de P, denotado por P1, é o conjunto de pontos maximais de P;
(ii) para i ≥ 2, o Pareto i de P, denotado por Pi, é o conjunto de pontos maximais de
P \ (P1 ∪ . . . ∪ Pi−1).
Chamemos de índice de Pareto de P o maior valor de i para o qual o Pareto i é não vazio.
Denotemos por i(P) este valor.
Dado um conjunto P como acima, considere o problema de encontrar os i(P) primeiros
Paretos de P. Projete um algoritmo O(n log n) para este problema.
9. Encontre uma redução polinomial do problema de ordenação de um vetor de n elementos
para o problema PARETO do exercício anterior. A sua redução deve ter complexidade O(n).
Pergunta-se: esta redução prova que o algoritmo do exercício anterior é ótimo (do ponto de
vista de complexidade computacional) ? Justifique sua resposta.
10. Uma matriz quadrada é dita ser triangular inferior (superior) se todos os seus elementos
não nulos estiverem na diagonal principal ou abaixo (acima) dela.
Seja MMIS o problema de multiplicar uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular
superior e MMA o problema de multiplicar duas matrizes quadradas arbitrárias.
Seja T(n) a complexidade de um algoritmo ótimo para resolver MMIS quando as matrizes
passadas na entrada tem dimensão n×n. Suponha que T(cn) ∈ O(T(n)) para toda constante
c > 0.
Mostre que MMIS é pelo menos tão difícil quanto MMA no sentido de que ambos têm a mesma
cota inferior (supondo o modelo de computação usual).
11. Seja S um conjunto de n pontos distintos do plano. Seja G = (V, E) o grafo completo onde
cada vértice de corresponde a um ponto de S (ou seja, V = S). Além disso, suponha que para
cada aresta (u, v) em E está associado um custo c(u, v) igual à distância euclideana entre os
pontos u e v em S.
Mostre que o problema de encontrar a árvore geradora mínima em um grafo G deste tipo tem
cota inferior Ω(n log n).
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12. Considere dados um grafo orientado G = (V, E), um vértice especial s em V e custos c(v) ≥ 0
para cada vértice v em V . Suponha que o custo de um caminho orientado representado pela
seqüência de vértices (s, x1, x2, . . .,xk, v) seja dado por k i=1 c(xi), ou seja, o custo de um
caminho é a soma do custo dos seus vértices internos. Assim, se (s, v) é uma aresta do grafo,
o custo deste caminho é zero.
Deseja-se encontrar um caminho de custo mínimo de s para todos os vértices de V \ {s}.
Projete um algoritmo de complexidade polinomial para este problema usando uma redução
que envolva o problema do caminho mais curto em grafos com custos nas arestas (veja por
exemplo U. Manber, Introduction to Algorithms: A Creative Approach, Addison Wesley, 1989,
seção 7.5).
13. Um emparelhamento em um grafo não orientado G é um subconjunto de arestas sem pontas
em comum. Um emparelhamento é máximo se tem o maior número possível de arestas. O
problema do emparelhamento máximo em grafos bipartidos (EMGB) consiste em dado um grafo
bipartido G encontrar um emparelhamento máximo em G.
Dados vértices s e t em um grafo não orientado, dizemos que uma coleção P1, P2, . . .,Pk de
caminhos com início em s e final em t é disjunta se para quaisquer caminhos Pi e Pj, os
únicos vértices em comum desses são exatamente s e t. O problema dos caminhos disjuntos
(CD) consiste em dados um grafo G e vértices s e t em G encontrar uma coleção disjunta
máxima de caminhos.
Mostre que EMGB é redutível em tempo polinomial a CD.
Dica: Humm. . . Onde colocar os vértices s e t ?
14. Seja G = (V, E) um grafo não orientado tal que pra cada vértice v do grafo temos associado
uma função b(v) ≤ g(v), onde g(v) é o grau de v em G. Um b-emparelhamento é um subgrafo
B de G tal que cada vértice v tem grau exatamente b(v) em B. Em particular, quando
b(v) = 1 para todo v ∈ V , temos o problema do emparelhamento perfeito. Reduza o problema
de verificar se um grafo tem um b-emparelhamento ao problema de verificar se um grafo tem
um emparelhamento perfeito.
Dica: Dado o grafo G = (V, E), considere o seguinte grafo G ′ construído como segue. Para
cada v ∈ V crie g(v) − b(v) vértices, v1, . . .,v g(v)−b(v). Se (u, v) é uma aresta de G, então
(1) crie os vértices euv e evu. Esses são os vértices de G ′ . As arestas são as seguintes:
para cada (u, v) em G, (1) crie uma aresta (euv, evu), (2) crie as arestas (evu, vi) para i =
1, 2, . . .,g(v) −b(v) e (3) as arestas (euv, uj) para j = 1, 2, . . .,g(u) −b(u). Mostre que G tem
um b-emparelhamento se e somente se G ′ tem um emparelhamento perfeito.
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