Efeitos quânticos em buracos negros - UFRJ

Efeitos quânticos em buracos
negros
Gabriel Bié Alves
Orientador: Sérgio Eduardo de Carvalho Eyer Jorás

Efeitos quânticos em buracos negros
Gabriel Bié Alves
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-
graduação do Instituto de Física da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).
Orientador: Sérgio Eduardo de Carvalho Eyer Jorás
Rio de Janeiro
2011

Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus por ter-me dado a oportunidade de estar realizando
o Mestrado nessa área do conhecimento tão intrigante e maravilhosa que é a Física, me
fortalecendo sempre, principalmente nos momentos mais difíceis de minha caminhada.
Gostaria de agradecer também a todos os meus familiares que sempre me deram apoio
nas minhas decisões me incentivando a seguir em frente. Em especial, à minha mãe e
minha avó sem as quais não teria tido o suporte necessário para concretizar todos os meus
objetivos, sempre me acolhendo e me ajudando da melhor maneira possível. À minha
irmã pela compreensão e paciência nos momentos em que precisava de tranqüilidade para
poder-me concentrar no meu estudo. E, principalmente, a meu pai, que considero como
o mentor na minha jornada acadêmica, a quem tenho muito o que agradecer pelo enorme
incentivo e pela incomensurável preocupação (por vezes até excessiva) que tem por mim
para que possa realizar todos os meus sonhos.
A todos os meus amigos e amigas que contribuíram direta ou indiretamente para este
trabalho com quem dividi todos os meus momentos felizes e também os mais difíceis ao
longo desses dois anos de mestrado. A todos os meus amigos que conheci na Física. Em
particular, aos meus amigos Rafael Bezerra, que começou parte desse trabalho junto co-
migo, assim como o Otávio. Ao Reinaldo, pela amizade durante todo esse tempo (desde
a graduação) com quem tive inúmeras discussões valiosas, que, imagino, acrescentaram
muito a ambos. A Betania, que também me acompanhou durante todo o meu mestrado, e
de quem recebi muito apoio, companheirismo e alegria em todos os momentos (principal-
mente nos mais tensos, quando precisava me isolar um pouco), que foram fundamentais
para conseguir progredir no meu trabalho.
A todos os professores com quem tive cursos no Física, pois eles foram e são muito
importantes para minha formação acadêmica. Particularmente, ao Sergio Jorás, peça fun-
damental nesse trabalho, que me orientou magistralmente durante o Mestrado e parte da

graduação, estando sempre presente e disponível a ajudar e a discutir qualquer dúvida de
seus orientandos.
Finalmente, agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro recebido nesse período e ao
Instituto de Física, por criar condições adequadas de estudo a todos os estudantes de
pós-graduação, que possuem uma sala com seu próprio computador com toda uma in-
fraestrutura voltada para o estudo, o que considero um estímulo importante aos jovens
cientistas.

Resumo
Efeitos quânticos em buracos negros
Gabriel Bié Alves
Orientador: Sérgio Eduardo de Carvalho Eyer Jorás
Resumo da Tese de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Física,
Instituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).
O presente trabalho estuda como efeitos quânticos alteram alguns resultados na teo-
ria clássica de Relatividade Geral aplicada a buracos negros. Um exemplo é a conhecida
conjectura de censura cósmica, que nessa abordagem pode ser quanticamente violada em
princípio pela absorção de uma partícula de baixa energia e um momento angular sufici-
entemente alto. Para isso, nós temos que lidar com a propagação de ondas nas vizinhanças
de buracos negros estáticos e carregados. Para realizar isto, nós desenvolvemos um pro-
grama em C que pode nos fornecer a matriz de espalhamento para qualquer freqüência,
usando o método de Prüfer. Além disso, propomos um “toy model” para o potencial
de espalhamento que tem retornado bons resultados. Analiticamente, explicamos toda a
análise semiclássica necessária para tratar do problema de espalhamento e produção de
partículas perto do horizonte de eventos, levando a um espectro térmico e uma seção de
choque análoga ao resultado clássico, e finalmente, propomos a conexão entre esses pro-
cessos físicos.
Palavras-chave: Buraco negro. Conjectura de censura cósmica. Radiação Hawking. Mé-
todo de Prüfer. “Toy model”.

Abstract
Quantum effects in black holes
Gabriel Bié Alves
Orientador: Sérgio Eduardo de Carvalho Eyer Jorás
Abstract da Tese de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Física,
Instituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).
The present project studies how quantum effects changes some results in classical
General Relativity theory applied to black holes. One example is the so-called weak
cosmic censorship conjecture, which in this approach can be violated in principle by an
absorption of a particle with low energy and high enough angular momentum. For this
purpose, we have to deal with propagation of waves in the vicinity of both static and
charged black holes. To do so, we developed a numerical code in C that can give us the
scattering matrix for any frequency, using the Prüfer method. Besides, we propose a “toy
model” for the scattering potential that has given good results. Analytically, we explain
all the necessary semiclassical analysis to treat the problems of scattering and particle
production near the event horizon leading to a thermal spectrum and a analogous classical
cross section, and finally we propose the connection between these physical processes.
Keywords: Black Hole. Weak Cosmic Censorship. Hawking Radiation. Prüfer Method.
“Toy model”.

Sumário
1 Introdução 3
2 Espalhamento de ondas escalares por buracos negros 13
2.1 Formulação matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 “Toy model” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Produção de partículas em espaços-tempos com horizontes 35
3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Aplicação ao problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Cálculo da radiação térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Conclusão 53
A Introdução às métricas de buracos negros 55
A.1 A métrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.1.1 Buracos negros em Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2 Buracos negros em Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B Método de Prüfer 63

Referências 67
2

Capítulo 1
Introdução
Dentro do estudo de uma das principais áreas da Física, a relatividade geral, o estudo
de objetos teóricos conhecidos como “buracos negros” é fundamental. Tais objetos po-
dem ser formados pelo colapso gravitacional de uma estrela ou aglomerado de estrelas e
possuem atração gravitacional tão elevada que nada consegue escapar de dentro de uma
região do espaço denominada de horizonte de eventos. Segundo as previsões da teoria,
mesmo uma estrela com massa menor do que 8 vezes a massa solar, pode, ao final de
sua vida, sofrer um colapso gravitacional, levando ao surgimento de uma anã branca e,
em última instância, a um buraco negro (caso a massa da anã branca seja maior do que
1,4 vezes a massa solar). Sabendo-se que muitas estrelas em nossa galáxia têm mais do
que oito massas solares e o tempo de vida de uma estrela é muito menor que o tempo de
formação de nossa galáxia, é plausível supor que muitos buracos negros já foram criados
por esse processo, muito embora sua detecção seja de maneira indireta, já que nenhuma
informação escapa do mesmo.
A motivação inicial deste trabalho foi estudar a conhecida conjectura de censura cós-
mica, que desempenha um papel fundamental no estudo de buracos negros. Essa conjec-
tura sustenta que nenhuma singularidade no espaço-tempo, exceto possivelmente a singu-
laridade cosmológica primordial, é visível a qualquer observador. Em outras palavras, a

singularidade de um buraco negro é sempre revestida por um horizonte de eventos (com
detalhes no apêndice A). Matematicamente, um buraco negro com massa M, carga Q e
momento angular J deve satisfazer a seguinte relação (em unidades c = G = = 1):
M 2 ≥ Q 2 + (J/M) 2 , (1.1)
que garante a existência do horizonte de eventos. Denomina-se buraco negro “extremo”
no caso de igualdade em (1.1).
Classicamente, vários resultados têm se mostrados favoráveis à conjectura (veja, por
exemplo [1], [2], [3], [4], [5]). Wald, por exemplo, estudou o caso (clássico) de se tentar
adicionar mais momento angular e/ou carga através da absorção de uma partícula teste
a um buraco negro extremo [6]. Em ambos os casos, ele concluiu que o incremento
em massa M é suficiente para manter a desigualdade válida. Entretanto introduzindo-se
efeitos quânticos ao problema pode-se chegar a resultados completamente diferentes. É
possível, então, conjecturar que uma partícula de baixa energia e grande momento angular
tunele a barreira de potencial centrífugo e seja absorvida pelo buraco negro de forma que
o acréscimo no momento angular J do buraco negro seja maior que o acréscimo de massa
M, violando a desigualdade (1.1).
Nesse contexto, estudos foram feitos (em particular, [7] e [8]) para se calcular a taxa
de absorção de uma partícula por um buraco negro. Em ambos os casos, a taxa foi cal-
culada para o espaço-tempo de Reissner-Nordström (A) no regime de baixa energia da
partícula, sendo que em [7] a atenção é mais voltada para a questão da conjectura cós-
mica, considerando-se ainda o caso extremo. Nessas referências, chega-se ao resultado
de que uma partícula com baixa freqüência ω, momento angular l com projeção m no eixo
ˆz tem uma probabilidade - embora muito pequena - de ser capturada pelo buraco negro e
violar a conjectura de censura cósmica desde que o valor de l seja suficientemente alto.
Essa conclusão foi refutada em [9], tendo em vista os efeitos de “back-reaction” que
conseguiriam manter a validade da conjectura. Segundo o autor, deve-se considerar o
efeito de interação entre o buraco negro e o momento angular da onda incidente, ou seja,
4

ao ser absorvida, a partícula (campo escalar) injeta uma certa quantidade de momento
angular no mesmo, fazendo-o girar com um acréscimo na velocidade angular igual a
Ω = m
Mr2 , (1.2)
+
no caso de um buraco negro carregado, alterando o “background” de propagação das on-
das no espaço-tempo. Además, é um efeito conhecido que, em espaços-tempos descritos
pela métrica de Kerr-Newman (buraco negro com M, Q e J, por exemplo), apenas os mo-
dos com ω > mΩ podem ser absorvidos pelos buracos negros, caso contrário os modos
são amplificados, com uma taxa de reflexão maior do que a incidente (fenômeno de super-
radiância) [10], [11]. Assumindo uma velocidade angular inicial nula, chega-se à conclu-
são que ω > m 2 /M 3 para poder ser absorvida. Dessa maneira, a absorção de uma partí-
cula com energia ω, momento angular l com projeção m, acarreta as seguintes mudanças
nos parâmetros do buraco negro: M ↦→ M ′ = M + ω e a = J/M = 0 ↦→ a ′ = m/M, o
que mantém a condição
considerando-se que inicialmente M 2 ≥ Q 2 .
M ′2 ≥ Q 2 + a ′2 , (1.3)
Em resposta, os autores, em [12], argumentam que o processo proposto continua vá-
lido já que a partícula é enviada ao buraco negro uma de cada vez, muito embora também
manisfestem a preocupação com os efeitos de “back-reaction”. Nesse sentido, a análise
desses efeitos faz-se mister para validade ou não da conjectura. Porém, diferentemente
do que feito em [9], os parâmetros do buraco negro não deveriam se alterar da maneira
antes apresentada, mas com o mesmo absorvendo o momento angular total da partícula,
agindo como um aparelho de medição clássico para M ≫ MP = √ c/G (massa de
Planck). Assim sendo: M ↦→ M ′ = M + ω e a 2 = 0 ↦→ a ′2 = l(l + 1)/M ′2 , com
ω > mΩ = m 2 /Mr 2 +, tornando a desigualdade da conjectura cósmica passível de ser vio-
lada. Ainda, contrastando com esse resultado, se considerarmos o limite clássico, no qual
um ensemble de N partículas no mesmo estado é enviado ao buraco negro, o momento
angular absorvido passa a ser ⃗ J ′ = N⟨ ⃗ L⟩ = Nmˆz, que restaura a validade da conjectura
5

cósmica. Tudo isso nos mostra que uma abordagem semiclássica mais elaborada é neces-
sária para o efeito de “back-reaction” que leve em consideração uma mudança temporal
no potencial de espalhamento sem lançar mão de uma mudança estática no potencial de
espalhamento que acontece antes da partícula tunelar pela barreira.
Além disso, ainda em [8], chegou-se à conclusão que, nesse regime de baixas freqüên-
cias, a taxa de tunelamento dos modos “ingoing” oriundos do “past white-hole horizon”
(τ → ωl ) e a taxa de absorção do “past null infinity” (τ ← ωl ) são iguais. Contudo, esses resulta-
dos parecem ser diferentes de um efeito total de absorção e emissão de partículas por um
buraco negro que é igual um espectro térmico.
Como sugerido em [13] através de uma abordagem semiclássica, a taxa de emissão de
partículas coincide com a exponencial de Boltzmann, estando o buraco negro num “banho
térmico”, podendo-se recuperar a conhecida temperatura de Hawking, calculada original-
mente em [14] e [15] com um tratamento de teoria quântica de campos em espaços-
tempos curvos, bem como tradicionalmente apresentado em [16], [17] e [18]. Levando-se
em consideração efeitos de conservação de energia, M. K. Parikh mostrou e o espectro
exato não é precisamente térmico, mas relacionado à entropia de “Bekenstein-Hawking”
(∆SB−H) [19]. Para tal dedução, no caso de Schwarzschild, considerou-se a métrica em
coordenadas de Painlevé [20]:
ds 2 = −
(
1 − 2M
r
)
dt 2 √
2M
+ 2
t = ts + 2 √ √ √
r − 2M
2Mr + 2M ln √ √
r + 2M
r dt dr + dr2 + r 2 dΩ 2
com, (1.4)
(1.5)
onde ts é a coordenada t em Schwarzschild (A.7). Note que esta métrica é estacionária,
mas não estática e que não há singularidade em r = 2M.
A idéia chave desse método é achar as geodésicas nulas (ds 2 = 0), que, nesse caso
são dadas por:
˙r = dr
dt
√
2M
= ±1 − , (1.6)
r
onde o sinal +(−) corresponde à geodésica “saindo” (“entrando”).
6

ω:
Usando isso, pode-se calcular a parte imaginária da ação para uma casca de energia
Im S = Im
= Im
∫ rout
rin
∫ ∫ rout H
rin
pr dr = Im
0
∫ ∫ rout pr
dp
rin 0
′ r dr (1.7)
dH ′
dr (1.8)
˙r
onde, na última passagem, multiplica-se e divide-se o integrando por ambos os lados da
equação de Hamilton: ˙r = dH
dpr |r. Pensando-se numa onda esférica de energia positiva
se propagando para fora do horizonte e levando-se em consideração a conservação de
energia, a integral (1.8) pode ser feita com H = M − ω ′ , rin = 2M, rout = 2(M − ω), e
substituindo-se M → M − ω em (1.6), de forma que encontra-se:
(
Im S = 4πω
M − ω
2
)
. (1.9)
Pode-se mostrar que o mesmo resultado é encontrado pensando-se numa criação de um
par partícula e antipartícula, com esta última se propagando para dentro do horizonte.
Portanto, a taxa de tunelamento semiclássica é dada por:
Γ ∼ e −2Im S = e −8πω(M−ω/2) = e ∆SB−H (1.10)
onde o resultado foi expresso em termos da variação da entropia de “Bekenstein-Hawking”.
Vemos que, desprezando-se o fator de ω 2 encontraremos o fator de Boltzmann com a
temperatura de Hawking correspondendo a /8πM. Considerando-se esse fator, a tem-
peratura efetiva do buraco negro aumenta enquanto irradia, o que fisicamente pode ser
interpretado como o “evanescimento” já que a partícula emitida carrega consigo massa
(e carga) do buraco negro. Em [13] também é analisado o caso de um buraco negro com
carga (Reissner-Nordström), chegando-se a resultados análogos.
Contudo, recentemente, um problema nessa abordagem foi apontado em [21], onde
mostra-se que 2Im ∫ rout
rin pr dr não é canonicamente invariante e, portanto, não é um ob-
servável apropriado. O objeto que seria invariante é Im pr dr, onde o caminho fe-
chado engloba a coordenada radial do horizonte de eventos. Tentativas, então, com
7

1
− Γ ∼ e Im pr dr levam a uma temperatura de Hawking sendo o dobro da original. Em
[22], R. Banerjee trabalha com o método de Hamilton-Jacobi que é livre desse fator de
discrepância. Dessa forma, partindo-se da equação de Klein-Gordon para um campo es-
calar não massivo para trajetórias radial no setor (r − t), com a métrica
ds 2 = f(r)dt 2 + dr2
g(r) + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (1.11)
teremos uma equação de “movimento para o campo Φ(r, t)”. Usando-se o ansatz semi-
clássico:
a solução completa se escreve:
Φ(r, t) =
(
exp − i
)
S(r, t)
com , (1.12)
S(r, t) = S0(r, t) + S1(r, t) + 2 S2(r, t) + . . . (1.13)
S0(r, t) =
∫ r
dr
ωt ± ω √ ,
0 f(r)g(r)
(1.14)
Si =
βi
i
M 2i S0(r, t), (1.15)
sendo esta última encontrada por argumentos adimensionais, e a o sinal +(−) referente a
uma partícula entrando (saindo). As probabilidades ficam dadas por:
Pin = |Φin| 2 [ (
2
= exp 1 +
∑
βi
i
i
M 2i
) (
∫ )]
r
dr
ωIm t + ωIm √ (1.16)
0 f(r)g(r)
Pout = |Φout| 2 [ (
2
= exp 1 +
∑
βi
i
M 2i
) (
∫ )]
r
dr
ωIm t − ωIm √ (1.17)
f(r)g(r)
i
onde foi considerado que a coordenada t tem uma parte imaginária por cruzar o horizonte
de eventos que contribui para as probabilidades de emissão e absorção. Passando-se ao
limite clássico ( → 0) a probabilidade de absorção (Pin) tem de valer 1, o que significa
que:
∫ r
dr
Im t = −Im √
0 f(r)g(r)
0
(1.18)
8

e pode-se relacionar as probabilidade através da exponencial de Boltzmann com uma
temperatura dada por:
Th =
( ∫ ) −1 (
r
dr
Im √ 1 +
4 0 f(r)g(r)
∑
i
βi
i M 2i
) −1
(1.19)
sendo que o primeiro fator dá o resultado conhecido tradicionalmente no caso de Schwarzs-
child (/8πM), enquanto que os outros termos seriam correções quânticas à temperatura.
Mostra-se ainda que trabalhando-se em coordenadas de Painlevé chega-se ao mesmo re-
sultado, sem a ambugüidade do fator de 2, como mencionado anteriormente.
Nesse ínterim, a referência [23] se propõe a discutir o processo de produção de par-
tículas em espaços-tempos com horizonte de eventos. Nesse sentido, T. Padmanabhan
também utiliza-se de uma abordagem semiclássica para interpretar a radiação Hawking
[24] como oriunda de um processo de tunelamento nas proximidades de um buraco negro,
obtida através do cálculo direto em coordenadas (t, r) padrão em Schwarzschild, sem a
necessidade de recorrer às coordenadas de Painlevé ou à extensão de Kruskal. O cálculo
semiclássico é válido quando o comprimento de onda de de Broglie é pequeno com rela-
ção às dimensões do problema, o que justifica sua aplicação, já que, perto do horizonte,
o comprimento de onda da função tende a zero (“blueshift”). Tal horizonte de eventos
oferece uma singularidade nas contas que é contornada de maneira adequada no plano
complexo, podendo-se a partir daí relacionar a taxa de emissão de partículas com a taxa
de absorção da seguinte forma:
P emissão = P absorção e −βE
(1.20)
onde E é a energia das partículas e β = /8πM é a temperatura de Hawking padrão, que
é equivalente a uma distribuição térmica de partículas em analogia com o que é observado
em qualquer sistema interagindo com a radição de um corpo negro. Veremos este cálculo
com detalhe, incluindo correções à prescrição de contorno no plano complexo no capítulo
3.
9

Classicamente, um buraco negro absorve tudo o que se encontra próximo ao hori-
zonte de eventos, e por isso, na abordagem quântica tradicional, impõe-se a condição de
contorno que só haja onda absorvida no horizonte. Em [25] e [26] os autores propõem
uma maneira quântica alternativa de se tratar o problema nas proximidades do horizonte:
considerando a capacidade de reflexão do buraco negro de uma onda incidente, ou seja,
ambos os efeitos de absorção e reflexão acontecendo paralelamente.
Tanto pelas equações semiclássicas de Hamilton-Jacobi, quanto pela equação de mo-
vimento de Kelin-Gordon para um campo escalar, chega-se à mesma expressão assintótica
para a função de onda nas proximidades do horizonte de eventos:
Φ(r, t) = exp(−iϵt)Ylm(θ, ϕ)ϕ(r) , com (1.21)
ϕ(r) ≃ exp [±iϵ ln r − 1] , (1.22)
onde ϵ corresponde à energia da partícula, e (r, t) são as coordenadas padrão em Schwarzs-
child no sistema de unidades em que Rs = 2M = 1.
Admitindo-se reflexão no horizonte, pode-se escrever que, para a incidência de uma
onda vinda do lado de fora do mesmo:
ϕ(r) = exp [−iϵ ln (r − 1)] + R exp[iϵ ln(r − 1)] , (1.23)
sendo a primeira a onda incidente e a segunda, a refletida. Por análises de simetria do
problema, pode-se deduzir que o coeficiente de reflexão vale
(
|R| = exp − 4πMϵ
)
c
(1.24)
em unidades convencionais. Logo, a probabilidade de refletir e de cruzar o horizonte
ficam dadas, respectivamente, por:
P = |R| 2
(1.25)
Pcr = 1 − P. (1.26)
10

Como o potencial que aparece na equação de movimento é simétrico (∼ 1/(r − 1) 2 ),
de modo análogo, pode-se pensar em uma onda incidente em direção ao centro do bu-
raco negro, porém se propagando na região interna ao mesmo. Nesse caso, M. Kuchiev
argumenta que existe uma probabilidade dessa onda escapar do buraco negro dada por:
Pesc = P(1 − P). Pode-se então relacioná-las através de:
Pesc
Pabs
(
= P = exp − ϵ
)
, (1.27)
kT
mostrando que a radiação Hawking pode ser recuperada através do mecanismo de reflexão
no horizonte. Cálculos similares também forma obtidos para outras métricas: Reissner-
Nordström, Kerr e Kerr-Neumann. Além disso, modificações na matriz-S de espalha-
mento também são feitas em decorrência do referido efeito de reflexão bem como as
seções de choque são calculadas em [26].
Por tudo o que foi apresentado, é sensato dizer que a discussão sobre esse tema ainda
não se chegou a um consenso. Como vimos, essa tema é de fundamental importância
quando se deseja abordar o problema sob o viés da mecânica quântica, muito embora
apenas com uma teoria quântica da gravitação é que ter-se-á uma posição definitiva sobre
o assunto. Por enquanto permanece a intrigante questão se é possível a existência de uma
singularidade “nua” como resultado de um processo estritamente quântico.
No capítulo 2 deste trabalho, estudamos o espalhamento de ondas por buracos negros.
Desenvolvemos o formalismo matemático para lidar com essa abordagem quântica do
problema partindo da equação de Klein-Gordon e estudamos o caso de um campo escalar
sem massa e sem spin. A equação fundamental que se apresenta é a conhecida equação de
Teukolsky [27], que não possui solução analítica em termos de funções bem conhecidas.
Desenvolvemos então um programa computacional em linguagem de programação C que
evolui essa equação para certas condições de contorno e que nos fornece a relação entre
as amplitudes das ondas espalhadas, bem como a diferença de fase entre elas para cada
freqüência e momento angular separadamente. A partir daí, tem-se uma análise numérica
do problema que pode ser utilizada para comparação com aproximações analíticas. Em
11

seguida, apresentamos um “toy model” que modela com boa aproximação o problema
para altos valores de momento angular (que é o caso de maior interesse), cuja vantagem
reside no fato de se ter uma solução analítica para tal modelagem.
No capítulo 3, exploramos o tema de radiação e absorção de partículas por um bu-
raco negro pela abordagem semiclássica. Para isso, nas primeiras seções, apresentamos
os apectos gerais dessa teoria dentro da qual fez-se necessário lançarmos mão do método
W.K.B por integrais no plano complexo, também descrito aqui. Com isso, pudemos escre-
ver de maneira mais detalhada como o caminho de integração é escolhido para transpassar
a singularidade do horizonte, o que, a nosso ver, ainda estava obscuro nessas referências
supracitadas brevemente. Recupera-se assim o efeito de radiação Hawking.
Além disso, dois apêndices são apresentados. No primeiro, desenvolve-se uma breve
introdução ao estudo das métricas em espaços-tempos curvos e como buracos negros po-
dem ser definidos através delas. É um apêndice um pouco superficial para quem é da área
de Cosmologia e Gravitação, porém faz-se necessário para completeza do trabalho. No
apêndice B, o método de Prüfer [28] é discutido, pois foi baseado nele que o programa
computacional foi implementado para a evolução das equações diferenciais pertinentes
ao problema.
12

Capítulo 2
Espalhamento de ondas escalares por
buracos negros
O estudo de espalhamento de ondas é uma ferramenta fundamental na Física. Através
dele podemos entender melhor a estrutura do objeto espalhador em questão, podendo este
processo ser usado como teste para modelos teóricos de sua composição. Como exemplo
de aplicação, podemos citar o estudo de feixes de ondas planas para determinar a estrutura
de átomos, moléculas, cristais, etc. A analogia pode também ser estendida para a física
gravitacional, especialmente para objetos astrofísicos extremos, como buracos negros.
O espalhamento de ondas por buracos negros tem sido objeto de estudo há mais de 30
anos, assim como a propagação de onda num espaço-tempo que possua tal ente físico. É
improvável a curto prazo a observação dos vários efeitos de difração em buracos negros
astrofísicos, contudo faz-se muito importante o esse tipo de estudo já que ele nos fornece
uma compreensão teórica detalhada do espalhamento de ondas por buracos negros assim
como a propagação de ondas em espaços-tempos curvos e ainda uma possível violação da
censura cósmica.
Nesse sentido, o problema central que se apresenta é o estudo de propagação de ondas
escalares não massivas no espaço-tempo de Schwarzschild, que descreve o buraco negro

2.1 Formulação matemática 14
mais simples com uma dada massa M. Tal problema é relativamente bem estudado, e
ele servirá de base para avançarmos no estudo de outros espaços-tempos. Tratamos do
problema via uma abordagem quântica, ou seja, pensando na partícula teste como sendo
descrita por uma onda (ou pacote de onda) lançando mão dos resultados de relatividade
geral que fornece o elemento métrico para tais espaços-tempos.
Parte do nosso trabalho consiste na resolução numérica das equações diferenciais que
surgem do problema em questão. O método de Prüfer, que será analisado em maio-
res detalhes no decorrer do traballho, é conhecido na teoria quântica do espalhamento e
tratamentos numéricos da equação de Sturm-Liouville. Ele consite basicamente na trans-
formação da equação de onda radial em equações envolvendo funções de fase específicas
a serem integradas numericamente, além de ser um método eficiente para o caso de um
sistema com oscilações de altas freqüências, que é o caso da equação radial. Utilizamos
tal método no programa computacional desenvolvido por nós em linguagem C para o cál-
culo mais relevante, que são as "phase-shifts"de cada freqüência separadamente, de forma
que podemos então reconstituir o pacote de ondas (representando a partícula) e calcular
as taxas de reflexão, seção de choque e o que mais for necessário.
2.1 Formulação matemática
Partimos nosso estudo da equação de ondas para partículas de spin nulo e para campos
sem massa:
∇α∇ α Φ(⃗r, t) = 0. (2.1)
Ao ser aplicada na métrica de Schwarzchild (equação A.7 do apêndice A) e separando-se
as variáveis Φ(⃗r, t) = Rlm(r)Slm(θ)e imϕ e −iωt , chegaremos às equações
r(r − 2M) d2Rlm + (2r − 2M)dRlm
dr2 dr +
d2Slm dSlm
+ cot θ
dθ2 dθ +
(
( ω 2 r 3
r − 2M
)
Alm − m2
sin 2 θ
− Alm
)
Rlm = 0 (2.2)
Slm = 0. (2.3)

2.1 Formulação matemática 15
Figura 2.1: Relação entre as coordenadas r e r ∗ .
Essa última equação tem como soluções as funções de Legendre associadas, ou seja
Slm(θ) = P m
l (cos θ), com Alm = l(l + 1) satifazendo a condição |m| ≤ l.
Voltando à equação radial (2.2), definimos a seguinte mudança de variável:
dr∗ dr =
(
1 − 2M
) −1
r
Note que assim eliminamos a singularidade na métrica (A.7) e dessa forma mapeamos as
coordenadas r e r ∗ segundo o esquema da figura 2.1.
Portanto, a equação radial fica reescrita da seguinte maneira, em um sistema misto de
coordenadas:
{ d 2
+
dr∗2 [
ω 2 (
− 1 − 2M
) (
l(l + 1)
r r2 onde ulm(r) ≡ rRlm(r). Definindo ainda
2M
+
r3 )]}
ulm(r) = 0 (2.4)
x ≡ ωr (2.5)
xs ≡ 2Mω (2.6)
x ∗ ≡ ωr ∗ =
= x + xs ln( x
xs
− 1) − xs ln(2xs) + xs
, (2.7)
2
a equação radial fica conhecida como a equação de Teukolsky [32]:
{ 2 d
dx∗2 [ (
+ 1 − 1 − xs
)
x
( l(l + 1)
x2 xs
+
x3 )]}
ulm(x) = 0 (2.8)

2.1 Formulação matemática 16
V(x*)
2
1
0
-1
-2
-3
Potencial em Schwarzchild
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Figura 2.2: Potencial V (x) para o parâmetro l = 30.
que é totalmente análoga a uma equação de Schrödinger:
( 2 d
dx∗2 )
+ V (x) u(x) = 0 (2.9)
com
x*
V (x) ≡ 1 − Vef(x) (2.10)
(
Vef(x) ≡ 1 − xs
)
x
( l(l + 1)
x2 xs
+
x3 )
. (2.11)
Note que V (x) → 1 para x ∗ → ±∞ de acordo com o gráfico da fig.2.2. Nestes
limites, o comportamento da solução será:
ulm(x ∗ ) ∼ ⎧
⎨ e
=
⎩
−ix∗
x ∗ → −∞;
Aout lm eix∗ + Ain lm e−ix∗ ≡ B sin (x∗ + ζ); B, ζ ∈ C x∗ → +∞
(2.12)
que representa a situação de espalhamento de onda, cujo termo da primeira linha re-
presenta uma onda monocromática transmitida (absorvida no horizonte de eventos) em

2.1 Formulação matemática 17
Schwarzschild (r = 2M) e os termos da segunda linha, as ondas refletidas e incidentes
observadas no infinito, respectivamente. Note que já foi imposta a condição de contorno
de que não haja onda refletida nas proximidades do horizonte.
Logo, a solução geral para uma onda monocromática é dada pela superposição das
autofunções obtidas, de forma que podemos escrever:
Φ(r, θ, ϕ, t) = 1
∞∑ ∑+l
r
l=0 m=−l
clmulm(r)P m
l (cos θ) e imϕ e −iωt
sendo clm um coeficiente da expansão e P m(cos
θ) ortogonalizados por:
∫ π
0
dθ sin(θ)P m n (cos θ)P m
l (cos θ) =
l
(2.13)
(l + m)! 2
(l − m)! 2l + 1 δnl. (2.14)
Como o potencial de espalhamento V (x) é esfericamente simétrico, a função de onda
não pode depender de ϕ, o que implica que m = 0 [43]. Teremos então, redefinindo os
coeficientes clm = (2l + 1)al:
Φ(r, θ, ϕ, t) = 1
r
∞∑
(2l + 1)al ul(r)Pl(cos θ) e −iωt . (2.15)
l=0
Para determinarmos os coeficientes al devemos ajustar a função de onda de forma que
seu comportamento assintótico seja dado por:
Φ(r, θ) ∼ Φplana + 1
f(θ) eiωr∗
r
com r → +∞. (2.16)
Porém uma questão não muito trivial é como definir uma onda plana em espaços-
tempos curvos. Essa questão é discutida em [42], [33] e brevemente apresentada aqui.
Para um campo escalar livre, uma onda plana é dada pela expressão familiar em coorde-
nadas esféricas
Φplana = e iωr cos θ = e iωz . (2.17)
A expressão para a onda plana satisfaz a Φplana = 0 e, expandindo em funções de
Legendre, teremos a decomposição:
Φplana = 1
d
∑
cl ul(r) Pl(cos θ)
r
l
onde (2.18)
2ul dr2 +
[
ω 2 l(l + 1)
−
r2 ]
ul = 0. (2.19)

2.1 Formulação matemática 18
Notemos então que a equação radial (2.4) para r → ∞ fica
d2 [
ul
+ ω
dr∗2 2 l(l + 1)
−
r∗2 ( ∗ ln r
+ O
r∗3 )]
ul = 0 (2.20)
e, em analogia ao caso anterior, podemos escrever
Φplana ∼ 1
r
Φplana = e iωr∗ cos θ
e notemos ainda que a solução assintótica de (2.20) é dada por
∑
cl ul(r)Pl(cos θ) ⇒ (2.21)
l
(2.22)
ul ∼ bl sin(ωr ∗ − lπ
2 + δl). (2.23)
Substituindo as expressões para a função de onda, encontramos:
Φ ∼ e iωr∗ cos θ + f(θ)
=
∞∑
l=0
= ∑
l
≡ ∑
r
e iωr∗
(2l + 1)i l jl(ωr ∗ )Pl(cos θ) +
onde usamos as expansões (vide [41])
l
∞∑
l=0
fl
r Pl(cos θ) e iωr∗
[ (2l + 1)
2iωr ∗ ((−1)l+1 e −iωr∗
+ e iωr∗
) + fl
r eiωr∗
]
Pl(cos θ)
(2.24)
(2.25)
1
r (2l + 1)al bl sin(ωr ∗ − lπ/2 + δl)Pl(cos θ) (2.26)
f(θ) = ∑
flPl(cos θ) (2.27)
e iωr∗ cos θ = ∑
i l jl(ωr ∗ ) ∼
l
(2l + 1)i l jl(ωr ∗ )Pl(cos θ) (2.28)
l
1
2iωr∗ ((−1)l+1 e −iωr∗
+ e iωr∗
), ωr ∗ ≫ 1 (2.29)
sendo jl as funções esféricas de Bessel. Finalmente teremos por comparação:
eiδl l
al bl = i
ω
(2.30)
fl = eiδl
ω sin δl ⇒ (2.31)

2.1 Formulação matemática 19
Φ(r, θ, ϕ, t) =
≡
∞∑
l=0
∞∑
l=0
1
ωr (2l + 1)il e iδl sin(ωr ∗ − lπ/2 + δl)Pl(cos θ) e −iωt
1
r
(2.32)
out
(2l + 1)al(Al e iωr∗
+ A in
l e −iωr∗
)Pl(cos θ) e −iωt , por (2.12)
∴ S . l+1 Aout l
= (−1)
Ain l
= e 2iδl , (2.33)
é denominado o elemento de matriz de espalhamento. Desta relação fica claro que o mó-
dulo de S (relacionado à parte imaginária de δl) corresponde à razão entre as amplitudes
das ondas refletida e incidente, e a fase desse (relacionado à parte real de δl) correspon-
dendo à defasagem entre essas ondas. Obtemos ainda a amplitude de espalhamento
f(θ) = 1
∞∑
(2l + 1) e
ω
l=0
iδl sin δlPl(cos θ) (2.34)
= 1
∞∑
(2l + 1)(e
2iω
2iδl − 1)Pl(cos θ) (2.35)
l=0
que possui toda a informação física relevante no problema de espalhamento. Vemos então
que a matriz de espalhamento carrega o cerne dessa informação.
Sendo I0 o número de partículas incidentes por unidade de área e I dΩ o número de
partículas espalhadas em um ângulo sólido, define-se a seção de choque diferencial da
seguinte forma [29]:
que, no presente caso, se resume a:
dσ
dΩ
= |f(θ)|2
= 1
ω2 ∑
ll ′
dσ
dΩ
= I(θ)
I0
(2l + 1)(2l ′ + 1) e i(δl−δ l ′) sin δl sin ∗ δl ′ Pl(cos θ)Pl
(2.36)
(2.37)
′(cos θ). (2.38)
Integrando-se sob os ângulos (θ, ϕ) e levando-se em consideração a ortogonalidade dos
polinômios de Legrende, obteremos a seção de choque total de espalhamento:
∞∑
(2l + 1)| sin δl| 2
σtot = 4π
ω 2
l=0
(2.39)

2.1 Formulação matemática 20
onde cada termo
σl =
4π(2l + 1)
ω2 | sin δl| 2
(2.40)
pode ser interpretado como a contribuição ao espalhamento correspondendo ao momento
angular l.
Outro resultado teórico importante, e talvez o mais discutido no que diz respeito a
esse tema, é a seção de choque de absorção, que é definida de maneira análoga à seção
de espalhamento - eq.(2.37) - porém para a função de onda absorvida [30]. Nesse caso, o
comportamento assintótico da solução de (2.2) para r → 2M + é dado por:
com
A função de onda em (2.15) fica então reescrita como:
Φ(r, θ) ∼
g(θ) =
Rl ∼ cl(r − 2M) −2iMω . (2.41)
∞∑
(2l + 1)al cl(r − 2M) −2iMω Pl(cos θ) (2.42)
l=0
≡ (r − 2M) −2iMω g(θ) , r → 2M +
∞∑
(2l + 1)al cl Pl(cos θ) =
l=0
a amplitude de absorção, expandido em polinômios de Legendre.
(2.43)
∞∑
gl Pl(cos θ) , (2.44)
É possível relacionar as amplitudes de absorção e de espalhamento através das propri-
edades bem conhecidas do Wronskiano. Para uma equação diferencial de segunda ordem
da forma
l=0
d2y + P (x)dy + Q(x)y = 0 (2.45)
dx2 dx
temos que o Wronskiano de duas soluções de (2.45) é dado por:
(
W [y1, y2](x) = W (x0) exp −
∫ x
x0
)
P (ξ) dξ . (2.46)
Como Rl(r) satizfaz à equação (2.2), temos que o Wronskiano de duas soluções radiais

2.1 Formulação matemática 21
será dado por:
W [R ∗ l , Rl] =
( ∫ r )
2ξ − 2M
W (r0) exp −
r0 ξ(ξ − 2M)
(2.47)
∴ W (r) =
W (r0)
.
r(r − 2M)
(2.48)
Para a solução assintótica em (2.41) pode-se calcular o Wronskiano através de:
W [R ∗ l , Rl] =
R∗ l (r)
Rl(r)
(2.49)
que coincide com (2.48).
R ∗′
l (r) R′ l (r)
= 2i|cl| 2 ω (2M) 2
r(r − 2M)
Para o outro limite assintótico dado por (2.23) o Wronskiano será:
(r → 2M + ) , (2.50)
W [R ∗ l , Rl] = i|bl| 2 ω sinh(2βl)
r 2 , r → ∞. (2.51)
onde βl = Im(δl). Esse resultado está também de acordo com (2.48) para r ≫ 2M.
Equacionando ambos os resultados, teremos:
W (r0) = 2i|cl| 2 ω (2M) 2 = i|bl| 2 ω sinh(2βl) (2.52)
⇒ |cl| 2 = |bl| 2 sinh(2βl)
8M 2
(2.53)
Nesse caso, a seção de absorção diferencial a uma distância r = 2M do centro absor-
vedor será dado por:
Procedendo-se à seção total de absorção:
σ abs = (2M) 2
∫
= ∑
∫
dσ abs
dΩ = (2M)2 |g(θ)| 2 . (2.54)
l,l ′
|g(θ)| 2 dΩ (2.55)
gl g ∗ l ′ Pl(cos θ) Pl ′(cos θ) dΩ , (2.56)

2.2 Resultados numéricos 22
lembrando-se da ortogonalidade dos polinômios de Legendre (2.14), teremos:
σ abs = (2M) 2
= 2π
= 2π
ω 2
= π
ω 2
∞∑
∞∑
2 4π
2
|gl| = 16πM (2l + 1)|al cl|
2l + 1
l=0
l=0
2
(2.57)
∞∑
(2l + 1)|al bl| 2 sinh(2βl) por (2.53) (2.58)
l=0
∞∑
(2l + 1) e −2βl sinh(2βl) por (2.30) (2.59)
l=0
∞∑
l=0
(2l + 1)(1 − e −4βl ) ≡ π
ω 2
∞∑
(2l + 1)(1 − |S| 2 ) , (2.60)
onde cada termo σabs l
π = ω2 (2l + 1)(1 − |S| 2 ) é interpretado como a seção de absorção
parcial para cada valor de l. Note que o termo (1 − |S| 2 (
) = 1 − | Aout
Ain |2
)
é a taxa de
absorção da onda incidente.
2.2 Resultados numéricos
Como mencionamos inicialmente, desenvolvemos um programa em linguagem C que
permite a evolução da equação radial (2.4) através do método de Prüfer (Apêndice B), já
que as soluções têm rápidas oscilações. Uma versão anterior do código foi utilizada no
estudo de efeitos opticos em buracos negros multidimensionais em [31].
Comparando as equações (B.7) e (2.8) vemos que no presente caso em estudo usamos
P = 1 e Q = V (x ∗ ). Seguindo a substituição de Prüfer (B.8), definimos G(x ∗ ) ≡
u ′ (x ∗ )/u(x ∗ ) = cot θ. Derivando implicitamente e substituindo em (B.13) teremos:
l=0
dG
dx ∗ + G2 + V = 0 (2.61)
com a condição de contorno: G(x∗ → −∞) → −i, já que u(x∗ → −∞) → e−ix∗. Definindo ainda G(x ∗ ) ≡ θ(x ∗ ) − x ∗ , derivando implicitamente e substituindo em
(B.13), obtemos
d G
dx ∗ + Vef sin 2 ( G + x ∗ ) = 0 (2.62)

2.2 Resultados numéricos 23
abs
σ0 /A
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2
xs 2.5 3 3.5 4
Figura 2.3: Seção de absorção para l = 0 normalizada pela área do buraco negro de
Schwarzschild.
Para a condição de contorno de G, basta observarmos que por (2.12) temos:
tan θ = u(x∗ )
u ′ (x ∗ ) ∼ B sin(x∗ + ζ)
B cos(x ∗ + ζ) , x∗ → +∞ (2.63)
⇒ G(x ∗ → ∞) → ζ. (2.64)
Nosso método consiste em evoluir computacionalmente a Eq. (2.61), a partir da con-
dição inicial fornecida, até o ponto de mínimo do potencial V (x ∗ min). Neste ponto, o
matching das funções é feito por
G(x ∗ min) = i
2 ln
( )
∗ G(xmin) − i
G(x∗ min ) + i
L=0
− x ∗ min. (2.65)
A partir daí, evoluimos a Eq. (2.62) até o ponto em que G(x ∗ ) se torne constante, o
que formalmente acontece apenas quando x ∗ → ∞. Tal exigência torna este processo
computacionalmente caro.

2.2 Resultados numéricos 24
Podemos então calcular o desvio de fase δl = ζ + lπ/2 e o elemento de matriz de
espalhamento Sl = exp(2iδl).
Apresentamos os resultados da evolução numérica para as seções de absorção. Na
figura 2.3 vemos que no limite de baixa freqüência a seção de absorção para l = 0 tende
à área A = 4π(2M) 2 do buraco negro, que é o único caso de contribuição não nula nesse
regime [35], [36].
Na figura 2.4, pode-se analisar o comportamento das seções de absorção para distin-
tos valores l e a soma desses modos, gerando a seção total, que, no limite geométrico
(altas freqüências), oscila em torno de e tende a σ abs
T
encontrado em [38].
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
→ 27πM 2 [37], resultado também
abs 2
σT /27πM
abs 2
σ0 /54πM
L=1
L=2
L=3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x s
Figura 2.4: Gráfico da seção de absorção total e parcial para alguns valores de l. A
seção de choque total foi obtida somando-se as contribuições de 0 ≤ l ≤ 10. Para
melhor visualização as seções parciais foram ajustadas com outra normalização, a saber:
σl/54πM 2 .
Podemos ainda fazer outra comparação dos resultados numéricos com outros conhe-

2.3 “Toy model” 25
cidos na literatura. Em [7] chega-se ao resultado que uma partícula com baixa energia
(ω ≪ 1), momento angular l tem uma probabilidade de ser capturada pelo buraco negro
em Reissner-Nordström dada pela expressão:
|τωl| 2 = 1 − e −4Im δl = 2 4l+4 (r+) 2 (r+ − r−) 2l (l!) 6 M 2l+2 ω 2l+2
[(2l + 1)!(2l)!] 2 , (2.66)
onde r± = r±/2M e r± estão definidos em (A.20). Tendo em vista esse resultado,
foi concluído que a violação da conjectura de censura cósmica é possível dentro deste
cenário.
No caso em estudo (Schwarzschild), para que não haja variação significativa de ener-
gia do buraco negro, devemos ter que ω ≪ M, ou seja, ω ≪ Mc 2 / em unidades con-
vencionais. Ainda, a fim de que haja espalhamento da onda, é necessário que Mω ∼ 1, ou
ω ∼ c 3 /GM em unidades padrões. Combinando esses dois resultados, devemos ter que
M ≫ √ c/G ≡ MP (massa de Planck), ou M ≫ 1 em unidades que utilizamos neste
trabalho (c = G = = 1). Em Schwarzschild, a desigualdade da conjectura cósmica é
obedecida trivialmente: M 2 ≥ 0. Se quisermos violá-la, podemos pensar na absorção de
uma partícula com baixa energia e que satisfaça:
(M + ω) 2 ≈ M 2 (
l(l + 1)
<
M 2
) 2
. (2.67)
Para M = 3MP , l ≥ 9 e podemos assim traçar um gráfico comparativo entre os resultados
numéricos com (2.66), que foi feito na figura 2.5. Observamos que o comportamento é
semelhante entre os gráficos, embora exista uma pequena discrepância entre eles que pode
ser atribuída à precisão do código numérico, razão pela qual não conseguimos extrair
resultados para momentos angulares mais altos, o que permitiria aumentar a massa do
buraco negro.
2.3 “Toy model”
De maneira geral, o problema de espalhamento ou tunelamento de ondas em espaços-
tempos curvos é de difícil solução, quase sempre levando a uma abordagem matemática

2.3 “Toy model” 26
log(Imδ)
-10
-20
-30
-40
-50
-60
analitico
numerico
-70
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
xs 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Figura 2.5: Gráfico comparando os resultados numéricos com analíticos para M = 3,
l = 9 e 0 ≤ ω ≤ 1/3 (xs = 2Mω). Como os números são extremente pequenos, apre-
sentamos os dados em escala logarítmica, e vemos que a curva numérica não é completa,
pois chega ao seu limite de precisão.
mais complicada e densa. A equação radial (2.4) obtida pela separação de variáveis da
função de onda é uma equação do tipo Schrödinger, porém escrita em coordenadas mistas
(r e r ∗ ), o que a torna mais complicada de se resolver, além de que a referida equação não
possui solução analítica conhecida. Pensando nisso propusemos um “toy model” para
modelarmos esse problema de forma que possamos ter uma solução fácil (analiticamente
bem conhecida) e uma boa análise qualitativa dos resultados, abrindo possibilidade ainda
para a implementação de um código computacional mais rápido, como faremos mais adi-
ante. Tendo em vista o gráfico do potencial em coordenadas x ∗ na figura 2.6, analisemos
um potencial que apresenta um comportamento semelhante, ou seja:
Vtoy(x ∗ ) = B tanh 2 [A(x ∗ − C)] + 1 − B. (2.68)

2.3 “Toy model” 27
V(x*)
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-40 -20 0 20 40 60 80 100
x*
l=30
toy model
Figura 2.6: Comparação entre o potencial V (x) exato e aproximado (toy model).
Podemos ressaltar algumas observações sobre esse potencial:
1. Vtoy(x ∗ ) → 1 para x → ±∞, assim como o original;
2. fixamos A ≥ 0 já que a troca de A ↦→ −A não muda o potencial;
3. o parâmetro A “regula” a largura do potencial e os parâmetros B e C “regulam”
a profundidade e o ponto de mínimo do potencial, respectivamente, podendo ser
ajustado com o original;
4. como o potencial original depende apenas dos parâmetros l e ω, assim ocorrerá
com A, B e C (Alω, Blω e Clω), mas não explicitaremos estes índices para não
sobrecarregar a notação.
Dessa forma, a equação (2.9) fica escrita da seguinte maneira:
( 2 d
dx∗2 + B tanh 2 [A(x ∗ )
− C)] + 1 − B ulm = 0. (2.69)

2.3 “Toy model” 28
Fazendo-se a mudança de variável y = tanh[A(x ∗ − C)] a equação acima fica:
cuja solução exata é
(1 − y 2 ) d2ulm dulm
− 2y
dy2 dy +
(
1
A2 (1 − y2 B
−
) A2 )
ulm = 0 (2.70)
ulm(y) = c1 P −µ
ν (y) + c2 Q µ ν(y), (2.71)
onde P −µ
ν (y) e Q µ ν(y) são as funções de Legendre associadas de primeira e segunda es-
pécie, respectivamente, ν ≡ ( √ A 2 − 4B − A)/2A, µ ≡ i/A e c1 e c2 são constantes
complexas fixadas pelas condições de contorno, ou seja, pelas amplitudes e fases das
ondas incidente (Ain), refletida (Aout) e transmitida (absorvida pelo buraco).
Para o cálculo de espalhamento, precisamos determinar as expressões assintóticas para
a solução encontrada (nos limites de x ∗ → ±∞ ou seja y → ±1) e compararmos com
as condições de contorno em (2.12). As contas que seguem têm como base as proprie-
dades detalhadas nas referências [34], [39] e [40]. Temos então que os comportamentos
assintóticos são:
P −µ
ν (z) ∼
(z − 1)µ/2
2 µ/2 Γ(µ + 1)
z → 1; z ∈ C (2.72)
Q µ ν(z) ∼ 2µ/2−1 Γ(µ) e iµπ
(z − 1) µ/2 z → 1; z ∈ C (2.73)
As fórmulas para P −µ
ν (x ± i0) e Q µ ν(x ± i0) são obtidas substituindo-se (z − 1) por
(1 − x) e ±iπ para z = x ± i0. Logo, temos:
P −µ
ν (x + i0) ∼ (1 − x)µ/2 e iµπ/2
2 µ/2 Γ(µ + 1)
Q µ ν(x + i0) ∼ 2µ/2−1 Γ(µ) e iµπ
(1 − x) µ/2 e iµπ/2
Q µ ν(x − i0) ∼ 2µ/2−1 Γ(µ) e iµπ
(1 − x) µ/2 e −iµπ/2
(2.74)

2.3 “Toy model” 29
Das relações:
P −µ
ν (x) = e −iµπ/2 P −µ
ν (x + i0) (2.75)
Q µ ν(x) = 1
2 e−iµπ [e −iµπ/2 Q µ ν(x + i0) + e iµπ/2 Q µ ν(x − i0)] (2.76)
substituindo as relações (2.74) em (2.75) e (2.76), obtemos que:
P −µ
ν (x) ∼
Usando ainda as relações:
⇒ P µ ν (x) =
Q −µ
ν (x) =
P −µ
ν (x) =
Q −µ
ν (x) =
(1 − x)µ/2
2 µ/2 , x → 1 (2.77)
Γ(µ + 1)
Q µ ν(x) ∼ 2µ/2+1 Γ(µ) cos(mπ)
(1 − x) µ/2 , x → 1. (2.78)
(
cos µπ P µ ν (x) − 2
π sin µπ Qµ )
ν(x)
Γ(ν − µ + 1)
Γ(ν + µ + 1)
Γ(ν − µ + 1)
(
cos µπ Q
Γ(ν + µ + 1)
µ ν(x) + π
2 sin µπ P µ )
ν (x)
Γ(ν + µ + 1) (1 − x)
cos(mπ)Γ(ν − µ + 1)Γ(µ + 1)
µ/2
2 µ/2
Γ(µ)Γ(ν − µ + 1)
2Γ(ν + µ + 1)
2 µ/2 π
+
(1 − x) µ/2 2
+ sin(µπ)Γ(µ)
π
(2.79)
(2.80)
2 µ/2
(1 − x) µ/2 x → 1 (2.81)
tan(µπ) (1 − x)
Γ(µ + 1)
µ/2
2 µ/2 x → 1. (2.82)
Para determinarmos os comportamentos das soluções para x → −1 (x ∗ → −∞)
podemos usar as relações entre as funções de Legendre associadas, a saber:
P −µ
ν (−x) = cos(ν − µ)π P −µ
ν (x) − 2
π
sin(ν − µ)π Q−µ
ν (x) (2.83)
Q µ ν(−x) = − cos(ν + µ)π Q µ ν(x) − π
2 sin(ν + µ)π P µ ν (x) (2.84)

2.3 “Toy model” 30
donde podemos obter P −µ
ν (−x) e Q µ ν(−x). Trocando-se o argumento x ↦→ −x teremos
os comportamentos assintóticos para os limites desejados:
P −µ
ν (x) =
cos((ν − µ)π) (1 + x)
Γ(µ + 1)
µ/2
2 µ/2
− 2
sin((ν − µ)π)
π
[ Γ(µ)Γ(ν − µ + 1)
2 Γ(ν + µ + 1)
2 µ/2
(1 + x) µ/2
+ π tan(µπ) (1 + x)
2 Γ(µ + 1)
µ/2
2 µ/2
]
x → −1 (2.85)
Q µ ν(x) = − 1
2
cos((µ + ν)π) cos(µπ)Γ(µ)
2 µ/2
(1 + x) µ/2
− π
[
1 Γ(ν + µ + 1) (1 + x)
sin((ν + µ)π)
2 cos(µπ) Γ(ν − µ + 1)Γ(µ + 1)
µ/2
2 µ/2 +
sin(µπ) 2
Γ(µ)
π
µ/2
(1 + x) µ/2
]
x → −1. (2.86)
Tendo estabelecido essas fórmulas, podemos agora retornar à solução do “toy model”
e impor as condições de contorno necessárias. Lembrando que y = tanh[A(x ∗ − C)] e
que ( 1±y
2
e (2.78):
) µ/2 ∼ e ±µA(x ∗ −C) = e ±i(x ∗ −C) para y → ∓1, teremos, com o auxílio das (2.77)
ulm(y) = c1 P −µ
ν (y) + c2 Q µ ν(y)
∼
c1
Γ(µ + 1) eiC e −ix∗
+ c2
≡ A in
lm e −ix∗
+ A out
lm e ix∗
Γ(µ) cos(µπ)
2
e −iC e ix∗
, x ∗ → +∞(2.87)
por (2.12). (2.88)
Por outro lado, pelas (2.85) e (2.86), nas proximidades do horizonte de eventos:

2.3 “Toy model” 31
ulm(y) = c1 P −µ
ν (y) + c2 Q µ ν(y)
[
∼
c1
cos(νπ) e−iC Γ(µ + 1) cos(µπ)
π
− c2
2
sin((µ + ν)π)Γ(µ + ν + 1)
cos(µπ)Γ(ν − µ + 1)
+ [. . .] e −ix∗
e−iC ]
e
Γ(µ + 1)
ix∗
y → −1 , (2.89)
onde o termo em [. . .] representa o coeficiente da onda transmitida nas proximidades do
horizonte, que não se faz muito importante no presente momento. Impondo-se a condição
física de que não haja onda refletida no horizonte de eventos:
⇒ c1
cos(νπ)
Γ(µ + 1) cos(µπ)
Por (2.88) e (2.90) temos finalmente:
A out
lm
A in
lm
= cos(µπ) cos(νπ) e−2iC
π sin((ν + µ)π)
π sin((ν + µ)π)Γ(ν + µ + 1)
= c2
2 cos(µπ)Γ(ν − µ + 1)Γ(µ + 1)
Γ(ν − µ + 1)Γ(µ)Γ(µ + 1)
Γ(ν + µ + 1)
donde pode-se obter o elemento de matriz de espalhamento (2.33) analiticamente.
(2.90)
(2.91)
Até agora, apresentamos as relações entre µ e ν da fórmula (2.91) com os parâmetros
A e B do “toy model”, porém faz-se necessário um mapeamento mais exato entre A e
B com os do potencial “real”, ou seja, com xs e l. Tendo em vista os gráficos de ambos
os potenciais, a maneira mais intuitiva de relacioná-los é fazendo coincidir os pontos de
mínimos dos mesmos, bem como os valores das funções nesse ponto. Como o ponto de
mínimo do “toy model” ocorre em x ∗ = C, devemos ter:
dV dV dx
= = 0 (2.92)
dx∗ dx dx∗ ⇒ dV
dx = 0 , (2.93)
x=xmin
já que dx
dx∗ = ( 1 − xs
)
̸= 0. Nesse caso, podemos calcular C analiticamente pela expres-
x
são:
C(xs, l) = xmin = (3l + 3l2 − 3 + √ 23l2 + 18l3 + 14l + 9l4 + 9)xs
. (2.94)
4l(l + 1)

2.3 “Toy model” 32
Igualando-se os valores das funções no ponto de mínimo, devemos ter:
o que fornece a seguinte expressão para B:
Vtoy(x ∗ = C) = V (x ∗ = xmin) , (2.95)
B(xs, l) = 16(−l − l 2 − 3 + √ 23l 2 + 18l 3 + 14l + 9l 4 + 9)×
l3 (l + 1) 3 (3l + 3l2 + 1 + √ 23l2 + 18l3 + 14l + 9l4 + 9)
(3l + 3l2 − 3 + √ 23l2 + 18l3 + 14l + 9l4 + 9) 4x2 . (2.96)
s
Com essa modelagem, o parâmetro A fica então responsável pela concavidade do
potencial no ponto de mínimo. A princípio, não é trivial saber qual é a melhor maneira de
relacioná-lo com o potencial “real”, porém, a grosso modo, pode-se fazer uma estimativa
do comportamento de A, pelo seguinte argumento:
d 2 Vtoy
dx ∗2
Vtoy(x ∗ ) ≈ V (x ∗ ) (2.97)
x ∗ =C
≈ d2V dx∗2
dx∗2
2BA 2 ≈ d2 V
x ∗ =xmin
x ∗ =xmin
⇒ (2.98)
. (2.99)
Conhecendo-se o parâmetro B dado por (2.96), teremos que a expressão aproximada para
A será dada por:
A(xs, l) ∼ 4√2 (((−l − l 2 − 3 + √ 23l2 + 18l3 + 14l + 9l4 + 9)(l + 1) 2
xs
(9l 4 +18l 3 +3l 2√ 23l 2 + 18l 3 + 14l + 9l 4 + 9+23l 2 +14l+3l √ 23l 2 + 18l 3 + 14l + 9l 4 + 9
+9−3 √ 23l 2 + 18l 3 + 14l + 9l 4 + 9) l 2 )/((3l+3l 2 +1+ √ 23l 2 + 18l 3 + 14l + 9l 4 + 9)
(3l + 3l 2 − 3 + √ 23l 2 + 18l 3 + 14l + 9l 4 + 9) 4 )) 1/2 . (2.100)
Analisando-se o comportamento dessa expressão para um dado valor de xs na fi-
gura 2.7, vemos que o valor de A deve tender rapidamente a uma constante (no caso,
liml→∞ A(xs, l) = 2 √ 3/9xs) o que é de fato constatado nos gráficos 2.8 e 2.9, onde
pode-se ver que tanto a parte real da matriz de espalhamento S quanto a parte imaginária,

2.3 “Toy model” 33
são bastante bem ajustadas pelo “toy model” para altos valores de l. A dependência do
parâmetro A com xs ainda está sob análise. Tal função, se encontrada, nos dará um com-
portamento qualitativo bem próximo do real, que, dentro da região de validade do “toy
model” (para alto l), pode-se mostrar bem interessante visto que é o caso da inspeção da
conjectura de censura cósmica.
Figura 2.7: O comportamento da função A(xs, l) para xs = 0.1.

2.3 “Toy model” 34
Re S
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
L
num
toy(A=0.319)
Figura 2.8: Comparação entre os resultados do programa numérico e do “toy model”.
Im S
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
L
num
toy(A=0.319)
Figura 2.9: Comparação entre os resultados do programa numérico e do “toy model”.

Capítulo 3
Produção de partículas em
espaços-tempos com horizontes
Segundo a teoria clássica da relatividade geral, nenhuma informação consegue emergir do
chamado “horizonte de eventos” de um buraco negro, pois a atração gravitacional é tão
forte que nem mesmo a luz (viajando à maior velocidade permitida pela teoria) escapa.
Por essa razão o chamamos de “negro”, no sentido de que toda luz é absorvida por ele e
nada é emitido pelo mesmo. Entretanto, em 1974, o físico inglês Stephen Hawking pro-
vou à comunidade científica que na realidade os buracos negros podem, de fato, irradiar
energia continuamente e que essa radiação coincide com a radiação de um corpo negro.
Esse resultado foi baseado na teoria quântica de campos. Porém utilizando conceitos de
mecânica quântica clássica, ou seja, atribuindo uma função de onda à partícula pode-
mos obter resultados análogos graças ao fenômeno de tunelamento. Assim, existe uma
pequena propabilidade de uma partícula atravessar a barreira de potencial imposta pelo
buraco negro e conseguir escapar do mesmo. A diferença aqui é que calculamos e relacio-
namos as taxas de emissão e de absorção de partículas através de um processo espontâneo
como num banho térmico, diferentemente do capítulo anterior, no qual analisamos um
processo (de espalhamento) em específico.

3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais 36
Em nossa análise, usaremos uma abordagem semiclássica para esse efeito através do
método de Hamilton-Jacobi. Trabalhando em coordenadas (r, t) encontraremos singula-
ridades e divergências, que são contornadas por prescrições advindas do método W.K.B.
por caminhos complexos. Aplicamos tal método aos espaço-tempos de Schwarzchild e
Reissner-Nordström, que são produzidos por objetos gravitacionais massivos sem e com
carga, respectivamente, além da massa do mesmo. Em última análise, desejamos analisar
as taxas de absorção e emissão de partículas de um buraco negro, para podermos inves-
tigar a confirmação, ou não, da conjectura de censura cósmica, que estabelece que toda
singularidade é revestida por um horizonte de eventos.
3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais
3.1.1 Introdução
Nessa seção, abordaremos as contas sob o viés da aproximação semiclássica através de
integrais no plano complexo. Para tanto, deve-se ter em mente que os efeitos quânticos,
nessa aproximação, são levados em consideração apenas em primeira ordem; ou seja,
pensaremos no parâmetro (constante de Planck) como sendo muito pequeno e, portanto,
termos da ordem de 2 não serão levados em consideração.
De maneira geral, a aproximação semiclássica é válida para regiões nas quais o com-
primento de onda de de Broglie λ(x) associado
(
a uma partícula com momento linear p(x)
e energia E sujeita a um potencial U(x) λ(x) . =
p(x) =
)
varia muito pouco,
√
E−U(x)
ou seja, o potencial U(x) é aproximadamente constante para vários intervalos de com-
primentos de onda. Para dar mais consistência ao método, faz-se necessária uma breve
revisão de seus principais resultados.
A equação de Schrödinger para uma partícula em uma dimensão é:
2
2m
d2Ψ(x) + (E − U(x))Ψ(x) = 0. (3.1)
dx2

3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais 37
Fazendo o seguinte Ansatz para a função de onda Ψ(x) = e i
σ(x) e substituindo-o em
(3.1), teremos
σ ′2
+
2m 2mi σ′′ = E − U(x). (3.2)
Sendo o sistema quase-clássico, explicitemos σ(x) na seguinte série de potências:
σ(x) = σ0(x) +
i σ1(x) +
( ) 2
σ2(x) + . . . (3.3)
i
Substituindo na eq.(3.2) e agrupando em potências do parâmetro ficaremos com
σ ′2
0 1
+
2m 2m i (σ′′ 0 + 2σ ′ 0σ ′ 1) + 1
2m
( ) 2
(σ
i
′ 0σ ′ 2 + 1
2 σ′2 1 + 1
2 σ′′2 1 ) + · · · = E − U(x)
donde fazemos as seguintes identificações (pensando na equação acima como um polinô-
mio na variável ):
Da primeira igualdade, temos que:
σ ′2
0
2m
= E − U(x) (3.4)
σ ′′
0 + 2σ ′ 0σ ′ 1 = 0 (3.5)
σ ′ 0 = ± √ 2m (E − U(x)) ⇒ σ0(x) = ±
. (3.6)
∫ x
x0
p(ζ) dζ, (3.7)
onde identificamos p = √ 2m(E − U(x)) como a quantidade de movimento clássica
da partícula. A ambigüidade no sinal das duas soluções encontradas é identificada pelo
sentido de propagação da onda. O ponto x0 pode, em princípio, ser qualquer número no
eixo real de melhor conveniência e não será indicado nas equações a seguir para evitar
sobrecarregá-las. Da segunda igualdade, teremos que σ ′ 1 = − σ′′
0
2σ0
p′
= − o que implica
2p

3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais 38
σ1 = − 1
2
ln p. (3.8)
Pensando no limite clássico ( → 0), consideremos apenas termos de ordem zero em
potências de na função de onda, ou seja
Ψ(x) = e i/ σ0
i/ σ0
σ1 /i σ2 i/ e σ0 σ1 e e . . . ≈ e e = √
p
o que significa que temos as seguintes soluções linearmente independentes para Ψ(x):
(3.9)
Ψ(x) = C1
√p e i/ ∫ x p dx ′
+ C2
√p e −i/ ∫ x p dx ′
. (3.10)
Para determinarmos em que regime essa aproximação é válida, basta tomarmos σ(x) =
σ0(x) +
i σ1(x) na equação (3.2), obtida pelo Ansatz. Desta forma obtemos que
1
2m σ′2 0 +
2mi (σ′′ 0 + 2σ ′ 0σ ′ 1) − 2
2m (σ′2 1 + σ ′′
1) = E − U(x). (3.11)
O segundo termo do lado esquerdo da equação acima é nulo por construção, o que
implica que a aproximação é legítima quando o terceiro termo é pequeno com relação ao
primeiro:
2
σ
′2
1 + σ ′′
1
σ ′2
0
2
≪ 1 ⇒
p2
( ′
3
p
4
p
) 2
− 1
2
p ′′
p
≪ 1. (3.12)
Portanto, em qualquer região do espaço onde essa condição seja satisfeita, poderemos
aplicar a solução semiclássica encontrada anteriormente.
Nas regiões classicamente inacessíveis (E < U(x)), temos que p(x) se torna imagi-
nário puro (p = i|p|) e, portanto, a solução geral se transforma em:
Ψ(x) = C1
√|p| e −1/ ∫ x |p| dx ′
+ C2
√|p| e 1/ ∫ x |p| dx ′
. (3.13)
que é a soma de duas exponenciais reais, ou seja, exatamente a solução que se espera
obter em casos de penetração em uma barreira de potencial, efeito estritamente quântico.

3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais 39
Entretanto, por se tratar de uma aproximação semiclássica, os termos exponencialmente
pequenos não são mantidos na solução, de forma que é inadmissível conservar simultane-
amente ambos os termos na expressão acima.
3.1.2 Condições de contorno
Seja a o zero da função E − U(x). Em x = a, vemos que p = 0, o que significa
que as soluções semiclássicas encontradas eq.(3.9) divergem nesse ponto, o que as torna
inaplicáveis. Podemos ver isso de outra maneira, já que a condição de aproximação semi-
clássica eq.(3.12) não é satisfeita para p → 0 (próximo ao “ponto de retorno” clássico).
Iremos supor, contudo, que existem regiões I e II (não muito extensas), à esquerda e à
direita do ponto de retorno, nas quais a aproximação semiclássica é válida. Isso implica
que a função de onda Ψ(x) pode ser muito bem aproximada por uma combinação linear
das soluções semiclássicas nas regiões I e II:
⎧
⎪⎨
Ψ(x) =
⎪⎩
α1 √ e p i/ ∫ x
p dx ′
+ α2 √p e−i/ ∫ x
p dx ′
β1
√ e p i/ ∫ x
p dx ′
+ β2
√p e−i/ ∫ x
p dx ′
em I.
em II.
(3.14)
É sabido que os coeficientes (α1, α2) e (β1, β2) não são iguais e, fisicamente, são
eles que definem as probabilidades de reflexão e de tunelamento. A diferença de valor
dos coeficientes é devido ao chamado “fenômeno de Stokes” [44]. O problema que se
põe, portanto, é determinar a conexão entre esses coeficientes de uma região à outra. A
abordagem que adotaremos nesse trabalho é um método aproximativo W.K.B por integrais
no plano complexo desenvolvido primeiramente por A.Zwaan em sua tese [45] e abordado
também em [46]. Para tanto, estenderemos o domínio da função Ψ(x) ao plano complexo.
Nesse caso, Ψ(x) é função da variável complexa x e efetuaremos a passagem de (x−a) >
0 a (x − a) < 0 por um caminho “longe” do ponto x = a (ponto de retorno) no qual a
condição semiclássica (3.12) é satisfeita.

3.1 Abordagem semiclássica: aspectos gerais 40
Para simplificar a leitura, adotaremos a seguinte notação:
com z ∈ C.
f+(z) . = p(z) −1/2 e iω(z) ;
f−(z) . = p(z) −1/2 e−iω(z) ;
∫ z
ω(z) = 1
z0
(3.15)
p dζ ; (3.16)
Ao longo do caminho escolhido para contornar o ponto de retorno no plano complexo,
existirá sempre uma parte na qual f+ é exponencialmente maior que f− (ou vice-versa,
em outro trecho do caminho), onde diremos que f+ é dominante e f−, subdominante. A
alternância de dominância entre essas funções é o que dá origem à mudança nos coefi-
cientes de f+ e f− para diferentes regiões do plano complexo e caracteriza o chamado
fenômeno de Stokes. A grosso modo, como demonstrado formalmente em [47], temos
que, nos trechos dos caminhos onde, digamos, f+ é dominante e |e iω | − 1 não muda
de sinal, seu coeficiente é aproximadamente constante (já que uma pequena variação no
mesmo acarreta numa grande variação na função de onda Ψ(x)), enquanto que o coefici-
ente da função f− (subdominante nesse caso) pode sofrer variação ao longo desse trecho.
Por outro lado, o coeficiente da função subdominante (f+ ou f−) também pode ser sensi-
velmente constante, desde que o coeficiente da função dominante seja nulo.
Como exemplo, considere a figura 3.1, na qual pode-se ver o caminho escolhido para
contornar o ponto de retorno a. Suponha que f+ seja dominante no arco AC e que f− seja
dominante em BC (C é o ponto no qual e iω = 1) então, se A e B pertencem a regiões se-
miclássicas, podemos escrever a função de onda como em (3.14). Logo, β2 será constante
em BC e também será constante ao longo de AC caso α1 seja nulo, por alguma imposição
de condição de contorno física. Nesse caso, poderemos dizer que β2 ≃ α2.
Com essa descrição do método de integrais complexas, estamos aptos a retomar o
cálculo para o problema em questão onde explicar-se-á melhor o método em “ação”.

3.2 Aplicação ao problema 41
Figura 3.1: Regiões de dominância entre f+ e f− ao longo do caminho no plano complexo.
3.2 Aplicação ao problema
Retomando o que foi dito na introdução deste capítulo, vamos agora desenvolver as con-
tas necessárias para a analogia do problema em questão ao método desenvolvido na seção
anterior. Do ponto de vista físico, a análise é feita de maneira semiclássica, no sentido
de que partimos de um tratamento quântico para a descrição de uma partícula como uma
função de onda descrita pela equação de Klein-Gordon, porém procedemos com o forma-
lismo semiclássico descrito na seção anterior. Aqui, seguimos [23], mas com correções à
prescrição de contorno.
c = 1):
Considere um espaço-tempo estático cuja métrica tem a seguinte estrutura (assumindo
ds 2 = B(r)dt 2 − B −1 (r)dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (3.17)
Note que assim podemos obter as métricas de Schwarzchild, e Reissner-Nordström, bas-
tando tomar a função B(r) apropriadamente. O horizonte de eventos descrito por essas
métricas é o ponto r = r0 no qual B(r0) = 0.

3.2 Aplicação ao problema 42
Analisaremos a partir de aqui uma partícula por um campo escalar sem massa. Nesse
caso, a equação satisfeita para o campo escalar é a equação de Klein-Gordon:
∇α ∇ α Φ(r, t, θ, ϕ) = 0 , (3.18)
onde α = 0, 1, 2, 3 e o operador ∇α ∇ α é calculado usando-se a métrica (3.17).
De (3.18) obtemos a seguinte equação:
1
B(r)
∂2Φ 1
−
∂t2 r2 (
∂
r
∂r
2 B(r) ∂Φ
)
−
∂r
1
r2 sin θ
(
∂
sin θ
∂θ
∂Φ
)
−
∂θ
1
r 2 sin 2 θ
∂2Φ = 0 (3.19)
∂ϕ2 que é uma equação separável e, portanto, podemos fazer Φ(r, t, θ, ϕ) = Ψ(r, t)Y m
l (θ, ψ)
e teremos a equação para Φ(r, t):
1
B(r)
∂2Ψ 1
−
∂t2 r2 (
∂
r
∂r
2 B(r) ∂Ψ
)
+
∂r
l(l + 1)
Ψ = 0. (3.20)
r2 Fazendo o W.K.B Ansatz Ψ = exp(i/ S(r, t)) e substituindo na eq.(3.20), teremos:
[
1
B(r)
( ) 2
∂S
− B(r)
∂t
( ) 2
∂S
−
∂r
+
i
l(l + 1)2
r2 ]
[
1
B(r)
∂2S ∂t2 − B(r)∂2 S 1
−
∂r2 r2 Expandindo S(r, t) em uma série de potências em /i:
S(r, t) = S0(r, t) +
( )
S1(r, t) +
i
d(r 2 B)
dr
]
∂S
= 0. (3.21)
∂r
( ) 2
S2(r, t) + . . . (3.22)
i
e substituindo na equação (3.21), levando-se em consideração apenas potências de ordem
zero em /i teremos que a solução para S0 é dada por:
S0(r2, t2; r1, t1) = −E(t2 − t1) ±
∫ r2
r1
dr √
E2 − B(r)L2 /r2 (3.23)
B(r)

3.2 Aplicação ao problema 43
onde E é uma constante e identificada como a energia e L 2 = l(l + 1) 2 é o autovalor
do momento angular. A ambiguidade no sinal refere-se ao sentido de propagação da
onda: (+) para propagação para r crescente e (−) para r decrescente. Os pontos (r1, t1)
e (r2, t2) são os pontos inicial e final de propagação da partícula. Portanto, se a partícula
cruza o horizonte de eventos (r1 e r2 estão em lados opostos com relação a r0), B −1 (r0)
diverge e a integral não é bem definida. Podemos contornar o problema estendendo a
região de integração ao plano complexo. Para tal, deveremos adotar uma prescrição para
a integral ao redor do ponto de singularidade r0. O cálculo é feito diretamente por analogia
à equação de Schrödinger, como apresentado na seção 3.1.2.
Fazendo Ψ(r, t) = exp(−iEt/)R(r)/ √ r 2 B(r) obter-se-á a seguinte equação:
− d2 [
R 1
−
dr2 B2 ( ′ 2 (B ) E2
+
4 2 )
− 1
( ′′ B B′ L2
+ +
B 2 r 2r2 )]
R = 0. (3.24)
Próximo ao horizonte podemos escrever
B(r) = B ′ (r0)(r − r0) + O(r − r0) 2 ≈ B0 (r − r0) (3.25)
e substituir na equação (3.24). Desprezando-se os termos da ordem de 1/(r − r0) em
relação aos termos em 1/(r − r0) 2 e pensando no limite em que → 0, a equação será
reescrita como:
− d2R(r) E2
−
dr2 2B2 0
R(r)
= 0. (3.26)
(r − r0) 2
Se fizermos a mudança de variável x = (r − r0) a equação se transformará numa equação
do tipo Schrödinger com o potencial sendo ∝ (1/x 2 ). A analogia fica melhor quando
acrescentamos um termo E/ 2 R(r), tomando o limite de E → 0, de forma que a equação
fica:
− d2R(x) E2
−
dx2 2B2 0
R(x)
x2 = E
R(x) , (3.27)
2

3.3 Cálculo da radiação térmica 44
ou seja, podemos reduzir o problema de propagação de ondas nesse espaço-tempo a um
potencial dado por U(x) = −k/x 2 onde k = E2
B 2 0
3.3 Cálculo da radiação térmica
Considerando o potencial dado por
> 0 através dessa abordagem.
U(x) = − k
, (3.28)
x2 onde k é uma constante positiva, temos que a condição semiclássica (eq.(3.12)) é escrita
como:
2
4
k(6 Ex2 + k)
( Ex2 + k) 3
≪ 1. (3.29)
Da imposição acima fica claro que para |x| ≪ 1 a condição semiclássica é satisfeita
desde que ≪ 2 √ k, independentemente do parâmetro E. Isso significa que, partindo da
aproximação feita na eq.(3.25), podemos de fato utilizar o formalismo desenvolvido na
seção 3.1.
Para a eq.(3.27), em analogia com a equação de Schrödinger, temos que:
p(x) =
√
√
E − U(x) =
E + k
≈
x2 Substituindo essa expressão na eq.(3.16) teremos:
√
k
x + E
2 √ x , |x| ≪ 1; (3.30)
k
ω(x) = 1
(√ k ln(x) + E
4 √ k x2 ). (3.31)
Considere, primeiramente, o caso de tunelamento de uma partícula oriunda da parte
interna (e bem próxima) do horizonte de eventos sendo detectada fora do mesmo. Por-
tanto, de acordo com as expressões em (3.14), a função de onda pode ser escrita como:

3.3 Cálculo da radiação térmica 45
ΨII = C3 x iε+1/2 e i
κx2
x > 0,
ΨI = (−x) −iε+1/2 i
− e κx2 + C2 (−x) iε+1/2 e i
κx2
x < 0 ,
(3.32)
onde ε = √ k/ e κ = E
4 √ . Note que dentro do horizonte (x < 0) há o termo de onda
k
incidente (cujo coeficiente já foi normalizado à unidade) e a refletida. Além disso, já foi
imposta a condição de contorno para que fora do horizonte de eventos (x > 0) só haja
onda transmitida.
A maneira pela qual fazemos a conexão entre os coeficientes C2 e C3 é feita com
base na subseção 3.1.2. Devemos contornar o ponto x = 0 por um caminho no plano
complexo ao longo do qual a condição (3.12) seja satisfeita ao longo do mesmo. Porém
esse contorno (supondo que exista) pode, a princípio, ser feito tanto por cima quanto por
baixo ao redor da singularidade. Para determinar o contorno adequado, analisemos então
as funções de onda. Fazendo x = ρeiθ e tendo em mente que ε ≫ 1 pela condição (3.29):
2
1. Onda incidente:
Ψin ∼ (ρ eiθ ) −iε+1/2 −i/ κx2 e ∼ eθε ;
2. Onda refletida:
Ψr ∼ (ρ eiθ ) iε+1/2 i/ κx2 e ∼ e−θε .
Vemos assim que, por um caminho no semiplano inferior a partir da região II (θ varia de 0
a −π), a onda refletida é dominante em relação à incidente ao longo de todo este caminho.
Logo, pelos argumentos da referida subseção, poderemos estabelecer uma conexão entre
os coeficientes das ondas refletida e transmitida. Seguindo a variação da onda transmitida
de x positivo a x negativo, teremos que a mesma se transforma na onda refletida. Ao final
da passagem teremos:
x ↦→ −x e −iπ
Ψt ↦→ C3(−x e −iπ ) iε+1/2 i/ κx2
e
⇒ C2 = C3 exp
(
πε − iπ
2
≡ Ψr
(3.33)
(3.34)
)
. (3.35)

3.3 Cálculo da radiação térmica 46
As taxas de transmissão e reflexão são dadas por T = |C3| 2 e R = |C2| 2 e podemos
relacioná-las: R = T e 2πε = T e 2π/ √ k . Além disso, R + T = 1, donde:
T =
R =
1
1 + e 2π/ √ k
e 2π/ √ k
1 + e 2π/ √ k
(3.36)
. (3.37)
Note que as taxas de transmissão e reflexão são independentes de E, o que não é de
todo surpreendente, já que o potencial é divergente nessa região, e, portanto, E − U(x)
é sempre tão grande quanto se deseje. Além disso, como ε ≫ 1/2 temos que T ≪ 1 e
R ≈ 1. É um resultado conhecido de mecânica quântica não-relativística [46] que para
um potencial do tipo U(x) = −β/x 2 ocorre o confinamento da função de onda em x < 0,
desde que β > 1/4 (em unidades = 1, que é o caso). Isso pode então ser interpretado
como a absorção da partícula pelo buraco negro.
No caso de espalhamento de uma partícula, teremos que a função de onda satisfaz às
seguintes condições de contorno para regiões próximas ao horizonte de eventos:
ΨII = x−iε+1/2 i
− e κx2 + C2 xiε+1/2 e i
κx2
ΨI = C3 (−x) iε+1/2 e i
κx2
x < 0 .
x > 0,
(3.38)
Contornando-se o ponto x = 0 por um “raio” pequeno, fazendo x = ρe iθ , podemos
escrever:
1. Onda incidente:
Ψin ∼ (ρ eiθ ) −iε+1/2 −i/ κx2 e ∼ eθε ;
2. Onda refletida:
Ψr ∼ (ρ eiθ ) −iε+1/2 i/ κx2 e ∼ e−θε .
Portanto, efetuando-se a passagem no semiplano superior de x < 0 a x > 0 no qual θ
varia de −π a −2π, teremos que a onda refletida é exponencialmente maior que a onda

3.3 Cálculo da radiação térmica 47
incidente, validando a conexão entre a onda refletida e a transmitida. Procedendo-se a
passagem:
x ↦→ −x e −iπ
Ψt ↦→ C3(x e −iπ ) iε+1/2 i/ κx2
e
⇒ C2 = C3 exp
⇒ R = T e 2πε
(
πε − iπ
2
(3.39)
)
≡ Ψr
(3.40)
, (3.41)
(3.42)
resultado análogo ao caso anterior, como matematicamente esperaria-se. Observemos
assim que, nesse regime, as taxas de transmissão tanto no caso de tunelamento (para fora)
e de espalhamento coincidem, resultado analogamente concluído em [8], muito embora
não seja possível a comparação das taxas em si, por se tratarem de regimes diferentes:
aqui, para altas energias (ϵ = E/B0 ≫ 1/2), e lá para baixas energias.
Podemos entao retomar o cálculo da integral (3.23), sabendo-se que devemos fechar
o contorno no semiplano inferior complexo para o processo de emissão de uma partícula
do horizonte de eventos. No caso de Schwarzchild, com B(r) = ( 1 − 2M
)
, tomando-se a
r
propagação da partícula para pontos (t, r) próximos ao horizonte, de forma que r1 = r0−ϵ
e r2 = r0 + ϵ:
S0[emissão] =
∫ r0+ϵ
dr √
−E(t2 − t1) + lim
E2 − B(r)L2 /r2 ϵ→0
r0−ϵ B(r)
= iπE
+ (parte real) = 2MEπi + (p.r) , (3.43)
B0
tendo em vista que B0 = B ′ (2M) = 1/2M, como definido em (3.25).
A parte real de S0 não é relevante no momento, tendo em vista o cálculo de proba-
bilidades que será apresentado logo a seguir. No caso de absorção de uma partícula o
contorno é fechado por cima, r1 > r0 e r2 < r0, e em Schwarzchild:

3.3 Cálculo da radiação térmica 48
S0[absorção] =
∫ r0−ϵ
dr √
−E(t2 − t1) − lim
E2 − B(r)L2 /r2 ϵ→0
r0+ϵ B(r)
= −iπE
+ (parte real) = −2MEπi + (p.r). (3.44)
B0
As probabilidades em ambos os casos são calculadas como: P = |Φ| 2 ∝ |exp i/ S0| 2 =
exp −2/ ℑS0. Em suma:
P [emissão] ∝ e −4MπE/
P [absorção] ∝ e 4MπE/ ⇒
P [emissão] /P [absorção] = e −8MπE/ ≡ e −βE . (3.45)
A última equação mostra que a probabilidade de emissão de uma partícula é diferente da
de absorção, cuja relação é equivalente a uma distribuição térmica de partículas intera-
gindo com a radiação de um corpo negro. Recupera-se assim a temperatura de Hawking
para um buraco negro de Schwarzchild:
β −1 =
. (3.46)
8πM
De maneira análoga, pode-se pensar nesse processo de tunelamento para fora do horizonte
como uma criação de um par partícula e antipartícula nas vizinhanças de fora do buraco
negro, sendo esta absorvida pelo mesmo. De fato, tendo a antipartícula energia negativa
e propagando-se para trás no tempo, na solução de S0 de emissão, trocando-se E ↦→ −E
e t ↦→ −t, teremos:
∫ r0−ϵ
S0 = −E(t2 − t1) +
r0+ϵ
dr √
E2 − B(r)L2 /r2 B(r)
= −E(t2 − t1) + 2MEπi , (3.47)
que é o mesmo resultado que se chegou em (3.43).

3.3 Cálculo da radiação térmica 49
Consegue-se ainda recuperar um resultado clássico através desse cálculo. Sendo
B(r) = (1 − 2M/r), podemos reescrever:
S0[absorção] = −E(t2 − t1) − 2ME
∫ x2
x1
dx √
x4 − α2x2 + α2x , (3.48)
x(x − 1)
onde x = r/2M, α = L/2ME. Agora, podemos considerar 0 < x2 < 1 e x1 → ∞.
Definindo f(x) := x 4 −α 2 x 2 +α 2 x, vemos que f(x) possui uma raiz trivial em x = 0.
Nesse caso, f(x) = x g(x), com g(x) = x 3 − α 2 x + α 2 . Definindo ainda h(x) := x 3 e
w(x) := α 2 (x − 1), vemos que g(x) = h(x) − w(x). Por uma rápida análise gráfica, vide
fig. 3.2, podemos concluir alguns fatos interessantes:
g(x)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-2 -1 0 1 2 3
Figura 3.2: Gráficos de x 3 e de α 2 (x − 1) para valores crescentes de α = 1, 3 √ 3/2, 2 √ 2.
1. Para x2 < x < 1 − ϵ com ϵ > 0, f(x) > 0
⇒
∫ x2
1−ϵ
x
dx √
f(x) = C ∈ R;
x(x − 1)

3.3 Cálculo da radiação térmica 50
2. A integral no semiplano complexo superior
∫ 1−ϵ
1+ϵ
resultado que não depende de α;
dx √
f(x) = πi
x(x − 1)
√
f(x)
x
3. Sejam r1 < r2 < r3 as raízes de g(x), temos então que:
r2, r3
⇒
⎧
⎨
⎩
com B = ∫ r3
r2
r1 < 0;
x=1
= πi ,
ambas reais para α ≥ 3 √ 3/2 ⇒ f(x) ≤ 0 , r2 ≤ r ≤ r3 ;
ambas imaginárias para 0 ≤ α < 3 √ 3/2.
⎧
dx √ ⎨ A − iB , A, B ∈ R , α > 3
f(x) =
x(x − 1) ⎩
√ 3/2
∫ 1+ϵ
∞
√
dx −f(x) > 0.
x(x−1)
K , K ∈ R , 0 ≤ α ≤ 3 √ 3/2.
Tendo em mente que a integral em (3.48) é calculada em três regiões:
(∫ x2 ∫ 1−ϵ ∫ 1+ϵ )
S0 = −E(t2 − t1) − 2ME (. . .) + (. . .) + (. . .) , (3.49)
1−ϵ
1+ϵ
∞
podemos resumir os resultados como:
P = |Φ| [absorção] 2 ⎧
⎨ exp(4MEπ/) , para 0 ≤ α ≤ 3
∝ exp(−2/ℑS0) =
⎩
√ 3/2
exp(4ME(π − B)/) , para α > 3 √ 3/2.
(3.50)
Assim, a probabilidade de absorção é menor para o parâmetro α > 3 √ 3/2, ou seja, para
p = L
E > 3√ 3M, que é o parâmetro de impacto clássico no caso de Schwarzschild,
muito embora ela não seja nula. Note ainda que o pré-fator da exponencial acima não foi
determinado, portanto não é lícito tormar o limite clássico ( → 0), já que este coeficiente
global deve depender de .
Note que a dedução de S0 foi feita supondo apenas a métrica do espaço-tempo sendo
da forma (3.17), o que nos permite aplicar essa solução para o caso de Reissner-Nordström

3.3 Cálculo da radiação térmica 51
(B(r) = 1 − 2M/r + Q 2 /r 2 ). Nesse caso, o horizonte de eventos está situado em r =
r+ = M + √ M 2 − Q 2 (A.20), e teremos:
B0 = B ′ (r+) = 2 (M 2 + M √ M 2 − Q 2 − Q 2 )
(M + √ M 2 − Q 2 ) 3
o que nos dá uma relação análoga ao caso de Schwarzschild:
com
β −1 =
P emissão
P absorção
= e −βE , (3.51)
√ M 2 − Q 2
2π(M + √ M 2 − Q2 , (3.52)
) 2
que é a conhecida temperatura de Hawking para um buraco negro em Reissner-Nordström.
Vemos então que esse método é uma ferramenta poderosa para o cálculo de taxas de
absorção e de emissão de partículas em horizontes de eventos.
Até este ponto pode não ter ficado muito claro qual a relação entre as taxas de trans-
missão e reflexão calculadas em (3.36), (3.37) e (3.42) pela aproximação W.K.B e as da
equação (3.45). Primeiramente, as taxas de emissão (tunelamento para fora) e de absorção
(tunelamento para dentro oriundo do espalhamento) são iguais como apontado anterior-
mente, o que parece não refletir o espectro térmico encontrado. Além disso, considerando-
se apenas um dos processos (espalhamento, por exemplo) temos que as probabilidades de
transmissão e reflexão são relacionadas por R = T e 2π/√ k = T e 4MπE/ no caso de
Schwarzschild, o que também não coincide com a exponencial de Boltzmann por um fa-
tor de 2, mesmo erro que se chega através de cálculos de geodésicas nulas como apontado
na Introdução deste trabalho.
Entretanto, a nosso ver, esses cálculos podem ser conciliados na medida em que o
resultado em (3.45) não faz distinção do processo em questão, se é o espalhamento de
partículas ou o tunelamento de dentro para fora do buraco negro (alternativamente, uma
produção par um par partícula e antipartícula nas proximidades do horizonte), apenas
relacionando das taxas de absorção e emissão de uma partícula. Dessa forma (3.36) e
,

3.3 Cálculo da radiação térmica 52
(3.42) calculam cada um, separadamente, as transmissões e reflexões para processos físi-
cos distintos, ou matematicamente com condições de contorno diferentes. Se quisermos
recuperar o espectro térmico devemos considerar que ambos os processos ocorrem si-
multaneamente, tendo em mente que a emissão de uma partícula pode ser oriunda da
transmissão no tunelamento de dentro para fora (caso de (3.36)) e/ou a reflexão de um
processo de espalhamento.

Capítulo 4
Conclusão
Nesta dissertação, estudamos a propagação de ondas em espaços-tempos curvos gera-
dos por buracos negros e como a introdução de efeitos quânticos pode afetar resultados
clássicos conhecidos e ainda levantar novas questões à teoria.
Na primeira parte do trabalho, descrevemos a formulação matemática necessária para
o estudo de ondas escalares sem massa e sem spin, interpretadas pela visão quântica como
partículas, que serviu como ponto de partida para o desenvolvimento de um código com-
putacional em linguagem C para a evolução numérica de equações diferenciais que se
fazem pertinentes nesse estudo, com a subseqüente proposta de um “toy model” para o
mesmo. No que diz respeito ao programa computacional, implementamos o formalismo
do método de Prüfer, que nos permitiu calcular os desvios de fase (e a matriz S) para
o caso de espalhamento de ondas em buracos negros de Schwarzschild. Pretendemos
ainda analisar o espalhamento de um pacote de onda, que descreve uma situação física
mais realista, já que podemos obter resultados da evolução de cada freqüência separa-
damente. É válido também ressaltar que o código também se aplica ao caso de buraco
negro carregado (Reissner-Nordström) e que, futuramente, pode-se usar essa abordagem
para calcularmos efeitos de superradiância na métrica de Kerr. Ainda nesta parte, o “toy
model” mostrou produzir resultados qualitativamente bem parecidos com os numéricos,

muito embora ajustes finos no parâmetro A fazem-se necessário para podermos comparar
as taxas de tunelamento analíticas e numéricas em função da freqüência da onda.
Na segunda parte da tese, fizemos um tratamento semiclássico das equações de campo.
Para tanto, descrevemos a teoria necessária, que engloba as equações de Hamilton-Jacobi
e o método aproximativo W.K.B por integrais no plano complexo. Embora essa aborda-
gem já tenha sido utilizada por outros autores, como citado no capítulo 1, encontrando-se
em plena discussão no meio acadêmico, apresentamos a mesma com um detalhamento
que, a nosso ver, se fazia necessário na literatura, principalmente a respeito da prescrição
de integração ao redor do ponto de horizonte de eventos que parece fornecer resultados
corretos mesmo em coordenadas usuais (r, t). Assim sendo, pode-se dizer que esse tra-
tamento da questão o torna potencialmente útil para o estudo da violação da conjectura
cósmica, já que é possível calcular a taxa de absorção de um buraco negro, além de que
com essa abordagem podemos recuperar os efeitos de radiação Hawking e de seção de
choque clássica.
Por tudo isso, vê-se que o quão importante é o estudo de efeitos quânticos em buracos
negros, que até o presente momento se resume a uma análise semiclássica, tendo em
mente que apenas com o advento de uma teoria quântica da gravitação é que poderemos
ter uma visão ampla de todas essas questões.
54

Apêndice A
Introdução às métricas de buracos
negros
A equação de Einstein para o campo gravitacional é a base da teoria da relatividade, que
é uma teoria muito bem estabelecida atualmente, já que forneceu melhores explicações a
diversos fenômenos observados, tais como a reinterpretação do efeito de maré, a anomalia
do periélio de Mercúrio, a curvatura da trajetória da luz (produzindo o efeito de lentes
gravitacionais), dentre outros. Assim como as equações de Maxwell governam como os
campos elétrico e magnético respondem a correntes e cargas, as equações de campo de
Einstein governam como a métrica responde a energia e momentum e vice-versa. Nesse
sentido, faz-se extremamente importante o estudo de métricas em espaços-tempos com a
presença de matéria, pois servirá de base para o desenvolvimento do trabalho da tese 1 .
A referida equação de Einstein é válida para qualquer sistema de coordenadas - já que
é uma equação tensorial - e é dada por:
Rµν − 1
2 Rgµν = 8πGTµν
(A.1)
onde Rµν é o tensor de Ricci, R = Rµνg µν é o escalar de Ricci, gµν é o tensor métrico
do espaço-tempo, G é a constante de gravitação newtoniana e Tµν é o tensor energia-
1 Para informações mais detalhadas consulte [49]

A.1 A métrica de Schwarzschild 56
momento. O lado esquerdo de (A.1) diz respeito apenas às propriedades “geométricas”
da variedade, e o lado direito, às propridades da matéria, ou seja, essa equação nos diz
como energia e momento influenciam o espaço-tempo para gerar curvatura.
Se tirarmos o traço de (A.1) encontraremos que R = −8πGT , e, na ausência de
matéria, Tµν = 0, de forma que a equação de Einstein neste caso se resume a:
A.1 A métrica de Schwarzschild
Rµν = 0. (A.2)
Como primeiro estudo da aplicação da equação de Einstein, analisaremos as soluções
esfericamente simétricas e estáticas da métrica, que modelam, com boa aproximação, o
espaço-tempo fora de estrelas e planetas. Nos concentraremos nas soluções exteriores ao
objeto (no vácuo) que gera o campo gravitacional, donde pode-se analisar o movimento
de partículas teste e que, principalmente, nos levará ao estudo dos buracos negros.
De maneira não muito rigorosa, interpretaremos as soluções estáticas e simétricas por
duas condiçoes: que todas as componentes da métrica são independentes da coordenada
temporal e que não existem elementos “cruzados” do tipo dtdx i + dx i dt (já que a métrica
deve ser invariável trocando-se t ↦→ −t) assim como dx i dx j . É possível demonstrar que
de maneira geral, pode-se escrever a métrica em coordenadas esféricas x ν = (t, r, θ, ϕ)
da seguinte maneira:
ds 2 . = gµνdx ν dx µ = −e 2α(r) dt 2 + e 2β(r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (A.3)
Através das definições dos objetos:
Γ α µν ≡ 1
2 gαβ (gβµ,ν + gβν,µ − gµν,β) (A.4)
R α βµν ≡ Γ α βν,µ − Γ α βµ,ν + Γ α σµΓ σ βν − Γ α σνΓ σ βµ (A.5)
Rαβ ≡ R µ
αµβ
(A.6)

A.1 A métrica de Schwarzschild 57
pode-se calcular o tensor de Ricci (Rαβ) usando a métrica definida em (A.3) e resolver as
equações de campo, que, no caso, se resumem à equação (A.2).
A solução é definida a menos de uma constante de integração Rs e é dada por:
ds 2 (
= − 1 − Rs
)
dt
r
2 (
+ 1 − Rs
) −1
dr
r
2 + r 2 dΩ 2 , (A.7)
onde dΩ 2 = dθ 2 + sin 2 θdϕ 2
que é conhecida como a solução de Schwarzschild. Essa solução deve corresponder à
solução das equações de Einstein de campo fraco, na qual gtt = − ( 1 − 2M
)
(em unidades
r
na qual c = G = 1), no limite em que r ≫ 2M, e portanto Rs = 2M.
Finalmente obtemos uma métrica esfericamente simétrica e estática que descreve
como o espaço-tempo se curva na presença de um corpo com massa M. Note que para
M → 0 recuperamos o espaço de Minkowski - o que era esperado - assim como no limite
de r → ∞, propriedade conhecida como “o limite plano”. Pelo teorema de Birkhoff [49],
a métrica de Schwarzschild é a única solução de vácuo com simetria esférica.
A.1.1 Buracos negros em Schwarzschild
Primeiramente, analisemos os pontos de aparente singularidade da métrica, ou seja, em
r = 2M e r = 0. Deve-se avaliar se nesses pontos temos singularidades reais (físicas)
ou apenas problemas devido ao sistema de coordenadas utilizado. Procuremos então por
quantidades que sejam independentes do sistema de coordenadas e que “meçam” a curva-
tura do espaço-tempo. Nesse caso, faz sentido pensar por exemplo no tensor de Riemann,
e a partir dele construímos o escalar:
R µνρσ Rµνρσ =
48M 2
r 6 . (A.8)
Para r = 0 teremos de fato uma singularidade no espaço-tempo, enquanto que para r =
2M não teremos problema, e assim ocorrerá com qualquer outro escalar de curvatura que
se construa, como por exemplo: R,R µν Rµν, RµνρσR ρσλτ R µν
λτ , etc.

A.1 A métrica de Schwarzschild 58
.
Figura A.1: Cones de luz em Schwarzschild. Figura retirada de [50]
Um fóton viajando a velocidade da luz percorre, na ausência de forças externas, um
trajetória chamada geodésica. Para essas trajetórias, temos que ds 2 = 0 e, considerando-
se apenas trajetórias radiais (dΩ 2 = 0):
ds 2 (
= 0 = − 1 − 2M
⇒ dt
dr
r
(
= ± 1 − 2M
r
)
dt 2 (
+ 1 − 2M
) −1
r
) −1
dr 2
(A.9)
(A.10)
que determina a inclinação dos cones de luz no plano r − t para cada ponto do mesmo.
Esquematicamente teremos a figura A.1 que nos diz que quanto mais próximo do raio de
Schwarzschild (r = 2M) menor é a liberdade radial que a partícula tem para escapar do
mesmo.
Vemos que os cones de luz não são bem comportados e que nem todo o domínio r
está acessível, visto que uma partícula incidente tenderia alcançar a posição r = 2M num
intervalo de tempo infinito quando medido por um observador a uma distância fixa do bu-
raco negro. Como visto anteriormente, isso é um problemas nas coordenadas usadas para
descrever o espaço-tempo. Implementando-se a mudança de variável conhecida como co-

A.1 A métrica de Schwarzschild 59
ordenadas tartaruga dr
dr∗ = ( 1 − 2M
)
∗ eliminamos esse problema e teremos: dt = ±dr .
r
Tomando ainda a mudança de variável:
v = t + r ∗
u = t − r ∗
(A.11)
(A.12)
teremos as conhecidas coordenadas de Eddington-Finkelstein e os cones de luz ficam
determinados pela equação:
dv
dr =
⎧
⎨ 0 , entrando
⎩ 2 ( 1 − 2M
)
, saindo
r
representado pela figura A.2.
(A.13)
Figura A.2: Cones de luz em Schwarzschild nas novas coordenadas. Figura retirada de
[49].
Vemos que para r ≤ 2M os cones de luz estão dirigidos para dentro, e portanto,
denominamos a superfície r = 2M como horizonte de eventos, ou seja uma região da
qual nenhuma informação consegue escapar. Se o raio de uma estrela for menor que o
raio de Schwarzschild, então este objeto será visto como um buraco negro no sentido de
que ele não poderá ser detectado visualmente.

A.2 Buracos negros em Reissner-Nordström 60
A.2 Buracos negros em Reissner-Nordström
Para o caso de um buraco negro eletricamente carregado com simetria esférica, devemos
procurar soluções para a métrica do tipo:
ds 2 = −e 2α(r,t) dt 2 + e 2β(r,t) + r 2 dΩ 2 . (A.14)
Porém agora não estamos interessados em soluções do vácuo, já que o buraco possui
um campo eletromagnético, que age como uma fonte de energia-momento. O tensor de
energia-momento para o campo eletromagnético é dado por:
Tµν = FµρF ρ
ν − 1
4
gµνFρσF ρσ
(A.15)
onde Fµν é o tensor stress de Maxwell. As equações de campo nesse caso se resumem a:
g µν ∇µFνσ = 0 (A.16)
∇[µFνρ] = 0. (A.17)
Os detalhes das contas não serão levados em consideração, já que as equações acima são
acopladas e complicadas de se resolver. Nesse caso, a solução é a conhecida métrica de
Reissner-Nordström da forma:
ds 2 = −
(
1 − 2M
r
+ Q2
r 2
)
dt 2 (
+ 1 − 2M
r
Q2
+
r2 ) −1
dr 2 + r 2 dΩ 2
para um buraco negro de massa M carga Q e sem “carga magnética”.
(A.18)
Como sugerido na seção A.1.1 uma maneira de diagnosticar horizontes de eventos é
procurar o(s) ponto(s) no(s) qual(is) g rr = g −1
rr (para métricas diagonais)= 0. No presente
caso teremos:
g rr =
(
1 − 2M
r
Q2
+
r2 )
= 0 ⇒ (A.19)
r± = M ± √ M 2 − Q 2 (A.20)
Aqui, temos três casos a considerar:M 2 − Q 2 > 0, M 2 − Q 2 = 0 e M 2 − Q 2 < 0.

A.2 Buracos negros em Reissner-Nordström 61
No primeiro caso, ambas as raízes r± serão reais e o buraco negro possuirá dois ho-
rizontes. O primeiro horizonte de eventos r+ será análogo à superfície de r = 2M em
Schwarzschild, e, assim como naquele caso, tanto r+ quanto r− não são singularidades
físicas, ou seja, podem ser removidas por uma mudança de sistema de coordenadas, o que
não é o caso da singularidade real em r = 0.
No segundo caso, conhecido como a solução “extrema” de Reissner Nordström, há
apenas um horizonte de eventos em r = M. Essa solução é normalmente analisada no
contexto de gravidade quântica além de parecer instável, na medida em que um pequeno
acréscimo massa já retornaria ao caso anterior.
No terceiro caso, não existe um horizonte de eventos e a métrica é completamente
regular nas coordenadas (r, θ, ϕ, t), ainda que exista a singularidade em r = 0. Nesse
caso diz-se que a singularidade é nua por não estar revestida por um horizonte de eventos.
Essa solução não é fisicamente aceitável, tendo em vista a conjectura de censura cós-
mica. Esta conjectura - ainda não demonstrada formalmente, porém com base em sólidos
argumentos teóricos e dados experimentais - formula que todos os espaços-tempos fisi-
camente aceitáveis são globalmente hiperbólicos, ou seja, nenhuma singularidade, exceto
pela possível singularidade cosmológica primordial, é visível a qualquer observador [48].
Três são as possíveis maneiras de se obter uma singularidade através do colapso gravi-
tacional: a primeira refere-se à auto-atração gravitacional de uma estrela, que, tendo mais
que 1.4 massas solares, entra em colapso; a segunda, envolve o colapso gravitacional de
todo núcleo central de um denso algomerado de estrelas; e o terceiro, e mais especulativo,
é o colapso gravitacional de regiões com altas densidades no universo primordial.
Pode-se mostrar que qualquer colapso gravitacional esfericamente simétrico resulta
numa singularidade dentro de um buraco negro. Além disso, estudos de perturbações line-
ares em Schwarzschild mostram que, a menos que as soluções das equações não-lineares
não “explodam” em uma determinada região da variedade (que permitiria o surgimento de
uma singularidade nua), as soluções limitadas e bem comportadas serão não-singulares,

A.2 Buracos negros em Reissner-Nordström 62
que é o caso que se tem comprovado. Isso sugere que um colapso gravitacional com uma
pequena perturbação em relação ao esfericamente simétrico tende a produzir um buraco
negro em detrimento a uma singularidade nua.

Apêndice B
Método de Prüfer
Representações assintóticas de soluções de equações diferenciais (para um grande pa-
râmetro p) de segunda ordem num intervalo que não contém pontos de retorno são de
fundamental importância para a Física. É sabido que a escolha das soluções assintóti-
cas não é única e, em geral, para soluções com altas oscilações, é adotado o Ansatz da
forma u(x) = A(x) exp[ipτ(x)] - como é o caso do método W.K.B. - com A(x) e τ(x)
conhecidos como a amplitude e a fase, respectivamente.
Ambas as funções satisfazem equações na qual pelo menos uma delas é de segunda
ordem, sendo que o coeficiente da mais alta derivada não contém o (alto) parâmetro p,
podendo ser interpretados como uma perturbação. Entretanto esse procedimento tem um
alto custo computacional, já que a cada passo deveremos levar em consideração a derivada
mais alta que foi negligenciada no passo anterior. Portanto, uma questão que surge é sobre
a possibilidade de desenvolver-se um esquema computacional no qual tanto a amplitude
quanto a fase obedeçam equações de primeira ordem. Tal procedimento é implementado
através da transformação de Prüfer [51].
Considere uma equação do tipo Schrödinger na forma padrão:
d 2 u(x)
dx 2 + p2 Q(x, λ)u(x) = 0 (B.1)

onde Q(x, λ) = λ − q(x).
Introduzimos a transformação de Prüfer:
que é uma solução com alta freqüência.
u(x, p) = r(x, p) sin(p θ(x, p)), (B.2)
⇒ u ′ = r ′ sin(p θ) + pr θ ′ cos(p θ). (B.3)
A próxima diferenciação produzirá um termo de segunda derivada r ′′ . Para evitar isso
representamos θ(x, p) como:
de forma que:
forma:
p θ(x, p) = p τ(x) + h(x, p) com (B.4)
r ′ sin(p θ) + rh ′ cos(p θ) = 0 (B.5)
u ′ = r ′ sin(p θ) + rh ′ cos(p θ) + rpτ ′ cos(p θ) = rpτ ′ cos(p θ) (B.6)
De maneira geral, o método de Prüfer se aplica a qualquer equação diferencial da
(
d
P (x)
dx
du
)
+ Q(x)u(x) = 0 (B.7)
dx
definida no intervalo x ∈ [a, b], onde P (x) > 0 e P ′ (x) e Q(x) são contínuos. Note que
pode-se retornar ao caso anterior quando P = 1 e Q(x) ↦→ p 2 Q(x), ou seja, quando Q(x)
varia rapidamente.
Consideremos o retrato de fase no plano de fase de Poincaré. Fazemos isso introdu-
zindo a “fase” e o “raio ” da solução u(x) pela substituição de Prüfer:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
P (x) u ′ = r(x) cos (θ(x))
u(x) = r(x) sin (θ(x))
(B.8)
64

Notemos que:
o que implica:
onde u ′ ≡ du
dx .
P 2 (x)u ′ (x) 2 = r 2 cos 2 θ ; u 2 = r 2 sin 2 θ (B.9)
P 2 u ′2 + u 2 = r 2
tan θ =
(B.10)
u
.
P u ′ (B.11)
Essa transformação (P u ′ , u) ↔ (r, θ) pode ser vista como uma curva parametrizada pela
variável x no plano de Poincaré e é válido notar que ela é não-singular para todo r ̸= 0. De
fato, se para algum x particular r(x) = 0, teremos, por (B.9), u(x) = 0 e u ′ (x) = 0. Pelo
teorema da unicidade para a equação diferencial de segunda ordem, u(x) = 0 ∀x para
todas as soluções não triviais, r > 0. Derivando o inverso da equação (B.11), obtemos:
− csc 2 θ dθ
dx = (P u′ ) ′ P u′2
−
u u2 = −Q − cot2 θ 1
P
⇒ dθ
dx = Q(x) sin2 θ + cos2 θ
P (x)
que é chamada equação diferencial de Prüfer para a fase.
Diferenciando agora a equação (B.10) teremos:
r dr
dx = uu′ + (P u ′ )(P u ′ ) ′ = u
P P u′ − P u ′ Qu =
⇒ dr
dx
= r sin 2θ
2
( 1
P
(B.12)
(B.13)
r sin θ
r cos θ − r cos θQr sin θ (B.14)
P
)
− Q . (B.15)
Finalmente, as equações (B.13) e (B.15) formam o sistema de equações de Prüfer, que
é equivalente à (B.7). O que as torna interessantes é o fato de que a equação original se
65

eduz a um sistema diferencial de primeira ordem, sendo que a equação para a fase θ(x)
é independente da variável r(x), o que a torna mais importante, visto que ela determina
o comportamento oscilatório de u(x). Para qualquer valor inicial (a, γ) há uma única
solução que satisfaz
dθ
dx
= F (x, θ) (B.16)
θ(a) = γ (B.17)
desde que P e Q sejam contínuos em a. Conhecendo-se θ(x) pode-se determinar r(x)
integrando-se (B.15):
com K = r(a).
(∫ x (
1
r(x) = K exp
a P
) )
sin 2θ
− Q dx
2
(B.18)
66

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