SIMPLEX ANÁLISE COMPLETA - Podre

SIMPLEX
ANÁLISE COMPLETA
ANDERSON BESTETTI 1 , EDUARDO RIGHES 1 , EVERTON FONTOURA 2 ,
GUILHERME LAZZARI 3 , RODRIGO SCHRAMM 3 , ROGERIO MARTINS 4
1 {anderson.bestetti,eduardo.righes}@terra.com.br
2 everton@bage.unisinos.br
3 {guila,schramm}@exatas.unisinos.br
4 rsmm@netu.unisinos.br
UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS
CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGICAS
PROGRAMAÇÃO EM PESQUISA OPERACIONAL
PROFESSOR: ARTHUR TORGO GOMEZ
Resumo
Neste artigo apresentamos o algoritmo Simplex para resolução de
problemas de programação linear. Este algoritmo encontra a solução
ótima e não possui a limitação de duas variáveis, que era o caso da
resolução gráfica. Fazemos uma análise completa abordando problemas
triviais com exemplos. Por fim segue uma análise de alguns casos
especiais considerados pelos autores quanto ao Simplex.
1. SOLUÇÃO EXATA PARA OS MODELOS DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
O modelo de programação linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto
de equações ou inequações onde pretendemos otimizar uma função objetivo. Este
conjunto deverá ser, em principio, um conjunto indeterminado, de forma que o
número das soluções ditas viáveis e infinito. Apesar de a solução ótima estar em um
ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, muitas vezes existem muitos
extremos ou vértices, em numero exponencial.
Como obter soluções viáveis básicas do sistema de equações
Como evitar o teste de todas as soluções viáveis básicas possíveis para
garantir a otimização do sistema
Nesse contexto que o algoritmo simplex se encaixa. Uma das grandes
contribuições à programação matemática, o simplex e um algoritmo geral
extremamente eficiente para a solução de sistemas lineares e adaptáveis ao calculo
computacional.
O Simplex e um algoritmo que se utiliza um ferramental baseado na Álgebra
Linear para determinar, por um método iterativo, a solução ótima de um problema
de PL. O algoritmo parte de uma solução viável do sistema de equações que
constituem as restrições do problema, solução essa normalmente extrema (vértice).

A partir dessa solução inicial vai identificando novas soluções viáveis de valor igual
ou melhor que a corrente. Tem assim um critério de escolha, que permite encontrar
sempre novos e melhores vértices da envoltória convexa do problema, e um outro
critério que consegue determinar se o vértice escolhido e ou não um vértice ótimo.
Teorema: O conjunto C das soluções de um problema de PL e um conjunto convexo.
2. O ALGORITMO PRIMAL SIMPLEX
O algoritmo descreve uma seqüência de passos para a solução de sistemas
de equações lineares sujeitos a uma função objetivo. Dispõe de três situações a
principio:
O método de inversão da matriz básica m x m deduzida a partir de A, uma
matriz de restrições m x n.
As regras de troca de variáveis dentro da matriz básica, para que exista
garantia de uma continua melhoria da solução ao longo do
desenvolvimento dos passos do algoritmo.
As regras de parada do algoritmo e a interpretação dessa situação final.
O método sugerido na literatura para a resolução do primeiro aspecto e usar
operações elementares. Permite-se com o uso dessa técnica que o esforço de
inversão já gasto anteriormente seja aproveitado a cada passo do algoritmo.
O segundo critério aborda a escolha da variável com maior contribuição imediata,
que varia conforme o caso (maximização ou minimização).
O terceiro critério abrange o teste de parada que inclui a identificação das condições
em que não existe mais a possibilidade de que uma troca de variáveis na base
possa melhorar o critério de otimização.
Para problemas simples de PL (duas variáveis) a resposta pode ser obtida
através de resolução gráfica, onde teríamos no eixo no eixo das abscissas a
variável x1 e no eixo das ordenadas x2, por exemplo. Traçam-se as restrições e a
função objetivo e pode-se concluir a solução do problema.
Infelizmente, os problemas de PL na maioria das vezes possuem mais do que duas
variáveis. Uma forma de encontrar eficiente o ponto extremo em que a solução
ótima da função objetivo ocorra tem sido motivo de grande esforço e pesquisa.
Nesse sentido que a contribuição do simplex e tão importante.
2.1 O QUADRO SIMPLEX (TABLEAU)
O uso de um formato tabular para o desenvolvimento do algoritmo simplex
facilita a execução de cálculos manuais.
O algoritmo Simplex pode ser definido como formado por uma entidade
geométrica convexa com n-dimensões (região viável) e um teste de otimalidade. De
modo resumido pode-se ilustrar sua dinâmica através dos seguintes passos:
1. Definir o Simplex, através de um conjunto de restrições ;
2. Escolher um dos vértices do Simplex como ponto inicial (qualquer ponto é uma
solução viável);
3. Mover o ponto ao longo dos vértices adjacentes de modo a encontrar o melhor
vértice vizinho ( uma solução melhor do que a atual);
4. Critério de parada: quando não existir nenhum ponto vizinho que leve a uma

solução melhor do que a atual.
Para aplicar o Simplex a um problema de P.L. é necessário que este esteja
formulado em forma restrita e normal. Estar formulado na forma normal significa que
todas as restrições técnicas são expressas na forma de igualdades: não existem
operadores relacionais >= ou f 1 = 2
f 2 = 8 + 3 x 1 - 4 x 2 se x 1 e x 2 = 0 => f 2 = 8
x 1, x 2, f 1 e f 2 >= 0
A seguir é descrito o formato de preenchimento do "tableau":
Na primeira linha são representadas as variáveis de decisão do problema (x j ).
No caso do exemplo x 1 e x 2 ;
Na segunda linha são colocados o valor da função objetivo e dos pesos

correspondentes às variáveis de decisão ( c j );
Nas demais linhas são representadas as restrições técnicas no formato
sugerido anteriormente.
z 0 2 -4
f 1 2 -6 1
f 2 8 3 -4
É importante observar que o "tableau" representa uma solução básica viável
onde as variáveis da base tem valor zero ( x 1 e x 2 ) e as variáveis não básicas ( f 1 e f 2
) tem seus valores definidos na coluna à direita ( 2 e 8, respectivamente).
2.1.1 Mudança de Base
Como o objetivo é maximizar a função objetivo, deve-se escolher qual
variável deve sair da base de modo a aumentar o valor da função. Em outras
palavras, deve-se avaliar qual a contribuição de cada variável de decisão na função
objetivo perseguindo-se o critério de otimalidade.
2.1.2 Escolha da Variável que Saí da Base
Analisando as variáveis de decisão, na função objetivo, observa-se que
somente x 1 pode contribuir para a maximização, pois é a única que possui
coeficiente positivo. Caso houvesse mais de uma variável positiva seria escolhida a
de maior coeficiente. Caso todos os coeficientes fossem negativos, não seria
possível melhorar o valor da função objetivo e o "tableau" estaria representando a
solução ótima.
2.1.3 Escolha da Variável que Entra na Base
Para continuar a resolução pelo Simplex, deve-se analisar a coluna
correspondente a variável que vai sair da base para avaliar, em relação as
restrições, o quanto está variável pode ter seu valor aumentado, sem tornar
nenhuma outra variável negativa. Em outras palavras, o quanto se pode aumentar o
valor da variável, sem sair da região viável.
Valores positivos, nessa coluna, não impõem restrições, devendo ser
ignorados ( no exemplo o valor 3, da interseção de x 1 com f 2 ). Aumentar o valor de
x 1, na segunda restrição, aumenta o valor de f 2 , não havendo limite de quanto x 1
pode ser aumentado. Se todos os valores dos coeficientes fossem positivos, o
problema não teria uma solução finita. No entanto, valores negativos impõem
restrições. No exemplo, o valor -6 da interseção de x 1 com f 1 significa que x 1 pode
crescer até o valor de 1/3 sem violar a primeira restrição. Neste caso, a contribuição
de x 1 na função objetivo seria de 2/3 ( 2 x 1 = 2.1/3). Caso existir mais de um valor
negativo, escolhe-se aquele que mais contribui para o aumento da função objetivo
sem violar nenhuma das restrições do problema.
O valor escolhido portanto é -6, sendo denominado de pivô. O passo
seguinte é fazer a operação de pivotamento que consiste em tirar da base a variável
escolhida ( x 1 ) e colocar em seu lugar a variável não básica pertencente a linha do
x 1
x 2

pivô ( f 1 ).
z 0 2 -4
f 1 2 -6 1
f 2 8 3 -4
Este procedimento consiste em aumentar o valor da variável que vai sair da
base até que o valor do pivô fique igual a zero. Isto é feito reescrevendo-se todas as
equações do "tableau" em relação as novas variáveis da base ( no exemplo f 1 e x 2 ).
f 1 = 2 – 6x 1 + x 2 => x 1 = (1/3) + (1/6)x 2 – (1/6)f 1
Observa-se que x 1 pode ter seu valor aumentado de zero até 1/3. O novo
valor de x 1 deve ser substituido nas demais restrições e na função objetivo.
Nas restricões: f 2 = 8 + 3 x 1 – 4 x 2
= 8 + 3( (1/3) + (1/6)x 2 – (1/6)f 1 ) – 4 x 2
= 9 - (7/2) x 2 - (1/2) f 1
Na função objetivo: z = 2 x 1 – 4 x 2
= 2((1/3) + (1/6)x 2 – (1/6)f 1 ) – 4 x 2
= 2/3 – (11/3) x 2 – (1/3) f 1
As equações acima formam o novo “tableau”:
f 1
2/3 -1/3 -11/3
x 1 1/3 -1/6 1/6
f 2 9 -1/2 -7/2
Esta sequência de operações referenta a mudança de base é repetida até
que a segunda linha do “tableau” contenha apenas valores negativos associados as
variáveis da base. Isto significa que não é mais possível melhorar o valor da função
objetivo. O “tableau” acima, portanto, representa o valor ótimo que corresponde a: x 1
= 1/3 , x 2 = 0, f 1 = 0 , f 2 = 9 e z = 2/3.
x 1
x 2
x 2

2.2 Solução geral
2.2.1 Base viável inicial não está disponível
Um problema de PL pode ter restrições com a desigualdade >= com o termo
da direita positivo. Uma forma de resolver este problema é usar o método do M-
Grande ou a função objetivo auxiliar.
Maximizar Z = x + x + x 1 2 3
Sujeito a 2 x + x - x 1 2 3 = 20
2 x1 + x2 + 3 x3 = 60
x1, x2 e x3 >= 0
Acrescentado as variáveis de folga, obtem-se:
2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10
x 1 + x 2 + 2 x 3 - f 2 = 20
2 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 60
Não foi obtida uma solução básica inicial devido a Segunda e a terceira
restrições, neste caso serão adicionadas variáveis auxiliares w 1 e w 2 para termos
uma solução na forma restrita.
2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10
x 1 + x 2 + 2 x 3 - f 2 + w 1 = 20
2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + w 2 = 60
A solução básica obtida é f 1 = 10, w 1 = 20, w 2 = 60 e as demais variáveis
tem valor zero. Para aplicar o método Simplex as variáveis auxiliares devem sser
eliminadas e a solução básica deve ser mantida. Isto pode ser feito através dos
métodos do M Grande ou da Função Objetivo Auxiliar.
2.2.2 Método do M-Grande
As variáveis auxiliares são incluídas na função objetivo com coeficientes negativos
M 1 e M 2 . Durante o Simplex, a medida que a função objetivo é maximizada as
variáveis de folga deixam a base, devido ao alto valor associado as variáveis
auxiliares.

Maximizar Z = x 1 + x 2 + x 3 – M 1 w 1 – M 2 w 2
Sujeito a 2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10
1. tableau
x 1 + x 2 + 2 x 3 - f 2 + w 1
2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + w 2
x 1, x 2, x 3, f 1 , f 2, w 1 e w 2 >= 0
= 20
= 60
x 1 x 2 x 3 f 2 w 1 w 2
z 0 1 1 1 0 -M 1 -M 2
f 1 10 -2 -1 1 0 0 0
w 1 20 -1 -1 -2 1 0 0
w 2 60 -2 -1 -3 0 0 0
x 1 = 0 , x 2 = 0 , x 3 = 0 , f 1 = 10 , f 2 = 0 , w 1 = 20 e w 2 = 60 e z = 0
2. tableau
x 1 x 2 f 2 w 1 w 2
10 1/2 1/2 1/2 - M 1 - M 2
f 1 20 -5/2 -3/2 1/2 -1/2 0
x 3 10 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 0
w 2 30 -1/2 1/2 -3/2 3/2 0
x 1 = 0 , x 2 = 0 , x 3 = 10 , f 1 = 20 , f 2 = 0 , w 1 = 0 e w 2 = 30 e z = 10
3. tableau
x 1 x 2 w 1 w 2
z 20 1/3 2/3 -M 1 -M 2
f 1 30 -8/3 -4/3 0 -1/3
x 3 20 -2/3 -1/3 0 -1/3
f 2 20 -1/3 1/3 1 -2/3
x 1 = 0 , x 2 = 0 , x 3 = 20 , f 1 = 30 , f 2 = 20 , w 1 = 0 e w 2 = 0 e z = 20
As variáveis auxiliares tem valor zero, portanto podem ser abandonadas.

4. tableau
x 1
35 -1 -1/2
x 2 45/2 -2 -3/4
x 3 25/2 0 1/4
f 2 55/2 -1 -1/4
x 1 = 0 , x 2 = 45/2 , x 3 = 25/2 , f 1 = 0 , f 2 = 55/2 e z = 35
Pode ocorrer uma situação, em um problema de maximização, em que todos
os coeficientes associados às variáveis da função objetivos são negativos e
existe(m) variável(is) auxiliares pertencentes a solução básica.
x 1 x 2 w 2
z 100 -4 -5 -6
x 3 20 -1 -2 -12
f 1 10 0 -1 1
w 1 30 -1 -5 -4
x 1 w 1 w 2
z 70 - 19/6 4 1
x 3 6 -2/3 2/5 -52/5
f 1 10 0 -1 1
x 2 6 -1/6 -1/5 -4/5
Se não for possível retirar a variável auxiliar da base, o problema não tem
solução.
2.2.1 Método da Função Objetivo Auxiliar
Como no método anterior são acrescentadas variáveis de folga e auxiliares
para a obtenção de uma solução básica inicial. É construída, então, uma função
objetivo auxiliar W, formada pelas variáveis auxiliares que comporá o novo objetivo
a ser otimizado. Quando as variáveis auxiliares forem não básicas, o valor da
função objetivo auxiliar é zero e poder-se-á voltar ao cálculo da função objetivo
original.
f 1

Maximizar Z = x1 + x2 + x3 Sujeito a 2 x + x - x 1 2 3 = 20
2 x + x + 3 x 1 2 3 = 60
x x e x 1, 2 3
>= 0
Acrescentado as variáveis de folga e auxiliares, obtem-se:
2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10
x 1 + x 2 + 2 x 3 - f 2 + w 1 = 20
2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + w 2 = 60
Colocando-se em evidência as variáveis auxiliares nas restrições obtem-se:
1. tableau
2. tableau
w 1 = 20 - x 1 - x 2 - 2 x 3 + f 2
w 2 = 60 - 2 x 1 - x 2 - 3 x 3
W = - w 1 - w 2 = - 80 + 3x 1 + 2x 2 + 5 x 3 - f 2
x 1 x 2 x 3 f 2
- W -80 3 2 5 -1
f 1 10 -2 1 1 0
w 1 20 1 1 -2 -1
w 2 60 -2 -1 -3 0
z 0 1 1 1 0
x 1 x 2 w 1 f 2
- W -30 1/2 -1/2 -5/2 3/2
f 1 20 -5/2 -3/2 -1/2 1/2
x 3 10 -1/2 -1/2 -1/2 1/2
w 2 30 -1/2 1/2 3/2 -3/2
z 10 1/2 1/2 -1/2 1/2

3. tableau
- W 0 -1 0 -1 0
30 -8/3 -4/3 0 -1/3
20 -2/3 -1/3 0 -1/3
20 -1/3 1/3 1 -2/3
z 20 1/3 2/3 0 -1/3
Dado que as variáveis auxiliares são nulas podemos abandoná-las e continuar a
resolução do problema com a função objetivo inicial.
4. tableau
z 20 1/3 2/3
f 1 30 -8/3 -4/3
x 3 20 -2/3 -1/3
f 2 20 -1/3 1/3
x 1 = 0 , x 2 = 0 , x 3 = 20 , f 1 = 30 , f 2 = 20 , w 1 = 0 e w 2 = 0 e z = 20
5. tableau
z 35 -1 -1/2
x 2 45/2 -2 -3/4
x 3 25/2 0 1/4
f 2 55/2 -1 -1/4
x 1 = 0 , x 2 = 45/2 , x 3 = 25/2 , f 1 = 0 , f 2 = 55/2 e z = 35
2.3 CASOS ESPECIAIS
2.3.1 Degeneração e Ciclagem
Ciclagem é a condição que ocorre quando o método simplex fica "confuso"
se encontra repetindo sempre nos mesmos vértices. Enquanto este comportamento
específico é muito raro na prática, ele é muito comum para o algorítmo atingir um
x 1
x 1
x 2
f 1

ponto onde ele temporariamente pára na busca da melhoria da função objetivo. Isto
é chamado degeneração e é causado por uma ou mais variáveis básicas pegando o
limite mais baixo ou mais alto. Em muitos casos, o algoritmo vai funcionar mesmo
tendo vários vértices coincidindo. Entretanto, em casos extremos de degeneração,
ela pode ser tão intensa que pode ser considerada cíclica. Isto, portanto, caracteriza
a ciclagem.
Como evitar a ciclagem/degeneração no Simplex?
Uma alternativa para resolver este problema, é ficar alternando a busca do ponto
ótimo alternando o algoritmo primal e dual do simplex. Isto pode mover a solução do
ponto onde está ocorrendo a degeneração.
Múltiplas soluções ótimas
Resumidamente, a função objetio pode estar paralela a uma das restricões.
Neste caso, as soluções ótimas estarão contidas em um segmento de reta desta
restrição paralela. Qualquer ponto nesta reta será a solução ótima.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GOLDGARG, M. C. Otimização Combinatória e Programação Linear. 4. ed. Rio de
Janeiro: Campus, 2000. 649 p.
HILLIER, F. S. ; LIEBERMAN, G. J. Introduction to operations research. 6. ed. New
York: McGraw-Hill, 1997. 998 p.
WINSTON, W. L. Operations research, applications and algorithms. 3. ed. Duxbury:
Duxbury Press, 1997. 1372 p.