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Sumário
Sétima Lista - Lei de Faraday
FGE211 - Física III
• O fluxo magnético através de uma superfície S é definido como
ΦB = B · d A
• A Lei da Indução de Faraday afirma que a força eletromotriz (fem)
induzida em uma bobina que contém N espiras é proporcional ao negativo
da taxa de variação do fluxo magnético:
S
ε = −N dΦB
dt
• A direção da corrente induzida é dada pela lei de Lenz que afirma
que correntes induzidas produzem campos magnéticos que tendem às
mudanças do fluxo magnético que as induziram.
• A força eletromotriz induzida pela lei de Faraday está associada a um
campo elétrico não-conservativo:
ε = Enc · ds
.
Dicas para resolução de problemas
Vimos que, devido a lei de Faraday, há uma fem induzida devido a variação
do fluxo magnético:
ε = −N dΦB
dt .
Para um condutor, a fem induzida gera uma corrente
I = ε
R ,
onde R é a resistência do circuito. Para calcular a corrente induzida e sua
direção, os passos abaixo podem ser úteis:
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1. Para um circuito fechado de área A defina um vetor de área A de tal
forma que ele aponte na direção do seu dedão (para a conveniência
de aplicar a regra da mão direito mais para frente). Calcule o fluxo
magnético através do circuito usando
⎧
⎪⎨
ΦB =
⎪⎩
Determine também o sinal de ΦB.
B · A ( B uniforme)
B · d A ( B nao-uniforme)
2. Avalie a taxa de variação temporal do fluxo magnético (dΦB/dt). Tenha
em mente que esta taxa pode variar devido a:
• mudanças no campo magnético (dB/dt = 0);
• mudanças na área do circuito se o condutor estiver se movendo
(dA/dt = 0);
• mudança na orientação do circuito com relação ao campo magnético
(dθ/dt = 0)
Não esqueça de determinar o sinal de dΦB/dt.
3. O sinal da fem induzida é oposto ao sinal de dΦB/dt.
4. A direção da corrente induzida é obtida usando a lei de Lenz.
Questões conceituais
1. Um imã em forma de barra cai no meio de um anel circular como
mostra a figura 1.
Figura 1: Imã em barra caindo no meio de um anel circular condutor.
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(a) Qualitativamente, qual a mudança do fluxo magnético através do
anel quando a barra está acima e abaixo dele?
(b) Faça um gráfico da corrente induzida no anel como uma função
do tempo, escolhendo I positivo quando a direção é anti-horária
(vista de cima).
2. Dois anéis circulares A e B tem seus planos paralelos um ao outro
como mostra a figura 2. A corrente do anel A está se movendo na
direção anti-horária (vista de cima).
Figura 2: Dois anéis paralelos.
(a) Se a corrente no anel A diminui com o tempo, qual a direção da
corrente induzida no anel B? Os dois anéis vão se atrair ou se
repelir?
(b) Se a corrente no anel A aumenta com o tempo, qual a direção da
corrente induzida no anel B? Os dois anéis vão se atrair ou se
repelir?
3. Uma casca esférica condutora é colocada em um campo magnético
variável. Há uma corrente induzida no equador?
4. Um loop retangular se move através de um campo magnético uniforme
mas a corrente induzida é zero? Como isso é possível?
Problemas
1. Anel retangular perto de um fio
Um fio infinito carrega uma corrente I e é posto a esquerda de um anel
retangular de largura w e altura l como mostra a figure 3.
(a) Determine o fluxo magnético através do anel retangular devido a
corrente I.
(b) Sponha que a corrente é uma função do tempo I(t) = a+bt, onde
a e b são constantes positivas. Qual a fem induzida no anel e qual
a direção da corrente induzida?
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Figura 3: Anel retangular perto de um fio.
2. Anel com área variável
Um anel quadrado de lado l é posto em um campo magnético uniforme
apontando para dentro da página como mostra a figura 4 (a). Durante
um intervalo de tempo ∆t, o anel é esticado como mostra a figura.
Assuma que a resistência total do anel é R. Ache a corrente induzida
no anel.
Figura 4: Anel quadrado posto em campo magnético uniforme e esticado
pelas suas extremidades.
3. Bastão deslizando
Um bastão condutor de comprimento l é livre para deslizar em duas
barras condutoras paralelas como mostra a figure 5. Dois resistores
R1 e R2 estão conectados nas extremidades das barras. Há um campo
magnético apontando para dentro da página. Suponha que um agente
externe puxe a barra para a esquerda com uma velocidade constante
v. Avalie:
(a) As correntes nos dois resistores.
(b) A potência total dissipada pelos resistores.
(c) A força aplicada necessária para manter a velocidade do bastão
constante.
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Figura 5: Bastão de comprimento l deslizando sobre duas barras condutoras.
4. Barra se movendo
Uma barra constante de comprimento l se move com velocidade v
perpendicular a um fio infinito pelo qual passa uma corrente I como
mostra a figura 6. Qual a diferença de potencial entre as extremidades
da barra?
Figura 6: Barra se movendo perpendicularmente a um fio infinito.
5. Campo magnético variando no tempo
Um anel circular de raio a é colocado em um campo magnético perpendicular
a normal do anel como mostra a figure 7. O campo magnético
varia de acordo com a relação B(t) = B0+bt onde B0 e b são constantes
positivas.
(a) Calcule o fluxo magnético através do anel em t = 0.
(b) Calcule a fem induzida no anel.
(c) Qual a corrente induzida (magnitude e direção) se o a resistência
do anel é R?
(d) Qual a potência dissipada no anel?
6. Anel se movimentando
Um anel retangular de dimensões l e w se move com velocidade constante
v se afastando de um fio infinito que carrega uma corrente I
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Figura 7: Anel circular posto em um campo magnético não-uniforme perpendicular
a ele.
como mostra a figura‘ 8. Se a resistência total do anel é R, qual a
corrente induzida nele quando o lado inferior está a uma distância r
do fio?
Figura 8: Anel retangular de dimensões l e w se afastando de um fio infinito.
7. Barra deslizando
Uma barra condutora de massa m e resistência R desliza sem atrito
sobre dois trilhos paralelos separados por uma distância l e conectados
a uma bateria que mantêm uma fem constante ɛ como mostra a figura
9. Esta região está imersa em um campo magnético constante B saindo
da página. Considerando que a barra está inicialmente em repouso,
mostre que após um tempo t sua velocidade pode ser dada por
onde τ = mR/B 2 l 2 .
v = ɛ
−t/τ
1 − e ,
Bl
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Figura 9: Barra condutora deslizando sobre trilhos condutores em uma
região com campo magnético constante.
8. Barra em um plano inclinado
Uma barra condutora de massa m e resistência R desliza sobre dois
trilhos condutores inclinados que fazem um ângulo θ com a horizontal
e estão separados por uma distância l, como mostra a figura 10. Esta
região está imersa em um campo magnético constante B direcionado
para cima. A barra é liberada do repouso e começa a deslizar.
Figura 10: Barra deslizando em um plano inclinado em uma região de campo
magnético constante.
(a) Qual a corrente induzida na barra? Qual a sua direção? De a
para b ou de b para a?
(b) Ache a velocidade terminal da barra, vt.
Após chegar na velocidade terminal:
(c) Qual a corrente induzida na barra?
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(d) Qual a taxa com a qual a energia elétrica é dissipada na barra?
(e) Qual a taxa com que a força gravitacional realiza trabalho na
barra?
9. Barra com uma polia
Uma barra condutora de massa m e resistência R é puxada horizontalmente
através de dois trilhos condutores paralelos separados por uma
distância l. Isso é feito através de um fio de massa desprezível conectado
a uma polia e a um bloco de massa M, como mostra a figura 11.
Nesta região há um campo magnético constante B direcionado para
cima. A barra é liberada do repouso.
Figura 11: Barra sendo puxada horizontalmente por um bloco de massa M
através de uma polia.
(a) Suponha que em um certo instante a velocidade da barra é v.
Ache a corrente induzida em função de v. Qual a direção da
corrente? De a para b ou de b para a? Ignore o atrito entre as
barras.
(b) Resolva a equação diferencial que rege o movimento dessa barra
e ache a sua velocidade em função do tempo.
10. Barra rodando
Uma barra condutora de comprimento l tem uma de suas extremidades
fixas e está rodando com uma velocidade angular ω em um plano perpendicular
a um campo magnético uniforme B como mostra a figura
12.
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Figura 12: Barra fixa em uma extremidade e rodando em um plano perpendicular
a um campo magnético constante.
(a) Um pequeno elemento carregado com uma carga q está a uma
distância r da extremidade fixa. Mostre que a força magnética
nesse elemento é FB = qBrω.
(b) Mostre que a diferença de potencial entre as extremidades da
barra é ∆V = 1
2 Bωl2 .
11. Anel retangular se movendo em um campo magnético
Um pequeno anel retangular de altura l = 10cm e largura w = 8cm
cuja resistência é R = 2Ω é puxado com velocidade constante v =
2cm/s através de uma região com campo magnético uniforme B = 2T
entrando na página como mostra a figura 13. Em t = 0 a frente
do retângulo adentra a região com campo magnético. Há campo
magnético apenas na região assinalada na figura.
Figura 13: Retângulo se movendo em uma região com campo magnético.
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(a) Calcule o fluxo magnético e faça um gráfico dele em função do
tempo (de t = 0 até o instante em que o anel sai da região com
campo magnético).
(b) Ache a fem induzida e grafique-a em função do tempo.
(c) Qual a direção da corrente induzida?
12. Força eletromotriz devido a um campo magnético variando
no tempo
Um campo magnético uniforme B é posto perpendicularmente a uma
espira circular de resistência desprezível como mostra a figura 14. O
campo magnético varia no tempo como mostra o gráfico. O raio da
espira é r = 50cm e ela está conectada em série com um resistor de
resistência R = 20Ω
Figura 14: Espira em um campo magnético variando no tempo.
(a) Qual a expressão para a fem induzida em termos de Bz(t)?
(b) Faça um gráfico da fem induzida no circuito em função do tempo.
Nomeie os eixos quantitativamente (números e unidades) e cuidado
com os sinais. Note que nomeamos a direção positiva da
fem na figura assumindo que o campo é positivo e saindo da folha.
[Resposta parcial: ɛ vale 1, 96V, 0V e 0, 98V.]
(c) Grafique a corrente que passa pelo resistor. Não se esqueça de
nomear os eixos quantitativamente e de indicar a direção com que
a corrente flui sobre a espira em cada intervalo de tempo. [Respostas
parciais: os valores da corrente são 98mA, 0A e 49mA.]
(d) Faça um gráfico da produção de energia térmica no resistor em
função do tempo. [Respostas parciais: os valores são 192mW,
0W e 48mW.]
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