Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo - ISR

jorge s. marques, 2010
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo
O que é um sistema?
Um sistema é um objecto ou grupo de objectos que interagem com o
mundo. Essa interacção é representada através de entradas e saídas.
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entrada
sistema
saída
A entrada e a saída são sinais. Um sistema
transforma um sinal de entrada num sinal de
saída.
x → y
y = T (x)
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Sistemas Dinâmicos
Sistema massa-mola-atrito
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entrada: força vertical aplicada
saída: posição da corpo
equação diferencial:
2
d x dx
M + k k x(
t)
F(
t)
2 a + m =
dt dt
saída
entrada

Sistemas contínuos e discretos
Um sistema T transforma sinais de entrada em sinais de saída.
Se a entrada e saída forem sinais discretos, T é um sistema
discreto. Se forem sinais contínuos, T é um sistema contínuo.
Sistemas discretos
Si Sistemas t contínuos tí
• universidade
• processo económico
• bolsa de valores
• filtros digitais
• sistemas computacionais
• circuito electrónico
• motor
• aeronave
• processo industrial
• filtros analógicos
Muitos sistemas contínuos podem ser convertidos em discretos se as
entradas e saídas forem amostradas (medidas) periodicamente.
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Causalidade
Um sistema é causal se a saída depender apenas de entradas anteriores.
Definição: Um sistema é causal, se dadas duas entradas quaisquer, iguais
até um instante t 0, as saídas forem iguais até esse instante*
Exemplos:
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x1( t ) = x2(
t),
∀t
< t0
⇒ y1(
t)
= y2(
t),
∀t
< t0
y(n)
= x(n) + x(n -1)
y(n) = x(n + 1) - x(n -1)
t
y(t) = ∫ x(
τ ) dτ
-∞
t+
T
y(t) = ∫ x(
τ ) dτ
t-T
causal
não causal
causal
não causal
* A definição é igual para sistemas contínuos ou discretos. Basta substituir t por n.
Invertível
Definição: um sistema é invertível se dado qualquer sinal de saída y for
possível determinar univocamente a entrada. Isso exige que a
transformação seja injectiva.
Exemplos:
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Estabilidade
x1 x2 y1 y2 y(n)
= 2x(n)
invertível
y(n) = 0
não invertível
y(t) = x(
t −1)
invertível
y(t) = x(
t)
+ x(
−t)
não invertível
Definição: um sistema é estável se para toda a entrada limitada a saída
for limitada ou seja, se para toda a entrada x(t) se verificar a condição
Exemplos
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∃c
∈IR,
| x(t) | < c ⇒ ∃k
∈IR,
| y(t) | < k
x(t)
)
y(n)
= 1000 x(n)
y(n) = y(n -1)
+ x(n)
x(
t )
y(t) = e
dx
y(t) =
dt
estável
instável
estável
instável
y(t)
)
instável

Linearidade
Um sistema é linear se for válido o princípio da sobreposição generalizado: :
a resposta do sistema a uma combinação linear de duas entradas x 1, x 2 é
uma combinação linear das saídas y 1, y 2
Definição: um sistema é linear sse, para quaisquer sinais de entrada x 1,
x 2
Exemplos:
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x 1 → y1,
x2
→ y2
⇒ ∀a,
b ∈ C, ax1
+ bx2
→ ay1
+ by2
y(n)
= 10 x(n)
y(n) = 10 x(n) + 1
t
y(t) = ∫ x(
τ ) dτ
-∞
y(t) = cos( x(
t −1))
Ligação de sistemas
linear
não linear
linear
não linear
ligação série ligação paralelo
Sistema 1 Sistema 2
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ligação série-paralelo
Sistema 1
Sistema 3
Sistema 2
+
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 4
+
Invariância no tempo
Um sistema é invariante no tempo quando o seu funcionamento não se
altera ao longo do tempo.
Definição: um sistema é invariante no tempo se para qualquer entrada x
e deslocamento t0 x( t)
→ y(
t)
⇒ x(
t − t0
) → y(
t − t0)
Exemplos:
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y(n)
= 10 x(n)
y(n) = n x(n)
t
y(t) = ∫ x(
τ ) dτ
-∞
y(t) = x(
0)
+ x(
t)
Invariante no tempo
não Invariante no tempo
Invariante no tempo
não Invariante no tempo
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo
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SLITs
Os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLITs) gozam das
propriedades de linearidade e de invariância no tempo.
Têm vantagens importantes:
• é uma classe muito geral que permite construir boas
aproximações do comportamento de muitos sistemas físicos
• podem ser estudados analiticamente usando ferramentas
poderosas, em particular, a transformada de Fourier
• ficam totalmente caracterizados pela resposta do sistema a um
impulso.
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Convolução
A saída de um SLIT pode ser calculada através da convolução entre a
entrada e a resposta ao impulso unitário h ou seja
Dem.
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y = x * h
+ ∞
x(
n)
= ∑ x(
k)
δ ( n − k)
k = −∞
+ ∞
y(
n)
= T x(
n)
= T ∑ x(
k)
δ ( n − k)
k = −∞
=
+ ∞
∑ x(
k)
Tδ
( n − k)
linearidade
k = −∞
=
+ ∞
∑ x(
k)
h(
n − k)
k = −∞
invariância
= x(
n)
* h(
n)
+ ∞
x(
n)
* h(
n)
= ∑ x(
k)
h(
n − k)
k = −∞
x ( t)
* h(
t)
= ∫ x(
τ ) h(
t −τ
) dτ
∞ +
−∞
x ( t)
= ∫ x(
τ ) δ ( t −τ
) dτ
∞ +
−∞
caso discreto
caso contínuo
+ ∞
y(
n)
= T x(
t)
= T ∫ x(
τ ) δ ( t −τ
) dτ
−∞
+ ∞
= ∫ x(
τ ) Tδ
( t −τ
) dτ
linearidade
−∞
+ ∞
= ∫ x(
τ ) h(
t −τ
) dτ
invariância
−∞
= x(
t)
* h(
t)
nota: nem sempre a soma ou o integral de convolução convergem!
Resposta ao impulso
A resposta ao impulso, h, obtém-se aplicando um impulso unitário à
entrada do sistema e observando a saída
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δ
0
sistema
caso discreto caso contínuo
δ(n) → h(n) δ(t) → h(t)
A resposta ao impulso caracteriza completamente o SLIT.
Exemplo: convolução discreta
Pretende-se calcular a resposta de um sistema de resposta impulsiva causal
h(n)=a n u(n) , |a|

Propriedades da convolução
x * y = y * x
( x * y ) * z = x * ( y * z)
( x + y ) * z = x * z + y * z
x * δ = x
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comutativa
associativa
distributiva
elemento neutro
prove!
h 1 h 2 h 1*h 2 h 2 h 1
h 1
h 1
h 1+h 2
estas propriedades são válidas tanto para sinais contínuos como discretos.
Estabilidade
Um SLIT é estável sse for absolutamente somável / integrável
∑ < +∞
∞ +
| h(
n)
|
n=
−∞
Dem: caso discreto
+ ∞
∫ | h(
n)
| < +∞
−∞
prove!
a) Se h for absolutamente somável somável, e a entrada for limitada |x(n)|

Resposta ao escalão de um SLIT
Se aplicarmos um escalão unitário a um SLIT, então a saída é
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Exemplo
n
s(
n)
= ∑ h(
k)
k
+
= −∞
h(
n)
= s(
n)
− s(
n −1)
Consideremos um sistema definido por
dy
= 2y( t)
+ x(
t)
dt
t
s(
t)
= ∫
−∞
h(
τ ) dτ
ds
h ( t)
=
dt
inicialmente em repouso
Pretende-se calcular a resposta a uma entrada x(t) = Ke 3t u(t)
Para t0, equação a resolver é
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dy 3t
= 2y(
t)
+ Ke , ci : y(
0)
= 0
dt
solução particular y p(t)=Y pe 3t solução geral da eq. homogénea y h(t)=Y he st
3t
3t
3t
Yp3
e = 2Ype
+ Ke
3t
3t
( 3 − 2)
Yp e = Ke ⇒ Yp
= K
solução
3t
2t
y(
t)
= Ke + Yhe
ajuste de constante: como y(0)=0 vem
st st
st
sYhe
= 2 Yhe
⇒ ( s − 2)
Yhe
= 0
s = 2
Yh
= −K
,
3t
2t
y(
t)
= Ke − Ke
Sistemas descritos por equações diferenciais
Os sistemas contínuos são frequentemente descritos por equações diferenciais.
Por exemplo,
movimento de um corpo sujeito a uma força f
2
d x
= f ( t)
2
dt
crescimento de bactérias
dy
= ay (t )
dt
dy
depósito bancário = ay(
t)
+ x(
t)
dt
predador-presa (Lotka-Volterra)
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Caso geral: equação linear de ordem n
equação diferencial
n
n
d y dy d x dx
an
+ ... + a1
+ a0y
= bn
+ ... + b1
+ b0x
n
dt dt
n
dt dt
dy1
= α y1(
t)
− β y1(
t)
y2(
t)
dt
dy2
= −γ
y2(
t)
+ δ y1(
t)
y2(
t)
dt
condições iniciais
n−1
d y
dt n−1
t = t0
= cn−1
,
... ,
y = c
t = t 0
0
A solução é a soma de uma solução particular com a solução geral da equação
homogénea.
y = y (t) + y (t)
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(t) p h
Solução particular
Se a excitação for x(t)=X e spt então
spt
yp(t)
= Ype
m
bmsp
+ L+
b1s
p + b0
Yp
=
n
ansp
+ L+
a1s
p + a0
Equação homogénea
n
d y dy
an
+ ... + a1
+ a0y
= 0
n
dt dt
n
skt yh (t) = ∑ Ake
k=
1
s k é a k-èsima raiz da equação
característica
a s + ... + a1
s + a0
= 0
n
n

Sistemas descritos por equações às diferenças
Os sistemas discretos são frequentemente descritos por equações às
diferenças.
As equações às diferenças relacionam valores actuais e passados da
entrada e da saída. Por exemplo,
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( ) 2 ( 1)
( ) ( 1)
( 2)
2 1
2 1 y n − y n − = x n − x n − − x n −
2
2
Caso geral: equação linear de ordem q
equação às diferenças e condições iniciais
a0y ( n)
+ a1y
( n −1)
+ ... + aqy
( n − q)
= b0x(
n)
+ b1x(
n −1)
+ ... + bpx(
n − p)
( 0 ) = 0 , ... , ( 0 + −1)
= q−1
c q n y c n y
A solução é a soma de uma solução particular com a solução geral da equação
homogénea.
y = y (t) + y (t)
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(t) p h
Solução particular
n
Se a excitação for x(n)=X zp então
n
yp(n) = Ypzp
p
bpzp
+ L+
b1zp
+ b0
Yp
=
q
aqzp
+ L+
a1zp
+ a0
Equação homogénea
a0 y(
n)
+ a1y
( n −1)
+ ... + aqy
( n − q)
= 0
q
n
yh (t) = ∑ Akzk
k=
1
z k é a k-èsima raiz da equação
característica
a z + ... + a1
z + a0
= 0
q
q
Exemplo
Consideremos um sistema definido por
( ) ( 1)
( )
2 1 y n − y n − = x n
inicialmente em repouso
Pretende-se calcular a resposta a uma entrada x(n) = 2 n u(n)
Para n