MODELAGEM SSMICA DE ONDAS ELSTICAS E ... - LAMEMO - UFRJ

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE DOIS MÉTODOS DE MIGRAÇÃO - RTM E PSPI – 

APLICADO A MODELOS ACÚSTICOS 

Selmo Tardin Pinheiro 

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS 

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE 

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS 

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. 

Aprovada por: 

Prof. Luiz Landau, D.Sc. 

Prof. Webe João Mansur, Ph.D. 

Prof. Djalma Manoel Soares Filho, D.Sc. 

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL 

JULHO DE 2007

PINHEIRO, SELMO TARDIN 

Estudo Comparativo entre dois Métodos de 

Migração - RTM E PSPI – Aplicado a Modelos 

Acústicos. 

[Rio de Janeiro] 2007 

X, 78 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., 

Engenharia Civil, 2007) 

Dissertação - Universidade Federal do Rio de 

Janeiro, COPPE 

1. Geofísica; 

2. Migração Sísmica; 

3. Modelagem e Migração de Dados Sísmicos 

I. COPPE/UFRJ II. Título (série) 

ii

DEDICATÓRIA E AGRADECIMENTOS 

Dedico este trabalho primeiro a Deus, Senhor de hoje e sempre que 

nunca me abandonou e nunca abandonará. Aos meus amados e saudosos 

pais, Francisco e Maria Izabel, aos quais nada disso seria possível e que 

me ensinaram o dom que está acima de qualquer conhecimento, o dom 

de amar. 

A minha amada esposa, Carla, pelo carinho e compreensão nos 

momentos difíceis. Te amo muito. 

Ao meu irmão Adriano, que com certeza tem papel fundamental na 

minha caminhada de estudo. Ao meu tio Gelton, minha irmã Suely, 

sobrinhas e todos os meus familiares. 

A minha família no Rio: José Carlos, Maria das Graças e Renata, pela 

acolhida calorosa em sua casa. Aos meus amigos de Friburgo, UFRJ, 

LAMEC, etc., obrigado de coração. 

Aos professores que me orientaram neste trabalho, sempre com muito 

zelo e atenção. Obrigado. 

iii

Resumo de Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos 

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) 

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE DOIS MÉTODOS DE MIGRAÇÃO - RTM E 

Orientadores: Webe João Mansur 

Programa: Engenharia Civil. 

PSPI – APLICADO A MODELOS ACÚSTICOS 

Djalma Manoel Soares Filho 


Julho/07 

Neste trabalho foi realizado um estudo sobre como se comporta o tempo de 

processamento no imageamento sísmico de diferentes estruturas geológicas quando se 

aplica uma malha menos robusta para descrever o modelo geológico, aplicando-se dois 

métodos de migração: o RTM (“Reverse Time Migration”) e o PSPI (“Phase Shift Plus 

Interpolation”). Para simulação dos dados, optou-se por aplicar o método das diferenças 

finitas (MDF) com aproximações, de quarta e segunda ordem, nas derivadas espaciais e 

temporais, respectivamente. Utlizou-se fontes simples e múltiplas fontes para obter-se os 

sismogramas e super-sismogramas, através de tiros dados apenas na superfície, emitidos 

sem atrasos. A migração reversa no tempo dos super-sismogramas foi capaz de recuperar 

praticamente todos os refletores presentes modelos geológicos. Apesar de o tempo de 

processamento, em alguns casos, ter ficado bem próximo em ambos os métodos, a 

imagem migrada pelo RTM se mostrou com uma qualidade bastante superor, em 

comparação ao método PSPI. 

iv

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the 

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) 

STUDY COMPARATIVE BETWEEN TWO MIGRATION METHODS - RTM AND 

Advisors: Webe João Mansur 

PSPI – APPLIED TO ACOUSTIC MODELS 

Djalma Manoel Soares Filho 

Department: Civil Engineering. 


July/07 

In this work, It was performed a study about how thetime of processing in seismic 

imaging of different geological structures behaves when it is applied aless strong grid for 

describing the geological model, applying two migration methods: the RTM ( “Reverse 

Time Migration”) and the PSPI (“Phase Shift Plus Interpolation”). For data simulation, 

one opted for applying the Finite Differences Methods (MDF) with the fourth-order and 

second-order approaches, in the spatial and temporal derivatives, respectively. It was 

used singleshot and multiple shots to obtain seismograms and super-seismograms through 

the shotsgiven only on the surface, emitted without delays. The Reverse Time Migration 

of the areal shot records was able to regain practically all the reflectors presented in 

geological models , totally different to the time when it was applied a single shot in the 

model. The processing time has been also showed very limitated when the RTM method 

was applied, in comparison to the PSPI method. 

v

ÍNDICE 

Página de Assinaturas ..................................................................................... i 

Ficha Catalográfica ......................................................................................... ii 

Dedicatória e Agradecimentos........................................................................ iii 

Resumo ............................................................................................................. iv 

Abstract ............................................................................................................ v 

Índice ................................................................................................................ vi 

Lista de Figuras ............................................................................................... viii 

1 Introdução ..................................................................................................... 1 

1.1 Objetivos do Trabalho ........................................................................... 6 

2 Conceitos Teóricos ....................................................................................... 8 

2.1 Modelagem Acústica ............................................................................. 8 

2.2 Tipos de Ondas Sísmicas ...................................................................... 9 

2.3 Equação Acústica da Onda ................................................................... 

2.3.1 Operadores Espacial e Temporal obtidos pelo MDF ................... 

2.4 Velocidade de Propagação das Ondas Sísmicas ................................... 16 

2.5 Fonte Sísmica ........................................................................................ 18 

2.6 Dispersão e Estabilidade Numérica ...................................................... 21 

2.7 Condições de Contorno no Modelo ...................................................... 

2.7.1 Condição de Não Deformação – Condição de Neumann ............. 

2.7.2 Condições de Borda .................................................................... 

2.7.2.1 Condição na Borda Esquerda ............................................. 23 

vi 

11 

12 

22 

23 

23

2.7.2.2 Condição na Borda Direita ................................................. 24 

2.7.2.3 Condição na Base do Modelo ............................................. 24 

3 Migração Sísmica ......................................................................................... 26 

3.1 Definição ............................................................................................... 26 

3.2 Migração Reversa no Tempo (RTM – Reverse Time Migration) ......... 

3.2.1 Princípio de Huygens ................................................................... 

3.2.2 Condição de Imagem ................................................................... 30 

3.3 Migração por Rotação de Fase com Interpolação (PSPI – Phase Shift 

Plus Inperpolation) ...................................................................................... 32 

3.3.1 Migração “Phase Shift” ................................................................ 32 

3.3.2 Migração PSPI ............................................................................. 35 

4 Aplicações ..................................................................................................... 37 

4.1 Modelo Plano Paralelo .......................................................................... 39 

4.2 Modelo Onshore .................................................................................... 53 

4.3 Modelo Marmousi ................................................................................. 59 

5 Conclusões e Comentários .......................................................................... 66 

Referências Bibliográficas .............................................................................. 68 

Apêndice ........................................................................................................... 71 

vii 

28 

30

LISTA DE FIGURAS 

1.1 Levantamento sísmico no mar .................................................................... 2 

1.2 Levantamento sísmico com o auxílio dos geofones .................................... 3 

2.1 Esquema ilustrando a direção de propagação das P-waves e S-waves 

(ROSA, 2002) ................................................................................................... 

2.2 Representação do operador de quarta ordem no espaço ............................. 15 

2.3 Assinatura da fonte (60 Hz) ........................................................................ 20 

2.4 Espectro de freqüências ( f corte =60 Hz) ...................................................... 20 

2.5 Representação da zona atenuadora aplicada em um modelo de 

velocidade. Na região de espessura Na utiliza-se o fator de Cerjan (COSTA, 

2006) ................................................................................................................. 

3.1 a) Disparo de uma fonte sísmica, onde a onda gerada na superfície 

encontra o refletor . Parte da energia dessa onda se reflete e retorna ao 

receptor, gerando um sismograma; b) Depropaga-se os registros do 

sismograma confrontando a condição de imagem (retirado de SILVA,2002) .. 

3.2 Representação do princípio do imageamento: coincidência entre o tempo 

da onda direta (TD) 

, propagada da fonte (f) até o refletor (R), e o tempo de 

depropagação da onda, partindo dos receptores (r) até o refletor (R), sendo. 

Na figura, ud representa a onda direta e us representa a onda refletora 

31 

(scattering) ........................................................................................................ 

Figura 4.1 – Modelo de velocidades plano-paralelo ......................................... 40 

Figura 4.2 – Sismograma para o modelo plano-paralelo, para família de tiro 

comum na posição x= 1250m e z=15m (10000 passos de tempo) .................... 41 

Figura 4.3 – Sismograma mutado para o modelo plano-paralelo, para família 

de tiro comum na posição x= 1250m e z=15m (10000 passos de tempo) ........ 41 

Figura 4.4 – Modelo de velocidades suavizado do modelo plano-paralelo (15 

pontos na vertical e 10 pontos na horizontal) ................................................... 42 

Figura 4.5 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo plano-paralelo, 

para família de tiro comum na posição x= 1250m e z=3m ............................... 42 

viii 

11 

25 

29

Figura 4.6 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo plano-paralelo 

(h=5) .................................................................................................................. 43 

Figura 4.7 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo plano-paralelo 

(h=5 e 1 velocidade de referência) .................................................................... 43 


(h=10 e 1 velocidade de referência) .................................................................. 44 





Figura 4.11 – Representação esquemática da formação da imagem, causada 

pela igualdade entre os tempos da onda direta e da onda refletida …………... 46 

Figura 4.12 – Super-sismograma para o modelo plano paralelo, para família 

de múltiplas fontes (10000 passos de tempo) ……………….......…………… 48 

Figura 4.13 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo plano-paralelo 

aplicando múltiplas fontes …………………………………………………… 48 

Figura 4.14 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo planoparalelo 

aplicando múltiplas fontes (h=5) ………………………………….… 49 


aplicando múltiplas fontes (h=5 e 1 velocidade de referência) ……....………. 49 


aplicando múltiplas fontes (h=10 e 1 velocidade de referência) ……....……... 50 


aplicando múltiplas fontes (h=15 e 1 velocidade de referência) ……....……... 50 


aplicando múltiplas fontes (h=20 e 1 velocidade de referência) ………....…... 51 

Figura 4.19 – Modelo de velocidades Onshore ................................................. 53 

Figura 4.20 – Super-sismograma para o modelo Onshore, para família de 

múltiplas fontes na (10000 passos de tempo) ................................................... 54 

ix

Figura 4.21 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo Onshore, para 

família de múltiplas fontes (10000 passos de tempo) ....................................... 

Figura 4.22 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo Onshore para 

família de múltiplas fontes (h=5) …............................................................... 55 

Figura 4.23 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo Onshore para 

família de múltiplas fontes (h=5 e 3 velocidades de referência) .….................. 56 


família de múltiplas fontes (h=10 e 3 velocidades de referência) …..………... 56 


família de múltiplas fontes (h=15 e 3 velocidades de referência) …................. 57 


família de múltiplas fontes (h=20 e 3 velocidades de referência) …................. 57 

Figura 4.27 – Modelo de velocidades Marmousi .............................................. 60 

Figura 4.28 – Super-sismograma para o modelo Marmousi, para família de 

múltiplas fontes (10000 passos de tempo) …………………………………… 61 

Figura 4.29 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo Marmousi, 

para família de múltiplas fontes (10000 passos de tempo) …………………... 61 

Figura 4.30 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo Marmousi 

aplicando múltiplas fontes (h=5) ....................................................................... 62 

Figura 4.31 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo Marmousi 

aplicando múltiplas fontes (h=5 e 6 velocidades de referência) …..…………. 62 


aplicando múltiplas fontes (h=10 e 6 velocidades de referência) …................. 63 


aplicando múltiplas fontes (h=15 e 6 velocidades de referência) ..................... 63 


aplicando múltiplas fontes (h=20 e 6 velocidades de referência) ..................... 64 

x 

55

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 

Existe, atualmente, uma necessidade crescente em se identificar materiais/falhas 

internas a um corpo, sem que ocorra a destruição do mesmo, seja por caráter econômico 

ou por inviabilidade técnica. Na engenharia estrutural, existem métodos de aplicação de 

ondas na identificação de danos estruturais (fissuras internas, por exemplo) em diversos 

tipos de estrutura como barragens, pontes, edifícios, etc. 

Na indústria do petróleo, onde os gastos com prospecção são gigantescos, se faz 

necessário ter uma ferramenta capaz de obter uma resposta com relação às propriedades 

de subsuperfície, para a identificação de reservatórios de hidrocarbonetos com finalidade 

comercial. Mais especificamente, nas regiões com lâmina d’água elevada , ondas 

acústicas são emitidas da superfície da água através de canhões de ar (“airguns”) e, ao 

encontrarem um obstáculo ou uma mudança de propriedade entre os meios, refletem , 

refratam e difratam-se também , fazendo com que parte da energia retorne à superfície. 

Essa energia é, então, captada por receptores (hidrofones) rebocados pelos navios (figura 

1.1). Os navios rebocam cabos “streamers”, que possuem centenas de canais. Cada canal 

é composto por um arranjo com vários hidrofones. Através de inúmeros processos, dentre 

eles o de migração, identificam-se as camadas inferiores, intrusões salinas e/ou locais de 

concentração de hidrocarbonetos. A detecção direta dos hidrocarbonetos é um processo 

bem mais complicado que a migração. Isto porque este processo envolve sísmica 

multicomponente e análise de amplitude versus “offset”. 

1

Figura 1.1 – Levantamento sísmico no mar (site da internet). 

Uma outra aplicação em engenharia são os levantamentos sísmicos usados para 

obter dados referentes às camadas geológicas inferiores para a construção de fundações 

em edifícios, pontes, galerias subterrâneas, etc. Neste tipo de levantamento, os receptores 

usados recebem o nome de geofones, pois trabalham diretamente no solo. Na figura 1.2 

mostra-se como é feito este tipo de análise: 

2

Figura 1.2 – Levantamento sísmico com o auxílio dos geofones (site da internet). 

Como se vê, existe uma gama de problemas de engenharia no qual a aplicação do 

método da propagação de ondas faz-se necessário. 

No caso específico dos hidrocarbonetos, as estruturas subsal são as mais 

interessantes por se tratarem de estruturas das mais variadas, passando por estruturas 

simples até estruturas muito complexas e nas quais se encontram grandes reservas 

petrolíferas. Aproximadamente 60% das reservas de petróleo produzido estão trapeadas 

por este tipo de estrutura, e podemos citar como exemplos as principais localidades 

petrolíferas do mundo (Oriente Médio, Golfo do México, etc) 

Se os refletores fossem perfeitamente horizontais, ter-se-ia uma imagem fiel desta 

seção sísmica migrada. Contudo o que se têm na realidade são seções cheias de falhas, 

com grandes mergulhos e locais onde há uma variação brusca da velocidade, o que ocorre 

principalmente nas estruturas salinas. Devido a sua geometria irregular, há um 

espalhamento das ondas incidentes e, consequentemente, uma queda da energia dessa 

3

onda. Com essa diminuição da energia, devido ao aumento brusco de velocidade, têm-se 

refletores mal imageados abaixo dos domos salinos nas seções migradas. 

A migração sísmica é a etapa do processamento em que os dados registrados são 

extrapolados em profundidade e em tempo, tendo como objetivo imagear corretamente as 

estruturas em subsuperficie. Através de CLAERBOUT(1985) e seus colaboradores, os 

métodos de migração baseados na equação da onda passaram a ser amplamente 

aplicados. Tanto é que STOLT (1978) e GAZDAG (1978) usaram a transformada de 

Fourier 1 para se ter soluções diretas da equação de onda. Estes métodos de migração 

usados permitem extrapolar o campo de ondas a partir de deslocamentos ou rotações de 

fase, utilizando operadores diferenciais exatos. 

Os coeficientes de Fourier, contudo, impõem sérias restrições à função velocidade 

adotada, exigindo que ela seja constante, para cada intervalo do modelo. STOLT (1978) 

propôs o método de migração conhecido como Migração F-K (freqüência-número de 

onda) no qual o campo de ondas era extrapolado, eficientemente, em único passo. O 

problema principal estava no fato de que a velocidade era considerada constante por todo 

o modelo. 

GAZDAG (1978) deu ao problema uma solução mais elaborada, introduzindo a 

Migração “Phase-Shift”. Neste método, a velocidade é função da profundidade ( v(z) 

) e o 

dado é extrapolado em pequenos passos de profundidade, o que dá ao método uma 

flexibilidade maior, se comparado ao método de STOLT (1978). Contudo o método não 

lida bem com variações laterais de velocidade e ainda exige um custo computacional 

muito maior, dependendo do espaçamento do “grid” utilizado. 

1 Matemático francês Jean Fourier (1768-1830). 

4

Porém, o método que mais se difundiu com relação a deslocamento de fase foi o 

proposto por GAZDAG e SGUAZZERO (1984), conhecido como Migração PSPI 

(“Phase Shift Plus Interpolation”). Neste método, o campo de ondas é extrapolado em 

duas etapas: a primeira, no domínio do espaço-freqüência, utilizando o valor real da 

velocidade para realizar os passos de profundidade, e a segunda, no domínio da 

freqüência-número de onda, utilizando-se de duas ou mais velocidades de referência para 

a realização de correções horizontais do campo dos deslocamentos dos campos de onda, e 

depois interpolando cada um deles. 

A Migração RTM (“Reverse Time Migration”) realiza a migração por meio de 

uma depropagação do campo de ondas no tempo usando a equação completa da onda, 

empregando a técnica das diferenças finitas para solucioná-la. Ou seja, ele calcula a 

posição espacial dos pontos de reflexão desse campo em profundidade usando uma 

condição de imagem. Ao final de todo o processo de migração, a seção em profundidade 

corresponderá a seção migrada. LOEWENTHAL et al (1985) fez uso de operadores de 

diferenças finitas pela primeira vez para migrar seções empilhadas obtidas de modelos 

sintéticos. BOTELHO (1986) e FARIA (1986) o utilizaram já em dados reais e CHANG 

e McMECHAN (1989) já propuseram algoritmos que utilizavam a RTM em dados 3-D, 

no qual os operadores de diferenças finitas eram de segunda ordem para o tempo e o 

espaço (ver os trabalhos apresentados por BULCÃO(2004) e BOECHAT(2007)). 

5

1.1 – Objetivos do Trabalho 

Este trabalho tem como objetivo principal de, a partir da equação acústica da onda 

e através de um algoritmo de pré-empilhamento em profundidade, aplicar dois métodos 

de migração utilizados na indústria: Migração Reversa no Tempo (RTM) e a Rotação de 

Fase com Interpolação (PSPI). Com a resposta obtida através dos modelos abordados, 

analisá-las e avaliá-las com relação ao tempo de processamento e resolução da imagem 

obtida dos refletores, para assim obter-se a melhor resposta do topo e da base de 

reservatórios que se encontram abaixo de estruturas salinas. Na preparação dos dados 

sísmicos, utilizou-se de algoritmos elaborados em Fortran, sendo estes utilizados em 

modelos que apresentam de altos contrastes de velocidade. 

O capítulo 2 trata dos principais aspectos da modelagem sísmica, introduzindo as 

equações de ondas em meios acústicos, mostrando os tipos de onda aplicados e a equação 

básica da acústica. Neste capítulo trata-se também das velocidades de propagação das 

ondas sísmicas e dos aspectos que envolvem o termo fonte aplicado, comentando-se um 

pouco sobre a dispersão numérica, condições de contorno e condições de borda no 

modelo. 

6

No capítulo 3 é introduzido a definição de Migração Sísmica e seus aspectos 

principais. Como tema principal deste capítulo, aborda-se o caso da RTM e o da PSPI. 

No capítulo 4 apresentam-se os resultados das migrações realizadas através dos 

métodos RTM e PSPI nos modelos e análise de cada um destes resultados. 

No capítulo 5 são apresentadas as conclusões e as sugestões de trabalhos futuros. 

7

CAPÍTULO 2 – CONCEITOS TEÓRICOS 

2.1 – Modelagem Acústica 

Quando, em um meio qualquer, ocorre um distúrbio provocado por uma fonte 

(uma carga explosiva, por exemplo), as partículas excitadas do meio irão se movimentar, 

saindo de suas posições iniciais de equilíbrio. Isso irá ocasionar movimentos oscilatórios, 

afetando a forma e o volume nas partes em que essa perturbação ocorrer, como também 

uma transmissão de energia (potencial e cinética) para as outras partes do meio. 

Há um número grande de tipos de onda na natureza, dependendo do meio em que 

ela esteja inserida, conforme será visto mais a frente. As principais podem de dois tipos: 

ondas P (compressionais) e ondas S (cisalhantes). Na água, por esta possuir módulo de 

rigidez igual a zero, as ondas do tipo S não conseguem se propagar, fazendo com que 

apenas as ondas do tipo P se propaguem. Contudo, os meios de interesse na exploração 

são meios elásticos, ou seja, há a propagação dos dois tipos de ondas citados. 

Nas modelagens em geofísica, pode-se adotar o meio físico como sendo um meio 

acústico regido pela equação escalar da onda, ou equação acústica da onda, onde apenas 

as ondas compressionais (ondas P) têm sentido. Para a discretização desta equação da 

onda, o mais utilizado em modelagem sísmica é o Método da Diferenças Finitas (MDF). 

8

Neste método utiliza-se uma malha de espaçamento regular para discretizar o 

modelo analisado. Os meios acústicos podem ser descritos, de acordo com suas 

propriedades físicas, da seguinte forma: 

• homogêneos: quando as suas propriedades físicas são as mesmas em qualquer 

lugar posição do meio; e 

• heterogêneos: quando suas propriedades físicas são dependentes da posição em 

que são observadas no meio. 

A velocidade com que esta onda se propaga vai depender da propriedade do meio. 

A elasticidade, por exemplo, será a força restauradora nas partes que sofreram o 

deslocamento. E como durante este movimento, as partículas sofrem acelerações 

periódicas regidas pela 2ª Lei de Newton 1 , as forças que atuam nas partículas também 

variam da mesma maneira, qualquer que seja a posição destas partículas. Essas forças 

sempre irão resultar em aceleração na direção do ponto de equilíbrio, por isso são 

chamadas de forças restauradoras. 

2.2 – Tipos de Ondas Sísmicas 

As ondas sísmicas são manifestações de uma energia liberada por uma fonte e que 

se propagam através da crosta terrestre. Estas ondas se movimentam da fonte ao longo da 

superfície como também através do interior das camadas, em variadas velocidades, 

dependendo dos materiais através dos quais se deslocam. As ondas sísmicas podem ser 

dividas em várias categorias, dentre as quais se pode citar: 

1 Físico inglês Sir Isaac Newton (1643-1727). 

9

• ondas de corpo (body waves): se propagam em todas a extensão de um corpo 

e podem ser classificadas de acordo com a direção como longitudinais 

(compressionais ou P-waves) e ondas transversais (cisalhantes ou S-waves); 

• ondas superficiais: se propagam nas regiões de superfície e fronteira dos 

corpos, sendo as principais as ondas Rayleigh 2 , Love 3 e Stoneley 4 , dentre 

outras. 

No caso das ondas de corpo, ondas P são ondas que provocam deslocamento das 

partículas de um meio através de um mecanismo de compressão e distensão (o que 

acarreta uma variação no volume, mas não na forma) na mesma direção de propagação da 

onda, como pode ser visto na figura 2.1. Essas ondas podem se propagar tanto em meios 

sólidos como em fluidos, possuindo altas velocidades e pequenos períodos e amplitudes. 

A onda S desloca as partículas num plano perpendicular à direção de propagação 

da onda sísmica, o que acarreta numa alteração da forma do meio, devido a força 

cisalhante em direções perpendiculares à direção de propagação, mas sem alteração de 

volume. Não se propagam em líquidos e possuem velocidades inferiores a onda 

P( v ≅ v / 3 ), altas amplitudes e períodos. 

S 

P 

2 

Físico inglês John William Strutt, conhecido como Lord Rayleigh (1842 - 1919). 

3 

Matemático inglês Augustus Edward Hough Love (1863 - 1940). 

4 

Sismologista inglês Robert Stoneley (1894 - 1976). 

10

Figura 2.1 – Esquema ilustrando a direção de propagação das P-waves e S-waves 

(ROSA, 2002). 

2.3 – Equação Acústica da Onda 

É conveniente expressar a equação acústica (ou equação básica) da onda num 

modelo bidimensional (2-D) em termos de suas derivadas parciais da seguinte forma: 

2 2 2 

∂ u ∂ u 1 ∂ u 

+ − = 

2 2 2 2 

∂x ∂z v ( x, z ) ∂t 

0 

, (2.1) 

onde u representa o campo de ondas que varia em função de x, z e t e vxz ( , ) é a 

velocidade da onda no meio em questão. 

Nesta equação deve inserir um termo fonte, sem o qual a onda que se propaga não 

pode existir. Assim, a equação 2.1 pode ser reescrita da seguinte forma: 

2 2 

2 

∂ u ∂ u 1 ∂ u 

+ − 

= δ ( x − x') 

δ ( z − z') 

f ( t) 

, 2 2 2 

2 

(2.2) 

∂x 

∂z 

v ( x, 

z) 

∂t 

onde f é o termo fonte aplicado e x`e z`são 

as coordenadas de localização da fonte. 

11

A equação 2.2 pode ser obtida de inúmeras maneiras, como a partir de equações 

de equilíbrio dinâmico infinitesimal ou até mesmo através da própria simplificação da 

equação elástica da onda, ou equação de Navier. Este trabalho visa apenas aplicar a 

equação acústica da onda através do MDF, não havendo o interesse de se deduzir a 

equação, que pode ser consultada em qualquer uma das referências citadas. 

2.3.1 – Operadores Espacial e Temporal obtidos pelo MDF 

Uma derivada parcial pode ser discretizada através do truncamento da série de 

Taylor 5 . Na prática, cada operação diferencial pode ser substituída por um termo de 

diferenças finitas, proveniente da análise numérica de uma equação unidimensional (1- 

D), onde só ocorra a derivada em relação a uma variável específica. 

Seja uma função F de várias variáveis, F( x, y, z) 

. A série de Taylor para uma 

função F( x±Δ x) 

é dada por: 

e 

2 2 3 3 

∂F ( Δx) ∂ F ( Δx) ∂ F 

F( x+Δ x) = F( x) +Δ x ( x) + ( x) + ( x) 

+ ... 

2 3 

∂x 2! ∂x 3! ∂x 

2 2 3 3 

∂F ( Δx) ∂ F ( Δx) ∂ F 

F( x−Δ x) = F( x) −Δ x ( x) + ( x) − ( x) 

+ ... 

2 3 

∂x 2! ∂x 3! ∂x 

5 Matemático inglês Brook Taylor (1685-1731). 

(2.3) 

(2.4) 

12

Pode reescrever as equações anteriores da seguinte forma: 

e 

2 2 3 3 

∂u ( Δx) ∂ u ( Δx) ∂ u 

ux ( +Δ x) = ux ( ) +Δ x ( x) + ( x) + ( x) 

+ ... 

2 3 

∂x 2! ∂x 3! ∂x 

2 2 3 3 

∂u ( Δx) ∂ u ( Δx) ∂ u 

ux ( −Δ x) = ux ( ) −Δ x ( x) + ( x) − ( x) 

+ ... 

2 3 

∂x 2! ∂x 3! ∂x 

Somando 2.5 com 2.6 têm-se: 

2 4 4 

2 ∂ u ( Δx) ∂ u 

ux ( +Δ x) + ux ( −Δ x) = 2 ux ( ) + 2( Δ x) ( x) + 2 ( x) 

+ 

2 4 

∂x 4! ∂x 

6 6 

( Δx) ∂ u 

+ 2 ( x) 

+ ... 

6 

6! ∂x 

Isolando-se a segunda derivada de ux ( ) com relação a x : 

onde: 

2 

∂ u ux ( +Δx) − 2 ux ( ) + ux ( −Δx) 

O( 

Δx 

( x) 

= − 

2 2 

2 

∂x Δx 

Δx 

O( Δ 

4 

x 

4 ) 

(2.5) 

(2.6) 

(2.7) 

, (2.8) 

4 4 6 6 

( Δx) ∂ u ( Δx) ∂ u 

) = 2 ( x) + 2 ( x) 

+ ... 

(2.9) 

4 6 

4! ∂x 6! ∂x 

Desprezando a equação 2.9, a equação 2.8 fica: 

2 

∂ +Δ − + 

u ux ( x) 2 ux ( ) ux ( −Δ x) 

( x) 

≅ 

(2.10) 

2 2 

∂x Δx 

Para uma aproximação mais precisa de quarta ordem, substitui-se 2.8 em 2.9: 

4 4 4 2 2 

( Δx) ∂ u ( Δx) ∂ ⎡∂ u ⎤ 

2 ( x) = 2 

( x) 

4 2 2 

4! ∂x 4! ∂x ⎢ 

∂x 

⎥ 

⎣ ⎦ 

A seguir, substitui-se a equação 2.10 em 2.11: 

( Δx) 

4! 

4 

∂ u ( Δx) 

( x) 

= 2 

4 

∂x 

4! 

∂ 

∂x 

4 

2 2 

2 2 

[ u( 

x + Δx) 

− 2u( 

x) 

+ u( 

x − Δx)] 

(2.11) 

(2.12) 

13

Simplificando e calculando o lado direito da equação 2.12 têm-se: 

( Δx) 

2 

4! 

4 

4 

2 

∂ u Δx 

( x) 

= [ u( 

x − 2Δx) 

− 4u( 

x − Δx) 

+ 6u( 

x) 

− 4u( 

x + Δx) 

+ u( 

x + 2Δx)] 

4 

∂x 

12 

(2.13) 

Substituindo, agora, a equação 2.13 em 2.8, tem-se uma aproximação melhor de quarta 

ordem para a segunda derivada de ux ( ) : 

2 

∂ u 1 

( x) ≅ −ux ( −2 Δ x) + 16 ux ( −Δx) − 30 ux ( ) + 16 ux ( +Δx) − ux ( + 2 Δx) 

2 2 

∂x 12( Δx 

) 

[ ] 

(2.14) 

Pode-se substituir as variáveis ( x, zt , ) na equação bidimensional 2.1 pelas 

variáveis discretas (, i j, k ) , fazendo com que uxzt ( , , ) se torne ui ( Δx, jΔzk , Δ t) 

, que 

k 

pode ser escrita na forma u . 

e 

i, j 

Pode-se escrever que, para as derivadas parciais de x e z têm-se, respectivamente: 

2 

∂ u 1 

= − + − + − 

2 2 

∂x 12( Δx) 

k k k k k 

{ u i−2, j 16u i− 1, j 30u i, j 16u 

i+ 1, j u i 2, j} 

2 

∂ u 1 

= − + − + − 

2 2 

∂z 12( Δx) 

k k k k k 

{ u i, j−2 16u i, j− 1 30u i, j 16u 

i, j+ 1 u i, j 2} 

Para aproximação em relação ao tempo: 

2 

∂ u 

= − + 

2 

∂t 

k− 1 k k+ 

1 

( u i, j 2u 

i, j u i j) 

+ (2.15) 

+ (2.16) 

, (2.17) 

Na equação 2.17 fez-se um truncamento de segunda ordem, com o objetivo de 

evitar que houvesse um aumento no custo computacional, no caso de esse truncamento 

ter sido feito em quarta ordem. 

14

Substituindo as equações 2.15, 2.16 e 2.17 na equação 2.2, esta pode ser 

explicitada da seguinte forma: 

k+ 1 1 Δt 

2 k k 

u i, j=− {( vi, j ) [ u i−2, j− 16( u i− 1, j 

12 Δx 

k 

+ u i+ 1, j) 

+ 

k k Δt 

2 k k k 

+ 30 u i, j+ u i+ 2, j] + ( vi, j ) [ u i, j−2 − 16( u i, j−1 + u i, j+ 

1) 

Δz 

+ 30 u + u ]} + 2 u − u + f δ( i−i') δ( 

j− j') 

+ 

k k k k−1 k 

i, j i, j+ 2 i, j i, j 

(2.18) 

Caso se utilize uma malha regular, ou seja, Δ x =Δ z = h, 

pode-se simplificar a 

equação 2.18 para: 

Onde 

α 

u 

1 

=− α [ u 

12 

+ u + u + u 

− 16( u + u + u + u ) + 60 u ] + 

+ 2 u − u + f ( i−i') ( j− j') 

k+ 1 

k k k 

k 

i, j i, j i− 2, j i+ 2, j i, j−2 i, j+ 

2 

i, j i, j 

k k k k k 

i− 1, j i+ 1, j i, j− 1 i, j+ 1 i, j 

k 

i, j 

k−1 i, j 

k 

δ δ 

2 

(2.19) 

⎛ Δt 

⎞ 

= ⎜⎝v⎟ . Este é o operador acústico da equação de onda que fornece o 

h ⎠ 

campo de ondas em qualquer lugar do modelo, em qualquer passo de tempo. Todo o 

algoritmo para a modelagem acústica está baseado nesta equação e, graficamente, isto é 

representado pela figura 2.2. 

F( x − 2Δx) 

F( x − Δx) 

F(x) 

F( x + Δx) 

F( x + 2Δx) 

Figura 2.2 – Representação do operador de quarta ordem no espaço. 

15

2.4 – Velocidade de Propagação das Ondas Sísmicas 

A velocidade de uma onda sísmica será função das características do meio 

elástico onde esta onda se propaga. No caso específico das rochas, de sua composição 

mineralógica, dos planos de fraturamento e de seus componentes cristalinos. 

Nas rochas sedimentares, as variações de velocidade são bem maiores, 

principalmente em função da variedade de materiais que constituem o arcabouço, a 

matriz e o material cimentante e da complexidade microestrutural. Rochas sedimentares 

de origem química, como calcários, dolomitos e evaporitos, podem não desenvolver 

porosidade, o que faz seu comportamento, em relação à propagação de ondas sísmicas, 

tornar-se semelhante ao das rochas ígneas e metamórficas. Em rochas sedimentares de 

origem clástica, como arenitos e folhelhos, as velocidades de propagação das ondas 

sísmicas variam com a densidade que, por sua vez, está relacionada à porosidade e à 

natureza dos materiais que preenchem os poros (gás,óleo ou água), cujas densidades 

também influem nas velocidades de propagação das ondas sísmicas (ROSA,2002). 

Em Geofísica, de forma geral, é costume escrever as propriedades físicas de um 

meio através das velocidades de propagação das ondas neste meio, ou seja: 

VP 

( λ + 2μ) 

ρ 

= (2.20) 

VS 

λ 

= (2.21) 

ρ 

16

onde: 

V P = velocidade da onda primária ou P; 

V S = velocidade da onda secundária ou S; 

λ = parâmetro de Lamé 6 ; 

μ = modulo de rigidez ou cisalhamento; 

ρ = densidade. 

Nos trabalhos que envolvem a modelagem sísmica, é comum a adoção de valores 

médios, obtidos a partir de dados experimentais, seja de campo ou de laboratório. 

Apresenta-se a seguir a tabela 2.1, constando de valores aproximados de propagação de 

ondas P ( V P ), ondas S ( VS ), com também das densidades ( ρ ) e do coeficiente de Poisson 

(σ ) de alguns tipos de meios onde, normalmente, a geofísica trabalha. 

6 Matemático francês Gabriel Lamé (1795-1870). 

17

Tabela 2.1 – Valores típicos de V P , VS , ρ e σ (ROSA, 2002). 

2.5 – Fonte Sísmica 

Em Geofísica, mais especificamente na área petrolífera, há a necessidade de 

sempre querer se detalhar as camadas internas do solo, a fim de que locais passíveis da 

existência de hidrocarbonetos sejam localizados. Para tanto, deve-se fazer com que uma 

onda sísmica percorra todas essas camadas, fornecendo as informações pertinentes à 

análise e enviando-as a receptores, seja em terra (geofones), ou no mar (hidrofones). E 

para que essas ondas sejam geradas é necessária a utilização de uma fonte, que pode ser 

18

uma carga explosiva, um caminhão vibrante ou até um canhão de ar (“airgun”), utilizado 

em levantamentos sísmicos marítimos (“offshore”). 

Em termos de modelagem numérica, o termo fonte utilizado é uma função 

matemática, com variação ao longo do tempo. Esta função matemática que define este 

termo fonte deve ser limitada, tanto no domínio do tempo como no domínio da 

freqüência, como também ser não nula em apenas determinada região do seu domínio. 

Limitar a função no domínio da freqüência significa ter o controle sobre qual será a 

freqüência máxima utilizada no modelo ( f corte ) e limitar no domínio do tempo tem haver 

em simular no modelo uma fonte sísmica explosiva. 

Neste trabalho, para as simulações numéricas dos modelos, foi utilizada a 

derivada segunda da Gaussiana (CUNHA, 1997), dada pela seguinte expressão: 

c 

f() t [1 2 ( f t)] e 

2 

2 −π( 

π f t ) 

= − ππ 

(2.22) 

c 

Onde t é o tempo e td 

é um tempo defasado, dado pela seguinte equação: 

2 π 

td= t− 

(2.23) 

f 

c 

Onde f é a freqüência central, que depende da freqüência de corte, de acordo com a 

c 

seguinte expressão: 

f 3 π f 

= (2.24) 

corte c 

Aplicando a transformada de Fourier na equação 2.22, têm-se a equação 2.25. Nas 

figuras seguintes (figuras 2.3 e 2.4), mostra-se o gráfico das equações 2.22 e 2.25, para o 

caso em que a freqüência de corte ( f corte ) adotada foi de 60 Hz. 

19

Amplitude 

Amplitude 

1,20 

0,90 

0,60 

0,30 

0,00 

-0,30 

2 

2 f 

F( f) e 

π f 

2 3 

c 

2 

f 

− 

π f 

2 

c 

= (2.25) 

-0,60 

0,00 0,02 0,04 0,06 

t (s) 

0,08 0,1 

0,025 

0,02 

0,015 

0,01 

0,005 

0 

Figura 2.3 – Assinatura da fonte (60 Hz). 

0 10 20 30 40 50 60 

freqüência (Hz) 

Figura 2.4 – Espectro de freqüências ( f corte =60 Hz). 

20

2.6 – Dispersão e Estabilidade Numérica 

A dispersão numérica é o fenômeno associado à propagação de ondas e ocorre 

devido à variação de duas grandezas principais, velocidade de fase e de grupo, estando 

diretamente ligado a dimensão adotada para malha de discretização do modelo, a 

freqüência e o ângulo de propagação. 

A dispersão causada pela malha produz um atraso nas frentes de ondas de altas 

freqüências em relação às baixas provocando uma deformação do sinal. Quanto maior a 

separação entre os pontos da malha discreta, maior é a dispersão das frentes de onda 

relacionadas a cada freqüência que compõe o espectro de freqüência do sinal 

(ROSA,2002). 

Já a estabilidade numérica tem relação com o esquema de discretização temporal 

do modelo, ou seja, com o esquema dos avanços de passos de tempo no modelo. De 

acordo com as condições iniciais adotadas, a estabilidade será determinada analisando-se 

a resposta numérica do modelo no tempo. 

Apesar de esses critérios terem sido desenvolvidos para modelos discretizados 

pelo MDF, de maneira geral, mesmo se o problema envolver a propagação de ondas 

acústicas ou elásticas, devem ser empregadas as equações 2.26 e 2.27. Atendendo essas 

equações, garante-se não haver problemas no resultado obtido, no que diz respeito à 

estabilidade e à dispersão numérica. 

h 

v 

min ≤ (2.26) 

α fcorte 

21

Onde: 

h 

Δt≤ (2.27) 

μv 

max 

• h = é espaçamento da malha 2D e adota-se Δ x (espaçamento horizontal) e 

Δz 

(espaçamento vertical) sempre iguais; 

• e v = velocidades mínima e máxima, respectivamente, de propagação 

vmin max 

das ondas no modelo adotado; 

• f corte = freqüência de corte ou freqüência máxima adotada; 

• Δt 

= intervalo ou passos de tempo empregado no avanço da solução 

numérica. 

As constantes α e μ são constantes definidas empiricamente e que possuem um 

valor igual a 5 (FARIA,1986). 

2.7 – Condições de Contornos do Modelo 

Considerando um caso real, quando as ondas se propagam nas camadas 

geológicas, não existem limites físicos para que essas ondas se propagem, 

geograficamente. Essas ondas serão, então, atenuadas com o passar do tempo até 

desaparecerem completamente. Na representação de um modelo geológico, fica inviável 

se criar um modelo infinito para que este represente o mais real possível a condição 

geológica existente. 

22

2.7.1 – Condição de Não Deformação – Condição de Neumann 

A condição de Neumann 7 impõe que não há deformação no modelo analisado. 

Também conhecida como condição de superfície livre ou condição de tensão livre, é 

representada da seguinte forma: 

2.7.2 – Condições de Borda 

k 

u i, j= 

0 0 

= (2.28) 

Na modelagem sísmica impõem-se limites, ou bordas, que afetarão os resultados 

esperados. Isso porque quando as frentes de ondas que se propagam no modelo 

encontrarem essas “barreiras” impostas irão refletir, interferindo com as outras ondas já 

refletidas nas camadas inferiores, objeto de interesse no estudo do modelo. 

2.7.2.1 – Condição na Borda Esquerda 

Para a borda lateral esquerda ( i = 1, 

z N j , 1 = ) têm-se: 

que pode ser discretizado pelo MDF da seguinte forma: 

7 Matemático húngaro John von Neumann (1903-1957). 

∂u 1 ∂u 

− = 0 , (2.29) 

∂x v ∂t 

23

k+ 1 Δt 

k k 

k 

u i, j= vi, j ( u i+ 1, j−u i, j) + u i, j 

(2.30) 

Δx 

2.7.2.2 – Condição na Borda Direita 

Para a borda lateral direita ( i = N x , z N j , 1 = ) têm-se: 

que pode ser discretizado pelo MDF como: 

∂u 1 ∂u 

+ = 0 , (2.31) 

∂x v ∂t 

Δt 

u =−v ( u − u ) + u 

Δx 

k+ 1 

k k 

k 

i, j i, j i, j i− 1, j i, j 

2.7.2.3 – Condição na Base do Modelo 

Para a borda inferior do modelo ( i = 1, 

N x , j = 1) 

têm-se: 

que pode ser discretizado pelo MDF como: 

(2.32) 

∂u 1 ∂u 

+ = 0 , (2.33) 

∂x v ∂t 

Δt 

u =−v ( u − u ) + u 

Δz 

k+ 1 

k k 

k 

i, j i, j i, j i, j− 1 i, j 

(2.34) 

Juntamente com as equações 2.29, 2.31 e 2.33, deve-se aplicar uma outra 

condição atenuadora, a fim de que essa interferência nas bordas seja minimizada ao 

máximo. Optou-se por se aplicar o método de Cerjan (CERJAN,1985), por este fornecer 

um esquema simples e com uma boa atenuação das reflexões de borda (figura 2.5). Este 

24

método consiste em aplicar-se um fator de absorção que vai aumentando conforme se 

caminha para as bordas do modelo, de acordo com a seguinte equação: 

2 

−[ 

0, 

00075( 

Na−i)] 

ω ( x) 

= e 

(2.35) 

Na equação 2.35, Na representa o número de células das linhas ou colunas, junto 

aos limites do modelo onde a função é aplicada e i representa a posição da célula dentro 

da borda, que varia de 1 até Na . 

Figura 2.5 – Representação da zona atenuadora aplicada em um modelo de velocidade. 

Na região de espessura Na utiliza-se o fator de Cerjan (COSTA, 2006). 

25

CAPÍTULO 3 – MIGRAÇÃO SÍSMICA 

3.1 – Definição 

Migração é o processo encarregado de converter as informações registradas em 

sismogramas ou em seções sísmicas empilhadas em uma imagem dessa configuração 

geológica, cuja precisão é condicionada à qualidade dos dados sísmicos de entrada, à 

fidelidade do macromodelo de velocidade empregado e à capacidade computacional 

disponível. Em Geofísica, define-se Migração Sísmica como sendo um conjunto de 

procedimentos nos quais os campos de ondas registrados (sendo na superfície ou não), 

contendo as informações das camadas e interfaces do modelo geológico, são 

transformados, através de métodos adequados, em imagens corretamente posicionadas 

dos refletores em sub-superície. Durante este processo, tem-se a extinção das difrações 

que são registradas nos sismogramas (BULCÃO, 2004). Cabe lembrar que é possível a 

ocorrência de eventos não desejados na imagem migrada, como ruídos, múltiplas, etc., 

isto se devendo ao fato de a migração admitir como reflexão todo e qualquer evento 

sísmico. 

A Modelagem Sísmica pode ser entendida como o processo no qual uma frente de 

ondas parte da fonte geradora e se propaga pelo meio analisado, atingindo os refletores e 

registrando nos receptores, seja em terra ou na água, as reflexões e as ondas convertidas. 

obtendo-se, assim, o dado sísmico. Na Migração Sísmica ocorre, basicamente, o processo 

contrário, ou seja, o receptor torna-se fonte e percorre o caminho inverso da onda 

propagada. 

26

Dentre as inúmeras técnicas adotadas na migração, as que serão a base deste 

trabalho, possuem características peculiares, tanto no que tange o método matemático 

aplicado, como no tempo computacional utilizado: Migração Reversa no Tempo (RTM – 

“Reverse Time Migration”) e Migração por Rotação de Fase com Interpolação (PSPI – 

“Phase Shift Plus Interpolation”). 

No que diz respeito ao domínio vertical do modelo, existem dois tipos principais 

de migração sísmica: 

• tempo: produz seções sísmicas no domínio x-t (espaço-tempo). A não ser que 

as camadas do modelo sejam perfeitamente plano-horizontais, os refletores 

estarão deslocados e distorcidos, pois não se tem o campo de velocidades do 

modelo. Normalmente esses tempos são dados em segundos (s). 

• profundidade: produz seções sísmicas no domínio x-z (espacial). Têm-se a 

imagem direta dos refletores no modelo. Sua precisão irá depender do quão 

preciso for o campo de velocidades aplicado, ou seja, quanto mais o campo de 

velocidades se aproximarem das verdadeiras velocidades da estrutura 

geológica existente. 

27

3.2 – Migração Reversa no Tempo (RTM - Reverse Time 

Migration) 

A Migração Reversa no Tempo é uma técnica de propagação de dados sísmicos 

em profundidade que consiste, basicamente, em se fazer o caminho contrário de 

propagação do campo de ondas registrados no domínio do tempo (depropagação) até os 

refletores. Isso faz com que, o que antes era um receptor, se torne agora uma fonte 

pontual. Aplicando a chamada condição de imagem, têm-se a formação da imagem em 

termos de profundidade, como pode ser visto na figura 3.1. 

Matematicamente, tem-se que, para um único tiro na superfície ( z = 0 ): 

2 2 

2 

∂ u ∂ u 1 ∂ u 

+ − 

= sis( 

x, 

z = 0, 

t; 

x ), 

2 2 2 

2 

i 

∂x 

∂z 

v ( x, 

z) 

∂t 

OBS 

(3.1) 

Ou seja, os valores registrados nos sismogramas são prescritos na posição dos 

receptores na ordem inversa em que foram adquiridos. No caso de registrá-los na 

superfície, durante a Migração Reversa no Tempo, a prescrição de tais valores se 

assemelha à aplicação de uma condição de contorno, nos demais casos se assemelha à 

prescrição de fontes pontuais no interior do modelo geológico (BULCÃO, 2004). Este 

método é bastante sensível às condições de estabilidade (operadores) e as dispersões no 

modelo (malha). Além desses fatores, a migração reversa no tempo sofre os efeitos dos 

eventos indesejáveis originados pelo realce das reflexões secundárias em cada interface 

no processo de depropagação (LOEWENTHAL et al, 1987). 

28

(a) (b) 

Figura 3.1 – a) Disparo de uma fonte sísmica, onde a onda gerada na superfície encontra 

o refletor . Parte da energia dessa onda se reflete e retorna ao receptor, gerando um 

sismograma; b) Depropaga-se os registros do sismograma confrontando a condição de 

imagem (retirado de SILVA,2002). 

A migração desses dados sísmicos pode der feita antes ou após empilhamento 

(“stacking”). Empilhar significa somar os dados sísmicos que possuem o mesmo ponto 

médio entre a fonte e o receptor (CMP – “common mid point”), podendo ser de dois tipos 

distintos: 

• pré-empilhamento: como o nome já diz, os campos de onda registrados nos 

sismogramas são migrados antes de serem somados para, assim, gerar a seção 

sísmica migrada; 

• pós-empilhamento: os campos de onda registrados nos sismogramas são 

organizados em famílias de traços CMP, sendo então empilhados e agrupados, 

formando a seção sísmica. Essa será, então, migrada através de uma função de 

velocidades. 

29

3.2.1 – Princípio de Huygens 

O princípio de Huygens 1 nada mais é que uma demonstração geométrica, que diz 

que cada ponto de uma frente de ondas se comporta como pequenas fontes de ondas 

secundárias. Ou seja, a cada passo de tempo Δ t , a nova frente de onda é a envolvente 

dessas novas ondas secundárias que irão se formar. Por este principio é possível se dizer 

também onde estará esta nova frente de onda num instante t qualquer do futuro. 

3.2.2 – Condição de Imagem 

A condição de imagem mostra a existência de um refletor em subsuperfície, no 

qual ocorre a coincidência entre o tempo da onda direta (TD) 

, propagada da fonte (f) até 

o refletor (R), e o tempo de depropagação da onda, partindo dos receptores (r) até o 

refletor (R), como pode ser visto na figura 3.2. Nela, o campo de ondas em vermelho se 

propaga da fonte em direção ao refletor, desde 

t = 0 atét = TD , atingindo o ponto R no 

refletor. Em azul vê-se a depropagação dos valores do sismograma, com a inversão do 

tempo, partindo do tempo total de registro T t t = até o tempo t = TD . Em todos os 

métodos aplicados neste trabalho, optou-se por se utilizar o critério da máxima amplitude 

da onda direta para determinação da condição da imagem (BOTELHO e STOFFA, 1988). 

1 Físico holandês Christian Huygens (1629-1695). 

30

Escrevendo esta rotina, matematicamente, tem-se que a condição de imagem nada 

mais é do que uma matriz de tempo de transito (TD) 

, nos quais os valores desconhecidos 

serão armazenados para a formação da imagem migrada, que, para modelos acústicos, 

tem a forma da equação 3.2: 

Ns 

∑ 

mig = 1 

Mig ( x, 

z) 

= u ( x, 

z, 

t = TD ( x , )) , 

(3.2) 

d z d 

onde Ns é a quantidade de amostras a serem somadas, u( 

x, 

z, 

t) 

é o campo de ondas e 

( xd, z d) 

é a posição na malha que corresponde ao tempo da onda direta. 

f 

ud 

R 

us 

Figura – 3.2 – Representação do princípio do imageamento: coincidência entre o 

tempo da onda direta (TD) 

, propagada da fonte (f) até o refletor (R), e o tempo de 

depropagação da onda, partindo dos receptores (r) até o refletor (R), sendo. Na figura, 

ud representa a onda direta e us representa a onda refletora (scattering). 

r 

31

3.3 – Migração por Rotação de Fase com Interpolação (PSPI - 

Phase Shift Plus Interpolation) 

3.3.1 – Migração “Phase Shift” 

O método de migração por rotação de fase, ou Phase-shift (GAZDAG, 1978), 

realiza, em cada intervalo de profundidade Δ z , uma extrapolação descendente do campo 

de ondas no domínio f-k (freqüência-número de onda). O método considera a velocidade 

constante em cada intervalo, ou seja, ela é função apenas da profundidade ( vz ( ) ). É neste 

ponto que o método se difere do método F-K (STOLT,1978), onde a velocidade era 

considerada constante em toda a profundidade do modelo. 

A migração Phase-shift também é baseada na equação da onda (equação 2.1). 

Aplicando a Transformada Dupla de Fourier, deve-se levar o sismograma registrado na 

superfície no domínio x − t (espaço-tempo) para o domínio ω − k (freqüência - número 

de onda). Ou seja: 

∞ ∞ 

1 

i ( ω t −k 

x x ) 

u x, 

z = 0, 

t) 

= ∫∫u( 

k x , z = 0, 

ω ) ⋅ e dωdk 

x 

2π 

−∞− 

∞ 

( (3.3) 

Substituindo a equação 3.3 na equação 2.1 têm-se que: 

∫∫ 

kx ω 

2 

2 ∂ u 1 

2 

i ( ω t − k x x ) 

[ u ( − ik x ) + − ( iω 

) ⋅ u ] ⋅ e d ω dk 

2 2 

∂ z v 

x 

= 

0 

(3.4) 

32

A equação 3.4 só admite uma solução: 

2 

2 ∂ u 1 2 

u ( −ik x ) + − ( iω 

) ⋅ u = 0, 

(3.5) 

2 2 

∂z 

v 

equação esta que pode ser escrita da seguinte forma: 

2 

∂ u 

2 

∂z 

− 

2 

2 

( k x − 2 

ω 

) ⋅ u = 

v 

0. 

(3.6) 

Sabe-se que a equação de dispersão, também conhecida como equação de 

Helmholtz 2 , que relaciona a velocidade, freqüência e número de onda, é escrita da 

seguinte da forma: 

2 

ω 

+ = 

(3.7) 

2 

v 

2 2 

k x k z 

Assim, a equação 3.6 pode ser escrita da seguinte forma: 

2 

∂ u 2 

+ ( k ) ⋅ u = 0. 

2 z (3.8) 

∂z 

Observa-se que a equação 3.8 é uma equação diferencial homogênea que só 

possui solução quando k for constante. Assim a velocidade v( 

x, 

z) 

também deve ser, ou 

z 

seja, a equação só admite solução quando o domínio se tratar de um domínio homogêneo. 

tipo: 

Assim, a equação 3.8 pode ser resolvida analiticamente, possuindo soluções do 

u x 

x 

( , , ω ) = ⋅ ( , = 0, 

ω ), 

± ik z z 

k z e u k z 

(3.9) 

onde + z refere-se as ondas ascendentes e − z as ondas descendentes. 

ik z 

2 Médico e físico alemão Hermann Ferdinand Ludwig Von Helmholtz (1821-1894). 

ik z 

33

Pode-se observar pela equação 3.9 que o campo de onda em qualquer ponto do 

modelo será dado pelas informações registradas na superfície do modelo ( z = 0) 

, 

funcionando neste caso como uma equação de contorno. 

No método Phase-Shift, a variação de velocidade no modelo se dá apenas em 

relação a profundidade ( v( 

z)) 

, se mantendo constante horizontalmente em cada intervalo. 

Deve se realizar, então, a extrapolação em profundidade em intervalos Δz 

do campo de 

ondas registrado na superfície, o que faz com que a equação 3.9 possa ser escrita da 

seguinte forma: 

u x 

x 

± ik z Δz 

( k , z + Δz 

, ω ) = e ⋅ u ( k , z, 

ω ), 

conhecido como operador Phase-Shift. 

(3.10) 

Retornando o dado para o domínio ω − x e aplicando a condição de imagem 

( TD( x, 

z) 

), obtêm-se o dado migrado na profundidade z + Δz 

. Aplicando a Transformada 

de Fourier do campo de onda e usando a solução referente as ondas descendentes 

( − k zΔz ) na equação 3.10, têm-se a imagem final migrada obtida pela equação: 

1 −iω 

TD ( x , z ) 

i ( k z z − k x x ) 

( x, 

z + Δz 

) = ∫ e ∫ u ( k x , z + Δz 

, ω ) ⋅ e dk dω 

(3.11) 

2 

Mig x 

π ω 

k 

3.3.2 – Migração PSPI 

x 

34

Conforme mencionado anteriormente, o método Phase-Shift é aplicável apenas 

em modelos cuja variação de velocidade ocorra na vertical, não contemplando as 

variações laterais de velocidade do modelo. Ou seja, o método só se aplica a modelos que 

possuam suas camadas geológicas totalmente planas, o que não ocorre na grande maioria 

dos casos existentes. 

Aplica-se, então, uma “otimização” no método Phase-Shift, no qual se utiliza não 

só uma velocidade para cada passo Δ z em profundidade, mas sim várias velocidades, 

conhecidas como velocidades de referência. A essa otimização dá-se o nome de Migração 

Phase Shift Plus Interpolation, ou Migração por Rotação de Fase com Interpolação. A 

idéia principal é a de repetir a etapa da extrapolação da onda, considerando as 

velocidades de referência, sendo estas restritas a um campo ( e v ), ou seja, retirado 

vmax min 

das velocidades máximas e mínimas aplicadas no modelo adotado. 

Assim, depois de realizada a Transformada Dupla de Fourier, levando o campo de 

ondas do domínio x − t para o domínio k − ω , extrapola-se em profundidade esses 

campos de onda para cada uma das velocidades de referência, ou seja: 

u( 

k 

x 

v1 

⎧ ⎯⎯→ 

u1( 

k x , z + Δz, 

ω ) 

⎪ v2 

ik 

e z z ⎪ ⎯⎯→ 

u 2 ( k x , z + Δz, 

ω ) 

, z = 0, 

ω ) ⎯⎯→⎨ 

⎪ ... 

⎪ vn 

⎩ ⎯⎯→ 

u n ( k x , z + Δz, 

ω ) 

x 

(3.12) 

35

Aplicando a Transformada de Fourier Inversa em x para cada um dos campos de 

onda, realiza-se a interpolação de todos esses campos, o que resulta em um campo total 

interpolado, chamado aqui de U ( z, 

z + Δz, 

ω) 

para cada ( x, 

z) 

, ou seja: 

u 

u 

u 

1 

2 

n 

( k x , z + Δ z , ω ) ⎫ 

( k , , ω ) 

1 

x z + Δ z 

⎪ 

− 

FFT 

⎬ ⎯ ⎯⎯→ ... ⎪ 

( k x , z + Δ z , ω ) ⎪ 

⎭ 

u 

u 

u 

1 

2 

n 

( x , z + Δ z , ω ) 

( x , z + Δ z , ω ) 

... 

( x , z + Δ z , ω ) 

(3.13) 

Para realizar a interpolação, dada a velocidade real do ponto v( 

x, 

z) 

da camada, 

analisa-se entre quais velocidades de referência ( e vref ) esta velocidade se 

encontra. Como para cada velocidade de referência existe um campo de referência, o 

campo interpolado na posição ( x, 

z) 

pode ser obtido diretamente através da seguinte 

equação: 

vrefi i+ 

1 

1 

1 

Ui 

( x, 

z + Δz, 

ω) 

+ 

Ui+ 

1( 

x, 

z + Δz, 

ω) 

v( 

x, 

z) 

− vrefi 

( z) 

vrefi+ 

1( 

z) 

− v( 

x, 

z) 

U( 

x, 

z + Δz, 

ω ) = 

(3.14) 

1 

1 

+ 

v( 

x, 

z) 

− vref ( z) 

vref ( z) 

− v( 

x, 

z) 

i 

Realizada a interpolação, resta apenas realizar o processo de formação da 

imagem, utilizando a matriz tempo de trânsito TD( 

x, 

z) 

para estabelecer a condição de 

imagem. Após esse processo, a imagem é migrada, para obtenção da imagem final. Como 

realizado no método Phase Shift obtem-se a imagem final migrada pela seguinte equação: 

∫ 

− iω 

TD ( x , z ) 

i ( k z z − k x x ) 

Mig ( x, 

z + Δz 

) = e U ( k x , z + Δz 

, ω ) ⋅ e dk x dω 

ω 

∫ 

k 

x 

i+ 

1 

(3.15) 

36

CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES 

Neste capítulo serão aplicados os dois métodos de migração: RTM e PSPI, em 

modelos de velocidade teóricos e em modelos de velocidade reais, na sua maioria, 

1 2 

propostos pelo SEG /EAGE . 

Faremos uma comparação entre os tempos de execução das migrações de cada 

método aplicado, sendo que, apenas nos modelos em que se aplicar o método PSPI, 

faremos um alteração na malha, aumentando seu espaçamento h gradativamente (ver 

capítulo 2, seção 2.6). A imagem gerada será, então, analisada e compararemos os 

resultados em termos tempo de análise versus resolução da imagem migrada. 

Em todos os modelos propostos, o seguinte processo será aplicado: em primeiro 

lugar, obtêm-se uma seção em tempo (sismograma) com um único tiro dado numa 

posição ( x, 

z) 

do modelo. Este sismograma obtido é mutado, ou seja, retira-se a onda 

direta deixando-se apenas as reflexões. Logo em seguida, faz-se a suavização do modelo 

de velocidades para obter-se a matriz de tempo da onda direta ou matriz TD. Esta 

suavização utiliza um filtro de média móvel e varia de modelo para modelo. Após a 

obtenção do sismograma mutado e da matriz TD, aplicam-se os métodos de migração 

para obtenção das imagens dos modelos, a fim de que sejam feitas todas as análises e 

comparações. Serão aplicadas, também, múltiplas fontes em todos os modelos e os 

mesmos processos propostos anteriormente. O processo de se aplicar múltiplas fontes, 

como o nome já diz, significa não só utilizar-se de uma única fonte no centro do modelo 

para gerar a onda acústica, mas sim de n fontes, que são detonadas juntas, sem nenhum 

1 SEG – Society of Exploration Geophysicists 

2 EAGE – European of Geoscientists and Engineers 

37

atraso. Optou-se por não se suavizar o modelo Marmousi em virtude de sua alta 

complexidade e de não se mutar o sismograma quando se aplicar múltiplas fontes. 

Todos os modelos foram processados num PC com 512MB de RAM, 80 GB de 

HD e processador AMD, utilizando compilador Compaq Visual Fortran e, para a 

visualização das imagens o Compaq Array Visualizer. 

38

4.1 – Modelo Plano-Paralelo 

Como uma primeira aplicação, temos o caso de um modelo plano-paralelo 

horizontal (figura 4.1). Ele é composto por camadas totalmente planas, no qual o 

reservatório se encontra inserido entre camadas de diferentes impedâncias. As 

velocidades no modelo variam entre 1500 m/s (velocidade na superfície da água), 

passando por velocidades de 2800m/s (reservatório) chegando a camadas com 

velocidade de 5000 m/s (velocidade nos corpos salinos). 

O modelo é composto por uma malha de 500 pontos na horizontal por 500 

pontos na vertical que, com um espaçamento da malha de 5m, tanto na horizontal como 

na vertical, dará ao modelo as dimensões de 2500m nas direções x e z , respectivamente. 

Para realizar a migração RTM, foi realizada uma modelagem sísmica por diferenças 

finitas, utilizando aproximações de quarta ordem no espaço e de segunda ordem no 

tempo, conforme mencionado em capítulos anteriores. Isto será feito por igual modo em 

todos os próximos modelos. Os dados utilizados no modelo são apresentados na tabela 

4.1. 

39

z (m) 

água 

sal 

Reservatório 

x(m) 

Figura 4.1 – Modelo de velocidades plano-paralelo. 

v(m/s) 

Tabela 4.1 – Parâmetros principais do modelo e da modelagem por diferenças finitas 

para família de tiro comum do modelo de camadas planas. 

Número de tiros 1 

Número de canais 500 

Espaçamento da malha ( Δx 

= Δz 

= h ) 5m 

v máx(m/s) 

5000 

v min(m/s) 

1500 

Amostragem de tempo 0,00020s 

Freqüência de corte 60Hz 

Posição da fonte na direção x 1250m 

Posição da fonte na direção z (jzf) 15m 

40

t (x 0,00020 s) 

Figura 4.2 – Sismograma para o modelo plano-paralelo, para família de tiro comum na 

posição x= 1250m e z=15m (10000 passos de tempo). 

t (x 0,00020 s) 

Figura 4.3 – Sismograma mutado para o modelo plano-paralelo, para família de tiro 

comum na posição x= 1250m e z=15m (10000 passos de tempo). 

x(m) 

x(m) 

41

z(m) 

x(m) 

v(m/s) 

Figura 4.4 – Modelo de velocidades suavizado do modelo plano-paralelo (15 pontos na 

vertical e 10 pontos na horizontal). 

z(m) 

Figura 4.5 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo plano-paralelo, para 

família de tiro comum na posição x= 1250m e z=3m. 

x(m) 

t(ms) 

42

z(m) z(m) 

Figura 4.6 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo plano-paralelo (h=5). 

Figura 4.7 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo plano-paralelo (h=5 e 1 

velocidade de referência). 

x(m) 

x(m) 

43

z(m) 



z(m) 



x(m) 

x(m) 

44

z(m) 

Figura 4.10 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo plano-paralelo (h=20 e 

1 velocidade de referência). 

Tabela 4.2 – Tempos de processamento do modelo plano-paralelo para uma família de 

tiro comum. 

x(m) 

Tipo de Migração Tempo 

Migração RTM ( h =5) 

01’11” 

Migração PSPI ( h =5) 

05’25” 


01’13” 


00’50” 


00’18” 

45

A figura 4.6 mostra o resultado da migração RTM, para uma malha com 

espaçamento de 5m e as figuras 4.7 a 4.10 mostram, respectivamente, todas as 

migrações PSPI realizadas, para os diferentes tipos de espaçamento da malha (5m, 10m, 

15m e 20m). 

Na migração RTM (figura 4.6) observa-se que as duas primeiras camadas foram 

bem imageadas. Abaixo desta segunda camada, composta de uma estrutura salina, as 

camadas que se interpõem ao reservatório são observadas, apesar de ter havido a uma 

atenuação do sinal provocada pela alta impedância do sal. A zona observada no topo da 

figura 4.6, semelhante a uma “tesoura”, pode ser explicada pela figura 4.11. Isto se deve 

ao fato de que o tempo da onda direta (em vermelho na figura) proveniente da fonte é 

igual ao tempo da onda refletida na camada (em azul). Como a migração RTM utiliza a 

matriz TD para a formação da imagem migrada, entende-se que neste ponto de encontro 

existe um refletor (ponto P), armazenando esta informação na imagem migrada. 

Camada 1 

Camada 2 

Camada 3 

Ondas Refletidas 

P 

fonte 

Ondas Diretas 

Figura 4.11 – Representação esquemática da formação da imagem, causada pela 

igualdade entre os tempos da onda direta e da onda refletida. 

Na migração PSPI, realizada com uma única velocidade de referência, observou- 

se dispersões numéricas (pequenas ondulações), que se agravaram com o aumento do 

espaçamento da malha (figuras 4.7 a 4.10). Este fato inviabiliza a identificação das 

interfaces refletoras, para malhas com h >10. Os tempos de processamento dos dois 

46

métodos para h =5 (tabela 4.2) se distanciaram bem, cerca de cinco vezes. Contudo, 

com o aumento do espaçamento da malha, observou-se uma queda nos tempos de 

processamento. Isto pode ser visto, por exemplo, comparando-se o h =20 do método 

PSPI com h =5 do método RTM. 

Como método comparativo, agora, faremos as mesmas migrações anteriores, 

sendo que utilizaremos não só uma única fonte, mas sim, família de múltiplas fontes 

detonadas ao mesmo tempo no topo do modelo. As figuras 4.12 e 4.13 mostram, 

respectivamente, o sismograma obtido e o gráfico do tempo da onda direta (TD). Cabe 

lembrar que se optou por não suavizar-se o modelo. 

As figuras 4.14 a 4.18 mostram todas as migrações feitas, tanto em RTM como 

em PSPI, para diferentes malhas, conforme aplicado no caso de se utilizar uma única 

fonte. A tabela 4.3 mostra alguns parâmetros utilizados e a tabela 4.4 mostra os tempos 

de processamento encontrado para cada um dos métodos. 

Tabela 4.3 – Parâmetros do modelo e da modelagem por diferenças finitas para família 

de múltiplas fontes do modelo de camadas planas. 





47

t (x 0,00020 s) 

z(m) 

Figura 4.12 – Super-sismograma para o modelo plano-paralelo, para família de 

múltiplas fontes (10000 passos de tempo). 

Figura 4.13 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo plano-paralelo aplicando 

múltiplas fontes. 

x(m) 

x(m) 

t(ms) 

48

z(m) 

z(m) 

Figura 4.14 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo plano-paralelo 

aplicando múltiplas fontes (h=5). 


aplicando múltiplas fontes (h=5 e 1 velocidade de referência). 

x(m) 

x(m) 

49

z(m) 

z(m) 





x(m) 

x(m) 

50

z(m) 



Tabela 4.4 – Tempos de processamento do modelo plano-paralelo para família de 

múltiplas fontes. 



01’11” 


05’13” 


01’13” 


00’50” 


00’18” 

Na migração RTM (figura 4.14) observa-se que as camadas foram imageadas ao 

longo de todo o modelo, ao contrário do caso anterior. Contudo observam-se fortes 

reflexões múltiplas, resultado do emprego da equação completa da onda (equação bi- 

direcional). 

x(m) 

51

No método PSPI, a figura 4.15 apresenta o imageamento correto das interfaces 

refletoras, ao longo de todo o modelo. Em comparação com o resultado encontrado com 

o método RTM (figura 4.14), as reflexões múltiplas não são observadas com a mesma 

intensidade, resultado do emprego da equação unidirecional da onda, que privilegia 

propagações descendentes. As figuras 4.16 a 4.18 mostram a presença de dispersões 

numéricas, que inviabilizam a identificação das interfaces refletoras. 

No que diz respeito ao tempo de processamento, como utilizou-se a mesma 

malha, modificando-se apenas o número de fontes (múltiplas fontes), os tempos de 

processamento são os mesmos de quando aplicou-se uma única fonte. 

52

4.2 – Modelo Onshore 

O modelo sintético Onshore retirado de Martins (2003) trata-se de um modelo de 

velocidades típico da Bacia do Solimões, possuindo uma grande falha normal e 

múltiplas camadas sobrepostas com diferentes velocidades (figura 4.19). Neste modelo 

a variação lateral de velocidade é pequena, com camadas, praticamente, distribuídas 

uniformemente. O modelo possui 512 pontos com espaçamento de 5m na horizontal e 

256 pontos com 5m na vertical, o que dá ao modelo as dimensões de 2560m na 

horizontal e 1280m na vertical. Optou-se, novamente, em se aplicar os dois tipos de 

fontes, ou seja, uma fonte única e família de múltiplas fontes. Os principais dados 

referentes a este modelo, como também os tempos de processamento para os métodos 

de migração se encontram nas tabelas 4.7 e 4.8 respectivamente apresentadas a seguir. 

z(m) 

x(m) 

Figura 4.19 – Modelo de velocidades Onshore. 

v(m/s) 

53

De igual modo ao realizado no modelo de Marmousi, utilizaremos novamente 

não apenas uma única fonte, mas sim, múltiplas fontes detonadas ao mesmo tempo no 

topo do modelo. As figuras 4.20 e 4.21 mostram, respectivamente, o super-sismograma 

obtido e o gráfico do tempo da onda direta (TD). 

Tabela 4.5 – Parâmetros do modelo e da modelagem por diferenças finitas para família 

de múltiplas fontes do modelo de Onshore. 

t (x 0,000157s) 





Figura 4.20 – Super-sismograma para o modelo Onshore, para família de múltiplas 

fontes (10000 passos de tempo). 

x(m) 

54

z(m) 

Figura 4.21 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo Onshore, para família de 

múltiplas fontes (10000 passos de tempo) 

z(m) 

Figura 4.22 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo Onshore para família 

de múltiplas fontes (h=5). 

x(m) 

x(m) 

t(ms) 

55

z(m) 

Figura 4.23 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo Onshore para família de 

múltiplas fontes (h=5 e 3 velocidades de referência). 

z(m) 



x(m) 

x(m) 

56

z(m) 



z(m) 



x(m) 

x(m) 

57

Tabela 4.6 – Tempos de processamento do modelo Onshore para múltiplas fontes. 


Migração RTM (h=5) 01’07” 

Migração PSPI (h=5) 03’34” 







15m e 20m). 

Na figura 4.22 observou-se que as interfaces foram imageadas, observando-se 

nas regiões de interface do modelo ruídos de baixa freqüência. No método PSPI, para 

h =5 (figura 4.23) observou-se uma grande melhora na resolução da imagem migrada, 

com refletores bem imageados e definidos, não observando-se a existência das 

múltiplas. No modelo para h =10 (figura 4.26), essa melhora da imagem ainda pôde ser 

vista, mas com uma qualidade um pouco menor. Para malhas de h =15 e h =20 (figuras 

4.25 e 4.26), observou-se a presença de dispersões numéricas, que inviabilizam a 

identificação das interfaces refletoras. 

Com relação a eficiência computacional, quando a mesma malha é utilizada, a 

migração PSPI, utilizando três velocidades de referência, demandou um tempo de 

processamento cerca de três vezes maior do que o método RTM. No caso de h =10, este 

custo computacional se tornou praticamente igual. O método PSPI se tornou mais 

eficiente somente no caso de h =20, onde o tempo de processamento foi quase um 

minuto menor que o método RTM. 

58

4.3 – Modelo Marmousi 

O modelo sintético Marmousi, desenvolvido pelo Instituto Francês de Petróleo, 

se tornou um teste bastante popular de algoritmos de migração. Trata-se de um dado 

acústico 2-D de estrutura complexa, baseado na geologia real da bacia de Cuanza, em 

Angola. O estilo estrutural se baseia em falhas de crescimento, que se erguem de um 

truncamento de sal até chegarem a uma complicada estrutura de velocidade na parte 

superior do modelo (figura 4.27). Comparado ao modelo anterior, as dificuldades de 

imageamento são causadas devido muito mais a sua estrutura geológica complexa do 

que pela forte variação lateral de velocidades. Por este motivo, optou-se por migrar o 

modelo aplicando apenas família de múltiplas fontes, pois o resultado obtido aplicando- 

se um único tiro não apresentaria um resultado satisfatório. A região de reservatório 

que armazena hidrocarbonetos, em forma de lente, que é a zona de interesse, fica a 

2500m de profundidade e 6500m da origem na direção x , é a principal e mais difícil 

região de ser imageada. Pois, antes de atingir esta região, o sinal sísmico se propaga 

através de uma estrutura muito complicada acima desta zona, como falhas com fortes 

mergulhos e domo. Neste modelo temos ainda duas estruturas em forma de cunha a 

aproximadamente 2500m de profundidade na esquerda e na direita do modelo, com 

velocidade 5500 m/s (Moreira, 2004). 

O modelo possui 1000 pontos com espaçamento de 5m na horizontal e 375 

pontos com espaçamento de 5m na vertical, o que dá ao modelo as dimensões de 5000m 

na horizontal e 1875m na vertical. Os principais dados referentes a este modelo, como 

também os tempos de processamento para cada um dos métodos de migração 

encontram-se nas tabelas 4.7 e 4.8, respectivamente apresentadas a seguir. Optou-se por 

não se mutar o sismograma. 

59

z(m) 

x(m) 

Figura 4.27 – Modelo de velocidades Marmousi. 

v(m/s) 

Tabela 4.7 – Parâmetros principais do modelo e da modelagem por diferenças finitas 

para família de múltiplas fontes do modelo Marmousi. 



Espaçamento da malha ( Δx 

= Δz 

= h ) 5m 

v máx(m/s) 

5980 

v min(m/s) 

2220 



60

t (x0,000167) 

Figura 4.28 – Super-sismograma para o modelo Marmousi, para família de múltiplas 

fontes (10000 passos de tempo). 

z(m) 

Figura 4.29 – Matriz de tempos da onda direta para o modelo Marmousi, para família 

de múltiplas fontes (10000 passos de tempo). 

x(m) 

x(m) 

t(ms) 

61

z(m) 

Figura 4.30 – Seção migrada pelo método RTM para o modelo Marmousi aplicando 

múltiplas fontes (h=5). 

z(m) 

Figura 4.31 – Seção migrada pelo método PSPI para o modelo Marmousi aplicando 


x(m) 

x(m) 

62

z(m) 



z(m) 



x(m) 

x(m) 

63

z(m) 



Tabela 4.8 – Tempos de processamento do modelo Marmousi para família de múltiplas 

fontes. 



01’46” 


24’00” 


05’53” 


03’45” 


01’06” 




15m e 20m). 

x(m) 

64

A migração RTM de uma única onda plana (figura 4.30) apresentou um 

resultado bastante satisfatório com relação ao imageamento das principais feições. A 

inclusão de um número maior de ondas planas certamente aumentará a relação 

sinal/ruído. 

Nas imagens migradas pelo método PSPI para h =5 (figura 4.31) apresentou um 

resultado superior ao observado com a migração RTM, principalmente no que diz a 

parte rasa do modelo. No caso, para h =10 (figura 4.32), o resultado é praticamente 

igual ao encontrado para h =5, pois não se observam dispersões numéricas. Contudo, 

nos casos de h =15 e h =20 (figuras 4.33 e 4.34, respectivamente), as dispersões 

numéricas degradaram consideravelmente os resultados. 

Com relação a eficiência computacional, quando a mesma malha é utilizada, a 

migração PSPI, utilizando seis velocidades de referência, demandou um tempo de 

processamento cerca de doze vezes maior do que o método RTM. No caso de h =10, 

este custo computacional se tornou cerca de três vezes maior. O método PSPI se tornou 

mais eficiente somente no caso de h =20, onde o tempo de processamento foi apenas 

quarenta segundos menos que o método RTM. 

65

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS 

O objetivo principal deste trabalho foi o de estudar o tempo de processamento 

realizado pelos métodos de migração, RTM e PSPI, em modelos que possuem 

velocidades, geometrias e complexidades distintas: o modelo de camadas plano 

paralelas, modelo Marmousi e o modelo Onshore. 

Para tanto, foram realizadas aplicações desses métodos de migração utilizando a 

técnica do tiro comum (sismogramas) e múltiplas fontes (super-sismogramas) com 

atrasos nulos. Utilizou-se também da condição de imagem dada pelo campo de ondas 

refletidas no tempo de chegada da onda direta, em cada ponto da malha gerada. 

Estes sismogramas e super-sismogramas foram obtidos através da aquisição dos 

dados sísmicos através da solução da equação acústica da onda, utilizando o método das 

diferenças finitas, com aproximação de quarta ordem no espaço e segunda ordem no 

tempo. 

No que diz respeito à resolução da imagem migrada, os métodos RTM e PSPI 

exibiram resultados equivalentes, quando se utilizou a mesma malha. Contudo os 

resultados obtidos com o método PSPI foram superiores no que diz respeito a atenuação 

das reflexões múltiplas, conseqüência do emprego da equação da onda unidirecional 

neste método. 

A migração PSPI, no que diz respeito ao tempo de processamento, só foi mais 

eficiente para malhas bem espaçadas (quase sempre para h =20). Sendo que, nestes 

casos, a qualidade dos resultados é bem inferior à alcançada com a malha utilizada para 

realização da migração RTM ( h =5). 

66

Portanto, dentro do contexto dos experimentos utilizados neste trabalho, o 

método PSPI demanda uma carga computacional, no mínimo, igual a empregada na 

migração RTM. Vale ressaltar que todos os programas computacionais utilizados não 

exploraram a completa independência dos processos, no caso da migração PSPI. Com 

este método, a migração pode ser realizada de forma independente para cada freqüência 

ou velocidade de referencia. Portanto, a eficiência computacional pode ser linearmente 

melhorada com o uso de clusters de computadores pessoais. No caso da migração RTM 

esta estratégia não pode ser explorada igualmente. 

Como proposta de trabalhos futuros, propõe-se: 

utilizar técnicas mais modernas para a computação da Transformada de 

Fourier; 

dividir o programa PSPI em tarefas independentes para a execução em 

clusters de computadores pessoais, caso 2-D; 

dividir o programa PSPI em tarefas independentes para a execução em 

clusters de computadores pessoais, caso 3-D 

desenvolvimento de novas técnicas de migração por rotação de fase; 

buscar novas técnicas para atenuação de reflexões múltiplas, baseadas em 

soluções unidirecionais da equação da onda. 

67

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

ALMEIDA, R.S., 1996, “Modelagem e Migração Tridimensional Utilizando o Método 

das Diferenças Finitas”, Dissertação de Mestrado, PPPG/UFBA, Bahia, Brasil. 

BOECHAT, J.B.T., 2007, “Migração Reversa no Tempo 3-D Orientada ao Alvo por 

Síntese de Frentes de Onda”,Tese de Doutorado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

BOTELHO, M. A. B, STOFFA, P. L., 1988, Velocity analysis using Reverse Time 

Migration, (abstract):Eos, v.69,1326. 

BULCÃO, A., 2004, “Modelagem e Migração Reversa no Tempo”, Tese de 

Doutorado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

CERJAN, C., KOSLLOF, D., KOSLOFF, R., AND RESHEF, M., 1985, “A 

Nonreflecting Boundary Condition For Discrete Acoustic and Elastic Wave Equation", 

Geophysics, 50, 705-708. 

CHANG, W. F., and McMECHAN, G. A., 1987, “Elastic reverse time migration”, 

Geophysics, 52, 1365-1375. 

CLAERBOUT, J. F., 1985, Imaging the earth´s interior. Blackwell Scientific 

Publications Inc.. 

COSTA, J.L., 2006, "Migração Reversa no Tempo de Super-Sismogramas Visando 

Objetivos Localizados nos Flancos e Abaixo de Domos Salinos”, Dissertação de 

Mestrado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

CUNHA, P.E.M, 1997, "Estratégias Eficientes para Migração Reversa no Tempo Pré- 

Empilhamento 3-D em Profundidade pelo Método das Diferenças Finitas”, 

Dissertação de Mestrado, CPGG/UFBA, Bahia, Brasil. 

68

CUNHA, P.E.M, 2005, "Imageamento Sísmico por Propagação de Ondas no Limite de 

Altas e Baixas Freqüências”,Tese de Doutorado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

FARIA, E. L., 1986, "Migração antes do empilhamento utilizando propagação reversa 

no tempo”, Dissertação de Mestrado - CPGG / UFBA. 

FICHMAN, S., 2005, "Modelagem Sísmica em Meios Acústicos, Elásticos e 

Poroelásticos”, Dissertação de Mestrado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

FREIRE, R.M.L., 1988, "Migração por Mudança de Fase em Duas Etapas”, Tese de 

Doutorado, UFBA, Bahia, Brasil. 

GASDAG, J., 1978, Wave-equation migration with the phase shift method, 

Geophysics, 43, 1342-1351. 

GAZDAG, J. and SGUAZZERO, P., 1984, Migration of Seismic Data by Phase Shift 

plus Interpolation, Geophysics, 49, 124-131. 

LOEWENTAL, D., and MUFTI, I. R., 1983, Reverse-time migration in spatial 

frequency domain, Geophysics, 48, 627-635. 

LOGRADO, J.C.G., 2002, "Migração 2-D Pré-Empilhamento em Profundidade 

Utilizando Técnicas de Correção de Fase em Duas Etapas”, Dissertação de Mestrado, 

UFBA, Bahia, Brasil. 

Martins, E.O., 2003, "Modelagem Sísmica em Meios Complexos”, Dissertação de 


PALERMO, L. A. C., 2002, "Migração Reversa no Tempo: Uma Abordagem 

Multifocal”, Dissertação de Mestrado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

REYNOLDS, A. C., 1978, Boundary Conditions For the Numerical Solutions of 

Wave Propagation Problems, Geophysics, 43, 1099-1110. 

69

ROSA FILHO, J.C., 2002, "Modelagem Sísmica de Ondas Elásticas e Migração 

Reversa no Tempo em Meios Transversalmente Isotrópicos”, Dissertação de Mestrado, 

UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

SILVA, B.M., 2006, "Migração RTM, PSPI e Split-Step de Registro de Múltiplas 

Fontes: Imageamento em Meios com Altos Contrastes de Velocidade”, Dissertação de 


SILVA, J.J., 2002, "Migração Reversa no Tempo: Resolução em Levantamentos 

Sísmicos Interpoços”, Dissertação de Mestrado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

VIEIRA, J.M.B., 2005, "Migração Pré-Empilhamento por Rotação de Fase com 

Interpolação (PSPI) e Aplicações”, Dissertação de Mestrado, UFRJ/COPPE, Rio de 

Janeiro, Brasil. 

XAVIER, B.C., 2005, "Modelos de Propagação Acústica em Águas Rasas”, 

Dissertação de Mestrado, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil. 

70

APÊNDICE 

A possibilidade de ocorrência de estruturas petrolíferas de 

grande porte no Brasil 

João Victor Campos - Consultor de Petróleo 

Artigo Técnico – Boletim SBGF – nº. 2/07 

Os maiores campos de petróleo do mundo estão situados em estruturas anticlinais, 

na área - ou nas proximidades - da colisão de placas tectônicas convergentes. Após a 

colisão, as forças convergentes que impulsionam as placas continuam a agir, exercendo 

compressão, por dezenas ou mesmo centenas de milhões de anos, constituindo o fator 

fundamental na formação das estruturas anticlinais. Isto não implica, todavia, em dizer que 

todas as estruturas anticlinais resultem necessariamente desse tipo de esforço. Muitas 

derivam do tectonismo diastrófico, ou seja, daquele presente no embasamento. Altos 

estruturais no embasamento, de qualquer magnitude, formados após a deposição das 

camadas sedimentares sobrejacentes, ocasionam o dobramento dessas camadas, 

constituindo anticlinais, que também podem ser formadas por compactação diferencial 

concomitante com o soerguimento do alto. Estes últimos são os tipos mais comumente 

presentes nas bacias terrestres brasileiras. 

71

No Oriente Médio, a colisão entre as placas convergentes continentais Arábica e 

Eurasiana, tem expressão na superfície na extensa cadeia das montanhas Zagros, que 

bordeja a fronteira Irã-Iraque e se estende para o norte até a área do Mar Cáspio e, para o 

sul, penetra na Arábia Saudita. Já dentro do Golfo Pérsico-Arábico, essa anomalia deu lugar 

à formação (por compressão) de inúmeras grandes estruturas anticlinais, num lado e no 

outro da interface de colisão das placas, ou seja, em ambos os lados das montanhas Zagros. 

Mais de 60% das reservas mundiais de petróleo encontram-se dentro e aglomeradas 

ao redor do Golfo Pérsico-Arábico. De acordo com dados publicados na revista Oil and 

Gas Journal, somente a Arábia Saudita, com 261,9 biboer (bilhões de barris de óleo 

equivalente recuperável), abrange 25% desse total, seguindo-se o Iraque com 11%, e o 

Kuwait, Emirados Árabes e o Irã, com 9% cada. Na Arábia Saudita, com mais de 1.000 

poços perfurados, que, resultaram na descoberta de cerca de 80 campos de petróleo, a 

grande maioria em anticlinais, encontram-se os dois maiores campos de óleo do mundo: 

Ghawar, em terra, e Safaniya no mar (Golfo Pérsico-Arábico). O Campo de Ghawar é uma 

extensa estrutura anticlinal, cujo eixo maior atinge 283 km e o menor 32 km, o que lhe dá a 

fantástica área de 9.056 km2 (quase a área da Bacia do Recôncavo). Descoberto em 1948, 

em 2003 ainda possuía uma reserva de 70 biboer. O Campo de Safaniya, outro anticlinal, 

tem reservas estimadas em 35 biboer. Muitos outros exemplos de campos gigantes em 

anticlinais, ocorrem nos países acima mencionados. Vale mencionar ainda o Campo de 

Majnoon, descoberto pela Braspetro no Iraque, em 1974-1975, na área de Bássora e 

próximo à fronteira Irã-Iraque, que se situa dentro deste contexto e tem reservas estimadas 

em 25 biboer (?). Até recentemente, foi considerado o maior campo do mundo descoberto 

nos últimos 50anos. 

72

Dentro do enfoque da tectônica de placas, o Brasil se situa na Placa Sulamericana, 

divergente, isto é, que se separou por distensão (rifting), da Placa Africana há 135 milhões 

de anos, no Jurássico Superior. A abertura do Oceano Atlântico Sul se deu de sul para 

norte, até a altura da Bacia de Sergipe-Alagoas e daí, por transcorrência, até a Bacia da Foz 

do Amazonas, completando-se a separação no final do Aptiano, quando houve a 

comunicação com o Atlântico Norte. Isto quer dizer que não tivemos forças compressivas 

atuantes no lado oriental da Placa Sulamericana. 

A tectônica compressiva ocorre do outro lado do continente, onde a Placa 

Sulamericana (continental), que se move para oeste, colide com a Placa de Nazca 

(oceânica), que se move para leste, no Oceano Pacífico, dando origem à Cordilheira dos 

Andes. Neste processo de encontro de placas convergentes oceânica continental, a Placa de 

Nazca é subduzida, isto é, mergulha abaixo da Placa Sulamericana, sucumbindo para o 

interior da Terra, onde se desintegra. É de se esperar, por conseguinte, que estruturas 

anticlinais compressivas ocorram no lado ocidental da América do Sul, nas bacias 

sedimentares dos países limítrofes desta margem (interface convergente). 

No Brasil, algumas evidências de esforços compressionais foram observados em 

linhas sísmicas obtidas nas bacias do Acre (Cretáceo-Paleozóica), mais próxima da 

tectônica andina, e na Bacia do São Francisco (Proterozóica), nesta última por eventos 

ocorridos há mais de 600 milhões de anos e, por conseguinte, de difícil reconstituição. 

Nas bacias do Amazonas e Solimões observam se numerosas e pequenas estruturas 

anticlinais e/ ou dômicas agregadas a falhas verticais reversas, tal como ocorre nos campos 

de Juruá (gás) e Urucu (óleo/condensado), na Bacia do Solimões e nos campos de Azulão e 

Japiim (há muito sem notícias, ainda em avaliação ?), na Bacia do Amazonas. Segundo o 

geofísico brasileiro Fabiano Sayão Lobato, PhD, residente nos EEUU, tais estruturas, 

73

"foram formadas pela interação de dobramentos em diferentes direções, provocados por 

falhas transcorrentes ao longo dos eixos da bacia amazônica e falhas transcorrentes a eles 

conjugadas." Este trabalho de Sayão Lobato, Exploração para hidrocarbonetos na Bacia 

Amazônica, foi publicado em edição especial, pela Revista Brasil Mineral, no ano de 2000. 

O maior campo de óleo das bacias terrestres brasileiras é o Campo de Carmópolis, 

descoberto em 1963, na Bacia de Sergipe-Alagoas, sem nenhuma influência de esforços 

compressionais. A exploração efetiva da plataforma continental brasileira só se concretizou 

em 1968, isto é, 14 anos após a implantação da Petrobras, em maio de 1954, como 

conseqüência da fraca resposta obtida na exploração em terra. Naquela época (1954) o 

Brasil produzia cerca de 3% de suas necessidades diária de petróleo. Em 1968 esta relação 

era de 30%. 

A descoberta do Campo de Garoupa, no final de 1974, através do poço 1-RJS- 

9A, na Bacia de Campos, em lâmina d'água de 120 metros, marca o início das grandes 

descobertas no Brasil. A partir deste evento, em águas rasas, desencadeou-se uma grande 

atividade exploratória na plataforma continental brasileira, vindo a concentrar-se mais 

recentemente nas bacias de Santos, Campos e Espírito Santos, em lâminas deágua 

profundas (>400m) e ultra-profundas (>1.500m), principalmente na Bacia de Campos onde 

os resultados obtidos contribuem, hoje em dia, com 90% das necessidades diárias da 

demanda de óleo, que é de 2,2 milhões de b/D. O primeiro campo gigante descoberto na 

plataforma foi o Campo de Albacora, em 1985, em lâmina d'água superior a 200 metros. 

Os principais reservatórios da bacia de Campos são os turbiditos, um depósito 

sedimentar que consiste, tipicamente, de areia, siltito, e argila que colapsaram em forma de 

"avalanche", como resultado, principalmente, da erosão provocada por correntes marinhas 

74

agindo ao longo dos taludes que margeiam a plataforma continental. Esta massa de 

sedimentos, cuja densidade supera aquela da água que a cerca, é chamada corrente de 

turbidez. O depósito sedimentar resultante é o turbidito. Os turbiditos podem atingir 

dezenas de metros de espessura, com intercalações arenosas constituindo excelentes 

reservatórios de petróleo. A sua estruturação deveu-se à halocinese (movimentação do sal), 

ocasionada pelo basculamento da bacia. 

Abaixo, a lista dos maiores campos brasileiros de óleo e/ou gás; essas áreas 

correspondem aos limites dos respectivos ring fences acordados com a ANP e são maiores 

que as áreas ocupadas realmente pelos campos. 

Bacia Potiguar: 

- Canto do Amaro........................: 332 km2 

- Fazenda Belém..........................: 308 km2 

- Estreito......................................: 159 km2 

- Ubarana (mar)...........................: 120 km2 

Bacia de Sergipe-Alagoas: 

- Carmópolis................................: 156 km2 

- Pilar...........................................: 89 km2 

- Guaricema (mar)........................: 209 km2 

Bacia do Recôncavo: 

- Candeias...................................: 109 km2 

- D. João (terra+mar)..................: 85 km2 

Bacia do Espírito Santo: 

- Golfinho (mar).........................: 152 km2 

75

Bacia de Campos (mar): 

- Marlim Sul...............................: 884 km2 

- Marlim Leste............................: 332 km2 

- Marlim......................................: 258 km2 

- Roncador..................................: 398 km2 

- Albacora...................................: 455 km2 

- Albacora Leste..........................: 512 km2 

- Espadarte..................................: 728 km2 

- Jubarte......................................: 132 km2 

Bacia de Santos (mar): 

- Mexilhão...................................: 253 km2 

- Merluza.....................................: 51 km2 

Observação: É de se notar que nenhuma área ocupada por estes campos, 

individualmente, é superior a 1.000 km2. Entretanto, se considerarmos os três campos que 

compõem o "Complexo de Marlim" como um todo, podemos chegar a uma área em torno 

de 1.500 km2 e uma reserva conjunta que atinge cerca de 6,2 biboer. Individualmente, o 

maior campo brasileiro em área é o Marlim Sul, com cerca de 885 km2 (ring fence) e, o 

maior em reserva é o Campo de Roncador, com 3,15 biboer. Estes valores de reservas se 

referem aos volumes originais recuperáveis; hoje, com a produção continuada, são 

evidentemente menores. 

76

Conforme amplamente divulgado pela imprensa, devese enfatizar, por oportuno, 

que atualmente, está em andamento a perfuração de um poço em águas ultraprofundas 

(2.000m), na Bacia de Santos, operado pela Petrobras em associação com duas outras 

companhias estrangeiras, que objetiva testar a seção pré-sal (rift), recoberta por uma seção 

evaporítica de 2.000m de espessura. A estrutura foi delineada pela Petrobras nos anos 90, 

sendo formada por um proeminente alto estrutural, com área fechada estimada em 1.060 

km2, que poderá vir a se tornar, em caso de sucesso, no maior campo em área e quiçá em 

reserva, descoberto no Brasil. 

CONCLUSÃO 

Pelo exposto, não se deve esperar que ocorra alguma "área de bonanza" nas bacias 

sedimentares brasileiras. Os levantamentos não-exclusivos na plataforma continental 

descortinaram cerca de 400 novas oportunidades exploratórias, cuja contribuição, em 

termos de reserva, seria de aproximadamente 11,5 bilhões de barris de petróleo. 

Deve-se considerar ainda as possibilidades representadas pelas bacias paleozóicas, com 

suas grandes áreas ainda pouco exploradas, em decorrência principalmente dos entraves à 

prospecção sísmica decorrentes de condições geológicas adversas e fatores logísticos 

restritivos à exploração, como áreas de florestas presentes nas mesmas. A madura Bacia de 

Illinois, nos Estados Unidos, descoberta em 1886 é uma bacia paleozóica intracratônica de 

subsidência lenta à semelhança da Bacia do Paraná, no Brasil. Até 1990, cerca de 4 bilhões 

de barris de óleo e 4 trilhões de pés cúbicos de gás natural associado já haviam sido 

produzidos daquela bacia. Os volumes de petróleo estão contidos em grandes 

estruturas anticlinais, em trapas com importantes componentes estratigráficos. Também, ali 

ocorrem trapas combinadas estratigráficas-falhas, porosidade dia-genética e pinch-outs. A 

77

acia de Illinois tem uma área de 155.000 km2, enquanto a bacia do Paraná tem cerca de 

1.120.000 km2, quase 10 vezes mais. A bacia de Illinois foi classificada por Klemme 

(1971) no Grupo I, ou seja, aquelas que contribuem com menos de 1% no contexto mundial 

de produção de petróleo. A bacia do Paraná foi inserida nesse contexto também no Grupo I 

de Klemme (Ponte et al., 1978); o mesmo conceito se aplica às bacias do Parnaíba e 

Amazonas. Em termos de Brasil, precisamos saber o quanto representa este "menos de 1%" 

de contribuição das nossas bacias paleozóicas, enquadradas no Grupo I de Klemme. 

78

MODELAGEM SSMICA DE ONDAS ELSTICAS E ... - LAMEMO - UFRJ

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