Lista 4 - IMPA

4 a Lista de exercícios - Geometria Analítica
Prof a : Edilaine Nobili
1) Sejam A = (−5, 2, 3) e B = (4, −7, −6). Escreva equações nas formas vetorial,
paramétrica e simétrica para da reta que passa por A e B. Verifique
se P = (3, 1, 4) pertence a essa reta.
2) Dados o ponto A = (1, 2, 3) e o vetor ⃗u = (3, 2, 1), escreva equações da
reta que contém A e é paralela a ⃗u, nas formas vetorial, paramétrica e
simétrica. Obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.
3) Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas
⎧
⎨ x = 1 − t
r : y = t , t ∈ R.
⎩
z = 4 + 2t
Verifique se os pontos P = (1, 3, −3) e Q = (−3, 4, 12) pertencem a esta
reta.
4) Mostre que as equações
2x − 1
3
= 1 − y
2
= z + 1
descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas
como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor
desta reta.
5) Sejam A = (3, 6, −7), B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6). Considerando
que A, B e C são vértices de um triângulo, escreva equações paramétricas
da reta que contém a mediana relativa ao vértice C.
6) As equações (x, y, z) = tα(1, 2, 4) e (x, y, z) = (1, 0, −2) + t(−1, −1, −1),
t ∈ R, descrevem os movimentos de duas partículas em função do tempo
t. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela
ocorre
7) Estude a posição relativa das retas r 1 e r 2 nos casos abaixo:
1

⎧
⎪⎨ y = − 1
(a) r 1 : (x, y, z) = (1, −1, 1) + t(−2, 1, −1) e r 2 : 2 x + 3 2
⎪⎩ z = 1 2 x − 3 2
(b) r 1 : x + 1
2
(c) r 1 : x + 3
2
= y 3 = z + 1
2
= y − 1
4
= z + 1
2
e r 2 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 2, 0)
e r 2 :
{ y = 2x + 7
z = 1 2 x + 3 2
8) Encontre uma equação paramétrica da reta que passa por A(3, 2, −1) e é
simultaneamente ortogonal às retas
r 1 :
{ x = 3
y = −1
e r 2 :
{ y = x − 3
z = −2x + 3
9) Calcule a interseção das retas
{ { y = 3x − 1 y = 4x − 2
a) r :
z = 2x + 1 s : z = 3x
b) r : y − 3
2
= z + 1
−2 ; x = 2
s : { y = 2x
z = x − 3
10) Determine o ângulo entre as seguintes retas:
a) r : (x, y, z) = (−2, 0, 3) + t(−2, 2, −4) e s : x 4 = y + 6
2
{ y = −2x − 1
b) r :
e s : y z = x + 2
3 = z + 1
−3 ; x = 2
= z − 1
2
11) Escreva as equações paramétricas e a equação geral do plano π, utilizando
as informações dadas em cada caso.
(a) π contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores ⃗u = (1, 1, 0) e ⃗v =
(2, 3, −1).
(b) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo ao vetor ⃗v =
(2, 1, 0).
(c) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, −1) e é paralelo ao segmento de
extremidades C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
2

(d) π contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0).
(e) π contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano π : (x, y, z) =
(1, 0, −1) + s(1, 2, −1) + t(2, 1, −1)
12) Determine o ângulo entre os seguintes planos.
(a) π 1 : x − 2y + z − 6 = 0 e π 2 : 2x − y − z + 3 = 0
(b) π 1 : x + 2y − 6 = 0 e π 2 : y = 0
13) Determine o valor de m para que seja de 30 o o ângulo entre os planos
π 1 : x + my + 2z − 7 = 0 e π 2 : 4x + 5y + 3z + 2 = 0.
14) Determine a interseção dos planos π 1 e π 2 . Quando se tratar de uma reta,
descreva-a por equações paramétricas.
(a) π 1 : x + 2y − z − 1 = 0 e π 2 : 2x + y − z = 1
(b) π 1 : z − 1 = 0 e π 2 : y − 2x + 2 = 0
(c) π 1 : x − y = 1 − 3z e π 2 : 6z − 2y = 2 − 2x
15) Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P = (1, 1, −3)
e a reta
{ x − y + 2 = 0
r :
x + y + z = 0
16) Determine m para que sejam perpendiculares os planos π 1 : mx+y −3z −
1 = 0 e π 2 : 2x − 3my + 4z + 1 = 0.
17) Dados a reta r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, m, −1) e o plano π : 3x + 2y +
mz = 0, determinar o valor de m para que se tenha r//π e r ⊥ π.
⎧
⎨ x = 1 − 2t
18) Determine o ângulo que a reta r : y = −t forma com o plano
⎩
z = 3 + t
π : x + y − 5 = 0.
19) Verifique nos casos abaixo se a reta r está contido no plano π. Determine
a interseção da reta r com o plano π.
(a) r :
{ y = 4x + 1
z = 2x − 1
e π : 2x + y − 3z − 4 = 0
3

(b) r : x − 2 = y + 2
2
= z + 3 e π : x + y − z = 0
20) Determine o valor de m e n para que a reta r esteja contida no plano π.
⎧
⎨ x = −2 + t
r : y = 3 − 2t e π : mx + 2y − 3z + n = 0
⎩
z = 2t
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