Calculo EaD - Kiron - Unesc

Universidade do Extremo Sul Catarinense
Cálculo I
Texto 2
É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?
A idéia de função originou-se na resposta matemática a esta pergunta e se desenvolveu com os
estudos do italiano Galileu Galilei, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos. Em
qualquer movimento, seja de uma bola jogada que cai, de um avião, de um animal no
campo, ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: de tempo e de espaço. A cada
instante do primeiro conjunto vai corresponder uma, e somente uma posição de um determinado
corpo em movimento. A partir desta idéia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos os
movimentos numéricos em que essa relação especial acontece.
O conceito de função e a sua representação gráfica, é um dos mais importantes em Matemática e é ferramenta
poderosa na modelagem de problemas. Na busca de entendimento de fenômenos dos mais variados, este conceito se faz
presente.
Veremos nesta Unidade:
É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo? ................... 16
1. A matemática e os gráficos....................................................... 17
2. Coordenadas.............................................................................. 17
3. O que é uma função? ................................................................ 20
4. Funções Reais de Variáveis Reais............................................ 24
5. Domínio de Funções Reais: ...................................................... 25
6. Representação gráfica de uma função: ................................... 27
7. Operações com funções............................................................. 30
9. Classificação de funções ........................................................... 32
Para você refletir:

1. A matemática e os gráficos
A matemática está mais presente no seu dia-a-dia, do que você pensa. Veja por exemplo, os
gráficos. Já percebeu que eles são cada vez mais usados na comunicação. Podemos encontrá-los em
vários tipos de publicações de estudo e trabalho, como as revistas, jornais, manuais de aparelhos
diversos, etc., expressando diversos dados e situações do tipo: Relatório pesquisa, de desempenho
em empresas, análises governamentais, pesquisas de opinião pública, balanços financeiros de
instituições e outros. Por isso é tão importante saber interpretar um gráfico. Mas, afinal, o que são
gráficos? De forma simplificada, podemos dizer que os gráficos são formas de apresentar diversas
informações por meio de um desenho. Existem diversos tipos de gráfico. Vamos considerar uma
situação-problema e representá-la em gráficos.
Numa pesquisa eleitoral realizada pelo IPAT da Unesc, abrangendo os municípios da AMREC,
perguntou-se as pessoas em quem votariam para governador nas próximas eleições. Foram
apresentados quatro nomes, aqui indicados por: “Candidato A”, “candidato B”, “Candidato C” e
“Candidato D”. Podemos visualizar o resultado dessa pesquisa nos gráficos abaixo:
Gráfico 1: Gráfico de Barras - nesse tipo de gráfico, quanto mais alta a barra, maior é a quantidade
de pessoas que ela está representando. Vemos que o “Candidato C” foi o mais votado. Percebemos
que o “Candidato D” recebeu um número bastante reduzido de votos.
Gráfico 2: Gráfico de Setores - nesse tipo de gráfico, quanto maior a fatia, maior é a quantidade de
pessoas que ela está representando. Percebemos facilmente que os mais votados em ordem
decrescente são os candidatos: C, B, A e D.
50
40
30
20
10
Leste
0
26,4
Candidato Candidato Candidato Candidato
A B C D
Gráfico 1 Gráfico 2
49,3
3,9
20,4
Candidato A
Candidato B
Candidato C
Candidato D
Os dois modelos de gráficos apresentados não são únicos. Com os sistemas informatizados,
podemos construir diversos modelos que expressam dados e situações. A parte da Matemática que
trata da coleta, organização e análise de dados numéricos chama-se estatística. Na organização dos
dados numéricos, a estatística usa tabelas, gráficos de vários tipos, porcentagens, médias e outros.
Vamos conhecer um pouco sobre os gráficos cartesianos! Poderíamos dizer que vamos tratar um
pouco da “visualização de relações entre números”.
Para você refletir:
2. COORDENADAS
17

Quando precisamos localizar pontos sobre um plano, que pode ser um mapa ou um gráfico,
utilizamos duas retas ortogonais – são retas numéricas que formam entre si um ângulo reto (ângulo
de 90º). Essas retas são chamadas de eixos, e a unidade de medida utilizada para marcar os
números, é a mesma para os dois eixos. Essas retas são desenhadas num plano denominado de
plano cartesiano, também conhecido como sistema de coordenadas cartesianas ou sistema de
coordenadas retangulares.
Um pouco da história: O conceito de plano cartesiano foi introduzido no século XVII pelo
matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650), para representar graficamente o par
ordenado 1 (xo;yo).
Descartes, inventou uma forma de visualizar números e relações entre eles, que ficou conhecido
como plano cartesiano – um sistema de eixos coordenados. Consiste basicamente de dois eixos
orientados que se interceptam perpendicularmente (segundo um ângulo reto), num ponto
denominado de origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas ou eixo x e o eixo
vertical é denominado eixo das ordenadas ou eixo y. Denominamos o ponto O de origem do plano
cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O (0,0).
Com o plano cartesiano, Descartes criou a ferramenta visual para o que veio logo após: o cálculo
diferencial e integral. O cálculo representou uma verdadeira revolução na matemática, do mesmo
modo que foram revolucionárias as suas aplicações em outras ciências, a exemplo da física, da
biologia e da astronomia e também em outras áreas, como na economia e até na psicologia.
A representação geométrica das coordenadas no plano:
O sistema cartesiano ortogonal é um sistema constituído por dois eixos (retas orientadas), x e y,
perpendiculares entre si.
O eixo x, em geral, é o eixo horizontal, é denominado eixo das abscissas e o eixo y, geralmente é o
eixo vertical, é chamado eixo das ordenadas.
Cada ponto P no plano tem associado a ele um par ordenado (x, y) de coordenadas, na qual x indica
a sua abscissa e y indica a sua ordenada. Observe a figura abaixo:
y
y • P(x, y)
x x
ordenada do ponto P
abscissa do ponto P
Para construir o gráfico de uma função y = f(x), construímos uma tabela na qual atribuímos valores
do domínio à variável x e obtemos y usando a expressão matemática que define a função e/ou
1 Par ordenado é um conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x;y) onde x e y são números
reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Por exemplo: no par ordenado (6,-3) o número 6 é a
abscissa e o número (-3) é a ordenada.
18

elação. A cada par ordenado (x, y), obtido da tabela, no plano associamos um ponto. O gráfico da
função y = f(x) é o conjunto de todos os pontos (x, y).
No plano cartesiano, o eixo das abscissas (eixo x) representa o domínio e o eixo das ordenadas
(eixo y) representa o contradomínio da função.
Para determinar o domínio e o conjunto imagem de uma função através do gráfico, projeta-se o
gráfico (a curva) sobre os eixos x e y, respectivamente.
Note que:
19
O plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que
são denominadas quadrantes. Temos então o seguinte quadro
resumo, representado abaixo:
QUADRANTE ABCISSA ORDENADA PAR ORDENADO
1º quadrante +x +y (+x,+y)
2º quadrante -x +y (-x,+y)
3º quadrante -x -y (-x,-y)
4º quadrante +x -y (+x,-y)
Representação dos pares ordenados no plano cartesiano:
Para determinarmos um ponto P associado ao par ordenado (3,4), por exemplo, projetamos uma reta
paralela (pontilhada) ao eixo y, passando por x em 3 e projetamos uma reta paralela a x, passando
por y em 4. O ponto de encontro das projeções é o ponto P procurado. Veja na figura abaixo:
y
4 P (3,4)
0 3 x
Cada par ordenado representa um ponto P no plano cartesiano.
Atividade 1: Represente no plano cartesiano os seguintes pares ordenados:
1 1
A ( -1, 2 ), B ( 6, 7), C ( 6,-5), D ( 0,0), E ( 0,-5), F ( 4, 0), G ( , 5 ), H ( 4 , -3 ), ( , 49 )
2
3

Para você refletir:
3. O que é uma função?
Um exemplo tirado do futebol: Talvez você já tenha ouvido um comentarista analisar um determinado chute ao gol,
durante uma partida de futebol e dizer que: “A velocidade da bola era de aproximadamente 90 km/h, quando foi
espalmada pelo goleiro”. O que isso significa? Como se faz essa estimativa de velocidade 2 ? Para responder a esta e
outras perguntas, utilizamos funções.
O conceito de função: Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y. O conjunto de
valores para x é determinado, e a cada valor x está associado um e somente um valor para y.
A relação é expressa por y = f(x).
O conjunto de valores de x é dito domínio da função.
As variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente.
Assim, dados dois conjuntos quaisquer A e B, não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em
B, representada por f : A → B, (lê-se : f de A em B) ou por f: x → y (f que leva x a y) a qualquer
relação binária 3 que se estabelece entre A e B de tal modo que para todo elemento de A está
associado um único elemento em B.
Esta relação e/ou lei especial é denominada função. Se nomearmos os elementos do conjunto A por
x e os elementos do conjunto B por y temos que:
f é uma função se, e somente se, para ∀ x ∈ A temos em correspondência um único y ∈ B.
O elemento y é chamado de imagem de x pela função f, e denota-se y = f(x).
Em toda função f: A →B, o conjunto A é o domínio e, o conjunto B é o contradomínio da
função. Indica-se: domínio de f = D(f) = A; contradomínio de f = CD(f) = B e conjunto
imagem de f = Im(f) ou I(f) ⊂ B.
2 Provavelmente, a estimativa do comentarista foi calculada com um programa de computador da seguinte forma: pelo
vídeo do chute, é anotado o instante em que o pé do jogador toca a bola e a posição em que ele está no campo; é
anotado também o instante em que o goleiro espalma a bola e a posição do goleiro. Assim, se obtém a distância que a
bola percorreu e o tempo que levou para isso. O que é a velocidade da bola, então? Se, para simplificar, não
considerarmos que o atrito do ar diminui a velocidade da bola e considerarmos que a velocidade da bola é constante ao
longo de toda sua trajetória então podemos definir que “Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de
espaço e Δ x
percurso”. Em linguagem matemática temos: Velocidade = ou v = = . Em nosso problema, foi dito
tempo t Δt
que a velocidade da bola equivalia a 90 Km/h que vamos transformar em metros por segundos pois as medidas de um
campo de futebol são em metros e cada chute acontece em frações de segundos. Assim, voltando a linguagem
matemática, temos:
1. Convertendo grandezas: 1 km = 1000 metros; 1 hora = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundos.
2. Aplicando a fórmula da velocidade:
e Δ x 90x1000m
90.
000m
m
V= = =
=
= 25 . Isto quer dizer que a bola percorre 25 metros a cada segundo. E,
t Δt
60x60seg
3.
600seg
s
percorre 50 metros a cada 2 segundos, 75 metros a cada 3 segundos, etc. As relações entre os números que indicam
espaço (metros) e tempo (segundo) forma uma função que pode ser representada por e = 25 t.
3
Dados dois conjuntos A e B, definimos como uma relação A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é, se ℜ é uma
relação de A em B então ℜ ⊂ A x B.
20

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, é necessário que a cada elemento x ∈
A esteja associado um único elemento y ∈ B, podendo entretanto existir elemento y ∈ B que não
esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A. Observe a representação no
diagrama:
x y
A y = f(x) B
A = Domínio da função f
B = Contradomínio da função f
Note que, a notação y = f(x), indica que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x
através da função f.
Mostrando no diagrama de Venn, relações que são funções e relações que não são funções:
Exemplos de função: Contra-exemplos de função:
1. A B
a•
b•
c•
d•
⇒ Esta relação e/ou associação é função.
2. A B
a•
b•
c•
d•
⇒ É função.
3. A B
a•
b•
c•
d•
•1
•2
•3
•4
•2
•3
•4
1
•2
3
4
1. A B
Esta associação não é função, pois o elemento b de
A (b ∈ A) tem dois correspondentes no conjunto
B, que são os elementos 1 e 2.
2. A B
Esta associação, também, não é função em A, visto
que o elemento a ∈ A não tem correspondente no
conjunto B.
⇒ É função.
• Analisando os exemplos acima, podemos observar que nas relações e/ou associações definidas
como funções, cada elemento de A tem um único correspondente em B, ou seja, cada elemento
de A está associado a um único elemento de B.
• Visualizando no diagrama de Venn, para ser função, de cada elemento de A deve partir apenas
uma única flecha.
b•
c•
d•
a
b•
c•
d•
•1
•2
•3
•4
• 2
• 3
• 4
21

• O domínio, contradomínio e o conjunto imagem das funções 1, 2 e 3 são:
(1) D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) = {1, 2, 3, 4}.
(2) D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) = {2, 3, 4}.
(3) D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) = {2}
Observe que: Numa função f: A → B, o conjunto A é chamado domínio da função (D), o conjunto
B é denominado contradomínio (CD) e o conjunto formado pelos correspondentes de A em B é o
conjunto imagem (Im) da função.
A variável x é denominada variável independente e pertence ao conjunto A. A variável y, que
pertence ao conjunto B é chamada variável dependente.
Note que: Uma função f está definida quando são dados seu domínio, seu contradomínio
e a lei de associação y = f(x).
Exemplo 1: Considerando um conjunto A = { 1, 2, 3 } e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Se estabelecermos
uma relação entre A e B de tal forma que para ∀ x ∈ A temos em correspondência um
y ∈ B tal que y = 2x + 1, temos uma função f(x) = 2x +1
1
2
3
1
3
5
7
9 11
Conjunto Domínio:
Conjunto Imagem:
Contra-Domínio:
A = {1,2,3}
{3,5,7}
B = {1,3,5,7,9,11}
Dizemos que:
3 é a imagem de 1 pois f (1) = 2 · 1 + 1 = 2 + 1 = 3;
5 é a imagem de 2 pois f (2) = 2 · 2 + 1 = 4 + 1 = 5;
7 é a imagem de 3 pois f (3) = 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7.
Note que, a expressão algébrica de uma função permite que, ao substituir a variável x por um
número do domínio, obtenha-se a sua imagem f (x).
Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {-1, 0 ,1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}.
Seja a relação dada por y = x + 1, com x ∈ A e y ∈ B.
A B
x ∈ A y ∈ B
-1
• 1
-1 0
0•
• 2
0 1
1•
• 3
1 2
2•
• 4
2 3
Este exemplo não expressa uma função de A em B, pois o elemento (–1) ∈ A e, não tem
correspondente em B.
Exemplo 3: Dados os conjuntos A = {-2, -1 ,1, 3}, B = {-1, 1, 3, 4, 5} e seja:
f: A → B dada por f = {(x, y) ∈ A x B⎪ y = -x + 2}.
22

x ∈ A y ∈ B
-2 4
-1 3
1 1
3 -1
A B
Este exemplo expressa uma função de A em B, pois cada elemento de A tem um único
correspondente em B.
O domínio de f é: D(f) = A = {-2, -1, 1, 3}.
O contradomínio de f é o conjunto B.
O conjunto imagem de f: Im(f) = {-1, 1, 3, 4}.
Exemplo 4: Sendo A = {-3, 0, 1, 4, 5}, B = IN e f: A → B definida por:
f = {(x, y) ∈ A x B⎪ y = x 2 + 2}.
x ∈ A y ∈ B
-3 11
0 2
1 3
4 18
-2 •
-1•
1•
3•
-3 •
0•
1•
4•
Este exemplo expressa uma função de A em B, pois cada elemento de A tem um único
correspondente em B.
O domínio de f é: D(f) = A = {-3, 0, 1, 4, 5}.
O contradomínio de f é o conjunto IN.
O conjunto imagem de f: Im(f) = {2, 3, 11, 18, 27}.
Exemplo 5: Um atleta que corre 8 metros por segundo, tem o seu movimento representado
algebricamente por f (x) = 8x. Assim, pode-se prever o percurso a ser percorrido em relação ao
tempo. Vejamos:
• Após 2 segundos (x=2) sua posição deve corresponder à f (2)=8.2=16 metros.
• Após 4 segundos (x=4) sua posição deve corresponder à f (4) = 8.4 = 32 m.
• Após 10 segundos (x=10) sua posição deve corresponder à f (10)=8.10=80 m.
x f(x) = 8x
2 f(2)=8.2=16
4 f(4)=8.4=32
10 f(10)=8.10=80
…. ………..
Algebricamente, podemos representar esta função dessa forma: f(x) = 8x. Mas, existem outras
formas de representar a mesma função, que são:
F(x) = 8x ou f(x) = 8x y = 8x F : A → B x → 8x
•-1
• 1
• 3
• 4
•5
•18
• 3
• 2
• 11
23

Veja mais:
Atividade 1
Atividade 2
Problemas
Situações concretas: Exemplos de experimentos com materiais concretos, onde
aparecem relações funcionais entre as variáveis envolvidas. Estas atividades
objetivam facilitar a compreensão do conceito de função. Na maioria das
situações do cotidiano a função envolvida é do tipo f(x) = ax + b com a e b
constantes, porém, aqui apresentaremos também funções não-lineares.
(criar link para as atividades e os problemas – estão no arquivo com o nome de TC2a, TC2b e TC2c).
Exemplo 7: Seja f: IR → IR definida pela lei y = f(x) = x 3 – 1. Calcule f(-1) + f(1) – f(0).
Resolução: Sabemos que o domínio de f ou seja D(f) = IR. Calcular f(-1) significa achar
a imagem de f quando o domínio é igual a (-1) ou seja quando x = -1. Assim, para
calcular f(-1) devemos substituir a variável x na lei pelo seu valor (–1). Veja:
• Se f(x) = x 3 – 1 então f(-1) = (-1) 3 – 1 = -2. Portanto, (-2) é imagem de (-1) pela
função f.
Para calcular f(1) e f(0) deve-se proceder de forma análoga ao calculo de f(-1). Então:
f(-1) = (-1) 3 – 1 = -2
f(1) = 1 3 – 1 = 0
f(0) = 0 3 – 1 = -1
Lembre-se que:
Então f ( −1) + f ( 1)
− f ( 0)
= −2
+ 0 − ( −1)
= −2
+ 1 = −1
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma
fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do
contradomínio.
Em diversos momentos de nosso cotidiano, usamos o conceito de função. Para estabelecermos
algumas relações, é bom saber os tipos de variáveis que existem: se são discretas e/ou contínuas.
A variável discreta é a que assume valores num subconjunto dos números naturais. E uma variável
contínua é a que assume valores num subconjunto dos números reais.
4. Funções Reais de Variáveis Reais
Uma função f é uma função real de variável real quando o seu domínio e contradomínio são
formados pelo conjunto dos números reais (IR), ou seja, D(f) ∈ IR e CD(f) ∈ IR. Indica-se:
f : IR → IR
Assim, uma função f: IR → IR é denominada função de variável real. Na prática, toda função real
de variável real é indicada apenas pela lei y = f(x) que a define. O contradomínio é o sub-conjunto
dos números reais, ou seja, CD(f) = IR.
Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos como contradomínio CD(f) = IR e
como domínio, D(f) = IR * , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe
divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também IR * , já que se y = 1/x, então x = 1/y e
portanto y também não pode ser zero.
24

Exemplos complementares:
Consideremos as quatro funções reais de variáveis reais:
1) f(x) = x – 1/3; 2) f(x) = x 2 – 4x + 4; 3) y = -x; 4) x → 4x 2 – 7
As quatro funções têm domínio e contradomínio iguais, ou seja: D(f) = CD(f) = IR. O
conjunto imagem das funções 1, 3, e 4 também é o conjunto dos reais, ou seja Im (f) =
IR. Na função 2, a Im(f) está contida no conjunto dos números reais, ou seja Im(f) = {x
∈ IR ⏐ x ≥ -4}, conforme veremos ao estudar a função quadrática.
Lembre-se que: para existir uma função, todo valor atribuído a variável x do domínio tem que
possuir uma imagem y no contradomínio e, esta imagem é única.
5. Domínio de Funções Reais:
Podemos estabelecer quais os valores reais possíveis para x, que representam o domínio a partir de
funções definidas.
Existem funções nas quais nem todos os números reais têm uma imagem real pela função. Nesse
caso, o seu domínio não é mais o conjunto dos números reais (IR) mas, é um subconjunto A de IR
formado por números que têm imagem real. Indicamos a função como:
f : A → IR, para A ⊂ IR
2
x − 2x
+ 5
Exemplo1: Considere uma função real, definida por f(x) =
x −1
Observe que, para x = 1 a função não tem imagem, pois o denominador de uma fração
1 21·
5
não pode ser zero ou seja: f (1) =
1 1
2
− + 1 − 2 + 5 4 4
= = (não existe solução ).
− 0 0
Fique atento: Neste exemplo, o domínio da função não é mais o conjunto dos números reais
(IR) mas, é um subconjunto A de IR formado por números que têm imagem real. Assim, a função
f(x) tem como Domínio o conjunto dos números reais diferentes de 1.
Em linguagem matemática D(f) = A = {x ∈ IR ⏐x ≠1} ⊂ IR ou A = IR – {1}.
Vamos conhecer os casos mais comuns de problemas de domínio de funções:
Caso 1 Caso 2 Caso 3
r(
x)
f (x) = ⇒ d (x) ≠ 0;
d(
x)
f (x) = par
r ( x)
⇒ r (x) ≥ 0;
r(
x)
f (x) = ⇒ d (x) > 0;
par
d(
x)
Exemplos x
f (x) = ⇒ ⇒ 2x-3≠ 0 f (x) =
2x − 3
4 2 x −1
⇒ x 2 - 1 ≥ 0 f (x) =
2
5x
⇒ -x+3 > 0
− x + 3
Domínio D(f) = {x ∈ IR ⏐ x ≠ 3/2} D(f) ={x∈IR ⏐x ≤ -1ou x ≥ 1} D(f) = {x ∈ IR ⏐ x < 3}
4 4
Porque não existe f(1)? Vejamos: Se f(1) = então 0· f(1) = 4. Esta igualdade não é verdadeira pois não existe
0
número que multiplicado por zero resulta em 4.
25

Exemplos Complementares:: Determinar o domínio das seguintes funções:
a) f(x) =
−1
x + 2
b) g(x) = 3x − 6 .
c) g(x) =
d) h(x) =
− 2x
− 8
x + 3
1
2
x −
4
Resolvendo: Como divisão por 0 (zero) não existe, o denominador tem
que ser diferente de 0 (zero). Então: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2. Portanto: D(f) =
{x ∈ IR⏐ x ≠ -2}. Também podemos representar por D(f)= IR – {-2} ou
também por D(f)= (-∞, +∞) – {-2}.
Resolvendo: A raiz quadrada de número negativo não existe no campo
dos Reais, somente no campo dos números complexos. Como estamos
trabalhando com domínio real, então, por exemplo, − 4 ∉ IR. Logo, o
radicando da raiz que é (3x-6) deve ser maior ou igual a zero. Assim,
fazemos:
3x – 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. Portanto: D(g) = {x ∈ IR⏐ x ≥ 2} = [2, +∞).
Resolvendo: Como visto anteriormente, devemos ter:
-2x – 8 ≥ 0 ⇒ x ≤ -4 condição (1)
x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3 condição (2)
A solução final, deve satisfazer as duas condições. Assim, D(g) = (-∞, -
4] = {x ∈ IR⏐ x ≤ -4}
Resolvendo: Temos duas condições: (x 2 – 4) ≠ 0 e (x 2 – 4) ≥ 0. Para
satisfazer as duas condições, devemos ter: x 2 ⎧x
> 2
– 4 > 0 ⇔ ⎨ . Então,
⎩x
< −2
o D(h)={x∈IR⏐x2} = (-∞, -2[ U ]2, +∞) .
e) f(x) = x 5 – 2x 3 + 2 Resolvendo: Como nesta expressão qualquer operação é válida com os
números reais, temos que D(f) = IR.= (-∞, +∞).
Observe que: Em todos os exemplos o contradomínio é o conjunto IR.
Tente você:
Atividade 2: Procure estabelecer quais os valores reais possíveis para x, que representam o domínio
das funções abaixo:
x −1
a) f ( x)
=
b) y = 15
1
c) y =
d) f (x) =
2x
− 5
6x
+ 1
x
5
− x
+ 7
26

6. Representação gráfica de uma função:
Para compreender a representação gráfica de uma função, vejamos alguns exemplos:
Um eletrocardiograma é um registro gráfico de tipos de batimentos
cardíacos (y) num certo intervalo de tempo (x). A partir deste
registro o médico pode avaliar o estado do coração de seu paciente,
podendo diagnosticar eventuais doenças.
27
Um sismógrafo é um aparelho que registra
flutuações da crosta terrestre (y) no decorrer do
tempo (x). Este registro tem representação
gráfica a partir da qual os especialistas podem
prever perturbações como terremotos ou
maremotos e suas intensidades.
Os exemplos acima, são representações gráficas de situações-problema que mostram uma relação entre duas variáveis.
A cada ponto do gráfico estão associados dois números.
Na linguagem matemática, as funções, normalmente são representadas graficamente a partir de
sentenças definidas. Assim, dada uma função f : A → B definida por y=f(x), podemos representar
os pares ordenados (x,y)∈ f onde x∈A e y∈B, num sistema de coordenadas cartesianas.
A relação entre as variáveis x e y tem uma representação, de grande apelo visual, que evidencia
propriedades da função. Evidencia, por exemplo se as variáveis estão em relação crescente (isto é,
aumento em x corresponde a aumento em y) ou se a variação de y é maior ou menor que a variação
de x, etc. Esta representação é o gráfico da função.
6.1- O conceito do gráfico de uma função:
Dada uma função y = f(x).
Consideramos no plano de sistema de coordenadas
cartesianas, o conjunto de pontos (x,y).
Este conjunto é denominado gráfico da função f.
Veja, na figura ao lado, definida por f(x) = - x + 2:
Vamos considerar dois exemplos:
(a) f : IR → IR definida por f(x) = x + 1.
(b) f : IR → IR definida por f(x) = x 3 .
Essas funções podem ser representadas na forma de gráficos, num sistema de coordenadas
cartesianas 5 . Observe os gráficos destas funções:
5 Lembre-se que: O sistema de coordenadas é formado por dois eixos, perpendiculares entre si: o eixo da variável
independente x (eixo das abscissas) e o eixo da variável dependente y (eixo das ordenadas). A origem do sistema ou o
ponto de interseção entre os eixos x e y é o par ordenado (0,0).

f : IR → IR definida por f(x) = x + 1 f : IR → IR definida por f(x) = x 3
Veja mais exemplos:
f : IR* → IR definida por f(x) = 1
x
f : IR → IR. É uma função real de variável real
Note que: No gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio da função.
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagem da função.
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função, intercepta o gráfico da
função num único ponto.
Isto significa que: Para cada valor atribuído a x do Domínio, existirá uma única imagem y.
A interpretação de gráficos é muito importante para a compreensão do conceito de função. Para
você saber mais sobre isso, consulte os textos complementares e os livros indicados na Bibliografia.
Exemplos complementares:
(a) Construir o gráfico de f: IR → IR, dada por f(x) = -2x + 1.
• Neste caso, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais, isto é: D(f) = IR. Para
construir a tabela devemos escolher alguns valores para a variável x.
x y
2 -3
1 -1
0 1
-1 3
Representando f no plano:
Devemos localizar os pontos
(2,-3); (1,-1); (0,1); (-1,3) e (-2,5) no
plano e ligá-los ⇒
28

-2 5
Im(f) = IR.
(b) Construir o gráfico de f(x) = x 2 .
• O domínio da função é o conjunto de todos os números reais, isto é: D(f) = IR. Para construir a
tabela devemos escolher alguns valores para a variável x.
• Construindo a tabela e representando a função no plano cartesiano:
X y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
Colocar os pontos cujos pares ordenados
são (-2, 4); (-1, 1); (0, 0); (1, 1) e (2, 4) e
construir a figura ligando-os ⇒
Im(f) = [0, +∞)
⎧x,
se(
x)
≥ 2
(c) Construa o gráfico de f(x) = ⎨
⎩1,
se(
x)
< 2
Como a função é definida por duas sentenças, devemos construir uma tabela para cada.
Para x ≥ 2: Para x < 2: A representação gráfica:
X y
x y
2 2 1,999.. 1
3 3 0 1
4 4 -1 1
Im(f) = {1}∪ [2, +∞).
Os pontos extremos das semi-retas que representam as funções, (2, 2) e (2,1) devem caracterizar os
intervalos: fechado (para a sentença x≥ 2) e aberto (para a sentença x

Não é função É função É função
Fig a Fig b Fig c
O gráfico da Fig (a), definido por várias sentenças, não representa uma função pois as retas verticais
cortam o gráfico em mais de um ponto.
Os gráficos das Fig (b) e (c) representa funções, já que a reta vertical corta o gráfico em, apenas, um
ponto. Os gráficos representam uma função modular (Fig b) e uma função definida por várias
sentenças (Fig c).
6.2- Os zeros ou raízes de uma função:
Os zeros ou raízes da função são os valores de x ∈ D(f) tal que f(x) = 0 ou, são os valores
numéricos do domínio, cuja imagem é zero.
No gráfico, as raízes são as abscissas dos pontos onde o gráfico (a curva ou a reta) corta o
eixo x.
Exemplo 1: Determine a raiz de
f(x) = 2x -6.
Fazendo:
f(x)=0, temos: 2x-6=0 ⇒ x=3.
Portanto, a raiz de f(x) = 2x-6 é 3.
Logo, o gráfico dessa função
cortará o eixo x em x=3.
7. Operações com funções
Podemos realizar determinadas operações com as funções, de forma similar a várias operações que
fazemos com os números (adição, subtração ou multiplicação). Assim, dadas as funções f e g, o
número real k, podemos definir a soma (f + g), a diferença (f – g), o produto (f.g) e o quociente (f/g)
da seguinte forma:
30

(i) Adição/subtração de funções: f(x) ± g(x) = (f ± g )(x)
(ii)
Multiplicação de uma função por um número real k: (k) f(x) =(kf) (x) = k.f(x).
Vamos verificar as operações com o uso de exemplos:.
Exemplo 1: Se f(x)=-x+2 e g(x)= 2
2 +
x
, qual a função que representa f+g?
Para resolver esse exemplo, somamos membro a membro e obtemos como resposta
(f+g) (x) = - 4
2 +
x
.
Observe o desenvolvimento do exemplo:
Resolução: f(x) + g (x) = (f + g) (x) = (-x + 2) + ( 2
2 +
x
31
) = (-1 +1/2)x + (2+ 2) = - 4
2 +
x
.
Assim, a função (f+g) (x) = - 4
2 +
x
.
Você pode comprovar o resultado, para um valor determinado de x, substituindo na
função encontrada :
Se x = 1, então f(1) = - 1 + 2 = 1 e g(1) = ½ + 2 = 5/2.
f(1) + g (1) = (1) + (5/2) = 7/2 = (- ½) + (4) = (f+g)(1).
Exemplo 2: Se f(x) = 2x + 2 e g (x) = -x-1 para fazer f+g, somamos membro a membro e
obtemos f(x) + g (x) = x+1.
Resolução: f(x) + g (x) = (f + g) (x) = (2x + 2) + (-x-1) = x+1.
, quais as funções de:
a) = f(x) + g(x) = (x 2 +2x-1) + (x+1) = x 2 +2x-1+x+1 = x 2 +3x
(f+g)(x)
b) (f-g)(x)
= f(x) - g(x) = (x 2 +2x-1) - (x+1) = x 2 +2x-1-x-1 = x 2 +x-2
c) Como (g+f)(x) = (f+g)(x) = x 2 D(g+f)
+3x, temos D(g+f) = IR.
Exemplo 4: Se f(x) = -5x + 2 e k = -2, qual a expressão que representa k.f(x).
Nesse caso, o produto k . f(x) é uma nova função, em que para cada valor de x
corresponde k vezes o valor de f(x).
Assim, para f(x) = -5x + 2 e k = -2, a nova função é o produto (-2) f(x) em que cada
valor de x corresponde a (-2) vezes o valor por f, ou seja: -2 (f (x)) = -2(-5x+2) = 10 x –
4.
Comprovando o resultado:
Se x = 1, então f(1) = - 5.1 + 2 = -3
-2. f(1) = 10. 1 – 4 = 6 = -2 . (-3) = -2 . f (1)
8. Função composta e/ou Composição de funções:

A composição de uma função f com outra função g resulta na definição de uma terceira função,
uma nova função que vamos representar por g o f e que definimos da seguinte maneira:
(g o f) (x) = g [f (x)]
Conceituando: Se considerarmos os conjuntos A, B e C e as funções f e g, com f:A→B e g:B→C
temos: A função f associa os elementos de A com B e g associa os elementos de B com C.
Assim, podemos definir uma terceira função h de A em C, denominada função composta de g
com f e indicada por g(f(x)) (que se lê g composta com f) ou gof(x) (que se lê g de f de x).
Exemplo 1: Para f(x) = -5x + 2 e g (x) = x 2 - 4x + 5.
(g o f) (x) = g[f (x)] =g[-5x+2] = (-5x + 2) 2 – 4(-5x +2) + 5.
(g o f) (x) = g [f (x)] = (25 x 2 – 20 x + 4) + (20 x – 8) + 5.
(g o f) (x) = g [f (x)] = 25 x 2 + 1.
Graficamente, temos:
(g o f) (x) = g (f(x)) = 25x 2 + 1
Mas, atenção: se mudarmos os termos para (fog), vamos obter um resultado diferente. Vejamos:
(f o g) (x) = f [g (x)] = f [x 2 - 4x + 5] = -5 (x 2 - 4x + 5) + 2 = -5x 2 + 20x - 23.
Exemplo 2: Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = -2x + 1, calcular gof(x) e fog(x).
Resolução:
(a) f o g(x) = f(g(x)) = f(-2x + 1) = -2x + 1 + 2 = -2x + 3.
(b) g o f(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = -2(x + 2) + 1 = -2x – 3.
Observe que f o g(x) ≠ g o f(x)
9. Classificação de funções
9.1 As funções simétricas: par, ímpar e sem paridade
As funções simétricas podem ser classificadas, numa forma particular, a partir de suas
representações gráficas. São as funções pares e ímpares:
32

Uma função f(x)=y é classificada como função par quando, graficamente, f(x) é simétrica em
relação ao eixo das ordenadas (eixo dos y) ou seja: para x ∈ D(f), temos f(x) = f(-x) ou f(-x) = f(x).
Uma função f(x)=y é classificada como função ímpar quando, graficamente, f(x) é simétrica em
relação ao centro do sistema cartesiano (0,0) ou seja: f(-x) = [- f(x)].
Exemplos:
a) f(x) = x 2 - 1 é uma função par, pois f(-x) = (-x) 2 -1 = x 2 - 1 = f(x) . Note que, para valores
simétricos do domínio, obtemos a mesma imagem. Considerando x = -4 e o seu simétrico, x = 4,
por exemplo, obtemos a mesma imagem y = 15 → f(-4) = (-4) 2 -1 = 16 -1 = 15 = f(4) = (4) 2 -1 .
b) f(x) = x 3 é uma função ímpar, pois f(-x) = (-x) 3 = - x 3 = -( x 3 )= [- f(x)] . Note que, para
valores simétricos do domínio, obtemos valores também simétricos. Considerando x = -4 e o seu
simétrico, x = 4, por exemplo, obtemos imagens simétricas para y: → f(-4) = (-4) 3 = (-64) que é
simétrico a (64) = f(4)= (4) 3 = - f(-4).
c) f(x) = cos x é uma função par, pois f(-x) = cos (-x) = cos (x) = f(x).
d) f(x) = sen x é uma função ímpar, pois f(-x) = sen (-x) = - sen (x) = - f(x).
e) A função f(x)=x 2 + 2 é par pois f(-x)=(-x) 2 + 2 = x 2 + 2 = f( x). Como f(x) = f(-x) a função é par.
f) A função f(x) = x 3 + x é ímpar pois f(-x) = (-x) 3 + (-x) = – x 3 – x = -(x 3 + x). Logo f(x) = -f(-x).
Então f(x) = x 3 + x é ímpar.
33

Analisando graficamente:
Funções pares: Note que os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo y
ou seja: f(x) = f(-x).
f(x) = IxI (função modular)
Funções ímpares (exemplos)
f(x) = x 3
f(x) = cos x (função trigonométrica)
f(x) = sen x (função trigonométrica)
f(x) = x 2 – 1 (função quadrática)
f(x) =
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem O (0,0) do sistema.
1
5
x
34

Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.
Exemplo:
O gráfico ao lado, representa uma função que não possui
paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo
dos x e, não é simétrica em relação à origem.
9.2 Função Crescente e Função Decrescente
Uma função y = f(x) é dita crescente num intervalo I ⊂ D(f) se, e somente se, para quaisquer x1 e
x2 pertencentes a I, ocorrer:
x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)
Exemplo: Construir o gráfico de f: IR → IR, dada por f(x) = 2x + 1.
Neste caso, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais, isto é: D(f) = IR.
x
2 5
1 3
0 1
-1 -1
(-) -2 -3 (-)
Função crescente
y
Uma função y = f(x) é dita decrescente num intervalo I ⊂ D(f) se, e somente se, para quaisquer x1
e x2 pertencentes a I, ocorrer:
x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1)
(a) Construir o gráfico de f: IR → IR, dada por f(x) = -2x + 1.
Neste caso, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais, isto é: D(f) = IR.
x
2 -3
1 -1
0 1
-1 3
(-) -2 5 (+)
Função decrescente
y
35

9.3. Tipos de funções:
Consideremos dois conjuntos A e B e a função f : A → B.
(i) f é sobrejetora se Im (f) = B.
(ii) f é injetora se, para x1 ≠ x2 temos f(x1) ≠ f(x2) ou se x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
(iii) f é bijetora se f é injetora e f é sobrejetora.
Veja os tipos de função representados em diagrama:
8.3.1 - Função sobrejetora: É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio. Exemplo:
8.3.2 - Função injetora: Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio
possuem imagens distintas, isto é: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) .Exemplo:
2.3 - Função bijetora: Quando é ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Exemplo:
Exemplo: Verifique se as funções são injetoras, sabendo que f, g e h, são tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Solução: Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens
distintas, ou seja: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Logo, podemos concluir que:
• f não é injetora, pois duas ou mais pessoas distintas podem ter a mesma idade.
• g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
• h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
36

9.4 Função Inversa
Dada y = f(x) uma função de A em B ou f: A → B. Se para cada y ∈ B existir um e somente um x ∈
A, tal que y = f(x), então podemos definir uma outra função g, tal que x = g(y). A função g é uma
função de B em A ou g: B → A. A função g é denominada função inversa de f e indicamos por f -1 .
A função f -1 define a correspondência contrária a da função f. Então:
Se D(f) = A = Im(f -1 ) e Im(f) = B = D(f -1 )
Exemplo 1: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8} e as funções f: A → B definida
x
por y = f(x) = 2x e g: B → A dada por y = g(x) = . f e g são inversas?
2
Resolução:
Como y = f(x) = 2x e D(f) = A temos
x
Como y= g(x) = e D(g) = B temos:
2
X y = f(x) x y = f(x)
1 2 2 1
2 4 4 2
3 6 6 3
4 8 8 4
Im(f) = B Im(g) = A
Resposta: Neste caso as funções f e g são inversas pois D(f) = A = Im(f -1 ) e Im(f) = B = D(f -1 ).
Note que: Dada y = f(x) uma função de A em B. Se, para um y ∈ B, existir mais de um x
∈ A, tal que y = f(x), a função f não admite inversa, ou seja, a associação contrária não
representa função. Observe no exemplo:
• A função f, definida por y = f(x) = x 2 representada graficamente não admite inversa, já que a
associação contrária não é função.
Graficamente, uma função admite inversa,
se passando retas paralelas ao eixo x, cada
uma destas corta o gráfico em apenas um
ponto.
Como determinar a inversa de uma função!
A função y = f(x) = x 2 representada no
gráfico não admite inversa, visto que a reta
paralela ao eixo x corta a parábola em dois
pontos.
Podemos determinar a inversa de uma função por meio de cálculo algébrico. Se y = f(x) é uma
função de A em B que admite inversa, o procedimento para obtenção de f -1 é:
1 o ) Substituir x por y e y por x na função y = f(x);
2 o ) Para obter f -1 devemos isolar o novo y.
Exemplo 1: Se f(x) = 2x ou y = 2x então a inversa f -1 de f é a função x = 2y.
x -1 x
Isto significa que y = . Logo f (x ) = .
2
2
37

Exemplo 2:Determine a inversa de f(x)=2x–4 e construa os gráficos de f(x) e f -1 (x) num
mesmo plano.
Resolução: (a) Encontrando f -1 (x): Se y = 2x – 4 (trocando x por y e y por x em y = f(x))
temos:
y = 2x – 4
↓ ↓
x + 4
x = 2y – 4 ⇔ 2y=x + 4 ⇔ y = . Então, a inversa de f(x) = 2x – 4 é g(x) = f
2
-1 (x) =
x + 4
.
2
Observe que, podemos verificar se duas funções são inversas, analisando seus gráficos.
Graficamente, duas funções são inversas se os seus gráficos são simétricos em relação a reta da
função identidade f(x) = y.
y = f -1 x
y = f(x) x
(x)=g(x)
0 -4 -4 0
2 0 0 2
3x
+ 2
x −1
Exemplo 4: Obtenha a inversa de y = f(x) = e determine: D(f); D(f -1 ); Im(f) e Im(f -1 ).
Resolução:
3x
+ 2
(a) Encontrando f
x −1
-1
(x): Como y = , trocamos x por y e y por x em y = f(x) e obtermos:
3y
+ 2
x = . Como o objetivo é isolar a variável y de um lado da igualdade, fazemos:
y −1
x + 2
= f
x − 3
-1
x(y-1) = (3y+2) ⇔ xy – x = 3y + 2 ⇔ xy – 3y = 2 + x ⇔ y(x-3) = x + 2 ⇔ y = (x)
(b) Encontrando D(f): Fazendo x – 1 ≠ 0 → x ≠ 1. Portanto D(f) ={x ∈ IR⏐x ≠ 1} = IR –{1}.
(c) Encontrando D(f -1 ): Fazendo x – 3 ≠ 0 → x ≠ 3. Portanto D(f -1 ) ={x ∈ IR⏐x ≠ 3}=IR–{3}.
(d) Encontrando Im(f): Como f tem inversa, então Im(f) = D(f -1 ) = {x ∈ IR⏐x ≠ 3} = IR–{3}.
38

(e) Encontrando Im(f -1 ): Como f tem inversa, então Im(f -1 )=D(f) = {x ∈ IR⏐x ≠ 1} = IR–{1}.
9.5: Função contínua:
A continuidade de uma função é definida a partir dos valores de seu domínio. Observe os seguintes
gráficos abaixo que representam funções f: R ⇒ IR
f(x)=x+2
g(x) =
⎧2,
se(
x)
f ( −2)
⎨
⎩x
+ 4,
se(
x)
p ( −2)
h(x) =
⎧4,
se(
x)
= 2
⎨
⎩x
+ 1,
se(
x)
∈ R / x ≠ 2
Observando os gráficos acima verificamos que:
a função f não sofre interrupção, portanto, a função é contínua para todo x real.
a função g sofre uma interrupção em x = -a, ou seja, g(-a) ∉ IR. Portanto esta função é
descontínua em x = -a e/ou x =-2
a função h é descontínua em x = a e/ou x = 2.
39