Lista 2

FMT 402 – 2 o . Lista de exercícios
3 a
1- Os vetores primitivos da rede hexagonal podem ser escritos como: a a xˆ yˆ
2 2
3 a
; b a xˆ yˆ
2 2
; c c zˆ
3 2
. (a) Mostre que o volume da célula primitiva é V a c ;
2
2π
2π
(b) Mostre que os vetores primitivos da rede recíproca são: A xˆ yˆ
3a
a
;
2π
2π
B xˆ yˆ
3a
a
2π
; C zˆ
c
, ou seja, a rede hexagonal é a sua própria recíproca, mas
com uma rotação de eixos. (c) Descreva e desenhe a primeira zona de Brillouin da rede
hexagonal.
2- Suponha que em uma rede linear há pontos de espalhamento idênticos a cada
ponto da rede rm = m a, onde m é um número inteiro e a é o vetor primitivo da rede. A
amplitude de radiação espalhada será proporcional a F = exp [-i m a k ]. A soma
1 exp [ i M ( a Δk)]
sobre M pontos da rede é: F . (a) A intensidade de luz espalhada
1 exp [ i ( a Δk)]
é proporcional a | F | 2 2
sen [ 1
2
M(
a Δk)]
. Mostre que F F*F
2
2 . (b) Sabemos que um
sen [ 1
2
( a Δk)]
máximo de difração aparece quando a k = 2 h, onde h é um número inteiro. Vamos
redefinir k tal que a k = 2 h + , onde dá a posição do primeiro zero do numerador
na expressão para | F | 2 . Mostre que = 2 /M, tal que a largura do pico de difração é
proporcional a 1/M e pode ser extremamente estreito para valores macroscópicos de M.
3- A rede do diamante é fcc com dois átomos por ponto de rede, nas posições (000) e
(¼¼¼). Considere esse cristal como uma rede cúbica simples com 8 átomos por célula.
(a) Encontre o fator de estrutura S desse sistema; (b) Encontre os zeros de S e mostre
que as direções permitidas para a difração satisfazem u + v + w = 4n, onde u,v,w são
pares e n é um inteiro, ou então u,v,w são ímpares.
4- Experimentos mostram que o pico de difração de raios X de índice (2 0 0) do cristal
fcc de C60 é muito fraco (baixa intensidade). Suponha que a distribuição de cargas na
molécula de C60 seja representada por uma distribuição uniforme sobre a superfície de
uma esfera de raio R = 3,5 Å. O parâmetro de rede do cristal de C60 é a = 14,11 Å.
Calcule o fator de forma do C60 nessa aproximação e mostre que o fator de estrutura do
plano (2 0 0) é de fato muito menor do que o do plano (1 1 1).
5- Considere um cristal bidimensional, como na figura abaixo. As bolinhas brancas e
pretas simbolizam dois tipos de átomos, respectivamente A e B, com distância de
primeiros vizinhos a.
(a) Desenhe uma rede de Bravais para esse sistema e forneça vetores primitivos
compatíveis com sua escolha. Represente os vetores primitivos vetorialmente.

(b) Desenhe a célula de Wigner-Seitz e calcule a sua
área.
(c) Determine as posições dos átomos da base desse
cristal no interior da célula primitiva.
(d) Calcule os vetores primitivos da rede recíproca.
Desenhe a rede recíproca e a primeira zona de Brillouin.
(e) Dados os fatores de forma fA e fB dos átomos,
encontre o fator de forma do cristal para difração de raios
X.
6- Nitrogênio gasoso é composto por moléculas N2, com uma alta energia de ligação
de 954 kJ/mol. Abaixo de 36K o nitrogênio solidifica, com uma molécula de N2 por ponto
de rede. Há duas formas cristalinas: -N2, de rede fcc com parâmetro de rede a=5,660 Å,
e -N2, de estrutura hcp com parâmetros de rede a = 4,036 Å e c=6,630 Å. Esses são
sólidos de van der Waals: os parâmetros de Lennard-Jones para o nitrogênio são = 0,82
kJ/mol e = 3,90 Å.
(a) Calcule a razão entre as densidades do nitrogênio sólido nas duas formas
cristalinas.
(b) Calcule a energia de interação van der Waals entre duas moléculas de N2 quando
seus centros estão separados pela distância de primeiros vizinhos R na rede fcc (trate
cada molécula de N2 como uma esfera). Compare esse valor com a energia cinética
(energia de ponto zero) de uma partícula de massa igual à massa de N2 presa em uma
caixa de comprimento igual à distância R.