Transporte paralelo e Geodésicas - Sato.prof.ufu.br - Universidade ...

8. Seja α : I → R 3 uma curva parametrizada regular com K(t) = 0, t ∈ I. Seja<br />
X(t,v) sua superfície tangente. Prove que, para cada (t,v) ∈ I ×(R−{0}), existe<br />
uma vizinhança V de (t,v) tal que X(V) é isométrico a um aberto do plano (assim,<br />
superfícies tangentes são localmente isométricas ao plano).<br />
9. Seja S uma superfície de revolução. Prove que as rotações em torno do eixo de<br />
revolução são isometrias de S.<br />
10. a) Sejam S ⊆ R 3 uma superfície regular e F : R 3 → R 3 uma isometria de R 3 tal que<br />
F(S) ⊆ S. Prove que a restrição F|S de F a S é uma isometria de S.<br />
b) Use o item a) para mostrar que o grupo de isometrias da esfera unitária x 2 +<br />
y 2 +z 2 = 1 está contido no grupo das transformações lineares ortogonais de R 3 . (De<br />
fato, pode−se mostrar que eles são igual).<br />
c) Dê um exemplo para mostrar que existe uma isometria ψ : S1 → S2 que não se<br />
estende a uma isometria de F : R 3 → R 3 .<br />
11. Calcule os símbolos de Christofel para uma aberto do plano<br />
a) Em coordenadas cartesianas.<br />
b) Em coordenadas polares.<br />
c) Use a fórmula de Gauss para calcular K em ambos os casos.<br />
12. Justifique porque as superfícies abaixo não são duas a duas localmente isométricas<br />
a) Esfera.<br />
b) Cilindro.<br />
c) Sela z = x 2 +y 2 .<br />
13. a) Se uma curva C ⊆ S é linha de curvatura e geodésica, então C é uma curva<br />
plana.<br />
b) Se uma geodésica (não retilínea) é plana, então ela é uma linha de curvatura.<br />
c) Dê um exemplo de uma linha de curvatura plana que não é geodésica.<br />
14. Considere o toro de revolução gerado pela rotação do círculo (x − a) 2 + z 2 = r 2 ,<br />
y = 0, em torno do eixo z ( a > r > 0). Os paralelos gerados pelos pontos<br />
(a + r,0), (a − r,0), (a,r) são chamados de paralelo máximo, paralelo mínimo e<br />
paralelo superior, respectivamente. Verifique quais desses paralelos são:<br />
a) Uma geodésica.<br />
b) Uma curva assintótica.<br />
c) Uma linha de curvatura.<br />
15. Sejam V um pólo da esfera unitária e P,Q pontos do correspondente equador de tal<br />
modo que os meridianos VP e VQ fazem um ângulo θ em V. Considere um vetor<br />
unitário w tangente ao meridiano VP e faça o transporte paralelo de w ao longo da<br />
curva fechada, constituída pelos segmentos do meridiano VP, do paralelo PQ e do<br />
meridiano QV.<br />
a) Determine o ângulo do vetor w, com ele mesmo em sua posição inicial, quando<br />
este retorna a V.<br />
b) Faça a mesma coisa, supondo agora que P e Q estão num paralelo de colatitude<br />
u.<br />
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