Lista de exercícios 3

ACH2012 – Cálculo II (2/2011)
Lista de Exercícios 3
Observação: Alguns dos exercícios abaixo foram extraídos ou adaptados dos seguintes livros:
1) B. P. Demidovitch ( È ÑÓÚÕ), Problemas e Exercícios de Análise Matemática, 6. a edição, Mir
(1987) – impresso na U.R.S.S..
2) I. de Camargo & P. Boulos, Geometria Analítica – um tratamento vetorial, 3. a edição, Pearson (2010)
Achar e representar o domínio das seguintes funções:
001)z = 1−x 2 −y2
002)z = 1+ −(x−y) 2
003)z = ln(x+y) 004)z = x+arccosy
005)z = √ 1−x 2 + 1−y 2 006)z = arcsin y
x 007)z = √ x 2 −4+ 4−y 2 008)z = √ ysinx
009)z = ln x 2 +y
010)z = arctan x−y
1+x 2 y 2 011)z = 1
x 2 +y 2
012)z =
1
√ y− √ x
013)z = 1 1
+ 014)z = x−1 y sin(x2 +y2 ) 015)u = √ x+ √ y + √ z 016)u = ln(xyz)
017)u = arcsinx+arcsiny +arcsinz 018)u = 1−x 2 −y 2 −z 2
Achar as linhas de nível das seguintes funções:
019)z = ln x 2 +y
020)z = arcsin(xy) 021)z = f( x 2 +y 2 ) 022)z = f(y −ax) 023)z = f y
x
Achar as superfícies de nível das funções de três variáveis independentes:
024)u = x+y +z 025)u = x 2 +y 2 +z 2 026)u = x 2 +y 2 −z 2
⎧
⎨ 2xy
027) Demonstrar que a função z = x
⎩
2 +y2 , quando x2 +y2 = 0
é contínua em relação a cada uma
0 , quando x = y = 0
dasvariáveisxey emseparado, porémnãoécontínuanoponto(0,0) emrelaçãoaoconjuntodestasvariáveis.
Achar as derivadas parciais das funções:
028)z = x 3 +y 3 −3axy 029)z = x−y
x+y
033)z = ln x+ x2 +y2
038)z = lnsin x+a
√ y
030)z = y
031)z = x x2 −y2 x
032)z = √
x2 +y2 034)z = arctan y
035)z = x x y y
sin x2−y2 036)z = e x 037)z = arcsin
x2 +y2 039)u = (xy) z
040)u = z xy
041) Achar ∂f
∂f
∂x (2,1) e ∂y (2,1) se f(x,y) = xy + x
y
042) Achar ∂f
∂x
(1,2,0), ∂f
∂y
∂f
(1,2,0) e ∂z (1,2,0) se f(x,y,z) = ln(xy +z)
043) Demonstrar que x ∂z
∂x +y∂z
∂y = 2 se z = ln x 2 +xy +y 2 .
044) Demonstrar que x∂z ∂x +y∂z
y
∂y = xy +z se z = xy +xe
045) Demonstrar que ∂u ∂u ∂u
∂x + ∂y + ∂z = 0 se u = (x−y)(y −z)(z −x).
046) Demonstrar que ∂u ∂u ∂u
x−y
∂x + ∂y + ∂z = 1 se u = x+ y−z .
Achar as diferenciais totais das seguintes funções:
047)z = x 3 +y 3 −3xy 048)z = x 2 y 3 049)z = x2 −y 2
051)z = yx y 051)z = ln x 2 +y 2
054)z = lntan y
x
058)u = xy + x
z y
x.
x 2 +y 2
052)f(x,y) = ln 1+ x
y
050)z = sin 2 x+cos 2 y
053)z = arctan y x
+arctan x y
055)Achar df(1,1) se f(x,y) = x
y 2 056)u = xyz 057)u = x 2 +y 2 +z 2
059)u = arctan xy
z 2
1

z
060) Achar df(3,4,5) se f(x,y,z) = √
x2 +y2 .
061) Um dos lados de um retângulo é a = 10cm e o outro, b = 24cm. Como variará a diagonal l deste
retângulo se o lado a aumentar em 4mm e o lado b diminuir em 1mm? Achar a grandeza aproximada da
variação e compará-la com a exata.
062) Uma caixa fechada com dimensões exteriores de 10cm, 8cm e 6cm é feita de madeira compensada de
2mm de espessura. Determinar o volume aproximado do material gasto para se fazer a caixa.
Calcular aproximadamente:
063) (1,02) 3 (0,97) 2
064)
(4,05) 2 +(2,93) 2
065) sin32 o cos59 o (converter em radianos)
066) Demonstrar que o erro relativo de um produto é aproximadamente igual à soma dos erros relativos dos
fatores.
067) Ao medir-se na terra o triângulo ABC, obteve-se: lado a = 100m±2m, lado b = 200m±3m e o ângulo
C = 60o ±1o . Com que grau de exatidão pode-se calcular o lado c?
l
068) O período T de oscilação do pêndulo se calcula pela fórmula T = 2π g , onde l é o comprimento do
pêndulo e g, a aceleração da gravidade. Achar o erro que se comete ao determinar T como resultado dos
pequenos erros ∆l = α e ∆g = β, cometidos ao medir-se l e g.
069) Achar dz
dt
se z = x
y , onde x = et e y = lnt.
070) Achar du
dt se u = lnsin x √ y , onde x = 3t 2 e y = √ t 2 +1.
071) Achar du
dt se u = xyz, onde x = t2 +1, y = lnt e z = tant.
072) Achar du
dt se u = √ z
x2 +y2 , onde x = Rcost, y = Rsint e z = H.
073) Achar dz
dx se z = uv , onde u = sinx e v = cosx.
074) Achar dz y
dx se z = arctan x e y = x2 .
075) Achar dz
dx se z = xy , onde y = ϕ(x).
076) Achar ∂z
∂x
077) Achar ∂z
∂u
078) Achar ∂z
∂x
e ∂z
∂y se z = f(u,v), onde u = x2 −y 2 e v = e xy .
e ∂z
∂v
e ∂z
∂y
x se z = arctan y , onde x = usinv e y = ucosv.
y
se z = f(u), onde u = xy + x .
079) Demonstrar que se u = Φ(x2 +y2 +z2 ), onde x = Rcosϕcosψ, y = Rcosϕsinψ e z = Rsinϕ, então
= 0.
∂u
∂ϕ
= 0 e ∂u
∂ψ
080) Achar du
dx
se u = f(x,y,z), onde y = ϕ(x) e z = ψ(x,y).
081) Demonstrar que se z = f(x+ay), onde f é uma função diferenciável, então ∂z
∂y
= a∂z
∂x .
082) Demonstrar que a função w = f(u,v), onde u = x+at e v = y+bt, satisfaz a equação ∂w
∂t
083) Demonstrar que a função z = yϕ(x2 −y2 ) satisfaz a equação 1 ∂z 1 ∂z z
x ∂x + y ∂y = y2. 084) Demonstrar que a função z = xy +xϕ y
∂z
x satisfaz a equação x
085) Demonstrar que a função z = ey
ϕ ye x2
2y2
∂x +y∂z
∂y
= xy +z.
satisfaz a equação x2 −y2 ∂z
∂x +xy∂z ∂y = xyz.
= a∂w
∂x +b∂w
∂y .
086) As equações do movimento de um ponto material são x = t, y = t 2 e z = t 3 . Com que velocidade
aumentará a distância deste ponto até a origem das coordenadas?
São dadas as coordenadas de u ev em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida
angular entre u e v.
087)u = (1,0,1),v = (−2,10,2) 088)u = (3,3,0),v = (2,1,−2)
089)u = (−1,1,1),v = (1,1,1) 090)u = ( √ 3/2,1/2,0),v = ( √ 3/2,1/2, √ 3)
091)u = (300,300,0),v = (−2000,−1000,2000)
2

Determine x de modo queu ev sejam ortogonais (vetores em coordenadas referentes a uma base ortonormal).
092)u = (x,0,3),v = (1,x,3) 093)u = (x,x,4),v = (4,x,1)
094)u = (x+1,1,2),v = (x−1,−1,−2) 095)u = (x,−1,4),v = (x,−3,1)
096) Determine u ortogonal a (−3,0,1) tal que u·(1,4,5) = 24 e u·(−1,1,0) = 1 (vetores em coordenadas
referentes a uma base ortonormal).
097) Obtenha os vetores de norma 3 √ 3 que são ortogonais a u = (2,3,−1) e a v = (2,−4,6). Qual dos
vetoresobtidos formaânguloagudocom(1,0,0) (vetores emcoordenadasreferentesaumabaseortonormal)?
098) Obtenha a tripla de coordenadas do vetor que tem norma √ 3, é ortogonal a (1,1,0) e a (−1,0,1), e
forma ângulo obtuso com (0,1,0) (vetores em coordenadas referentes a uma base ortonormal).
099) Obtenha um vetor u ortogonal a v = (4,−1,5) e w = (1,−2,3) tal que u · (1,1,1) = −1 (vetores em
coordenadas referentes a uma base ortonormal).
100) Dados v = (1,1,1), w = (0,1,−1) e t = (2,1,−1), obtenha u de norma √ 5, ortogonal a t, tal que
(u,v, w) seja linearmente dependente. Algum dos vetores encontrados forma ângulo agudo com (−1,0,0)
(vetores em coordenadas referentes a uma base ortonormal)?
101) Obtenha u ortogonal a (1,1,0) tal que u = √ 2 e a medida angular em graus entre u e (1,−1,0) seja
45 (vetores em coordenadas referentes a uma base ortonormal).
102) Descreva o conjunto de todos os vetores w ortogonais a v = (2,1,2) tais que u = (1,1,−1) seja
combinação linear de v, w (vetores em coordenadas referentes a uma base ortonormal).
103) Decomponha u = (1,0,3) como soma dos vetoresv e w tais quev, (1,1,1) e (−1,1,2) sejam linearmente
dependentes e w seja ortogonal aos dois últimos (vetores em coordenadas referentes a uma base ortonormal).
104) Achar a derivada da função z = x 2 −xy −2y 2 no ponto P(1,2) na direção que forma com o eixo Ox
um ângulo de 60 o .
105) Achar a derivada da função z = x 3 −2x 2 y+xy 2 +1 no ponto M(1,2) na direção que vai deste ao ponto
N(4,6).
106) Achar a derivada da função z = ln x 2 +y 2 no ponto P(1,1) na direção da bissetriz do primeiro ângulo
coordenado.
107) Achar a derivada da função u = x 2 −3yz+5 no ponto M(1,2,−1) na direção que forma ângulos iguais
com todos os eixos das coordenadas.
108) Achar a derivada da função u = xy + yz + zx no ponto M(2,1,3) na direção que vai deste ao ponto
N(5,5,15).
109) Achar a derivada da função u = ln(e x +e y +e z ) no início das coordenadas, na direção que forma com
os eixos das coordenadas Ox, Oy e Oz os ângulos α, β e γ, respectivamente.
O ponto em que a derivada de uma função, em qualquer direção, é igual a zero, se chama ponto estacionário
desta função. Achar os pontos estacionários das seguintes funções:
110)z = x 2 +xy +y 2 −4x−2y 111)z = x 3 +y 3 −3xy 112)u = 2y 2 +z 2 −xy −yz +2x
113) Demonstrar que a derivada da função z = y2
x , tomada em qualquer ponto da elipse 2x2 +y 2 = C 2 ao
longo da normal à mesma, é igual a zero.
114) Achar o ∇z no ponto (2,1) se z = x 3 +y 3 −3xy.
115) Achar o ∇z no ponto (5,3) se z = x 2 −y 2 .
116) Achar o ∇u no ponto (1,2,3) se u = xyz.
117) Achar a grandeza e a direção do ∇u no ponto (2,−2,1) se u = x 2 +y 2 +z 2 .
118) Achar o ângulo entre os gradientes da função z = ln y
x
1 nos pontos A(1 2 , 4 ) e B(1,1).
119) Achar a grandeza da elevação máxima da superfície z = x 2 +4y 2 no ponto (2,1,8).
120) Achar ∂2 z
∂x 2, ∂2 z
∂x∂y e ∂2 z
∂y 2 se z = c
x 2
a 2 + y2
b 2.
121) Achar ∂2 z
∂x 2, ∂2 z
∂x∂y e ∂2 z
∂y 2 se z = ln x 2 +y .
122) Achar ∂2 z
∂x∂y se z = 2xy +y 2 .
3

123) Achar ∂2 z
∂x∂y
se z = arctan x+1
1−xy .
124) Achar ∂2 r
∂x 2 se r = x 2 +y 2 +z 2 .
125) Achar todas as derivadas parciais de 2a. ordem da função u = xy +yz +zx.
126) Achar ∂ 3 u
∂x∂y∂z se u = xα y β z γ .
127) Achar ∂ 3 u
∂x∂y 2 se z = sin(xy).
128) Achar ∂2f ∂x2(0,0), ∂2f ∂f2
∂y∂x (0,0) e
129) Demonstrar que ∂2 z
∂x∂y = ∂2 z
∂y∂x
∂y 2(0,0) se f(x,y) = (1+x) m (1+y) n .
se z = arcsin
130) Demonstrar que ∂2 z
∂x∂y = ∂2 z
∂y∂x se z = xy .
x−y
x .
131) Achar ∂2 z
∂x 2, ∂2 z
∂x∂y e ∂2 z
∂y 2 se z = f(u,v), onde u = x 2 +y 2 e v = xy.
132) Achar ∂2 u
∂x 2 se u = f(x,y,z), onde z = ϕ(x,y).
133) Achar ∂2 z
∂x 2, ∂2 z
∂x∂y e ∂2 z
∂y 2 se z = f(u,v), onde u = ϕ(x,y) e v = ψ(x,y).
134) Demonstrar que a função u = arctan y
x satisfaz a equação de Laplace ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0.
135) Demonstrar que a função u = ln 1
, onde r = (r −a) 2 +(y −b) 2 , satisfaz a equação de Laplace
r
∂ 2 u
∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0.
136) Demonstrar que a função u(x,t) = Asin(aλt + ϕ)sin(λx) satisfaz a equação das vibrações da corda
∂ 2 u
∂t2 = a2∂2u ∂x2. 137) Demonstrar que a função u(x,y,z,t) = 1
satisfaz a equação da condutibilidade calorífica ∂u
∂t
(2a √ πt) 3e −(x−x 0 )2 +(y−y 0 ) 2 +(z−z 0 ) 2
= a2
4a 2 t (x0, y0, z0 e a são constantes)
2
∂ u
∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 138) Demonstrar que a função u = ϕ(x−at)+ψ(x+at), onde ϕ e ψ são funções quaisquer, diferenciáveis
duas vezes, satisfaz a equação das vibrações da corda ∂2u ∂t2 = a2∂2u ∂x2. 139) Demonstrar que a função z = xϕ y y
x +ψ x
140) Demonstrar que a função u = ϕ(x,y)+ √ xyψ y
x
141) Demonstrar que a função z = f(x+ϕ(y)) satisfaz a equação ∂z
.
2 ∂ satisfaz a equação x 2 z
∂x2 +2xy ∂2z ∂x∂y +y2 ∂2z
2∂ satisfaz a equação x 2 u
∂x2 −y2∂2 u
∂y2 = 0.
∂
∂x
2 z
∂x∂y
∂z ∂ = ∂y
2 z
∂x2. 142) Seja y uma função de x determinada pela equação x2
a 2 + y2
b 2 = 1. Achar dy
dx , d2 y
dx 2 e d3 y
dx 3.
∂y 2 = 0.
143) Seja y uma função determinada pela equação x 2 +y 2 +2axy = 0 (a > 1). Demonstrar que d2 y
dx 2 = 0.
144) Achar dy
dx se y = 1+yx .
145) Achar dy
146) Achar
dx e d2y
dy
dx
x=1
dx2 se y = x+lny.
e se x2 −2xy +y2 +x+y −2 = 0.
d 2 y
dx 2
x=1
147) A função y é determinada pela equação ln x 2 +y 2 = aarctan y
x
(a = 0). Achar dy
dx e d2 y
dx 2.
148) Achar dy
dx e d2 y
dx 2 se 1+xy −ln(e xy +e −xy ) = 0.
Escrever a equação do plano tangencial e as equações da normal às seguintes superfícies nos pontos que se
indicam:
149)ao parabolóide de revolução z = x 2 +y 2 no ponto (1,−2,5)
150)ao cone x2 y2 z2
16 + 9 − 8 = 0 no ponto (4,3,4)
151)à esfera x 2 +y 2 +z 2 = 2Rz no ponto (Rcosα,Rsinα,R)
152) Demonstrar que a equação do plano tangencial à superfície central de 2a. ordem ax 2 +by 2 +cz 2 = k
(|a|+|b|+|c| = 0) no ponto M(x0,y0,z0) tem a forma ax0x+by0y +cz0z = k.
4

153) Achar na superfície x 2 +y 2 −z 2 −2x = 0 os pontos em que os planos tangenciais a ela sejam paralelos
aos planos coordenados.
154) Demonstrar que os planos tangenciais à superfície xyz = m 3 formam com os planos coordenados um
tetraedro de volume constante.
155)Demonstrarqueosplanostangenciaisàsuperfície √ x+ √ y+ √ z = √ ainterceptamnoseixoscoordenados
segmentos cuja soma é constante.
156) Demonstrar que o cone x2
a2 + y2
b2 = z2
c2 e a esfera x2 + y2
+ z − b2 +c 2
2 c = b2
c2
2 2 b +c são tangentes
entre si nos pontos (0,±b,c).
157) Demonstrar que todos os planos tangenciais à superfície cônica z = xf( y
x ) no ponto M(x0,y0,z0), onde
x0 = 0, passam pela origem das coordenadas.
Investigar a natureza dos pontos críticos (caso existam).
158)z = (x−1) 2 +2y 2 159)z = (x−1) 2 −2y 2 160)z = x 2 +xy +y 2 −2x−y
161)z = x3y2 (6−x−y) (x,y > 0) 162)z = x4 +y4 −2x2 +4xy −2y2 163)z = xy
1− x2
a2 − y2
b2 164)z = 1− x2 +y22 3 165)z = x2 +y2 e −(x2 +y 2 ) 166)z = 1+x−y √
1+x2 +y2 167)z = 8 x
+ x y +y (x,y > 0) 168)z = ex−y x2 −2y2 Determinar os extremos condicionados das funções:
169)z = xy quando x+y = 1 170)z = x+2y quando x 2 +y 2 = 5
171)z = x2 +y2 quando x y
+ 2 3 = 1 172)z = cos2x+cos2y quando y −x = π
4
173)u = x−2y +2z quando x 2 +y 2 +z 2 = 9 174)u = x 2 +y 2 +z 2 quando x2
a 2 + y2
b 2 + z2
c 2 = 1 (a > b > c > 0)
175)u = xy 2 z 3 quando x+y +z = 12 (x,y,z > 0) 176)u = xyz com as condições x+y +z = 5 e xy +yz +zx = 8
Determinar o máximo absoluto da função z = 1+x+2y nas regiões:
177)x ≥ 0,y ≥ 0,x+y ≤ 1 178)x ≥ 0,y ≤ 0,x−y ≤ 1
Determinar o máximo e o mínimo absolutos das funções
179)z = x 2 y na região x 2 +y 2 ≤ 1 180)z = x 2 −y 2 na região x 2 +y 2 ≤ 1
181) Determinar o máximo e o mínimo absolutos da função z = sinx+siny+sin(x+y) na região 0 ≤ x ≤ π
2 ,
0 ≤ y ≤ π
2 .
182) Determinar o máximo e o mínimo absolutos da função z = x 3 + y 3 − 3xy na região 0 ≤ x ≤ 2,
−1 ≤ y ≤ 2.
183) Entre todos os paralelepípedos retangulares, de volume V dado, achar aquele cuja superfície total seja
menor.
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