Matrizes esparsas - Inatel

Matrizes esparsas: definição 

• o objetivo é mostrar os métodos de armazenamento e manipulação de matrizes 

esparsas 

• esparsidade de uma matriz é a relação entre o número de elementos nulos de 

uma matriz e o número total de elementos da matriz 

– grau de esparsidade é a porcentagem de elementos nulos da matriz 

• são matrizes em que nem todos os elementos estão realmente presentes ou 

são necessários, portanto, a maioria das posições são preenchidas por zeros 

• pode-se economizar um espaço significativo de memória se apenas os termos 

diferentes de zero forem armazenados e manuseados 

– a eficiência computacional será maior 

www.inatel.br/docentes/rosanna C421-C 

Matrizes esparsas: definição 

• matrizes são consideradas esparsas quando 

– suas dimensões são relativamente grandes (1000 x 1000) 

– nem todas as suas posições são usadas (o número de valores não nulos é da ordem 

do número de linhas ou do número de colunas, de 1 milhão usa-se 1000 elementos) 

• casos unidimensionais (vetores), bidimensionais e tridimensionais 

• aplicações: 

– em problemas de engenharia, física etc. (método das malhas para resolução de 

circuitos elétricos) 

– em computação: armazenamento de dados (planilhas eletrônicas, apenas uma 

porção da matriz pode estar sendo usada em um dado momento) 

• as operações usuais sobre estas matrizes (somar, multiplicar, inverter, pivotar) 

também podem ser feitas em tempo muito menor se não são armazenadas as 

posições que contém zeros 


ME 

ME

Matrizes esparsas: representação 

• em vez de representar todos os valores, armazena-se números de linha e 

coluna dos elementos com valor não nulo 

• exemplo de uma matriz esparsa de 5 x 5 elementos inteiros 

– armazena-se 15 inteiros (linha, coluna, elemento), em vez de 25 inteiros 

– { (2,2,1), (2,4,2), (3,3,3), (4,2,4), (4,4,5) } 



• é necessário usar uma representação que evite o armazenamento de 

tantas posições nulas 

• existem quatro técnicas para representar uma matriz esparsa: 

– lista encadeada 

– árvore binária 

– matriz de ponteiros 

– fragmentação ou hashing 

• estas técnicas são realmente úteis para matrizes com uma 

porcentagem significativa de elementos nulos (zeros); se este não for o 

caso, o melhor é usar o método de armazenamento comum 


ME 

ME


matriz esparsa com lista encadeada 

– estrutura que contenha os seguintes itens 

• os elementos a serem armazenados 

• a posição lógica dentro da matriz 

• as ligações com o elemento anterior e próximo 

– vantagem 

• faz uso eficiente da memória 

– desvantagem 

• precisa usar uma pesquisa linear para acessar as células da lista (requer n/2 

comparações, n é o número de elementos da lista) 

• sem uso de informação adicional (memória adicional) não há como realizar uma 

pesquisa binária para localizar uma célula 



• matriz esparsa com lista encadeada 

– cada coluna e cada linha da matriz será representada por uma lista linear circular 

com uma célula cabeça 

– cada célula da estrutura, além das células-cabeça, representará os termos diferentes 

de zero da matriz e devem ter o seguinte tipo: 

tipo APONTADOR = ^ TIPOCELULA; 

TIPOCELULA = registro 

DIREITA, ABAIXO: APONTADOR; 

LINHA, COLUNA: inteiro; 

VALOR: real; 

fim_registro; 

– cada estrutura é colocada na lista com os elementos inseridos de forma ordenada, 

baseada no índice da matriz, ou seja, o elemento A 1,2 precede o elemento A 1,3 . 


ME 

ME



– o campo ABAIXO deve ser usado para apontar o próximo elemento diferente de zero na mesma 

coluna 

– o campo DIREITA deve ser usado para apontar o próximo elemento diferente de zero na mesma 

linha 

– dada uma matriz A, para um valor A(i,j) diferente de zero, deverá haver uma célula com 

• o campo VALOR contendo o elemento de A(i,j) 

• o campo LINHA contendo i e 

• o campo COLUNA contendo j 

• esta célula deverá pertencer à lista circular da linha i e também deverá pertencer à lista 

circular da coluna j. 

• cada célula pertencerá a duas listas ao mesmo tempo 

– para diferenciar as células cabeça, -1 é colocado nos campos LINHA e COLUNA destas células 




– uma matriz esparsa com r elementos diferentes de zero gastará (m + n + r) + 1 

células 

– considere a matriz esparsa A (4 x 4): 

– a matriz A pode ser vista através de um representação de 15 células = (4 linhas + 4 

colunas + 6 elementos) + 1 

– cada célula ocupa vários bytes na memória; no entanto, o total de memória usado 

será menor do que as posições necessárias para representar a matriz toda, desde 

que r seja suficientemente pequeno 


ME 

ME

matriz esparsa com 

lista encadeada: 




• matriz esparsa com árvore binária 

– lista duplamente encadeada 

– vantagens 

• pode ser “varrida” rapidamente: inserções e consultas rápidas (requer log 2 n comparações) 

• usa eficientemente a memória 

– cada célula da estrutura, representará os termos diferentes de zero da matriz e 

devem ter o seguinte tipo: 

tipo APONTADOR = ^TIPOCELULA; 


ESQUERDA, DIREITA: APONTADOR; // ponteiros para as subárvores esquerda e direita 


VALOR: real; 

fim_registro; 


ME 

ME


• matriz esparsa com matriz de ponteiros 

– exige muito menos armazenamento permanente que uma matriz inteira porque ela 

armazena ponteiros para a informação 

– o método de matriz de ponteiros fornece um acesso muito mais rápido aos 

elementos da matriz que os métodos da lista encadeada ou árvore binária 

– quando se atribui dados a uma localização de matriz 

• uma memória é alocada para esses dados 

• o ponteiro apropriado na matriz de ponteiro seria definido para apontar para esses dados 

– a declaração que cria esta matriz de ponteiros é: 



VALOR: real; 

fim_registro; 

tipo ^MATRIZ_PONT[xxx]: TIPOCELULA; // matriz de ponteiros de xxx (mxn) elementos 



• matriz esparsa com matriz de ponteiros 

– antes que uma matriz de ponteiros possa ser usada, cada elemento deve ser inicializado com 

nulo, isto indica que não há entrada nesta posição 

– a figura abaixo mostra um exemplo de uma matriz de ponteiros como suporte para uma matriz 

esparsa (4x3), onde existem elementos não nulos em A 11 , A 12 , A 22 , A 33 

. . . . 

info para A 1,1 


0 0 0 0 0 0 0 0 



– cada posição com elemento da matriz esparsa é mapeada em uma e apenas uma posição da 

matriz de ponteiros 

– para atribuir o endereço de TIPOCELULA ao primeiro elemento da matriz de ponteiros, escrevese: 

MATRIZ_PONT[1] &TIPOCELULA 

– para encontrar as informações de TIPOCELULA de A 11 , escreve-se ^MATRIZ_PONT[1] 


ME 

ME


• matriz esparsa com fragmentação (hashing) 

– a técnica de hashing tem sido aplicada a arquivos em disco como forma de 

minimizar o tempo de acesso 

– a técnica de fragmentação é o processo de extrair o índice de um elemento 

da matriz diretamente da informação que deve ser armazenada 

– o índice gerado é chamado de hash e é obtido através de operações com a 

posição (l,c) do elemento na matriz esparsa, que é convertido em um 

número para acessar a matriz hashing 

– se houver coincidência de índices (colisões de hash), uma lista encadeada 

(lista de colisões) é usada para conter as entradas e esta lista tem 

comprimento zero até que ocorra uma colisão 




– a declaração que cria a matriz hashing é: 

define MAX xxx; // quantidade possível de elementos não nulos da matriz 

tipo APONTADOR = ^TIPOCELULA; 


INDICE: inteiro; 

VALOR: real; 

PROXIMO: APONTADOR; // ponteiro para o próximo valor com mesmo fragmento 

fim_registro; 

tipo MATRIZ_HASH[MAX]: TIPOCELULA; // matriz hashing de max elementos 


ME 

ME



– exemplo de matriz hashing para representar 100 elementos não nulos 

0 

1 

2 

3 

: 

: 

98 

99 

Índice 

1,1 

5,1 

1,2 

7,2 

: 

: 

Valor 

Ponteiro para a lista de colisão 

. 

. 

NULL 

NULL 

NULL 

NULL 

NULL 

NULL 

– o fator mais crítico no uso de hashing é assegurar que o algoritmo distribua os 

índices uniformemente de forma a evitar longas listas de colisão 


2,1 

20,1 


• lista encadeada x árvore binária x matriz de ponteiros x hashing 

– fatores a considerar para escolha de uma abordagem 

• velocidade e eficiência no uso da memória 

– portanto, para qualquer aplicação, deve ser feita uma avaliação de tempo e espaço 

– quando a matriz é muito esparsa, as abordagens que utilizam mais eficientemente 

a memória são 

• listas encadeadas e árvores binárias: apenas os elementos da matriz que estão realmente 

sendo usados têm memória alocada para eles 

• o método de hashing está situado entre as abordagens de matriz de ponteiros e árvore 

binária/lista encadeada 

• a matriz de ponteiros requer que toda a matriz de ponteiros exista, mesmo que alguns de 

seus elementos não sejam usados. Utiliza memória para toda posição estejam os ponteiros 

sendo utilizados ou não 


3,1 

ME 

ME


• lista encadeada x árvore binária x matriz de ponteiros x hashing 

– quando a matriz está razoavelmente cheia, ou seja, o grau de esparsidade 

é pequeno 

• a matriz de ponteiros faz o melhor uso da memória 

• árvore binária/lista encadeada usam dois ponteiros para cada elemento 

• exemplo de uma matriz de ponteiros de 1000 elementos: 2000 bytes 

• lista ou árvore: 4000 bytes 

– em termos de velocidade de execução a abordagem mais rápida é a 

matriz de ponteiros 

– mas se o uso da memória é crítico: usa-se lista encadeada ou árvore 

binária 


Matrizes esparsas: operações 

• além de armazenar matrizes esparsas, as aplicações normalmente 

exigem a realização de operações sobre essas matrizes, como por 

exemplo: 

– multiplicar uma dada linha ou coluna por uma constante 

– somar uma constante a todos os elementos de uma linha ou coluna 

– somar duas matrizes esparsas de igual dimensão 

– multiplicar uma dada linha ou coluna por uma constante 

– inverter ou transpor matrizes esparsas 

• como conseqüência desses operações, alguns elementos podem 

deixar de ser nulos, enquanto que outros podem se tornar nulos 

– quando um elemento da matriz se tornar não nulo, há inserção na 

estrutura 

– quando um elemento da matriz se torna nulo, há eliminação na estrutura 


ME 

ME

Matrizes esparsas: operações 

• considerando os possíveis tipos de representação (lista, árvore, matriz de 

ponteiros ou hashing), o trabalho consiste em desenvolver procedimentos para 

operar as matrizes esparsas nas diversas estruturas de representação 

apresentadas: 

– inserção, soma, localização, multiplicação, eliminação, impressão 

• a entrada para estes procedimentos consiste dos valores de m e n (número de 

linhas e colunas da matriz) seguidos de triplas (i, j, valor) para os elementos 

diferentes de zero da matriz 

– para a matriz do exemplo, a entrada seria: 

• 4 4 

• 1 1 50.0 

• 2 1 10.0 

• 2 3 20.0 

• 4 1 -30.0 

• 4 3 -60.0 

• 4 4 5 


Matrizes esparsas 

• Exercício 1) Utilize lista encadeada para representar a matriz esparsa B 

seguinte (faça o mapa de representação utilizando células): 

0 

 

B 

0 

 

21 

12 

0 

0 

0 

 

20 

0 

 

• Exercício 2) Deseja-se implementar uma matriz (1000x1000) com grau de 

esparsidade de 99.9% e a velocidade não é um fator importante a considerar, 

mas a eficiência do uso de memória tem que ser levada em conta. Qual deve 

ser a melhor estrutura a ser utilizada para sua representação? Justifique sua 

resposta do ponto de vista da quantidade de bytes utilizados para representála. 


ME 

ME


• Exercício 3) Crie um programa para implementar uma matriz esparsa, 

utilizando-se da técnica de listas encadeadas, que contenha as seguintes 

funções: 

– cabeçalho: cria a estrutura da matriz esparsa; 

– inclusão: insere um novo elemento em uma posição determinada da matriz; 

– procura: procura o valor de uma determinada posição na matriz; 

– impressão: mostra a matriz na tela; 

– liberação: libera todas as posições alocadas pela matriz, incluindo a estrutura; 

– eliminação: elimina um elemento (A ij ) da matriz; 

– soma: soma todos os elementos da coluna j com a constante k; 

– soma_matriz: soma duas matrizes esparsas 

– multiplica: multiplica duas matrizes esparsas 

observe que estas operações podem resultar em inserções e/ou eliminações. 

• Exercício 4) Sugira uma representação para matrizes tridimensionais esparsas. 



• Exercício 5) Crie um programa para tratar uma matriz esparsa (25x80), cujos 

elementos são referenciados por uma matriz de ponteiros, declarada como CEL 

^FOLHA[DIM], onde DIM é uma constante definida com o valor 2000 e CEL é o 

tipo de estrutura dos elementos da matriz, definido como: 

typedef struct { 

int LIN,COL; // endereço da célula 

char CONTEUDO[128]; // conteúdo da celula 

}CEL; 

As variáveis LIN e COL armazenam o número da linha e o número da coluna, 

respectivamente e a variável CONTEUDO[128] armazena o conteúdo da célula. 

O programa deve conter procedimentos para incluir as células da matriz, para 

listar as células preenchidas, para mostrar o conteúdo dessas células (dadas 

linha e coluna) e para eliminar um elemento da matriz já preenchido. 


ME 

ME

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