estudo e implementação do método dos elementos discretos ... - DCC
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MINISTÉRIO DA DEFESA<br />
EXÉRCITO BRASILEIRO<br />
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA<br />
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA<br />
(Real Academia de Artilharia, Fortificação e Desenho – 1792)<br />
SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA<br />
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS<br />
DISCRETOS EM 3D<br />
RIO DE JANEIRO<br />
2009
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA<br />
SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA<br />
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS<br />
DISCRETOS EM 3D<br />
RIO DE JANEIRO<br />
2009<br />
2<br />
Tema Dirigi<strong>do</strong> apresenta<strong>do</strong> ao Curso de<br />
Graduação como parte integrante <strong>do</strong><br />
processo avaliativo <strong>do</strong> quarto perío<strong>do</strong> <strong>do</strong><br />
Ensino Básico.<br />
Orienta<strong>do</strong>r: Jayme Felipe Martins<br />
Mendes<br />
Co-orienta<strong>do</strong>r: Marcello Goulart<br />
Teixeira
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA<br />
SAMUEL THIMOUNIER FERREIRA<br />
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS<br />
DISCRETOS EM 3D<br />
Tema Dirigi<strong>do</strong> apresenta<strong>do</strong> ao Curso de Graduação como parte integrante <strong>do</strong> processo<br />
avaliativo <strong>do</strong> quarto perío<strong>do</strong> <strong>do</strong> Ensino Básico.<br />
Orienta<strong>do</strong>r: Jayme Felipe Martins Mendes<br />
Aprovada em 17 de novembro de 2009 pela seguinte Banca Examina<strong>do</strong>ra:<br />
____________________________________________________________<br />
Jayme Felipe Martins Mendes, Dr.<br />
____________________________________________________________<br />
Marcello Goulart Teixeira, Dr.<br />
____________________________________________________________<br />
José Renato Moreira da Silva de Oliveira, Maj<br />
RIO DE JANEIRO<br />
2009<br />
3
4<br />
Dedico o referi<strong>do</strong> trabalho aos mais que<br />
professores Marcello e Jayme, que<br />
compartilharam comigo não só o<br />
conhecimento, mas também a amizade.<br />
E, principalmente, ao colega Kin Minato<br />
pelo enorme incentivo, fornecen<strong>do</strong> a<br />
ajuda necessária para vencer os<br />
obstáculos <strong>do</strong> projeto. Agradeço também<br />
ao escritores Sèneca e Spinosa, que se<br />
fizeram presentes em cada momento.<br />
Samuel Thimounier Ferreira
“O descontentamento é o primeiro passo na evolução de um homem ou de uma nação.”<br />
5<br />
Oscar Wilde
SUMÁRIO<br />
1 INTRODUÇÃO............................................................................................................10<br />
1.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS..........................................................................10<br />
1.2 OBJETIVOS ..........................................................................................................................10<br />
2 METODOLOGIA.........................................................................................................11<br />
2.1 ALGORITMO DE SOLUÇÃO ................................................................................................11<br />
2.2 DETECÇÃO DE COLISÃO....................................................................................................11<br />
2.2.1 DIRECT CHECKING .....................................................................................................12<br />
2.2.2 DIRECT MAPPING .......................................................................................................13<br />
2.3 FORÇAS DE CONTATO .......................................................................................................15<br />
2.3.1 CONTATO NORMAL.......................................................................................................15<br />
2.3.2 FORÇA DE CONTATO TANGENCIAL.............................................................................16<br />
2.4 ENERGIA E MOMENTO........................................................................................................17<br />
2.5 CÁLCULO DAS VELOCIDADES ...........................................................................................18<br />
3 IMPLEMENTAÇÃO....................................................................................................20<br />
3.1 LIMGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO....................................................................................20<br />
3.2 ARQUIVOS DE E/S ...............................................................................................................20<br />
4 EXEMPLOS.................................................................................................................21<br />
4.1 SIMULAÇÃO DE CONTATO SIMPLES...................................................................................21<br />
4.2 SIMULAÇÃO DE CONTATO 4 X 1........................................................................................21<br />
4.3 SIMULAÇÃO SINUCA ..........................................................................................................22<br />
4.4 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO EM PAREDE ........................................................................22<br />
4.5 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO ESFERA-ESFERA ..................................................................23<br />
6 CONCLUSÃO..............................................................................................................24<br />
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..........................................................................25<br />
6
LISTA DE ILUSTRAÇÕES<br />
Fig. 2.1 - Cadeia de processos...................................................................................................11<br />
Fig. 2.2 - Algoritmo de checagem direta..................................................................................12<br />
Fig. 2.3 - Tamanho de uma célula ............................................................................................13<br />
Fig. 2.4 - Células com possibilidade de haver contatos............................................................14<br />
Fig. 2.5 – Forças de contato......................................................................................................15<br />
Fig. 2.6 – Contato normal.........................................................................................................15<br />
Fig. 2.7 - Modelo da interface de contato.................................................................................16<br />
Fig. 4.1 – Simulação de contato simples..................................................................................20<br />
Fig. 4.2 – Simulação de contato 4x1.........................................................................................20<br />
Fig. 4.3 – Simulação sinuca......................................................................................................21<br />
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento em parede..........................................................................21<br />
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento esfera-esfera......................................................................22<br />
7
LISTA DE SÏMBOLOS<br />
8<br />
Força normal<br />
Força tangencial<br />
Rigidez normal<br />
Interpenetração normal<br />
Amortecimento global<br />
Velocidade normal<br />
Atrito estático<br />
Raio da esfera
RESUMO<br />
Esse trabalho apresenta uma <strong>implementação</strong> de um algoritmo para análise transiente<br />
tridimensional <strong>do</strong> comportamento mecânico de meios descontínuos pelo Méto<strong>do</strong> <strong>do</strong>s<br />
Elementos Discretos, utilizan<strong>do</strong> <strong>elementos</strong> esféricos com variada distribuição de tamanhos e<br />
propriedades físicas em um ambiente 3D.<br />
Implementações computacionais <strong>do</strong> méto<strong>do</strong> necessitam de uma ferramenta para a<br />
visualização gráfica <strong>do</strong>s resulta<strong>do</strong>s numéricos obti<strong>do</strong>s e de uma interface para permitir o<br />
usuário construir um modelo <strong>do</strong> problema estuda<strong>do</strong>. Foram construí<strong>do</strong>s modelos de<br />
problemas de dinâmica para demonstrar as capacidades <strong>do</strong> programa e para analisar os<br />
resulta<strong>do</strong>s gera<strong>do</strong>s pela <strong>implementação</strong> <strong>do</strong> méto<strong>do</strong>.<br />
Palavras-chave: Méto<strong>do</strong> <strong>do</strong>s Elementos Discretos, Computação Gráfica, 3D.<br />
9
1 INTRODUÇÃO<br />
1.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS<br />
O Méto<strong>do</strong> <strong>do</strong>s Elementos Discretos (MED) tem si<strong>do</strong> emprega<strong>do</strong> para simular o<br />
movimento de partículas de materiais granulares e rochosos, mas tem se torna<strong>do</strong> popular<br />
como um méto<strong>do</strong> para representar materiais sóli<strong>do</strong>s e para o <strong>estu<strong>do</strong></strong> de problemas de fluxo,<br />
pois conduz a uma menor a<strong>do</strong>ção de parâmetros de análise que os méto<strong>do</strong>s em que o meio é<br />
considera<strong>do</strong> como um contínuo.<br />
A partir <strong>do</strong> entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o<br />
comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o<br />
comportamento físico e mecânico <strong>do</strong> modelo estuda<strong>do</strong>.<br />
O diferencial <strong>do</strong> méto<strong>do</strong> está em considerar o meio analisa<strong>do</strong> como um conjunto de<br />
partículas com propriedades mecânicas particulares e geometrias definidas (meio<br />
discretiza<strong>do</strong>). O mais usual é trabalhar com um conjunto de discos ou esferas, mas o méto<strong>do</strong><br />
tem si<strong>do</strong> aplica<strong>do</strong> também para partículas com outras geometrias.<br />
A associação de um programa que resolva problemas por meio <strong>do</strong> MED com softwares<br />
gráficos permite a visualização <strong>do</strong> comportamento das partículas <strong>do</strong>s materiais em <strong>estu<strong>do</strong></strong>,<br />
sen<strong>do</strong> muito útil para a engenharia civil, engenharia mecânica, geotecnia, engenharia química,<br />
entre outras áreas <strong>do</strong> conhecimento, sen<strong>do</strong>, portanto, bem abrangente.<br />
1.2 OBJETIVOS<br />
O principal objetivo deste trabalho é efetuar um <strong>estu<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong>s conceitos básicos <strong>do</strong><br />
Méto<strong>do</strong> <strong>do</strong>s Elementos Discretos (MED) em 3D e de sua <strong>implementação</strong> computacional,<br />
particularizan<strong>do</strong> os <strong>elementos</strong> esféricos. O trabalho culmina com a criação de um programa<br />
que realiza os cálculos das variáveis dinâmicas <strong>do</strong>s <strong>elementos</strong> e proporciona uma visualização<br />
<strong>do</strong>s mesmos.<br />
10
2 METODOLOGIA<br />
2.1 ALGORITMO DE SOLUÇÃO<br />
Na formulação clássica <strong>do</strong> MED, cada elemento é assumi<strong>do</strong> como rígi<strong>do</strong> e permite-se<br />
que haja uma sobreposição de partículas, desde que sua ordem de magnitude seja pequena em<br />
relação ao tamanho das mesmas.<br />
O algoritmo de solução deve apresentar uma rotina de processos dentre os quais,<br />
detecção de colisão entre os <strong>elementos</strong>, cálculo das forças resultantes dessas colisões e cálculo<br />
posterior da velocidade resultante. Depois de estabelecidas essas etapas e as condições<br />
iniciais, podem ser simula<strong>do</strong>s o movimento <strong>do</strong>s <strong>elementos</strong>. A figura a seguir ilustra a cadeia<br />
de processos.<br />
2.2 DETECÇÃO DE COLISÃO<br />
Fig. 2.1 – Cadeia de processos<br />
11
Serão aborda<strong>do</strong>s os <strong>do</strong>is algoritmos estuda<strong>do</strong>s para o desenvolvimento e <strong>implementação</strong><br />
<strong>do</strong> programa. Sen<strong>do</strong> o primeiro deles, Direct Checking, aquele realmente implementa<strong>do</strong>.<br />
2.2.1 DIRECT CHECKING<br />
Esse méto<strong>do</strong> de detecção consiste em nada mais <strong>do</strong> que calcular todas as possíveis<br />
colisões entre os <strong>elementos</strong> (Fig. 2.2). Se é assumi<strong>do</strong> que to<strong>do</strong>s os <strong>elementos</strong> <strong>discretos</strong> são<br />
esferas de diâmetro constante d, escolhi<strong>do</strong> de forma que nenhum ponto <strong>do</strong> elemento esteja<br />
fora da mesma. Assim, o diâmetro da esfera delimita<strong>do</strong>ra é defini<strong>do</strong> pelo maior elemento<br />
presente. Abaixo será descrito o algoritmo <strong>do</strong> méto<strong>do</strong>:<br />
Para I de 1 até N executa<br />
{<br />
Para J de I+1 até N executa<br />
{<br />
Calculo da colisão entre os <strong>elementos</strong> I e J<br />
}<br />
}<br />
Assim o número de cálculos feitos será assintoticamente proporcional a , o que pode<br />
tornar esse cálculo muito pesa<strong>do</strong> para um grande número de <strong>elementos</strong>.<br />
O algoritmo tem a vantagem de a sua <strong>implementação</strong> ser extremamente simples. Porém<br />
este méto<strong>do</strong> tem utilidade apenas para problemas com quantidade pequena de <strong>elementos</strong>, o<br />
que não será o objeto deste trabalho.<br />
12
2.2.2 DIRECT MAPPING<br />
Fig. 2.2 – Algoritmo de checagem direta.<br />
Este méto<strong>do</strong> baseia-se no mapeamento espacial <strong>do</strong> <strong>do</strong>mínio, dividin<strong>do</strong>-o em células<br />
cúbicas de tamanhos iguais. O la<strong>do</strong> das células deverá ser escolhi<strong>do</strong> de forma que qualquer<br />
elemento possa estar conti<strong>do</strong> em uma célula (MUNJIZA, 2004).<br />
Assim o la<strong>do</strong> de uma célula cúbica é igual ao diâmetro <strong>do</strong> círculo que circunscreve o<br />
maior elemento discreto, conforme a figura abaixo.<br />
Fig. 2.3 – Tamanho de uma célula.<br />
13
O algoritmo Munjiza é dividi<strong>do</strong> em duas etapas principais: o mapeamento de cada<br />
elemento em sua célula correspondente e a procura <strong>do</strong>s possíveis <strong>elementos</strong> que podem estar<br />
em contato entre si.<br />
Para encontrar os possíveis contatos com um determina<strong>do</strong> elemento checam-se somente<br />
as células vizinhas à célula desse elemento e a sua própria célula (Fig. 2.4). Para essa<br />
consideração ser válida, definimos o tamanho da célula como aquele que pode conter o maior<br />
elemento discreto.<br />
Após a constatação da possibilidade de contato entre partículas pertencentes às células<br />
vizinhas ou a mesma célula, realiza-se outro teste de detecção entre as partículas para que se<br />
confirme o contato, deven<strong>do</strong> esse segun<strong>do</strong> teste depender da geometria <strong>do</strong>s <strong>elementos</strong>.<br />
Munjiza mostra que esse algoritmo de mapeamento direto para busca de contatos entre<br />
partículas é assintoticamente proporcional ao número de <strong>elementos</strong>, o que torna esse<br />
algoritmo muito mais apropria<strong>do</strong> para problemas com um grande número de <strong>elementos</strong>.<br />
Fig. 2.4 – Células com possibilidade de haver contatos.<br />
Esse algoritmo apresenta somente duas limitações, a primeira é que para partículas de<br />
tamanhos bem variáveis ele deixa de ser assintoticamente proporcional ao número de<br />
<strong>elementos</strong>, e a segunda é que pode apresentar uso excessivo de memória computacional caso<br />
14
o tipo de problema estuda<strong>do</strong> possua <strong>elementos</strong> <strong>discretos</strong> muitos dispersos no <strong>do</strong>mínio<br />
estuda<strong>do</strong>.<br />
2.3 FORÇAS DE CONTATO<br />
Uma vez que o contato entre <strong>do</strong>is <strong>elementos</strong> foi detecta<strong>do</strong>, a interação entre eles pode<br />
ser representada por duas forças: e . De acor<strong>do</strong> com a Terceira Lei de Newton, temos<br />
Fazen<strong>do</strong> F1 = F, decompomos nas componentes normal e tangencial Fn e Ft (Fig.<br />
2.5), respectivamente. Assim,<br />
2.3.1 CONTATO NORMAL<br />
F = Fn + Ft<br />
Fig. 2.5 – Forças de contato.<br />
Nesse trabalho consideramos que as colisões entre os objetos geram forças normais<br />
aos <strong>elementos</strong>, aplicadas nas regiões de contato.<br />
É considera<strong>do</strong> o modelo de amortecimento linear (PÖSCHEL, 2005), que estabelece<br />
que a intensidade da força normal atuante ( ) em função <strong>do</strong>s parâmetros de rigidez normal<br />
( ) e de amortecimento global ( ), além <strong>do</strong> valor da interpenetração ( ) e da velocidade<br />
relativa normal ( ), pode ser dada com boa aproximação por:<br />
15
Fig. 2.6 – Contato normal.<br />
A interpenetração é dada pela equação:<br />
e é a distância entre os centros das esferas. Se > 0, temos que = 0.<br />
A constante de amortecimento é dada pela fórmula abaixo (ONATE & ROJEK,<br />
2003), experimentalmente desenvolvida afim de minimizar a vibração <strong>do</strong>s <strong>elementos</strong>.<br />
2.3.2 FORÇA DE CONTATO TANGENCIAL<br />
A força tangencial Ft será dada, de acor<strong>do</strong> com a mecânica newtoniana, pela seguinte<br />
equação (modelo de Cundall e Strack):<br />
16
A força de atrito é descrita pela ação de uma mola na direção tangencial <strong>do</strong> plano de<br />
contato (imagine as partículas como engrenagens com dentes flexíveis). Esta mola é<br />
inicializada no tempo <strong>do</strong> primeiro contato entre as partículas e perdura até a separação das<br />
superficies. Sua elongação determina a força tangencial restaura<strong>do</strong>ra, novamente limitada pela<br />
lei de Coulomb para o atrito.<br />
2.4 ENERGIA E MOMENTO<br />
Fig. 2.7 - Modelo da interface de contato.<br />
Se não há perda de energia por atrito (amortecimento = 0) ou durante as colisões<br />
(elasticidade = 1), então a energia total <strong>do</strong> sistema não deve mudar.<br />
Uma colisão entre objetos não deve alterar o momento angular. No entanto, uma<br />
colisão com uma parede não irá preservar o momento angular porque paredes super massivas<br />
não estão incluídas nos cálculos <strong>do</strong> movimento <strong>do</strong>s objetos.<br />
A energia gravitacional é dada por mgh, onde h = altura <strong>do</strong> centro <strong>do</strong> objeto de massa<br />
acima <strong>do</strong> piso. A energia translacional é dada por , onde é o vetor velocidade para<br />
o centro de massa <strong>do</strong> objeto. Note que foi usa<strong>do</strong> o produto escalar para a quadratura <strong>do</strong> vetor<br />
velocidade. A energia rotacional é dada por , onde I é o momento de inércia e ω é a<br />
velocidade angular.<br />
17
O momento linear é da<strong>do</strong> por . O momento angular de uma partícula é<br />
defini<strong>do</strong> pelo produto vetorial <strong>do</strong> vetor posição da partícula (em relação a um ponto de<br />
referência) pelo seu momento linear. Abaixo está a equação representativa:<br />
2.5 CÁLCULO DAS VELOCIDADES<br />
Após ter formula<strong>do</strong> as equações diferenciais de equilíbrio e estabeleci<strong>do</strong> as condições<br />
iniciais, é necessário utilizar algum tipo de técnica para solução dessas equações. Existem<br />
diversos méto<strong>do</strong>s de solução, os quais podem ser analíticos ou numéricos, sen<strong>do</strong> estes mais<br />
versáteis e, portanto, utiliza<strong>do</strong> nesse programa.<br />
O méto<strong>do</strong> numérico mais simples para resolver equações diferenciais é o de substituir as<br />
derivadas por razões entre variações da função e da respectiva variável. No caso presente,<br />
teremos<br />
Assim, se quisermos saber as posições e velocidades de um corpo entre um instante inicial<br />
e final , poderemos dividir o intervalo ; em N partes iguais e calcular as<br />
velocidades nos instantes usan<strong>do</strong> as acelerações no instante anterior<br />
...<br />
= +<br />
= +<br />
= +<br />
18
sen<strong>do</strong><br />
...<br />
= + ,<br />
,<br />
,<br />
, com = + = .<br />
Do mesmo mo<strong>do</strong> podemos calcular as posições em cada instante usan<strong>do</strong> o valor da<br />
velocidade no instante anterior, fazen<strong>do</strong><br />
= + = .<br />
As equações e constituem o méto<strong>do</strong> de Euler para o cálculo das posições e<br />
velocidades de um corpo sujeito a uma força. O méto<strong>do</strong> de Euler é chama<strong>do</strong> um méto<strong>do</strong> de 1ª<br />
ordem. A razão para isso encontra-se no fato de podermos escrever, usan<strong>do</strong> o<br />
desenvolvimento em série de Taylor,<br />
= + + + ...<br />
= + + + ...,<br />
o que significa que, ao aplicar o méto<strong>do</strong> de Euler, estamos desprezan<strong>do</strong> termos com potências<br />
de iguais ou superiores a 2 - diz-se “termos de 2ª ordem ou superior". Podemos então<br />
dizer que o erro cometi<strong>do</strong> em cada iteração (cada cálculo de ou ) é proporcional a ,<br />
desde que seja suficientemente pequeno. No entanto, como temos que calcular N valores<br />
de e , o erro total cometi<strong>do</strong> pode ser estima<strong>do</strong> como sen<strong>do</strong> proporcional a<br />
19
uma vez que = - = . Assim, o erro total é proporcional a , e daí a designação de<br />
méto<strong>do</strong> de 1ª ordem.<br />
3 IMPLEMENTAÇÃO<br />
3.1 LIMGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO<br />
O programa foi implementa<strong>do</strong> em linguagem C. O código está separa<strong>do</strong> em diversos<br />
módulos a fim de facilitar o seu desenvolvimento. Toda a interface gráfica foi criada com o<br />
uso das bibliotecas OpenGL e GLUT, de forma a manter o código independente <strong>do</strong> sistema de<br />
janelas e <strong>do</strong> sistema operacional, poden<strong>do</strong> ser compila<strong>do</strong> em qualquer plataforma que possua<br />
uma <strong>implementação</strong> destas bibliotecas.<br />
3.2 ARQUIVOS DE E/S<br />
Dois tipos de arquivo podem ser manipula<strong>do</strong>s pelo programa:<br />
INI: Arquivo de da<strong>do</strong>s iniciais. Trata-se de um arquivo de texto que armazena os da<strong>do</strong>s<br />
iniciais <strong>do</strong> problema, ou seja, o esta<strong>do</strong> inicial <strong>do</strong> modelo. A partir deste esta<strong>do</strong> o programa<br />
calcula os esta<strong>do</strong>s subseqüentes e a cada instante de tempo o esta<strong>do</strong> atual pode ser<br />
armazena<strong>do</strong> como um novo arquivo INI. O arquivo pode ser modifica<strong>do</strong> diretamente pelo<br />
usuário, respeitan<strong>do</strong> uma sintaxe própria.<br />
TXT: Arquivo de da<strong>do</strong>s processa<strong>do</strong>s. É um arquivo texto que armazena os da<strong>do</strong>s processa<strong>do</strong>s<br />
pelo programa, ou seja, os esta<strong>do</strong>s <strong>do</strong> modelo após o esta<strong>do</strong> inicial. Os esta<strong>do</strong>s são grava<strong>do</strong>s<br />
em intervalos de tempo determina<strong>do</strong>s pelo usuário. Cada esta<strong>do</strong> grava<strong>do</strong> no arquivo TXT<br />
pode ser converti<strong>do</strong> em um arquivo INI completo.<br />
20
4 EXEMPLOS<br />
4.1 SIMULAÇÃO DE CONTATO SIMPLES<br />
Neste exemplo foi simula<strong>do</strong> um choque entre <strong>do</strong>is <strong>elementos</strong> desconsideran<strong>do</strong> a força<br />
gravitacional, para fins de análise <strong>do</strong> comportamento rotacional ocasiona<strong>do</strong> pelo contato<br />
esfera-esfera com atrito.<br />
4.2 SIMULAÇÃO DE CONTATO 4 X 1<br />
Fig. 4.1 – Simulação de contato simples.<br />
Esta simulação consiste-se <strong>do</strong> choque entre 5 (cinco) <strong>elementos</strong>, ocasiona<strong>do</strong><br />
inicialmente pela ação da força gravitacional em uma esfera que é deixada cair sobre outras 4<br />
(quatro).<br />
Fig. 4.2 – Simulação de contato 4x1.<br />
21
4.3 SIMULAÇÃO SINUCA<br />
Neste exemplo foi simulada uma situação semelhante a um jogo de sinuca, em que<br />
uma esfera é lançada sobre outras 6 (seis). Foram considera<strong>do</strong>s os atritos esfera-esfera e<br />
esfera-parede.<br />
Fig. 4.3 – Simulação sinuca.<br />
4.4 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO EM PAREDE<br />
Este exemplo mostra o rolamento <strong>do</strong> elemento (esfera) em uma parede com atrito, sob<br />
a ação única da força gravitacional. Note que o assoalho possui um coeficiente de restituição,<br />
e a esfera sofre um “damping” (amortecimento), até a dissipação total <strong>do</strong> movimento.<br />
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento em parede.<br />
22
4.5 SIMULAÇÃO DE ROLAMENTO ESFERA-ESFERA<br />
Novamente uma simulação de rolamento, desta vez entre duas esferas. Neste caso,<br />
temos uma esfera rotacionan<strong>do</strong> sobre outra, sob ação somente das forças gravitacional e de<br />
atrito.<br />
Fig. 4.4 – Simulação de rolamento esfera-esfera.<br />
23
6 CONCLUSÃO<br />
O trabalho desenvolvi<strong>do</strong> até este momento constitui a transição <strong>do</strong> Méto<strong>do</strong> <strong>do</strong>s<br />
Elementos Discretos da segunda para a terceira dimensão. Foram implementadas o que<br />
podemos chamar de forças básicas, ou seja, as componentes normal e tangencial (atrito),<br />
levan<strong>do</strong> em consideração o amortecimento. A análise <strong>do</strong>s resulta<strong>do</strong>s pôde ser feita pela<br />
visualização de alguns exemplos gera<strong>do</strong>s. Estes se mostram bastante satisfatórios,<br />
apresentan<strong>do</strong> <strong>elementos</strong> com comportamentos coerentes com o espera<strong>do</strong> na realidade. Isso<br />
mostra o potencial <strong>do</strong> Méto<strong>do</strong> de Elementos Discretos em 3D, em particular a ferramenta<br />
computacional desenvolvida durante este trabalho, na simulação e visualização de problemas<br />
que envolvam meios descontínuos.<br />
Na continuidade deste trabalho, serão implementa<strong>do</strong>s outras forças como, por<br />
exemplo, as forças de atrito viscoso e aquelas geradas por um campo potencial arbitrário. O<br />
méto<strong>do</strong> de integração temporal será altera<strong>do</strong> para outro de maior precisão e será<br />
implementa<strong>do</strong> o algoritmo Direct Mapping para a detecção de contato.<br />
24
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS<br />
MUNJIZA, A. The Combined Finite-Discrete Element Method. Londres: John Wiley &<br />
Sons, 2004.<br />
PÖSCHEL, T. & SCHWAGER, T. Computational Granular Dynamics: Models and<br />
Algorithms. Berlin: Springer, 2005.<br />
KRYSYL, P. & BELYTSCHKO, T. Object-oriented parallelization of explicit structural<br />
dynamics with PVM, Computers & Structures, vol. 66. 1998.<br />
CUNDALL, P.A. & STRACK, O.D.L., 1979. A discrete numerical model for granular<br />
assemblies. Geotechnique. vol. 29, No. 1.<br />
ALONSO, M. & FINN, E. Física um curso universitário, vol. 1. Brasil : Edgard Blucher,<br />
1972.<br />
ROJEK, E. & OÑATE, J. Combination of discrete element and finite element methods for<br />
dynamic analysis of geomechanics problems. Espanha: Elsevier, 2003.<br />
MINATO, K. K., CANTINI, C., Teixeira, M. G. Estu<strong>do</strong> e <strong>implementação</strong> <strong>do</strong> méto<strong>do</strong> <strong>do</strong>s<br />
<strong>elementos</strong> <strong>discretos</strong>. 30 o CILAMCE, Buzios, RJ, 2009.<br />
25