Doctoral Thesis - Optimize - UFRJ

ALGORITMOS PARA PROBLEMAS DE COMPLEMENTARIDADE N ÃO
LINEAR
Sandro Rodrigues Mazorche
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇ ÃO
DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Aprovada por:
Prof. José Herskovits Norman, D. Ing.
Prof. Fernando Pereira Duda, D. Sc.
Prof a . Susana Scheimberg de Makler, D. Sc.
Prof a . Claudia Alejandra Sagastizábal, D. Habil.
Prof. Anatoli Leontiev, D. Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2007

MAZORCHE, SANDRO RODRIGUES
Algoritmos para Problemas de
Complementaridade Não Linear [Rio de
Janeiro] 2007
vii, 132 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
D.Sc., Engenharia Mecânica, 2007)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Problema de Complementaridade.
2. Otimização não linear.
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
ii

Agradecimentos
Ao professor Herskovits, pela orientação e pelo grande apoio para a realização
deste trabalho.
A CAPES/PQI pelo apoio financeiro.
Ao corpo docente do Programa de Engenharia Mecânica.
Ao grande amigo Alfredo Canelas Botta, o qual trabalhou comigo muitas horas
na frente do quadro, agradeço a ele pelas valiosas observações e comentários.
Ao apoio dos colegas e amigos do Laboratório Optimize: Paulo, Veranise,
Evandro, Passarella, Moisés, Gabriel, Miguel , Marcelo e Henry.
Ao pessoal administrativo do Programa de Engenharia Mecânica.
Aos meus queridos pais, Dálber e Marlene, minha irmã Aline e seu marido André
pelo carinho, incentivo e apoio constantes.
A minha amada família esposa Flávia e filhas Maria Julia e Eduarda que me
apoiaram em todos os momentos.
Às pessoas que colaboraram de forma direta ou indireta, por meio de incentivo,
confiança e troca de experiências.
iii

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
ALGORITMOS PARA PROBLEMAS DE COMPLEMENTARIDADE N ÃO
Orientador: José Herskovits Norman
Programa: Engenharia Mecânica
LINEAR
Sandro Rodrigues Mazorche
Dezembro/2007
Esta tese apresenta novas técnicas de ponto interior para resolver problemas de
complementaridade não linear. Os algoritmos FDA-NCP, para complementaridade,
e FDA-MNCP, para complementaridade mista, geram uma seqüência de pontos que
verificam as desigualdades dos respectivos problemas e que decresce monotonamente
o valor de uma função potencial convenientemente definida. Para ambos algoritmos
são demonstrados resultados de convergência global e assintótica. São apresentados
resultados numéricos para diversos problemas testes da literatura e problemas
clássicos da engenharia mecânica. Estes resultados concordam com a análise
assintótica de convergência e indicam que os algoritmos propostos são eficientes
e robustos.
iv

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)
ALGORITHMS FOR NONLINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEMS
Advisor: José Herskovits Norman
Department: Mechanical Engineering
Sandro Rodrigues Mazorche
December/2007
This thesis presents new developed interior-point techniques for nonlinear
complementarity problems. The algorithms FDA-NCP, for complementarity, and
FDA-MNCP, for mixed complementarity, define a sequence of points that verify
the problem inequalities and reduce monotonically a suitable potential function.
Results about global and asymptotic convergence are obtained for both algorithms.
Numerical results obtained for several benchmark problems and some classical
problems in mechanical engineering are presented. These results agree with the
asymptotic analysis and show that the proposed algorithms are efficient and robust.
v

Índice
1 Introdução 1
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Conceitos básicos para problemas de otimização . . . . . . . . 4
1.1.2 Buscas lineares inexatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Condições de otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 O método de Newton para equações . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Problema de Complementaridade . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Métodos para Resolução de Problemas de Complementaridade 14
2.1 Método baseado em Problemas de Minimização - Funções de Mérito . 15
2.2 Método baseado em Sistemas de Equações - Função-NCP . . . . . . . 16
2.2.1 Método de Suavização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Método de Ponto Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Método tipo Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Um Algoritmo de Ponto Interior Viável para NCP 22
3.1 Idéias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Descrição do Algoritmo FDA-NCP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Convergência Global do FDA-NCP 30
4.1 Resultados de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Problema de Complementaridade Mista 39
5.1 Idéias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Descrição do Algoritmo FDA-MNCP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
vi

5.3 Convergência Global para FDA-MNCP . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Análise de Convergência Assintótica 51
6.1 Resultados de Convergência Assintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Usando FAIPA para Resolver NCP 55
7.1 FAIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Descrição do Algoritmo FAIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Reformulando NCP com Problema de Minimização com Restrição . . 60
7.4 Uma nova atualização de λ no FAIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 Problema de Complementaridade Reformulado 67
8.1 Reformulando o Problema de Complementaridade . . . . . . . . . . . 68
9 Resultados Numéricos 72
9.1 Coletânea de Problemas de Complementaridade . . . . . . . . . . . . 73
9.2 Casos especiais para FDA-NCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3 Problemas de Complementaridade Mista . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10 Aplicações - Inequações Variacionais 102
10.1 O Problema do Obstáculo em duas dimensões . . . . . . . . . . . . . 105
10.2 Problema clássico de infiltração em meio poroso . . . . . . . . . . . . 108
10.3 Problema de Elasticidade Linear com Contato . . . . . . . . . . . . . 111
10.3.1 Modelo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.3.2 Modelo de Elementos de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . 117
11 Conclusões 124
Bibliografia 126
vii

Capítulo 1
Introdução
Os problemas de complementaridade estão presentes em várias aplicações [17] da
Engenharia, Economia e outras ciências em geral. Em Engenharia Mecânica nós
mencionamos os problemas de sólidos em contato e dinâmica Multi-Corpo.
Neste trabalho apresentaremos um algoritmo de pontos interiores para
a resolução numérica de problemas de complementaridade (FDA-NCP). O
algoritmo proposto aqui segue a filosofia do algoritmo FAIPA [26] com respeito
a geração da seqüência de pontos viáveis que converge a solução do problema de
complementaridade. Esta seqüência de pontos tem a propriedade de verificar uma
condição de viabilidade e uma condição de decrescimento para função potencial
associada ao problema de complementaridade. Veremos resultados de convergência
global para o algoritmo e uma variação deste para problemas de complementaridade
mista (FDA-MNCP). Mostraremos a que taxa de convergência de ambos os
algoritmos é superlinear e/ou quadrática sobre certas condições. Implementaremos
o FAIPA para resolver o problema de complementaridade e ainda proporemos
uma nova atualização para os multiplicadores de Lagrange para o problema
de minimização com restrições associado ao problema de complementaridade.
Verificaremos ainda que através desta atualização é possível aplicar uma busca
em arco no FDA-NCP. Também proporemos uma reformulação no problema de
complementaridade para facilitar a obtenção de um ponto inicial estritamente
viável. E por fim realizaremos vários testes numéricos e algumas aplicações para
1

mostrar a eficiência dos algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP.
O trabalho é dividido em dez capítulos. No primeiro capítulo apresentaremos
definições e resultados básicos para o entendimento do assunto aqui tratado. No
segundo capítulo veremos uma breve apresentação de métodos e técnicas utilizadas
para a resolução numérica do problema de complementaridade.
No terceiro capítulo apresentaremos a filosofia de funcionamento do FDA-NCP
e resultados que apontam que a seqüência gerada esta contida na região viável.
Uma descrição do algoritmo FDA-NCP também é apresentada neste capítulo,
destacaremos a estrutura do FDA-NCP para gerar pontos viáveis e verificaremos
que a direção obtida é viável e de descida para uma função potencial associada ao
problema de complementaridade.
No quarto capítulo mostraremos a convergência global para o FDA-NCP.
Resultados sobre a limitação da direção de busca, que a direção de busca é um
campo uniformemente viável na região viável e que o passo da busca linear é finito
e não nulo serão demonstrados.
No quinto capítulo apresentaremos uma extensão do algoritmo FDA-NCP para
problemas de complementaridade mista, o algoritmo FDA-MNCP. Uma descrição
do algoritmo FDA-MNCP será apresentada bem como os correspondentes resultados
de convergência global.
No sexto capítulo será mostrado que ambos os algoritmos possuem um esquema de
iteração do tipo Newton Amortecido e assim, sobre certas condições, terão taxa de
convergência superlinear e/ou quadrática.
No sétimo capítulo descreveremos o algoritmo FAIPA e o aplicaremos no problema
de complementaridade. Também veremos que é possível tomar uma nova regra
de atualização para os multiplicadores de Lagrange no algoritmo FAIPA. E esta
nova regra de atualização permitirá, através de manipulações algébricas, chegarmos
a sistemas lineares idênticos ao do algoritmo FDA-NCP. Com isso usaremos esta
nova regra de atualização para o FAIPA e ainda utilizaremos para o FDA-NCP
uma busca em arco motivado nestas mudanças.
No oitavo capítulo apresentaremos uma reformulação no problema de
2

complementaridade afim de facilitar a obtenção de um ponto inicial estritamente
viável para o problema reformulado sem precisar alterar a estrutura do algoritmo.
No nono capítulo temos os resultados numéricos com respeito aos algoritmos de
complementaridade e complementaridade mista. Um conjuntos de problemas testes
será usado para verificar o desempenho dos algoritmos de complementaridade onde
comparamos o FDA-NCP com outros algoritmos de complementaridade e com o
FAIPA nas duas versões.
O décimo capítulo é composto por aplicações a inequações variacionais, que são
os seguintes problemas: O Problema do obstáculo, O Problema do Dique e O
Problema de Elasticidade linear com Contato sem atrito.
O décimo primeiro capítulo é destinado as conclusões do trabalho e propostas de
continuidade de estudo e pesquisa.
3

1.1 Preliminares
Neste capítulo apresentaremos resultados que consideramos pertinentes para a
compreensão dos próximos capítulos. Aqui apresentaremos definições e resultados
que ajudaram a formar uma base de conhecimento para tratarmos do problema em
questão que é elaboração do algoritmo FDA-NCP bem como seus resultados de
convergência.
1.1.1 Conceitos básicos para problemas de otimização
Seja, um problema de otimização não linear:
min f(x)
Sujeito a: gi(x) ≤ 0 ; i = 1, 2, ..., m
e hi(x) = 0 ; i = 1, 2, ..., p,
(1.1)
onde temos f : IR n → IR, g : IR n → IR m e h : IR n → IR p são funções
suaves em IR n e pelo menos uma destas funções é não-linear. Uma restrição
de desigualdade é dita “ativa”se gi(x) = 0 e Inativa se gi(x) < 0. Denotamos
g(x) = [g1(x), g2(x), ..., gm(x)] t e h(x) = [h1(x), h2(x), ..., hp(x)] t , assim nos temos
1.2.
min f(x)
Sujeito a: g(x) ≤ 0
e h(x) = 0.
(1.2)
Veremos agora algumas definições dirigidas ao problema de otimização não linear
Definição 1.1.1 Um ponto x ∗ ∈ Ω ⊂ IR n é dito Mínimo Local (ou Mínimo
Relativo) de f sobre Ω se existe uma vizinhança V ≡ {x ∈ Ω / x − x ∗ ≤ δ}
tal que f(x) ≥ f(x ∗ ) para qualquer x ∈ V . Se f(x) > f(x ∗ ) para todo x ∈ V ,
x = x ∗ , então dizemos que x ∗ é um Mínimo Local Estrito.
Definição 1.1.2 Um ponto x ∗ ∈ Ω ⊂ IR n é dito Mínimo Global (ou Mínimo
Absoluto) de f sobre Ω se f(x) ≥ f(x ∗ ) para qualquer x ∈ Ω. Se f(x) > f(x ∗ )
para todo x ∈ Ω \ {x ∗ }, então dizemos que x ∗ é um Mínimo Global Estrito.
4

A maioria dos métodos de Programação Não Linear (PNL) são iterativos. Dado
um ponto inicial x 0 , uma seqüencia de pontos, {x k }, é obtida por repetidas aplicações
de uma regra algoritmica. Esta seqüência deve convergir a uma solução x ∗ do
problema. A convergência é dita assintótica quando a solução não é atingida antes
de um numero finito de iterações.
Definição 1.1.3 Um algoritmo iterativo é dito ser globalmente convergente se para
qualquer ponto inicial x 0 ∈ IR n (ou x 0 ∈ Ω) este gera uma seqüencia de pontos que
converge a uma solução do problema.
Definição 1.1.4 Um algoritmo iterativo é dito ser localmente convergente se existe
ɛ > 0 tal que para qualquer ponto inicial x 0 ∈ IR n (ou x 0 ∈ Ω) que verifica
x 0 −x ∗ ≤ ɛ, a seqüência gerada de pontos converge para uma solução do problema.
Agora segue uma definição que introduz um critério para medir a velocidade de
convergência de métodos iterativos com convergência assintótica.
Definição 1.1.5 A ordem de convergência de uma seqüência {x k } → x ∗ é o maior
numero p dos números não negativos ρ que satisfazem:
lim sup
k→∞
xk+1 − x∗ xk − x∗ = β < ∞.
ρ Quando p = 1 nos dizemos que a Convergência é q-Linear com Raio de Convergência
β < 1. Se β = 0 a convergência é dita Superlinear. A convergência é Quadrática
quando p = 2.
A relação entre o limite de k → ∞, p e β é uma forma de medir a velocidade
assintótica da convergência. Uma seqüência pode ter uma boa ordem de
convergência mas ir muito “devagar”para a solução. A convergência é rápida
quando p é grande e β é pequeno.
Nas provas de convergência, usaremos quando conveniente as seguintes notações
O(.) e o(.) definidas abaixo.
5

Dado uma função h : IR n → IR m , usamos a expressão O(h(x)) para representar as
funções g : IR n → IR m que satisfazem
g(x)
lim
x||→0 h(x)
< ∞. (1.3)
E a expressão o(h(x)) para representar as funções g : IR n → IR m que satisfazem
g(x)
lim
x||→0 h(x)
= 0. (1.4)
A geração de pontos de uma seqüência é dada por uma regra algoritmica.
Por exemplo, dado um ponto inicial, determinamos uma direção de busca para
determinar o próximo ponto e assim sucessivamente. Para isso veremos algumas
definições sobre direções.
Definição 1.1.6 Um vetor d ∈ IR n é uma direção de descida para uma função real
f em x ∈ IR n se existe um δ > 0 tal que f(x + td) < f(x) para qualquer t ∈ (0, δ).
No caso de f ser diferenciável em x e d t ∇f(x) < 0 então d é uma direção de
descida para f em x.
Definição 1.1.7 Um vetor d ∈ IR n é uma direção de viável de um problema PNL
1.2, em x ∈ Ω = {x ∈ IR n / g(x) ≤ 0}, se para algum θ > 0 nos temos x + td ∈ Ω
para todo t ∈ [0, θ].
É claro que qualquer direção d em um ponto interior a Ω é uma direção viável.
Definição 1.1.8 Um campo vetorial d(.) definido em Ω é dito ser um campo
uniforme de direções de viáveis do problema PNL 1.2, em Ω = {x ∈ IR n / g(x) ≤ 0},
se existe um τ > 0 tal que x + td(x) ∈ Ω para todo t ∈ [0, τ] e para todo x ∈ Ω.
1.1.2 Buscas lineares inexatas
Uma vez definida a direção de busca podemos considerar critérios para determinar
o próximo ponto por meio das buscas lineares inexatas. Apresentaremos dois tipos
de buscas, Armijo e Wolfe.
6

Definição 1.1.9 (Busca de Armijo) Dada uma função potencial f, definimos
o tamanho do passo t como sendo o primeiro numero inteiro da seqüência
{1, ν, ν 2 , ν 3 , .....} satisfazendo
f(x + td) ≤ f(x) + tη∇f(x) T d,
onde η ∈ (0, 1) e ν ∈ (0, 1) são parâmetros dados.
O critério da busca linear inexata de Wolfe também estabelece limites no
tamanho do passo, pedindo uma redução na função potencial e ao mesmo tempo
uma redução em sua derivada direcional.
Definição 1.1.10 (Busca de Wolfe) Dada uma função potencial f, o passo t é
aceito se verificar:
sendo o primeiro numero inteiro da seqüência {1, ν, ν 2 , ν 3 , .....}, satisfazendo
f(x + td) ≤ f(x) + tη1∇f t (x)d,
onde ν ∈ (0, 1), η1 ∈ (0, 1
2 ) , η2 ∈ (η1, 1) são parâmetros dados e verificando
∇f t (x + td)d ≥ η2∇f(x) T d.
1.1.3 Condições de otimalidade
O seguinte resultado nos dá uma interpretação geométrica da condições de
otimalidade de uma grande classe de Problemas.
Teorema 1.1.1 Condição necessaria Primeira e Segunda Ordem.
Se x ∗ ∈ Ω é um mínimo local de f sobre Ω então, para qualquer direção viável
d ∈ IR n , satisfaz:
i) d t ∇f(x ∗ ) ≥ 0
ii) se d t ∇f(x ∗ ) = 0, então d t ∇ 2 f(x ∗ )d ≥ 0.
Se Ω = IR n , temos um problema de Otimização sem Restrição,
min f(x), (1.5)
x∈IRn 7

do teorema 1.1.1 e como toda direção não nula d ∈ IR n é uma direção viável temos
o seguinte teorema:
Teorema 1.1.2 Condição necessaria Primeira e Segunda Ordem.
Se x ∗ é um mínimo local de f sobre IR n então:
i) ∇f(x ∗ ) = 0
ii) para todo d ∈ IR n , d t ∇ 2 f(x ∗ )d ≥ 0. Isto é, ∇ 2 f(x ∗ ) é semi definida positiva.
A condição suficiente de otimalidade local o problema de Otimização sem
Restrição 1.5.
Teorema 1.1.3 Condição suficiente de otimalidade.
Seja f uma função escalar duas vezes continuamente diferenciável em IR n e x ∗ tal
que:
i) ∇f(x ∗ ) = 0
ii) ∇ 2 f(x ∗ ) é definida positiva.
Então, x ∗ é um ponto de mínimo local estrito de f.
As condições de otimalidade para o problema de Otimização com Restrição 1.2.
Definição 1.1.11 Um ponto x ∈ Ω é um ponto regular das restrições do problema
1.2 se os vetores ∇hi(x), para i = 1, 2, ...p, e ∇gi(x) para i ∈ I(x) são linearmente
independente. (I(x) ≡ {i / gi(x) = 0} é chamado de Conjuntos das restrições Ativas
em x.)
Definição 1.1.12 (Espaço Tangente) Para o conjunto dos pontos regulares, x ∈ Ω,
definido em 1.1.11 o espaço tangente se expressa como:
T (x) = {d|∇gi(x) T d = 0 ∀ i ∈ I(x), ∇hi(x) T d = 0, ∀ i ∈ {1, 2, ..., p}}.
Nos vamos introduzir agora as variáveis auxiliares λ ∈ IR m e µ ∈ IR p , chamadas
de Variáveis Duais ou Multiplicadores de Lagrange e definimos a função Lagrangeana
associada com o problema 1.2 como
l(x, λ, µ) = f(x) + λ T g(x) + µ T h(x). (1.6)
8

Teorema 1.1.4 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Condição Necessaria de Primeira
Ordem.
Seja x ∗ um ponto regular das restrições g(x) ≤ 0 e h(x) = 0, um Mínimo Local do
problema 1.2. Então, existe um vetor λ ∗ ∈ IR m e um vetor µ ∗ ∈ IR p tal que
onde G(x ∗ ) é uma matriz diagonal.
∇f(x ∗ ) + ∇g(x ∗ )λ ∗ + ∇h(x ∗ )µ ∗ = 0 (1.7)
Teorema 1.1.5 Condição Necessaria de Segunda Ordem.
G(x ∗ )λ ∗ = 0 (1.8)
h(x ∗ ) = 0 (1.9)
g(x ∗ ) ≤ 0 (1.10)
λ ∗ ≥ 0 (1.11)
Seja x ∗ um ponto regular das restrições g(x) ≤ 0 e h(x) = 0, um Mínimo Local
do problema 1.2. Então, existe um vetor λ ∗ ∈ IR m e um vetor µ ∗ ∈ IR p tal que as
condições (1.7-1.11) é satisfeita e a matriz
H(x ∗ , λ ∗ , µ ∗ ) = ∇ 2 f(x ∗ m
) + λ
i=1
∗ i ∇ 2 gi(x ∗ p
) + µ
i=1
∗ i ∇ 2 hi(x ∗ ) (1.12)
é semi definida positiva no espaço do plano tangente T (x).
Teorema 1.1.6 Condição Suficiente de Segunda Ordem.
Seja x ∗ , um ponto satisfazendo g(x ∗ ) ≤ 0 e h(x ∗ ) = 0. Existe um vetor λ ∗ ∈ IR m ,
λ ∗ ≥ 0 e um vetor µ ∗ ∈ IR p tal que
∇f(x ∗ ) + ∇g(x ∗ )λ ∗ + ∇h(x ∗ )µ ∗ = 0 (1.13)
G(x ∗ )λ ∗ = 0 (1.14)
e H(x ∗ , λ ∗ , µ ∗ ) é definida positiva no espaço tangente T (x). Então x ∗ é um Mínimo
Local Estrito do problema 1.2.
1.1.4 O método de Newton para equações
O método de Newton clássico é introduzido para resolver sistemas não lineares do
tipo
T (z) = 0, (1.15)
9

onde T : IR n → IR n é diferenciável. Este método é muito utilizado em algoritmos
de Programação Matemática. Para o método de Newton clássico é comum pedir as
seguintes suposições:
Suposição 1.1.1 Existe z ∗ ∈ IR n tal que T (z ∗ ) = 0.
Suposição 1.1.2 A matriz jacobiana T ′ (z ∗ ) é não singular.
Suposição 1.1.3 O operador jacobiano T ′ é continuo e localmente Lipschitz em x ∗ .
Assim, determinar uma seqüência {z k } que se aproxima de alguma solução z ∗ do
sistema (1.15) utilizamos a aproximação linear
T (z k ) + T ′ (z k )(z − z k ) = 0.
A relação acima chama-se a equação de iteração do método de Newton.
O método de Newton pode ser escrito em forma do esquema iterativo
z k+1 = z k − (T ′ (z k )) −1 T (z k ), k = 0, 1, 2, ... (1.16)
Desta forma é de se esperar que a seqüência de pontos gerada acima se aproxima
de uma solução do sistema (1.15). E quando isso ocorre podemos esperar uma
convergência rápida.
diferenciável e as suposições 1.1.1-1.1.3.
É o diz no próximo resultado. Iremos assumir que T (z) é
Teorema 1.1.7 Dado z 0 ∈ IR n suficientemente próximo de z ∗ , o Algoritmo definido
por (1.16) gera uma seqüência {z k } bem definida que converge a z ∗ . A taxa de
convergência é quadrática.
A demonstração deste resultado pode ser vista em [29] e [13]. Portanto este
teorema estabelece a convergência local do método de Newton. Dos vários métodos
existentes para resolver numericamente problemas de Programação Matemática,
muitos utilizam ou se baseiam na iteração de Newton para construir a seqüência
de pontos que converge a uma solução destes problemas.
10

1.1.5 Problema de Complementaridade
Definição 1.1.13 Seja F : D ⊆ IR n → IR n uma função vetorial. O problema de
complementaridade é:
Encontrar x ∈ IR n tal que
x ≥ 0, F (x) ≥ 0 e x • F (x) = 0 (1.17)
onde x ≥ 0 ⇔ xi ≥ 0 para todo 1 ≤ i ≤ n , F (x) ≥ 0 ⇔ Fi(x) ≥ 0 para todo
⎛ ⎞
x1F1(x)
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1 ≤ i ≤ n e x • F (x) = ⎜ . ⎟ é o produto de Hadamard.
⎝ ⎠
xnFn(x)
Quando F é uma função afim (F (x) = Ax + b , A ∈ IR n×n e b ∈ IR n ), temos um
Problema de Complementaridade Linear (PCL), caso contrário temos um Problema
de Complementaridade Não-Linear(PCN).
Vamos definir conjunto de pontos viáveis para o problema 1.1.13 e solução não
degenerada.
Definição 1.1.14 Seja Ω ⊂ IR n . Chamaremos de conjunto de pontos viáveis do
problema de complementaridade dado por F o seguinte conjunto:
Ω := {x ∈ IR n |x ≥ 0 , F (x) ≥ 0}. (1.18)
Definição 1.1.15 Se x ∈ Ω e verifica as seguintes condições x > 0 e F (x) >
0 então diremos que este ponto é estritamente viável para o problema de
complementaridade. E denotaremos o conjunto dos pontos estritamente viáveis por
Ω 0 .
Definição 1.1.16 Uma solução de 1.1.13 é dita solução degenerada se para algum
índice i, xi = 0 e Fi(x) = 0.
Definição 1.1.17 Uma solução de 1.1.13 é dita solução não degenerada se para
todo índice i, xi + Fi(x) = 0.
11

Vamos introduzir os seguintes conjuntos de indices para um dado x ∈ Ω:
K = {i |xi = 0 e Fi(x) > 0}, (1.19)
J = {i |xi > 0 e Fi(x) = 0}, (1.20)
L = {i |xi > 0 e Fi(x) > 0}, (1.21)
I0 = {i |xi = 0 e Fi(x) = 0}. (1.22)
Um Problema de Complementaridade que vem agregado com uma restrição de
igualdade é chamado de Problema de Complementaridade Mista e tem a seguinte
definição.
Definição 1.1.18 Sejam F : D ⊆ IR n → IR n × IR m e Q : D ⊆ IR m → IR n × IR m
funções vetoriais. O Problema de Complementaridade Mista é:
Encontrar (x, y) ∈ IR n × IR m tal que
x ≥ 0, F (x, y) ≥ 0 e
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x • F (x, y) = 0
Q(x, y) = 0
E da mesma forma como definimos para o caso de complementaridade temos:
Conjunto de pontos viáveis com respeito as restrições x e F (x, y).
Ω := {(x, y) ∈ IR n × IR m |x ≥ 0 e F (x, y) ≥ 0}.
Conjunto de pontos estritamente viáveis
Ω 0 := {(x, y) ∈ IR n × IR m |x > 0 e F (x, y) > 0}.
(1.23)
Definição 1.1.19 Uma solução de 1.23 é dita solução degenerada se para algum
índice i, xi = 0 e Fi(x, y) = 0.
Definição 1.1.20 Uma solução de 1.23 é dita solução não degenerada se para todo
índice i, xi + Fi(x, y) = 0.
Nas últimas décadas muitos pesquisadores tem estudado o Problema de
Complementaridade e desenvolveram (ou adaptaram) métodos para resolver este
12

problema. Alguns destes métodos e pesquisadores que trabalharam neles:
Método baseado em Problema de Minimização sem restrições, podemos destacar
aqui Mangasarian e Solodov, [40], Yamashita e Fukushima, [62], Geiger e Kanzow,
[20], Kanzow, [31].
Método baseado em Sistemas de Equações. Mangasarian foi quem propôs
pela primeira vez em seu artigo, [39], a resolução de um problema de
Complementaridade como a resolução de um sistema de equação associado
ao problema de complementaridade. Outros autores que também trabalharam
nessa linha: Subramanian, [54], Kanzow, [30], C. Chen e O. L. Mangasarian, [6].
Método de Suavização, esta técnica é tanto aplicável ao primeiro caso quanto
ao segundo caso, pois a idéia aqui é trazer a regularidade requerida para aplicar o
método em questão. Destacamos os autores M. C. Ferris e C. Kanzow, [16], S. J.
Wright, [59], C. Chen e O. L. Mangasarian, [6].
Método de Ponto Interior, é utilizado uma variável de folga para definir a
região IR 2n
+ como a região viável para o problema de complementaridade com
respeito a essa nova variável. Esta técnica é muito empregada para os casos de
complementaridade linear. Podemos citar aqui os trabalhos de M. C. Ferris e C.
Kanzow, [16], S. J. Wright, [59], P. Tseng , [[58], [57]].
Método tipo Projeção, utiliza-se o teorema do ponto fixo de Banach para gerar a
seqüencia de pontos e uma vantagem desta técnica é que não necessita de derivadas
mas a convergência é lenta. Destacamos os seguintes autores A. Auslender, [1], G.
M. Korpelevich, [36], E. M. Khobotov, [33], M. V. Solodov e B. F. Svaiter, [52], M.
V. Solodov e P. Tseng, [53], D. Sun, [55].
13

Capítulo 2
Métodos para Resolução de
Problemas de Complementaridade
Vamos comentar sobre alguns métodos numéricos existentes para a resolução
de problemas de complementaridade. Nas décadas de 60’s e inicio de 70’s
utilizava-se muito o artifício de reescrever os problemas de complementaridade
como um problema de minimização sem restrições em IR n , para isto usavam as
funções especiais chamadas de Funções de Mérito. Uma vez que o problema de
complementaridade foi reescrito como um problema de minimização sem restrições
utiliza-se técnicas para resolver numericamente estes problemas de minimização.
No ano de 1976 O.L. Mangasarian apresentou a equivalência do Problema de
Complementaridade com a resolução de Sistema Não Linear em IR n , [39]. A partir
dai foram desenvolvidos vários algoritmos baseados na resolução de sistemas não
lineares de equações. Nesta técnica utiliza-se uma classe de funções conhecida como
Funções-NCP que permitem estabelecer esta equivalência.
Nos final dos anos 70’s em diante os métodos baseados na resolução de sistemas
de equações foram melhorados com técnicas não diferenciáveis pois justamente as
Funções-NCP utilizadas não tinham a suavidade requerida pelo método de Newton.
Também nesta mesma época surgiram técnicas que utilizam variáveis de folga na
restrição F (x) ≥ 0 transformando-a em uma restrição de igualdade e reescrevendo
assim o problema de complementaridade em um grande sistema de equações em
IR 2n
+ . Nesta técnica utiliza-se algoritmos de pontos interiores, [59].
14

Do teorema de Ponto Fixo de Banach temos a técnica de projeção que projeta um
vetor v de IR n em IR n +.
2.1 Método baseado em Problemas de
Minimização - Funções de Mérito
A idéia deste método é transformar um problema de complementaridade em um
problema de minimização sem restrição. Vamos definir as propriedades que uma
determinada função tem que satisfazer para que possamos reescrever o problema de
complementaridade.
Definição 2.1.1 Uma função φ(x) : IR n →IR é chamada função de mérito para um
problema de complementaridade se satisfaz:
a) φ(x) ≥ 0 para todo x ∈ IR n ;
b) φ(x) = 0 se e somente se x é uma solução do Problema de Complementaridade
1.1.13.
Assim, podemos transformar o Problema de Complementaridade 1.1.13 em um
problema de minimização sem restrições do tipo
min φ(x). (1.1)
x∈IRn Para aplicarmos as técnicas usuais de otimização a este problema de minimização,
a função de mérito terá que satisfazer determinadas hipóteses de regularidade.
Por exemplo, se utilizarmos algoritmos baseados na diferenciabilidade da função
potencial devemos pedir que φ seja pelo menos uma vez continuamente diferenciável
e se possível até duas vezes continuamente diferenciável. Alguns exemplos de funções
de méritos.
• Função Lagrangiana Implícita [40].
n
φ(x) := {xiFi(x)+
i=1
1
2α (max{0, xi−αFi(x)} 2 −x 2 i +max{0, Fi(x)−αxi} 2 −Fi(x) 2 )}
onde, α > 1 é um parâmetro fixo.
15

• Função mérito de Fischer-Burmeister [14].
φ(x) := 1
2
n
( x
i=1
2 i + Fi(x) 2 − xi − Fi(x)) 2 .
• Função mérito penalizada de Fischer-Burmeister [5].
φ(x) := 1
2
n
{λ( x
i=1
2 i + Fi(x) 2−xi−Fi(x)) 2 +(1−λ) max{0, xi} 2 max{0, Fi(x)} 2 }).
onde, λ ∈ (0, 1) é um parâmetro fixo.
As funções de mérito apresentadas são uma vez continuamente diferenciável em
IR n . Portanto não é aconselhável minimizar diretamente estas funções de mérito
com algoritmos clássicos para problemas de otimização diferenciáveis. Apesar disto,
as funções de mérito são freqüentemente usadas para monitorar a convergência
global de diversos algoritmos. A maioria dos algoritmos de otimização garantem
que os pontos limite da seqüência gerada por eles são pontos estacionário de φ(x)
satisfazendo ∇φ(x) = 0.
2.2 Método baseado em Sistemas de Equações -
Função-NCP
A idéia de reformular um problema de complementaridade como um sistema de
equações foi proposta por Mangasarian [39]. Ele utilizou uma classe de funções
chamada de Funções-NCP que tem a seguinte propriedade.
Definição 2.2.1 Uma função ψ : IR 2 → IR é chamada de Função-NCP para um
problema de complementaridade se satisfaz a condição:
Alguns exemplos de Funções-NCP.
ψ(a, b) = 0 ⇔ a ≥ 0, b ≥ 0 e ab = 0
• ψM(a, b) = (a − b) 2 − |a|a − |b|b, Função Mangasarian [39].
16

• ψm(a, b) = min(a, b), Função Resíduo natural.
• ψF B(a, b) = a + b − √ a 2 + b 2 , Função Fischer-Burmeister.
• ψR(a, b) = −ab + 1
2 min2 (0, a + b), Função “min”.
Das Funções-NCP acima somente a primeira e a quarta são continuamente
diferenciáveis em IR 2 . A terceira é diferenciável em IR n \ {(0, 0)}.
Para uma dada Função-NCP ψ, definimos um operador Ψ : IR n → IR n como o
sistema de equações associado a ele da seguinte forma:
Ψ(x) :=
⎛
⎞
ψ(x1, F1(x))
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎝
⎠
ψ(xn, Fn(x))
, Ψ(x) = 0 (2.1)
É claro que para cada Função-NCP, existe a função de mérito natural dada por:
φ(x) = 1
2 Ψ(x)t .Ψ(x) = 1
2
n
Ψ
i=1
2 i (x)
Chamaremos Ψ de operador das equações correspondente ao problema de
complementaridade 1.1.13. Como conseqüência da definição 2.2.1 obtemos a seguinte
caracterização do problema de complementaridade:
Sejam ψ uma Função-NCP e Ψ seu operador de equações correspondente. Então
x é uma solução do problema de complementaridade 1.1.13 se e somente se é uma
solução do sistema de equações 2.1.
Se F (x) e ψ(a, b) são funções continuamente diferenciáveis, então o operador Ψ
também é. Neste caso, nós podemos aplicar o método clássico de Newton para achar
x que verifica Ψ(x) = 0 e assim resolver o problema de complementaridade. Isto nos
leva a iterações do tipo
x k+1 := x k − [∇Ψ(x k )] −1 Ψ(x k ), k = 0, 1, 2, ...
onde Ψ(x k )] −1 é a matriz jacobiana de Ψ(x k ).
A matriz jacobiana ∇Ψ(x ∗ ) tem que ser não singular na solução x ∗ do problema
de complementaridade para podermos ter pelo menos convergência local superlinear.
Infelizmente, esta matriz é singular em qualquer solução degenerada, [32].
17

Proposição 2.2.1 Sejam F (x) e ψ(a, b) funções diferenciáveis, seja Ψ(x) o
operador de equações correspondente. Se x ∗ é uma solução degenerada do problema
de complementaridade 1.1.13 então a Jacobiana ∇Ψ(x ∗ ) é singular.
Nos casos em que ∇Ψ(x) não existe, podemos utilizar métodos para funções não
diferenciáveis e neste caso normalmente pede-se que Ψ(x) seja no mínimo localmente
lipschitziana, pois assim, Ψ(x) será diferenciável em quase todo ponto.
Denotaremos de DΨ ao conjunto de pontos onde Ψ(x) é diferenciável. Então
definimos o que chamamos de B-subdiferencial,
∂BΨ(x) := {H ∈ IR n×n |∃{x k } ⊆ DΨ : x k → x e ∇Ψ(x k ) → H}
bem como seu fecho convexo
∂Ψ(x) := conv{∂BΨ(x)}
que é chamado jacobiano generalizado, [9]. Elementos de ∂BΨ(x) e ∂Ψ(x) podem
ser usados no lugar da jacobiana clássica ∇Ψ(x) (que em algumas situações não
existe). Um método de Newton não suave típico consiste em realizar as seguintes
iterações:
x k+1 = x k − H −1
k Ψ(xk ), k = 0, 1, 2, ...,
onde Hk é um elemento arbitrário de ∂BΨ(x k ), não singular.
Dois pontos importantes deste método são:
1) O cálculo de um elemento do B-subdiferencial. Por isso é interessante utilizarmos
determinados operadores Ψ, que seja fácil o cálculo de um elemento de seu
B-subdiferencial, Hk ∈ ∂BΨ(x).
2) Devemos ainda considerar o fato que este elemento Hk seja não singular.
Quando se utiliza a Funcão-NCP de Fischer-Burmeister, resultados com respeito
a 1) e 2) podem ser visto em Houyuan Jiang e Liqun Qi [28], [51] e T. De Luca, F.
Facchinei, C. Kanzow [38]. Em suma se consegue o seguinte resultado:
Todo elemento H ∈ ∂BΨ(x ∗ ) é não singular.
18

Nos casos dos problemas de complementaridade monótona pode-se mostrar a
convergência global destes métodos. Para isso, incluímos uma busca linear tomando
como direção de busca o vetor
d k := −H −1
k Ψ(xk )
e como função potencial a função de mérito natural correspondente. Assim
executa-se uma busca linear ao longo desta direção pedindo o decrescimento da
função potencial ([38] , [19] , [49] , [50]).
2.2.1 Método de Suavização
Os métodos de suavização para problemas de complementaridade basicamente fazem
uma aproximação da Função-NCP não diferenciável ψ(a, b) por uma seqüência de
funções diferenciáveis ψµ(a, b) que depende de um parâmetro de suavidade µ > 0.
Por exemplo, uma possibilidade de aproximação da função de Fischer-Burmeister é:
ψµ(a, b) :=
a 2 + b 2 + 2µ − (a + b) (2.2)
Usando técnicas similares, é possível suavizar a maioria das Funções-NCP
conhecidas. Uma vez conhecida tal aproximação suave ψµ, podemos definir o
operador de equações correspondente
Ψµ(x) :=
⎛
⎞
ψµ(x1, F1(x))
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎝
⎠
ψµ(xn, Fn(x))
A aproximação Ψµ de Ψ será suave se a própria F (x) for suave.
(2.3)
A idéia principal de qualquer método de suavização é aplicar o método de Newton
clássico para o sistema de equações não lineares Ψµ(x) = 0 e fazer com que o
parâmetro µ de suavidade tenda a zero. Uma forma de fazer isso é indexar o valor
de µ à iteração k através de µk. Assim, uma iteração do método de suavização é
dada pela expressão
x k+1 = x k − ∇Ψµk (xk ) −1 Ψµk (xk ), k = 0, 1, 2, ...
19

Um ponto delicado para todo método de suavização é o modo que o parâmetro de
suavidade µk é escolhido a cada iteração. Se isto é feito de um modo apropriado, é
possível provar resultados de convergência global para problemas monótonos. (Ver,
[7])
2.3 Método de Ponto Interior
Uma descrição de um algoritmo de pontos interiores para problemas de
complementaridade pode ser vista no livro “Primal-Dual interior-Point Methods”,
[59].
O problema de complementaridade 1.1.13 é reescrito da seguinte forma:
Dados x e y ∈ IR n temos
F (x) − y = 0, x ≥ 0 , y ≥ 0 e x • y = 0 (3.1)
onde F (x) é uma função monótona associada ao problema de complementaridade
1.1.13. Então
“(x, y) é uma solução do problema (3.1) ⇔ x é uma solução de 1.1.13.”
Dado o seguinte sistema com as restrições x ≥ 0 e y ≥ 0:
⎛ ⎞
F (x) − y
S(x, y) = ⎝ ⎠ = 0.
y • x
Uma iteração é definida pela resolução do sistema abaixo:
⎛
⎞ ⎛
∇F (x) −Id
⎝ ⎠ . ⎝
Y X
∆x
⎞ ⎛
⎞
y − F (x)
⎠ = ⎝ ⎠ ,
∆y −y • x + µE
onde Id é a matriz identidade de ordem n, X = diag(x), Y = diag(y), E = [1, ...1]
um vetor coluna e µ = xT y
n .
A maioria dos métodos de ponto interior para problema de complementaridade é
baseada nesta técnica que também pode ser vista em ([35], [58], [57]). Estes métodos
são chamados de métodos de ponto-interior não viável pois a seqüência gerada de
pontos cumpre a condição x ≥ 0 e não necessariamente cumpre a condição F (x) ≥ 0.
Esta técnica é muito utilizada para problemas de complementaridade linear.
20

2.4 Método tipo Projeção
Os métodos tipo projeção são baseados na seguinte proposição.
Proposição 2.4.1 Um vetor x ∗ é uma solução de 1.1.13 se e somente se x ∗ satisfaz
a equação
x = (x − λF (x))+,
onde λ > 0 é uma constante arbitraria e z+ denota a projeção Euclidiana de um
vetor z ∈ IR n sobre IR n
+.
Os métodos tipo projeção consistem em realizar a seguinte iteração
x k+1 := (x k − λF (x k ))+, k = 0, 1, 2, ...
onde x 0 ∈ IR n
+ é um dado ponto inicial [1].
Usando o Teorema de ponto fixo de Banach, se F for fortemente monótona,
globalmente Lispschitz e λ > 0 seja suficientemente pequeno, pode-se mostrar que
este método possui convergência global, além disso, a taxa de convergência é linear.
Algumas modificações neste método de projeções permitem obter resultados de
convergência global. Por exemplo, o método Extragradiente ([36] e [33]) gera
iterações usando a fórmula
x k+1 := (x k − λF ((x k − λF (x k ))+)+, k = 0, 1, 2, ...
Para o método Extragradiente pode-se mostrar a convergência global se F for
monótona e globalmente Lispschitz desde que λ > 0 seja suficientemente pequeno.
O valor de λ suficientemente pequeno que garanta a convergência global não pode
ser conhecido a priori. Isto implica que devemos escolher λ dinamicamente para
conseguir resultados satisfatórios nos métodos de projeção.([52],[53],[55]).
O método de projeção Extragradiente tem propriedades de convergência globais
boas para problemas de complementaridade monótona, mas eles são na melhor das
hipóteses de convergência linear. Devido ao número excessivo de iterações que eles
realizam, em comparações aos outros métodos. Seria recomendado o uso destes
métodos de projeção nos casos em que a dimensão de IR n seja suficientemente grande
ou o cálculo de ∇F (x) seja muito complicado ou impossível.
21

Capítulo 3
Um Algoritmo de Ponto Interior
Viável para NCP
3.1 Idéias Básicas
Neste capitulo apresentaremos um algoritmo ponto interior para problemas de
complementaridade. Este algoritmo gera uma seqüência de pontos que satisfaz as
desigualdades do problema de complementaridade 1.1.13. Relembrando da definição
do Problema de Complementaridade 1.1.13.
Determinar x ∈ IR n tal que x ≥ 0 , F (x) ≥ 0 e x • F (x) = 0 onde
x • F (x) =
⎛ ⎞
x1F1(x)
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ ⎠
xnFn(x)
=
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ ⎠
0
(1.1)
A idéia do algoritmo é resolver o sistema de equações acima dentro da região
Ω ⊂ IR n . Para isto utilizaremos a iteração de Newton para construir uma
seqüência de “pontos viáveis”, a qual convergirá para a solução do problema de
complementaridade 1.1.13.
22

Considere o seguinte sistema:
H(x) =
⎛ ⎞
x1F1(x)
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ ⎠
xnFn(x)
= 0 (1.2)
É claro que toda solução do problema de complementaridade 1.1.13 é uma solução do
sistema de equações (1.2). Mas infelizmente não podemos afirmar que toda solução
do sistema (1.2) seja uma solução do problema de complementaridade 1.1.13. Por
outro lado, se restringirmos a resolução do sistema (1.2) na região de pontos viáveis
Ω = {x ∈ IR n | x ≥ 0 e F (x) ≥ 0} podemos afirmar que uma solução deste sistema
em Ω é uma solução do problema de complementaridade 1.1.13. Assim, temos que
desenvolver um algoritmo que gere uma seqüência de pontos em Ω e convirja para
a solução do sistema (1.2) e portanto convergirá para uma solução do problema de
complementaridade 1.1.13.
Para gerar esta seqüência utilizaremos uma iteração de Newton no sistema 1.2 mas
veremos que isso não será suficiente para garantir que a seqüência gerada esta contida
em Ω. Antes de começarmos a construção do algoritmo veremos algumas notações
que auxiliaram no decorrer do texto.
O Gradiente de H(x) é dado por
∇H(x) = DF (x) + Dx∇F (x) (1.3)
onde DF (x) e Dx são matrizes diagonais, [DF (x)](i,i) = Fi(x) , [Dx](i,i) = xi para todo
1 ≤ i ≤ n e a matriz jacobiana de F (x) é
∇F (x) =
⎛ ∂F1(x)
∂x1 ⎜ ∂F2(x)
⎜ ∂x1
⎜ .
⎝
∂F1(x)
∂x2
∂F2(x)
∂x2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂F1(x) ⎞
∂xn ⎟
∂F2(x) ⎟
∂xn ⎟ .
.
⎟
⎠
∂Fn(x)
∂x1
∂Fn(x)
∂x2
. . .
∂Fn(x)
∂xn
Observe que a i-ésima linha de ∇H(x) e definida por
∇Hi(x) = Fi(x)ei + xi∇Fi(x) (1.4)
23

onde ei é um vetor (linha) unitário com 1 na i-ésima coordenada e ∇Fi(x) é um
vetor linha.
Portando, dado um ponto x k em Ω, que não seja solução de (1.2), pela iteração de
Newton em H(x) = 0 temos
∇H(x k )d k 1 = −H(x k ) (1.5)
Para que o sistema (1.5) esteja bem definido vamos supor que ∇H(x k ) seja não
singular em x k . Então, se para algum índice i ∈ 1, 2, ..., n ocorrer que Hi(x k ) = 0 sem
que seja solução do problema de complementaridade, teremos a seguinte situação.
Seja a i-ésima linha do sistema (1.5) onde ocorre Hi(x k ) = 0,
(Fi(x k )ei + x k i ∇Fi(x k ))d k 1 = 0,
pela não singularidade da matriz ∇H(x k ) temos duas possibilidades:
(1) x k i = 0 e Fi(x k ) > 0 isso implica que d k 1 é tangente a restrição xi ≥ 0.
(2) Fi(x k ) = 0 e x k i > 0 isso implica que d k 1 é tangente a restrição Fi(x) ≥ 0.
E em ambos os casos não temos garantido a viabilidade da direção d k 1 em Ω.
A proposição abaixo nos fornece as condições para que uma direção d ∈ IR n tem que
satisfazer para ser uma direção viável em Ω.
Proposição 3.1.1 Seja d ∈ IR n e x ∈ Ω. Se a direção d satisfaz as condições:
(1) di > 0 para todo índice i tal que xi = 0.
(2) ∇Fi(x)d > 0 para todo índice i tal que Fi(x) = 0.
então d é uma direção viável no ponto x.
Portanto usaremos uma direção de restauração, para compor junto com a direção
d1 de Newton uma nova direção d que seja viável em Ω. Para isso tome o seguinte
sistema:
∇H(x k )d k 2 = ρ k E (1.6)
onde o vetor E ∈ IR n é composto por 1 ′ s e m parâmetro ρ k > 0. Então para todo
ponto x k ∈ Ω que não seja solução do problema de complementaridade 1.1.13 mas
que para algum índice i, temos Hi(x k ) = 0 segue que
(1) xk i = 0 e Fi(xk ) > 0 isso implica que dk 2i > 0.
24

(2) Fi(x k ) = 0 e x k i > 0 isso implica que ∇Fi(x k )d k 2 > 0.
Assim a direção d k 2 é uma direção viável em Ω, pela proposição 3.1.1. Portanto, a
seguinte combinação linear d = d k 1 + ρ k d k 2, com ρ k > 0 faz com que a direção d k seja
uma direção viável em Ω. Como podemos ver na figura 3.1.
Vamos definir ρ k = ρ0 φ(xk ) β
Figura 1.1:
n onde, ρ0 > 0 , φ(x k ) = x kT F (x k ) e β ∈ [1, 2].
observe que ρ k > 0 para todo x k ∈ Ω que não seja solução do problema de
complementaridade. Desta forma vamos calcular a direção de busca d k resolvendo
o seguinte sistema
∇H(x k )d k = −H(x k ) + ρ k E (1.7)
em cada iteração. Veremos agora que a direção d k tem a propriedade de ser viável
em Ω e de ser uma direção de descida para a seguinte função potencial
φ(x) = x T F (x).
Vamos considerar os conjuntos de indices dados em (1.19-1.22).
Proposição 3.1.2 (Viabilidade da direção) Sejam x k ∈ Ω tal que φ(x k ) > 0 e
∇H(x k ) não singular, então temos que a direção d k obtida pela resolução do sistema
(1.7) é viável em Ω.
Prova:
Seja x k ∈ Ω, se o ponto x k é estritamente viável, qualquer direção d k é viável em
25

Ω. Então basta verificar para os pontos x k em que os conjuntos de indices K = ∅ e
J = ∅.
Pelo sistema (1.7);
∇H(x k )d k = −x k • F (x k ) + ρ k E,
Observe que a i-ésima linha deste sistema é:
Segue então que:
(1) Para um índice i ∈ K temos:
x k i = 0 e Fi(x k ) > 0 portanto:
[eiFi(x k ) + x k i ∇Fi(x k )]d k = −x k i Fi(x k ) + ρ k .
[eiFi(x k )]d k = Fi(x k )d k i = ρ k
assim, d k i = ρk
Fi(x k ) > 0 então, dk i > 0 para todo ρ k > 0.
(2) Para um índice i ∈ J temos:
xi > 0 e Fi(x) = 0 portanto:
o que implica que ∇Fi(x k )d k > 0.
[x k i ∇Fi(x k )]d k = x k i [∇Fi(x k )d k ] = ρ k
Logo pela proposição 3.1.1 temos que d k é uma direção viável em Ω.
A direção d k é uma direção de descida para a função potencial φ(x).
Proposição 3.1.3 Em todo ponto x k ∈ Ω tal que φ(x k ) > 0, a direção d k obtida pela
resolução do sistema (1.7) é uma direção de descida para φ(x k ) se ρ0φ(x k ) β−1 < 1.
Prova:
A função φ(x) é estritamente positiva para todo ponto x k em Ω que não seja
solução do problema de complementaridade 1.1.13, e ainda, todo ponto x k ∈ Ω tal
que φ(x k ) = 0 implica que x k é uma solução do problema de complementaridade
1.1.13, ou seja, x k ≥ 0 , F (x k ) ≥ 0 e x k i Fi(x k ) = 0 para todo 0 ≤ i ≤ n.
O gradiente de φ(x k ) é dado por
26

∇φ(x k ) = E T [D F (x k ) + D x k∇F (x k )].
Dada a direção d k obtida pela resolução do sistema (1.7) temos que
∇φ(x k )d k = E t [D F (x k ) + D x k∇F (x k )]d k = E t (−x k • F (x k ) + ρ k E) =
para todo ρ0φ(x k ) β−1 ∈ (0, 1).
−φ(x k ) + ρ k n = −[1 − ρ0φ(x k ) β−1 ]φ(x k ) < 0
Por tanto a direção d k é uma direção de descida para φ(x k ).
Com estes dois resultados temos que a direção d k é de descida e viável para
o problema de complementaridade desde que tenhamos ∇H(x k ) não singular e
ρ0φ(x k ) β−1 < 1 para todo x k ∈ Ω. Assim vamos definir o seguinte conjunto
Ωc = {x ∈ Ω | φ(x) ≤ c}
onde c é uma constante positiva. Assim, podemos por exemplo definir ρ0 = α
c β−1
com α ∈ (0, 1). Veremos na próxima seção que a seqüência gerada está contida no
conjunto Ωc. Mas vamos agora apresentar a descrição do algoritmo FDA-NCP.
27

3.2 Descrição do Algoritmo FDA-NCP.
O presente algoritmo produzirá uma seqüência de pontos interiores a região Ω que
converge a uma solução do problema de complementaridade mediante a resolução
de um sistema linear e uma busca linear nas restrições x ≥ 0 , F (x) ≥ 0 e na função
potencial φ(x). A busca que iremos utilizar é a de Armijo. Vamos considerar os
seguintes parâmetros:
c, ɛ > 0, ρ0, η, ν ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2]. Dados iniciais: x 0 ∈ Ω estritamente viável tal
que φ(x 0 ) ≤ c e k = 0.
1. Passo 1: Direção de Busca.
Resolva o sistema
onde ρ k = ρ0 φ(xk ) β
n .
2. Passo 2: Busca linear.
[D F (x k ) + D x k∇F (x k )]d k = −H(x k ) + ρ k E,
Define-se o tamanho do passo t k como sendo o primeiro valor da seqüência
{1, ν, ν 2 , ν 3 , ...} satisfazendo
1) x k + t k d k ≥ 0
2) F (x k + t k d k ) ≥ 0
3) φ(x k ) + t k η∇φ(x k ) t d k ≥ φ(x k + t k d k )
3. Passo 3: Atualização dos Dados x k+1 := x k + t k d k e k := k + 1
4. Passo 4: Critério de parada
Se φ(x k+1 ) < ɛ , pare.
caso contrário volte ao passo 1.
Neste algoritmo podemos destacar dois pontos importantes. Primeiro é o calculo
da direção de busca e o segundo é busca linear. No passo 1 determinamos a direção
28

de busca d k por meio da resolução de um sistema linear. Este sistema fornece
uma direção d k que é uma combinação da direção de Newton d k 1 e da direção de
restauração d k 2.
A direção de Newton d k 1 é uma direção de descida para a função potencial φ(x k )
dentro da região Ω, como já visto o grande inconveniente de usarmos esta direção
para achar o próximo ponto da seqüência é que esta direção não é em geral uma
direção viável na região Ω. A direção d k 2 por sua vez é uma direção de restauração
que tem a propriedade de ser viável na região Ω, porem não é em geral uma direção
de descida para função potencial φ(x k ). Mas a combinação destas duas direções nos
fornece uma direção d k que tem a propriedade de ser uma direção de descida da
função potencial φ(x k ) e viável na região Ω como mostrado nas proposições 3.1.2 e
3.1.3.
Desta forma é possível gerar uma seqüência de pontos com a direção d k onde
cada ponto desta seqüência esta contido em Ω e ainda decresce o valor da função
potencial φ(x k ). Isto é possível por meio de uma busca linear na direção de d k
que é justamente o segundo passo. A busca linear determina o próximo ponto
da seqüência, x k+1 , que verifica duas condições x k+1 ∈ Ω e φ(x k+1 ) ≤ φ(x k ). É
importante na busca linear que o comprimento do passo t k não tenda a zero pois
isso comprometerá na convergência do algoritmo.
Para a aplicação do algoritmo é muito importante termos as seguintes condições:
• Um ponto inicial x 0 estritamente viável.
• O conjunto Ω ⊂ IR n ter interior não vazio.
• A matriz ∇H(x) ser não singular para x ∈ Ω.
Portanto o que faremos a seguir é estabelecer condições para que os passos 1 e 2 do
algoritmo FDA-NCP estejam bem definidos e ainda garanta que a seqüência gerada
por eles convirja a uma solução do problema de complementaridade.
29

Capítulo 4
Convergência Global do
FDA-NCP
Nesta seção apresentaremos resultados teóricos sobre a convergência global
do Algoritmo FDA-NCP a uma solução do problema de complementaridade.
Lembrando que o Algoritmo deverá gerar uma seqüência de pontos {x k } ⊂ Ω, a
partir de um ponto estritamente viável, e a cada iteração deverá reduzir o valor da
função potencial φ(x k ). Para tal, o algoritmo produzirá uma direção de busca d k
que tem as propriedades de ser uma direção viável em Ω e de descida para a função
potencial φ(x). Mostraremos que esta direção d k é um campo uniforme de direções
viáveis e limitado. O passo da busca de Armijo para a função potencial φ(x) é
limitado inferiormente por um valor positivo.
Assumiremos condições clássicas para a função F (x), a matriz ∇H(x) e o
conjunto de pontos viáveis Ω.
Suposição 4.0.1 O conjunto
Ωc ≡ {x ∈ Ω | φ(x) ≤ c}
é compacto e possui interior Ω 0 c = ∅, tal que para cada x ∈ Ω 0 c satisfaz x > 0 e
F (x) > 0.
Suposição 4.0.2 A função F (x) é continuamente diferenciável e ∇F (x) satisfaz a
condição de Lipschitz,
∇F (y) − ∇F (x) ≤ γ0y − x,
30

para qualquer x, y ∈ Ωc, onde γ0 é uma constante positiva.
Suposição 4.0.3 A matriz ∇H(x) é não singular para todo x ∈ Ωc, ou seja, existe
(∇H(x)) −1 para todo x ∈ Ωc.
A suposição 4.0.1 garante a existência de pontos estritamente viáveis em Ωc.
Da suposição 4.0.3 temos que as componentes de x e F (x) não se anulam
simultaneamente para nenhum x ∈ Ωc. Temos também que o sistema de equações
do algoritmo
∇H(x k )d k = −H(x k ) + ρ k E,
possui solução única, logo a direção d k está bem definida.
Como ∇F (x) é contínua segue que tanto ∇H(x) quanto (∇H(x)) −1 são aplicações
contínuas e limitadas em Ωc. Ou seja existem constantes positivas κ0, κ tal que
∇H(x) ≤ κ0 e (∇H(x)) −1 ≤ κ para todo x ∈ Ωc.
4.1 Resultados de Convergência
Nos resultados a seguir assumiremos as suposições (4.0.1 - 4.0.3). Primeiro veremos
resultados com respeito a F (x) e a equação do sistema H(x) = x • F (x).
Lema 4.1.1 Seja um subconjunto Γ ⊂ ℜ n compacto e não vazio. Então as funções
F (x), H(x) = x • F (x) satisfazem a condição de Lipschitz em Γ.
Prova.:
Primeiro observe que como F (x) é de classe C 1 então H(x) = x•F (x) é de classe C 1
também. Temos também que ∇Fi(x) é contínua para todo i ∈ {1, 2, ..., n} e como
Γ é compacto então ∇Fi(x) é limitado em Γ. Existe CFi
, ∇Fi(x) ≤ CFi
constante positiva tal que
para todo x ∈ Γ. Assim dados x , y em Γ tal que o seguimento
x + t(y − x) ∈ Γ para todo t ∈ [0, 1] e para qualquer i ∈ {1, 2, ...n}. Segue pelo
teorema do valor médio
|Fi(y) − Fi(x)| = |∇Fi(x + τ(y − x))(y − x)|,
31

para algum τ ∈ [0, 1]. Portanto, para qualquer i ∈ {1, 2, ...n}, Fi(x) satisfaz a
condição de Lipschitz
|Fi(y) − Fi(x)| ≤ CFiy − x.
De forma análoga temos o mesmo resultado para Hi(x).
|Hi(y) − Hi(x)| ≤ CHiy − x.
Tomando CF = n i=1 CFi , podemos concluir que
n
n
F (y) − F (x) ≤ |Fi(y) − Fi(x)| ≤ CFi
i=1
i=1
y − x = CF y − x.
Também de maneira análoga segue que
n
n
H(y) − H(x) ≤ |Hi(y) − Hi(x)| ≤ CHi
i=1
i=1
y − x = CHy − x,
onde CH = n i=1 CHi .
Lema 4.1.2 Seja um subconjunto Γ ⊂ ℜ n compacto e não vazio. Então a função
∇H(x) satisfaz a condição de Lipschitz em Γ.
Prova:
Dados x , y em Γ então: (∇H(x) = DF (x) + Dx∇F (x))
||∇H(y) − ∇H(x)|| = ||DF (y) + Dy∇F (y) − DF (x) − Dx∇F (x)|| ≤
≤ ||DF (y) − DF (x)|| + ||Dy∇F (y) − Dx∇F (x)|| ≤
≤ ||DF (y) − DF (x)|| + ||Dy(∇F (y) − ∇F (x))|| + ||(Dy − Dx)∇F (x)|| ≤
≤ ||DF (y) − DF (x)|| + ||Dy||||∇F (y) − ∇F (x)|| + ||∇F (x)||||Dy − Dx||.
Como Γ é compacto e ∇F (x) é uma função continua, então existem uma constante
positiva tal que ||Dz|| ≤ c0 e ||∇F (z)|| ≤ c1∀z ∈ Γ e da suposição 4.0.2 temos
||∇H(y) − ∇H(x)|| ≤ CF y − x + c0γ0y − x + c1y − x = γy − x,
onde γ = CF + c0γ0 + c1.
32

Lema 4.1.3 Para x, y ∈ Γ, se o seguimento de reta x + t(y − x) ∈ Γ para todo
t ∈ [0, 1], segue as seguintes desigualdades:
Hi(y) ≤ Hi(x) + ∇Hi(x)(y − x) + γ||y − x|| 2 ∀ 1 ≥ i ≥ n , (1.1)
Hi(y) ≥ Hi(x) + ∇Hi(x)(y − x) − γ||y − x|| 2 ∀ 1 ≥ i ≥ n , (1.2)
onde ∇Hi(x) é um vetor linha.
Prova:
Observe primeiro que: ∇H(x) é uma matriz com a i-esima linha igual a ∇Hi(x)
logo
Assim temos que
∇Hi(x)d = [∇H(x)d]i.
|∇Hi(x)d| ≤ ∇H(x)d ≤ ||∇H(x)||d. (1.3)
Então pelo teorema do valor médio existe τ ∈ [0, 1] tal que
Hi(y) = Hi(x) + ∇Hi(x + τ(y − x))(y − x).
agora somando e subtraindo ∇Hi(x)(y − x) no segundo membro da igualdade temos
Hi(y) = Hi(x) + ∇Hi(x)(y − x) + (∇Hi(x + τ(y − x)) − ∇Hi(x))(y − x). (1.4)
Da equação (1.3) temos
|(∇Hi(x + τ(y − x)) − ∇Hi(x))(y − x)| = |[(∇H(x + τ(y − x)) − ∇H(x))(y − x)]i| ≤
e pelo lema 4.1.2 segue
≤ ∇H(x + τ(y − x)) − ∇H(x)y − x,
|(∇Hi(x + τ(y − x)) − ∇Hi(x))(y − x)| ≤ γτ(y − x)y − x ≤ γy − x 2 . (1.5)
Portanto da equação (1.4) e da desigualdade (1.5) segue as duas desigualdades do
lema (1.1) e (1.2).
Os resultados a seguir provaram que a direção de busca gerada pelo algoritmo
FDA-NCP é: limitada; uma direção de descida ; e constitui um campo uniforme
33

de direções viáveis. Lembrando que ρ k = ρ0 φ(xk ) β
β ∈ [1, 2] , α ∈ (0, 1) e x k ∈ Ωc.
n onde ρ0 = α min{1, 1
c β−1 } com
Lema 4.1.4 Para qualquer x k ∈ Ωc, da direção de busca d k gerada pelo algoritmo
satisfaz
Como conseqüência, d k ≤ κc.
Prova:
d k ≤ κφ(x k ). (1.6)
Seja x k ∈ Ωc. Como d k = M −1 (x k )[−H(x k ) + ρ k E], temos a seguinte desigualdade
d k ≤ M −1 (x k )−H(x k )+ρ k E. Basta mostrar uma limitação para −H(x k )+
ρ k E. Tome a seguinte igualdade
− H(x k ) + ρ k E 2 = H(x k ) 2 − 2ρ k φ(x k ) + n(ρ k ) 2 .
Como H(x k ) 2 ≤ φ 2 (x k ) para todo x k ∈ Ωc temos que
− H(x k ) + ρ k E 2 ≤ φ 2 (x k ) − 2ρ k φ(x k ) + n(ρ k ) 2 = (n − 1)(ρ k ) 2 + (φ(x k ) − ρ k ) 2 ,
como ρ k = ρ0φ(x k ) β
n
e ρ0φ(x k ) β−1 < 1 segue
− H(x k ) + ρ k E 2 ≤ [ (n − 1)(ρ0φ(xk ) β−1 ) 2 + (n − ρ0φ(xk ) β−1 ) 2
n2 ]φ(x k ) 2 ,
observe que (n − 1) < (n − ρ0φ(x k ) β−1 ) < n e (ρ0φ(x k ) β−1 ) 2 < ρ0φ(x k ) β−1 < 1 então
[ (n − 1)(ρ0φ(xk ) β−1 ) 2 + (n − ρ0φ(xk ) β−1 ) 2
n2 ] < n − ρ0φ(xk ) β−1
n
Assim temos a seguinte desigualdade
− H(x k ) + ρ k E ≤ φ(x k ) , ∀x k ∈ Ωc.
< 1.
Portando, segue daqui as desigualdades do lema d k ≤ κφ(x k ) e d k ≤ κc para
todo x k ∈ Ωc.
34

Lema 4.1.5 A direção de busca d k é uma direção de descida para φ(x k ) para
qualquer x k ∈ Ωc tal que H(x k ) = 0.
Prova:
Como φ(x k ) é continuamente diferenciável basta verificarmos que ∇φ(x k )d k < 0
para qualquer x k ∈ Ωc tal que H(x k ) = 0 para concluirmos que d k é direção de
descida.
Observe que ∇φ(x k ) = E t ∇H(x k ), assim
∇φ(x k )d k = E t [∇H(x k )d k ] = E t [−H(x k ) + ρ k E] = −(1 − ρ0φ(x k ) β−1 )φ(x k ) < 0
o que conclui o resultado.
Lema 4.1.6 Sejam f e g funções reais contínuas no intervalo da reta [0, b]. Se
f(t)g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, b) então uma das duas condições ocorre:
Prova.:
1) f(t) ≥ 0 e g(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0, b],
2) f(t) ≤ 0 e g(t) ≤ 0 ∀ t ∈ [0, b].
É fácil ver que f e g tem o mesmo sinal no intervalo (0, b). Pois caso
contrário, existiria um t ∈ (0, b) tal que f(t)) < 0 e g(t) > 0 o que implicaria
f(t)g(t) < 0 que é uma contradição.
Agora se existe um t ∈ (0, b) tal que
f(t) > 0 e g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, t),
f(t) < 0 e g(t) < 0 ∀ t ∈ (t, b).
Pela continuidade da f(t) (g(t)) temos que f(t) = 0 (g(t) = 0) o que é uma
contradição pois por hipótese f(t)g(t) > 0 para todo t no intervalo (0, b). Logo f e
g terão o mesmo sinal em todo intervalo (0, b).
1 ′ ) f(t) > 0 e g(t) > 0 ∀ t ∈ (0, b),
2 ′ ) f(t) < 0 e g(t) < 0 ∀ t ∈ (0, b).
35

No caso de termos 1 ′ ) isto implica em f(0) , g(0) , f(b) e g(b) ≥ 0.
No caso de termos 2 ′ ) isto implica em f(0) , g(0) , f(b) e g(b) ≤ 0.
Isto é verdade pois, sem perda de generalidade, vamos assumir que estamos com
a condição 1 ′ ) e supor f(b) < 0. Pela continuidade f existe um δ > 0 tal que para
todo t que satisfaça |b − t| < δ implica que f(t) < 0, ou seja, existe um t < b tal que
f(t) < 0 o que é uma contradição. Portanto concluímos que uma das duas condições
se verifica:
1) f(t) ≥ 0 e g(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0, b],
2) f(t) ≤ 0 e g(t) ≤ 0 ∀ t ∈ [0, b].
Lema 4.1.7 A seqüência de direção {d k } gerada pelo algoritmo FDA-NCP, consiste
em um campo uniforme de direções viáveis do problema de complementaridade em
Ω.
Prova:
Segue da equivalência de normas e do lema 4.1.2 que
para todo x , y ∈ Ωc e 1 ≤ i ≤ n.
∇Hi(y) − ∇Hi(x) ≤ γy − x
Suponhamos que exista θ > 0 tal que para todo x k ∈ Ωc o seguimento
[x k , x k + τd k ] ⊂ Ωc para τ ∈ [0, θ]. Do teorema do valor médio temos que
Hi(x k + τd k ) ≥ Hi(x k ) + τ∇H t i (x k )d k − τ 2 γd k 2
para qualquer τ ∈ [0, θ] e 1 ≤ i ≤ n. Como
segue que
∇Hi(x k )d k = −x k i Fi(x k ) + ρ k
Hi(x k + τd k ) ≥ (1 − τ)Hi(x k ) + (ρ k − τγd k 2 )τ.
36
(1.7)

Em conseqüência,
Hi(x k + τd k ) ≥ 0
para todo 1 ≤ i ≤ n e qualquer τ ≤ min{1,
concluímos que x k + τd k ∈ Ω.
Considerando agora o lema 4.1.4, e pela definição de ρ k temos
Como β ∈ [1, 2], basta escolher
ρ k
γd k 2 }. Portanto, pelo lema 4.1.6
τ ≤ min{1, ρ0
γnκ 2 φ(xk ) β−2 } (1.8)
θ = min{1,
β−2 ρ0c
}.
γnκ2 Lema 4.1.8 Existe ξ > 0 tal que, para todo x k ∈ Ωc, a condição de Armijo no
algoritmo é satisfeita para qualquer t k ∈ [0, ξ].
Prova:
Seja t k ∈ (0, θ], onde θ foi obtido no lema anterior. Aplicando o Teorema do Valor
Médio para i = 1, 2, ..., n e tomando x k+1 = x k + t k d k , nos temos
Hi(x k+1 ) ≤ Hi(x k ) + t k ∇[H(x k )]id k + t k2
γd k 2 .
Somando as n inequações e considerando a equação (1.7), temos:
φ(x k+1 ) ≤ [1 − (1 − ρk n
φ(x k ) )tk ]φ(x k ) + nt k2
γd k 2 .
Considerando agora da condição de Armijo para φ(x k ) e pelo lema 4.1.5, deduzimos
que se,
[1 − (1 − ρk n
φ(x k ) )tk ]φ(x k ) + nt k2
γd k 2 ≤ [1 − t k η(1 − ρk n
φ(x k ) )]φ(xk )
é verificado, então a condição de Armijo no algoritmo é satisfeita. Assim, é suficiente
tomarmos
t k ≤ (1 − η)(1 − ρkn φ(xk ) )φ(xk )
.
γnd k 2
37

Como no lema anterior, podemos tomar
Assim, o lema fica provado para
onde θ foi obtido no Lema 4.1.7.
t k ≤ (1 − η)(1 − ρ0φ(x k ) β−1 ) φ(xk ) −1
ξ = min{ (1 − η)(1 − ρ0cβ−1 )
γnκ2 , θ},
c
γnκ 2 . (1.9)
Como conseqüência dos lemas 4.1.7 e 4.1.8, podemos concluir que o passo da busca
linear de Armijo no algoritmo FDA-NCP é limitado inferiormente por νξ > 0. Assim
podemos enunciar o teorema que garante a convergência global do algoritmo a uma
solução do problema de complementaridade.
Teorema 4.1.1 Dado um ponto inicial estritamente viável, x 0 ∈ Ωc, existe uma
subseqüência de {x k } gerada pelo Algoritmo FDA-NCP que converge para x ∗ , solução
do problema de complementaridade.
Prova:
Segue dos lemas 4.1.4 a 4.1.8 que {x k } ⊂ Ωc. Como Ωc é compacto, a seqüência
{x k } possui ponto de acumulação em Ωc. Seja x ∗ um ponto de acumulação desta
seqüência. Como o tamanho do passo é sempre positivo e limitado inferiormente por
νξ, concluímos que d k → 0. E do sistema do algoritmo temos que {φ(x k )} → 0.
Assim, x ∗ é uma solução do problema de complementaridade.
38

Capítulo 5
Problema de Complementaridade
Mista
5.1 Idéias Básicas
Vamos extender o FDA-NCP para problemas que envolvam mais variáveis e uma
condição de igualdade além da condição de complementaridade. Este tipo de
problema é chamado de Problema de Complementaridade Mista (MNCP). Que tem
a seguinte definição:
Definição 5.1.1 Sejam F : IR n × IR m → IR n e Q : IR n × IR m → IR m , aplicações de
classe C1 em IR n × IR m então uma solução para este problema é:
Encontrar (x, y) ∈ IR n × IR m ⎧
⎪⎨ x • F (x, y) = 0
tal que x ≥ 0 , F (x, y) ≥ 0 e
⎪⎩ Q(x, y) = 0.
Quando F (x, y) e Q(x, y) são lineares temos o Problema de Complementaridade
Mista Linear (MLCP).
Para a utilização do algoritmo FDA-NCP no problema 5.1.1 vamos agregar no
sistema H(x, y) = 0, onde H(x, y) = x•F (x, y), a equação de igualdade Q(x, y) = 0.
Assim o novo sistema fica da seguinte forma:
⎛ ⎞ ⎛
⎞
H(x, y) x • F (x, y)
S(x, y) = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ = 0 (1.1)
Q(x, y) Q(x, y)
39

Tomando Ω = {(x, y) ∈ IR n × IR m / x ≥ 0 e F (x, y) ≥ 0} e a função potencial
f(x, y) = φ(x, y) + Q(x, y) 2 , onde φ(x, y) = x T F (x, y). Vamos procurar uma
solução para o sistema (1.1) na região Ωc = {(x, y) ∈ Ω / f(x, y) ≤ c}. Da mesma
forma como no algoritmo FDA-NCP vamos construir uma seqüência de pontos que
converge para uma solução do sistema (1.1).
É fácil ver que:
(x, y) é uma solução de MNCP ⇔ (x, y) é solução do sistema 1.1 em Ω.
O gradiente de S(x, y) é dado pela expressão:
∇S(x, y) =
⎛
⎝ ∇xH(x, y) Dx∇yF (x, y)
∇xQ(x, y) ∇yQ(x, y)
onde ∇xH(x, y) = DF (x,y) + Dx∇xF (x, y). Aplicando simplesmente uma iteração
de Newton para o sistema (1.1) não garante que a direção d seja viável em Ω assim
pelos mesmos argumentos apresentados no algoritmo FDA-NCP, podemos obter
uma direção de busca viável em Ω resolvendo o seguinte sistema:
⎛
⎝ ∇xH(x k , y k ) D x k∇yF (x k , y k )
∇xQ(x k , y k ) ∇yQ(x k , y k )
⎞
⎠ d k =
⎛
⎞
⎠
⎝ −xk • F (x k , y k ) + ρ k E1
−Q(x k , y k )
⎞
⎠ (1.2)
onde ρ k = ρ0φ(x k ,y k ) β
n ∈ (0, 1), φ(x k , y k ) = x k • F (x k , y k ), ρ0 = α min{1, 1
c β−1 },
α ∈ (0, 1) e β ∈ [1, 2] para todo (xk , yk ⎛ ⎞
) ∈ Ωc. Definimos o seguinte vetor coluna
E =
⎝ E1
E0
⎠ com E1 = [1, 1, ..., 1] T ∈ IR n e E0 = [0, 0, ..., 0] T ∈ IR m .
Assim, o sistema na sua forma compacta é
∇S(x k , y k )d k = −S(x k , y k ) + ρ k E.
40

5.2 Descrição do Algoritmo FDA-MNCP.
O presente algoritmo produzirá uma seqüência de pontos interiores a região Ω
que converge a uma solução do problema de complementaridade mista mediante
a resolução de um sistema de equações e uma busca linear nas restrições x ≥ 0 ,
F (x, y) ≥ 0 e na função potencial f(x, y). A busca utilizada é a de Armijo. Vamos
considerar os seguintes parâmetros:
c, ɛ > 0, α, η, ν ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2]. Dados iniciais: (x 0 , y 0 ) ∈ Ω estritamente viável
tal que f(x 0 , y 0 ) ≤ c e k = 0.
1. Passo 1: Direção de Busca.
Resolva o sistema
2. Passo 2: Busca linear.
∇S(x k , y k )d k = −S(x k , y k ) + ρ k E,
Define-se o tamanho do passo t k como sendo o primeiro valor da seqüência
{1, ν, ν 2 , ν 3 , ...} satisfazendo
1) x k i + t k d k i ≥ 0 para todo 1 ≤ i ≤ n.
2) F ((x k , y k ) + t k d k ) ≥ 0
3) f(x k , y k ) + t k η∇f(x k , y k )d k ≥ f((x k , y k ) + t k d k )
3. Passo 3: Atualização dos Dados (x k+1 , y k+1 ) := (x k , y k ) + t k d k e k := k + 1
4. Passo 4: Critério de parada
Se f(x k+1 ) < ɛ , pare.
caso contrário volte ao passo 1.
41

5.3 Convergência Global para FDA-MNCP
Da mesma forma como fizemos no capítulo 4.1, vamos assumir as seguintes
suposições:
Suposição 5.3.1 O conjunto
Ωc ≡ {(x, y) ∈ Ω | f(x, y) ≤ c}
é compacto e possui interior Ω 0 c = ∅, tal que para cada (x, y) ∈ Ω 0 c satisfaz x > 0 e
F (x, y) > 0.
Suposição 5.3.2 As funções F (x, y) e Q(x, y) são de classe C 1 (ℜ n × ℜ m ) e ainda
∇F (x, y) e ∇Q(x, y) satisfazem a condição de Lipschitz,
e
||∇F (x2, y2) − ∇F (x1, y1)|| ≤ γ0(x2, y2) − (x1, y1)
||∇Q(x2, y2) − ∇Q(x1, y1)|| ≤ L(x2, y2) − (x1, y1)
para qualquer (x1, y1) e (x2, y2) ∈ Ωc, onde γ0 e L são constantes positivas.
Suposição 5.3.3 A matriz ∇S(x, y) é não singular para todo (x, y) ∈ Ωc, ou seja,
existe (∇S(x, y)) −1 para todo (x, y) ∈ Ωc.
Suposição 5.3.4 Existe constante real σ > 0 tal que o seguinte subconjunto Ω ∗ é
não vazio:
Ω ∗ ≡ {(x, y) ∈ Ωc tal que σQ(x, y) ≤ φ(x, y)}.
A suposição 5.3.1 garante a existência de pontos estritamente viáveis em Ωc.
Da suposição 5.3.2 segue que ∇S(x, y) satisfaz a condição de Lipschitz e ainda temos
que Q 2 i (x, y) para i = 1, ..., m também é Lipschitz então sem perda de generalidade
podemos supor que existe uma mesma constante γ > 0 que verifica a condição de
Lipschitz para ∇S(x, y) e Q 2 i (x, y), i = 1, ..., m.
Pela suposição 5.3.3 concluímos que o sistema linear do algoritmo
∇S(x k , y k )d k = −S(x k , y k ) + ρ k E,
42

possui solução única, logo a direção d k esta bem definida. Temos também
que ∇F (x, y) e ∇Q(x, y) são contínuas assim tanto para ∇S(x, y) quanto para
(∇S(x, y)) −1 são aplicações contínuas e limitadas em Ωc. Ou seja existem constantes
positivas κ0, κ tal que ∇S(x, y) ≤ κ0 e (∇S(x, y)) −1 ≤ κ para todo (x, y) ∈ Ωc.
A suposição 5.3.4 garante que quando estamos em um ponto que satisfaz a
complementaridade x • F (x, y) = 0 implica que também irá satisfazer Q(x, y) = 0.
Assim podemos controlar a convergência do algoritmo somente pela condição de
complementaridade x • F (x, y) = 0.
Vamos agora a uma seqüência de resultados que provará a convergência global do
algoritmo FDA-MNCP.
Proposição 5.3.1 Dado um ponto em (x k , y k ) ∈ Ω ∗ , a direção d k dada pelo sistema
(1.2), é viável em Ω desde que f(x k , y k ) = 0.
Prova:
Dado (x k , y k ) ∈ Ω ∗ , a direção d k cumpre:
∇S(x k , y k )d k = −S(x k , y k ) + ρ k E,
e como ρ k > 0. Então as linhas i-ésimas, i ∈ {1, 2, ..., m}, do sistema (1.2) fica
definido da seguinte forma:
[ei.Fi(x k , y k ) + x k i ∇Fi(x k , y k )]d k = −x k i Fi(x k , y k ) + ρ k ,
onde ei é o vetor da base canônica de IR n × IR m e ∇Fi(x k , y k ) =
[∇xFi(x k , y k ), ∇yFi(x k , y k )].
(1) Para um índice i ∈ K temos:
x k i = 0 e Fi(x k , y k ) > 0 portanto:
Para a direção d k temos:
assim, d k i =
ρ k
F k i (xk ,y k )
> 0.
Então, d k i (x k , y k ) > 0 para todo ρ k > 0.
(2) Para um índice i ∈ J temos:
[ei.Fi(x k , y k )]d k = Fi(x k , y k ).d k i = ρ k
43

x k i > 0 e Fi(x k , y k ) = 0 portanto:
Para a direção d k temos:
o que implica que ∇Fi(x k , y k )d k = ρk
x k i
[x k i ∇Fi(x k , y k )]d k = ρ k
> 0.
Então, ∇Fi(x k , y k )d k > 0 para todo ρ k > 0.
Logo pela proposição 3.1.1 temos que d k é uma direção viável no ponto (x k , y k ).
Lema 5.3.1 Dado (x k , y k ) ∈ Ω ∗ , f(x k , y k ) = 0, a direção d k dada pelo sistema
(1.2), é uma direção de descida para a função potencial
f(x k , y k ) = φ(x k , y k ) + Q(x k , y k ) 2 n
= x
i=1
k i Fi(x k , y k m
) + Q
j=1
2 j(x k , y k ),
com ρ0φ(x k , y k ) β−1 < 1 onde β ∈ [1, 2] , ρ0 = α min{1, 1
c β−1 } e α ∈ (0, 1).
Prova:
A função f(x k , y k ) é estritamente positiva para todo ponto (x k , y k ) em Ω que
não seja solução do problema 5.1.1, e ainda, todo ponto (x k , y k ) ∈ Ω tal que
f(x k , y k ) = 0 implica que (x k , y k ) é uma solução do problema 5.1.1, ou seja, x k ≥ 0
, F (x k , y k ) ≥ 0 , x k • F (x k , y k ) = 0 e Q(x k , y k ) = 0.
O gradiente de f(x k , y k ) é dado por:
= ( E T 1
Dada a direção d k temos:
∇f(x k , y k ) = ( ET 1
⎛
2Q T (x k , y k ) )
∇f(x k , y k )d k = ( E T 1
= ( E T 1
2Q T (x k , y k ) ) ∇S(x k , y k ) =
⎝ M(xk , y k ) D x k∇yF (x k , y k )
∇xQ(x k , y k ) ∇yQ(x k , y k )
2Q T (x k , y k ) ) W (x k , y k )d k =
2Q T (x k , y k ) ) (−S(x k , y k ) + ρ k E) =
= − ( E T 1 2Q T (x k , y k ) ) S(x k , y k ) + ρ k ( E T 1 2Q T (x k , y k ) ) E =
= −φ(x k , y k ) − 2Q(x k , y k ) 2 + nρ k =
= −2[f(x, y) − 1 + ρ0φ(xk , yk ) β−1
φ(x
2
k , y k )] < 0.
44
⎞
⎠ .

Por tanto a direção d k é uma direção de descida para f(x k , y k ).
Da ultima equação deste lema obtemos a seguinte equação
∇f(x k , y k )d k ≤ −(1 − ρ0φ(x k , y k ) β−1 )f(x k , y k )
que é equivalente a proposição 3.1.3 do caso FDA-NCP.
Lema 5.3.2 Dado um ponto (x k , y k ) ∈ Ω ∗ a direção d k calculada pelo FDA-MNCP,
satisfaz a seguinte desigualdade:
conseqüentemente, d k ≤ kc para todo (x k , y k ) ∈ Ω ∗ .
Prova:
Temos o seguinte sistema:
d k ≤ kφ(x k , y k ), (3.1)
∇S(x k , y k )d k = −S(x k , y k ) + ρ k E
Como a matriz (∇S(x k , y k )) −1 é não singular, podemos estimar d k através da
seguinte desigualdade:
d k ≤ (∇S(x k , y k )) −1 − S(x k , y k ) + ρ k E.
Então basta estimar um valor para − S(x k , y k ) + ρ k E. Assim segue que
− S(x k , y k ) + ρ k E 2 = S(x k , y k ) 2 − 2ρ k φ(x k , y k ) + n(ρ k ) 2 =
= [x k • F (x k , y k ) 2 − 2ρ k φ(x k , y k ) + n(ρ k ) 2 ] + Q(x k , y k ) 2
pelos mesmos argumentos do lema 4.1.4 da seção 4 temos que
x k • F (x k , y k ) 2 − 2ρ k φ(x k , y k ) + n(ρ k ) 2 ≤ φ(x k , y k ) 2 .
Portanto pela suposição 5.3.4 segue que
− S(x k , y k ) + ρ k E 2 ≤
1 + σ2
σ 2 φ(xk , y k ) 2
1+σ2 o permite concluir a inequação (3.1) do lema onde κ = κ σ2 .
45

Lema 5.3.3 A seqüência de direção {d k } gerada pelo algoritmo FDA-
MNCP, consiste em um campo uniforme de direções viáveis do problema de
complementaridade em Ω.
Prova:
Como ∇S(x k , y k ) é Lipschitz sem perda de generalidade temos que para cada
i = 1, ..., n + m
∇Si(x k 2, y k 2) − ∇Si(x k 1, y k 1) ≤ γ(x k 2, y k 2) − (x k 1, y k 1)
para todo (x k 1, y k 1) , (x k 2, y k 2) ∈ Ω ∗ .
Seja (x k , y k ) ∈ Ω ∗ e θ > 0 tal que o seguimento [(x k , y k ), (x k , y k ) + τd k ] ⊂ Ω para
todo τ ∈ [0, θ].
Do teorema do valor médio temos que
Si((x k , y k ) + τd k ) ≥ Si(x k , y k ) + τ∇S T i (x k , y k )d k − τ 2 γd k 2
para qualquer τ ∈ [0, θ] e 1 ≤ i ≤ n.
Para cada i = 1, ..., n temos
logo
∇S T i (x k )d k = −x k i Fi(x k , y k ) + ρ k
Si((x k , y k ) + τd k ) ≥ (1 − τ)Si(x k , y k ) + (ρ k − τγd k 2 )τ.
Portanto, para todo i = 1, ..., n e qualquer τ ≤ min{1,
Si((x k , y k ) + τd k ) ≥ 0.
Assim, pelo lema 4.1.6 concluímos que (x k , y k ) + τd k ∈ Ω.
Considerando agora o lema 3.1, e pela definição de ρ k temos
Como β ∈ [1, 2], o lema é valido para
ρ k
γd k 2 } temos
(3.2)
τ ≤ min{1, ρ0
γnκ 2 φ(xk , y k ) β−2 } (3.3)
θ = min{1,
46
β−2 ρ0c
}.
γnκ2

Lema 5.3.4 Existe ξ > 0 tal que, para (x k , y k ) ∈ Ω ∗ , a condição de Armijo no
algoritmo FDA-MNCP é satisfeita para qualquer t k ∈ [0, ξ].
Prova:
Seja t k ∈ (0, θ], onde θ foi obtido no lema anterior. Aplicando o Teorema do Valor
Médio para i = 1, 2, ..., n e tomando (x k+1 , y k+1 ) = (x k , y k ) + t k d k , nos temos
Si((x k+1 , y k+1 )) ≤ Si(x k , y k ) + t k ∇[S(x k , y k )]id k + t k2
γd k 2 .
Somando as n inequações e considerando a equação (3.2), temos:
φ(x k+1 , y k+1 ) ≤ (1 − t k )φ(x k , y k ) + t k nρ k + nt k2
γd k 2 .
Do Teorema do Valor Médio para Q 2 i (x k , y k ), i = n + 1, ..., n + m, e como
∇[S(x k , y k )]id k = −Qi(x k , y k ), obtemos a seguinte inequação
Q 2 i (x k+1 , y k+1 ) ≤ (1 − t k )Q 2 i (x k , y k ) + t k2
γd k 2 .
Agora somando de 1 até m obtemos
Q(x k+1 , y k+1 ) 2 ≤ (1 − t k )Q(x k , y k ) 2 + mt k2
γd k 2 .
Somando as duas expressões temos
f(x k+1 , y k+1 ) ≤ (1 − t k )f(x k , y k ) + t k (nρ k + (n + m)t k γd k 2 ).
Da definição de ρ k e da suposição 5.3.4 segue para (x k , y k ) ∈ Ω ∗ as seguintes
desigualdades
nρ k
f(x k , y k ) ≤ ρ0φ(x k , y k ) β−1
Das desigualdades acima obtemos
f(x k+1 , y k+1 ) ≤ [1 − (1 − ρ0φ(x k , y k ) β−1 −
e f(x k , y k ) ≤ (1 + cσ 2 )φ(x k , y k ).
n + m
1 + cσ2 γdk2 φ(xk , yk ) tk )t k )]f(x k , y k )
Da busca linear do algoritmo FDA-MNCP aplicado na função f(x k , y k ) e pelo lema
5.3.1 temos
f(x k+1 , y k+1 ) ≤ [1 − t k η(1 − ρ0φ β−1 (x k , y k )]f(x k , y k )
47

Assim para satisfazer a condição de Armijo basta que
[1−(1−(ρ0φ(x k , y k ) β−1 n + m
+
1 + cσ2 γdk2 φ(xk , yk ) tk )t k )]f(x k , y k ) ≤ [1−t k η(1−ρ0φ(x k , y k ) β−1 ]f(x k , y k )
segue
(1 − ρ0φ(x k , y k ) β−1 ) −
e portanto tomando
n + m
1 + cσ2 γdk2 φ(xk , yk ) tk ≥ η(1 − ρ0φ(x k , y k ) β−1 )
t k ≤ (1 − η)(1 − ρ0φ(x k , y k ) β−1 1 + cσ2 φ(x
)
n + m
k , yk )
γdk2 temos a condição de Armijo satisfeita.
Assim, o lema fica provado para
onde θ foi obtido no Lema 5.3.3.
ξ = min{(1 − η)(1 − ρ 0 c β−1 1 + cσ
)
2
(n + m)γκ2 , θ},
c
(3.4)
Como conseqüência dos lemas 5.3.3 e 5.3.4, temos que para todo (x k , y k ) ∈ Ω ∗ o
próximo ponto (x k+1 , y k+1 ) = (x k , y k )+t k d k com t k ∈ [0, ξ] pertence ao conjunto Ωc.
Assim antes de enunciar o teorema que garante a convergência global do algoritmo a
uma solução do problema de complementaridade mista. Vamos mostrar que o passo
da busca de Armijo é limitado inferiormente por νξ > no conjunto Ω ∗ .
Lema 5.3.5 Existe ξ > 0 tal que, para (x k , y k ) ∈ Ω ∗ , o ponto (x k+1 , y k+1 ) =
(x k , y k ) + t k d k pertence ao conjunto Ω ∗ para qualquer t k ∈ [0, ξ].
Prova:
Pelos lemas 5.3.3 e 5.3.4 temos que z k+1 = (x k , y k ) + t k d k ∈ Ωc para todo t k ∈ (0, ξ).
Vamos mostrar que z k+1 ∈ Ω ∗ . Assim como no lema 5.3.3 temos
para todo i ∈ {1, ...n}.
Si(z k+1 ) ≥ (1 − t k )Si(x k , y k ) + t k ρ k − (t k ) 2 γd k 2 .
Somando as n inequações acima obtemos;
φ(z k+1 ) ≥ (1 − t k )φ(x k , y k ) + nρ k t k − n(t k ) 2 γd k 2
48
(3.5)

usando a Fórmula de Newton-Leibnitz, ver em [29], temos que
Q(z k+1 ) = Q(x k , y k ) + t k 1
[ ∇Q((x
0
k , y k ) + θt k d k )dθ]d k =
= Q(x k , y k ) + t k ∇Q(x k , y k )d k + t k 1
[ (∇Q((x k , y k ) + θt k d k ) − ∇Q(x k , y k ))d k )dθ]d k =
0
= (1 − t k )Q(x k , y k ) + t k 1
[ (∇Q((x, y) + θt
0
k d k ) − ∇Q(x k , y k ))d k )dθ]d k
como ∇Q(x k , y k ) é Lipschitz contínua, nos chegamos à seguinte expressão
Q(z k+1 ) ≤ Q(x k , y k )(1 − t k ) + L(t k ) 2 d k 2
Multiplicando a expressão acima por −σ, onde σ é a constante da suposição 5.3.4.
−σQ(z k+1 ) ≥ −σQ(x k , y k )(1 − t k ) − σL(t k ) 2 d k 2
Somando as duas equações 3.5 e 3.6
(3.6)
φ(z k+1 )−βγQ(z k+1 ) ≥ (1−t k )[φ(x k , y k )−σQ(x k , y k )]+[nρ k −(nγ+σL)t k d k 2 ]t k
como [φ(x k , y k ) − σQ(x k , y k )] ≥ 0 basta que [nρ k − (nγ + σL)t k d 2 ] ≥ 0 ou seja
onde δ = nγ
nγ+σL
t k ≤
nρk (nγ + σL)dk ρk
= δ
2 γd2 ∈ (0, 1]. Logo basta tomar ξ = min{δ ρ0c β−2
γnκ 2 , ξ} para termos
φ(z k+1 ) − σQ(z k+1 ) ≥ 0 para todo t k ∈ (0, ξ) o que garante que z k+1 ∈ Ω ∗ .
Um observação importante que destacamos para este resultado é que quando a
função Q(x, y) for linear temos que L = 0 e portanto δ = 1 o que implica que ξ = ξ.
Teorema 5.3.1 Dado um ponto inicial estritamente viável, (x 0 , y 0 ) ∈ Ω ∗ , existe
uma subseqüência de {(x k , y k )} gerada pelo Algoritmo FDA-MNCP que converge
para (x ∗ , y ∗ ), solução do problema de complementaridade mista.
Prova:
Segue dos lemas 3.1 a 5.3.5 que {(x k , y k )} ⊂ Ωc. Como Ωc é compacto, a
seqüência {(x k , y k )} possui ponto de acumulação em Ωc. Seja (x ∗ , y ∗ ) um ponto
de acumulação desta seqüência. Como o tamanho do passo é sempre positivo
49

e limitado inferiormente por νξ, concluímos que d k → 0. E do sistema do
algoritmo temos que {f(x k , y k )} → 0. Assim, (x ∗ , y ∗ ) é uma solução do problema
de complementaridade.
50

Capítulo 6
Análise de Convergência
Assintótica
Agora veremos resultados sobre a taxa de convergência dos algoritmos FDA-NCP e
FDA-MNCP. Primeiramente observaremos que uma iteração realizada em qualquer
um dos algoritmos é uma iteração do tipo Newton Amortecido com uma pertubação
e as suposições pedidas nos algoritmos, FDA-NCP(4.0.1-4.0.3) e FDA-MNCP
(5.3.1-5.3.4), satisfazem as suposições do Método de Newton clássico (1.1.1-1.1.3) e
que são utilizadas para o caso de Newton Amortecido com uma pertubação.
6.1 Resultados de Convergência Assintótica
Antes de enunciar o Teorema de convergência assintótica veremos o esquema
iterativo do Método de Newton Amortecido com uma pertubação e compararemos
com o esquema iterativo do algoritmo FDA-NCP (FDA-MNCP). Portanto, para
resolver numericamente o sistema de equações (1.15), T (z) = 0, o Método de Newton
Amortecido realiza a seguinte iteração
z k+1 = z k − t k T ′−1 (z k )[T (z k ) − µ k P ] , k = 0, 1, 2, ... (1.1)
onde 0 < t k ≤ 1, µ k > 0 e P um vetor fixo em IR p .
51

Lembrando que a seqüência gerada pelos algoritmos FDA-NCP ou FDA-MNCP é
baseada na resolução de um sistema de equações mais uma busca linear nas restrições
de complementaridade e na função potencial associado ao problema. O que nos
remete ao método de Newton Amortecido com uma pertubação (1.1): Observe que
quando tomamos p = n, z k = x k , T (z k ) = H(x k ), T ′−1 (z k ) = (∇H(x k )) −1 , P = E
, µ k = ρ k e t k como o passo da busca linear descrita no algoritmo FDA-NCP temos
que a equação (1.1) é exatamente o esquema de iteração para o algoritmo FDA-NCP.
onde ρ k = ρ0 φβ (x k )
n
x k+1 = x k − t k (∇H(x k )) −1 [H(x k ) − ρ k E] , k = 0, 1, 2, ... (1.2)
e β ∈ [1, 2].
Assim temos o seguinte teorema.
Teorema 6.1.1 Considere a seqüência {x k } gerada pelo algoritmo FDA-NCP, que
converge para uma solução x ∗ do problema de complementaridade. Então,
(i) Tomando β ∈ (1, 2), t k = 1 para k suficientemente grande e a taxa de
convergência do algoritmo é superlinear.
(ii) Se t k = 1 para k suficientemente grande e β = 2, então a taxa de convergência
é quadrática.
Prova:
Considerando o teorema 4.1.1, nos deduzimos das equações (1.8) e (1.9) que para k
suficientemente grande, o comprimento do passo obtido da busca linear de armijo é
t k = 1 se β ∈ (1, 2).
A análise que faremos agora segue os mesmos procedimentos do Método de Newton
usual e pode ser visto em [29] , [56].
x k+1 −x ∗ = x k +t k d k −x ∗ = (1−t k )(x k −x ∗ )+t k (x k −x ∗ +(∇H(x k )) −1 [−H(x k )+ρ k E])
x k+1 −x ∗ ≤ (1−t k )x k −x ∗ +t k (∇H(x k )) −1 ∇H(x k )(x k −x ∗ )−H(x k )+ρ k E
da suposição 4.0.3, existe uma constante κ > 0 tal que M −1 (x k ) ≤ κ para todo
x k ∈ Ωc.
x k+1 − x ∗ ≤ (1 − t k )x k − x ∗ + κρ k E + κH(x k ) − ∇H(x k )(x k − x ∗ )
52

como ∇H(x k ) é localmente Lipschitz contínuo e da formulá de Newton-Leidnitz
temos que
x k+1 − x ∗ ≤ (1 − t k )x k − x ∗ + κ √ nρ k + O(x k − x ∗ 2 )
assim lembrando que ρ k = ρ0 φ(xk ) β
n
x k+1 − x ∗ ≤ (1 − t k )x k − x ∗ + κρ0φ(x k ) β
√ n
Do Teorema do Valor Médio segue que
com β ∈ [1, 2] segue a seguinte desigualdade
φ β (y) ≤ φ(x) β + βφ(x) β−1√ n O(y − x),
+ O(x k − x ∗ 2 ), (1.3)
onde x = x + ɛ(y − x) para algum ɛ ∈ (0, 1). tomando x = x ∗ e para todo y = x k
suficientemente próximo de x ∗ temos
φ(x k ) β ≤ βφ(x) β−1√ n O(x k − x ∗ ).
A prova de (i) segue observando que para β ∈ (1, 2), φ(x k ) β = o(x k − x ∗ ) e por
substituição em (1.3) concluímos que
x
lim
k→∞
k+1 − x∗ xk − x∗ Portanto, a taxa de convergência é superlinear.
= 0.
O resultado (ii) é obtido de forma similar. Observe que para β = 2 temos que
φ(x k ) 2 = O(x k − x ∗ 2 ) e neste caso a equação (1.8) do lema 4.1.7 não assegura que
t k = 1 para k suficientemente grande assim pedimos que t k ≡ 1 para todo k > k0
com k0 suficientemente grande, logo
lim
k→∞
xk+1 − x∗ xk − x∗ < ∞.
2 Ficando assim provado a convergência quadrática.
O teorema que acabamos de demonstrar também é valido para o caso de
complementaridade mista. Basta tomar na equação (1.1) os seguintes valores:
p = n + m, z k = (x k , y k ), T (z k ) = S(x k , y k ), T ′−1 (z k ) = S(x k , y k ) −1 , P = E ,
µ k = ρ k e t k como o passo da busca linear descrita no algoritmo FDA-MNCP. Então
o esquema de iteração para o algoritmo FDA-MNCP é
(x k+1 , y k+1 ) = (x k , y k ) − t k S(x k , y k ) −1 [S(x k , y k ) − ρ k E] , k = 0, 1, 2, ... (1.4)
53

onde ρ k = ρ0 φ(xk ,y k ) β
n
e β ∈ [1, 2].
E o teorema equivalente para o algoritmo FDA-MNCP é:
Teorema 6.1.2 Considere a seqüência {(x k , y k )} gerada pelo algoritmo FDA-
MNCP, que converge para uma solução (x ∗ , y ∗ ) do problema de complementaridade
mista. Então,
(i) Tomando β ∈ (1, 2), t k = 1 para k suficientemente grande e a taxa de
convergência do algoritmo é superlinear.
(ii) Se t k = 1 para k suficientemente grande e β = 2, então a taxa de convergência
é quadrática.
Prova:
Segue os mesmos argumentos usados na demonstração do teorema 6.1.1.
54

Capítulo 7
Usando FAIPA para Resolver
NCP
Os Algoritmos FAIPA, (Feasible Arc Interior Point Algorithm) [26] e FDIPA
(Feasible Direct Interior Point Algorithm) [26] são métodos de pontos interiores
utilizado para resolver problemas de otimização não linear do tipo 1.2:
min f(x)
Sugeito a: g(x) ≤ 0
e h(x) = 0
onde f : IR n → IR, g : IR n → IR m e h : IR n → IR p são funções suaves, não
necessariamente convexa.
Para resolver este problema, José Herskovits propôs em 1982 um algoritmo
de primeira ordem de direções viáveis, [[22],[24]] que possui uma convergência
super-linear mesmo incluindo uma estimativa quasi-Newton para a Hessiana da
função Lagrangeana 1.6,[23]. O algoritmo requer um ponto inicial x, no interior
da região definida pelas restrições de desigualdades, ele gera uma seqüência de
pontos também no interior desta região. Quando temos somente restrições de
desigualdades, a função objetivo é reduzida a cada iteração.
Em ambos algoritmos FDIPA e FAIPA, o esquema das iterações é definido por:
Primeiro estágio, define uma direção de descida por meio de resolução de um
sistema linear nas variáveis primal e dual.
55

No segundo estagio, o sistema linear é perturbado de tal forma a ter uma deflexão
na direção de descida e assim obter uma direção de descida e viável para o problema.
(FDIPA)
No caso do FAIPA, um terceiro estágio é resolvido afim de obter um arco viável e
assim evitar o efeito Maratos. No FAIPA, uma busca em arco é aplicada para obter
um novo ponto interior a região viável e que reduz o valor da função potencial,
assegurando assim a convergência Global.
7.1 FAIPA
Aplicaremos o FAIPA em problemas de complementaridade 1.1.13. Para tal
consideraremos o problema de programação não linear com restrições dado abaixo.
min f(x)
Sujeito a: g(x) ≤ 0
(1.1)
Notação: Nos denotamos ∇g(x) ∈ IR n×m a matriz das derivadas de g e chamaremos
λ ∈ IR m o vetor da variável dual, Ω ≡ {x ∈ IR n / g(x) ≤ 0} o conjunto viável, Ω o seu
interior, L(x, λ) = f(x)+λ t g(x) a Lagrangeana e H(x, λ) = ∇ 2 f(x)+ m i=1 λi∇ 2 gi(x)
sua Hessiana. G(x) denota a matriz diagonal tal que Gii(x) = gi(x).
Então, as condições de otimalidade de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker
(KKT) são expressado da seguinte forma:
∇f(x) + ∇g(x)λ = 0, (1.2)
G(x)λ = 0, (1.3)
g(x) ≤ 0, (1.4)
λ ≥ 0. (1.5)
Um vetor (x ∗ , λ ∗ ) satisfazendo as equações 1.2 e 1.3 é chamado um Par
Estacionário do problema 1.1 e um Par KKT se este satisfizer as condições de KKT
56

(1.2-1.5). Um vetor x ∗ é um Ponto Estacionário (Ponto KKT) se existe λ ∗ tal que
(x ∗ , λ ∗ ) constituindo um par estacionário (par KKT).
Para o problema de otimização não linear sem restrições de igualdade 1.1, o
algoritmo FDIPA (Feasible Direct Interior Point Algorithm) proposto por Herskovits
[22] é um algoritmo de direções viáveis. Em cada iteração é achada uma direção
viável e de descida para a função objetivo. Uma busca linear inexata nessa direção
para a função objetivo determina o próximo ponto viável. Para definir a direção de
busca o algoritmo FDIPA baseia-se na direção da iteração de Newton na variável
(x, λ) para o sistema de equações dado pelas igualdades das condições de otimalidade
de primeira ordem Eqs. 1.2 e 1.2.
A iteração de Newton (amortecida) é:
onde a direção (dx, dλ) verifica:
⎛
(xk+1, λk+1) = (xk, λk) + t(dx, dλ)
⎝ Hk −∇gk
Λk∇gT k Gk
⎞ ⎛
⎠ ⎝ dx
⎞ ⎛
⎠ = ⎝
dλ
−∇xLT ⎞
k
⎠ (1.6)
−Λkgk
Na Eq. 1.6, Hk = H(xk, λk) é a Hessiana da função lagrangeana, Lk = L(xk, λk) é a
função lagrangeana e Λk e Gk são as matrizes diagonais diag(λk) e diag(g(xk)).
Definindo a variável λ = λk +dλ a direção dx pode-se achar resolvendo o sistema:
⎛
⎝ Hk ∇gk
Λk∇gT ⎞ ⎛
⎠ ⎝
k Gk
dx
⎞ ⎛
⎠ = ⎝
λ
−∇f T ⎞
k
⎠ (1.7)
0
Em geral o método de Newton não converge para um mínimo local do problema
1.1 já que em alguns casos a direção dx não está bem definida pois a matriz de
coeficientes das Eqs. 1.6 e 1.7 é singular. De qualquer forma, mesmo que a matriz
seja não singular para todos os pontos da seqüência gerada, esta seqüência pode
ser divergente ou convergir para um ponto que não seja mínimo local do problema
1.1. Pode acontecer o caso no qual o algoritmo converge para um máximo local do
problema 1.1, já que nesses pontos as equações de igualdade das condições de KKT
verificam-se para valores não necessariamente positivos da variável λ. Para garantir
convergência global para um ponto de KKT do problema 1.1 o algoritmo FDIPA
modifica a forma em que calcula-se a direção de busca dx e introduz uma busca
linear na função objetivo para achar o passo t. As principais modificações são:
57

1. Modificação da matriz do sistema: Esta modificação é feita para que a matriz
do sistema linear não seja singular e para garantir que a direção de busca
seja de descida para a função objetivo. A matriz Hk é substituída por uma
matriz Bk definida positiva. A direção achada resolvendo este sistema, d a x, é
de descida para a função objetivo. A mesma calcula-se resolvendo o sistema:
⎛
⎝ Bk
Λk∇g
∇gk
T k
⎞ ⎛
⎠ ⎝
Gk
da ⎞ ⎛
x
⎠ = ⎝
λa
−∇f T ⎞
k
⎠
0
(1.8)
2. Deflexão da direção de busca: Ainda que a direção d a x seja de descida para a
função objetivo, as restrições do problema podem obrigar o algoritmo a dar
passos cada vez menores, levando a convergência da seqüência de pontos para
um ponto na fronteira da região viável, não necessariamente mínimo local do
problema. Para evitar este comportamento é necessário um desvio na direção
de busca de forma que a nova direção aponte para dentro da região viável,
permitindo um maior progresso á solução. A direção desviada calcula-se como:
dx = d a x + ρd b x
onde ρ é um valor suficientemente pequeno de modo que a direção dx seja
também de descida para a função objetivo. Calcula-se a direção de desvio d b x
resolvendo o seguinte sistema linear:
⎛
⎝ Bk ∇gk
Λk∇gT ⎞ ⎛
⎠
k Gk
onde ωk ∈ IR m +.
⎝ db x
λb
⎞ ⎛
⎠ = ⎝
0
⎞
⎠ (1.9)
−Λkωk
3. Correção de segunda ordem: Outra modificação importante é uma correção
de segunda ordem sobre a equação de complementaridade 1.1.5 para melhorar
a convergência do algoritmo. Esta modificação é feita para evitar um efeito
similar ao descrito por Maratos que afetaria a velocidade de convergência do
algoritmo se não fora implementada.
calcula-se a partir do seguinte sistema linear:
⎛
⎝ Bk −∇gT ⎞ ⎛
k
⎠ ⎝
Λk∇gk Gk
dc ⎞ ⎛
x
⎠ = ⎝
λc
0
⎞
⎠ (1.10)
−Λk ˜ωk
58

onde o vetor ˜ωk calcula-se com a fórmula:
˜ωk = g(xk + dx) − g(xk) − ∇g(xk)dx
(1.11)
4. O novo ponto da seqüência se encontrará sobre o arco x(t) = xk + tdx + t 2 kd c x.
5. Busca linear em arco: Consiste em achar t de modo a minimizar
aproximadamente a função objetivo e satisfazendo as restrições de
desigualdade do problema sobre o arco definido pelos vetores dx e dc.
7.2 Descrição do Algoritmo FAIPA
Parâmetros: ψ ∈ (0, 1), η ∈ (0, 1), φ > 0 e ν ∈ (0, 1).
Dados: x0 ∈ Ω 0 , λ0 positivo, B0 ∈ IR n×n simétrica definida positiva e ω0 ∈ IR m
positivo.
Passo 1: Cálculo da direção
1. Ache (d a x, λa) resolvendo o sistema linear da Eq. 1.8.
Se d a x = 0, fim.
2. Ache (d b x, λb) resolvendo o sistema linear da Eq. 1.9.
3. Se ∇fkd b x > 0, defina:
Se não, defina:
4. A direção viável:
também:
ρ = min
φd a x 2 ; (ψ − 1) ∇fkd a x
∇fkd b x
ρ = φd a x 2
dx = d a x + ρd b x
λ = λa + ρλb
5. Ache a direção d c x resolvendo o sistema linear da Eq. 1.10.
59

Passo 2: Busca linear em arco
Calcule t como o primeiro número da seqüência {1, ν, ν 2 , ν 3 , ...} que satisfaça:
Passo 3: Atualização
f(xk + tdx + t 2 d c x) ≤ f(xk) + tη∇fkdx
e para i = 1, .., m
Defina xk+1 = xk + tdx + t 2 d c x.
gi(xk + tdx + t 2 d c x) < 0 se λi ≥ 0
ou
gi(xk + tdx + t 2 d c x) ≤ gi(xk) se λi < 0
Defina valores para λk+1 > 0, ωk+1 > 0 e Bk+1 simétrica definida positiva.
Retorne ao Passo 1.
Uma regra para a atualização de λ pose ser vista em Herskovits [25].
7.3 Reformulando NCP com Problema de
Minimização com Restrição
Vamos formular o problema de complementaridade 1.1.13 em um problema de
minímização com restrições de desigualdades 1.1.
onde,
min f(x) (3.1)
x∈Ω
f(x) = n i=1 xiFi(x), Ω = {x ∈ IR n ⎛ ⎞
−F (x)
/ g(x) ≤ 0} e g(x) = ⎝ ⎠ .
−x
portanto as condições de KKT dadas em (1.2-1.5) para o problema 3.1 ficam:
∇f(x) − (∇F (x)) T λ 1 − Λ 2 = 0, (3.2)
−F (x)λ 1 = 0,
−Xλ 2 = 0,
60
(3.3)

−F (x) ≤ 0,
−X ≤ 0,
λ 1 ≥ 0,
λ 2 ≥ 0,
onde Λ2 é uma matriz diagonal e
∇F (x) =
⎛ ∂F1(x)
∂x1 ⎜ ∂F2(x)
⎜ ∂x1
⎜ .
⎝
∂F1(x)
∂x2
∂F2(x)
∂x2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂F1(x) ⎞
∂xn ⎟
∂F2(x) ⎟
∂xn ⎟ .
.
⎟
⎠
∂Fn(x)
∂x1
∂Fn(x)
∂x2
. . .
∂Fn(x)
∂xn
Logo a Matriz do sistema 1.7 fica da seguinte forma:
⎛
Hk
⎜
⎝
−∇F T −Λ
k −Id
1 k∇Fk D−Fk 0
−Λ2 ⎞
⎟
⎠
kId 0 D−xk
(3.4)
(3.5)
(3.6)
onde Hk = ∇ 2 f(x k ) − n i=1 λ 1k
i ∇ 2 Fi(x k ) e Id é a matriz identidade de ordem n.
Considerações na utilização do FAIPA:
1. Um ponto x ∗ é solução do problema de complementaridade 1.1.13 se e somente
se f(x) = 0 e x ∈ Ω.
2. O Algoritmo FAIPA converge a um par (x ∗ , λ ∗ ) de KKT. Assim pode ocorrer
que o algoritmo convirja para um ponto x ∗ de mínimo local para o problema
3.1 que não seja solução do problema de complementaridade 1.1.13, ou seja,
f(x) > 0 .
3. O problema de complementaridade 1.1.13 está definido em IR n enquanto o
algoritmo FAIPA trabalha com um sistema em IR 3n , ou seja, o numero de
varáveis é aumentado na ordem de 2n.
4. Muitos métodos para problemas de complementaridade trabalha só com a
primeira derivada de F (x). Já o FAIPA se utilizar a Hessiana H(x, λ) precisará
da derivada segunda das Fi ′ s(x) ou então utilizar o método quase-Newton para
substituir a matriz Hessiana H(x, λ).
61

7.4 Uma nova atualização de λ no FAIPA
Lembrando que o algoritmo FAIPA converge a um ponto (x ∗ , λ ∗ ) de KKT (1.2-1.5)
do problema de minimização (1.1). Logo, ao aplicar o FAIPA no problema (3.1), irá
convergir para um ponto (x ∗ , x ∗ , F (x ∗ )) que é de KKT (3.2-3.5) deste problema
de minimização. Resta então garantir que x ∗ é uma solução do problema de
complementaridade 1.1.13. Antes de enunciarmos o resultado que comprovará isto
vamos a seguinte definição.
Definição 7.4.1 Uma Função F : IR n → IR n é dita monótona em IR n se
(x − y) T (F x) − F y)) ≥ 0 para todo x, y ∈ IR n .
Uma observação importante aqui é o fato da jacobiana de F (x) ser semi definida
positiva. (ver em [40],[10]).
Teorema 7.4.1 Seja F (x) uma função diferenciável e monótona em algum
conjunto aberto contendo IR n +. Se o ponto (x∗ , λ1∗, λ2∗) satisfaz as condições de KKT
(3.2-3.5) do problema 3.1, então x ∗ é solução do problema de complementaridade
1.1.13. Reciprocamente se x ∗ é solução do problema de complementaridade 1.1.13,
então x∗ ,λ1∗ = x∗ e λ2∗ = F (x∗ ) formam uma tríplice que satisfaz as condições de
KKT (3.2-3.5) do problema 3.1.
Prova:
Observe que ∇f(x ∗ ) = F (x ∗ ) + (∇F (x ∗ )) T x ∗ . Vamos mostrar a ida. Segue da
equação (3.2) que
F (x ∗ ) + (∇F (x ∗ )) T (x ∗ − λ 1∗
) − λ 2∗
= 0
multiplicando nesta ultima equação (x∗ − λ1∗) T obtemos
(x ∗ − λ 1∗
) T F (x ∗ ) + (x ∗ − λ 1∗
) T (∇F (x ∗ )) T (x ∗ − λ 1∗
) − (x ∗ − λ 1∗
) T λ 2∗
= 0 (4.1)
como (x∗ , λ1∗, λ2∗) satisfazem as condições de KKT da equação (3.3) temos que
F (x∗ )λ1∗ = 0 e x∗λ2∗ = 0. Substituindo então estes valores na equação (4.1)
(x ∗ ) T F (x ∗ ) + (λ 1∗
) T λ 2∗
+ (x ∗ − λ 1∗
) T (∇F (x ∗ )) T (x ∗ − λ 1∗
) = 0. (4.2)
62

Como cada um dos três termo desta igualdade é positivo, pois segue das equações
(3.4-3.5) x ∗ ≥ 0, F (x ∗ ) ≥ 0, λ 1∗
≥ 0,λ2∗ ≥ 0 e da monotonicidade de F (x) segue que
(x∗ −λ1∗ ) T (∇F (x∗ )) T (x∗ −λ1∗ ) ≥ 0. Portanto podemos concluir que x∗ •F (x∗ ) = 0,
ou seja, x ∗ é uma solução do problema de complementaridade 1.1.13.
A volta é imediata pois se x ∗ é uma solução do problema de complementaridade
segue que x∗ ≥ 0, F (x∗ ) ≥ 0 e x∗T F (x∗ ) = 0. Assim tomando λ1∗ λ 2∗
= x ∗ e
= F (x ∗ ) e substituindo nas condições de KKT (3.2-3.5) obtemos o resultado
esperado.
Portanto com este resultado temos a garantia que a seqüência gerada pelo FAIPA
converge para uma solução do problema de complementaridade e ainda quando x ∗
for uma solução do problema de complementaridade 1.1.13 os pontos x ∗ e F (x ∗ )
funcionam como os multiplicadores de Lagrange, λ 1∗
e λ 2∗
respectivamente, do
problema (3.1). Assim como no algoritmo FAIPA existe uma familia de atualizações
para os multiplicadores de Lagrange vamos propor a seguinte.
Definição 7.4.2 Como as iterações ocorrem no interior da região viável, ou seja
x > 0 e F (x) > 0 e da regra de atualização proposta em [25] vamos tomar
λ 1 = x e λ 2 = F (x)
Com atualização acima para λ 1 , a matriz Hessiana B que é definida por
fica da seguinte forma
B = ∇F + (∇F ) T n
+ (xi − λ
i=1
1 i )∇ 2 Fi
B = ∇F (x) + (∇F (x)) T
(4.3)
Observe que agora B só depende da primeira derivada que é o cálculo exato da
Hessiana para esta atualização. Sendo ∇F (x) definida positiva, temos que B satisfaz
as condições pedida pelo algoritmo FAIPA. Assim fazendo estas mudanças na matriz
do sistema do FAIPA temos
⎛
∇F (x) + (∇F (x))
⎜
⎝
T −(∇F ) T −X∇F −IF
−I
0
⎞
⎟
⎠
−IF 0 −X
63
(4.4)

onde I é a matriz identidade de ordem n, IF e X são matrizes diagonais definidas
por IFi,i = Fi e Xi,i = xi para todo i = 1, ..., n.
7.4.2.
Vamos então calcular as três direções do algoritmo FAIPA através da atualização
Para a direção d a x dada pelo sistema (1.8).
ou
⎛
∇F (x) + (∇F (x))
⎜
⎝
T −(∇F ) T −X∇F −IF
−I
0
⎞
⎟
⎠
−IF 0 −X
⎛
d
⎜
⎝
a x
λ1 a
λ2 ⎞
⎟
⎠
a
=
(∇F (x) + (∇F (x)) T )d a x −(∇F ) T λ 1 a −Iλ 2 a = −∇f
−X∇F d a x −IFλ 1 a = 0
−IFd a x −Xλ 2 a = 0
⎛ ⎞
−∇f
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
0
multiplicando a primeira linha do sistema acima pela matriz X e expressando a
segunda linha em relação a IFλ 1 a e a terceira linha em relação a Xλ 2 a temos
X(∇F (x) + (∇F (x)) T )d a x −X(∇F ) T IF −1 IFλa −Xλ 2 a = −X∇f
e em seguida substituindo na primeira linha chegamos a
IFλ 1 a = −X∇F d a x
Xλ 2 a = −IFd a x
[X∇F + X(∇F ) T + X(∇F ) T IF −1 X∇F + IF]d a x = −X∇f (4.5)
Definindo M = IF + X∇F , segue que M T = IF + (∇F ) T X e ∇f = M T E segue
da equação (4.5) e de manipulações algébricas que
Md a x = −x • F (x)
que é exatamente o sistema que fornece a direção de Newton para o algoritmo
FDA-NCP.
Para o sistema do calculo da direção desviada (1.9), d b x:
64

(∇F (x) + (∇F (x)) T )d b x −(∇F ) T λ 1 b −λ 2 b = 0
−X∇F d b x −IFλ 1 b = −Xω1
−IFd b x −Xλ 2 b = −IFω2
tomando a seguinte atualização para ω1 e ω2:
Xω1 = ρ k E e IFω2 = ρ k E.
(4.6)
Segue da equação (4.6) e repetindo as mesmas contas acima que d b x pode ser
calculado por:
Md b x = ρ k E.
que é o sistema da direção de restauração para o algoritmo FDA-NCP.
Para a direção do arco d c x dada pelo sistema (1.10).
(∇F (x) + (∇F (x)) T )d c x −(∇F ) T λ 1 c −λ 2 c = 0
−X∇F d c x −IFλ 1 c = −X ˜ω1
−IFd c x −Xλ 2 c = −IF ˜ω2
e pela definição de ˜ω1 e ˜ω2 dada pela equação (1.11) podemos concluir que
e
pois a restrição x ≥ 0 é linear.
˜ω1 = −F (x k + dx) + F (x k ) + ∇F (X)dx
˜ω2 = 0
(4.7)
Segue da equação (4.7) e repetindo as mesmas contas acima temos que d c x é
calculado por:
Md c x = [I + X(∇F ) T IF −1 ] −1 X(∇F ) T IF −1 X ˜ω1.
E como d c x é a direção que constitui o arco no FAIPA e ainda o sistema acima tem
a mesma matriz do sistema do algoritmo FDA-NCP. Vamos propor então uma
busca em arco no FDA-NCP usando a direção calculado por este sistema. Assim o
65

algoritmo FDA-NCP modificado com uma busca linear em arco, que chamaremos
de FAA-NCP, tem as seguintes mudanças no passo 1 e passo 2.
Passo 1: Direção de Busca em arco.
Resolva os sistemas:
direção viável
direção do arco
[D F (x k ) + D x k∇F (x k )]d k = −H(x k ) + ρ k E,
[D F (x k )+D x k∇F (x k )]d k a = [I+X k (∇F (x k )) T IF(x k ) −1 ] −1 X k (∇F (x k )) T IF(x k ) −1 X k ˜ ω k ,
onde ˜ ω k = −F (x k + d k ) + F (x k ) + ∇F (x k )d k .
Passo 2: Busca linear em arco.
Define-se o tamanho do passo t k como sendo o primeiro valor da seqüência
{1, ν, ν 2 , ν 3 , ...} satisfazendo
1) xk + tkdk + tk2dk a ≥ 0
2) F (xk + tkdk + tk2dk a) ≥ 0
3) φ(xk ) + tkη∇φ(xk ) tdk ≥ φ(xk + tkdk + tk2dk a)
xk+1 := xk + tkdk + tk2dk a e k := k + 1
Também vamos propor uma modificação no algoritmo FAIPA. O que faremos é
utilizaremos a atualização 7.4.2 e com isso a matriz Hessiana B será definida pela
formula abaixo,
B = ∇F (x) + (∇F (x)) T .
No próximo capitulo apresentaremos resultado numéricos com os algoritmos aqui
apresentados.
66

Capítulo 8
Problema de Complementaridade
Reformulado
Para a aplicação do algoritmo é muito importante termos as seguintes condições:
• O conjunto Ω 0 ⊂ IR n ter interior não vazio para que o algoritmo possa gerar
uma seqüência de pontos viáveis.
• Achar um ponto inicial x 0 estritamente viável.
• A matriz ∇H(x) ser não singular para x ∈ Ω.
É claro que poderíamos formular exemplos onde não se verifica uma ou mais
condições acima.
Por exemplo:
1. F (x) = (x − 1) 2 − 1. Seu conjunto de pontos viáveis é Ω = {0} ∪ [2, +∞)
e o conjunto de pontos estritamente viáveis é Ω0 = (0, +∞). Existem
duas soluções isoladas, x ∗ 1 = 0, solução degenerada, e x ∗ 2 = 2, solução não
degenerada. Observe que não é possível gerar uma seqüência de pontos
estritamente viáveis que converge para x∗ 1.
⎛ ⎞
2. F (x1, x2) :=
⎝ ex2 1 −x2
0
⎠. Não possui pontos estritamente viáveis e a matriz
∇H(x) é singular em IR 2 . O conjunto de pontos viáveis é Ω = IR 2 + e as
soluções são x ∗ = [0; 0] degenerada e x ∗∗ = [0; 1] não degenerada.
67

⎛
3. F (x1, x2) := ⎝
1
⎞
⎠. Não possui pontos estritamente viáveis, o
− 1
1
(x1+x2−1) 2 +1
conjunto de pontos viáveis é Ω = {(x ∈ IR 2 + |x1 + x2 = 1}, a matriz ∇H(x)
é singular em Ω que tem interior vazio em IR 2 e a solução é x ∗ = [0; 1] não
degenerada.
Afim de resolver estes tipos de situações que por ventura podem ocorrer
vamos propor uma reformulação do problema de complementaridade 1.1.13. Esta
reformulação tem que possuir algumas condições básicas:
• Uma solução do Problema de Complementaridade Reformulado, é sempre uma
solução do Problema de Complementaridade 1.1.13.
• Sempre é possível determinar um ponto inicial estritamente viável para o
Problema de Complementaridade Reformulado.
• O conjunto viável para o Problema de Complementaridade Reformulado tem
interior não vazio.
• A matriz jacobiana do sistema de equações associado ao Problema de
Complementaridade Reformulado, seja não singular na região estritamente
viável ou em algum subconjunto da região estritamente viável do Problema de
Complementaridade Reformulado.
8.1 Reformulando o Problema de
Complementaridade
Dado um Problema de Complementaridade definido como 1.1.13:
Seja u ∈ IR n × IR, u = [x, z] e E ∈ IR n onde E = [1, ..., 1], então:
Seja G : IR n × IR → IR n ⎛
⎞
F (x) + zE
× IR, G(u) := G(x, z) := ⎝ ⎠.
1
Então dado um problema de complementaridade 1.1.13, chamaremos de
Problema de Complementaridade Reformulado (PCR) o seguinte Problema de
Complementaridade:
68

Definição 8.1.1 O Problema PCR consiste em encontrar u ∈ IR n × IR tal que u
satisfaz:
onde
G(u) = G(x, z) =
É fácil ver que:
u ≥ 0 , G(u) ≥ 0 e G(u) • u = 0.
⎛
⎞
F (x) + zE
⎝ ⎠ =
1
⎛
⎞
F1(x) + z
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ Fn(x) + z ⎟
⎝
⎠
1
• u ∗ = [x ∗ , z ∗ ] ∈ IR n+1 é uma solução do problema 8.1.1 se e somente se z ∗ = 0
e x ∗ é uma solução de 1.1.13.
• Um ponto estritamente viável para o problema 8.1.1 é obtido da seguinte
forma:
Dados x 0 ∈ IR n ++ e ɛ ∈ IR++,
tome u 0 i = x 0 i e u 0 n+1 = z 0 = − mini=1,..,n{Fi(x 0 ), 0} + ɛ.
É claro que ui > 0 e Gi(u) > 0 para todo i = 1, .., n, n + 1.
• A matriz ∇G(u) é:
⎛
∇G(u) := ⎝ DF (x)+z + Dx∇xF (x)
0E
x
T ⎞
⎠ =
1
⎛
= ⎝ ∇H(x) + Dz
0E
x
T ⎞
⎠
1
69
(1.1)

• O conjunto ΩR = {u = (x, z) ∈ IR n × IR|u ≥ 0 e G(u) ≥ 0} tem interior não
vazio, o que permite obter uma seqüência de pontos u k viáveis no interior de
ΩR.
A título de ilustração vamos aplicar esta técnica no exemplo (1):
F (x) = (x − 1) 2 G(x, z) =
− 1.
⎛
⎝ (x − 1)2 ⎞
− 1 + z
⎠
1
E o conjunto viável para G(x, z) é dado por
ΩR = {(x, z) ∈ IR 2 |x ≥ 0 , z ≥ 0 e z ≥ 1 − (x − 1) 2 }
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Região Viável
Ω R
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 1.1: Região Viável ΩR
Observe que nesta região temos duas soluções para o problema de
complementaridade de G(x, z) que são pontos de acumulação em ΩR. Estes
pontos são (0, 0), que é uma solução degenerada pois G(0, 0) = (0, 1), e (2, 0) que é
uma solução não degenerada pois G(2, 0) = (0, 1).
70

A Matriz ∇G(x, z) é dada por: ∇G(x, z) =
⎛
⎝ (x − 1)2 − 1 + 2(x − 1)x + z
0
⎞
x
⎠ .
1
Na solução (0, 0), ∇G(0, 0) é singular: ∇G(0, 0) =
⎛
0
⎝
0
⎞
0
⎠
1
Já na solução (2, 0), ∇G(2, 0) é não singular: ∇G(2, 0) =
⎛
4
⎝
0
⎞
2
⎠ .
1
71

Capítulo 9
Resultados Numéricos
Nesta seção aplicaremos os algoritmos proposto neste trabalho, FDA-NCP e
FDA-MNCP, a uma bateria de problemas testes da literatura. Os problemas aqui
tratados foram tirados de vários artigos como, [62], [20], [21], [47], [28], [8], [27], [17].
Dividiremos este capítulo em três seções.
A primeira será destinada a apresentação de uma coletânea de 16 problemas
de complementaridade clássicos onde compararemos o desempenho do FDA-NCP
com outros algoritmos. A segunda seção será destinada a casos especiais onde
verificaremos a eficiência do uso da busca em arco, FAA-NCP, bem como a proposta
de reformulação do problema de complementaridade apresentada no capítulo 8. Na
terceira seção faremos uma bateria de problemas de complementaridade mista para
verificar a eficiência do algoritmo FDA-MNCP.
Para comparar os resultados numéricos com o FDA-NCP, utilizaremos o FAIPA e
o algoritmo proposto em [28] que baseia-se na Função-NCP de Fischer-Burmeister
[18]
ψF B(a, b) = a + b − √ a 2 + b 2 .
Chamaremos este algoritmo de FB. O FB usa a iteração de Newton para resolver o
sistema (2.1),
ΨF B(x) = 0
72

apresentado no capítulo 2 e uma busca linear de Armijo na função potencial
φF B(x) = ΨF B(x) 2 . O esquema de iteração é
x k+1 = x k − t k [BF B(x k )] −1 ΨF B(x k ) t k ∈ {1, ν, ν 2 , ......}
onde t k satisfaz φF B(x k+1 ) ≤ φF B(x k ) + t k η∇φF B(x k )d k e BF B pertence ao conjunto
B-subdiferencial de ΨF B.
Os algoritmos FDA-NCP e FAA-NCP utilizaram os seguintes parâmetros. O
valor da constante que contribui com a direção de restauração é dada por ρ0 =
α min[1, φ(x k ) β−1 ] onde α = 1
4
e β ∈ (1, 2]. Observe que quando aproximamos da
solução o valor de ρ0 fica constante e igual a α. Os parâmetros com respeito a
busca são η = 0.4, ν = 0.8 e serão usados em todos os algoritmos aqui tratados.
Estudaremos dois casos para o parâmetro β, que influencia na taxa de convergência
dos Algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP. Os valores são β = 1.1 e β = 2.
O critério de parada utilizado foi φ(x k ) ≤ 10 −8 para os algoritmos FDA-NCP,
FAA-NCP e FAIPA. Já para o algoritmo FB, como ele não é de pontos viáveis
pedimos que ainda que |x k i | ≤ 10 −8 e |Fi(x k )| ≤ 10 −8 . Foi utilizado um notebook
AcerSystem, AMD Turion(tm) 64 Moblie, Processador MK-36 2.0 GHz, 2GB de
memória RAM e 512 KB L2 cache. O sistema operacional Windows XP e os
algoritmos foram programados em MatLab.
9.1 Coletânea de Problemas de
Complementaridade
Vamos descrever agora alguns problemas de complementaridade que compõem a
primeira bateria de problemas testes.
73

1. O Problema de Kojima-Josephy.
Seja F : IR 4 → IR 4 definida por:
F (x) :=
⎛
3x
⎜
⎝
2 1 + 2x1x2 + 2x2 2 + x3 + 3x4 − 6
2x2 1 + x2 2 + x1 + 3x3 + 2x4 − 2
3x2 1 + x1x2 + 2x2 2 + 2x3 + 3x4 − 9
x2 1 + 3x2 ⎞
⎟
⎠
2 + 2x3 + 3x4 − 3
Este problema tem uma solução x∗ = ( √ 6 1 , 0, 0, 2 2 ) com F (x∗ ) = (0, √ 6
2
(1.1)
+2, 5, 0).
A solução é não degenerada e a matriz ∇H(x ∗ ) é não singular. O ponto
inicial usado é x 0 = [1, 1, 1, 1].
2. O Problema de Kojima-Shindo.
Seja F : IR 4 → IR 4 definida por:
F (x) :=
⎛
3x
⎜
⎝
2 1 + 2x1x2 + 2x2 2 + x3 + 3x4 − 6
2x2 1 + x2 2 + x1 + 10x3 + 2x4 − 2
3x2 1 + x1x2 + 2x2 2 + 2x3 + 9x4 − 9
x2 1 + 3x2 ⎞
⎟
⎠
2 + 2x3 + 3x4 − 3
Este problema tem duas soluções x∗ = ( √ 6 1 , 0, 0, 2 2 ) com F (x∗ ) = (0, √ 6
2
(1.2)
+2, 0, 0)
e x ∗∗ = (1, 0, 3, 0) com F (x ∗∗ ) = (0, 31, 0, 4). A primeira solução é degenerada
e a matriz ∇H(x ∗ ) é singular. A segunda solução é não degenerada e a matriz
∇H(x ∗∗ ) é não singular.
Pontos inicial um x0 = [1; .01; 3; .01].
3. O Problema de Nash-Cournot, por Harker N = 5.
Harker,[21], definiu este problema da seguinte forma:
Vamos assumir que: Seja N o número de firmas . i = 1, ...N;
x = (x1, x2, ..., xN) o vetor de produção . A firma i produz a quantidade xi
da mercadoria.
Q = N i=1 xi é a soma total da mercadoria produzida.
p(Q) é a função demanda inversa.
Ci(xi) é o custo de produção para a firma i.
74

Neste exemplo, a função Ci(xi) e p(Q) são definidas da seguinte maneira.
A função F é dada por:
p(Q) = 5000 1 1
− γ Q γ
Ci(xi) = cixi + bi
L
1 + bi
1 bi +1
bi bi i xi
Fi(x) = C ′
i(xi) − p(Q) − xip ′
(Q);
Na forma vetorial a função F é dada como:
com ci, Li, bi, γ ∈ IR + e γ ≥ 1.
c = [10, 8, 6, 4, 2]
b = [1.2, 1.1, 1, 0.9, 0.8]
L = [5, 5, 5, 5, 5]
e = [1, 1, 1, 1, 1]
γ = 1.1
F (x) = [c + L 1
b x 1
b − p(Q)(E − x
γQ )]
Tem solução x ∗ = [15.41, 12.50, 9.66, 7.16, 5.13] e a matriz ∇H(x ∗ ) é não
singular.
Ponto inicial x0 = [20; 20; 20; 20; 20].
4. O Problema de Nash-Cournot, por Harker. N = 10.
c = [5, 3, 8, 5, 1, 3, 7, 4, 6, 3]
b = [1.2, 1, 0.9, 0.6, 1.5, 1, 0.7, 1.1, 0.95, 0.75]
L = [10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10]
e = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
γ = 1.2
Tem como solução x ∗ = [7.44, 4.09, 2.59, 0.93, 17.93, 4.09, 1.3, 5.59, 3.22, 1.67] e
a matriz ∇H(x ∗ ) é não singular.
Ponto inicial x0 = [20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20].
75
.

5. O Problema de Nash-Cournot, por Pang e Murphy N = 5.
A definição para este problema teste da seguinte da forma:
Vamos assumir que: Seja N o número de firmas . i = 1, ...N;
x = (x1, x2, ..., xN) o vetor de produção. A firma i produz a quantidade xi da
mercadoria.
Q = N i=1 xi é a soma total da mercadoria produzida.
p(Q) é a função demanda inversa.
Ci(xi) é o custo de produção para a firma i.
Neste exemplo, a função Ci(xi) e p(Q) são definidas da seguinte maneira.
p(Q) = 5000 1 1
− γ Q γ
Ci(xi) = cixi + bi
1 + bi
1
− bi L
i
bi +1
bi xi
A diferença entre a versão de Harker para a de Pang e Murphy esta no sinal
do expoente de Li.
A função F é dada por:
Fi(x) = C ′
i(xi) − p(Q) − xip ′
(Q);
Na forma vetorial a função F pode ser dada como:
com ci, Li, bi, γ ∈ IR+ e γ ≥ 1.
c = [10, 8, 6, 4, 2]
b = [1.2, 1.1, 1, 0.9, 0.8]
L = [5, 5, 5, 5, 5]
E = [1, 1, 1, 1, 1]
γ = 1.1
1
−
F (x) = [c + L b x 1
b − p(Q)(E − x
γQ )]
Tem solução x ∗ = [36.92, 41.73, 43.68, 42.68, 39.19] e a matriz ∇H(x ∗ ) é não
singular.
Vamos tomar como ponto inicial x0 = [50; 50; 50; 50; 50].
76
.

6. O Problema de Nash-Cournot, por Pang e Murphy N = 10.
c = [5, 3, 8, 5, 1, 3, 7, 4, 6, 3]
b = [1.2, 1, 0.9, 0.6, 1.5, 1, 0.7, 1.1, 0.95, 0.75]
L = [10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10]
E = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
γ = 1.2
E solução x ∗ = [35.37, 46.57, 4.72, 19.91, 120.93, 46.57, 12, 42.56, 20.59, 32.98],
com a matriz ∇H(x ∗ ) não singular.
Ponto inicial x0 = [100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100].
7. O Exemplo de Mathiesen modificado [28].
Seja
F (x) :=
⎛
−x2 + x3 + x4
⎜ x1 ⎜
−
⎜
⎝
4.5x3+2.7x4
x2+1
5 − x1 − 0.5x3+0.3x4
x3+1
3 − x1
⎞
⎟
⎠
(1.3)
Neste exemplo temos infinitas soluções x ∗ = (x ∗ 1, 0, 0, 0), onde x ∗ 1 ∈ [0, 3]. Para
x ∗ 1 = 0 ou 3, as soluções são degeneradas. Já para x ∗ 1 ∈ (0, 3) as soluções são
não degeneradas.
Para o ponto inicial x0 = [2.9; 2; 0.01; 3] temos como solução
x ∗ = [2.5080, 0.0000, 0.0000, 0.0000].
8. Exemplo de Programação não linear (Kanzow), [28].
Considere o seguinte problema de programação convexa:
5
min θ(x) = exp ( (xi − i + 2)
i=1
2 ), sugeito a x ≥ 0.
A condição de otimalidade de Kuhn-Tucker aplicado a este problema resulta
no seguinte problema de complementaridade:
77

F (x) := ∇θ(x) = 2 exp ( 5 i=1(xi − i + 2) 2 ⎛ ⎞
x1 + 1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
) ⎜ x3 − 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ x4 − 2 ⎟
⎝ ⎠
x5 − 3
Este exemplo tem uma solução degenerada x ∗ = (0, 0, 1, 2, 3).
Ponto inicial x0 = [5; 5; 5; 5; 5].
9. Problema de Programação Não Linear de número 34 de Hock-Schittkowski
[27]
10. Problema de Programação Não Linear de número 35 de Hock-Schittkowski
[27]
11. Problema de Programação Não Linear de número 66 de Hock-Schittkowski
[27]
12. Problema de Programação Não Linear de número 76 de Hock-Schittkowski
[27]
13. Problema de Complementaridade Não linear de número 9 do Artigo [61]
A função F (x) é definida por
⎛
x1 − 2
⎜
F (x) = ⎜ x
⎝
3 2 + x2 − x3 + 3
x2 + 2x3 ⎞
⎟
⎠
3 + x3 − 3
.
Este problema tem solução única, x ∗ = [2; 0; 1] com F (x ∗ ) = [0; 2; 0], logo é
uma solução não degenerada. A matrix ∇H(x ∗ ) é não singular.
Ponto inicial x 0 = [3; 3; 3].
14. Problema de Complementaridade Não linear de número 10 do Artigo [61]
A função F (x) é definida por
⎛
x1 − 2
⎜
F (x) = ⎜ x
⎝
3 2 + x2 − x3 + 1
x2 + 2x3 ⎞
⎟
⎠
3 + x3 − 3
.
78

Este problema tem solução única, x ∗ = [2; 0; 1] com F (x ∗ ) = [0; 0; 0], logo é
uma solução degenerada. Portanto a matrix ∇H(x ∗ ) é singular.
Ponto inicial x 0 = [3; 3; 3].
15. Problema de Complementaridade Não linear de número 12 do Artigo [61]
A função F (x) é definida por
⎛
⎜
F (x) = ⎜
⎝
x3 1 − 8
x2 + x3 2 + x2 − x3 + 3
x2 + 2x3 ⎞
⎟
3 + x3 − 3
⎟
⎠
x4 + 2x 3 4
Este problema tem solução única, x ∗ = [2; 0; 1; 0] com F (x ∗ ) = [0; 2; 0; 0], logo
é uma solução degenerada. Portanto a matrix ∇H(x ∗ ) é singular.
Ponto inicial x 0 = [3; 3; 3; 3].
16. Problema de complementaridade linear com a matriz B singular [8].
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
x2
0 1 0
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
F (x) = Bx + q = ⎜ x3 ⎟ com B = ⎜ 0 0 1 ⎟ , x = ⎜
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
q = ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
1
x3 − x2 + 1
0 −1 1
.
O conjunto de pontos viáveis, Ω = {(x1, x2, x3) ∈ IR 3
+ | x3 ≥ x2 − 1}.
.
⎞
x1
⎟
x2 ⎟
Existem infinitas soluções: x ∗ = [0, λ ∗ , 0] com λ ∗ ∈ [0, 1] e x ∗∗ = [λ ∗∗ , 0, 0] com
λ ∗∗ ≥ 0.
Com λ ∗ = 0 e λ ∗ = 1, x ∗ é uma solução degenerada e para λ ∗ ∈ (0, 1) temos
que x ∗ é uma solução não degenerada.
Já a solução x∗∗ é sempre degenerada para todo λ∗∗ ⎛
⎞ ≥ 0.
x2 x1 0
⎜
⎟
⎜
⎟
A matriz ∇H(x) = ⎜ 0 x3 x2 ⎟
⎝
⎠
0 −x3 2x3 − x2 + 1
sempre não singular na região estritamente viável.
E nas soluções ∇H(x) será sempre singular.
∇H(x∗ ⎛
λ
⎜
) = ⎜
⎝
∗ 0 0
0 0 λ∗ 0 0 1 − λ∗ ⎞
⎟
⎠ e M∗∗
⎛
0 λ
⎜
= ⎜
⎝
∗∗ 0 0
⎞
0
⎟
0 ⎟
⎠
0 0 1
.
79
x3
⎠ e
. Observe que ∇H(x) é

Para o ponto inicial x0 = [1, 1, 1], temos como solução x ∗∗ = [0, 0.5, 0].
A tabela a seguir traz a relação dos problemas e o tamanho da variável x de cada
um deles (n).
Tabela 1.1: Coletânea de Problemas Teste
No Problemas n No Problemas n
1 Kojima-Josephy 4 9 PNL HS - 34 8
2 Kojima-Shindo 4 10 PNL HS - 35 4
3 Nash-Cournot (Harker) 5 11 PNL HS - 66 8
4 Nash-Cournot (Harker) 10 12 PNL HS - 76 7
5 Nash-Cournot (Pang e Murphy) 5 13 NCP - 01 3
6 Nash-Cournot (Pang e Murphy) 10 14 NCP - 02 3
7 Mathiesen Modificado 4 15 NCP - 03 4
8 PNL Kanzow 5 16 Chen e Ye 3
Agora segue a tabela com o históricos de cada um dos 16 problemas. Os dados
na tabela são numero de iterações do algoritmo it, busca linear BL. O algoritmo
FAIPA utilizaremos em dois casos o primeiro sem a atualização proposta nos
multiplicadores de Lagrange (s/Atual.) e o segundo com a atualização proposta
(c/Atual.).
80

Tabela 1.2: Histórico dos Problemas Testes
Alg FDA-NCP FAA-NCP FAIPA FB
β 1.1 2 1.1 2 s/Atual. c/Atual. -
Problema It BL It BL It BL It BL It BL It BL It BL
1 11 0 8 0 11 0 7 0 10 11 9 14 5 6
2 8 0 4 0 7 0 4 0 6 9 4 317 2 0
3 15 0 12 0 16 0 12 0 11 14 11 170 7 11
4 19 0 15 0 19 0 15 0 27 28 14 20 10 28
5 13 0 9 0 13 0 9 0 10 12 7 9 4 0
6 16 0 12 0 16 0 13 1 23 25 13 14 5 1
7 10 7 9 12 14 49 15 57 13 15 9 12 4 20
8 139 0 138 0 111 0 110 0 * * 85 86 * *
9 19 39† 323 4572† 15 15 12 16 26 38 19 63 20 428
10 11 0 13 9 11 0 13 9 14 17 12 14 9 44
11 15 16† 121 1170† 15 16 13 17 35 162 15 18 21 270
12 11 1 12 10 10 0 12 9 10 11 10 11 6 9
13 14 0 10 0 14 0 10 0 15 16 9 10 5 1
14 18 0 17 0 17 0 21 33 21 33 19 20 5 1
15 18 0 17 0 17 0 17 0 22 23 19 20 6 5
16 9 0 6 0 9 0 6 0 7 8 6 7 4 1
O símbolo * indica que o algoritmo não convergiu a uma solução do problema
de complementaridade. No problema 8 os algoritmos FAIPA s/Autal. e FB não
convergiram. Nos demais casos os algoritmos convergiram a uma solução do
problema de complementaridade.
Nos problemas 9 e 11, onde aparece o símbolo † o passo da busca linear é muito
pequeno, o que explica o número excessivo de busca linear. Nestes dois exemplos o
que ocorre é que a seqüência gerada se “pega”em uma restrição do tipo Fi(x) = 0
e xi = 0 o que complica o cálculo da direção já que a matriz fica muito mal
condicionada. Então quando utilizamos a busca em arco, proposta no capítulo 7,
o algoritmo FAA-NCP consegue se afastar das restrições e assim convergindo mais
rápido a uma solução do problema de complementaridade.
Apresentaremos um gráfico onde podemos verificar a convergência assintótica
do algoritmo FDA-NCP, como vimos no Teorema 6.1.1. Usaremos os seguintes
81

exemplos, Problema (1) Kojima-Josephy e Problema (13), com os valores para
β = 1.1 e β = 2.
Tx
Tx
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Tx= xk+1 −x ∗
x k −x ∗
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Número de iterações
Problema 13
Problema 1
Figura 1.1: Convergência Superlinear (β = 1.1)
Problema 1
Tx= xk+1 −x ∗
x k −x ∗ 2
Problema 13
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Número de Iterações
Figura 1.2: Convergência Quadrática (β = 2)
Apresentaremos agora resultados obtidos, de quatro exemplos de
complementaridade linear onde vamos tomar em cada um deles diferentes
82

valores de n, dimensão do problema. Nos quatro problemas, a matriz jacobiaca
∇F (x) é simétrica e definida positiva. E os quatro exemplos possui solução única.
A função F destes exemplos é da forma F (x) = Cx + c, onde C é uma matriz
quadrada de ordem n e c é um vetor fixo de IR n composto por 1 s em todas as
coordenadas.
No caso de complementaridade linear não faz muito sentido usarmos a versão
FAA-NCP, pois ˜ω1 ≡ 0. Portanto aqui só compararemos os algoritmos FDA-NCP
(β = 1.1 e β = 2), com o FB.
Vamos definir cada um dos problemas.
1. Problema 17 [20].
A matriz C é construída da seguinte forma for
e a matriz é definida por
i = 2, 3, ..., n C(i − 1, i) = −1 , C(i, i − 1) = −1
Ponto inicial é x 0 = [1; 1; ...; 1].
2. Problema 18 [28].
A matriz C é definida por
C = C + 4Idn.
i = 1, 2, ..., n C(i, i) = i
n .
Ponto inicial é x 0 = [n + 1; n; n − 1; ...; 2].
3. Problema 19 [48], [60].
A matriz C é definida por
O ponto inicial é x 0 = [2; 2; ...; 2].
⎛
0 1 1 · · · 1
⎞
⎜ 0
⎜
C = ⎜ · · ·
⎜ 0
⎝
0
· · ·
0
1
0
1
0
· · ·
· · ·
· · ·
⎟
1 ⎟
1 ⎟
⎠
0 0 0 0 · · · 0
83

4. Problema 20 ([15], [60]).
A matriz C é construída da seguinte forma
i, j = 1, 2, ..., n se j = i ⇒ A(i, j) = 4(i − 1) + 1 e B(i, i) = A(i, i)
Caso contrário
e fica definida por
A(i, j) = 4(i − 1) + 2
C = triu(A) + triu(A) T − B
onde triu(A) significa tomar a parte triangular superior de A.
O ponto inicial é x 0 = [1, 1, ...1].
Segue abaixo as tabelas referentes a cada um dos problemas acima.
Tabela 1.3: Iterações para o Problema 17
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
8 12 0 7 0 5 2
16 12 0 7 0 5 2
32 13 0 8 0 6 1
64 13 0 8 0 6 1
128 14 0 10 2 6 1
256 14 0 9 0 6 1
512 15 0 11 2 6 1
1024 15 0 10 0 6 1
2048 16 0 12 2 6 1
84

Tabela 1.4: Iterações para o Problema 18
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
8 13 0 8 0 4 0
16 15 0 10 0 5 0
32 17 0 12 0 5 0
64 20 1 15 2 5 0
128 22 4 17 5 5 0
256 24 7 20 9 5 0
512 26 10 22 12 5 0
1024 28 13 24 15 5 0
2048 30 16 27 19 5 0
Tabela 1.5: Iterações para o Problema 19
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
8 15 1 10 1 4 0
16 16 3 12 3 4 0
32 18 6 13 6 4 0
64 20 8 15 8 4 0
128 21 11 12 11 4 0
256 23 14 13 14 4 0
512 24 17 15 17 4 0
1024 26 20 16 20 4 0
2048 27 24 17 24 4 0
85

Tabela 1.6: Iterações para o Problema 20
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
8 17 0 14 0 7 16
16 20 0 16 0 7 29
32 23 0 19 0 8 54
64 25 0 22 0 10 122
128 28 0 24 0 9 77
256 30 1 27 1 15 334
512 33 1 30 1 7 39
1024 35 1 32 1 12 232
2048 38 2 35 2 10 139
Com estes quatro problemas testes podemos ver que o desempenho do algoritmo
FDA-NCP é muito satisfatório quando comparamos em cada problemas o número de
iterações como respeito a variação do tamanho do problema. As iterações e buscas
lineares aumentam muito pouco em relação a n. Em todos os caso o passo da busca
terminou com t = 1.
Para fechar esta etapa de problemas teste. Rodamos o problema 1,
Kojima-Josephy (K-J), e o problema 2, Kojima-Shindo (K-S), para um conjuntos de
100 pontos iniciais viáveis. Estes pontos foram gerados aleatoriamente no intervalo
[1, 100]. O resultado se encontra na tabela abaixo.
Tabela 1.7: Histórico dos Problemas Testes
Alg FDA-NCP FAA-NCP FAIPA FB
β 1.1 2 1.1 2 s/Atual. c/Atual. -
Problema C NC C NC C NC C NC C NC C NC C NC
K-J 100% - 100% - 100% - 100% - 38% 62% 99% 1% 32% 68%
K-S 100% - 100% - 100% - 100% - 48% 52% 100% - 95% 5%
Para o problema de Kojima-Josephy (K-J) o algoritmo FDA-NCP e FAA-NCP
convergiu em todos os pontos gerados, enquanto os algoritmos FAIPA sem a
atualização em λ convergiu só em 38% dos 100 pontos gerados e o FAIPA com
86

atualização convergiu em 99% dos 100 pontos gerados e o algoritmo FB só convergiu
em 32% dos 100 pontos gerados.
Para o problema de Kojima-Shindo (K-S), que possui duas soluções uma degenerada
e outra não degenerada. Os algoritmos FDA-NCP e FAA-NCP convergiu em 100%
dos pontos gerados e todos para a solução degenerada. Já o algoritmo FAIPA sem
a Atualização em λ convergiu em 48% dos 100 pontos gerados, sendo que 35%
dos 100 pontos convergiu para a solução degenerada e 13% dos 100 pontos gerados
convergiu para a solução não degenerada. Para o FAIPA com a atualização em λ
a convergência se deu em todos 100 pontos gerados, sendo que 64% convergiu para
a solução degenerada e 36% para a solução não degenerada. E por fim o algoritmo
FB convergiu para em 95% dos pontos gerados sendo que 85% dos 100 pontos foi
para a solução degenerada e 10% foi para a solução não degenerada.
Com isso podemos verificar que os algoritmos FDA-NCP, FAA-NCP são muito mais
robusto dentro da região viável dos os outros algoritmos. Reafirmado assim os
resultados teóricos do capítulo 4 sobre convergência Global.
Destacamos também o algoritmo FAIPA com a atualização em λ que obteve um
desempenho muito superior ao FAIPA sem a atualização.
9.2 Casos especiais para FDA-NCP
Nesta seção veremos alguns exemplos em que o uso do arco se faz necessário
e também alguns casos em que a reformulação proposta no capítulo 7 é útil.
Nos casos em que os pontos da seqüência gerada pelo algoritmo FDA-NCP se
pegam em uma restrição Fi(x) = 0 e/ou xi = 0 a velocidade de convergência fica
comprometida. Este fato pode ser ocasionado pelo mal condicionamento da matriz
do sistema próximo da solução, que acaba atrapalhando o calculo da direção de
busca. Pode ocorrer também o efeito Maratos o que acarreta em um número grande
de iterações e buscas lineares. Nestes casos nos iremos utilizar o FAA-NCP, que
é a versão do FDA-NCP com a busca em arco como foi proposto no capítulo 7.
Também aplicaremos a reformulação no problema de complementaridade proposta
no capítulo 8 para casos em que não temos uma região estritamente viável com
87

interior não vazio ou quando a matriz do sistema do FDA-NCP é singular na região
viável.
1. Problema da “Meia Lua”.
⎛
Seja F (x1, x2) := ⎝
−1 +
1 − (x1−1.5) 2
(1.5) 2
O conjunto de pontos viáveis é
− (x2 − 1.5) 2
⎞
⎠ .
(x1−3) 2
(1.5) 2 + (x2 − 1.5) 2
Ω = {(x1, x2) ∈ IR 2
+ | 1 − (x1 − 3) 2
(1.5) 2
≤ (x2 − 1.5) 2 ≤ 1 − (x1 − 1.5) 2
(1.5) 2
Temos duas soluções x ∗ = [2.25; 2.366] e x ∗∗ = [2.25; 0.634]. A matriz M é não
singular nas duas soluções.
Aplicando o algoritmo FDA-NCP e o FAA-NCP para os seguintes pontos
iniciais x 0∗
= [1.5, 2.2] e x 0∗∗
= [1, 1], veremos que a seqüência gerada pelos
algoritmos convergem respectivamente para x ∗ e x ∗∗ como mostra a tabela
abaixo.
Tabela 2.1: Resumo dos iterações
Alg FDA-NCP FAA-NCP
β 1.1 2 1.1 2
Ponto Inicial It BL It BL It BL It BL
x 0∗
x 0∗∗
8 15 278 4001 5 5 10 12
190 3459 4600 121959 7 11 12 18
Como podemos notar na tabela (2.1), quando utilizamos o algoritmo
FDA-NCP verificamos um grande número de iterações do algoritmo bem como
um número excessivo de busca linear. Já para o algoritmo FAA-NCP vemos
uma redução drástica nas iterações. Segue abaixo um gráfico com o esquema
das iterações para o caso β = 2, onde podemos ver que no caso do FDA-NCP
a seqüência gerada se arrasta pela restrição enquanto o FAA-NCP se afasta
das restrições se mantendo mais no interior da região viável.
88
}

Eixo Y
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Região
Viável
x 0∗∗
x 0∗
Soluções
do NCP
0 0.5 1
Eixo X
1.5 2
Figura 2.1:
⎛
2. O problema do peixe. Seja F (x1, x2) := ⎝ x2 − 2(x1 − 1) 2
⎞
⎠ .
O conjunto de pontos viáveis é:
−x1 − x 2 2 + 1
Ω = {(x1, x2) ∈ IR 2 + | x1 ≤ −x 2 2 + 1 e x2 ≥ 2(x1 − 1) 2 }. Existem duas soluções
x ∗ = [1 − 1
3√ 4 ; 1
3√ 2 ] não degenerada e x ∗∗ = [1; 0] degenerada. Logo a matriz do
sistema na solução x ∗ é não singular e a matriz do sistema em x ∗∗ é singular.
Aplicando o algoritmo FDA-NCP e o FAA-NCP para os seguintes pontos
iniciais x0∗ = [0.6; 0.6] e x0∗∗ = [0.7; 0.4], veremos que a seqüência gerada pelos
algoritmos convergem respectivamente para x ∗ e x ∗∗ como mostra a tabela
abaixo.
Tabela 2.2: Resumo dos iterações
Alg FDA-NCP FAA-NCP
β 1.1 2 1.1 2
Ponto Inicial It BL It BL It BL It BL
x 0∗
x 0∗∗
x ∗
x ∗∗
7 1 44 298 7 0 5 0
940 21697 50001 2450471 29 173 1729 53285
89

Como podemos notar na tabela (2.1), para a solução não degenerada, x ∗ ,
houve uma melhora nas iterações quando usamos o algoritmo FAA-NCP. Para
a solução que é degenerada a matriz do sistema fica mal condicionada a medida
que a seqüência gerada se aproxima da solução x ∗∗ . Isso reflete no grande
número de iterações do algoritmo FDA-NCP bem como um número excessivo
de busca linear. E pelo fato do mal condicionamento do sistema linear próximo
da solução x ∗∗ , mesmo quando usamos o FAA-NCP, temos ainda um número
razoável de busca linear. Segue abaixo um gráfico com o esquema das iterações
para o caso β = 2.
Eixo Y
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x ∗
FAA−NCP
x 0∗
x 0∗∗
FDA−NCP
x ∗∗
0
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Eixo X
0.8 0.9 1 1.1
Figura 2.2:
3. Para F (x) := (x − 1) 2 − 1 temos o conjunto de pontos viáveis é
Ω = {0}∪[2, +∞) e o conjunto de pontos estritamente viáveis é Ω0 = (2, +∞).
Existem duas soluções isoladas, x ∗ = 0, solução degenerada, e x ∗∗ = 2, solução
não degenerada.
O problema ⎛ reformulado fica da seguinte forma:
G(u) = ⎝ (x − 1)2 ⎞
− 1 + z
⎠, onde u = (x, z) e com o conjunto viável sendo
1
ΩR = {(x, z) ∈ IR 2 |x ≥ 0 , z ≥ 0 e z ≥ 1 − (x − 1) 2 }
e o conjunto de pontos estritamente viável
90

ΩR+ = {(x, z) ∈ IR 2 |x > 0 , z > 0 e z > 1 − (x − 1) 2 }.
Existem duas soluções, u ∗ = (x ∗ , z ∗ ) = (0, 0) solução degenerada e u ∗∗ =
(x ∗∗ , z ∗∗ ) = (2, 0) solução não degenerada.
Aplicando o algoritmo FDA-NCP e o FAA-NCP para os seguintes pontos
iniciais u 0∗
= [0.15; 1.2775] e u 0∗∗
= [3; 2], veremos que a seqüência gerada
pelos algoritmos convergem respectivamente para u ∗ e u ∗∗ como mostra a
tabela abaixo.
Tabela 2.3: Resumo dos iterações
Alg FDA-NCP FAA-NCP
β 1.1 2 1.1 2
Ponto Inicial It BL It BL It BL It BL
u 0∗
u 0∗∗
1779 50425 15 51 1760 49739 12 33
9 0 6 0 8 0 6 0
Veja o gráfico das iterações com β = 2 e para o algoritmo FAA-NCP.
2.5
1.5
1
0.5
4. Seja F (x1, x2) :=
3
2
0
u 0∗
Região Viável
u ∗ u ∗∗
⎛
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
⎝ ex2 1 −x2
0
⎞
⎠.
Figura 2.3:
u 0∗∗
O conjunto de pontos viáveis é Ω = IR 2 + mas não existe ponto estritamente
91

viável. Este problema tem infinitas soluções da forma x ∗ = (0, x ∗ 2) ∈ IR 2 para
todo x ∗ 2 ≥ 0.
Temos uma solução degenerada para x ∗ 2 = 0 e para x ∗ 2 > 0 tem infinitas
soluções não ⎛ degenerada.
A matriz
0 0
⎠ é singular para todo x ∈ IR 2 +.
Portanto, reformulando este problema, teremos:
⎝ (1 + 2x2 1)e x2 1 −x2 −x1e x2 1 −x2
O conjunto de pontos viáveis: ΩG = IR 3 +.
O conjunto de pontos estritamente: ΩG+ = IR 3 ++.
⎛
⎜
MG(x, z) = ⎜
⎝
⎞
⎛
e
⎜
G(x, z) = ⎜
⎝
x2 1−x2 ⎞
+ z
⎟
z ⎟
⎠
1
(1 + 2x 2 1)e x2 1 −x2 + z −x1e x2 1 −x2 x1
⎞
0 z
⎟
x2 ⎟
⎠
0 0 1
Observe que MG é não singular na região estritamente viável mas é singular
nas soluções do problema em questão.
Ponto inicial x0 = [1, 1, 1]; temos como solução o ponto x ∗ = [0, 1, 0]. Abaixo
segue a tabela com o resumo das iterações.
Tabela 2.4: Resumo dos iterações
Alg FDA-NCP FAA-NCP
β 1.1 2 1.1 2
Ponto Inicial It BL It BL It BL It BL
x 0 6 0 5 0 189 8992 369 17601
92

Eixo Z
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
1.5
1
Eixo Y
Solução
do PC
0.5
0
0
0.1
0.2
Ponto
Inicial
0.3
Iterações
0.4
Eixo X
Figura 2.4: Gráfico da seqüência de pontos
Neste caso o arco não ajuda muito, pois, a matriz do sistema é singular na
solução do problema.
⎛
5. Seja F (x1, x2) := ⎝
1
1
(x1+x2−1) 2 +1
⎞
⎠.
− 1
Para esta função também não temos uma região estritamente viável. A região
viável é Ω = {x ∈ IR 2 |x1 +x2 = 1}, que não tem interior vazio, e muito memos
pontos estritamente viáveis, pois para todo x0 ∈ Ω temos que F (x0 ⎛
) = ⎝ 1
⎞
⎠.
0
Este problema tem única solução x∗ = [0; 1]. E a matriz ∇H(x) para todo
x ∈ Ω é:
que é singular em Ω.
⎛ ⎞ ⎛
1 0
⎝ ⎠ + ⎝
0 0
x1
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0 0 1 0
⎠ ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠
0 x2 0 0 0 0
O problema reformulado fica da seguinte forma:
O conjunto de pontos viáveis: ΩG = {(x, z) ∈ IR 2 + × IR+ | z ≥
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(x1+x2−1) 2
(x1+x2−1) 2 +1 }.
O conjunto de pontos estritamente viáveis: ΩG+ = {(x, z) ∈
93

IR 2
++ × IR++ | z >
⎛
⎜
∇G(x, z) = ⎜
⎝
(x1+x2−1) 2
(x1+x2−1) 2 +1 }.
⎛
⎜
G(x, z) = ⎜
⎝
1 + z
−(x1+x2−1) 2
(x1+x2−1) 2 + z +1
1
1 + z 0
(x1+x2−1) 2
(x1+x2−1)
x1
2 2(x1+x2−1)
− +1 ((x1+x2−1) 2 +1) 2 x2
⎞
⎟
x2 ⎟
⎠
0 0 1
−2(x1+x2−1)
((x1+x2−1) 2 +1) 2 x2 z −
Ponto inicial x0 = [1, 1, 0.9]; e solução x ∗ = [0, 1, 0].
Tabela 2.5: Resumo dos iterações
Alg FDA-NCP FAA-NCP
β 1.1 2 1.1 2
Ponto Inicial It BL It BL It BL It BL
x 0 484 8082 5001 171054 55 369 2664 75139
O fato da matriz do sistema na solução ser singular atrapalha o cálculo da
direção de busca tanto para o algoritmo FDA-NCP quanto para o algoritmo
FAA-NCP. E principalmente para β = 2. Segue o gráfico do esquema das
iterações para o FAA-NCP com β = 1.1 onde temos a região viável acima da
superfície Z definida no gráfico abaixo.
Eixo Z
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.8
0.6
Eixo Y
Solução
do PC
0.4
0.2
0
Superfície
Z(x,y)
Iterações
⎞
⎟
⎠
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Eixo X
Figura 2.5:
94
Ponto Inicial

Para os dois algoritmos é muito importante o fato da matriz ser não singular,
principalmente nos casos em que ocorre o efeito Maratos. Já a idéia da reformulação
do problema de complementaridade é evidente que não é uma boa técnica para
resolver casos degenerados. Mas para determinar um ponto estritamente viável ela
já ajuda muito.
É o que veremos a seguir.
Para fechar os testes numéricos com os algoritmos FDA-NCP e FAA-NCP. Nos
reescrevemos todos os 16 problemas testes da seção 9.1 como proposto no capítulo
8. E geramos aleatoriamente pontos estritamente viáveis conforme a regra (1.1)
definida no capítulo 8. A tabela (2.6) mostra o número de iterações (It) e da busca
linear (BL) de cada problema.
95

Tabela 2.6: Problemas Testes Reformulados
Alg FDA-NCP FAA-NCP
β 1.1 2 1.1 2
Problema It BL It BL It BL It BL
1 23 30 19 30 57 445♯♯ 46 396
2 13 8 9 8 12 6 8 6
3 22 57 18 57 42 275♯ 38 275♯
4 39 213♯ 35 213♯ 63 439♯ 59 439♯
5 89 1019♯ 127 1306♯ 327 5117♯ 323 5117♯
6 138 1796♯ 180 2125♯ 602 10984♯ 598 10984♯
7 12 1 8 1 87 2205♯ 94 2330♯
8 76 458♯ 76 463♯ 33 65 32 65
9 32 168† 166 1785♯ 17 15 20 36
10 10 0 12 8 10 0 12 8
11 13 6 10 6 13 2 15 11
12 11 2 9 6 11 2 11 8
13 10 0 6 0 10 0 6 0
14 15 1 14 1 15 0 32 173♯
15 15 0 14 0 15 0 14 0
16 10 0 6 0 10 0 6 0
Em todos os problemas da tabela (2.6) tivemos a convergência dos algoritmos a
um ponto solução. Apesar do numero excessivo de busca linear no problemas em
que aparece o símbolo ♯, as buscas só ocorreram no inicio das iterações. Nas últimas
iterações o tamanho do passo da busca foi igual a t = 1. Somente no problema em
que aparece o símbolo †, é que o passo final foi menor que 1. E nos demais casos a
busca linear sempre terminou com t = 1.
96

9.3 Problemas de Complementaridade Mista
Apresentaremos agora alguns problemas de complementaridade mista tirada da
literatura afim de testar o algoritmo FDA-MNCP. Vamos a uma breve descrição
dos problemas.
Os quatro primeiros problemas são problemas de minimização com restrições (1.1).
E das condições de KKT empregada neles, podemos descreve-los em problemas de
complementaridade mista.
1. Função Objetivo:
Restrições:
f(x) = (x1 − 2) 2 + (x2 − 1) 2
h(x) = x1 − 2x2 + 1 = 0
g(x) = 1
4 x2 1 − x 2 2 + 1 ≥ 0
Que em complementaridade mista fica sob a forma:
F (x, λ, µ) = g(x),
⎛
⎞
h(x)
Q(x, λ, µ) = ⎝
⎠
∇f(x) + λ∇h(x) − µ∇g(x)
onde λ e µ são os multiplicadores de Lagrange de h(x) e g(x) respectivamente.
Temos o seguinte problema de complementaridade mista
2. Função Objetivo:
Restrições:
µ ≥ 0 , F (x, λ, µ) ≥ 0 e
µ • F (x, λ, µ) = 0
Q(x, λ, µ) = 0
f(x) = (x1 + 3x2 + x3) 2 + 4(x1 − x2) 2
⎛
⎞
1 − x1 − x2 − x3
h(x) = ⎝
⎠ = 0
6x2 + 4x3 − x1 − x4 − 3
x ≥ 0
Que em complementaridade mista fica sob a forma:
F (x, λ) = ∇f(x) + λ∇h(x),
97

Q(x, λ) = h(x)
onde λ é o multiplicador de Lagrange de h(x).
Temos o seguinte problema de complementaridade mista
3. Função Objetivo:
x ≥ 0 , F (x, λ) ≥ 0 e
10
f(x) = xi[ci + ln(
i=1
x • F (x, λ) = 0
Q(x, λ) = 0
xi
10 i=1 xi
onde c = −[6.089; 17.164; 34.054; 5.914; 24.721; 14.986; 24.1; 10.708; 26.662; 22.170].
Restrições:
⎛
⎞
x1 + 2x2 + 2x3 + x6 + x10 − 2
⎜
⎟
⎜
⎟
h(x) = ⎜ x4 + 2x5 + x6 + x7 − 1 ⎟ = 0
⎝
⎠
x3 + 2x7 + x8 + 2x9 + x10 − 1
x ≥ 0
Que em complementaridade mista fica sob a forma:
F (x, λ) = ∇f(x) + λ∇h(x),
Q(x, λ) = h(x)
onde λ é o multiplicador de Lagrange de h(x).
Temos o seguinte problema de complementaridade mista
4. Função Objetivo:
onde x = [x1; x2; x3]
Restrições:
x ≥ 0 , F (x, λ) ≥ 0 e
)]
x • F (x, λ) = 0
Q(x, λ) = 0
f(x) = 1000 − x T x − x 2 2 − x1x2 − x1x3
⎛
x
h(x) = ⎝
T ⎞
x − 25
⎠ = 0
8x1 + 14x2 + 7x3 − 56
98
x ≥ 0

Que em complementaridade mista fica sob a forma:
F (x, λ) = ∇f(x) + λ∇h(x),
Q(x, λ) = h(x)
onde λ é o multiplicador de Lagrange de h(x).
Temos o seguinte problema de complementaridade mista
x ≥ 0 , F (x, λ) ≥ 0 e
5. Problema de Kojima-Shindo-Modificado.
x • F (x, λ) = 0
Q(x, λ) = 0
Seja F : IR 5 → IR 4 definida por:
F (x, y) :=
⎛
3x
⎜
⎝
2 1 + 2x1x2 + 2x2 2 + x3 + 3x4 − 2 − y
2x2 1 + x2 2 + x1 + 10x3 + 2x4 + 2 − y
3x2 1 + x1x2 + 2x2 2 + 2x3 + 9x4 − 5 − y
x2 1 + 3x2 ⎞
⎟
⎠
2 + 2x3 + 3x4 + 1 − y
e Q : IR 5 → IR definida por :
Q(x, y) =
4
xi − y
i=1
Tem como solução x ∗ = [1; 0; 3; 0] e y ∗ = 4.
6. Problema de Kanzow-Modificado.
Seja F : IR 6 → IR 5 definida por:
F (x, y) := 2 exp ( 5 i=1(xi − i + 2) 2 ⎛
⎞
x1 + y − 5
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ x2 + y − 6 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
) ⎜ x3 + y − 7 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ x4 + y − 8 ⎟
⎝
⎠
x5 + y − 9
e Q : IR 5 → IR definida por :
Q(x, y) = (
5
xi − y) 2 + y − 6
i=1
Este exemplo tem uma solução degenerada x ∗ = (0, 0, 1, 2, 3) e y ∗ = 6.
99

7. Um problema de Complementaridade Mista Linear.
e
⎛
0.2 0.1 0 0 0 0 −0.1 0 0 0 0
⎞
⎜ 0
⎜ 0.1
A = ⎜ 0
⎜
⎝ 0
0.2
0
0.1
0
0
0.2
0
0
0.1
0
0.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1
−0.1
0.1
−1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
⎟
1 ⎟
−1 ⎟
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
⎛ ⎞
⎛
⎞ −100
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ −100 ⎟
⎜ −1 0 −1 0 0 0 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ −100 ⎟
B = ⎜ 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 ⎟ e q = ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ .
⎜
⎟ ⎜ −100 ⎟
⎝ 0 1 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 ⎠ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 50 ⎠
0 0 0 0 −1 1 0 0 0.1 −0.1 0
50
Assim temos as Funções:
onde z = (x, y).
F (z) = Az + q
Q(z) = Bz
8. Problema de Complementaridade Mista linear definido por:
e
F (x, y) = Ay + b
Q(x, y) = Gx − Jy
onde b é um vetor com 1 em todas as coordenadas, e as matrizes A, G e J
são definidas da seguinte maneira:
Tomamos A = [In×n : 0n×(p−n)], J = rand(n, p) e G = (G1 + G1 T )/2
com G1 = rand(n, n) e p > n. (A função rand do MatLab gera uma
matriz aleatoriamente com entradas entre [0, 1]). Assim vamos resolver este
problemas para três valores de n e p diferentes.
Problema 8: Para n = 50 e p = 100.
Problema 9: Para n = 250 e p = 500.
100

Problema 10: Para n = 500 e p = 1000.
Os resultados numéricos para os 10 problemas de complementaridade mista
descrito acima.
Tabela 3.1: Problemas Testes Para FDA-MNCP
Alg FDA-MNCP
β 1.1 2
Problema n It BL t It BL t
1 4 6 1 1 7 6 0.8
2 6 12 0 1 13 8 0.8
3 13 14 6 1 65 485 0.134
4 5 23 169 1 20 169 1
5 5 11 10 1 8 11 1
6 6 34 17 1 36 28 0.64
7 11 17 0 1 15 0 1
8 150 14 25 1 11 27 1
9 750 19 61 1 16 61 1
10 1500 23 106 1 21 106 1
101

Capítulo 10
Aplicações - Inequações
Variacionais
Neste capítulo vamos mostrar aplicações para o FDA-NCP e FDA-MNCP.
Basicamente trabalharemos com inequações variacionais.
As inequações variacionais constituem uma ferramenta natural, elegante e
poderosa para tratamento de problemas de fronteira livre e seu desenvolvimento
está ligado principalmente aos nomes de Fichera, Stampacchia, Lions, Baiocchi e
Brezis.
É conhecido que uma ampla classe de problemas de fronteira livre podem ser
escritas como inequações variacionais. Entre eles estão os problemas de obstáculos
em duas dimensões, o problema clássico do dique e o problema de contato entre um
sólido elástico deformável e um obstáculo rígido.
Uma rápida noção de inequação variacional. Seja V um espaço de Hilbert com
produto interno (., .) e associado a ele uma norma .. Seja a(., .) : V ×V → IR uma
forma bilinear contínua em V , isto significa que a(u, v) é linear em cada uma das
variáveis (u, v) e que existe uma constate β > 0 tal que |a(u, v)| ≤ βuv para
todo u, v ∈ V .
Dizemos que a(., .) é coerciva se existe um α > 0 tal que
e dizemos que é simétrica se
a(v, v) ≥ αv 2
, ∀ v ∈ V ,
a(u, v) = a(v, u) ∀ u , v ∈ V.
102

Note que uma forma bilinear simétrica e coerciva define um produto interno em
V e [a(., .)] 1
2 é uma norma equivalente para . no sentido que para todo v ∈ V ,
α 1
2 v ≤ [a(v, v)] 1
2 ≤ β 1
2 v.
Seja l : V → IR uma aplicação linear contínua, ou seja, existe uma constante
C > 0 tal que
|l(v)| ≤ Cv , ∀ v ∈ V.
Finalmente, nós dizemos que K, um subconjunto não vazio de V , é fechado se
qualquer seqüência convergente em K tem seu limite em K.
Agora vamos considerar a seguinte Inequação Variacional.
[P (1)] Encontrar u em K tal que
a(u, v − u) ≥ l(v − u) ∀ v ∈ K. (0.1)
onde a(., .) é uma forma bilinear contínua coerciva, l(.) uma aplicação linear contínua
e K um subconjunto não vazio convexo e fechado de V , como definido anteriormente.
Se a(., .) é simétrica, nós também podemos considerar o seguinte problema de
otimização.
[P (2)] Encontrar u ∈ K tal que
onde E[v] = 1a(v,
v) − l(v).
2
E[u] = min E[v], (0.2)
v ∈ K
Resultado de existência e unicidade para o problema P (1) e a equivalência
quando a(., .) é simétrica entre os problemas P (1) e P (2) pode ser visto em
Stampacchia [34].
Tomando V = H 1 g (Ω) = {v ∈ H 1 : v = g sobre ∂Ω} onde Ω é um subconjunto
de IR n aberto e limitado e g ∈ L 2 (Ω). Seja f ∈ L 2 (Ω),
a(u, v) =
Ω
∇u.∇v dx , l(v) =
Ω
f(x)v(x)dx e E[v] = 1
v
2 Ω
2
dx− fv dx u, v ∈ V
Ω
e K = {v ∈ H 1 g (Ω) | v(x) ≥ ψ(x) em x ∈ Ω} onde ψ ∈ H 2 g (Ω).
Assim, uma solução de P (1) é a mesma solução do seguinte problema:
103

[P (3)] Encontrar u ∈ K tal que:
u − ψ ≥ 0 em Ω, (0.3)
−∆u − f ≥ 0 em Ω e (0.4)
(u − ψ)(−∆u − f) = 0 em Ω. (0.5)
Uma solução de P (3) particiona Ω em duas regiões:
Ω0 = {x : u(x) = ψ(x)} , Ω+ = {x : u(x) > ψ(x)} e − ∆u = f em Ω+.
Assim, considerando hipóteses de regularidade e suavidade para u e os conjuntos
Ω+ e Ω0 temos que u é uma solução de P (1). Para mais detalhes ver [34], [11].
As duas primeiras aplicações são de inequações variacionais que são equivalentes
a uma formulação em complementaridade P (3). São, o problema do obstáculo e
o problema clássico do Dique. Neste caso trabalharemos com o domínio Ω fixo e
utilizaremos o Método das Diferenças Finitas (MDF).
A terceira aplicação é o problema de elasticidade linear com contato sem atrito,
aqui apresentaremos o modelo matemático do problema (Problema de Signorini).
Para resolver este problema numericamente utilizaremos dois tipos de discretização,
o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de Contorno
(MEC).
No primeiro caso transformamos o problema de Signorini em um problema de
otimização, do tipo P (2), a partir da discretização deste problema de otimização,
obtemos um problema de complementaridade.
No segundo caso a discretização ocorre a partir das equações que compõem o
Problema de Signorini, das equações de equilíbrio mais as condições de contorno
e através do Método de Elemento de Contorno (MEC) obtemos duas formulações.
Uma em complementaridade Mista onde utilizaremos o FDA-MNCP e outra em
complementaridade na qual utilizaremos o FDA-NCP para obter um resultado
numérico. As próximas seções trazem um resumo dos trabalhos apresentados em
Congressos e Simpósios [41], [42], [44], [45], [46] e [43].
104

10.1 O Problema do Obstáculo em duas
dimensões
Considere uma membrana elástica homogênea que, em sua posição de referência,
ocupa a região limitada Ω de IR 2 suficientemente regular e tendo o seu bordo fixo
em ∂Ω. A membrana quando sujeita à força externa f deforma-se. Porém, na
presença de um obstáculo, que designaremos pela função ψ em Ω, assume sua
posição de equilíbrio satisfazendo as equações abaixo.
(1)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−∆u = f, em Ω + , ( Região onde não há contato)
u(x, y) = ψ(x, y), em Ω 0 , ( Região onde há contato)
u = g, sobre ∂Ω,
u = ψ, ∇u = ∇ψ, sobre Γ = ∂Ω 0 ∩ ∂Ω + , (g − condição de fronteira)
u ≥ ψ, em Ω = Ω + ∪ Ω 0 , (ψ − obstáculo)
−∆u ≥ f, em Ω = Ω + ∪ Ω 0 .
Este problema é equivalente ao problema abaixo:
Encontrar u ∈ K = { v ∈ H 1 (Ω) / v ≥ ψ em Ω e v = g sobre ∂Ω } tal que:
(2)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u − ψ ≥ 0 em Ω,
−∆u − f ≥ 0 em Ω,
(u − ψ)(−∆u − f) = 0 em Ω.
A existência e unicidade da solução bem como a equivalência dos sistemas (1) e (2),
ficam asseguradas quando assumimos condições de regularidade para os conjuntos
Ω e Γ e para as funções ψ, g e f.
Faremos um exemplo apresentado em [12].
O conjunto Ω = [0, 1] × [0, 1].
Onde f = 0 em Ω.
E g sobre ∂Ω vale:
⎧
⎪⎨ 1 − (2x − 1)
g(x, y) =
⎪⎩
2 , se y = 0 e y = 1,
0 caso contrário.
105

Para o obstáculo dado por:
⎧
⎪⎨ 1
ψ1(x, y) =
⎪⎩
se |x − 1
0
1 | ≤ 2 4
caso contrário.
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
Figura 1.1:
0.4
1 1
, |y − | ≤ 2 4 ,
O Gráfico da solução para uma malha 30 × 30 e usando diferenças finitas.
Tabela 1.1: Resumo das iterações - Obstáculo ψ1
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
625 18 7 21 24 9 12
2500 20 19 24 41 11 42
5625 22 25 26 51 15 138
10000 24 47 29 76 19 202
15625 26 57 30 86 26 364
22500 27 64 32 100 35 363
30625 28 70 32 104 40 515
106
0.6
0.8
1

onde
Para o obstáculo dado por:
⎧
⎪⎨ ψ∗
ψ2(x, y) =
⎪⎩
se |x − 1
0
1 | ≤ 2 4
caso contrário
2
1.5
1
0.5
0
1
ψ∗ = 400(x − 1
4
0.5
)(x − 3
4
0
1 3
)(y − )(y −
4 4 ).
0
Figura 1.2:
1 1
, |y − | ≤ 2 4
O Gráfico da solução para uma malha 50 × 50 e usando diferenças finitas.
Tabela 1.2: Resumo das iterações - Obstáculo ψ2
0.5
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
625 13 3 16 15 8 16
2500 13 3 17 18 10 47
5625 13 5 17 20 12 82
10000 14 6 18 22 16 123
15625 14 6 18 24 16 141
22500 15 8 18 24 21 257
30625 24 7 19 27 22 314
107
1

Nas duas tabelas 1.1 e 1.2, vemos que o algoritmo FDA-NCP tem um desempenho
superior ao algoritmo FB, principalmente com relação a busca linear. Destacamos
também, para o algoritmo FDA-NCP, que o numero de iterações e busca linear não
varia muito em relação ao numero de variáveis n.
10.2 Problema clássico de infiltração em meio
poroso
O modelo físico do problema clássico de infiltração consiste em encontrar o fluxo
entre dois reservatórios com níveis H e h ( H > h), respectivamente, separados por
um meio poroso R, de comprimento a e com a base impermeável. Como mostra a
figura 2.2
H
Água
Γ
Parte Molhada
Ω
R - Ω
Parte Seca
0 a
h
Água
Figura 2.1: Infiltração em meio poroso
A diferença entre os níveis provocará um escoamento do fluido formando uma
área saturada Ω em R, cuja parte da fronteira dada pela curva Γ é desconhecida à
priori. A parte da fronteira Γ dado pelo segmento h1h = Γγ, de comprimento h0, é
chamado superfície de percolação.
Considere um fluido ideal, escoamento permanente, o meio poroso homogêneo
com coeficiente de permeabilidade constante e igual a 1, [2], [11], [37].
Temos a seguinte formulação matemática para o problema de infiltração em
meio poroso:
Dado a, h, H ∈ IR satisfazendo a > 0 e 0 < h < H, determinar uma
108
h1
h0

função decrescente y = φ(x) definida para x ∈ [0, a] tal que φ(0) = H
, φ(a) > h e uma função potencial de velocidade u(x, y) : Ω → IR onde
Ω = {(x, y) ∈ R ; 0 < y < φ(x)} satisfazendo:
⎧
⎪⎨ u(x, y) harmônica em Ω e contínua em Ω,
(i)
⎪⎩ u(0, y) = H para 0 ≤ y ≤ H,
⎧
⎧
⎪⎨ h para 0 ≤ y ≤ h,
⎪⎨ u(a, y) =
(ii)
⎪⎩ y para h ≤ y ≤ φ(a),
⎪⎩ uy(x, 0) = 0 para 0 < x < a ,
⎧
⎪⎨
(iii)
⎪⎩
u(x, y) = y
∂u(x,y)
∂ν
= 0
para y = φ(x) , 0 < x < a,
onde ν é o vetor normal externo ao domínio Ω para a curva y = φ(x).
Através da transformação de Baiocchi w(x, y) = φ(x)
y [u(x, t) − t]dt , (x, y) ∈ Ω,
podemos reformular o problema de infiltração em meio poroso como um problema
de complementaridade:
Seja R = [0, a] × [0, H], Ω ⊂ R.
Encontrar w ∈ K = { v ∈ H 1 (R) / v ≥ 0 em R e v = g sobre ∂R } tal que:
Onde g(x, ⎧y)
é definida sobre ∂R por
⎪⎨
g(x, y) =
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
w ≥ 0 em R
1 − ∆w ≥ 0 em R
w(1 − ∆w) = 0 em R
1
2 (H − y)2 + x
2a [(h − y)2 − (H − y) 2 ] , 0 ≤ y ≤ h
(2.1)
1
2 (H − y)2 − x
2a (H − y)2 , h ≤ y ≤ H.
Dessa forma a solução deste problema (2.1) é uma solução do problema de
infiltração em meio poroso em questão e ainda temos que Ω w = {(x, y) ∈
R / w(x, y) > 0 }.
Considere o seguinte caso: H = 6.3014 , a = 6.1592 e h = 1.2359.
109

6.3014
5
4
3
2.5227
2
1.2359
1
Ω w
Parte Molhada
Parte Seca
0
0 1 2 3 4 5 6.1592
Figura 2.2: Solução do Problema (2.1).
Solução para uma malha 700 × 700 e usando diferenças finitas. O comprimento
de h0 ≈ 1.2868.
Tabela 2.1: Resumo das iterações para o Problema (2.1)
Alg FDA-NCP FB
β 1.1 2 -
n It BL It BL It BL
10000 27 15 27 24 104 791
40000 27 21 27 28 188 2939
90000 27 22 27 30 331 6064
160000 28 26 27 33 492 9822
250000 28 22 27 78⋆ * *
360000 28 29 27 101⋆ * *
490000 28 30 27 155⋆ * *
Na tabela 2.1 vemos que o algoritmo FDA-NCP teve um comportamento regular
com respeito a variação n, número de variáveis na discretização. Para os caso em
que aparece a marca ⋆ o passo final foi menor que 1 e nos outros caso tivemos a
convergência com o passo igual a 1. O algoritmo FB não teve um bom desempenho
e a medida que n aumenta o algoritmo FB realiza muitas iterações e buscas lineares
e para os casos onde aparece ∗ não houve convergência a uma solução do problema
110
h1
h
h0

(2.1). Portanto, o algoritmo FDA-NCP teve um desempenho superior ao algoritmo
FB.
10.3 Problema de Elasticidade Linear com
Contato
O problema de elasticidade linear com contato consiste em determinar a função u
que define os deslocamentos nos pontos de um domínio Ω ⊂ IR 2 (IR 3 ) do espaço
euclidiano. O domínio Ω é ocupado por um corpo de material elástico linear.
As condições de contorno são dadas pela função que define os deslocamentos
prescritos, ū e pela função que define as forças de superfície prescritas ¯p, definidas,
respectivamente, nas regiões Γ D e Γ N de Ω, e por uma condição de contato na região
Γ C (ver Fig. 3.1). Chamando Γ ao contorno de Ω, as regiões Γ D , Γ N e Γ C verificam:
Γ D ∪ Γ N ∪ Γ C = Γ.
Figura 3.1: Problema de Signorini.
Matematicamente, o problema de elasticidade linear com contato pode ser
expresso como o problema de Signorini:
a) ∇·( lC∇ S u) = 0 em Ω ,
b) u = ū em Γ D ,
c) p = ¯p em Γ N ,
111
(3.1)

mais a condição de complementaridade no contorno Γ C :
a) u·¯n + ¯s ≥ 0 ,
b) p·¯n ≥ 0 em Γ C ,
c) (u·¯n + ¯s)·(p·¯n) = 0 ,
(3.2)
onde lC é o tensor elástico, ∇ S u = 1/2(∇u + (∇u) T ), p = ( lC∇ S u)n representa as
forças de superfície atuando no contorno, ¯n é o vetor unitário normal à superfície
sobre a qual tem-se o contato e ¯s é a folga do deslocamento máximo possível na
direção do vetor unitário ¯n (ver Fig. 3.1).
O problema de elasticidade linear com contato pode ser formulado como um
problema de minimização de um funcional num campo de deslocamento admissíveis,
= {u ∈ U|u·¯n + ¯s ≥ 0 em Γ C } onde U é o espaço de deslocamentos, ou seja:
min
u∈ f(u) , (3.3)
onde f(u) = 1
2 Ω ∇Su·( lC∇ Su)dΩ −
ΓN u·¯pdΓ.
10.3.1 Modelo de Elementos Finitos
Utilizando o método de elementos finitos para discretizar o problema (3.3) obtém-se:
f(u) = 1
2 ut Ku − F u , (3.4)
g(u) = Au − s , (3.5)
onde u ∈ ⇔ g(u) ≥ 0 e f(u) é o funcional quadrático que representa a energia
total de deformação, K a matriz de rigidez do problema e −→ F vetor carregamento
externo.
Porém a solução deste problema verifica as condições de otimalidade de
(Karush-Kunh-Tucker) de primeira ordem, as quais podem-se escrever da forma
seguinte:
G(λ) = (AK −1 A t )λ − AK −1 F + s ≥ 0; , (3.6)
112
λ ≥ 0 , (3.7)
G(λ) • λ = 0 . (3.8)

Assim, tem-se um problema de complementaridade na variável dual λ, que
representa fisicamente as forças de contato na superfície. Os sistemas K −1 A t e
K −1 F são resolvidos uma única vez e de forma simultânea no ABAQUS através de
uma interface com o algoritmo (FDA-NCP) [3] e [45].
Apresentados dois exemplos de contato, o primeiro em duas dimensões (2D) e
o segundo em três dimensões (3D). No primeiro exemplo (2D) é considerado um
corpo semicilíndrico de material isotrópico submetido a um estado plano de tensões,
em contato com uma fundação rígida. Devida à simetria axial o problema pode ser
modelado em duas dimensões. Ver figura 3.2.
Figura 3.2: Problema de contato 2D.
Os dados do modelo são: r = 1cm , E = 207GPa , ν= 0.3 , q = 66KPa e a
solução analítica das pressões de contato:
p(x) = 2ρ
1 − (x/b)
πb
2
4rρ(1 − ν
b =
2 )
πE
onde b largura da região de contato e r raio do cilindro.
113
ρ = 2rq

P(x)/B
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Figura 3.3: Configuração deformada
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
x/r
2
3
Analítica
ABAQUS
FDA−NCP
FAIPA
Figura 3.4: Curva pressão na região de contato
114
1

Tabela 3.1: Resultados numéricos
Alg FDA-NCP FAIPA
β 1.1 s/Atual.
Problema It BL t It BL t
(2D) 9 1 1 20 36 0.8
Como podemos verificar na tabela 10.3.1 o desempenho do algoritmo FDA-NCP
foi superior ao algoritmo FAIPA.
Para o segundo exemplo (3D) resolvemos um problema de auto-contato, numa
peça que encontra-se sujeita a forças externas num extremo e engastada na sua base
como vemos na figura 3.5.
3
2
1
Z
Y
X
Figura 3.5: Modelo com condições de contorno
Dados do modelo E = 207GPa , ν = 0.3 e ρ = 130KPa.
115

S, Mises
(Ave. Crit.: 75%)
3
+3.908e-02
+3.583e-02
+3.258e-02
+2.932e-02
+2.607e-02
+2.282e-02
+1.956e-02
+1.631e-02
+1.306e-02
+9.803e-03
+6.549e-03
+3.296e-03
+4.294e-05
2
1
S, Mises
(Ave. Crit.: 75%)
3
+3.908e-02
+3.583e-02
+3.258e-02
+2.932e-02
+2.607e-02
+2.282e-02
+1.956e-02
+1.631e-02
+1.306e-02
+9.803e-03
+6.549e-03
+3.296e-03
+4.294e-05
2
1
Figura 3.6: Configuração deformada
Figura 3.7: Configuração da região de contato
Tabela 3.2: Resultados numéricos
Alg FDA-NCP FAIPA
β 1.1 s/Atual.
Problema It BL t It BL t
(3D) 7 1 1 14 7 0.8
Também neste caso vemos que o algoritmo FDA-NCP obteve um desempenho
melhor que o algoritmo FAIPA.
116

Podemos assim concluir que o algoritmo FDA-NCP adaptou-se melhor a interface
criada por G. M. G. Bernadá [3] e [45].
10.3.2 Modelo de Elementos de Contorno
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) é baseado em uma equação integral
conhecida como identidade de Somigliana para os deslocamentos. Para forças de
volume nulas pode ser escrita na forma matricial:
c(ξ)u(ξ) =
Γ u∗ (ξ, x)p(x) dΓ −
Γ p∗ (ξ, x)u(x) dΓ . (3.9)
A função u ∗ representa à solução fundamental em deslocamentos para o problema
de elasticidade linear, p ∗ é sua correspondente força de superfície.
Por exemplo, para estado plano de deformações, as componentes de deslocamento
e forças de superfícies da solução fundamental são dados em notação indicial por:
u ∗ ij(ξ, x) = −1
8π(1−νm)Gm {(3 − 4νm) log(r)δij − r,ir,j} ,
p ∗ ij(ξ, x) = −1
4π(1−νm)r
[(1 − νm)δij + 2r,ir,j] ∂r
∂n − (1 − νm)(r,inj − r,jni)
onde r = r(ξ, x) representa a distância entre o ponto ξ e o ponto x, r = x − ξ, e
as derivadas r,i = ∂r/∂xi. Gm e νm são, respectivamente, os módulos de distorção
transversal e de Poisson do material e n é a normal a Γ no ponto x.
A matriz c é função da geometria do contorno no ponto ξ e a segunda integral à
direita na Eq. 3.9 deve ser calculada no sentido do valor principal de Cauchy [4].
Discretizando o contorno em elementos lineares e aplicando nos nós a Eq. 3.9
tem-se a equação do MEC que pode ser escrita como:
Hu − Gp = 0 , (3.10)
onde as matrizes H e G são matrizes cheias não simétricas e os vetores u e p definem
os deslocamentos e forças de superfície em todos os nós do contorno.
Substituindo as variáveis de valores dados pelas condições de contorno, Eqs.
(3.1.b) e (3.1.c), a Eq. 3.10 pode ser escrita como:
Ax + By = f , (3.11)
117
,

onde o vetor x contém as incógnitas de força de superfície do contorno Γ C na direção
do versor ¯n e y contém o resto das incógnitas do problema. Assim, as condições de
contorno em Γ C das Eqs. (3.2.a) a (3.2.c) podem ser escritas como:
F(y) ≥ 0 ,
x ≥ 0 ,
F(y) • x = 0 ,
Definindo a função Q(x, y) = Ax + By − f tem-se o seguinte Problema de
Complementaridade Mista (NCPM):
F(y) ≥ 0 , (3.12)
x ≥ 0 , (3.13)
F(y) • x = 0 , (3.14)
Q(x, y) = 0 . (3.15)
A Eq. 3.11 permite expressar a variável y em função de x:
By = f − Ax . (3.16)
O sistema linear da Eq. 3.16 é o mesmo que o sistema linear que fornece o MEC
quando em vez da condição de complementaridade tem-se uma condição de contorno
de Newman em Γ C , ou seja, quando p é conhecido. Portanto, a matriz B é inversível
e y pode ser expresso em função de x:
y(x) = B −1 (f − Ax) . (3.17)
Utilizando Eq. 3.17 para expressar o problema dado pelas Eqs. 3.12 a 3.15 na
incógnita x tem-se o Problema de Complementaridade (NCP):
F(y(x)) ≥ 0 , (3.18)
x ≥ 0 , (3.19)
F(y(x)) • x = 0 . (3.20)
Apresentaremos dois exemplos. O primeiro em duas dimensões (2D) que foi
resolvido por ambos os algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP. O segundo em três
118

dimensões (3D) que foi resolvido com o algoritmo FDA-NCP. No exemplo 2D
foi considerado o valor do parâmetro de parada ɛ = 10 −12 , no exemplo 3D foi
considerado o valor ɛ = 10 −12 .
O exemplo (2D) utilizado aqui é o mesmo exemplo para o caso (MEF), como
descrito na figura 3.2.
As discretizações utilizadas são descritas na Tabela 3.3 onde Ne é o número de
elementos , Nvx é o número de variáveis do vetor x e Nvy é o número de variáveis
do vetor y. Pela simetria em relação a um eixo vertical foi discretizada a metade da
secção transversal como mostrado na Fig. 3.8.
Tabela 3.3: Discretizações utilizadas para o Exemplo 2D
Nome Ne Nvx Nvy
Malha 1 54 16 108
Malha 2 108 32 216
Malha 3 216 64 432
Malha 4 432 128 864
Malha 5 864 256 1728
Malha 6 1728 512 3456
Figura 3.8: Exemplo da Malha 1
119

A Tabela 3.4 mostra o desempenho dos algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP.
Com o FDA-MNCP o exemplo é resolvido de duas formas diferentes: A primeira
forma utiliza como ponto inicial x 0 = 1 e y 0 = 0 e a segunda utiliza como
ponto inicial o resultado (interpolado) obtido com a malha anterior. Nas colunas
“FDA-MNCP 1” e “FDA-MNCP 2” são apresentados os resultados para estas duas
formas de resolver o problema. Com o FDA-NCP foi utilizado sempre o ponto inicial
x 0 = 1. Na Tabela “Tempo” indica o tempo total de cálculo em segundos.
Tabela 3.4: Resultados Numéricos para o Exemplo 2D
FDA-MNCP 1 FDA-MNCP 2 FDA-NCP
Nome It Tempo It Tempo (s) It Tempo (s)
Malha 1 10 0.14 10 0.13 10 0.09
Malha 2 10 0.31 3 0.16 15 0.03
Malha 3 9 1.52 3 0.58 14 0.30
Malha 4 9 7.55 2 1.80 13 0.64
Malha 5 11 55.81 2 11.67 11 4.59
Malha 6 11 398.02 1 47.52 11 33.61
Como pode-se verificar na Tabela 3.4 o FDA-NCP obteve um desempenho melhor
em relação ao tempo total de cálculo. No caso de utilizar a solução obtida de uma
malha menor para a malha maior o FDA-MNCP 2 teve um desempenho semelhante
ao FDA-NCP.
O tempo total de cálculo do Algoritmo FDA-NCP é na maior parte devido ao
cálculo de ∇xF = B −1 A, que é feito somente uma vez. O número total de iterações
não faz muita diferença no tempo total de cálculo, portanto, não se justifica neste
caso a técnica de malha variável.
120

y (m)
x 10−5
14
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x 10 −3
x (m)
Figura 3.9: Diagrama da configuração inicial e deformada para a malha 4.
Pressão de contato (N/m)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
Resultado para a malha 4
Solução analítica
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x 10 −3
x (m)
Figura 3.10: Força de contato obtida para a malha 4.
Para o segundo exemplo (3D) resolvemos um problema de contato em três
dimensões. Neste caso foi utilizado o FDA-NCP que mostrou um desempenho
melhor no caso anterior. O Problema consiste em um corpo que tem a forma da
metade de um toro de raio exterior igual a 2.5 m e raio interior igual a 1.5 m com
121

condições de contorno mostradas na Fig. 3.11, o valor da força de contato por
unidade de superfície considerada foi ρ = 0.02 Pa.
Figura 3.11: Problema de contato 3D.
Para este exemplo foram consideradas as seguintes propriedades para o material:
Em = 2000 Pa e νm = 0. A discretização utilizada é uma malha de 2516 elementos
mostrada na Fig. 3.12.
Figura 3.12: Malha utilizada de 2516 elementos.
Nas figuras 3.13 e 3.14 destacamos a região de contato, os pontos que ficam
em contato são realçados em cor vermelha (figura 3.13). Pode-se observar a forma
elíptica característica da região de contato (figura 3.14).
122

x 2
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Figura 3.13: Região de contato.
0.08
−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0
x
1
0.02 0.04 0.06
Figura 3.14: Região de contato.
Neste caso o Algoritmo FDA-NCP realizou 11 iterações para obter a solução do
problema.
123
20
15
10
5
0

Capítulo 11
Conclusões
Neste trabalho vimos que o algoritmo de ponto interior viável FDA-NCP proposto
no Capítulo 3 é uma boa técnica para resolver numericamente os problemas de
complementaridade. Com sua estrutura simples e robusta quanto ao parâmetros
contido foi possível extender o FDA-NCP para problemas de complementaridade
mista, que originou o algoritmo FDA-MNCP, capítulo 5. Resultados teóricos
dos algoritmos asseguram a convergência global feita no capítulo 4 e do fato da
estrutura do dois algoritmos, FDA-NCP e FDA-MNCP serem similares, obtemos
convergência assintótica, superlinear e quadrática, para ambos.
Vimos também neste trabalho, capítulo 7, a implementação do FAIPA para
resolver problemas de complementaridade e inclusive uma nova regra de atualização
dos multiplicadores de Lagrange no algoritmo FAIPA que possibilitou trabalhar
com a Hessiana exata no FAIPA. Com essa atualização chegamos a uma expressão
para uma busca em arco no algoritmo FDA-NCP, que chamamos de FAA-NCP.
Quanto a Reformulação do problema de complementaridade apresentada no
Capítulo 8, vimos através dos resultados numéricos que é uma boa alternativa
quando não é possível ou é difícil de obter um ponto estritamente viável.
Os resultados numéricos, capítulo 9, evidenciaram a eficiência e robustez dos
algoritmos FDA-NCP, FAA-NCP, FDA-MNCP e também da versão do FAIPA
124

com a nova regra de atualização dos multiplicadores de Lagrange. Destacamos o
resultado em que geramos aleatoriamente 100 pontos para os problemas de K-J e
K-S onde os algoritmos FDA-NCP e FAA-NCP convergiram em todos os casos.
Também vimos no primeiro problema dos casos especiais, seção 9.2, que a busca
em arco evita que a seqüência gerada se pegue nas restrições o que melhora a
velocidade de convergência.
As aplicações apresentadas no capítulo 10, re-afirmam a eficiência e robustez
dos algoritmos FDA-NCP e FDA-MNCP.
Para o futuro vislumbramos a possibilidade de conseguir resultados teóricos
para a busca em arco bem como uma nova forma de calcular o arco e/ou de
melhorar a direção de busca afim de evitar que a seqüência se pegue nas restrições.
E também da possibilidade de estender o algoritmo FDA-NCP para problemas de
MPEC (Mathematical Programs with Equilibrium constraints).
125

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