Transporte paralelo e Geodésicas - Sato.prof.ufu.br - Universidade ...

Universidade Federal de Uberlândia<br />
Faculdade de Matemática<br />
Disciplina : Geometria Diferencial<br />
Assunto: Linhas de curvatura e linhas assintótica; Teorema Egregiun de Gauss;<br />
Isometrias e Aplicações conforme; Transporte paralelo e Geodésicas<br />
Prof. Sato<br />
3 a Lista de exercícios<br />
1. Determine as curvas assintóticas e as linhas de curvatura da superfície z = xy.<br />
2. Considere a superfície parametrizada (superfície de Enneper)<br />
X(u,v) = (u− u3<br />
3 +uv2 ,v− v3<br />
3 +vu2 ,u 2 −v 2 ).<br />
Mostre que:<br />
a) Os coeficientes da primeira forma fundamental são: E(u,v) = G(u,v) = (1 +<br />
u 2 +v 2 ) 2 , F = 0.<br />
b) Os coeficientes da segunda forma fundamental são: e ≡ 2, g ≡ −2 e f ≡ 0.<br />
c) As curvaturas principais são<br />
K1 = −<br />
2<br />
(1+u 2 +v 2 ) 2 e K2 =<br />
d) As linhas de curvatura são curvas coordenadas.<br />
e) As curvas assintóticas são u+v = cte. e u−v = cte.<br />
2<br />
(1+u 2 +v 2 ) 2<br />
3. Mostre que X(u,v) é isotermal ,isto é, se E = G = λ(u,v) e F = 0, então<br />
K = − 1<br />
2λ △(logλ),<br />
onde △ψ indica o laplaciano ∂2ψ ∂u2 + ∂2ψ ∂v2 da função ψ. Conclua dai que se E = G =<br />
(u 2 +v 2 +c) −2 e F = 0, então K = const. = 4c.<br />
4. Use o teorema de Bonnet para mostrar que não existe superfície X(u,v) tal que<br />
E = G = 1, F = 0 e e = 1, f = 0, g = −1.<br />
5. Existe uma superfície X(u,v) com que E = 1, F = 0, G = cos 2 u e e = cos 2 u,<br />
f = 0, g = 1?<br />
6. Prove a ”recíproca” da Prop. 1: ”Se ψ : S → S é uma isometria e X : U → S<br />
é um sistema de coordenadas locais em p ∈ S, então X = ψ ◦ X : U → S é um<br />
sistema decoordenadaslocaisemψ(p)eoscoeficientes daprimeiraformaquadrática<br />
nesses sistemas são iguais em pontos correspondentes, isto é, E(u,v) = E(u,v),<br />
F(u,v) = F(u,u), G(u,v) = G(u,v).<br />
7. Mostre que a projeção estereográfica é uma aplicação localmente conforme da esfera<br />
no plano.<br />
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8. Seja α : I → R 3 uma curva parametrizada regular com K(t) = 0, t ∈ I. Seja<br />
X(t,v) sua superfície tangente. Prove que, para cada (t,v) ∈ I ×(R−{0}), existe<br />
uma vizinhança V de (t,v) tal que X(V) é isométrico a um aberto do plano (assim,<br />
superfícies tangentes são localmente isométricas ao plano).<br />
9. Seja S uma superfície de revolução. Prove que as rotações em torno do eixo de<br />
revolução são isometrias de S.<br />
10. a) Sejam S ⊆ R 3 uma superfície regular e F : R 3 → R 3 uma isometria de R 3 tal que<br />
F(S) ⊆ S. Prove que a restrição F|S de F a S é uma isometria de S.<br />
b) Use o item a) para mostrar que o grupo de isometrias da esfera unitária x 2 +<br />
y 2 +z 2 = 1 está contido no grupo das transformações lineares ortogonais de R 3 . (De<br />
fato, pode−se mostrar que eles são igual).<br />
c) Dê um exemplo para mostrar que existe uma isometria ψ : S1 → S2 que não se<br />
estende a uma isometria de F : R 3 → R 3 .<br />
11. Calcule os símbolos de Christofel para uma aberto do plano<br />
a) Em coordenadas cartesianas.<br />
b) Em coordenadas polares.<br />
c) Use a fórmula de Gauss para calcular K em ambos os casos.<br />
12. Justifique porque as superfícies abaixo não são duas a duas localmente isométricas<br />
a) Esfera.<br />
b) Cilindro.<br />
c) Sela z = x 2 +y 2 .<br />
13. a) Se uma curva C ⊆ S é linha de curvatura e geodésica, então C é uma curva<br />
plana.<br />
b) Se uma geodésica (não retilínea) é plana, então ela é uma linha de curvatura.<br />
c) Dê um exemplo de uma linha de curvatura plana que não é geodésica.<br />
14. Considere o toro de revolução gerado pela rotação do círculo (x − a) 2 + z 2 = r 2 ,<br />
y = 0, em torno do eixo z ( a > r > 0). Os paralelos gerados pelos pontos<br />
(a + r,0), (a − r,0), (a,r) são chamados de paralelo máximo, paralelo mínimo e<br />
paralelo superior, respectivamente. Verifique quais desses paralelos são:<br />
a) Uma geodésica.<br />
b) Uma curva assintótica.<br />
c) Uma linha de curvatura.<br />
15. Sejam V um pólo da esfera unitária e P,Q pontos do correspondente equador de tal<br />
modo que os meridianos VP e VQ fazem um ângulo θ em V. Considere um vetor<br />
unitário w tangente ao meridiano VP e faça o transporte paralelo de w ao longo da<br />
curva fechada, constituída pelos segmentos do meridiano VP, do paralelo PQ e do<br />
meridiano QV.<br />
a) Determine o ângulo do vetor w, com ele mesmo em sua posição inicial, quando<br />
este retorna a V.<br />
b) Faça a mesma coisa, supondo agora que P e Q estão num paralelo de colatitude<br />
u.<br />
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