Prova 2 resolvida - Impa

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(b) Se temos a informação de que o componente durou mais de 50 horas, qual é a
probabilidade deste componente ter durado menos de 75 horas?
Solução: Considere a variável aleatória contínua X : tempo de duração do componente
eletrônico. Como a variável aleatória tem a propriedade de perda de memória,
ela necessariamente tem distribuição exponencial. Logo a fdp é dada por:
−0,4t 0, 4e , se t ≥ 0
f(x) =
0 , se t < 0
(a) Calculemos a probabilidade do componente durar entre 30 e 50 horas
50
P [10 ≤ X ≤ 50] = 0, 4e −0,4t dt = e −0,4·10 − e −0,4·50 ≈ 0, 0183
10
Se a probabilidade de um componente durar entre 10 e 50 horas é de aproximadamente
1, 83%, para uma produção de 6000 componentes esperamos que
6000 × 0, 0183 = 109, 9 ≈ 110 durem entre 10 e 50 horas.
(b) A pergunta é P [X < 75|X > 50] =? A propriedade de perda de memória da
variável aleatória afirma que
P [X < t + s|X > s] = P [X < t].
No nosso caso temos que
P [X < 56, 25|X > 50] = P [X < 6, 25] = 6,25
0
0, 9179.
0, 4e −0,4t dt = 1 − e −0,4·6,25 =
(3) (2,5 pontos) Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o
serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em
minutos):
f(x) = 1 1
ke− 4
4 kx , x > 0,
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. A porcentagem
de pessoas físicas utilizando o serviço ainda é pequena e é estimada na ordem
de 20%. Calcule:
(a) A probabilidade de uma pessoa física ficar mais de dois minutos conectada.
(b) A probabilidade de um cliente ficar mais de dois minutos conectado.
(c) Se um cliente fica mais de 5 minutos conectado, qual a probabilidade dele ser
pessoa jurídica?
Solução: Resolvido na lista 2.
(4) (2,5 pontos) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em
uma central de atendimento telefônico siga distribuição normal de média de 8 minutos
e desvio padrão de 2 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos que 5 minutos?
(b) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos?
Solução: Do enunciado a variável aleatória X : tempo de atendimento tem
distribuição normal com média 8 e desvio-padrão 2, resumidamente, X ∼ N(8, 4).
(a) P [X < 5] = P [Z < 5−8]
= P [Z < −1, 5] = P [Z > 1, 5] =
2
0, 5 − P [0 < Z < 1, 5] = 0, 5 − 0, 4332 ≈ 0, 0668. Justificativas: fizemos a
mudança de variável padrão para conseguir uma distribuição com média zero