Algoritmos Genéticos na procura de raízes de funções - ISR

Algoritmos Genéticos na procura de raízes de funções
Alberto Vale, Nuno Antunes, Agostinho Rosa
Laboratório de Sistemas Evolutivos e Engenharia Biomédica
ISR - Instituto Superior Técnico
Av. Rovisco Pais, 1 - Torre Norte 6.21
1049-001 Lisboa - Portugal
Sumário:
Habitualmente, para determinar raízes de funções,
é necessário recorrer a algoritmos específicos, que
exigem muitas restrições sobre estas, para além de
ser necessário o conhecimento a-priori do
comportamento da função. Neste algoritmo é a
comparação do plano complexo, ao mundo animal,
onde se verifica o cruzamento*, mutação,
reprodução e selecção, de forma a criar uma vida
artificial perante os números, que permite
determinar as raízes das funções. É este o
objectivo de aplicar os algoritmos genéticos nas
funções, sejam elas lineares, não lineares,
periódicas, ou não periódicas, polinómios, etc.
1. INTRODUÇÃO
Na realização de um projecto, surgem muitas
situações, as quais necessitam de solução, de forma a
minimizar os custos e maximizar os resultados das
mesmas. Nem sempre é possível resolver
matematicamente estas situações e, em caso
afirmativo, ao tentar solucioná-las através de
algoritmos específicos, surgem outros problemas, tais
como, a modelização, não linearidades, entre outros,
que se podem tornar incompatíveis na programação, o
que leva muitas vezes ao insucesso e falta de eficácia.
Este projecto procura demonstrar como é possível
determinar as raízes de funções, sem conhecimentos
de análise numérica, ou algoritmos que lhes
imponham restrições. Não é trivial afirmar que uma
função genérica que tenha raízes complexas, estas
sejam conjugadas, no entanto, tal facto é admitido.
Tudo começa numa geração de uma população
(conjunto aleatório de pontos no plano complexo),
sujeita a uma vida artificial, onde vai crescer,
aprender e acabar por convergir para o ideal, nada
mais do que a raiz, i.e., solução pretendida. [1],[2],[3]
2. APLICAÇÃO
A população sujeita a esta vida artificial, segue os
Algoritmos Genéticos (AG’s), que operam com a
codificação dos indivíduos que constituem a
população. A pesquisa feita pelos AG’s é global,
através de uma função objectivo (fitness), operando na
população utilizando técnicas modeladas pela genética
biológica, onde sobrevivem os melhores indivíduos da
população. As gerações desenvolvem-se por processos
probabilísticos. [1],[3]
Na figura 2.1, está sintetizado a aplicação dos AG’s na
procura de raízes.
Não
Inicialização
Reprodução
Cruzamento
Mutação
Descobriu
nova
raiz?
Sim
Há mais
raízes por
descobrir?
Não
Fim
Sim
Inicialização
Figura 2.1 - diagrama
de blocos do algoritmo
Começa pela geraração aleatória de uma população,
onde depois de seleccionados os melhores indivíduos,
ficam sujeites ao cruzamento e à alteração de
determinadas características (mutação). O processo
repete-se até ser alcançado o objectivo pretendido.
Cada indivíduo é identificado por um cromossoma,
que representa uma posição no plano complexo (ex: o
número complexo conjugado 2±4j, ou o número -
6.12).
Podem ser consultados na bibliografia os seguintes
termos, que vão ser inseridos no contexto dos AG’s:
[1],[2],[3]
• cromossoma;
• codificação;
• selecção;
• cruzamento (é mais correcto o uso da
palavra retrocruzamento pois esta é a
tradução de crossing-over)
• mutação;
• mérito (fitness);
• aprendizagem.
2.1- Cromossoma
Uma população é constituída por vários indivíduos,
que nos AG’s necessitam de ser identificados. Esta
identificação é designada por cromossoma, constituída
por uma parte real (não esquecendo o sinal) e uma
parte imaginária (o sinal pode ser desprezado, pois
como foi citado, todas as funções possuem raízes reais
e/ou complexas conjugadas).

cromossoma - 45
cromossoma - 9
cromossoma - 23
cromossoma - 1
cromossoma - 3
cromossoma - 12
População
cromossoma
cromossoma
-
-
4
4
cromossoma - 6
cromossoma - 34
2.2- Codificação
Tal como as tiras de ADN (ácido
desoxirribonucleico) identificam
as cadeias de amino ácidos nos
seres vivos, garantindo a
transição de características de
geração para geração, pela sua
auto duplicação ou réplica.
Também nos cromossomas deste
projecto, terá de haver uma
codificação que permita as
mesmas potencialidades. [4],[5]
Na escolha da codificação,
devem ser seguidos os seguintes
princípios [1] :
Parte Real Parte Imaginária
• princípio dos blocos básicos significativos,
seleccionar uma codificação que resulta em
esquemas relevantes com distâncias curtas e de
ordens baixas e relativamente incorrelacionados em
relação às outras posições fixas dos esquemas;
• princípio do alfabeto mínimo, o alfabeto que
permita uma representação natural do problema.
O primeiro princípio compromete a codificação
decimal (a vulgar identificação dos números
complexos), no entanto satisfaz o facto de ter uma
única representação. Quanto ao segundo princípio,
induz à utilização da codificação binária, constituída
apenas por dois algarismos: ‘0’ e ‘1’, satisfazendo
também o primeiro princípio.
Por uma questão computacional, a codificação binária
é ligeiramente modificada, devido à necessidade de
determinar raízes elevadas e/ou com precisão. Optar
por uma população com algumas dezenas de
cromossomas, iria tornar o algoritmo mais lento.
O método implementado é o seguinte: codificar, quer a
parte real, quer a imaginária, como se fossem inteiras,
mas conhecendo a posição da vírgula, que terá de ser
comum a todos os cromossomas de uma geração. Ao
passar para outra geração, a posição da vírgula pode
ser alterada, consoante seja exigida maior precisão, ou
um maior espaço de procura (aprendizagem como é
apresentado em 2.7).
Codificação de cada cromossoma:
Cromossoma
Figura 2.2 - representação
de uma população e a
constituição do cromossoma
parte real parte imaginária
bit(sinal) bitn …bit1 bit0 | bitn …bit1 bit0
Figura 2.3 -
tiras de ADN
[4]
(2.1.1)
Exemplo:
- 7 ± 2.3 j => - 70 ± 23 j => 11000110 0010111
bit de sinal:
‘1’ equivale a -;
‘0’ equivale a +;
2.3- Selecção
Tal como numa população real, os melhores
indivíduos têm tendência a subsistir, criando novas
gerações, também o mesmo ocorre nos AG’s. Existem
vários tipos de selecção, tendo em conta o mérito e por
vezes a introdução de certa aleatoriedade.
2.3.1- Roda da Sorte
Mantendo constante o número de elementos da
população, steady state, é optada por uma selecção
proporcional ao mérito, que no entanto é
probabilística. De facto um elemento que tenha maior
mérito que outro, tem também maior probabilidade de
ser seleccionado, no entanto, nada impede que seja
seleccionado o pior, perdendo-se assim talvez o
melhor elemento da população, que poderia levar a
uma convergência mais rápida. [1],[2]
2.3.2- Elitismo
Para tentar minimizar este possível problema, é
adicionado à selecção roda da sorte (roulette Wheel
Sampling) uma forma de manter o melhor elemento
encontrado até então: elitismo.
Para que o número de indivíduos por população se
mantenha constante, é substituído o pior elemento pelo
melhor encontrado até então. A figura 2.4 apresenta
um exemplo onde são seleccionados talvez elementos
de mérito relativamente alto, mas o melhor de todos,
estaria perdido, não fosse o elitismo.
geração anterior Selecção geração seguinte
Roda
da
Sorte
elitismo
o melhor
o pior
Figura 2.4 - exemplo de uma situação, onde pela
selecção da “roda da sorte” é perdido o melhor
elemento, que no entanto é salvo pelo elitismo
O elitismo pode ser utilizado não apenas num, mas nos
dois, três, ou até mais dos melhores elementos, por
outro lado, o elitismo não pode ser muito elevado, o
que pode resultar em máximos locais. [1],[2]
2.4- Cruzamento
Como foi referido, os cromossomas identificam as
características de cada indivíduo. O cruzamento
permite a criação de outros cromossomas com as
características dos antecessores. Tal como na vida
humana, se o pai apresentar estatura elevada e a mãe,
olhos azuis, é natural (não necessariamente) que o
filho venha a possuir as mesmas características. O
cruzamento em humanos é diplóide (o mecanismo
consiste em guardar uma réplica de segurança dos
genes potencialmente úteis evitando a sua destruição

por selecção natural), no entanto esta comparação é
fraca e sujeita a erros. [1],[2],[3],[4]
Nesta situação, para que haja codificação quer na
parte real quer na parte imaginária, mas
independentes, é seleccionado o cruzamento em duplo
ponto. Estes dois pontos são escolhidos
aleatoriamente, dentro das dimensões adequadas. O
exemplo apresentado na figura 2.5 elucida um pouco o
cruzamento entre dois cromossomas, que gera outros
dois. A escolha dos cromossomas para o cruzamento
é também aleatória.
Parte Real Parte Imaginária
Convém salientar que a partir do momento em que é
efectuado o cruzamento, são perdidos os elementos
imediatamente anteriores. No entanto tem a vantagem
de nas primeiras fases do algoritmo gerar bastante
variedade, estando a selecção encarregue de captar os
indivíduos mais próximos do óptimo. Nas fases finais,
onde é procurada a solução mas, com precisão, o
cruzamento está a gerar indivíduos em torno do
óptimo ou até mesmo este (nesta fase, devido à
codificação utilizada, os cromossomas tem os “lados
esquerdos”, quer da parte real, quer da imaginária em
relação aos pontos de cruzamento muito parecidos,
enquanto os “lados direitos” dos mesmos, diferem
bastante. Como resultado do cruzamento surgem
pontos em torno do óptimo (ex: óptimo=1.274±2.735j,
são gerados valores tais como 1.281±2.726j,
1.277±2.730j, 1.269±2.745j).
lado esquerdo
da parte real
Cromossoma 1
Cromossoma 2
Parte Real Parte Imaginária
Parte Real Parte Imaginária
1º ponto de
cruzamento
lado direito
da parte real
lado esquerdo da
parte imaginária
2º ponto de
cruzamento
lado direito da
parte imaginária
Cromossoma 1’
Parte Real Parte Imaginária
Cromossoma 2’
Parte Real Parte Imaginária
Figura 2.5 - exemplo do cruzamento entre
dois cromossomas, resultando em dois
novos cromossomas
Figura 2.6 -
identificação das
partes do
cromossoma
influentes no
cruzamento
2.5- Mutação
Quantas vezes os filhos aparecem com características
que os pais, e outros antecedentes não possuem? Isto
deve-se ao efeito da mutação. Também nos AG’s esta
propriedade é importante, quando o algoritmo encalha
em máximos locais, bastando alterar um bit, para este
poder saltar para uma situação completamente
diferente.
A mutação consiste assim, na alteração de certas
características do cromossoma, o que nesta
codificação, corresponde à alteração de um ou mais
bits.
Cromossoma
Parte Real Parte Imaginária
bit(sinal) bitn … bit3 bit2 bit1 bit0 bitn … bit3 bit2 bit1 bit0
cromossoma
inicial
A escolha dos bits
que vão ser alterados
é aleatória, no entanto,
a probabilidade
de ser alterado o bitn
é menor do que a
probabilidade do
bit(n-1). Isto, para
não resultarem números
complexos muito
longe daqueles com
que se trabalha.
P Mutação (bitn) > P Mutação (bit(n-1)), n=1,2,3,… (2.4.1)
Na codificação utilizada, a simples alteração do bit de
maior peso resulta num número completamente
diferente
(ex: 11±9j => 01011 01001
passava para 27±9j => 00011 01001).
A probabilidade de um cromossoma ser alterado é
definida exteriormente como probabilidade de
mutação, enquanto a de cada bit (gene do
cromossoma), já é definida internamente, i.e., caso o
cromossoma não seja sujeito à mutação nada é
alterado, caso contrário, os bits estarão sujeitos a
alteração, obedecendo à probabilidade de mutação de
cada bit. [1],[2],[3]
Para além deste tipo de mutação, o algoritmo é
optimizado para gerar número(s) aleatório(s) em torno
do cromossoma, que se destina a ser mudado. A figura
2.8 elucida como se geram números na vizinhança do
inicial.
110010100 01001101 110010110 01001011
- 148 ± 77 j
bit de sinal
110010111 01001100
- 151 ± 76 j
Probabilidade de
mutação
110010110 01001101
Figura 2.7 - Identificação
do cromossoma e
exemplificação da mutação
bit0 bit1 bit2 bit3 . . . bits
Figura 2.7 - evolução
da probabilidade de
mutação ao longo dos
bits
- 150 ± 75 j
(cromossoma inicial)
- 150 ± 77 j
110011000 01001110
Figura 2.8 - exemplificação da
optimização na mutação
- 152 ± 78 j

2.6- Mérito
Para a selecção, é necessário ter em conta a
importância, o mérito, de cada cromossoma. Este não
traduz a distância a que o cromossoma está da solução
procurada, apenas dá uma medida da diferença do
mérito entre este e o desejado (que em muitos casos é
uma boa representação da distância à solução).
Descodificado o cromossoma, i.e., convertendo para
número decimal, sem esquecer a posição da vírgula e
substituindo esse valor na função f(x), da qual
pretendemos obter a raiz, vai resultar o mérito deste,
que quanto mais próximo de zero melhor. Para
reforçar a ideia, é utilizada a função de mérito (2.5.1)
que aumenta o mérito para pontos tais que f(x) se situe
perto de zero e, diminui para pontos que verifiquem o
contrário, como nos elucida a figura 2.9.
Função de Mérito
1
0.8
0.6
0.4
0.2
F Merito
1
=
2
( 1 + f ( x)
)
0
-5 -2.5 0 2.5 5
(2.5.1)
y=f(x)
Uma função de mérito não pode ser demasiado
selectiva, pois sujeita-se a que uma população convirja
para um valor considerado bom, no entanto longe do
óptimo.
2.7- Aprendizagem
O algoritmo é inicializado com indivíduos cujos
cromossomas são gerados aleatoriamente, com
comprimento fixo. Caso a raiz se localize no espaço de
procura, os indivíduos (pontos no plano complexo)
começam a convergir para a solução pretendida.
Imaginário
Real
Figura 2.9 -
gráfico da
função de
mérito (2.5.1)
Figura 2.10 - demonstração da convergência dos
pontos para a solução procurada
2.7.1- Alargamento do espaço de procura/virgula
flutuante
Quando uma grande maioria dos cromossomas se
encontra numa vizinhança do melhor encontrado até
então, o tamanho do cromossoma é aumentado para
efectuar uma procura com maior precisão (ex: a
procura era feita até às casas decimais, passando para
as centesimais) e assim por diante, até a solução ser
encontrada.
Outra situação que pode acontecer é, a raiz não se
localiza no espaço de procura (ex: a raiz é -250 e o
espaço de procura permite pontos que distam da
origem no máximo de 100), então é acrescido o
tamanho do cromossoma (nunca esquecendo a posição
da vírgula), até que se verifique o facto referido atrás,
a convergência dos pontos para solução.
São apresentados dois exemplos: o primeiro
demonstra a evolução do tamanho dos cromossomas
para a procura de uma raiz (cuja precisão é da ordem
x10 -4 ), ou seja, logo que se encontre o melhor
indivíduo para o espaço de procura em causa, aumenta
o tamanho dos cromossomas para mais uma casa
decimal; o segundo, cuja raiz é inteira, mas elevada, os
cromossomas evoluem até alcançar um espaço de
procura que contenha a raiz.
evolução do tamanho
do cromossoma
procura da
raiz
- 4.1537
procura da
raiz
41827
evolução do tamanho
do cromossoma
Figura 2.11 - demonstração da evolução do tamanho do
cromossoma, para duas situações diferentes
Se os pontos não convergirem para os extremos,
conclui-se que o espaço de procura contém a raiz a
determinar. Mesmo que a raiz se localize no extremo,
o algoritmo tem tendência a passar para o novo espaço
de procura mas, sendo este maior e contendo a raiz, já
não há convergência para os extremos deste espaço de
procura.
2.7.2- Função de mérito para funções com mais do
que uma raiz
Outro factor importante, surge quando se pretende
procurar a raiz de uma função, e esta possui mais do
que uma. Até encontrar uma raiz, que será considerada
como a primeira, não há nada a acrescentar. A partir
deste momento, são penalizados os pontos que se
aproximem das raízes já encontradas. A função de
mérito passa a ter uma componente que penalize, ou
seja, diminua o mérito para os pontos demasiado
próximos das raízes já encontradas. Uma forma
possível será a expressão (2.7.2.1).
1 N
F =
× ∏ ( x − raiz )
Merito
2
i
( 1 + f ( x)
) i = 1
(2.7.2.1)

Para elucidar esta situação, é apresentado a procura
das raízes do polinómio x 2 -30. Os pontos azuis
demonstram a procura da raiz positiva, enquanto na
procura da outra, os pontos (desta vez vermelhos, para
não serem confundidos), afastam-se da raiz já
encontrada.
Imaginário
Real
Exemplo:
raiz = -5.447
2
raiz = 5.447
Figura 2.12 onde - determinação f(x) = x - das 30 raízes do
polinómio x 2 -30 como demonstração na procura
de múltiplas raízes
3. RESULTADOS
Em bastantes experiências, esporádicamente surgia a
seguinte situação: os pontos convergiam para o
“melhor encontrado até então”, no entanto este
localizava-se longe do “óptimo”, i.e., a raiz que
procurávamos.
“óptimo”
Imaginário
Real
“melhor” encontrado
até então
Figura 3.1 - situação onde os pontos convergem
para o “melhor encontrando até então”, no
entanto longe da solução
Nestas situações, a solução do problema consiste em
aumentar a probabilidade de mutação, permitindo que
surjam pontos mais próximos da solução e, logo que o
fitness aumente (já próximo da solução), a
probabilidade de mutação volte ao valor inicial.
Feito um teste exaustivo ao algoritmo, procurando 250
vezes a raiz da função f(x) x e x
= + . A procura foi
sempre efectuada com sucesso.
Figura 3.2 - resultado de 250 procuras da raiz da
função x+e x , como teste ao algoritmo
Da análise aos gráficos da figura 3.2 e após 10
gerações, a função f(x) apresenta valores sempre
inferiores a 2, de onde resulta uma média de 22.5
gerações para determinar a solução. Numa das
experiências, foi preciso aumentar a mutação, como
foi referido em 2.7, tendo sido determinada a raiz após
53 gerações.
A população é constituída por número constante de
indivíduos. Esta quantidade deve ser tal que permita
uma larga variedade de cromossomas na inicialização,
mas de forma a não prejudicar a convergência para a
solução pretendida e, até mesmo, evitar a lentidão no
algoritmo. Daí existir também uma relação entre o
número de indivíduos e a probabilidade de mutação:
se a população for muito reduzida a probabilidade de
mutação deve ser maior do que numa população
elevada, onde existe maior variedade.
Foi colocada a hipótese de as funções possuírem
raízes reais ou complexas conjugadas. Se for
pretendido determinar raízes de funções, cujo
conjugado da raiz não seja também solução, basta
adicionar um bit respeitante ao sinal da parte
imaginária, mantendo o resto da implementação com
AG’s.
São apresentados ainda dois exemplos, onde é
demonstrado, a determinação das raízes complexas
conjugadas ou simplesmente reais: na figura 3.3 à
esquerda, as raízes do polinómio x 3 +312 e à direita,
x 4 +1200.
Figura 3.3 - demonstração da procura de raízes
reais e complexas conjugadas

4. COMENTÁRIO FINAL
Com polinómios, este algoritmo pode não se tornar
competitivo no que respeita à velocidade na
determinação de raízes, quando comparado com
programas já destinados a este fim. No entanto não se
restringe só a este tipo de funções.
Seja a função f(x) não polinomial, definida por ramos:
⎧2
− x , x ≤ 1
⎪
f( x)
= ⎨sin
[ 2( x − 2) ] , 1< x < 3
(4.1)
⎪
⎩2
− 2x , x ≥ 3
existe descontinuidade nos pontos: x = 1 e x = 3, onde
também não é diferenciável. Esta função anula-se no
ponto x = 2, como se constata na figura (4.1).
É comprovado o facto de o algoritmo não ser afectado
pelas descontinuidades, tendo sida determinada a raiz
de forma análoga às outras funções.
Figura 4.1 - aspecto gráfico da função f(x)
Na figura 4.2, é demonstrada a evolução da população,
onde bastou 28 gerações, cada uma constituída por 30
indivíduos (pontos).
Figura 4.2 - evolução dos pontos no
plano complexo para a determinação da
raiz da função f(x)
Convergência
para a
raiz da
função
f(x)
3 x
Finalmente com a função f ( x) = x + e + 5 x , é
comparado o algoritmo em termos de convergência
com o seguinte método iterativo:
x
x
0
3
atribuir
+ e
x
+ 5x
= 0
3
x
xn
+ e
xn+
1 = − , n = 1,
2,
3,...
5
Este método consiste em efectuar iterações sucessivas,
aproveitando sempre o resultado anterior. Neste
método foram necessárias 23 iterações, enquanto no
algoritmo com AG’s bastavam em média, 17. O
método supracitado tem vários inconvenientes: o valor
inicial convém que se situe próximo da raiz, acabando
muitas vezes por não convergir. Tal como este método
Funções polinomiais
Funções não polinomiais
Funções periódicas
Funções descontínuas
Funções aletórias
iterativo, a grande maioria, impõe restrições, facto
desnecessário para os AG’s.
Ao terminar este artigo não podíamos deixar de frisar
que esta cadeira de opção, Algoritmos Genéticos &
Vida Artificial, abriu-nos novos horizontes na
resolução de problemas de engenharia. Com esta
implementação, procurámos ser pedagógicos e
demonstrar como pode ser aliciante a fusão entre a
Matemática e a Genética.
5. BIBLIOGRAFIA
Funções trignométricas
Funções diferenciáveis
Funções logarítmicas
Algoritmos Genéticos
[1] “Introdução aos Algoritmos Genéticos e Vida
Artificial”, Rosa AC, Soares J. Pereira H, Allen Lima
J e Gracias N, DEEC-IST,1995
[2] “Genetic Algorithms in Search, Optimization and
Machine Learning”, Goldberg D, Addison-
Wesley,1989
[3] “Artificial Life”, Langton C (ed), Santa Fé
Institute, 1990
[4] “Enciclopédia Luso - Brasileira de Cultura”,
Verbo
[5] “Microsoft Encarta 96 Encyclopedia”, Microsoft
[6] “Matlab, User’s Guide”
[7] “Mathematica”, Enhanced Version 2.2, Wolfram
Research, Inc