módulo de exatas - PROFESSOR RAMON NEIVA

Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
MÓDULO DE EXATAS 2009 MATEMÁTICA Prof. Ramon Neiva
Potência com expoente inteiro
1ª
)
2ª
)
3ª
)
4ª
)
5ª
)
Potências e Radicais
0
n
⎪⎧
se n = 0 ⇒ a = 1
a = a1
⋅ a44
⋅2a
⋅4...
43
⋅ a ⎨
1
n fatores ⎪⎩ se n = 1 ⇒ a = a
n
−n
⎛ 1 ⎞
a = ⎜ ⎟ ( para a ≠ 0)
⎝ a ⎠
m
n
a =
n m
Propriedades da Potência Propriedades dos radicais
Produtos Notáveis
2 2
a − b = a − 2ab
+ b
2 2
2
( a + b)
= a + 2ab
+ b
( ) 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
( a + b)
= a + 3a
b + 3ab
+ b ( a − b)
= a − 3a
b + 3ab
− b
3 3
2 2
3 3
2 2
a + b = ( a + b)
⋅ ( a − ab + b ) a − b = ( a − b)
⋅(
a + ab + b )
2 2
( a + b)
⋅ ( a − b)
= a − b
2
+ a)
⋅ ( x + b)
= x + ( a + b)
x + ab
( x
a
m
a
a
a
a
b
m
n
m
m
2 2 2 2
( a + b + c)
= a + b + c + 2ab
+ 2ac
+ 2bc
1. (UEFS-02.1) O valor numérico da expressão 5
a) –5,25 d) 0,45
b) –4,75 e) 0,65
c) –0,05
2. (UESC-2005) Considerando-se a expressão
10
E =
m
n
m m⋅n
( a ) = a
−2
n
⋅ a = a
= a
⋅b
m
m−n
⎛ a ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
m
−1
−2
+ 100
10
n+
m
( para a
= ( a ⋅ b)
−3
+
( −10)
−1
−1
−
2
( ) 3
− 2
pode-se afirmar que E é igual a:
01) – 100 04) 10
02) – 10 05) 100
03) 0,1
3. (UESC-2007) Considerando-se a expressão
−2−1
−2
2
2 + 0,
25 − 2
M = , pode-se afirmar que o valor de M é:
−3
− 2
01) 14 04) -2
02) 2 05) -14
03) 0,5
a
é igual a:
2
4. (UESB-2004) Sendo x =
x é um número
3 − 3
3
2
+ 6 , pode-se afirmar que
01) racional não inteiro positivo.
02) racional não inteiro negativo.
03) inteiro negativo.
04) inteiro positivo.
05) irracional.
m
( para b
Revisão Geral
≠ 0)
≠ 0)
n n n
1ª
) a ⋅ b = a ⋅b
n
a a
2ª
) = n
n
b b
3ª
)
n ( a )
m n m
= a
m n m⋅n
4ª
) a = a
( b ≠ 0)
n: p m:
p n m
5ª
) a = a
1
5. (UEFS-01.1) Sobre o número real
afirmar:
a) x ∈ N d) x 2 < x
b) x ∉ Q e) x = 19/8910
c) x > 25
6. (UESB-2005) A expressão algébrica
com x ≠ -3 e x ≠ 2, equivalente a:
01) 1 04) x – 3
x
02)
x + 3
05)
03) x + 3
x + 3
x − 2
01,
+ 0,
1
x = , pode-se
0,
01
6x
−12
x − 9
+
2
2
x + x − 6 x + 6x
+ 9
7. (UESB-2009) Uma expressão algébrica equivalente a
5 4 3 2
( x 1)
⋅ ( x + x + x + x )
− é:
2 2 2
01) x ⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
02) ( ) 2
2 2
x ⋅ x − 1
2 4 2
03) x ⋅ ( x + x −1)
04) ( ) 2
4
x ⋅ x + 1
4 2
05) x ⋅ ( x + x −1)
8. (UESB-2003) No universo U =R*, o conjunto solução da
x − 6 11 2
equação + = é (m,n). O valor de m.n é:
3 3x
x
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
9. (UESC-2004) Se o conjunto-solução da equação
2
2
x − k x −1
= k , com x∈R, é {-1, 3}, então o número real k pertence
x −1
ao conjunto:
01) {-4, -3} 04) { 1, 2}
02) {-2, -1} 05) { 3, 4}
03) {-1, 0}
10. (UEFS-06.2) Se, para valores reais, não simultaneamente nulos,
de x e y,
2
2
x − y
= 2 2
x + y
1
2
x
então é igual a:
y
a) 1 d) 2
b) 2 e) 3
c) 3
11. (UNEB-2009) Considerem-se as proposições:
I. π é um número racional.
II. Existe um número racional cujo quadrado é 2.
III. Se a > 0 , então − a < 0 .
IV. Todo número primo é ímpar.
Com base nelas, é correto afirmar:
01) A proposição I é verdadeira.
02) A proposição II é verdadeira.
03) A proposição III é verdadeira.
04) As proposições I, II e IV são verdadeiras.
05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.
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12. (UESB-2009) Sendo x , y, z e w números reais tais que x < z ,
y < z e z < w , pode-se afirmar que:
01) ( z − x)
⋅ ( y − z)
⋅ ( z − w)
> 0 04) ( y − w)
⋅ ( z − x)
> 0
02) ( x y)
⋅ ( z − w)
< 0
− 05) y − w > 0
03) ( x − z)
⋅ ( x − y)
< 0
13. (UESC-2009) Quando "Pinóquio" diz uma mentira, o
comprimento do seu nariz aumenta 10cm e quando diz uma verdade,
diminui 5cm. Após fazer as três afirmações sobre números naturais
x, y e z quaisquer,
• se y.z é um múltiplo de x, então y ou z é múltiplo de x,
• se x só é divisível por 1 e por x, então x é um número primo,
• se y + z e y são múltiplos de x, então z é múltiplo de x,
o comprimento do nariz de Pinóquio ficou
01) aumentado de 30cm.
02) aumentado de 15cm.
03) com o mesmo comprimento que já tinha.
04) reduzido de 10cm.
05) reduzido de 15cm.
14. (UESC-2009) Desde Pitágoras, que estudou a geração dos sons,
sabe-se que duas cordas vibrantes cujos comprimentos estão na
proporção de 1 para 2 produzem o mesmo tom.
Uma corda de 61,41m deve ser cortada em 11 pedaços, de modo
que cada novo pedaço obtido tem o dobro do comprimento do
pedaço anterior.
O comprimento do maior pedaço será igual a:
01) 21,41m 04) 23,42m
02) 29,25m 05) 30,72m
03) 28,72m
15. (UESC-2009) Um manuscrito antigo do "Pirata Barba Negra"
indica que, numa certa ilha do Caribe, há um tesouro enterrado e dá
as seguintes dicas da sua localização: Quando se desembarca na
ilha, vêem-se duas grandes árvores, que chamarei de A e B. Para
localizar o tesouro, caminhe de A para B, contando os passos. Ao
chegar em B, vire à direita e caminhe metade do que andou de A
para B. Daí caminhe na direção de A, contando os passos.
Chegando em A, caminhe, na direção contrária a B, o total de
passos que já andou. Nesse ponto X enterrei o tesouro.
Se a ilha é plana e a distância entre as duas árvores é e 10m, então
a distância de A a X é igual a:
01) 15 + 5 5
02) 25
03) 15 + 10 5
04) 15 + 15 5
05) 20
16. (UESB-2009) Em um concurso de talentos, após várias etapas,
foram escolhidos três finalistas F1, F2 e F3. Para a classificação final,
cada um dos n componentes de um júri, previamente estabelecido,
deveria escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocados,
atribuindo-lhes, respectivamente, 3 pontos, 2 pontos e 1 ponto. Ao
final da votação, sabendo que todos votaram corretamente, verificouse
que F1 teve um total de 21 pontos, F2 teve um total de 17 pontos e
F3 teve um total de 10 pontos.
Em tais condições, pode-se concluir que n é igual a:
01) 4 04) 10
02) 6 05) 12
03) 8
17. (UESB-2009) A média salarial dos funcionários de uma empresa
é igual a R$1500,00 sendo que o salário médio dos homens é de
R$1700,00 e o das mulheres é de R$1450,00. Logo, entre os
funcionários da empresa, o número de mulheres em relação ao de
homens é:
01) um terço 04) o quádruplo
02) a metade 05) o dobro
03) igual
2
18. (UESC-2008) Em um condomínio residencial, três casas, A, B e
C, e a quadra de esportes estão situadas em linha reta, com as três
casas à direita da quadra. As distâncias de A, de B e de C à quadra
são, respectivamente, iguais a x metros, 300m e 400m.
A alternativa que melhor apresenta informações sobre o valor de x e
que melhor representa a afirmação “somando-se a distância de A a
B à distância de A a C obtém-se 500m” é:
01) x = 100 e ( 300 − x)
+ ( 400 − x)
= 500
02) x < 200 e x − 300 + x − 400 = 500
03) x < 300 e 400 − x + x − 300 = 500
04) x < 300 e 300 + x + x + 400 = 500
05) x > 600 e x − 300 + x − 400 = 500
19. (UESC-2008) O número de um Cadastro de Pessoa Física (CPF)
obedece a algumas regras, tais como
• deve ter exatamente 11 dígitos, ou seja, abcdefghijk;
• j = 11−
r se r, o resto as divisão da soma
( 10 a 9b
+ 8c
+ 7d
+ 6e...
2i
)
+ por 11 for diferente de 0 e 1.
Considerando-se 1111111110jk o número do CPF, pode-se afirmar
que j é igual a
01) 1 04) 6
02) 3 05) 9
03) 4
20. (UESC-2008) Uma cidade possui, 4 escolas de Ensino Médio A,
B, C e D. O número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola
A é 4 vezes maior do que o número daqueles que cursam na escola
B; o número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola B é
igual a metade do número de alunos que o cursam na escola C e o
número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola D é igual a
1/8 do total de alunos do Ensino Médio da cidade.
Entre o total de pessoas da cidade que cursam o Ensino Médio, o
percentual dos que são alunos na escola C é igual a:
01) 12,5% 04) 30%
02) 20% 05) 50%
03) 25%
21. (UEFS-08.1) Em um torneio esportivo, em que cada equipe
deve jogar 14 partidas, cada vitória vale 3 pontos, cada empate vale
1 ponto e cada derrota vale 0 ponto. A equipe X já jogou 8 partidas,
das quais venceu 3, empatou 2 e perdeu 3. Uma das condições para
essa equipe encerrar o torneio ganhando, pelos menos, 55% dos
pontos disputados é, dos jogos restantes, vencer
a) 2 e empatar 4. d) 3 e empatar 3.
b) 2 e empatar 3. e) 4 e empatar 1.
c) 3 e empatar 2.
22. (UEFS-06.2) O salário de um professor é calculado em função
do número de aulas que ele ministra nas faculdades X e Y.
Sabendo-se que ele dá 36 aulas semanais e que o valor da aula na
faculdade X é 3/4 do valor da aula na faculdade Y, pode-se afirmar
que o número mínimo de aulas dadas, por semana, em Y, para que
a sua remuneração, nessa faculdade, seja maior do que em X deve
ser igual a:
a) 16 d) 20
b) 18 e) 22
c) 19
23. (UEFS-09.1) Na divisão das despesas da família, cabe ao Sr. X
pagar, mensalmente, R$850,00 do aluguel do apartamento em que a
família reside e, à Sra. X, pagar, mensalmente, R$400,00 relativos à
taxa do condomínio.
Sabendo-se que a renda mensal líquida do casal é igual a
R$7820,00 e que, efetuando os pagamentos citados, restará, à Sra.
X, 4/5 do valor restante ao Sr. X, pode-se afirmar que a diferença
entre as rendas do Sr. e da Sra. X, em reais, está entre
a) 700 e 800 d) 1000 e 1100
b) 800 e 900 e) 1100 e 1200
c) 900 e 1000
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24. (UEFS-06.2) Um garoto guardou em um cofrinho todas as
moedas de 5, 10 e 25 centavos, recebidas de troco durante um
determinado período, ao fim do qual constatou que o número de
moedas guardadas de 5 centavos era o dobro do número de moedas
de 25 centavos e que o número de moedas guardadas de 10
centavos era o triplo do número de moedas de 5 centavos. Nessas
condições, o valor total contido no cofre pode ser, em reais, igual a:
a) 55 d) 85
b) 65 e) 95
c) 75
25. (UNEB-2007) Hoje, as idades de X, de seu pai, P, e de seu avô,
A, somam 111 anos. Sabe-se que X tem a quarta parte da idade de
A, que, por sua vez, tem 5/3 da idade de P. Nessas condições, podese
afirmar que X completará 22 anos daqui a:
01) 6 anos 04) 9 anos
02) 7 anos 05) 10 anos
03) 8 anos
26. (UESC-2003) Se o número a∈N* é tal que, ao ser dividido por 8,
deixa resto igual a 2, então, ao se dividir ( a 12)
2 + por 8, o resto será
igual a:
01) 0 04) 3
02) 1 05) 4
03) 2
27. (UEFS-07.2) A taxa de analfabetismo de um município é obtida
através da divisão do número de analfabetos pela população de
residentes nessa localidade. A renda per capita é obtida através da
divisão da renda anual do município pela sua população. A tabela
apresenta dados sobre sois municípios, M e N, num determinado
ano.
Taxa de Renda per
Município População Analfabetismo (%) capita (em R$)
M 15.10 5 25 1800
N 22,5.10 4 15 4200
A partir desses dados, pode-se afirmar:
I. A população de M é maior do que a população de N.
II. A renda total de N não chega a metade da renda total de M.
III. O número absoluto de analfabetos, em M, supera a população de
N.
Nessas condições pode-se afirmar:
a) Apenas é verdadeira a afirmativa I.
b) Apenas é verdadeira a afirmativa II.
c) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e II.
d) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e III.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
28. (UEFS-06.2) Certo imperador romano nasceu no ano 63 a.C.,
assumiu o governo aos 36 anos de idade e governou até morrer, no
ano 14 d.C. Seu império durou:
a) 54 anos d) 25 anos
b) 41 anos e) 18 anos
c) 32 anos
29. (UNEB-2007) Sabe-se que 15 costureiras trabalhando 4 horas
por dia, durante 6 dias, confeccionam um determinado número de
camisetas.
Para que o mesmo número de peças possa ser produzido em
exatamente 4 dias, é suficiente aumentar o número de
01) costureiras em 100%.
02) costureiras em 20%.
03) horas de trabalho por dia em 200%.
04) horas de trabalho por dia em 100%.
05) horas de trabalho por dia em 50%.
30. (UESC-2003) Dois pintores, A e B, foram contratados para pintar
um muro e receberam juntos um total de R$ 80,00 pelo serviço.
Esses pintores trabalharam durante o mesmo período, sendo que A
pintava 8m 2 do muro a cada duas horas, e B, 6m 2 por hora.
Sabendo-se que o pagamento foi diretamente proporcional à área
pintada por cada um, pode-se afirmar que A recebeu, em reais,
01) 50,00 04) 20,00
02) 48,00 05) 16,00
03) 32,00
3
31. (UEFS-06.1) Ao responder às questões propostas em um teste,
um aluno:
• acertou 8 das 15 primeiras questões;
• errou ou deixou de responder a 60% das questões restantes;
• acertou 48% do número total de questões propostas.
Se, para cada questão respondida corretamente, forem atribuídos 2
pontos e para cada questão não respondida ou respondida de forma
incorreta for retirado 1 ponto, o total de pontos obtidos pelo aluno,
no teste, será:
a) 11 d) 18
b) 12 e) 22
c) 17
32. (UEFS-07.2) De acordo com os dados de uma pesquisa, o
internauta brasileiro passa, em média, 21 horas e 20 minutos, por
mês, navegando pela internet. Dentre os países que mais se
aproximam do Brasil, estão a França, com o tempo médio por
internauta de 20 horas e 55 minutos, os Estados Unidos, com 19
horas e 30 minutos e a Alemanha, com 18 horas e 56 minutos.
Com base nesses dados, pode-se afirmar que a média brasileira
excede a média aritmética dos tempos de navegação, por mês,
nesses três países, em aproximadamente,
a) 5,3% d) 8,4%
b) 6,6% e) 9,5%
c) 7,8%
33. (UNEB-2005) Devido à ocorrência de casos de raiva, a
Secretaria de Saúde de um município promoveu uma campanha de
vacinação de cães e gatos. Em um bairro desse município, foram
vacinados, durante a campanha, 0,9 dos cães e 0,7 dos gatos.
Sabendo-se que, no total, foram vacinados 0,82 dos cães e gatos
existentes no bairro, pode-se concluir que o número de cães
corresponde:
01) a um terço do número de gatos.
02) à metade do número de gatos.
03) a dois terços do número de gatos.
04) a três meios do número de gatos.
05) ao dobro do número de gatos.
34. (UESB-2007) Um cabeleireiro de um salão de beleza unissex
recebeu por 17 cortes femininos e 14 masculinos R$860,00 e por 15
cortes femininos e 20 masculinos R$950,00. Considerando-se m o
preço do corte masculino e n o preço do corte feminino, em reais,
pode-se concluir que o valor de m + n é igual a:
01) 35 04) 50
02) 40 05) 55
03) 45
35. (UEFS-05.2) Um médico prescreve a um paciente várias doses
de um medicamento para serem ministradas a cada 9 horas.
Se a 1ª dose foi ministrada às 14 horas de um certo dia, então o
paciente tomará uma dose do remédio, em algum dia, às:
a) 3 horas d) 16 horas
b) 7 horas e) 21 horas
c) 11 horas
36. (UEFS-08.2) Os colegas J e P começaram a ler, no mesmo dia,
certo livro indicado por um professor. J e P lêem 10 e 6 páginas, por
dia, respectivamente, todos os dias, até finalizar o livro. Como P
demorou 8 dias mais que J para concluir a leitura, pode-se afirmar
que, ao final do décimo dia,
a) P tinha lido a metade do livro.
b) J tinha lido a metade do livro.
c) P tinha lido 2/3 do livro.
d) J tinha lido 3/5 do livro.
e) P tinha lido 3/4 do livro.
37. (UESB-2006) Um paciente deve tomar três medicamentos
distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h e 3:20h respectivamente. Se
esse paciente tomou os três medicamentos juntos às 7:00h, então
deverá voltar a tomar os três, ao mesmo tempo às:
01) 10:00h 04) 16:30h
02) 12:50h 05) 17:00h
03) 15:00h
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38. (UEFS-06.1) Uma pessoa supõe que seu relógio está 5 minutos
atrasado, mas, na verdade, ele está 10 minutos adiantado.
Essa pessoa que chega para um encontro marcado, julgando estar
15 minutos atrasada em relação ao horário combinado, chegou, na
realidade,
a) na hora certa. d) 10 minutos atrasada.
b) 5 minutos atrasada. e) 10 minutos adiantada.
c) 5 minutos adiantada.
39. (UEFS-04.2) Acrescentando-se o algarismo zero à direita de um
número inteiro positivo, esse sofre um acréscimo de 108 unidades.
Nessas condições, pode-se afirmar que esse número é:
a) primo e maior que 12. d) par e maior que 15.
b) ímpar e menor que 15. e) par e menor que 18.
c) ímpar e maior que 18.
40. (UEFS-06.2) Para uma campanha eleitoral gratuita na TV,
estabeleceu-se que o número de aparições diárias não seria
necessariamente igual para todos os partidos, porém o tempo de
aparição de todos eles seria o mesmo e o maior possível. Sabendo
que os partidos A, B e C tiveram direito, diariamente, a 80s, 140s e
220s, respectivamente, pode-se afirmar que a soma do número total
de aparições diárias desses partidos, na TV, foi de:
a) 15 vezes d) 22 vezes
b) 18 vezes e) 25 vezes
c) 20 vezes
41. (UEFS-06.1) O vencedor de uma prova de atletismo dava uma
volta completa na pista em 50 segundos, enquanto o segundo
colocado levava 1 min para completar uma volta. Quando o vencedor
completou as 30 voltas da competição, o vice-campeão havia
completado apenas:
a) 24 voltas d) 27 voltas
b) 25 voltas e) 28 voltas
c) 26 voltas
42. (UEFS-09.1) Duas pessoas fazem sua caminhada matinal em
volta de uma praça partindo de um mesmo ponto, no mesmo
instante. Enquanto uma delas dá uma volta completa na praça em 9
minutos, a outra leva 6 minutos para completar uma volta.
Sabendo-se que o tempo da caminhada não deve exceder 1 hora e
20 minutos, pode-se concluir que o número máximo de vezes que as
duas pessoas podem voltar a se encontrar no ponto de partida,
nesse tempo, é igual a:
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
43. (UESB-2006) Em uma empresa, 1, entre 3 funcionários ganha
mensalmente 2 salários mínimos, 2, entre 5 funcionários, ganham 4
salários mínimos e os demais funcionários ganham mensalmente 5
salários mínimos. Se essa empresa possui 45 funcionários, então o
gasto com o pagamento mensal desses salários é igual, em salários
mínimos, a:
01) 130 04) 212
02) 162 05) 235
03) 180
44. (UESB-2008) Uma associação de moradores recebeu certa
quantidade de alimentos para ser distribuída com as famílias
carentes da comunidade. Os produtos foram acomodados em 50
caixas, contendo 55 pacotes de 1kg de cada alimento: arroz, feijão e
textura de soja.
Sabendo-se que cada caixa contém 3kg de feijão a mais que de
textura de soja e 2k de feijão a mais que de arroz, pode-se afirmar
que a quantidade de arroz distribuída na comunidade foi igual, em
quilogramas, a:
01) 580 04) 1000
02) 850 05) 2750
03) 900
4
45. (UESC-2009) O sulfato de alumínio é um produto químico
usado para purificar a água. Em um tanque contendo 1000l de água,
foi adicionado sulfato de alumínio se obter uma concentração de
20mg/l.
Se erradamente se obteve uma concentração de 50mg/l, a
quantidade de água que deveria haver a mais no tanque para se
obter a concentração desejada é:
01) 1000 04) 2000
02) 1200 05) 2500
03) 1500
46. (UEFS-08.2) Durante o treinamento para uma competição, foi
usado um modelo matemático para estimar o desempenho dos
atletas, segundo o qual o quadrado da velocidade média do atleta é
inversamente proporcional à sua altura. Segundo esse modelo, um
atleta com 1,60m de altura pode concluir a prova em 1 hora.
Logo, estima-se que outro atleta, com as mesmas condições físicas
e técnicas e com 1,80m de altura, poderá concluir a mesma prova
num tempo
a) menor do que 1 h.
b) entre 1 h e 1h05min.
c) entre 1h05min e 1h10min.
d) entre 1h10min e 1h15min.
e) maior do que 1h15min.
47. (UESB-2007) Em uma campanha de Natal, foram distribuídos,
entre algumas famílias de uma comunidade, 144 brinquedos, 192
pares de sapatos e 216 camisas. A distribuição foi feita de modo que
o maior número possível de famílias fossem contempladas e todas
recebessem o mesmo número de brinquedos, o mesmo número de
pares de sapato e o mesmo número de camisas. Considerando-se
que cada família recebeu x brinquedos e y pares de sapatos, pode
se afirmar que o valor de x + y é igual a:
01) 24 04) 8
02) 14 05) 6
03) 12
48. (UNEB-2006) Ao completarem, respectivamente, 4, 5 e 2 meses
de trabalho numa revendedora de automóveis, os funcionários A, B e
C receberam juntos uma gratificação de R$ 5500,00.
Sabendo-se que a quantia recebida por cada funcionário foi
diretamente proporcional ao tempo de serviço de cada um na
empresa, pode-se afirmar que o funcionário B recebeu, em reais,
01) 2700 04) 2200
02) 2500 05) 2000
03)2300
49. (UNEB-2008) A equação 3x + 1 = 3 − x possui
01) duas raízes reais distintas e de sinais opostos.
02) duas raízes reais distintas e de mesmo sinal.
03) apenas uma raiz real negativa.
04) apenas uma raiz real positiva.
05) raízes complexas.
50. (UEFS-01.1) Se S é o conjunto-solução da equação, em R,
x = − x + 2 , então:
a) S é um conjunto vazio.
b) S é um conjunto unitário contido em Q-.
c) S é um conjunto unitário contido em Q+.
d) S é um conjunto com dois elementos contido em N.
e) S é um conjunto com dois elementos contido em Z.
51. (UEFS-05.1) Sobre a equação, x 3 2x
2
+ = , x∈R, pode-se
afirmar que possui
a) uma única solução x1 ∈ N .
b) uma única solução x1 ∈ Z − N .
c) duas soluções x1 e x2 tais que x1 + x2 = 0.
d) duas soluções x1 e x2, tais que x1 – x2 = 0.
e) duas soluções x1 e x2,, pertencentes a Q – Z.
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52. (UEFS-05.2) Sobre a equação 2x 4x
1 x
2
− − = , x∈R+, pode-se
afirmar:
a) Possui duas soluções e ambas são racionais.
b) Possui duas soluções e ambas são irracionais.
c) Possui uma única solução que é racional.
d) Possui uma única solução que é irracional.
e) Não possui solução.
53. (UESC-2006) O conjunto-solução da equação em x ∈ R,
2 ( x 1)
+ 3x
> 0
− é:
⎤ 1 1 ⎡
01) ⎥ − , ⎢
⎦ 2 4 ⎣
⎤ 1 ⎡
⎥ − ⎢ ,
⎦ 2 ⎣
02) 1, ∪ ] 1 + ∞ [
⎤ 1 ⎡
03) ⎥ − , + ∞ ⎢
⎦ 2 ⎣
⎤ 1 ⎡
04)
⎥ − , + ∞ ⎢
⎦ 4 ⎣
05) ] 1 , + ∞ [
54. (UESC-2008) Sabendo-se que as raízes da
equação x 22x
c 0
2
− + = são números naturais x1 e x2, tais que x1 >
x2 e ( x , x ) mmc(
x , x ) = 72
a:
mdc 1 2
1 2
⋅ , pode-se concluir que x1 - x2 é igual
01) 1 04) 18
02) 10 05) 29
03) 14
55. (UEFS-05.2) Em um reservatório de água, verificou-se que, em
dado momento, a concentração de um certo produto químico na
água, que deveria ser de, no mínimo, 1ppm (partes por milhão) e, no
máximo, de 2ppm, era de 2,5ppm. Tentando corrigir o problema, foi
acrescentado ao reservatório uma quantidade de água pura igual a
k% do volume contido no reservatório. Nessas condições, pode-se
afirmar que o problema foi solucionado para k igual a:
a) 10 d) 30
b) 15 e) 160
c) 20
56. (UESC-2006) Cem maçãs foram distribuídas em 11 caixas e em
alguns sacos, de modo que todas as caixas receberam a mesma
quantidade de maçãs, e o número de maçãs colocadas em cada
saco foi igual ao dobro das maçãs colocadas em cada caixa.
Nesse caso, pode-se afirmar que o número de sacos pertence ao
conjunto:
01) {4, 10, 13} 04) {6, 8, 12}
02) {5, 11, 14} 05) {7, 8, 13}
03) {5, 8, 11}
57. (UEFS-04.1) Um pacote de papel usado para impressão contém
500 folhas no formato 210mm por 300mm, em que cada folha pesa
80g/m 2 . Nessas condições,o peso desse pacote é igual, em kg, a
a) 0,50 d) 1,80
b) 0,78 e) 2,52
c) 1,36
58. (UESB-2005) Para fazer uma viagem ao exterior, uma pessoa foi
a uma instituição financeira comprar dólares. Nesse dia, um dólar
estava sendo cotado a 0,85 euros e um real estava sendo cotado a
0,25 euros.
Com base nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500
dólares, essa pessoa gastou, em reais,
01) 1700,00 04) 1450,00
02) 1640,00 05) 1360,00
03) 1520,00
5
59. (UNEB-2006) Uma proposição equivalente a "Se alimento e
vacino as crianças, então reduzo a mortalidade infantil" é:
01) Alimento e vacino as crianças ou não reduzo a mortalidade
infantil.
02) Se não reduzo a mortalidade infantil, então alimento ou vacino
as crianças.
03) Não alimento ou não vacino as crianças e não reduzo a
mortalidade infantil.
04) Se não reduzo a mortalidade infantil, então não alimento ou não
vacino as crianças.
05) Alimento e vacino as crianças e não reduzo a mortalidade
infantil.
60. (UNEB-2003) Considere as proposições:
p :
q : 10
( 01,
)
−
> 01,
1
−
10
2
r : −10
= 100
2
2
= 0 .Tem valor lógico verdade:
01) p ∧ q
04) ~ p ⇔ r
02) ~ r
03) q → p
q∨ 05) p ∧ ( p → q )
GABARITO
REVISÃO GERAL
01. D 02. 04 03. 01 04. 04 05. A 06. 01
07. 01 08. 05 09. 02 10. D 11. 03 12. 01
13. 02 14. 05 15. 01 16. 03 17. 04 18. 02
19. 02 20. 03 21. E 22. D 23. E 24. D
25. 02 26. 02 27. E 28. B 29. 05 30. 03
31. A 32. C 33. 04 34. 05 35. C 36. A
37. 05 38. A 39. E 40. D 41. B 42. B
43. 02 44. 03 45. 03 46. B 47. 02 48. 02
49. 04 50. C 51. A 52. D 53. 03 54. 03
55. D 56. 05 57. E 58. 01 59. 04 60. 02
Conjuntos
Conjuntos
Conjuntos Numéricos
N = 0,
1,
2,
3,
4,
5,
...
Naturais(N) = { }
Inteiros (Z) = Z = { ... − 3,
− 2,
−1,
0,
1,
2,
3,
... }
⎧ a
* ⎫
Racionais(Q) = Q = ⎨ x;
x = , com a ∈ Z e b ∈ Z ⎬
⎩ b
⎭
Irracionais(Q’ou I) = Decimais infinitos e não periódicos.
Relação de Pertinência – Elemento para Conjunto
∈(Pertence) ou ∉(Não Pertence)
Relação de Inclusão - Conjunto para Conjunto
⊂ (está Contido) ou ⊄ (não está Contido)
⊃ (contém) ou (não Contém)
⊃
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Obs: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
∅ ⊂ A, ∀ A
Operações com Conjuntos
União ∪ - Chamamos de A ∪ B, o conjunto formado por todos
elementos de A ou de B.
A ∪ B = x / x ∈ A ou x ∈ B
{ }
Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn
⎧B
⊂ A ⇔ A ∪ B = A,
∀ A,
B
⎪
Propriedades: ⎨A
∪ B = B ∪ A,
∀A,
B
⎪
⎩(
A ∪ B)
∪ C = A ∪ ( B ∪ C)
, ∀A,
B e C
Interseção ∩ - Chamamos de A ∩ B, o conjunto formado por todos
os elementos comuns a A e B.
{ x / x ∈ A e x B }
A ∩ B =
∈
Representação da interseção de conjuntos em diagramas de Venn
⎧B
⊂ A ⇔ A ∩ B = A,
∀A,
B
⎪
Propriedades: ⎨A
∩ B = B ∩ A,
∀ A,
B
⎪
⎩(
A ∩ B)
∩ C = A ∩ ( B ∩ C)
, ∀ A,
B e C
Diferença - Chamamos de A - B, o conjunto formado por todos
elementos que pertencem A e não pertencem a B.
{ x / x ∈ A e x B}
A − B =
∉
Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn
⎧B
⊂ A ⇔ B − A = ∅,
∀ A,
B
⎪
Propriedades: ⎨A
∩ B = ∅,
A − B = A,
∀ A,
B
⎪
⎩A
≠ B ⇔ A − B ≠ B − A,
∀ A,
B
Complementar
Dados dois conjuntos complementar A e B, em que A ⊂ B,
A
chamamos de complementar de A em B C o conjunto formado
B
pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
C B A A B = − =
{ x / x ∈ B e x ∉ A }
Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn
Propriedades: = ∅,
∀A
∅ = A,
∀A
C A A
C A
6
Complementar de um conjunto A em relação a um universo U.
∅
C∅
= ∅
Em particular, temos ( A ∪ B)
' = A'∩B'
( A ∩ B)
' = A'∪B'
Intervalos Reais
Subconjuntos
de R
{ x ∈ R / a ≤ x ≤ b }
{ x ∈ R / a < x < b }
{ x ∈ R / a < x ≤ b }
{ x ∈ R / a ≤ x < b }
{ x ∈ R / x ≥ a }
{ x ∈ R / x > a}
{ x ∈ R / x ≤ b}
{ x ∈ R / x < b }
Símbolo
[ a , b ]
] a , b [
] a , b ]
[ a , b [
[ a , + ∞ [
] a , + ∞ [
] − ∞,
b ]
] − ∞,
b [
Representação
no eixo real
Notas:
1. O símbolo ∞ deve ser lido “infinito”
2. A bolinha (•) em um extremo do intervalo indica que o número
associado a esse extremo pertence ao intervalo.
3. A bolinha (ο) em um extremo do intervalo indica que o número
associado a esse extremo não pertence ao intervalo.
4. Usaremos sempre a denominação aberto no +∞ e no -∞.
61. (UEFS-04.1)
Sendo M = [ 50,
85 ] e T = { x ∈M
∩ Z,
x é divisível por 2 e por 3 } ,
pode-se afirmar que número de elementos do conjunto T é:
a) 6 d) 11
b) 7 e) 12
c) 9
62. (UEFS-02.1)
⎧ 30 * ⎫
= e S = ⎨ x ∈ N;
x = , n ∈ N ⎬ , o
⎩ n ⎭
número de elementos do conjunto M ∩ S, é igual a:
Sendo M { x ∈N;
x = 3k,
k ∈N
}
a) 1 d) 6
b) 3 e) 7
c) 4
63. (UEFS-01.1)Sejam os conjuntos A { x ∈ Z,
x é múltiplo de 3 }
B = { x ∈N,
x ≤ 15 } e C { x ∈N*,
x ≤ 12 }
= ,
= . Se X é um conjunto tal
que X ⊂ B e B − X = A ∩ C , o número de elementos de X é igual a:
a) 6 d) 12
b) 9 e) 14
c) 11
C A
U
=
U−
A = A ou A'
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64. (UEFS-07.1) Considerem-se os conjuntos
2
= { x ∈ N;
−1
≤ x 5 } , B { x ∈Z;
x − 3 < 1}
A ≤
= e
= { x ∈ R;
x − 2 1 } . O conjunto A ( B ∩ C )
C ≤
∩ é:
a) { -1, 0} d) [ -1, 0]
b) { -1} e) ] -1, 0]
c) { 0}
65. (UEFS-03.1) A tabela expressa o número de cursos oferecidos,
em uma faculdade, por turno.
Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece
um total de cursos igual a:
a) 25 d) 15
b) 22 e) 10
c) 20
66. (UESB-2005) Um teste composto por duas questões, valendo
1,0 ponto cada uma, foi corrigido por um professor que não
considerou questões parcialmente corretas, de modo que um aluno
só poderia obter uma das três notas: zero, 1,0 ou 2,0.
Sabendo-se que:
• 20 alunos tiveram 1,0;
• 15 alunos tiveram 2,0;
• 30 alunos acertaram o segundo problema;
• 22 alunos erraram o primeiro problema;
pode-se afirmar que o número total de alunos que fizeram o teste foi
igual a:
01) 35 04) 65
02) 42 05) 72
03) 50
67. (UESB-2007) Um professor de Literatura sugeriu a uma de suas
classes a leitura da revista A e da revista B. Vinte alunos leram a
revista A, 15 só a revista B, 10 as duas revistas e 15 nenhuma delas.
Considerando-se que x alunos dessa leram, pelo menos, uma das
revistas, pode-se concluir que o valor de x é igual a:
01) 35 04) 55
02) 45 05) 60
03) 50
68. (UEFS-03.2) Dentre os candidatos a um emprego que fizeram o
teste de seleção, verificou-se que:
150 acertaram a 1ª ou a 2ª questão,
115 não acertaram a 1ª questão,
175 não acertaram a 2ª questão,
Quem acertou a 1ª questão não acertou a 2ª.
Com base nessas informações, pode-se concluir que a quantidade
de candidatos que fizeram o teste foi igual a:
a) 200 d) 265
b) 220 e) 345
c) 265
69. (UEFS-09.1) Sobre um grupo de 40 analistas de sistema e
programadores que atuam em uma grande empresa de Informática,
sabe-se que:
• 80% dos programadores trabalham em tempo integral,
• 40% dos analistas trabalham em tempo parcial,
• apenas 5 programadores trabalham em tempo parcial.
Com base nesses dados, é possível afirmar que o total de:
a) analistas é igual a 12.
b) programadores é igual a 29.
c) 15 programadores trabalham em tempo integral.
d) 9 analistas trabalham em tempo integral.
e) 13 pessoas desse grupo trabalham em tempo parcial.
7
70. (UEFS-08.2) Além do aspecto lúdico, os jogos de tabuleiro
possibilitam o desenvolvimento do raciocínio, disciplina e poder de
concentração dos jogadores, promovendo também a socialização
entre os participantes.
Em um grupo de 20 pessoas que apreciam jogos de tabuleiro, 12
jogam xadrez, 15 jogam damas, 6 jogam gamão e 3 jogam xadrez,
damas e gamão. Considerando-se, em relação às pessoas desse
grupo, as afirmações
I. Dez pessoas jogam mais de uma modalidade,
II. Todas as pessoas que jogam xadrez também jogam damas,
III. Se, das pessoas que jogam damas, oito jogam xadrez, então uma
única pessoa joga apenas gamão,
pode-se concluir:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas I e III são verdadeiras.
d) Apenas II e III são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
71. (UESC-2006) Numa cidade, existem 2 clubes A e B, tais que o
número de sócios do clube B é 20% maior do que o número de
sócios do clube A. O número de pessoas que são sócias dos dois
clubes é igual a 25% do número de pessoas que são sócias somente
do clube A.
Se y é o número de pessoas que são sócias do clube A ou do clube
B e x é o número de sócios somente do clube A, pode-se afirmar
que:
01) y = 2,2x 04) y = 2,7x
02) y = 2,3x 05) y = 3x
03) y = 2,5x
72. (UESB-2005) Considerando-se o conjunto
2 { x ∈R
; x < 3 }
B = + , assinale com V as afirmativas verdadeiras e
com F, as falsas.
⎧ 8 17 ⎫
( ) 3 ∈ B ( ) ⎨ , ⎬ ⊂ B
⎩ 5 10 ⎭
( ) { − 3 , 3 } ∩ B ≠ ∅
A alternativa correta, considerando-se a marcação de esquerda para
direita, é a:
01) F V F 04) V F F
02) F V V 05) V F F
03) V V V
73. (UESB-2004) Dos conjuntos A e B, sabe-se que A − B tem 3
elementos, B − A , 4 elementos e A × B , 30 elementos. A partir
dessas informações, pode-se concluir que o número de elementos
de A ∪ B é igual a:
01) 7 04) 10
02) 8 05) 12
03) 9
74. (UESC-2007)
Analisando-se a parte hachurada representada no diagrama e as
afirmações
( B C )
III. A ∩ B ∪ C
∩ ( B C )
IV. A ∩ ( B ∩ C )
I. A ∪
∩ ( )
II. A ∩
pode-se concluir que a alternativa correta é a:
01) I 04) I e III
02) III 05) II e IV
03) IV
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75. (UESC-2002)
No diagrama de Venn, a região sombreada representa o conjunto:
01) C ∩ (B – A) 04) ( C ∪ B ) − A
02) C - (A ∩ B ∩ C) 05) ( C ∩ B ) − A
03) C – (A ∩ B)
76. (UEFS-08.1) Sabe-se sobre os conjuntos não vazios X e Y que
• X tem um número pra de elementos;
• Y tem um número ímpar de elementos;
• X ∩ Y é um conjunto unitário;
• O número de subconjuntos de Y é o dobro do número de
subconjuntos de X.
Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de
elementos de X ∪ Y é igual a:
a) dobro do número de elementos de X.
b) dobro do número de elementos de Y.
c) triplo do número de elementos de X.
d) triplo do número de elementos de Y.
e) quádruplo do número de elementos de X.
77. (UESB-2009) Os conjuntos X e Y têm, respectivamente, 7 e 13
elementos. Com relação às operações entre X e Y afirma-se.
I. X ∩ Y tem, no mínimo 7 elementos.
II. X ∪ Y tem, no máximo, 20 elementos.
III. Y − X tem, no mínimo, 6 elementos.
Donde se conclui que:
01) apenas I é verdadeira.
02) apenas III é verdadeira.
03) apenas I e II são verdadeiras.
04) apenas II e III são verdadeiras.
05) I, II e III são verdadeiras.
78. (UEFS-08.1) O para ( , n)
m tem para abscissa e ordenada
valores simétricos e pertence ao conjunto
⎧
* x 4⎫
P = ⎨ ( x,
y)
∈R
× R,
y = − ⎬ . Nessas condições, pode-se afirmar
⎩
3 x ⎭
que mn é igual a:
a) – 6 d) 4
b) – 5 e) 9
c) – 3
79. (UEFS-08.1) No Brasil, tanto a oferta de cursos de graduação a
distância, quanto o interesse da população por esses cursos têm
aumentado de forma significativa. Certa instituição de ensino
ofereceu 500 vagas para cursos a distância, distribuídas entre alunos
de três regiões, que foram preenchidas do seguinte modo: na região
1, foram contemplados 80 alunos a menos que na região 2 e, nesta,
40 alunos a menos que na região 3.
Assim, foram contemplados
a) 100 alunos na região 3.
b) 180 alunos na região 2.
c) 180 alunos na região 3.
d) 220 alunos na região 1.
e) 220 alunos na região 2.
8
80. (UEFS-05.2) Duas pesquisas, sobre o desempenho do governo
em relação aos itens desenvolvimento econômico e desenvolvimento
social, foram realizadas em épocas diferentes, envolvendo, em cada
uma delas, 70 habitantes de uma cidade. O resultado revelou que,
• na 1ª pesquisa, 20 pessoas avaliaram o desempenho na
economia e o desenvolvimento social como ruins 40 pessoas
avaliaram o desempenho na economia como bom e 25 pessoas
avaliaram o desenvolvimento social como bom;
• na 2ª pesquisa, 20% das pessoas que avaliaram, na 1ª pesquisa,
o desempenho na economia e o desenvolvimento social como bons
avaliaram os dois itens como ruins e os outros entrevistados
mantiveram a mesma opinião da pesquisa anterior.
Sendo assim, o número de pessoas que avaliaram, na 2ªpesquisa,
os dois itens como ruins foi igual a:
a) 23 d) 28
b) 25 e) 29
c) 26
GABARITO
CONJUNTOS
61. A 62. C 63. D 64. C 65. D 66. 02
67. 01 68. B 69. D 70. C 71. 03 72. 01
73. 03 74. 03 75. 01 76. A 77. 04 78. C
79. B 80. A ***** ***** ***** *****
Sistema Cartesiano
As coordenadas de um ponto (x,y), onde x é abscissa e y é a
ordenada. Dois pares ordenados são iguais se, e somente se, suas
abscissas e suas ordenadas são iguais, isto é:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.
Relação e Função
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto de todos os pares
ordenados (a, b), tal que a ∈ A e b ∈ B, chama-se produto cartesiano
A X B. Uma relação de A em B é qualquer subconjunto de A X B.
n( A × B)
= n(
A)
⋅n(
B)
O domínio da relação é o conjunto formado pelos primeiros
elementos dos pares ordenados, e a imagem da relação é o conjunto
formado pelos segundos elementos dos pares ordenados.
2- Uma função é uma relação que associa a cada elemento do
domínio um único elemento da imagem. Se o par ordenado ( x , y )
pertence à função f, dizemos que y é o valor da função f em x, e é
comum expressar o valor de uma função também por "efe de x":
y = f(x).
Estudando o domínio de uma função
f
y =
g
y =
n
( x)
( x)
( x)
f
⇔ g
( x)
≠ 0
⎧n
for par f
⎨
⎩n
for impar
( x)
≥
D(
f )
Funções
0
= R
y =
n
f(
x)
g(
x)
⎧n
for par g
⎨
⎩n
for impar
( x)
>
g(
x)
Dúvidas ou Sugestões
EMAIL: ramonneiva@hotmail.com
0
≠ 0
Tipos de Função
Função Sobrejetora – Uma função f : A → B é sobrejetora ou uma
sobrejeção se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao
contradomínio, isto é, se Im = B . Obs: Não sobra elemento de B.
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Função Injetora – Uma função f : A → B é injetora ou uma injeção
se, e somente se, elementos distintos do domínio tiverem imagens
distintas. Obs: elementos de B “flechados” somente uma vez.
Função Bijetora – Uma função f : A → B é bijetora ou uma bijeção
se, e somente se, ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Obs: Todos os elementos de B são “flechados” só uma vez.
Função Inversa
1º) Isolamos x na sentença y = f(
x)
.
2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável
independente, trocamos x por y e y por x.
Função Par e Função Impar
Uma função f : A → B é par, se e somente se:
x ∈ A ⇒ −x
∈ A
• • f( x)
= f(
−x)
para todo x ∈ A
Uma função f : A → B é impar, se e somente se:
x ∈ A ⇒ −x
∈ A
• • f( x)
= −f(
−x)
para todo x ∈ A
Função Crescente e Função Decrescente
• Dada uma função f : A → B , dizemos que f é crescente em um
conjunto A’, A'⊂ A , se e somente se, para quaisquer x1 ∈ A'
e
x2 ∈ A'
, com 1 x2
x < tivermos f ( x ) < f(
x ) .
• Dada uma função f : A → B , dizemos que f é decrescente em um
conjunto A’, A'⊂ A , se e somente se, para quaisquer x1 ∈ A'
e
x2 ∈ A'
, com 1 x2
x < tivermos f ( x ) > f(
x ) .
Função Composta
• Dados três conjuntos A, B e C e as funções f : A → B e
g : B → C , chama-se função composta de g em f à função h, de A
em C, definida por ( x)
g(
f(
x)
)
1
1
h = , para todo x ∈ A .
Função do 1º grau
Uma função que pode ser expressa na forma f ( x)
= ax + b , com a e
b sendo números reais e a ≠ 0, chama-se função polinomial de 1º
grau.
O gráfico é uma reta, não horizontal, nem vertical.
O domínio e a imagem são o conjunto IR dos números reais.
Uma função que pode ser expressa na forma f(x) = c, sendo c um
número real, chama-se função constante.
O seu gráfico é uma reta horizontal.
2
2
O domínio é o conjunto IR e a
imagem, o conjunto unitário
{c}.
9
Função do 2º grau
2
Uma função que pode ser expressa na forma f(
x)
= ax + bx + c ,
com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, chama-se função
polinomial de 2º grau.
O gráfico é uma curva plana chamada parábola.
b
O ponto mínimo ou o ponto máximo tem a abscissa em x = − .
2a
Para calcular o valor mínimo ou o valor máximo basta substituir
b
x = − na fórmula de f(x).
2a
O domínio é o conjunto IR, e a imagem é o conjunto:
⎧
⎛ b ⎞
⎪ y ∈ R / y ≥ f ⎜−
⎟ se a > 0
⎪
⎝ 2a
⎠
⎨
⎪
⎛ b ⎞
y ∈ R / y ≤ f ⎜−
⎟ se a < 0
⎪
⎩
⎝ 2a
⎠
Estudo do sinal de uma função do 2ºgrau.
81. (UEFS-09.1) Sendo f(
x)
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
f ⎜ f ⎟
⎜
⎜ ⎟
2 ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
é igual a:
1+
f
( 0 )
a) f ( 0)
d) f(
2)
b) f
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
c) f(
1)
⎪⎧
2
2 − x se x < 0
= ⎨
. O valor da razão
⎪⎩ 2x
− 3 se x ≥ 0
e) f
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
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82. (UNEB-2009) Considere as proposições
I. Toda função é par.
lI. A soma de funções pares é sempre uma função par.
III. O produto de funções ímpares é uma função ímpar.
IV. A soma de uma função par com uma função ímpar é sempre uma
função ímpar.
A partir dessas proposições, pode-se afirmar:
01) A proposição I é verdadeira.
02) A proposição II é verdadeira.
03) A proposição III é verdadeira.
04) As Proposições I e IV são verdadeiras.
05) As proposições III e IV são verdadeiras.
83. (UEFS-04.2) A função real inversível f tal que f ( 2x
− 1)
= 6x
+ 2
tem inversa f ( x)
1 −
definida por:
3 x + 5
a)
2
x − 5
b)
3
c) 5x − 3
d) 3 x + 5
e) 3x − 15
84. (UESB-2004) Se f( x + 4)
= 3x
−1
, x∈R, então f ( 8)
1 −
01) -3 04) 6
02) 0 05) 7
03) 2
é igual a:
85. (UEFS-05.1) Sabendo-se que a função real f ( x)
ax + b
2
2
que f ( 2x
1)
= −2x
+ 2
igual a:
= é tal
b
+ , para todo x∈R, pode-se afirmar que é
a
1
a) 2 d) −
3
3
b) e) – 3
2
1
c)
2
x
86. (UEFS-04.1) Sendo f( x)
= , x ≠ −3
uma função real e g a
x + 3
g ( −2)
−1
sua função inversa, pode-se concluir que é igual a:
g − 2 +
a) – 3 d) 1
b) – 2 e) 2
c) 0
87. (UEFS-06.2)
( ) 3
A expressão que define a função g, inversa da função f,
representada no gráfico, é:
a) g ( x)
= −2x
+ 3
d) g( x)
= 3x
− 2
b) g ( x)
= −3x
+ 2
e) g( x)
= 2x
− 3
c) g ( x)
= 2x
+ 3
y
- 1 0 3 x
- 2
f
10
88. (UESB-2003) Se f e g são funções de R em R tais que
f x x − f g x 2x
+ g f 3 é igual a:
( ) = 3 e ( ( ) ) = 2 , então ( ( ) )
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
89. (UEFS-01.1) Se f(x) e g(x) são funções reais tais que para todo
3
x ∈ R , f(
x)
x + 1
2
= e fog ( x)
= x , então ( 3)
3
a) 9 − 1
d) 3
g é igual a:
b) 2 e) 26
c) 3 10
90. (UEFS-07.2) Sendo f e g funções reais com f[
g(
x)
] 2
3x
− 2
f ( x)
3x
+ 1
g x + 1 , x ≥ 1 , é igual a:
= , pode-se afirmar que ( )
a) x d) x − 1
b) 3x
c) x + 2
e) x + 1 − 2
= e
91. (UESB-2008) Considerando-se as funções f ( x)
3x
+ 2
g ( x)
−2x
+ 1
fog x
1 −
é definida por:
= , pode-se afirmar que ( )( )
−1+
3x
01)
2
1+ 3x
02)
2
1− 3x
03)
2
7 − 3x
04)
2
−7
+ 3x
05)
2
= e
92. (UNEB-2008) De uma função real injetora f ( x)
f ( − 1)
= 3 , f ( 1)
= 0 e f ( 2)
= −1
. Se f ( f ( x − 1 ) = 3 , então ( x 2)
igual a:
01) – 2 04) 2
02) 0 05) 3
03) 1
y = , sabe-se que
f − é
93. (UESC-2004) Sendo as funções reais f e g, tais que f ( x)
x + 1
1
x
−1
g ( x)
= , x≠0, então a função h = f + ( gof )
2
x
x + 1
01) h(
x)
= , x ∈R
− { −1}
2
x + 2x
+ 2
x + 1
02) h(
x)
= , x ∈R
− { −1}
2
x
x −1
2
h x = , x ∈R
− −1
x + 1
03) h(
x)
= , x ∈R
− {} 1
04) ( ) { }
2
x
x −1
05) h(
x)
= , x ∈R
− {} 1
é definida por:
3
94. (UESC-2009) Dadas as funções reais f(
x)
= x − 6 e ( x)
⎛ 1 ⎞
função inversível, tal que h ⎜ ⎟ = 2
⎝ 2 ⎠
−1
( h ( 2)
) + h(
f(
2)
)
f
7
01) −
8
1
02) −
2
1
03)
8
é igual a:
04) 120
05) 124
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= ,
h , uma
e h ( 2)
= 5 então
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x −1
95. (UEFS-02.2) Dada a função real f(
x)
= , com x ≠ −1
2
x + x
⎛ 1 ⎞
então f ⎜ ⎟ é igual:
⎝ x ⎠
2
x + 1
a) 2
x − x
d) 1 + x
b) 1 – x
x − 1
c)
x
1+ x
e)
x
1
96. (UNEB-2004) Considerando a função real f ( x)
= assinale com
x
V as afirmativas verdadeiras e com F, as falsas.
( ) x = 0 pertence ao conjunto-imagem de f.
( )Se x é um número real não nulo, então f ( x)
1 −
2
1
= .
x
⎛ 1 ⎞
( ) Existe um único número real x tal que f ⎜ ⎟ = f(
x)
.
⎝ x ⎠
A alternativa que indica a seqüência correta, de cima para baixo, é
a:
01) V F F 04) V F V
02) F V F 05) V V V
03) F V V
97. (UEFS-03.2) Sendo f:R→R uma função ímpar tal que f(2)= 1 e
f(6)=2, pode-se afirmar que o valor de 3 fof( − 6)
é igual a:
a) – 2 d) 3 2
3
b) − 2
c) – 1
e) 2
98. (UEFS-06.1) Se a e b são as raízes da equação x px q 0
2
+ + = ,
2 2
então a soma a b + ab é igual a:
a) –pq d) p + q
b) pq e) p 2 + q 2
c) p 2 q 2
99. (UEFS-07.2) Sendo o trinômio x 3kx
36,
k 0
2
+ + > , um quadrado
P − , em
relação à bissetriz do primeiro quadrante, tem ordenada igual a:
perfeito, pode-se afirmar que o ponto simétrico a ( k,
k 2 )
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
100. (UESC-2009) Se as raízes, x1 e x2 da função quadrática
2
5
f(
x)
= 2x
− 7x
+ a são tais que x1 − x2
= , então a função
2
intersecta o eixo Oy no ponto:
01) ( 0,
4 )
02) ( 0,
3 )
03) ( 0,
2 )
04) ( 0,
1)
05) ( 0, − 1)
101. (UEFS-07.1) Considerem-se as afirmações:
I. O trinômio x 5x
4
2
+ + é positivo para todo real x.
II. O domínio da função ( x)
2
1+
x
= é R – { 2}.
x − x − 2
f 2
11
2
lII. A função f(
x)
( m −1)
x + 2mx
+ 3m
= assume valores estritamente
3
positivos se, e somente se, m > .
2
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas IlI é verdadeira.
c) Apenas a II e III são verdadeiras.
d) As afirmações I e III são verdadeiras.
e) As afirmações II e III são falsas.
2
102. (UEFS-01.1) Considere a função f(
x)
ax + bx + c
= , tal que:
• f(x) = f(-x) , para todo x∈R,
• seu conjunto-imagem é o intervalo ]- ∞, 3],
• f(1) = 0
Nessas condições, pode-se concluir que f(2) é igual a:
a) – 9 d) 0
b) – 6 e) 3
c) – 3
103. (UESB-2008) Considerando-se a função f de R em R definida
⎪⎧
2
x − 2x
− 3,
se x > 1
por f(
x)
= ⎨
, e as proposições:
2
⎪⎩ − x + 2x
+ 3,
se x ≤ 1
I. f cresce no intervalo ] − ∞,
1]
II. f ( x)
≤ 0 , para todos x ∈ ] − ∞,
−1]
∪]
1,
3 ]
III. f ( 2)
− 3 ⋅ f(
− 2)
= 4(
−1
+ 2)
Pode-se afirmar que a alternativa que contém todas as proposições
verdadeiras é a:
01) I 04) I e III
02) II 05) II e III
03) I e II
104. (UEFS-06.1) O conjunto-imagem da função real
⎧1+
2x
; x ≤ 1
f ( x)
= ⎨ é:
⎩6
− 2x
; x > 1
a) ] – ∞, 3] d) R – ] 3, 4]
b) ] – ∞, 4[ e) R
c) ] 3, +∞[
105. (UESB-2005) Em janeiro de 2004, o diretório acadêmico de
uma faculdade começou a publicar um jornal informativo mensal e,
nesse mês, foram impressos 150 exemplares. Devido à aceitação,
esse número foi acrescido, a cada me subseqüente, de uma
quantidade constante, até atingir, em dezembro de 2004, o número
de 920 exemplares.
A expressão que representa o número E de exemplares impressos
em relação ao tempo t, em meses, sendo de 2004 equivalente a t =
0 é:
01) E = 150t 04) E = 920 – 150t
02) E = 150 + 70t 05) E = 920t – 150
03) E = 150 + 50t
106. (UEFS-07.2) Uma delicatessen que costuma vender 30 tortas
por dia, ao preço unitário de R$18,00, fez uma promoção, em um
determinado dia, reduzindo esse preço a R$15,00, o que elevou o
número de unidades vendidas para 36.
Se o número de unidades vendidas é função do primeiro grau do
preço, então o valor do preço que maximiza a receita diária é, em
reais, igual a:
a) 14,00 d) 20,00
b) 16,50 e) 22,50
c) 18,50
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107. (UEFS-09.1) Em um determinado concurso, 2000 candidatos
inscritos compareceram às provas realizadas em um grande colégio.
O número de candidatos (y) que entraram no colégio, em função do
horário de entrada(t), é representado por pontos do gráfico, sendo
t=0 o instante em que os portões de acesso foram abertos e t=60, o
instante em que esses portões foram fechados.
Assim, pode-se afirmar que, quando o número de candidatos no
interior do colégio atingiu 1860, o tempo decorrido desde a abertura
dos portões foi igual a
a) 53min20seg d) 55min20seg
b) 53min45seg e) 55min48seg
c) 54min36seg
108. (UEFS-07.2) Para ir da cidade em que reside até sua fazenda,
uma pessoa percorre, de carro um trecho de 150 km de uma rodovia.
O gráfico representa a distância (d, em km) percorrida, após t horas
da partida da cidade.
Uma expressão que permite calcular a distância do automóvel à
fazenda, no intervalo em que atingiu a maior velocidade, é:
a) 50 t
d) 100(t – 1)
b) 75 t
e) 125(t + 2)
25
−
3
c) ( t 5)
109. (UEFS-08.2) Os amigos J e P combinaram de se encontrar em
um restaurante situado num ponto R da cidade.
Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam
os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o
ponto de encontro, pode-se concluir que a razão entre as distâncias
percorridas por P e J é:
a)
3
2
d)
4
5
b)
5
4
e)
2
3
c) 1
12
110. (UESC-2004) Para uma comemoração, um grupo de amigos
faz reserva, num restaurante, de 40 lugares e estabelece o seguinte
acordo: cada pessoa que compareça à comemoração pagará
R$30,00 e mais R$ 3,00 por cada uma das pessoas que não
compareça.
Para que o restaurante tenha o maior lucro possível, com essa
comemoração, o número de presentes deverá ser igual a:
01) 30 04) 15
02) 25 05) 1
03) 20
111. (UEFS-06.2) Em uma partida de futebol, o goleiro repôs a bola
em jogo com um chute tal que a bola descreveu uma trajetória
parabólica de equação,
1 2
y = − x + 6x
2
com x e y expressos em metros. A distância percorrida pela bola e a
altura máxima atingida por ela, desde o local do chute até o ponto
em que ela toca o solo, foram, respectivamente, iguais, em metros,
a:
a) 6 e 12 d) 12 e 18
b) 3 e 18 e) 18 e 12
c) 12 e 6
112. (UEFS-04.1) Sabendo-se que f( 2 − x)
= 4x
− 6 , pode-se
afirmar que o gráfico que melhor representa a função f(x) é:
a)
b)
c)
1
−
2
2
0
0
-2
2
0
y
y
y
1
2
113. (UESB-2004)
4
x
V (milhares de reais)
28
6
x
x
1 0
−
2
- 4
e)
y
O valor de certo automóvel decresce linearmente com o tempo t,
conforme o gráfico.
Sabendo-se que t = 0 corresponde à data de hoje, pode-se afirmar
que o automóvel valerá R$19000,00 de hoje a
01) 4 anos e meio. 04) 6 anos.
02) 5 anos. 05) 7 anos.
03) 5 anos e meio.
d)
0 1 12
2
0
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y
t(anos)
1
2
x
x
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114. (UNEB-2005)
Da análise do gráfico onde estão representadas as funções
( x)
= −x
2 e ( x)
2
x
( )
( ) 1
f x
< é:
g x
f +
inequação
g = , pode-se concluir que o conjunto-solução da
01) ] -2, 1 [ - {0} 04) R – [ -1, 2 ]
02) ] -1, 2 [ - {0} 05) R – [ -2, 1 ]
03) R – [ -1, 1]
115. (UEFS-04.2) O vértice da parábola de equação
2 ( x)
−x
+ 2x
− 4k
f = é um ponto da reta y = 2.
Portanto, a parábola corta o eixo Oy no ponto de ordenada:
a) -1/4 d) 2
b) 0 e) 4
c) 1
2
116. (UEFS-05.1) Se a função real f(
x)
−x
+ ax
= é crescente no
⎤ 1 ⎡
⎤ 1 ⎡
intervalo ⎥−
∞,
⎢ e decrescente em
⎦ 2
⎥ , + ∞ ⎢ , então α é igual a:
⎣
⎦ 2 ⎣
a) -2 d) 2
b) -1 e) 3
c) 1
117. (UEFS-05.1) O valor máximo de C para que o gráfico da
2
função f(
x)
x 3x
C
= + + intercepte o eixo Ox é:
9
a)
2
9
d)
4
b) 4
3
e)
2
c) 3
118. (UESB-2007) O custo para produzir x unidades de certa
2
= − + . Nessas
mercadoria é dado pela função C(
x)
2x
20x
51
condições, é correto afirmar que o custo é mínimo quando x é
igual a:
01) 5 04) 15
02) 8 05) 20
03) 10
119. (UESB-2009) Sobre as funções reais f e g, sabe-se que:
• 2f( x)
3 = g(
2x
− 3)
− , para todo x real,
• g é uma função ímpar e seu gráfico passa pelo ponto P = (1, 5)
A partir dessas informações, pode-se concluir que o gráfico de f
passa necessariamente, pelos pontos:
01) ( 1, − 2 ) e ( 1,
− 2 )
04) ( 2, 4 ) e ( 1,
− 1)
02) ( 1, 2 ) e ( − 1,
− 2 )
03) ( 2, 1)
e ( − 1,
1)
05) ( − 2, 4 ) e ( 1,
− 1)
13
120. (UESB-2005)
2
Na figura, estão montadas a parábola de equação y = x − 4x
+ 2
e uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados, pelo
vértice V e pelo ponto A da parábola.
Com base nessas informações, pode-se concluir que as
coordenadas cartesianas do ponto A são:
⎛ 1 1 ⎞
01) ⎜ , − ⎟
⎝ 3 3 ⎠
⎛ 1 1 ⎞
02) ⎜ , − ⎟
⎝ 2 4 ⎠
03) (1,-1)
⎛ 3 7 ⎞
04) ⎜ , − ⎟
⎝ 2 4 ⎠
05) (2,-2)
121. (UESB-2009) As funções f(x) e g(x), representadas no gráfico
indicam os valores, em reais, cobrados por duas pessoas na
digitação de x páginas de trabalhos escolares.
Então, o valor f cobrado pela digitação de 70 páginas é:
01) igual ao valor g.
02) R$6,75 mais barato que o valor g.
03) R$8,20 mais barato que o valor g.
04) R$10,50 mais caro que o valor g.
05) R$12,25 mais caro que o valor g.
122. (UEFS-02.1) Seja f uma função do 2º grau. Se o gráfico de f é
uma parábola de vértice V=(2,1) e intercepta um dos eixos
coordenados no ponto (0,3) , então a expressão f(x) é igual a:
2
x
2
2
a) f(
x)
= − 3x
+ 3
d) f(
x)
= x − 3x
+ 3
2
b) f(
x)
= 2x
+ 2x
+ 3
e) f(
x)
= − 2x
+ 3
x
= +
3
c) f(
x)
2x
3
2
+
123. (UESC-2003) Sendo R
x
2
b ∈ uma constante, e 1 e x2
Dúvidas ou Sugestões
EMAIL: ramonneiva@hotmail.com
2
x as
2
abscissas dos vértices das parábolas y = x + bx + 2 e
( b + 2)
x + 2
2
y = x + , respectivamente, conclui-se que:
01) = x −1
04) = 2x
−1
x2 1
x1 2
02) = x + 1
05) = 2x
+ 1
x2 1
x2 = x1
03) + 2
x2 1
124. (UESC-2008) Sobre uma função f: R → R, que é par e tal que,
para todo x ∈ R+, f(
x)
2x
3x
x
01) essa função não existe.
02) f(
x)
2x
3x
x
3 2
= + + , pode-se afirmar que:
3 2
= − + − , para todo x ∈ R-.
3 2
= + + , para todo x ∈ R-.
03) f(
x)
2x
3x
x
3 2
= − + , para todo x ∈ R-.
04) f(
x)
2x
3x
x
3 2
= − − − , para todo x ∈ R-.
05) f(
x)
2x
3x
x
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MÓDULO DE EXATAS 2009 MATEMÁTICA Prof. Ramon Neiva
125. (UESB-2007)
Considerando-se f(x) a função que calcula o número de quadrados e
x o número de palitos, pode-se concluir que f(x) é igual a:
x − 3
x + 2
01) 04)
2
3
x − 1
x + 1
02) 05)
3
3
03)
3x − 6
2
126. (UNEB-2002)
f = + g: R →
Os gráficos representam as funções f: R → R ( x)
mx n
2
= + + . A partir da análise desses gráficos, conclui-se
R; g(
x)
ax bx c
que a função f(g(x)) é definida por:
01) x 2 - 4x + 2 04) -x 2 + 4x - 2
02) x 2 - 4x + 4 05) -x 2 - 4x – 4
03) -x 2 + 4x + 4
2
127. (UEFS-05.2) Considere-se a função real f(
x)
ax + 4 3x
+ a
Se o maior valor de f(x) é 1, então a constante a∈R é igual a
a) – 4 d) 3
b) – 3 e) 4
c) − 3
= .
128. (UESB-2009) Ao calcular as raízes do polinômio de
2
= + + , 0
coeficientes reais P(
x)
ax bx c
a ≠ , dois alunos
encontraram valores incorretos para elas - o primeiro. por ter copiado
errado o coeficiente do termo de 1° grau, encontrou raízes − 2 e
2 , e o segundo, por ter copiado errado o termo independente,
encontrou raízes 1 e 3. Sendo P(4) = 4, o polinômio P(x) assume um
valor:
01) mínimo igual a – 8.
02) máximo igual a – 8.
03) mínimo igual a 0.
04) mínimo igual a 12.
05) máximo igual a 12.
129. (UNEB-2007) Um segmento AB, paralelo ao eixo oy, tem
2
= − + e
extremidades A e B sobre as curvas de equações f(
x)
g ( x)
= 1,
respectivamente.
O menor comprimento possível de AB é igual, em u.c.,
x x
5
01)
4
2
04)
3
4
02)
5
1
05)
2
3
03)
4
14
130. (UEFS-08.2) O gráfico representa uma função f definida em
− 4,
2 .
[ ]
Sendo S a soma dos valores de x para os quais f ( f(
x)
) −2
f ( f(
S)
) é:
a) – 2 d) 2
b) 0 e) 4
c) 1
= , o valor
131. (UEFS-07.1) Sobre a função f:R→R representada no gráfico, á
correto afirmar:
a) f é injetiva e seu conjunto imagem é [0, 2].
b) f é sobrejetiva e o número 3 pertence ao conjunto-imagem.
c) f é uma função impar.
d) f é injetora e par.
e) f é não sobrejetora e o número 1 é imagem de apenas dois
números reais.
132. (UESB-2006) Sendo [-1,4] o conjunto imagem de uma função
f(x), pode-se afirmar que o conjunto imagem de g(x)=⎟ 3f(x) - 4⎟ é:
01) [ 0, 4] 04) [ 4, 8]
02) [ 0, 8] 05) [ 7, 8]
03) [ 2, 4]
133. (UEFS-05.2) Um fabricante produz canetas ao preço de R$
2,00 a unidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida ao preço
de x reais, os consumidores comprarão 1000 - 100x canetas por
mês. Sabendo-se que atualmente o lucro mensal do comerciante é
de R$ 1500,00, pode-se concluir que a unidade da caneta é vendida
por:
a) R$ 6,00 ou R$ 7,00 d) R$ 4,00 ou R$ 8,00
b) R$ 5,00 ou R$ 7,00 e) R$ 4,00 ou R$ 6,00
c) R$ 5,00 ou R$ 4,00
GABARITO
FUNÇÕES
81. D 82. 02 83. B 84. 05 85. E 86. A
87. C 88. C 89. B 90. A 91. 04 92. 02
93. 01 94. 01 95. B 96. 02 97. C 98. A
99. E 100. 02 101. B 102. A 103. 05 104. B
105. 02 106. B 107. D 108. D 109. E 110. 02
111. D 112. E 113. 03 114. 05 115. C 116. C
117. D 118. 01 119. 04 120. 03 121. 04 122. E
123. 01 124. 02 125. 02 126. 04 127. B 128. 05
129. 03 130. E 131. E 132. 02 133. B *****
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Função Modular e Exponencial
Função Modular
Uma função como f(x) = ⎟ x⎟ pode ser expressa por várias sentenças.
Equações Modulares
Inequações Modulares
( x)
f
x
=
x
⎧ x,
se x ≥ 0
= ⎨
⎩−
x,
se x ≤ 0
[ 0 +∞[
D ( f)
= R e Im( f)
= ,
x = a ⇔ x = ± a,
∀{
x,
a},
com { x,
a}
⊂ R
x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a,
∀a,
com a ∈R
x ≥ a ⇔ x ≥ a ou x ≤ − a,
∀a,
com a ∈R
Função Exponencial
As propriedades das potências também se aplicam quando os
expoentes são números reais.
n m n+
m
a ⋅ a = a
0
n
⎪⎧
se n = 0 ⇒ a = 1
a = a1
⋅4a
⋅2a
⋅4...
43
⋅ a ⎨
1
n fatores ⎪⎩ se n = 1 ⇒ a = a
n
m
−n
⎛ 1 ⎞ n m
a = ⎜ ⎟ a = a n
⎝ a ⎠
m n
Equação a = a ⇒ m = n
n
a n−m
= a
m
a
n
m
n⋅m
( a ) = a
n n n
a ⋅ b = ( a ⋅b)
n n
a ⎛ a ⎞
= ⎜ ⎟
n
b ⎝ b ⎠
A função cujos valores são dados pela fórmula ( x)
se a > 1 , e decrescente se 0 < a < 1.
InequaçãoExponencial
134. (UEFS-06.1) O conjunto { x R;
− 3 < x < 2 }
x
f = a é crescente
∈ está contido em:
a) { x ∈ R;
x ≤ 1}
d) { x ∈ R;
x ≥ 2}
b) { x ∈ R;
x > 1}
e) { x ∈ R;
x ≤ 3 }
c) { x ∈ R;
x < 1}
135. (UNEB-2004) Para consertar uma engrenagem, é necessário
substituir uma peça circular danificada por outra, cujo raio r, em u.c.,
deve satisfazer à relação r − 0,
5 ≤ 0,
01 . Assim, só poderão ser
utilizadas, na reposição, peças com um raio, no mínimo, igual a:
01) 0,26 u.c. 04) 0,37 u.c.
02) 0,30 u.c. 05) 0,49 u.c.
03) 0,34 u.c.
15
136. (UESC-2009) Sobre o conjunto-solução da equação
x − 2 − 2x
− 1 = −1,
em x ∈ R , tem-se que é um conjunto:
01) vazio 04) de três elementos
02) unitário 05) infinito
03) de dois elementos.
137. (UESB-2008) O gráfico que melhor representa a função
( x)
2 − x 1
f = − é:
y
01) 04)
03)
138. (UEFS-07.2) Analise as afirmações:
I. { 1, 2 } ∈ { 0,
1,
2,
3 }
x
1
II. Se f ( x)
= 3 então f ( − 2)
= .
9
III. Sendo x um número real positivo e k o número inteiro mais
próximo de x, pode-se afirmar que x − k < 0,
5 .
Nessas condições pode-se afirmar:
a) Apenas é verdadeira a afirmativa I.
b) Apenas é verdadeira a afirmativa II.
c) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e II.
d) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e III.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
139. (UEFS-06.1) Se 5 75
n 2−
=
n
, então ( 5 )
1
a) d) 3
3
3
b) e) 5
5
c) 1
3 ⋅ é igual a:
140. (UESC-2005) Se S é o conjunto-solução da equação
1
2
3
( x+
1)
= 3 , com x∈ R, então pode-se afirmar:
01) S ⊂ {-1, 0, 3, 2} 04) S ⊂ {-1, -2, 1/3, 1}
02) S ⊂ {-1/2, 0, 1, 3} 05) S ⊂ {-2,1/3,1, 2,3}
03) S ⊂ {-2, -1/3, 0, 3}
x+
2
141. (UESB-2007) Considerando-se f(
x)
= 8 , g(
x)
( a)
g(
a)
2
0 1 x
-1
02) y
05)
y
-1
0 1
-2
y
0 1 x
x
f = , pode-se afirmar que a é elemento do conjunto:
01) [ −∞ ,− 3 [
04) [ 1 , + ∞ [
02) [ − 2 , + ∞ [
03) [ 2 , + ∞ [
05) [ 1 , 2 ]
-1
2
x 4
2
−
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝ 2 ⎠
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y
1
x
0 1 2 x
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142. (UEFS-06.1) Sendo
f(
x)
3x
−2
= 2 e g(x) funções reais, tais que
⎛ 1 ⎞
f ( g(
x ) = x , pode-se afirmar que g ⎜ ⎟ pertence ao conjunto:
⎝ 8 ⎠
⎧ 5 ⎫
⎧1
1 ⎫
a) ⎨−
3 , − , −2⎬
d) ⎨ , , 1⎬
⎩ 2 ⎭
⎩4
3 ⎭
⎧ 8 3 ⎫
b) ⎨−
, − , −1⎬
⎩ 5 2 ⎭
⎧ 1 1 ⎫
c) ⎨−
, − , 0⎬
⎩ 5 3 ⎭
⎧1
⎫
e) ⎨ , 2,
3⎬
⎩3
⎭
143. (UEFS-02.1) Se a função exponencial f:R→R definida pela
equação ( x)
então:
x
f = a é tal que seu gráfico passa pelo ponto (-2, 8),
1
f ⋅ − = −
a) f ( 4)
= d) ( 2)
f(
2)
1
16
⎛ 1 ⎞
f ⎟
⎝12
⎠
2
b) ( x)
= ⎜
e) f ( − 1)
= 2 2
f x =
2
c) ( ) ( ) x
144. (UEFS-08.1) Para x e y, números inteiros positivos, considere
a expressão algébrica 3 y 10
1 x+
+ = .
x 2
Quando y assumir o maior valor possível, então ( y) − pertencerá ao
intervalo:
⎡ 2 ⎡
⎡ 2 ⎡
a) ⎢ 0 , ⎢ d)
⎣ 5
⎢ , 3 ⎢
⎣
⎣ 5 ⎣
⎡ 2 ⎡
b) ⎢ , 1 ⎢
⎣ 5 ⎣
⎡ 5 ⎡
c) ⎢ 1 , ⎢
⎣ 2 ⎣
e) [ 3 , 5 [
145. (UEFS-08.1) A evolução constante na tecnologia e a grande
concorrência no mercado resultam na produção de computadores
cada vez mais potentes a preços cada vez mais acessíveis.
Admitindo que a variação no preço de certo computador, a partir de
hoje e pelos próximos 6 meses pode ser estimada através da função
( t)
P
monetárias, afirma-se:
t−
2
= 32 − 2 , em que t é dado em meses e P(t) em unidades
I. O preço desse computador será de 16 unidades monetárias dentro
de três meses.
II. O preço desse computador decrescerá mensalmente segundo
uma progressão aritmética.
III. Do terceiro para o quarto mês, espera-se uma queda no preço do
computador superior a 6%.
Analisando-se essas afirmações, pode-se concluir:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas III é verdadeira.
c) Apenas a I e II são verdadeiras.
d) Apenas II e III são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
146. (UEFS-02.1) Estima-se que daqui a t anos a população de
t
uma cidade seja igual a 4500 ⋅ 2 habitantes.
Com base nessa informação, pode-se concluir que, após 3 anos o
aumento de habitantes, dessa cidade, em relação à população
atual, será igual a:
a) 13500 d) 31500
b) 18000 e) 36000
c) 27000
16
147. (UEFS-05.1) Observa-se que, a partir do momento em que
uma rodovia sofre danos e não é recuperada, o custo da
recuperação aumenta exponencialmente com o tempo t, o custo,
t
portanto, é dado por uma função exponencial C C = ⋅ .
Se de 2001 até 2004, não houve nenhuma ação para recuperar uma
rodovia, e, em 2002, o custo para a sua recuperação era de R$
1200000,00 e, em 2003, esse custo subiu para R$ 1320000,00,
então, a recuperação dessa rodovia, em 2004, em reais,
0 a
a) 1440000,00 d) 1465000,00
b) 1452000,00 e) 1470000,00
c) 1462000,00
148. (UEFS-05.2) Em uma população com P habitantes, a partir do
instante t = 0, em que surge um boato sobre um ato de corrupção no
governo, o número de pessoas t que ouviram o boato até o instante t
t
−
horas é dado por ( ) 5
Q t = P − P ⋅ 2 . Dessa forma, o tempo t, em
3
horas, para que da população saibam do boato é igual a:
4
a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
c) 10
149. (UESC-2004) Suponha que, t minutos após injetar-se a
primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a
quantidade dessa medicação existente na corrente sangüínea seja
t
−
dada, em milímetros, pela função ( ) 180
Q t = 50 ⋅ 2 e que o paciente
deva receber outra dose, quando a medicação existente em sua
1
corrente sangüínea for igual a da quantidade que lhe foi injetada.
4
Nessas condições, o intervalo de tempo, em horas, entre a primeira
e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a:
01) 2 04) 8
02) 4 05) 10
03) 6
150. (UEFS-01.1) Numa região da Terra, logo após a queda de um
meteoro contendo uma grande quantidade de um elemento
radioativo X, verificou-se que havia M0 gramas desse elemento para
cada unidade de área, valor que corresponde a 1.000.000 vezes a
quantidade suportável pelo ser humano.
Admitindo-se que, em cada instante t após a queda, dado em anos,
a quantidade de gramas por unidade de área do elemento X foi igual
a ( ) t 2
M = M ⋅ 01,
, conclui-se que o tempo, em anos, para que a
0
quantidade do elemento retomasse ao nível aceitável pelo ser
humano foi de;
a) 3 d)12
b) 5 e)16
c) 8
151. (UESC-2009) Na figura, estão representados os gráficos das
x
x 1
funções f ( x)
= 2 e g(
x)
= 4 + .
4
Se ( ) ,
a:
0 0 y x são as coordenadas do ponto P, então 0 0 y x + é igual
01) 2 04) 0
02) 1
1
03)
2
1
05) −
2
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152. (UEFS-08.2) Sabendo-se que a desigualdade
k 2 2k
−1
4 x + 2 x +
1
> 0 é verdadeira, para todo x pertencente a R,
2
pode-se concluir que:
a) k < 0
d)
3
≤ k < 2
2
b) k <
3
2
c) 0 ≤ k <
3
2
e) k ≥ 2
153. (UESB-2005) Sobre a função f(
x)
01) É decrescente em R.
02) É uma função par.
03) Tem como domínio [0,+∞[.
−1
04) Tem como função inversa ( x)
= 1+
log x
1
f 3
05) Tem para conjunto-imagem ]- ∞, 1[.
154. (UEFS-02.2)
A figura representa o gráfico da função ( x)
análise do gráfico e supondo-se ( 2)
f(
− 2)
que:
3
−x
= − , pode-se afirmar:
.
x
f = a , a>0. Com base na
5
f + = , pode-se concluir
2
1
a) 0 < a <
2
d) 2 < a < 3
1
b) < a < 1
2
c) 1 < a < 2
e) a > 3
155. (UNEB-2008) Considerando-se um número real x tal que
• 2 16
2
x
<
• x ] − 1,
0 [
∉
Pode-se afirmar que x pertence ao conjunto
01) [ 0 , 2 [
04) [ − 2, − 1]
∪[
0,
2 ]
02) [ 0 , 2 ]
03) ] − 1, 0 ] ∪[
0,
2[
05) ] − 2, − 1[
∪[
0,
2 [
156. (UESC-2008) A figura representa o gráfico da função
x ( x)
= a + b.
f
Com base nessas informações, pode-se concluir que o valor de f ( b)
é igual a:
2
01) −
3
04) 3
1
02) −
3
05) 4
03) 2
17
GABARITO
FUNÇÃO MODULAR E EXPONENCIAL
134. E 135. 05 136. 03 137. 05 138. C 139. C
140. 03 141. 02 142. C 143. E 144. A 145. B
146. D 147. B 148. C 149. 03 150. A 151. 05
152. B 153. 05 154. B 155. 05 156. 01
Logaritmos
Se b é um número real positivo e diferente de 1 e a é um número
real positivo tal que
n
Propriedades
log 1 = 0
log
log
b
b
b
a
co log
c
b
b = a,
então log b a = n
= c ⋅ log
a ⋅ c = log
b
b
a = − log
Mudança de Base
a + log
b
a
a
log
b
b
c
b = 1
log
logb
a
log
=
c
c
a
b
log
log
⎧a
> 0
C.
E.
⎨
⎩b
> 0 ≠ 1
c
b
b
a =
anti log
a
= log
c
b
log b a
1
⋅ log
c
Dúvidas ou Sugestões
EMAIL: ramonneiva@hotmail.com
b
b
a = b
a
b
= a
a
a − log
A função ( x)
= log x é crescente se b > 1 e decrescente se
0 < b < 1.
f b
Equação: a = log c ⇔ a = c
logb b
Inequação Logarítmica
Logaritmos
É comum omitir o número da base de um logaritmo se ela for 10:
log10 b = logb
O número e = 2,718281828... pode ser calculado com a precisão
⎛ 1 ⎞
desejada se aumentarmos o valor de n na expressão ⎜1
+ ⎟
⎝ n ⎠
É comum representar um logaritmo de base e com uma outra
notação:
log e b = ln b
lemos:"logaritmo neperiano ou natural de b".
n
b
c
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Prof. Ramon Neiva

Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
MÓDULO DE EXATAS 2009 MATEMÁTICA Prof. Ramon Neiva
157. (UNEB-2003) Sendo log 2 = 0,
3010 e log 3 = 0,
477 , pode-se
afirmar que ( 0,
06)
log é:
01) -2,222 04) 1,222
02) -1,222 05) 1,778
03) -0,778
158. (UEFS-03.2) Considerando-se log 2 = 0,
30 e log 3 = 0,
47 ,
pode-se afirmar que = log 30 é um número tal que:
x 2
a) 2 < x < 3 d) 5 < x < 6
b) 3 < x < 4 e) 6 < x < 7
c) 4 < x < 5
159. (UEFS-07.2) Em um teste de Matemática, um aluno deveria
calcular o valor de = log 16 , sem auxílio de calculadora, mas,
M 6
além das propriedades operatórias dos logaritmos, ele se lembrou,
apenas, dos valores de a = log 2 e b = log 3 . Assim, M pode ser
calculado por:
3 a
a)
b
4a
d)
a + b
3 b
b)
a
ab
c)
4
3a
e)
b − a
160. (UNEB-2002) Sabendo-se que
1
log2 x = 3 log2
27 + log2
,
9
pode-se concluir que log3 x é igual a:
01) -1 04) 9
02) 0 05) 7
03) 3
161. (UEFS-06.1) A única solução real da equação
x + 1 = log 2x
é um número:
( ) ( )
log9 3
a) inteiro divisível por 6. d) primo.
b) inteiro divisível por 9. e) irracional.
c) racional não inteiro.
162. (UESB-2005) Se ( 2x
) log ( x)
= 0
igual a:
log2 4
01) 2 2
04)1
02) 2 05) 0
03) 2
+ , então ( 2x)
log 2 é
163. (UEFS-07.1) Considerando-se log a = x, log b = y e log c = z, é
⎛
a
correto afirmar que o valor de log
⎜3
⎜
b
⎝
4
23
2
ab
⎞
⎟
bc
⎟
⎠
11 2
a) − 3x − y − z
9 9
11 2
d) 3 x − y + z
9 9
11 2
b) 3x − y − z
9 9
11 2
c) 3x + y − z
9 9
11 2
e) 3 x + y + z
9 9
164. (UESB-2006) Se 9
x+
1
2
é:
x
3 + 1
= , então x é igual a:
2
01) log5 3
04) 2 log 10
log3 3 −
1
02) − log5
3
2
03) log3 5
05) log3 − log5
18
165. (UEFS-07.1) Considerando-se log2=0,30 e log3=0,48, pode-se
3 2
x
afirmar que um valor real de x tal que ( 5−
2 ) = 3
intervalo:
a) ] -∞, -3] d) ] 1, 2[
b) ] -3, -2] e) [ 2, +∞[
c) ] -2, 0]
2
166. (UNEB-2004) Sabendo-se que x∈R é tal que ( 2−
x )
pertence ao
considerando-se log 2 = 0,
30 , pode-se afirmar que log x pertence
ao intervalo:
01) ] -∞, -3] 04) ] 0, 1]
02) ] -3, -2]
03) ] -2, 0]
05) [ 1, +∞[
log3
x
167. (UEFS-04.2) A expressão é equivalente a:
log x
1
a) d) 1+ log3
2
2
1
b)
log3
2x
1
c)
1+
log3
2
6
e) log3 2x
3 2 1
168. (UEFS-03.1) Se + + = 2 , então
log x log x log x
a:
a) 80 d) 320
b) 120 e) 360
c) 260
2
3
5
Dúvidas ou Sugestões
EMAIL: ramonneiva@hotmail.com
3
=
1
27
e
2
x é igual
169. (UESB-2004) A equação 2 6
1 x −
= é verdadeira para x igual a
01) log2 12
04) + log 2
1 3
02) log3 12
05) 2 ⋅ log 6
03) + log 6
2 2
2x
4x
−1
170. (UNEB-2009) Se 3 ⋅ 2 = 6 , então logx 2x
+ 1 é igual a:
01) – 1,0 04) 0,5
02) – 0,5 05) 1,0
03) 0
171. (UNEB-2009) Considerando-se as funções reais
f x = log3
x + 1 , ( x)
= log x e h ( x)
= log4x
, pode-se afirmar que o
( ) ( ) g 2
valor de f ( 26)
g(
0,
125)
+ h(
25)
− é:
01) – 3 04) 2
02) – 2 05) 8
03) 0
172. (UNEB-2005) Sendo f(
x)
−x
3
( − 1+
log 2)
pertence ao conjunto:
f 3
⎧1
2⎫
01) ⎨ , ⎬
⎩9
3⎭
⎧1
3⎫
02) ⎨ , ⎬
⎩3
2⎭
⎧3
3 ⎫
03) ⎨ , ⎬
⎩8
4⎭
= , pode-se afirmar que
⎧ 4⎫
04) ⎨1
, ⎬
⎩ 3 ⎭
⎧ 9⎫
05) ⎨3
, ⎬
⎩ 2⎭
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173. (UEFS-09.1) Se α é uma solução da equação
x log3
2
1−
2 ⋅ 3 = 0 , então 1 ( 1−
α)
é igual a:
log 2
a) − 1
d)
1
3
b) −
1
2
c) 0
e)
3
2
174. (UEFS-08.2) Sabendo-se que m e n são números
174. inteiros, maiores do que 1, pode-se afirmar que o número de pares
ordenados (m, n) que satisfazem à equação
m − 2log
n = log 252
( ) ( ) ( )
log 3
1
3
3
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
175. (UESB-2008) Considerando-se f ( x)
= 2x
, g(
x)
3x
−1
2
g ( f ( x ) = 5 e sendo 2 0,
30
= e
log = , pode-se afirmar que o triplo do
valor de x, que satisfaz a essa condições, pertence ao intervalo:
01) [ 0 , 32,
0,
55 ]
04) [ 1 , 76,
1,
84 ]
02) [ 0 , 65,
0,
85 ]
03) [ 1 , 64,
1,
72 ]
05) [ 1 , 92,
1,
99 ]
176. (UNEB-2006) Se as raízes da equação ax abx c 0
2
− + = são
x1 b
= a ⋅log
a e = c ⋅log
c então é verdade que:
a c
01) a c = b
x2 b
b
+ 04) ( ab) 1
c =
a b c
a c
02) a ⋅ b = c
05) a ⋅ c = b
a b
03) a + b = c
c
177. (UESC-2005) Uma fórmula para se medir a sensação de ruído,
em decibéis (dB), é dada por L = 120 + 10 log()
l , sendo l intensidade
sonora, medida em watt/m 2 . Se a sensação máxima de ruído
provocada por um piano é de L = 94dB, então a intensidade sonora
máxima alcançada pelo piano é igual, em watt/m 2 , a:
01) 10 0,26 - 10
04) 0,26
- 0,26
02) 10
- 2,6
03) 10
- 10
05) 0,24
178. (UESC-2009) Como os logaritmos têm crescimento bastante
lento, são usados em algumas aplicações práticas em que as
medidas são muito grandes ou muito pequenas. Um exemplo é a
escala Richter que é usada pelos sismólogos para medir a
intensidade de terremotos. Os valores dessa escala correspondem a
log(x), com x igual a amplitude das ondas sísmicas provocadas pelo
terremoto.
Se um terremoto A atingiu 5,2 na escala Richter e um outro, B,
atingiu 3,2 graus, então a amplitude das ondas sísmicas provocadas
por A foi igual a:
01) 1000 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
02) 100 vezes a amplitude das onda sísmicas provocadas por B.
03) 50 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
04) 1/2 da amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
05) 2 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
179. (UEFS-01.1) Se log9 2 = m ,então
log
3m
+ 2
a)
2 − m
d)
3m
+ 1
b)
2 − m
3m
+ 2
c)
4 − 2m
e) 3
m
3 2 + log9
18
é igual
⎛ 81⎞
log9⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
m + 2
2 − m
m + 2
b
19
180. (UNEB-2005) O número de soluções inteiras da inequação
2x
− 9 ≤ é:
log 3
( ) 1
01) 0 04) 3
02) 1 05) 4
03) 2
x
181. (UEFS-04.2) O conjunto X { x ∈ Z;
log ( 2 − 2)
≤ 1}
contido em:
a) { 1, 2 } d) { 0, 2, 4 }
b) { 0, 1, 3 } e) { 0, 3, 4 }
c) { 0, 2, 3 }
= está
182. (UESB-2009) Dada uma função real inversível f, representa-se
a sua inversa por f -1 . Sendo f(
x)
que f ( k 2 )
1 −
+
, é um número:
01) inteiro negativo
02) inteiro positivo
03) racional não inteiro, negativo.
04) racional não inteiro, positivo.
05) irracional.
Dúvidas ou Sugestões
EMAIL: ramonneiva@hotmail.com
6
x+
1
= 2 o valor da constante k, tal
183. (UESB-2009) Os números reais positivos x, y e z, nesta
ordem, formam uma progressão geométrica de razão r.
Se logr x = 2 , então o valor de logx yz pertence ao intervalo:
01)
⎡ 16 ⎤
⎢⎣
, 4
5 ⎥⎦
02)
⎡ 5 ⎤
⎢⎣
,
16
2 5 ⎥⎦
03)
⎡ 7 ⎤
⎢⎣
,
5
5 2 ⎥⎦
04)
⎡ 3
⎢⎣
,
4
05)
⎡
⎢⎣
0
7
5
,
3
4
184. (UEFS-03.1) Se f é uma função real definida por ( x)
0
x , tal que f ( x − x ) = 4 ⋅ f(
x + x ) é:
a > , então o valor de 0
1
a) − loga 2
1
d) loga 2
b) − log2 a
1
e)
log a
c) log2 a
0
2
⎤
⎥⎦
⎤
⎥⎦
0
x
f = a ,
185. (UEFS-07.1) Os valores reais de x, para os quais a função
2
2 − x
= está definida, são:
2x
− 2
( x)
− ( 1−
x)
f
a) x ≠ 2 d) x > 1
b) – 1 < x < 2 e) x > 2
c) x > 1 e x ≠ 2
186. (UESC-2006) Se o conjunto-solução da inequação em
2 ( x x − m)
≤ 0
log 1
3
+ é R – [-1,2] então a constante m é igual a:
01) – 2 04) 1
02) – 1
03) 0
05) 2
187. (UEFS-07.2) Sendo M um subconjunto de Z+ * , define-se uma
* →
função bijetora f : Z M
assim sucessivamente.
+ por f ( 1)
= 1,
f ( 2)
= 3 , f ( 3)
= 9 e ( 4)
27
f = e
a) os elementos de M formam uma PA de razão r = 2 cujo décimo
termo é 110.
b) os elementos de M formam uma PG de razão q = 2 cujo oitavo
termo é 2 7 .
c) os elementos de M não formam progressão aritmética nem
geométrica.
−1
d) ( x)
= 1+
log x
f 2
−1
e) ( x)
= 1+
log x
f 3
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188. (UEFS-05.1) O gráfico que melhor representa a função
x
( ) ( ) log x
f = é:
2 4
a) d)
b) e)
e)
189. (UESC-2003) O gráfico que melhor representa a função
2
log3
( ) ( x ) x
f
+ 4
*
= definida para x ∈ R+
,
2
190. (UESC-2004) A melhor representação gráfica da função
⎛ 1 ⎞
f(
x)
= log ⎜ ⎟
⎝ x ⎠
1 é:
3
01) 04)
02) 05)
03)
20
191. (UEFS-08.1) O gráfico que melhor representa a função
2
( x)
log ( x)
log ( 3x
)
f = − é:
2
4
192. (UESC-2007) De acordo com urna pesquisa realizada na
comunidade, após t anos da constatação da existência de urna
epidemia, o numero de pessoas por ela atingidas é expresso por
20000
N( t)
= . Considerando-se o log 2 = 0,
3 , pode-se afirmar
−2t
2 + 15 ⋅ 4
que em x meses, aproximadamente, o número de pessoas atingidas
por essa epidemia será igual a 4000. Nessas condições, o
valor de x é:
01) 7 04) 4
02) 6 05) 3
03) 6
193. (UEFS-06.2) Sendo f( x)
log3(
x 2)
− = , ( ) x 1 x g −
conjuntos A = { x ∈R
/ f(
x)
∈R}
e B { x ∈R
/ g(
x)
∈R}
afirmar que o conjunto C = { x ∈R
/ f(
x)
∈B}
é igual a:
a) ]-∞, 1] ∪ ] 2, +∞[ d) ]2, 5]
b) ] 1, 2] e) ]2, +∞[
c) ] 2, 3[
= e os
= , pode-se
194. (UESC-2008) Se x1 e x2 são as raízes da equação
2 4 2 2 2
5
log x ⋅ log x − log x + log 64 = 0 , então x1 + x2 é igual a:
01) 4 04) 12
02) 8 05) 16
03) 10
195. (UNEB-2008) A figura representa o gráfico da função f definida
por ( x)
= log x .
f 2
A medida do segmento AB, em u.c., é igual a:
01) 7,8 04) 8,8
02) 8,0 05) 9,5
03) 8,5
196. (UESB-2006)
Dúvidas ou Sugestões
EMAIL: ramonneiva@hotmail.com
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Analisando-se os gráficos das funções f( x)
2x
−1
( x)
= 5 ⋅log
( ax)
representados na figura, pode-se afirmar:
g b
01) a = b/3 04) a = 2b
02) a = b/2 05) a = 3b
03) a = b
GABARITO
LOGARITMOS
= e
157. 02 158. A 159. D 160. 05 161. E 162. 04
163. B 164. 04 165. C 166. 04 167. D 168. E
169. 01 170. 02 171. 05 172. 02 173. A 174. C
175. 03 176. 05 177. 03 178. 02 179. B 180. 03
181. C 182. 03 183. 01 184. D 185. D 186. 04
187. E 188. A 189. 04 190. 01 191. C 192. 01
193. D 194. 04 195. 03 196. 01 ***** *****
Progressão Aritmética (PA)
É toda seqüência em que cada termo a partir do segundo é obtido
somando-se o anterior a uma constante r, chamada razão da PA.
De acordo com o sinal da razão podemos classificar a P.A. da
seguinte forma.
a) Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente.
b) Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
c) Quando r = 0, dizemos que a P.A. é constante, e nesse caso todos
os termos são iguais.
Podemos observar que, considerando três termos consecutivos de
uma P.A. o termo central é dado pela média aritmética entre os
outros dois termos.
a + c
( a,
b,
c)
⇔ b =
2
O termo geral de uma PA é dado pela fórmula
an = a1
+ ( n − 1)
⋅ r
A soma dos termos de uma PA pode ser determinada com a fórmula
( a1
+ an
) ⋅ n
Sn =
2
Para uma Progressão Aritmética desconhecida devemos usar uma
representação conveniente que nos facilite a resolução de alguns
problemas.
a) Para três termos em PA, podemos escrever:
( x − r,
x,
x + r)
b) Para cinco termos em PA, podemos escrever:
x − 2r,
x − r,
x,
x + r,
x + 2r
( )
197. (UEFS-05.2) Considerando-se a seqüência an tal que
∗ a = 0
1
n ( −1)
⎡ −1⎤
∗
∗ an+
1 = −⎢an
+ ⎥,
∀n
∈N
,
⎢⎣
2 ⎥⎦
pode-se concluir que a2, a3, a4, a5, a6, nessa ordem, é
a) 1, -1, 0, 1, -1 d) 1, 0, 1, 0, 1
b) -1, 1, -2, 2, -3 e) 1, -1, 2, -2 ,3
c) 0, -1, 1, -2, 2
198. (UESC-2009) Divide-se uma circunferência em arcos, tais que
21
o primeiro deles mede 8º e cada arco a partir do segundo mede 8º a
mais que o anterior. Então o maior arco mede:
01) 104º 04) 80º
02) 96º 05) 72º
03) 88º
199. (UEFS-03.2) Em 2003, as idades de três irmãos, são
numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de
razão 4 e, daqui a 5 anos, a soma dessas idades será igual a 60.
Nessas condições, pode-se afirmar que atualmente a idade do mais
a) jovem é 10 anos. d) velho é 14 anos.
b) jovem é 11 anos. e) velho é 15 anos.
c) velho é 12 anos.
200. (UEFS-03.1) Um certo tipo de loteria paga, ao acertador, um
prêmio equivalente a 100 vezes o valor apostado. Na primeira vez
que jogou, uma pessoa apostou R$ 1,00 e, nas vezes seguintes,
acrescentou sempre mais R$ 3,00 à aposta anterior. Tendo acertado
na décima jogada, decidiu parar.
Levando-se em conta o que foi gasto nas apostas e o valor recebido
como prêmio, pode-se concluir que essa pessoa teve um lucro, em
reais, igual a:
a) 2800 d) 1548
b) 2655 e) 1000
c) 2100
201. (UNEB-2008) O primeiro e o último termo de uma progressão
aritmética são respectivamente, iguais a a1 = 7 e an = 135 .
A média aritmética dos termos dessa progressão é igual a:
01) 64 04) 76
02) 67 05) 84
03) 71
202. (UESC-2008) Após uma corrida, sem empates,entre alunos de
uma turma de Educação Física, o professor resolveu premiar os
participantes com um total de R$110,00, da seguinte forma: cada
participante recebeu R$2,00 pela sua participação e mais R$ 2,00
por cada participante que alcançou a linha de chegada depois dele
próprio.
Pode-se concluir que o total de participantes da corrida foi igual a:
01) 10 04) 13
02) 11 05) 14
03) 12
203. (UEFS-02.2) Um personal trainner sugeriu a um jovem
iniciante em atividades físicas que seguisse o seguinte programa de
condicionamento físico, durante um mês, e que, depois, faria uma
avaliação.
Corrida Caminhada
1º dia 500m 1000m
2º dia 600m 1250m
3º dia 700m 1500m
.
.
.
.
.
.
Com base nos dados, pode-se afirmar que, ao final de 15 dias, o
jovem tinha totalizado, em caminhada e em corrida,
a) 40,50km d) 82,50km
b) 44,25km e) 90,00km
c) 59,25km
204. (UESC-2005) Considere-se n∈N*, tal que
1 + 2 + 3 + ... + n = 16n
. Com base nessa informação, pode-se
concluir que n é igual a:
01) 15 04) 32
02) 17 05) 33
03) 31
.
.
.
Dúvidas ou Sugestões
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205. (UESB-2007) Um auditório possui 15 poltronas na primeira fila,
17 na segunda e 19 na terceira; as demais filas se compõem na
mesma seqüência. Sabendo-se que esse auditório tem 735 poltronas
em n filas, pode-se afirmar que o valor de n é igual a:
01) 21 04) 63
02) 42 05) 65
03) 56
206. (UESC-2006) Numa cidade, a cada ano, o número de novos
profissionais de uma certa área é de 10 a mais do que o número de
novos profissionais do ano anterior. Se, durante 9 anos, o número de
profissionais dessa área teve um aumento de 396 profissionais,
pode-se afirmar que, no 3º ano, o número de novos profissionais foi
igual a:
01) 15 04) 40
02) 24 05) 45
03) 35
207. (UESC-2003) Numa via de tráfego, a velocidade máxima
permitida é 80km/h. Para o motorista que desrespeita essa lei,
aplica-se o seguinte sistema de penalidades: na primeira infração, o
motorista apenas recebe uma advertência; na segunda, paga uma
multa de R$ 150,00 e, a partir da terceira, paga uma multa igual à
anterior, acrescida de R$ 20,00. Sabendo-se que o motorista tem
sua carteira apreendida após ter infringido dez vezes essa lei,
conclui-se que, quando esse fato acontecer, o motorista terá pago
pelas multas um total, em reais, igual a:
01) 2400,00 04) 1830,00
02) 2070,00 05) 1420,00
03) 1980,00
208. (UESC-2004) Um censo realizado em uma cidade revelou que,
o número de fumantes, durante o ano de 1995, sofreu um aumento
de 200 indivíduos e que, de 1996 até 1999, o aumento desse
número, a cada ano, foi igual ao do ano anterior mais 30 fumantes. A
partir de 2000, o número de fumantes ainda continuou crescendo,
mas, com a proibição da propaganda de cigarro, esse aumento foi
reduzido a 100 fumantes por ano.
Nessas condições, pode-se concluir que o aumento do número de
fumantes, desde o início de 1995 até o final de 2002, foi igual a:
01) 2010 04) 1600
02) 1800 05) 1500
03) 1730
209. (UESB-2006) Se a soma dos n primeiros termos de uma
2
progressão aritmética é dada pela expressão Sn
= n − 6n
, então o
décimo quinto termo dessa progressão é um elemento do conjunto:
01) {10, 15, 20} 04) {13, 18, 23}
02) {11, 16, 21} 05) {14, 19, 24}
03) {12, 17, 22}
210. (UEFS-05.1) Um motorista comprou um automóvel por R$
14400,00 e o vendeu no momento em que o total gasto com sua
manutenção era igual a 1/3 dessa quantia.
Sabendo-se que, no primeiro ano, após tê-Io comprado, o motorista
gastou R$ 300,00 com a sua manutenção e, a partir daí, a cada ano
seguinte, o custo com a manutenção foi de R$ 200,00 a mais do
que no ano anterior, conclui-se que o tempo, em anos, que o
motorista permaneceu com o automóvel foi igual a:
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
211. (UEFS-04.2) As raízes da equação ( x 2)
! = x − 2
− coincidem
com o primeiro termo e com a razão de uma progressão aritmética
cujos termos são números ímpares. Nessas condições, pode-se
afirmar que o centésimo quinto termo dessa progressão é:
a) 507 d) 257
b) 419 e) 199
c) 301
22
212. (UESC-2007) Três números positivos estão em progressão
aritmética. A soma deles é 12 e o produto é 28. A soma dos
quadrados desses termos é:
01) 66 04) 54
02) 64 05) 24
03) 58
213. (UEFS-04.1) Se, em uma PA, a soma dos três primeiros
termos é igual a zero, e a soma dos dez primeiros termos é igual a
70, então a razão dessa progressão é:
a) – 3 d) 3
b) – 2 e) 4
c) 2
214. (UNEB-2004) O primeiro termo positivo da progressão
− 75, −67,
−59,...
é:
aritmética ( )
01) 3 04) 8
02) 4 05) 9
03) 5
215. (UESB-2003) Em certo país, no período de 1994 a 2000, a
produção nacional de petróleo cresceu anualmente segundo os
termos de uma progressão aritmética. Se em 1994 a produção foi de
40 milhões de metros cúbicos e a soma da produção de 1997 com a
de 1998 foi igual a 90,5 milhões de metros cúbicos, o número de
milhões de metros cúbicos de petróleo produzidos em 2000 foi:
a) 47 d) 48,5
b) 47,5 e) 49
c) 48
216. (UNEB-2006) Um paralelepípedo retângulo tem 132m 2 de área
total, e as medidas de suas arestas são termos consecutivos de uma
progressão aritmética de razão 3.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o volume desse
paralelepípedo mede, em m 3 ,
01) 100 04) 80
02) 90 05) 60
03) 85
GABARITO
PROGRESSÃO ARITMETICA (PA)
197. E 198. 05 199. B 200. B 201. 03 202. 01
203. C 204. 03 205. 01 206. 02 207. 02 208. 04
209. 04 210. C 211. B 212. 01 213. C 214. 03
215. A 216. 04 ***** ***** ***** *****
Progressão Geométrica (PG)
É seqüência em que cada termo a partir do segundo é obtido
multiplicando-se o anterior por uma constante q, chamada razão da
PG.
De acordo com o sinal da razão podemos classificar a PG da
seguinte forma.
a) Quando q > 0, dizemos que a P.G. é crescente.
b) Quando q < 0, dizemos que a P.G. é alternada ou oscilante.
c) Quando q = 1, dizemos que a P.G. é constante, e nesse caso
todos os termos são iguais.
d) Quando 0 < q < 1, dizemos que a P.G. é decrescente.
Obs: Podemos observar que, considerando três termos consecutivos
de uma P.G. o termo central é dado pela média geométrica entre os
outros dois termos.
2
( a,
b,
c ) = b = a ⋅ c
O termo geral de uma PG pode ser encontrado com a fórmula
n−1
an
= a1
⋅ q
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A soma dos termos da PG finita é dada pela fórmula
n
n
a1
⋅ q − 1 an
⋅ q − a1
a1
⋅ 1−
q
Sn
= ou Sn
= ou Sn
=
q − 1
q − 1
1−
q
( ) ( )
Note que se q = 1, a P.G. tem todos os seus termos iguais entre se,
ela é constante), logo: Sn = n ⋅ a1
Soma dos termos de uma P.G. infinita
Seja a P.G. (a1, a2, a3, ...) cuja razão q é tal que – 1 < q < 1. Assim,
q n é um número cada vez mais próximo de zero à medida que o
expoente n aumenta, nesse caso assim temos:
a1
S∞
=
1−
q
Obs: Para uma Progressão Geométrica desconhecida devemos usar
uma representação conveniente que nos facilite a resolução de
alguns problemas.
⎛ x ⎞
Para três termos em P.G., podemos escrever:
⎜ , x,
xq ⎟
⎝ q ⎠
n⋅(
n−1)
n
Produto dos termos de uma P.G. infinita P
2
n = a1
⋅ q
217. (UEFS-02.1) Adicionando-se a mesma constante a cada um
dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão de
razão igual a:
2 5
a) d)
5
2
01) 9 04) 3
02) 6 05) 1
03) 5
219. (UESB-2006) Uma pessoa investiu R$ 5000,00 em uma
aplicação financeira, por um prazo de 4 anos, ao fim do qual teve um
saldo total de R$ 20000,00. Sabendo-se que, durante esse período,
essa pessoa não fez saques nem depósitos e que a aplicação teve
rendimento anual segundo uma progressão geométrica, pode-se
afirmar que o rendimento, em reais, obtido no primeiro ano foi de,
aproximadamente,
01) 950,00 04) 2000,00
02) 1500,00 05) 2500,00
03) 1620,00
220. (UNEB-2005) Para que a soma dos termos da seqüência
−5
−4
−3
k
255
2 , 2 , 2 ,..., 2 , k∈ Z, seja igual a , o valor de k deve ser
32
igual a:
01) – 1 04) 5
02) 0 05) 8
03) 2
221. (UEFS-07.1) Se a soma dos 10 termos da seqüência
3 , 6,
12,
... vale R e a soma dos infinitos termos da seqüência
( )
( ; 0,
3;
0,
1;
... )
1 vale S, S ≠ 0, então o valor de R/S é:
a) 1023 d) 3000
b) 1024 e) 3069
c) 2046
23
222. (UEFS-04.1) A quantidade de cafeína presente no organismo
de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão
geométrica de razão 1/8.
Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo
caia de 128mg para 1 mg é tal que:
a) 0 < t < 1 d) 4 < t < 6
b) 1 < t < 2 e) 6 < t < 8
c) 2 < t < 4
223. (UEFS-08.2) O valor de x, solução da equação
2 x +
⎛ 1 2 4 8
...
⎞
⎜ + + + + ⎟ = 27 , em que a expressão entre
⎝ 3 9 27 81 ⎠
parênteses é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é
um número
a) primo.
b) inteiro, múltiplo de 3.
c) inteiro, múltiplo de 5.
d) racional não inteiro e negativo.
e) racional não inteiro e positivo.
224. (UEFS-01.1) Um homem pesando 256kg se submete a um
regime alimentar, de modo que, a cada 3 meses, seu peso fica
reduzido em 25%. Ao completar 1 ano de regime, ele pesa Pkg, tal
que:
a) 120

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227. (UNEB-2006) Um carro foi testado durante 10 dias para
verificar o bom desempenho e poder ser lançado no mercado com
bastante sucesso. No primeiro dia do teste, ele percorreu 80km e,
nos dias subseqüentes, houve um aumento de 5% da quilometragem
rodada em relação à quilometragem do dia anterior. Nessas
condições, pode-se afirmar que a quilometragem total rodada pelo
carro no período de teste é dada pela expressão:
( )
( )
9 ( −1
)
9 ( −1
)
01) 4 ⋅
10 ( 1,
05 ) −1
04) 1600 ⋅ ( 1,
05 )
02) 1600 ⋅
10 ( 1,
05 ) −1
05) 40 ⋅ ( 1,
05 )
03) ( ) 9
80 ⋅ 1,
05
228. (UESC-2007) Considere-se um quadrado de lado l. Com
vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um segundo
quadrado. Com vértices nos pontos médios dos lados do segundo
quadrado, constrói-se um terceiro quadrado e assim por diante. Com
base nessa informação e no conhecimento de seqüências, é correto
afirmar que o limite da soma dos perímetros dos quadrados
construídos é igual a:
01) 4 l ⋅ ( 2 + 2)
04) 4 l ⋅ ( 1+
2)
02) 4l ⋅ ( 2 − 2)
05) 8 l ⋅ ( 1+
2)
03) 8 l ⋅ ( 2 + 2)
GABARITO
PROGRESSÃO GEOMETRICA (PG)
217. B 218. 05 219. 04 220. 03 221. C 222. C
223. A 224. C 225. 03 226. 03 227. 02 228. 01
Matemática Financeira
Matemática Financeira
x
Porcentagem: x % = ( taxa)
100
⎧C
: Capital aplicado
⎪
Juros Simples: J = C ⋅ i ⋅ t ⎨i
: taxa (% por período)
⎪
⎩t
: tempo de aplicação
Juros Compostos ( ) t
M = C ⋅ 1+
i
Montante M = C + J = C ⋅ ( 1+
i ⋅ t)
229. (UNEB-2008) O proprietário de um imóvel contratou uma
imobiliária para vendê-lo, pagando-lhe 5% do valor obtido na
transação. Se a imobiliária recebeu R$ 5600,00, o valor que coube
ao proprietário foi, em reais,
01) 89400 04) 106400
02) 95000 05) 112000
03) 100800
230. (UNEB-2007) Um cantor lançou no mercado,
simultaneamente, um CD e um DVD de um show, gravados ao vivo.
Sendo o preço do DVD 30% maior do que o preço do CD, pode-se
afirmar que o preço do CD é menor do que o preço do DVD,
aproximadamente,
01) 20% 04) 28%
02) 23% 05) 30%
03) 25%
231. (UESB-2004) Uma prova é composta por quarenta questões
objetivas. Sabendo-se que cada questão correta vale 0,25 e que
cada três questões erradas anulam uma certa, pode-se afirmar que a
nota de um aluno que errar 15% das questões será igual a:
01) 6,5 04) 8,0
02) 7,0 05) 8,5
03) 7,5
24
232. (UNEB-2006) A assinatura de uma linha telefônica custava R$
30,00, e cada unidade de conversação custava R$ 1,50.
Sabe-se que houve um reajuste de 4% nas tarifas e que um cliente
pagou, após o reajuste, uma fatura no valor de R$ 54,60.
Considerando-se n o número de unidades de conversação dessa
fatura, pode-se afirmar que n é igual a:
01) 12 04) 20
02) 15 05) 25
03) 18
233. (UESC-2004) Do total das despesas n de uma família, o gasto
com alimentação e com mensalidades escolares corresponde a 40%
e 25% respectiva-mente. Se o gasto com alimentação sofrer um
aumento de 5% e as mensalidades escolares aumentarem 10%,
então o total das despesas mensais, dessa família, sofrerá um
aumento de:
01) 15% 04) 5,5%
02) 8% 05) 4,5%
03) 7,5%
234. (UESB-2007) Um cliente pagou 40% de uma dívida de x reais.
Sabendo-se que R$ 300,00 correspondem a 20% do restante a ser
pago, é correto afirmar que o valor de x é igual a:
01) 3750 04) 2500
02) 3000 05) 2050
03) 2750
235. (UESB-2006) Uma loja oferece a seus clientes um desconto de
24%, no pagamento à vista, sobre o valor que exceder a R$ 500,00
em compras. Duas amigas fizeram compras individuais num total de
R$ 420,00 e R$ 280,00, mas reuniram esses valores uma única nota
fiscal, pois assim economizaram, respectivamente e em valores
proporcionais a cada compra,
01) R$ 31,20 e R$ 16,80 04) R$ 28,80 e R$ 19,20
02) R$ 30,00 e R$ 16,00 05) R$ 28,60 e R$ 16,40
03) R$ 29,40 e R$ 16,60
236. (UNEB-2006) Os salários dos funcionários de uma empresa
têm a seguinte composição:
40% correspondem ao salário-base.
60% correspondem à gratificação.
Sabendo-se que o salário-base foi reajustado em 20% e a
gratificação, em 10%, pode-se afirmar que o ajuste dos salários dos
funcionários foi igual, em percentual, a:
01)10 04) 20
02) 14 05) 32
03) 15
237. (UNEB-2006) Os preços anunciados dos produtos A e B são,
respectivamente, R$ 2000,00 e R$ 3500,00. Um cliente conseguiu
um desconto de 10% sobre o preço do produto A, x% sobre o preço
do produto B e pagou R$ 4600,00 na compra dos dois produtos.
Nessas condições, pode-se afirmar que x é igual a:
01) 12 04) 20
02) 15 05) 25
03) 18
238. (UEFS-04.2) Se uma loja vende um artigo à vista por R$
540,00 ou a prazo, mediante uma entrada de R$ 140,00 e mais 3
parcelas mensais de R$ 140,00, então a loja está cobrando, sobre o
saldo que tem a receber, juros simples de
a) 4,3% d) 8,0%
b) 5,0% e) 9,5%
c) 6,2%
239. (UESB-2005) Sabe-se que o preço de custo de um produto é
P. Se esse produto for vendido por R$ 126,00, haverá, em relação a
P, um prejuízo de 10%, mas, se for vendido por R$ 161,00, haverá,
em relação a P, um lucro de
01) 30% 04) 18%
02) 26% 05) 15%
03) 22%
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240. (UNEB-2002) Um investidor fez uma aplicação a juros simples
de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros e os
reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais dois meses e,
no final do prazo, recebeu R$ 1728,00. Pode-se afirmar que o capital
inicial aplicado foi de:
01) R$ 1000,00 04) R$ 1200,00
02) R$ 1100,00 05) R$ 1144,00
03) R$ 1120,00
241. (UESB-2009) Um prêmio, ganho em um jogo de loteria, foi
dividido em duas partes proporcionais a 2 e 3, de acordo com o valor
investido por cada um dos dois jogadores. Sabendo-se que cada
valor recebido foi aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao
ano, pode-se concluir que o tempo necessário para que a aplicação
menor tenha um rendimento igual ao obtido pela aplicação maior em
6 meses é:
01) 8 meses 04) 11 meses
02) 9 meses 05) 12 meses
03) 10 meses
242. (UEFS-03.1) Dois revendedores A e B, que já vinham dando
um desconto de R$ 1500,00 no preço x de determinado tipo de
carro, resolveram dar mais um desconto, de 18%, e calcularam os
novos preços da seguinte forma:
A passou a dar, sobre x, o desconto de R$ 1500,00, seguido do
desconto de 18%, resultando em xA.
B passou a dar, sobre x, o desconto de 18%, seguido do desconto
de R$ 1500,00, resultando em xB. Com base nessas informações,
pode-se concluir:
a) xA - xB = R$ 270,00 d) xB – xA = R$ 320,00
b) xA - xB = R$ 320,00 e) xA = xB
c) xB – xA = R$ 270,00
243. (UNEB-2003) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$
5000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois meses depois,
pagou R$ 2512,50 e, no mês seguinte, liquidou sua dívida. Portanto,
o valor do último pagamento foi igual, em reais,
01) 3150,00 04) 3405,50
02) 3235,00 05) 3535,00
03) 3350,25
244. (UNEB-2004) O lucro de um comerciante na venda de um
produto é diretamente proporcional ao quadrado da metade das
unidades vendidas. Sabendo-se que, quando são vendidas 2
unidades, o lucro é de R$ 100,00, pode-se concluir que, na venda de
10 unidades, esse lucro é, em reais, igual a:
01) 500,00 04) 2500,00
02) 1000,00 05) 2800,00
03) 1600,00
245. (UNEB-2005) A taxa de juros de débito de um cartão de
crédito é de, aproximadamente, 10% ao mês, calculado
cumulativamente.
Se uma dívida for paga três meses após a data de vencimento,
então terá um acréscimo de, aproximadamente,
01) 30,3% 04) 33,1%
02) 31,2% 05) 34,3%
03) 32,3%
246. (UEFS-08.2) Segundo a cotação oficial do Banco Central, no
dia 15 de agosto de 2007, US$1.00 valia o equivalente a R$2,004.
Com a variação no câmbio, alguns meses depois, o valor do dólar,
em relação ao real, sofreu uma queda de 20%.
Nessa ocasião, R$1,00 passou a valer, em dólar, aproximadamente,
a) 0,561 d) 0,623
b) 0,580 e) 0,701
c) 0,602
247. (UESC-2009) Segundo economistas, o aumento do dólar em
relação ao real acarreta inflação interna no Brasil, de modo que a
cada aumento de 10% do dólar corresponde a uma inflação de 1% a
1,5% no Brasil.
Supondo válida essa regra, se o dólar valia R$1,60 e passou a valer
R$ 2,00, então a inflação correspondente no Brasil foi de:
01) 2% a 3,25% 04) 2,5% a 3,75%
02) 2,5% a 3,25% 05) 1,7% a 3,25%
03) 2% a 3%
25
248. (UESC-2005) Em determinado dia, o boletim econômico traz a
seguinte notícia: o valor do dólar, em relação ao real, sofreu uma
redução de 2% e o do euro, em relação ao dólar, um aumento de
4%.
Com base nessa informação, pode-se concluir que o valor do euro,
em relação ao real, sofreu
01) um aumento de 2,13%. 04) uma redução de 2,13%.
02) um aumento de 2%. 05) uma redução de 1,92%.
03) um aumento de 1,92%.
249. (UEFS-02.2) Uma travessa retangular feita de argila tem 30cm
de comprimento e 20cm de largura. No processo de cozimento, há
uma redução de 30% nas dimensões lineares da travessa.
Com base nessas informações, conclui-se que o produto entre as
dimensões lineares da travessa, após cozimento, é igual:
a) 420 d) 294
b) 360 e) 180
c) 300
250. (UNEB-2002) O fabricante de determinada marca de papel
higiênico fez uma "maquiagem" no seu produto, substituindo as
embalagens com quatro rolos, cada um com 40 metros, que custava
R$ 1,80, por embalagem com quatro rolos, cada um com 30 metros,
com custo de R$ 1,62. Nessas condições, pode-se concluir que o
preço do papel higiênico foi:
01) aumentado em 10% 04) reduzido em 10%
02) aumentado em 20% 05) mantido o mesmo.
03) aumentado em 25%
251. (UEFS-04.1) Para estimular as vendas, uma loja oferece a
seus clientes um desconto de 20% sobre o que exceder a R$ 400,00
em compras.
Nessas condições, a expressão algébrica que representa o valor a
ser pago, para uma compra de x reais, x > 400, é:
3
a) x + 100
4
7
d) x + 50
8
4
b) x + 80
5
6
c) x + 80
5
5
e) x − 100
4
252. (UNEB-2009) Uma empresa produz e comercializa um
determinado equipamento K. Desejando-se aumentar em 40% seu
faturamento com as vendas de K, a produção desse equipamento
deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer
um reajuste.
Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste mínimo
aproximado de:
01) 5,6% 04) 8,6%
02) 6,3% 05) 9,8%
03) 7,7%
GABARITO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
229. 04 230. 02 231. 04 232. 02 233. 05 234. 04
235. 04 236. 02 237. 04 238. B 239. 05 240. 01
241. 02 242. A 243. 01 244. 04 245. 04 246. D
247. 04 248. 01 249. D 250. 02 251. B 252. 03
Matrizes
Dúvidas ou Sugestões
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Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular
formada por n . m números reais em m linhas e n colunas.
⎛ a11
a12
a13
... a1n
⎞
⎜
⎟
⎜ a21
a22
a23
... a2n
⎟
A =
⎜
⎟
⎜
a31
a32
a33
... a3n
⎟
⎜ ... ... ... ... ... ⎟
⎜
⎟
⎝am1
am2
am3
... am5
⎠
O elemento genérico da matriz A será indicado por aij, em que i
representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se
encontra. De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na
forma: A = ( aij)
m×
n
Tipos de matrizes
• Matriz quadrada – Quando a matriz tem o número de linhas igual
ao número de colunas. Uma matriz quadrada do tipo n× n é
chamada matriz quadrada de ordem n.
• Matriz triangular – É toda matriz quadrada de ordem n que os
elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
⎛1
5 7 −9
⎞
⎛2
0 0 ⎞ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜0
3 8 − 2⎟
⎛3
0⎞
⎜8
3 0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜
0 0 2 − 1
⎟ ⎝2
5⎠
⎝7
9 − 5⎠
⎜
⎟
⎝0
0 0 4 ⎠
Em uma matriz triangular, aij = 0 para i > j ou aij = 0 para i < j.
• Matriz diagonal – É toda matriz quadrada de ordem n em que
todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
⎛1
0 0 0⎞
⎛2
0 0 ⎞ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜0
− 1 0 0⎟
⎛2
0 ⎞
⎜0
3 0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜
0 0 3 0
⎟ ⎝0
− 3⎠
⎝0
0 − 5⎠
⎜
⎟
⎝0
0 0 4⎠
Em uma matriz diagonal, aij = 0 para i ≠ j.
• Matriz identidade – É toda matriz quadrada de ordem n em que
todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros
elementos são iguais a zero. Seu símbolo é In.
⎛1
0 0 0⎞
⎛1
0 0⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜0
1 0 0⎟
⎛1
0⎞
I3 = ⎜0
1 0⎟
I4
= ⎜
⎟ I2
= ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜
0 0 1 0
⎟
⎝0
1⎠
⎝0
0 1⎠
⎜
⎟
⎝0
0 0 1⎠
⎪⎧
aij
= 1,
para i = j
Em uma matriz identidade, temos ⎨
⎪⎩ aij
= 0,
para i ≠ j
• Matriz Nula – É toda matriz que tem todos os elementos iguais a
zero. Podemos simbolizar a matriz nula de ordem m x n por 0mxn e a
matriz nula de ordem n por 0n.
⎛0
0⎞
⎛0
0 0⎞
⎜ ⎟
⎛0
0⎞
⎜ ⎟
O3× 2 = ⎜0
0⎟
O2
=
⎜
⎟ O3
= ⎜0
0 0⎟
⎜ ⎟
⎝0
0⎠
⎜ ⎟
⎝0
0⎠
⎝0
0 0⎠
• Matriz Transposta - Seja A uma matriz m x n. Denomina-se
matriz transposta de A (indica por A t ) a matriz n x m cujas linhas,
são, ordenadamente, as colunas de A.
⎛a
A = ⎜
⎝a
11
21
a
a
12
22
⎛ a11
a
⎜
13 ⎞ T ⎟
⇔ A = ⎜a12
a23
⎠ ⎜
⎝a13
( )
a21
⎞
⎟
a22
⎟
a
⎟
23 ⎠
⎧ T
T
⎪ A = A
Propriedades da matriz transposta ⎪ T T
⎨(
αA)
= αA
⎪ T T T
⎪(
A + B)
= A + B
⎩
26
• Matriz Simétrica - Dada uma matriz quadrada A = (aij)n dizemos
que A é matriz simétrica se, e somente se, aij = aji, para todo 1≤ i ≤
n e 1 ≤ j ≤ n.
⎛a11
⎜
A = ⎜a21
⎜
⎝a31
a12
a22
a32
T
A = A
a13
⎞ ⎧a21
= a12
⎟ ⎪
a23
⎟ ⇔ ⎨a31
= a13
a
⎟ ⎪
33 ⎠ ⎩a32
= a23
• Matriz Anti-simétrica - Dada uma matriz quadrada A = (aij)n
dizemos que A é matriz anti-simétrica se, e somente se, aij = −aji
,
para todo 1≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.
⎛a11
⎜
A = ⎜a21
⎜
⎝a31
a12
a22
a32
a13
⎞ ⎧a21
= −a12
⎟ ⎪
a23
⎟ ⇔ ⎨a31
= −a13
a
⎟ ⎪
33 ⎠ ⎩a32
= −a23
a11
= a22
= a33
= 0
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n.
⎛a11
a12
⎞
⎜ ⎟
A = ⎜a21
a22
⎟
⎜ ⎟
⎝a31
a32
⎠
⎛b11
b12
⎞
⎧a11
= b11
a12
= b12
⎜ ⎟
⎪
B = ⎜b21
b22
⎟ Se A = B ⎨a21
= b21
a22
= b22
⎜ ⎟
⎪
⎝b31
b32
⎠
⎩a31
= b31
a32
= b32
Operações com matrizes
A soma ou a diferença de duas matrizes m x n é uma outra matriz m
x n, cujos elementos são a soma ou a diferença dos elementos
correspondentes das matrizes.
⎛a11
a12
⎞
⎜ ⎟
A = ⎜a21
a22
⎟
⎜ ⎟
⎝a31
a32
⎠
⎛b11
b12
⎞
⎛ a11
± b11
a12
± b12
⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
B = ⎜b21
b22
⎟ Se A ± B = ⎜a21
± b21
a22
± b22
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝b31
b32
⎠
⎝a31
± b31
a32
± b32
⎠
Quando uma matriz é multiplicada por um número real, todos os
elementos dela são multiplicados por esse número. Por exemplo:
O produto AB de duas matrizes é definido somente se o número de
colunas de A for igual ao número de linhas de B. Assim, uma matriz
m x n pode ser multiplicada por uma matriz n x p para se obter uma
matriz m x p. Por exemplo:
Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, o elemento Cjj da matriz Cm x p, tal
que C = AB, é a soma dos produtos dos elementos da linha i da
matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. Por exemplo:
⎛a11
⎜
⎜a21
⎜
⎝a31
⎛a11
a12
⎞
⎜ ⎟
A
= ⎜a21
a22
⎟
⎜ ⎟
⎝a31
a32
⎠
a12
⎞
⎟ ⎛b11
a22
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⎝b21
a32
⎠
⎛β
⋅ a11
β ⋅a12
⎞
⎜
⎟
β ⋅ A = ⎜β
⋅ a21
β ⋅ a22
⎟
⎜
⎟
⎝β
⋅ a31
β ⋅ a32
⎠
⎛ a11b11
+ a12b21
b12
⎞ ⎜
⎟
= ⎜a21b11
+ a22b21
b22
⎠ ⎜
⎝a31b11
+ a32b21
Determinante de uma matriz
a11b12
+ a12b22
⎞
⎟
a21b12
+ a22b22
⎟
a +
⎟
31b12
a32b22
⎠
O determinante de uma matriz n x n é um número obtido dos
elementos de uma matriz mediante operações especificadas. Os
determinantes são definidos somente para matrizes quadradas.
O determinante de uma matriz ordem 2
a11
a12
= PEDP − PEDS =
a21
a22
( a ⋅ a ) − ( a ⋅ a )
“Produto dos elementos da diagonal principal menos produtos dos
elementos da diagonal secundária”
11
22
12
21
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O determinante de uma matriz ordem 3
O produto de (-1) i + j pelo determinante da matriz que se obtém
suprimindo-se a linha i e a coluna j da matriz An x n chama-se cofator
do elemento aij da matriz An x n. Por exemplo:
O determinante de uma matriz 3 x 3 é dado por:
Este procedimento para o cálculo de determinantes, conhecido como
expansão por cofatores, pode ser estendido para matrizes maiores
que 3 x 3.
Propriedades dos determinantes:
Casos em que o determinante é nulo
• Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz
quadrada M forem iguais a zero.
• Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas
colunas) de uma matriz quadrada M forem iguais.
• Se uma matriz quadrada M possuis duas linhas (ou duas
colunas) proporcionais.
• Se duas linhas (ou duas colunas) de um determinante forem
trocadas de lugar, o novo determinante será o oposto do
determinante original.
• Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma
matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número k, então
seu determinante fica multiplicado por k.
• Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um
número real k, o seu determinante fica multiplicado por k n , isto é:
Det(kMn)=K n . detMn
• O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao
determinante de sua transposta, isto é, detM=det(M t ).
• Se trocarmos de posição duas linha (ou duas colunas) de uma
matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto
do determinante da matriz anterior.
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
• Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a
matriz produto, então det(AB)=(detA).(detB).
• Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os
elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e
somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra
linha (ou coluna), formando a matriz B, det(A)=det(B).
27
Matriz dos Cofatores
Seja a matriz quadrada A = (aij) de ordem n.
Denomina-se matriz dos cofatores de A (indica-se A’) a matriz que se
obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo
cofator.
Matriz Adjunta.
Considerando a matriz quadrada A de ordem n, denomina-se matriz
adjunta de A (indica-se A ) a transposta da matriz dos cofatores de
A, isto é:
( ) T
A = A'
Matriz Inversa
A inversa de uma matriz An x n é uma matriz Bn x n tal que:
Sistemas Lineares
A
A
det A
1 −
=
Resolver um sistema de equações lineares significa determinar as
soluções comuns a todas as equações, que são as soluções do
sistema.
⎧a11x1
+ a12x2
+ ... + a1nx
n = c1
⎪
a21x1
+ a22x
2 + ... + a2nxn
= c2
⎨
⎪..........
.......... .......... .......... ..
⎪
⎩am1x1
+ am2x
2 + ... + amnx
n = c3
Os números aij chamam-se coeficientes, e os números C1, C2, ..., Cn
chamam-se termos independentes.
Um sistema de equações lineares chama-se:
Um sistema de n equações lineares com n variáveis, em que o
determinante da matriz dos coeficientes D é diferente de 0, pode ser
resolvido mediante um procedimento chamado regra de Cramer. Por
exemplo:
⎧a1x
+ b1y
+ c1z
= d1
⎪
⎨a2x
+ b2y
+ c2z
= d
⎪
⎩a3x
+ b3y
+ c3z
= d
Inicialmente, calcula-se D, o determinante da matriz dos coeficientes
do sistema.
a1
b1
c1
D = a2
b2
c2
a3
b3
c3
Se D ≠ 0, podemos prosseguir, pois o sistema é possível e
determinado.
Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
Em seguida, para cada incógnita que se que determinar, calcula-se
um novo determinante, que é o determinante da matriz obtida,
substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes
da incógnita a ser determinada pela coluna dos termos
independentes.
Dx
Dy
x =
y =
z =
D
D
2
3
Dz
D
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Discussão de um sistema n x n
• Quando D≠0, o sistema é possível e determinado (SPD), não
importando o valor de cada um dos demais determinantes assuma.
• Quando D = 0 e Dx = Dy = Dz = 0, o sistema é possível e
indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
• Quando D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes é
diferente de zero, o sistema é impossível.
⎛ 2 ⎞
253. (UESC-2005) Se ⎜
a − 4 a − 2
A =
⎟
⎜
⎟
é uma matriz inversível
⎝ c d ⎠
tal que
igual a:
A −A
t
= , sendo A t matriz transposta de A, então c + d é
01) 4 04) – 2
02) 2 05) – 4
03) 1
254. (UESB-2004) O elemento a 23 da matriz A, tal que
⎛1 −1
3⎞
⎛−2
0 1 ⎞
3 A + ⎜
⎟ = ⎜
⎟ , é:
⎝0
2 1⎠
⎝−
1 2 − 2⎠
01) – 3 04) 2
02) – 1
03) 0
05) 3
255. (UNEB-2002) Sendo as matrizes
⎛1
A = ⎜
⎝2
1
1
1⎞
⎟ e
3⎠
= b , b = i − , o determinante da matriz 2 AB é igual a:
( ) j
B ij 3×
2 ij
01) -2 04) 6
02) -1 05) 12
03) 3
256. (UNEB-2006) Considerando-se a matriz
⎛x
+ 1 0
⎜
A = ⎜ 0 1
⎜
⎝ 0 0
e sabendo-se que det A = 4x
, pode-se afirmar que o valor de
1 3
01) 04)
4
2
1
02) 05) 2
2
03) 1
257. (UNEB-2003) Se
⎛ x x + 1⎞
= ⎜
⎟
⎝2x
x ⎠
⎛1
0 1⎞
B = ⎜
⎟ , então a matriz AB é igual a:
⎝2
1 3⎠
⎛ −1
01)
⎜
⎝−
4
⎛1
02)
⎜
⎝4
0 −1⎞
⎟
−1
− 5⎠
0 2 ⎞
⎟
− 3 − 5⎠
03) ⎟ ⎛1
0 1 ⎞
⎜
⎝4
1 − 5⎠
A , ( A)
1
⎛ 1 −4
⎞
⎜ ⎟
04) ⎜ 2 −1⎟
⎜ ⎟
⎝−
1 − 5⎠
⎛1
⎜
05) ⎜0
⎜
⎝2
4 ⎞
⎟
− 3⎟
− 5
⎟
⎠
1 ⎞
⎟
x ⎟
x + 1
⎟
⎠
2
x é:
det = e
258. (UESC-2002) Se a matriz ⎟ ⎛k −1
0⎞
A = ⎜ é tal que A 2 A
⎝ 0 2⎠
2
= ⋅ e
o determinante de A é diferente de zero, então k é igual a:
01) 2 04) 5
02) 3 05) 6
03) 4
28
⎛ m
259. (UESC-2003) Se a matriz A = ⎜
⎝n
− 2
n − 2⎞
⎟ é tal que
0 ⎠
A
e A é uma matriz não nula, então m − n é igual a:
01) 2 04) – 1
02) 1 05) – 2
03) 0
260. (UESC-2006) Se
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A 2 = ,
⎛a1
a2
a3
⎞
⎜
⎟
A = ⎜a4
a5
a6
⎟ é uma matriz tal que
⎜
⎟
⎝a7
a8
a9
⎠
⎛⎛
a
⎜⎜
⎜
⎜⎜
⎝⎝a
a2
⎞
⎟
5 ⎟
a
⎟
8 ⎠
−1
det ( A)
= 3 , então x = det⎜
a a a × A ⎟ + det(
2A)
01) 8 04) 23
02) 9 05) 25
03) 17
1
4
7
a
a
3
6
9
⎞
⎟
⎟
⎠
é igual a:
261. (UESB-2008) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3.
Sendo
igual a:
det A = −2
, det B −8
= e 3( A B)
2C
t
=
01) 52 04) 58
02) 54 05) 59
03) 56
262. (UESB-2006) Sendo
reais, tais que det ( A + B)
= 0 e ( ) 1
é igual a:
⋅ , então detC é
⎛1
A = ⎜
⎝2
x⎞
⎟ e
3⎠
⎛ y
B = ⎜
⎝−
2
0⎞
⎟ matrizes
1⎠
det AB = , pode-se afirmar que xy
01) - 2 04) 4
02) - 1
03) 0
05) 6
263. (UESB-2007) Considerando-se ⎟ ⎛1 A = ⎜
⎝3
−1⎞
,
2 ⎠
⎟ ⎛ 3
B = ⎜
⎝−
1
0⎞
e
5⎠
AX = B , pode-se afirmar que a soma dos elementos de X é igual a:
01) – 1 04) 2
02) 0 05) 3
03) 1
264. (UNEB-2007) Sabendo-se que as funções horárias de dois
corpos que se deslocam em movimentos retilíneos uniformes,
segundo uma mesma trajetória, são definidas matricialmente por
⎛ 2 5⎞
⎛x
⎞ ⎛16⎞
⎜
⎟ ⋅
⎜
⎟ =
⎜
⎟ , pode-se afirmar que esses corpos se
⎝−
3 5⎠
⎝ t ⎠ ⎝ 6 ⎠
encontrarão no instante t igual a:
01) 4,6seg 04) 2,4seg
02) 3,8seg 05) 2,0seg
03) 3,5seg
265. (UNEB-2004) O número de elementos inteiros do conjunto-
⎛2
− x
solução da inequação det ⎜
⎝ −1
2 − x⎞
≥ 0
x ⎟
⎠
01) 0 04) 3
02) 1
03) 2
05) 4
266. (UNEB-2007) Sendo
( ) ⎟⎟
⎛log4
x 2 ⎞
M = ⎜
uma matriz não
2
⎝ 2 log2
x ⎠
inversível, pode-se afirmar que a soma dos termos de sua diagonal
principal é igual,em módulo,a:
01) 7 04) 4
02) 6 05) 3
03) 5
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267. (UNEB-2005) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2,
⎛ 1 senx⎞
em que A = ⎜
⎟ e det(AB)=1, então det(2B) é
⎝senx
1 ⎠
01) 2cos 2 x
02) 4cos 2 x
03) 2sec 2 x
04) 4sec 2 x
05) 2-4cos 2 x
268. (UESB-2005) Existe um inteiro positivo n para o qual a matriz
⎛n!
3n⎞
⎜
⎟ é não inversível.
⎝ 2 1 ⎠
Com base nessa informação, pode-se afirmar que n é:
01) um número primo maior que 3.
02) um número quadrado perfeito.
03) múltiplo de 3.
04) divisor de 6.
05) igual a 1.
269. (UESC-2007) Os valores de x para os quais
0 x x 1
x
x
1
0
1
x
1
0
x
x
> − 3 tais que:
x
0
1 1
01) − < x <
2 2
04) x < −2
ou x > 2
1
02) x >
2
03) − 1 < x < 1
1 1
05) x < − ou x >
2 2
270. (UNEB-2002) Uma loja de discos classificou seus CDs em três
tipos, A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro
consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:
• primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C,
gastando R$ 121,00.
• segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$
112,00.
• O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R$
79,00.
• O quarto comprou um CD de cada tipo.
Com base nessa informação, o valor gasto, em reais, pelo quarto
consumidor, na compra dos CDs, foi igual a:
01) 48,00 04) 63,00
02) 54,00 05) 72,00
03) 57,00
271. (UNEB-2008) Numa feira de trocas de livros usados, os livros
foram divididos em três categorias: livros didáticos (D), livros de
ficção (F) e livros de não-ficção (N). Além disso, estabeleceu-se uma
regra, segundo a qual um pacote composto por 2F e 2N valia 1D e,
também com 1D e 1N valia 3F. Seguindo-se essa regra de troca,
pode-se concluir que um pacote composto por 1D e 1F valia
01) 11N 04) 5N
02) 8N 05) 4N
03) 7N
272. (UESC-2008) Em uma lanchonete, 1 empada, 2 refrigerantes e
3 bombons custam, juntos, R$ 10,00. Sabendo-se que 2 empadas, 5
refrigerantes e 8 bombons custam, juntos, R$ 24,50, então 1
refrigerante e 2 bombons custam, juntos, em reais,
01) 3,00 04) 5,50
02) 3,50 05) 6,00
03) 4,50
29
273. (UESC-2009) Quando lhe perguntei o preço de um chiclete, o
vendedor me respondeu:
• 1 bala, 2 chicletes e 4 sacos de pipoca, juntos, custam R$4,00.
• 2 balas, 4 chicletes e 8 sacos de pipoca custam R$8,00.
• 3 balas, 6 chicletes e 12 sacos de pipoca custam R$11,00.
Com essas informações,
01) não posso determinar o preço do chiclete pois são informações
incompatíveis entre si.
02) não posso determinar o preço exato do chiclete, pois há infinitas
possibilidades.
03) posso concluir que o chiclete custa R$0,50.
04) posso concluir que o chiclete custa R$0,30.
05) posso concluir que o chiclete custa R$0,25.
⎧3x
− y + z = 0
⎪
274. (UESB-2008) Sobre a solução do sistema ⎨5z
+ 2y
− 2z
= 0 ,
⎪
⎩3x
+ 2y
− 12z
= 0
pode-se afirmar que é:
01) compatível 04) indeterminado
02) compatível e determinado 05) incompatível
03) compatível e indeterminado
275. (UESC-2007) O sistema
⎧ax
− 2y
= 1
⎨
⎩bx
+ 4y
= 5
determinada se, e somente se,
b
01) a =
2
b
04) a = −
2
b
02) a ≠ −
2
b
03) a ≠
2
05) a = 2b
tem solução
276. (UESB-2009) O número de subconjuntos do conjunto
⎪⎧
⎛ 11 ⎞ ⎛11⎞⎪⎫
C = ⎨ x ∈R
/ = ⎬
⎪⎩
⎜
⎟
⎜
⎟ que contém apenas dois elementos é:
2
⎝x
−1⎠
⎝ 3 ⎠⎪⎭
01) 2 04) 8
02) 4 05) 10
03) 6
GABARITO
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
253. 01 254. 02 255. 05 256. 03 257. 01 258. 02
259. 04 260. 04 261. 02 262. 01 263. 03 264. 04
265. 05 266. 03 267. 04 268. 02 269. 03 270. 04
271. 01 272. 03 273. 01 274. 02 275. 02 276. 03
Trigonometria
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Aplicação do Teorema de Pitágoras
2 2 2
a =
b + c
a = m + n
2
h = m ⋅ n
2
c = m ⋅ a
2
b = n ⋅ a
a ⋅ h = b ⋅ c
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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Para resolver um triângulo qualquer, podemos usar o teorema dos
senos ou o teorema do cosseno.
• Lei dos Senos
Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno
do ângulo oposto a este lado é constante e o valor desta constante é
a medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
• Lei dos Cossenos
O quadrado da medida de um lado de um triângulo e igual a soma
dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas
vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo
formado por:
Teorema da Área
2 2 2
a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
A área de um triângulo é igual a um meio do produto dos
comprimentos de dois de seus lados pelo seno da medida
do ângulo que formam.
Circunferência Trigonométrica
AC b medida do cateto oposto a α
sen α = = =
BC a medida da hipotenuza
AB
cos α =
BC
=
c medida do cateto adjacente a α
=
a medida da hipotenuza
AC b medida do cateto oposto a α
tg α = = =
BC c medida do cateto adjacente a α
a
sen A
Uma circunferência mede 360º ou 2π radianos. Assim, por meio de
uma regra de três simples, podemos converter medidas de graus em
radianos e de radianos em graus.
=
b
sen B
=
c
senC
= 2R
30
π
Para transformar de grau para radiano multiplica-se por o
180
Para transformar de radiano para graus – substitui π por 180º
Função Seno
Gráfico da função seno
Quadro resumo da função seno
1º) Função seno é a função de R em R definida por f(x) = sen x
2º) A função seno tem D = R e Im = [–1, 1].
3º) A função seno não é injetiva nem sobrejetiva.
4º) A função seno é função impar, isto é, sen x = – sen
(–x), ∀ x ∈ R
5º) A função seno é periódica de período p = 2π.
Função Cosseno
Gráfico da função cosseno
Quadro resumo da função cosseno
1º) Função seno é a função de R em R definida por f(x) = cos x
2º) A função cosseno tem D = R e Im = [–1, 1].
3º) A função cosseno não é injetiva nem sobrejetiva.
4º) A função cosseno é função par, isto é, cos x = cos (–x), ∀ x ∈ R
5º) A função seno é periódica de período p = 2π.
Função Tangente
x tg x
0 0
π
∃
2
π 0
3π
∃
2
2 π 0
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Gráfico da função tangente
Redução ao 1º quadrante
Outras funções Trigonométricas:
definições
Operações com arcos:
I.
II.
III.
IV .
V.
sen
sen
cos
tg
( α + β)
=
( α − β)
( α + β)
( α + β)
cos
2 2
( sen α + cos α = 1)
2 2
( 1+
tg α = sec α )
2
2
( 1 + cot g α = cos sec α)
:
cot gα
=
1
tgα
cos α
= , para
sen
sen α ≠ 0
1
sec α = , para cos α ≠ 0
cos α
1
cos sec α = , para sen α ≠ 0
sen α
sen α ⋅ cos
= sen α ⋅ cos
= cos
= cos
α ⋅
α ⋅
cos
cos
tg α + tg β
1 − tg α ⋅ tg β
β +
β −
β −
sen β ⋅ cos α
β +
⎛ π ⎞
sen⎜
± α⎟
= ± cos α
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞
cos⎜
± α⎟
= ± senα
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞
tg⎜
± α⎟
= ± cot gα
⎝ 2 ⎠
sen β ⋅ cos α
2º quadrante:
sen π − x = senx
sen α ⋅ cos β
sen α ⋅ cos β
( )
( π − x)
= −
( π − x)
= −tgx
cos
( α + β)
=
VI.
tg(
α − β)
tg
cos x
3º quadrante:
sen x − π = −senx
tg
( )
( x − π)
= −
( x − π)
= tgx
cos
cos x
4º quadrante:
sen 2π
− x = −senx
tg
( )
( 2π
− x)
=
( 2π
− x)
= tgx
cos
cos x
⎛ π ⎞
sec⎜
± α⎟
= ± cos sec α
⎝ 2 ⎠
tg α − tg β
=
1 + tg α ⋅ tg β
31
Arco metade :
α 1−
cos α
sen = ±
2 2
α 1+
cos α
cos = ±
2 2
α 1 − cos α
tg = ±
2 1+
cos α
ArcoDuplo
sen2α
= 2 ⋅ senα
⋅ cos α
2 2
cos 2α
= cos α − sen α
2 ⋅ tgα
tg2α
=
2
1 − tg α
277. (UEFS-03.2) Os ponteiros de um relógio medem,
respectivamente, 3cm e 5cm. A distância entre suas extremidades,
quando o relógio estiver marcando 4 horas, mede, em cm,
a) 5,3 d) 6,5
b) 5,8 e) 7,0
c) 6,3
278. (UNEB-2008) Sendo A = tg30º
, B = sec 45º
e C = sen60º
, é
verdade que:
01) A < B < C 04) B < C < A
02) A < C < B 05) C < B < A
03) B < A < C
⎛ 5π
⎞
⎛ 5π
⎞
279. (UEFS-06.2) Sendo M = sen⎜
⎟ , N = cos⎜
⎟ e
⎝ 6 ⎠
⎝ 6 ⎠
⎛ 5π
⎞
P = tg ⎜ ⎟ é verdade que:
⎝ 6 ⎠
a) M < N < P d) P < M < N
b) N < M < P e) P < N < M
c) N < P < M
280. (UEFS-07.1) Se 3cos( x)
sen(
x)
= −1
valor real do sen(x) é:
a) – 1
3
d)
5
4
b) −
5
3
c) −
5
4
e)
5
281. (UESB-2009) Se
valor de
4cos
2x
7
é igual a:
π
+ com < x < π então o
2
sen x + cos x =
1
e
2
01) 1 04)
−
1
2
02)
1
05) − 1
2
03) 0
α + β α − β
I.
sen α
+ sen β = 2 ⋅ sen ⋅ cos
2 2
α − β α + β
II.
sen α − sen β = 2 ⋅ sen ⋅ cos
2 2
α + β α − β
III.
cos α + cos β = 2 ⋅ cos ⋅ cos
2 2
α + β α − β
IV.
cos α + cos β = −2
⋅ sen ⋅ sen
2 2
x ∈
⎡ π π ⎤
⎢⎣
,
2 4 ⎥⎦
,então o
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282. (UEFS-08.1) Sendo
( 2x)
sen é igual a:
2 3
cos x sen x =
3
1
2
a) − d)
3
3
b)
3
3
− e)
3
2
3
c)
3
− , ∈ [ 0,
2π]
x , então
283. (UNEB-2009) Considerando-se sen α + cos α = m e
sen α ⋅ cos α =
n
, pode-se afirmar que o valor de 2m − n é igual a:
4
01) 2 04) – 2
02) 1 05) – 3
03) 0
284. (UNEB-2009) Se
igual a:
01) 1 04)
arc sen x =
π
, então cos ( 2arc
sen x)
é
3
−
1
2
1− 3
02) 0 05)
4
03) 1− 3
285. (UEFS-08.2) Sendo
⎧
⎛ x ⎞ ⎫ ⎪⎧
2 ⎪⎫
M = ⎨ x;
x ∈[
0,
2π]
e2sen⎜
⎟ > 1⎬
e M = ⎨ x;
x ∈[
0,
2π]
ecos(
x)
≥ ⎬ ,
⎩
⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎪⎩
2 ⎪⎭
o conjunto M ∩ N é:
a) vazio.
b) finito, contendo um único elemento.
c) finito, contendo um dois elementos.
d) finito, contendo quatro elementos.
e) infinito.
286. (UESB-2008) Considere a equação cos x − 1 = 3 senx , para
[ 0,
π ]
x ∈ 2 . A soma das raízes dessa equação é igual a:
01) 8π 04) 5π
02) 7π
03) 6π
05) 4π
5
287. (UEFS-07.2) Os valores máximo e mínimo de Q =
3 − 2 cos θ
são soluções da equação:
a) x 6x
5 0
2
− + =
d) x 6x
5 0
2
+ + =
b) x 5x
6 0
2
+ − =
e) x 5x
6 0
2
+ + =
c) x 5x
6 0
2
− + =
288. (UEFS-09.1) Sendo x um arco do 2º quadrante, tal que
sen x =
1
, pode-se afirmar que o valor de A =
3
valor de:
2tg
x é igual ao
a)
2
sen
3
π 5
d) cos
6
π
2
b) cos
3
π
5
c) sen
6
π
e)
4
sen
3
π
32
289. (UEFS-09.1) O conjunto-imagem da função real
( x)
− 3 + cos(
2x)
1
f = + é:
a) [ 1 , 2 ]
d) [ 3,
4 ]
b) [ 2 , 3 ]
c) [ 2 , 4 ]
e) [ 3 , 5 ]
290. (UESC-2005)
Deseja-se construir uma escada, conforme indicado na figura, tendo
comprimento igual a 10m, com degraus de mesmo tamanho, tal que
a largura do degrau não seja menor que 30cm e também não
exceda a 40cm. Nessas condições, o número, x, de degraus que a
escada deve ter é tal que
01) 15 < x ≤ 20 04) 35 < x ≤ 45
02) 20 < x ≤ 30 05) 45 < x ≤ 50
03) 30 < x ≤ 35
291. (UNEB-2006)
Se, no triângulo ABC, representado na figura, a altura relativa à
base AB mede 4u.c., então o lado AB mede, em u.c.,
⎛ ⎞
⋅ 04) ⎜
3
4 ⋅ 1+
⎟
⎜ ⎟
⎝
3
⎠
01) 4 ( 1+
3 3 )
02) 4 ( 1+
2 3 )
03) 4 ⋅ ( 1+
3 )
⋅ 05) 4 ⋅
292. (UESB-2007) A figura mostra uma rampa de 50 metros de
comprimento que forma com o plano vertical um ângulo de 60°.
Uma pessoa sobe a rampa inteira e eleva-se x metros. Com base
nessas informações, pode-se concluir que o valor de x é igual a:
01) 15 04) 25 3
02) 20
03) 25
05) 30 3
293. (UEFS-07.2) Um operário apóia uma extremidade de uma
escada de 4m de comprimento em uma parede vertical e a outra
extremidade em um ponto P de um piso plano e horizontal, formando
um ângulo α = 30º entre a escada e a parede.
Ao subir na escada, esta escorregou ao longo da parede vertical,
tendo a sua extremidade inferior se afastado 0,5m, passando a
formar, com a parede, um ângulo cujo co-seno é igual a:
5 3 2
a) d)
8
8
39 5 2
b) e)
8
8
5
c)
39
50m
60º
.
x
3
3
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294. (UESB-2008) A verticalização da orla de Salvador prevista
pelo Plano Diretor de Desenvolvimento Urbano – PDDU – tem
preocupado especialistas que alertam para possíveis impactos,
como barreiras aos ventos, sombreamento das praias, formação de
ilhas de calor, entre outros. A ilustração mostra os ângulos que vão
determinar a altura dos prédios e chama a atenção para a
necessidade de mantê-los devidamente afastados. Essas medidas,
na opinião de especialistas, podem contribuir para minimizar os
impactos da verticalização.
Considerando-se cada andar com 2,5m de altura, sen38º=0,6 e
cos38º=0,8, no instante mostrado na figura, o comprimento da
sombra projetada por um prédio de 15 andares localizado entre o
Farol da Barra e Amaralina será, em metros, igual a:
01) 60,0 04) 37,5
02) 50,0 05) 28,0
03) 45,0
295. (UEFS-08.2) O origami é uma técnica japonesa de dobradura
de papéis através da qual se pode obter objetos de inúmeras formas.
Para se construir um pássaro através dessa técnica, usou-se uma
folha de papel, quadrada, com 2dm de lado, representada na
figura 1.
O primeiro passo foi dobrar o papel, fazendo os lados DA e DC do
quadrado coincidirem com o segmento DG sobre a diagonal DB
desse quadrado, obtendo-se um quadrilátero DEBF, representado na
figura 2. A área do quadrilátero DESF, em dm 2 mede:
a) 4 2 − 4
d) 1+ 2
b) 8 − 4 2
e) 2 + 4 2
c) 2 2
33
296. (UESB-2007) O triângulo da figura tem a forma de um terreno
que vai ser dividido em dois, por uma cerca que parte do ponto A e
desce perpendicularmente ao lado BC.
30 m
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a área do
terreno menor, em m 2 B C
, é igual a:
01) 576 04) 216
02) 432 05) 162
03) 324
297. (UESC-2004)
12 3
Se o triângulo ABC é tal que tg ( A)
= , tg ( B)
= e AB = 21u.
c.
,
5 4
então sua área mede, em u.a.,
01) 189 04) 126
02) 168 05) 105
03) 147
298. (UEFS-07.2)
Em uma praça retangular ABCD, no ponto médio de AB, é colocado
perpendicularmente a AB, um poste de iluminação, LM, de 4m de
altura. Considerando-se 11 = 3,
3 , pode-se afirmar que a distância
da lâmpada L ao vértice C da praça mede, em metros,
aproximadamente:
a) 18 d) 14
b) 17 e) 13
c) 16
299. (UESB-2006)
Uma folha de papel quadrado de lado 12cm é dobrada de modo que
o seu vértice D fique sobre o lado AB, sendo Q a nova posição do
vértice D, conforme a figura. Sabendo-se que o ângulo θ mede 30º,
pode-se concluir que o segmento AQ, mede, em cm,
01) 5 04) 4 3
02) 3
03) 6
2
05) 7
A
40 m
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300. (UESB-2005)
304. (UEFS-07.1) O valor de sen( 1120º
) − cos(
610º
) é:
Na figura, está representada uma escada AB, de comprimento c,
apoiada em um muro. Considerando-se essa informação, pode-se
concluir que o valor de c é igual, em metros, a
01)
02)
3 10
5
4 10
5
4 5
03)
3
301. (UEFS-05.1)
5 5
04)
4
05)
3 10
2
Na figura, os três triângulos ABD, ACF e AEH são eqüiláteros. Se o
segmento AB mede 6u.c., então o segmento AH mede, em u.c.,
9
a) 3 3
d)
4
9 3
b) e)
2
2
5 3
c)
2
302. (UNEB-2002)
Na figura, o valor senα é igual a:
1 1
01) 04)
2
5
1
02) 05)
2
1
03)
3
1
2 5
303. (UESB-2006) Sabendo-se que 0 ≤ x ≤ π , pode-se afirmar que
o menor valor que a função f ( x)
cos(
2x)
+ 2 cos(
x)
+ 1
assumir é:
1
01) – 2 04)
2
1
02) −
2
03) 0
05) 1
= pode
34
a) cos 10º d) cos 20º
b) sen 10º e) sen 20º
c) sen -10º
305. (UEFS-05.1)
Uma pessoa corre em uma planície, com velocidade de 350m/min,
em direção a um penhasco. Em determinado ponto, avista o cume
do penhasco sob um ângulo de 30º e, após correr durante 4
minutos, o avista sob um ângulo de 45º. Com base nesses dados,
pode-se concluir que a altura do penhasco, em metros, é
aproximadamente, igual a:
a) 1200 d) 2200
b) 1500 e) 2400
c) 2000
306. (UEFS-05.2)
Um garoto que mede 1 m da altura mira de um ponto, em uma rua
plana, o topo de um poste, situado no mesmo terreno, sob um
ângulo a = 45°. Um outro garoto, que tem 1,3m de altura,
colocando-se no mesmo lugar do primeiro, mira o topo do poste sob
um ângulo cuja tangente é igual a 0,9. Com base nessas
informações, pode-se afirmar que o poste mede, em m,
a) 2,3 d) 3,7
b) 2,7 e) 4,0
c) 3,0
307. (UESC-2007)
Considerando-se a representação gráfica da função
f( x)
= b ⋅ cos(
mx)
, na figura, com 0 < x < π , pode-se afirmar que os
valores de b e de m são, respectivamente,
01) 3 e -3 04) -2 e 3
02) 3 e -2 05) 2 e 3
03) 3 e 0,5
308. (UEFS-06.1) A expressão trigonométrica
π
para 0 < x < , é equivalente a:
2
cos
cos
( 3x)
( x)
a) -2 d) cos( x)
− sen(
x)
b) 0 e) cos( 2x)
− sen(
2x)
c) 2
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( 3x)
( x)
sen
− ,
sen
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309. (UEFS-05.1) A função real f ( x)
= tg(
x)
+ cot g(
x)
é equivalente à
Questões 316 e 317
função:
a) g(x) = cossecx d) g(x) = sec(2x)
b) g(x) = cossecx + 2secx e) g(x) = 2cossec(2x)
c) g(x) = cossec(2x)
310. (UEFS-04.2) Considere às funções reais f e g definidas por
3
f(
x)
= −x
+ x e
fog ( x)
é:
( x)
cos x
g = . Assim sendo, pode-se afirmar que
a) sen cos x
2 3
⋅ d) senx − senx
3 3
b) cos(
− x + x)
e) sen(
− x + x)
2
c) senx ⋅ cos x
311. (UESB-2005) O número de soluções da equação
4 ⋅ 1−
sen2x
⋅ sec 2x
−1
= , no intervalo [0,2π], é igual a:
( ) ( ) 1
01) 0 04) 3
02) 1 05) 4
03) 2
312. (UESC-2007) O conjunto-solução da equação
sen ( x)
= sen ( 4x)
, no intervalo 0 < x < π , possui número de
elementos igual a:
01) 1 04) 4
02) 2 05) 5
03) 3
1+
tgx
313. (UESB-2003) Se x e y são números reais tais que y =
1−
tgx
então y 2 é igual a:
a) -cossecx
1+
sen2x
d)
1−
sen2x
b) sec2x
1+
cos x
c)
1−
cos x
1−
sen2x
e)
1+
sen2x
314. (UNEB-2004) Se ( senx cox)
− y ⋅sen2x
= 1
igual a:
01) –2 04) 1
02) –1 05) 2
03) 0
315. (UNEB-2003)
2
− , ∀x∈R então y é
A partir da análise do triângulo retângulo representado, pode-se
⎛ π ⎞
sen(
2π
− α)
+ cos⎜
+ α⎟
afirmar que o valor da expressão
⎝ 2 ⎠
é
2
10 ⋅ sen β − cos2α
igual a:
01) 10 04) −
10
02) 05)
2
10
03)
5
−
( )
10
5
10
10
35
⎛ x π ⎞
Considere-se a função real f ( x)
= 2 + 3 ⋅ sen⎜
+ ⎟ .
⎝ 3 2 ⎠
316. (UEFS-03.1) O conjunto-imagem de f é:
a) [-1,1] d) [-2,2]
b) [1,3] e) [2,3]
c) [-1,5]
317. (UEFS-03.1) Sobre f, pode-se afirmar que é uma função:
a) par e periódica de período 3π.
b) par e periódica de período 6π.
c) ímpar e periódica de período 4π.
d) ímpar e periódica, de período π/3.
e) não par e não ímpar.
318. (UEFS-08.2) Na figura, M é o ponto médio da hipotenusa PR
do triângulo retângulo PQR.
Sendo a medida do ângulo QRP igual a 27°, pode-se afirmar que a
medida do ângulo α = QMP , em radianos, é um valor pertencente
ao intervalo:
⎡ π π ⎡
a) ⎢ , ⎢
⎣ 12 6 ⎣
⎡ π π ⎡
b) ⎢ , ⎢
⎣ 6 4 ⎣
⎡ π π ⎡
c) ⎢ , ⎢
⎣ 4 3 ⎣
GABARITO
TRIGONOMETRIA
⎡ π 5π
⎡
d) ⎢ , ⎢
⎣ 3 12 ⎣
⎡ 5π
π ⎡
e) ⎢ , ⎢
⎣ 12 2 ⎣
277. E 278. 02 279. C 280. E 281. 05 282. A
283. 01 284. 04 285. A 286. 05 287. A 288. B
289. E 290. 02 291. 04 292. 03 293. B 294. 02
295. B 296. 04 297. 04 298. E 299. 04 300. 02
301. B 302. 04 303. 02 304. A 305. C 306. E
307. 02 308. A 309. E 310. A 311. 05 312. 03
313. D 314. 03 315. 04 316. C 317. B 318. C
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Analise Combinatória, Probabilidade
Fatorial de um número natural
Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!)
através das relações:
i)
n!
= n ⋅ n − 1 ⋅ n − 2 ⋅...
⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
para n ≥ 2
ii)
Se n
iii)
Se n
( ) ( )
= 1,
1!
= 1
=
0,
0!
= 1
Coeficientes Binomiais. Dados dois números naturais, n e p, com
n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por
⎛n
⎞
⎛n⎞
n!
⎜
⎟ o número
⎝p
⎜
⎠
p ⎟ =
⎝ ⎠ p!
⋅ ( n − p)!
Casos Particulares
⎛n⎞
n!
• Quando p = 0, temos
⎜ = 1,
∀n
∈ N
0 ⎟ =
⎝ ⎠ 0!
⋅n!
⎛n⎞
• Quando p = 1, temos
⎜ =
1 ⎟
⎝ ⎠ 1!
⋅
n!
( n − 1)
!
n
=
⎛n⎞
n!
• Quando p = n, temos
⎜ = 1,
∀n
∈ N
n ⎟ =
⎝ ⎠ n!
⋅0!
⋅ ( n − 1)
!
( n − 1)
!
Binomiais Complementares
= n,
∀n
∈ N
Dizemos que dois coeficientes de mesmo numerador são
complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao
⎛n⎞
⎛n
⎞
numerador, isto é:
⎜
⎟ e ⎜
⎟ são complementares se p + q = n
⎝p
⎠ ⎝q⎠
Principio Fundamental da Contagem
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas
sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de n maneiras distintas.
Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada
de m maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se
efetuar a ação completa é dado por n x m.
Arranjos
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos
n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k
elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
1ª
etapa
n
2ª
etapa
n − 1
3ª
etapa
n − 2
4ª
etapa
n −
( k − 1)
Permutação
An, k
n!
= n ≥ k
( n − k)!
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação
dos n elementos a todo arranjo desse n elementos tomados n a n. O
número total de permutações de n elementos, indicados por Pn, é
dado por:
n!
n!
Pn = An,
n = = = n!
( n − n)!
0!
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois,
dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos
exatamente n elementos para formar a seqüência ordenada.
Combinação
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se
combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer
subconjunto de A formado por k elementos.
C
n,
k
A
=
P
n,
k
k
n!
= , n ≥ k
k ! ⋅(
n − k)
!
36
Probabilidade
Experimento Aleatório – Todo experimento que, repetido em
condições idênticas, pode apresentar diferentes resultados. A
variabilidade de resultados deve-se ao acaso.
Ex: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, etc.
Espaço Amostral – Conjunto de todos os possíveis resultados de
experimento aleatório, é indicado por Ω “ômega”. O número de
elementos de um espaço amostral indicaremos por n(Ω).
Evento – Qualquer subconjunto de Ω.
Obs: Quando E = Ω, o evento é dito certo e, quando E = ∅, temos o
evento impossível.
Probabilidade em Espaço Amostrais
n
( )
( E)
nº
de casos favoráveis
p E = =
n(
Ω)
nª
de casos possíveis
Probabilidade da União de dois eventos
( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
A ∩ B)
ou P(
A ∪ B)
= P(
A)
P(
B)
P +
319. (UEFS-08.2) Uma loja dispõe de papéis de diversas cores e
fitas nas mesmas cores dos papéis, a serem utilizados na
embalagem dos itens para presentes adquiridos por seus clientes.
Se, em um determinado dia, foram vendidos 42 desses itens e não
se usou, em embalagem alguma, papel e fita de mesma cor, pode-se
afirmar que a loja dispunha de papéis e de fitas de, pelo menos, n
cores distintas. O valor de n é:
a) 6 d) 14
b) 7 e) 21
c) 9
320. (UNEB-2009) Sobre uma circunferência, foram marcados 5
pontos distintos.
Com base na informação, pode-se concluir que o número de
triângulos que podem ser formados, tendo esses pontos como
vértices, é igual a:
01) 8 04) 11
02) 9 05) 12
03) 10
321. (UESC-2009) Entre 7 rapazes e 8 moças,o número modos
para selecionar 2 pares, cada par composto por um rapaz e uma
moça, para uma quadrilha, é:
01) 2688 04) 672
02) 2150 05) 588
03) 1176
322. (UEFS-08.2) Para garantir a segurança de seus moradores, a
administração de um condomínio pensou em contratar vigilantes
para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido
aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo
que um deles deve ficar na guarita próxima à entrada do condomínio
e que, nos demais postos, deve ficar, no máximo, um vigilante.
Nessas condições, o número de máximo de maneiras distintas para
distribuir os vigilantes é:
a) 24 d) 96
b) 58 e) 120
c) 72
323. (UNEB-2009) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças
e 4 rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de modo
que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças
sentadas uma ao lado da outra, é igual a:
01) 256 04) 1152
02) 380 05) 2304
03) 576
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324. (UESB-2008) Um homem leva, no bolso, 12 moedas, sendo
sete de R$0,50 e cinco de R$1,00. Para dar gorjeta a um garoto,
retira, ao acaso, duas moedas. A probabilidade, em percentual, de
serem pegas uma moeda de cada valor é igual a:
01) 53,0 04) 21,0
02) 45,3 05) 15,1
03) 31,8
325. (UESC-2008) O número de modos para se formar uma fila com
8 casais de namorados, de forma que cada namorada fique junto de
seu namorado e que as pessoas do mesmo sexo não fiquem
juntas, é:
01) 2.8! 04) 2 8 .8!
02) 16! 05) 2 8
03) 8!
326. (UESC-2008) Entre os 7 funcionários de uma firma de
segurança, o número de modos que se pode formar uma equipe que
contenha, no mínimo, 2 pessoas é:
01) 24 04) 121
02) 31 05) 128
03) 120
327. (UESC-2008) Cem urnas são numeradas de 1 a 100 e, dentro
de cada uma delas, coloca-se um número de bolas igual à sua
numeração.
O número total de bolas contidas em cada uma das urnas que possui
numeração par e divisível por 3 é igual a:
01) 948 04) 765
02) 912 05) 612
03) 816
328. (UNEB-2008) Jogando dois dados, não vinculados,
simultaneamente, X aposta que consegue obter uma somas de
pontos igual ou inferior a 6, enquanto Y aposta que consegue obter
uma soma de pontos igual ou superior a 8.
Quanto à essa aposta, pode-se afirmar:
01) X tem o dobro de chances de vitória do que Y.
02) Y tem o dobro de chances de vitória do que X.
03) X tem mais 1/3 de chances de vitória do que Y.
04) Y tem mais 1/3 de chances de vitória do que X.
05) X e Y têm as mesmas chances de vitória.
329. (UEFS-07.2) Três estudantes chegaram juntos a uma cidade
para participar de um congresso e, não tendo reservas com
antecedência, constataram que, em cada um dos quatro hotéis da
cidade, existem, apenas, duas vagas disponíveis.
Sabendo-se que os três não poderão ficar juntos num mesmo hotel,
pode-se afirmar que o número máximo de opções de hospedagem
de que dispões é igual a:
a) 14 d) 60
b) 24 e) 120
c) 36
330. (UESC-2007) Em um grupo de 15 professores, existem 7 de
Matemática, 5 de Física e 3 de Química. O número máximo de
comissões que se pode formar com 5 professores, cada uma delas
constituída por 2 professores de Matemática, 2 de Física e 1 de
Química, é igual a:
01) 34 04) 630
02) 65 05) 2520
03) 120
331. (UESB-2006) O número máximo de anagramas da palavra
UESB que não apresenta duas vogais juntas é:
01) 6 04) 18
02) 8 05) 24
03) 12
37
332. (UEFS-09.1) O número de anagramas da palavra PROVA que
não apresenta as duas vogais juntas é
a) 24 d) 60
b) 36 e) 72
c) 48
333. (UEFS-06.1) Se todos os anagramas obtidos através das
permutações das cinco letras da sigla UEFS forem ordenados como
em um dicionário, a sigla que ocupará a 17ª posição será:
a) FSUE d) UEFS
b) SEUF e) UFES
c) SUEF
334. (UESC-2005) Seis pessoas formam uma fila indiana para
percorrer uma trilha em uma floresta. Se uma delas é medrosa e não
quer ser nem a primeira nem a última da fila, então o número de
modos de que essa fila pode ser formada é:
01) 120 04) 720
02) 480 05) 930
03) 600
335. (UESB-2003) De um grupo de 8 pessoas, deve-se escolher 4
para formar uma comissão. Quantas comissões distintas podem ser
formadas:
a) 1680 d) 140
b) 830 e) 70
c) 520
336. (UEFS-07.1) Em uma estante, devem-se arrumar 9 livros, dos
quais 5 são de Matemática. A quantidade máxima de maneiras que
se pode colocar, em ordem, tais livros na estante, de modo que os
livros de Matemática fiquem sempre juntos, é:
a) 4! 4! d) 5! 5!
b) 5! 4! e) 14!
c) 4! 5!
337. (UESC-2004) As senhas de acessos dos usuários de uma
INTRANET (rede interna de computadores) são da forma:
sendo x a inicial do nome do usuário; m, m+1, m+2 e n, dígitos
escolhidos dentre 0, 1, 2,..., 9, sem repetição. Com base nessas
informações, conclui-se que o número máximo de testes que será
preciso fazer para descobrir a senha da usuária Maria é:
01) 2340 04) 63
02) 90 05) 56
03) 1456
338. (UNEB-2002) Um empresário, visando proteger o sistema de
segurança de sua firma, deseja criar senhas constituídas de
seqüências de quatro dígitos distintos, sendo os dois primeiros
vogais e os dois últimos algarismos. O número de senhas distintas,
do tipo descrito, que podem ser formadas é igual a:
01) 180 04) 1600
02) 200 05) 1800
03) 800
339. (UEFS-04.2) Para elaborar uma prova com dez questões, um
professor deve incluir, pelo menos, uma questão relativa a cada um
dos oito tópicos estudados e não repetir mais do que dois deles na
mesma prova. Nessas condições, o número máximo de escolhas dos
tópicos que serão repetidos para a elaboração de provas distintas é .
a) 16 d) 48
b) 28 e) 56
c) 36
340. (UESC-2007) No conjunto { x N;
7 ≤ x ≤ 1006 }
∈ , um número é
sorteado ao acaso. A probabilidade de o número ser divisível por 5,
dado que é par, é igual a:
01) 0,25 04) 0,10
02) 0,20 05) 0,05
03) 0,15
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341. (UESC-2005) No conjunto A = { x ∈ N,
1 ≤ x ≤ 25}
, pode-se
escolher dois números distintos, tais que a sua soma seja um
número par.
Nessas condições, o número de modos de que essa escolha pode
ser feita é igual a:
01) 300 04) 144
02) 169 05) 132
03) 156
342. (UNEB-2005) Colocando-se em ordem crescente todos os
números inteiros de cinco algarismos distintos formados com os
elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7}, a posição do número 62754 é:
01) 56º 04) 87º
02) 64º 05) 91º
03) 78º
343. (UEFS-02.2) A diretoria de uma Empresa é constituída por seis
brasileiros e por três japoneses.
Nessa diretoria, o número de comissões que podem ser formadas
com três brasileiros e dois japoneses é igual a:
a) 120 d) 54
b) 108 e) 30
c) 60
344. (UEFS-01.1) Para elaborar uma prova, pretende-se criar uma
comissão entre os 7 professores de Matemática de uma escola. O
número de possibilidades para formar essa comissão, de modo que
ela contenha, pelo menos, dois professores, é igual a:
a) 42 d) 150
b) 120 e) 210
c) 128
345. (UEFS-05.1) Uma garota possui n amigas e quer escolher
entre elas, n - 2 pessoas para participar de uma promoção de
aparelhos celulares. Sabendo-se que existem 36 maneiras de fazer
essa escolha, conclui-se que o número de amigas da garota é:
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
346. (UEFS-06.2) A figura ilustra um bloco de um código de barras,
utilizado por uma empresa para cadastrar os preços dos produtos
que comercializa.
Cada bloco é formado por 12 barras verticais separadas por 11
espaços podendo ser usadas barras de três larguras distintas e
espaços de duas larguras distintas. Nessas condições, o número
máximo de preços que podem ser cadastrados através desse
sistema é:
a) 3 12 .2 11 d) 3+6 11
b) 12 3 .11 2 e) 3 12 +6 11
c) 12 3 +11 2
347. (UESB-2007) A Câmara Municipal de um pequeno município
tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apóiam o prefeito e os
demais são da oposição. Uma comissão constituída de 3 vereadores
da situação e 4 da oposição será escolhida.Com base nessas
informações, pode-se afirmar que o número de comissões distintas
do tipo descrito é igual a:
01) 5 04) 140
02) 56 05) 280
03) 120
38
348. (UEFS-01.1) A quantidade de números inteiros x, formados
pelos algarismos 0, 1, 3, 4, 5, sem repeti-los, tais que 100 < x < 1000
e, x é múltiplo de 5, é igual:
a) 21 d) 120
b) 24 e) 125
c) 40
349. (UESB-2007) Num grupo de 55 pessoas da zona rural, 11
estão contaminadas com o vírus A e 27 com o vírus B. Não foi
registrado nenhum caso de contaminação conjunta dos vírus A e B.
Duas pessoas desse grupo são escolhidas aleatoriamente, uma
após a outra. Considerando-se que a probabilidade da primeira
pessoa estar com o vírus A e a segunda com vírus B é de x%, é
correto afirmar que o valor de x é igual a:
01) 7 04) 20
02) 10 05) 50
03) 15
350. (UEFS-04.1) Uma senha deve ser formada, escolhendo-se 4
algarismos de 0 a 9, sem que haja algarismos repetidos.
Portanto, o número máximo de senhas que satisfazem a essa
condição é
a) 840 d) 5040
b) 1210 e) 6100
c) 3420
351. (UEFS-07.1) Em uma concessionária, certo modelo de
automóvel pode ser encontrado em seis cores, com quatro itens
opcionais diferentes. O número de escolhas distintas, com um item
opcional, pelo menos, que uma pessoa tem, ao comprar um
automóvel desse modelo, nessa concessionária, é igual a:
a) 15 d) 64
b) 30 e) 90
c) 45
352. (UEFS-03.2) O número de anagramas da palavra FEIRA, em
que nem duas vogais podem estar juntas nem duas consoantes, é
igual a:
a) 10 d) 24
b) 12 e) 25
c) 18
353. (UESC-2006) Para iluminar um palco, conta-se com sete
refletores, cada um de uma cor diferente.
O número máximo de agrupamentos de cores distintas que se pode
utilizar para iluminar o palco é igual a:
01) 7 04) 156
02) 28 05) 186
03) 127
354. (UESC-2006) O número máximo de maneiras distintas para se
formar uma roda com 7 crianças, de modo que duas delas A e B
fiquem juntas, é igual a:
01) 60 04) 1200
02) 120 05) 1440
03) 240
355. (UNEB-2006) Com 8 flores distintas, sendo 3 alvas e 5 rubras,
um artesão vai arrumar um ramalhete contendo 6 dessas flores, em
que, pelo menos, uma seja alva. Com base nessas informações,
pode-se afirmar que o número máximo de ramalhetes distintos que
ele pode confeccionar é igual a:
01) 28 04) 10
02) 18 05) 3
03) 15
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356. (UESB-2006)
Ligando-se três vértices quaisquer de um hexágono regular obtémse
triângulos. Sendo assim, escolhendo-se aleatoriamente um
desses triângulos, a probabilidade de ele não ser retângulo é
igual a:
01) 20% 04) 50%
02) 30% 05) 60%
03) 40%
357. (UNEB-2006) Sorteando-se um número de 1 a 20, a
probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é igual a:
01) 70% 04) 20%
02) 65% 05) 10%
03) 50%
358. (UEFS-05.2) Um garoto possui 5 bolas idênticas e deseja
guardá-las em 3 caixas diferentes. O número máximo de modos de
que ele pode guardar essas bolas, sendo-lhe facultado o direito de
deixar caixas vazias, é igual a:
a) 10 d) 21
b) 12 e) 24
c) 18
359. (UESB-2004) Uma microempresa tem 32 funcionários, sendo
um deles demitido e substituído por outro de 25 anos de idade. Se,
com essa demissão, a média das idades dos funcionários diminui 1
ano, então a idade do funcionário demitido é igual a
01) 45 anos. 04) 57 anos.
02) 49 anos. 05) 65 anos.
03) 52 anos.
360. (UEFS-09.1) Ao se analisarem os resultados obtidos por uma
turma de um determinado curso, levou-se em consideração, dentre
outros fatores, a freqüência às aulas. Considerando-se uma amostra
aleatória de 10 alunos, constatou-se que o número total de faltas, no
decorrer do curso, foi 0,1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6.
Sorteando-se, ao acaso, um desses alunos, a probabilidade de o
número de faltas ser maior do que 4, é igual a:
a) 0,3 d) 0,6
b) 0,4 e) 0,7
c) 0,5
361. (UESB-2004) Um estudante arrumou, de forma aleatória,
numa prateleira, cinco livros de Matemática, cada um versando
sobre um assunto diferente - Teoria dos Conjuntos, Álgebra,
Geometria, Trigonometria e Análise Combinatória.
Com base nessa informação, a probabilidade de os livros de
Álgebra e de Trigonometria não estarem juntos é de
1
01)
3
3
04)
4
2
02)
5
2
05)
3
3
03)
5
362. (UEFS-03.1) Um artesão usa peças circulares de mesmo
diâmetro, para confeccionar tapetes circulares. Sabe-se que todas as
peças são agregadas ao redor da peça central, tangenciando-a.
Assim sendo, o número de peças necessárias para confeccionar
cada tapete é igual a:
a) 9 d) 6
b) 8 e) 5
c) 7
39
363. (UEFS-02.1) Sobre uma circunferência foram marcados seis
pontos distintos. O número máximo de triângulos, com vértices
nesses pontos, que se pode obter é:
a) 120 d) 15
b) 60 e) 20
c) 30
364. (UNEB-2003) Em um município, uma pesquisa revelou que 5%
dos domicílios são de pessoas que vivem sós e, dessas, 52% são
homens.
Com base nessas informações, escolhendo-se ao acaso uma
pessoa desse município, a probabilidade de que ela viva só e seja
mulher é igual a:
01) 0,530 04) 0,048
02) 0,240 05) 0,024
03) 0,053
365. (UESC-2003) Sobre duas retas paralelas e não coincidentes, r
e s, são considerados quatro pontos distintos em r e três pontos
distintos em s. Com base nessas informações, pode-se concluir que
o número de quadriláteros convexos, tendo como vértices quatro
desses pontos, é igual
01) 17 04) 30
02) 18 05) 31
03) 24
366. (UEFS-04.2) As 10 salas de uma empresa são ocupadas,
algumas por 3 pessoas e outras por 2, num total de 24 funcionários.
Portanto, o número x de salas ocupadas por 3 pessoas é tal que:
a) 9 ≤ x < 10 d) 3 ≤ x < 5
b) 7 ≤ x < 9 e) 1 ≤ x < 3
c) 5 ≤ x < 7
367. (UEFS-05.1) Suponha-se que toda bezerra se torne adulta aos
2 anos de idade e que, após se tornar adulta, dê uma única cria uma
vez a cada ano. Se um fazendeiro adquirir uma bezerra recémnascida
e, durante os 8 anos seguintes, todos os descendentes da
bezerra forem fêmeas e não houver nenhuma morte, então pode-se
afirmar que, ao final desse tempo, o total de animais, considerandose
a bezerra e seus descendentes, será igual a:
a) 128 d) 21
b) 64 e) 13
c) 31
368. (UEFS-05.1)
Pretende-se completar o quadro de horários acima com aulas de 2
horas das disciplinas Matemática, História, Geografia e Ciências, de
modo que aulas da mesma disciplina não ocorram no mesmo dia e
nem em dias consecutivos. Nessas condições, pode-se concluir que
o número de maneiras diferentes de que se pode completar o
quadro é:
a) 1024 d) 192
b) 243 e) 150
c) 225
369. (UESC-2007) O valor de x ∈ N, tal que
é:
01) 6 04) 3
02) 5 05) 2
03) 4
( x + 2)
! ⋅ ( 2x
+ 2)
!
( 2x
+ 1)
! ⋅ ( x + 1)
x !
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= 40 ,
370. (UEFS-04.1) Pretende-se distribuir 9 laranjas e 2 maçãs entre
duas pessoas, de modo que cada uma delas receba, pelo menos,
uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n maneiras
diferentes, o valor de n é:
a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
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371. (UESB-2005) Em um curso, a avaliação do desempenho de
cada aluno foi dada pelos conceitos A, B, C, D e E. Sabe-se que,
obtendo A, B ou C, o aluno estaria aprovado e, D ou E, estaria
reprovado.
A tabela mostra a distribuição dos conceitos obtidos por uma turma
de 40 alunos.
Com base nessas informações, pode-se concluir que o percentual
de alunos que obtiveram conceito A, em relação ao número total de
alunos aprovados é, aproximadamente, igual a:
01) 22,5 04) 46,0
02) 28,0 05) 68,2
03) 32,1
GABARITO
ANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
319. B 320. 03 321. 03 322. D 323. 04 324. 01
325. 01 326. 03 327. 03 328. 05 329. D 330. 04
331. 03 332. E 333. C 334. 02 335. A 336. D
337. 05 338. 05 339. B 340. 02 341. 04 342. 03
343. C 344. B 345. D 346. A 347. 05 348. A
349. 02 350. D 351. E 352. B 353. 03 354. 03
355. 02 356. 04 357. 02 358. D 359. 03 360. A
361. 03 362. A 363. E 364. 05 365. 03 366. D
367. D 368. D 369. 04 370. D 371. 03 *****
Teorema Binomial
Sejam dois números reais, a e b, e um número natural n. Já
conhecemos o desenvolvimento de (a + b) n para alguns valores de n:
n = 2
0
n = 0 ⇒ ( a + b ) = 1
1
n = 1 ⇒ ( a + b ) = a + b
2 2
2
⇒ ( a + b ) = a + 2ab
+ b
3 3 2
2 3
( a + b ) = a + 3a
b + 3ab
+ b
n = 3 ⇒
Observando os exemplos acima e considerando, em especial, o caso
n = 3, é possível notar que, ao desenvolvermos (a + b) 3 , obtemos 3
+ 1 = 4 termos tais que:
(I) os expoentes do 1º termo do binômio, o termo a, decrescem
deste 3 até zero;
(II) os expoentes do 2º termo do binômio, o termo, aumentam desde
zero até 3.
Essas duas observações sugerem que, para a parte literal do
desenvolvimento de (a + b) n , n∈ N, temos:
( III)
a
n
0
b ; a
n−1
1
b ; a
n−
2
2
1 n −1
b ; ... a b
0
; a b
(IV) os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos anteriores
correspondem, ordenadamente às linhas do triângulo de Pascal:
1
( a + b)
= a + b
2 2
2
( a + b)
= a + 2ab
+ b
3
3
2
linha1:
11
linha2
: 1 2 1
( a + b)
= a + 3a
b + 3ab
+ b linha3
: 1 3 3 1
Dessa maneira, para determinarmos os coeficientes os coeficientes
do desenvolvimento de (a + b) n , basta considerar a linha n (linha de
numerador n) do triângulo de Pascal.
( a
n ⎛n
⎞ n 0 ⎛n
⎞ n − 1 1 ⎛ n ⎞ 1 n −1
⎛n
⎞ 0 n
+ b)
=
⎜ a b a b ... a b + a b
0 ⎟ +
⎜
1 ⎟ + +
⎜
n 1 ⎟
⎜
n ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠
onde a e b são reais e n é natural.
Binômio de Newton
2
3
n
40
Utilizando o símbolo de somatório, podemos escrever:
n
n ⎛ n ⎞ n − k k
( a + b ) = ∑ ⎜ ⎟a b
k = 0 ⎝ k ⎠
O resultado acima é conhecido como teorema binomial.
Obs: O teorema binomial continua válido se quisermos obter o
desenvolvimento de (a – b) n . Basta notar que:
n
( a − b)
[ a + ( −b)
]
n ⎛n
⎞ n 0 ⎛n⎞
n−
1 1 ⎛ n ⎞ 1
( a − b)
=
⎜ a ( b)
a ( b)
... a ( −b)
0 ⎟ − +
⎜ − + +
1 ⎟
⎜
n 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ − ⎠
Cada um dos termos acima contém potências do tipo:
k ( − b)
⎨
⎪⎩
=
⎪⎧
k
b , se k é par
k
− b , se k é impar
n
n −1
⎛n⎞
0
+
⎜ a ( −b)
n ⎟
⎝ ⎠
Assim, os sinais dos termos do desenvolvimento de (a – b) n se
alternam, a partir do 1ºtermo, que é positivo.
Termo Geral de um Binômio
⎛ n ⎞
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎛ n ⎞
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎛ n ⎞
⎜ n ⎟
⎝ ⎠
n n 0 n −1
1
0 n
( a + b ) = ⎜ ⎟a
b + ⎜ ⎟a
b + ... + ⎜ ⎟a
b
Termo Geral é dado por:
n
⎜ ⋅ a
k ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ n−k
372. (UESC-2008) No desenvolvimento da expressão algébrica
6
2 1 ⎞
x ⎜x
⎟
⎝ x ⎠
k
⋅b
⎛ − , o termo independente de x é igual a:
01) – 6 04) 15
02) 0 05) 30
03) 6
373. (UESC-2009) Se a soma dos coeficientes do polinômio
( ) ( ) 7
x 2x
b
P +
= é igual a 1, então o coeficiente de x 2 é igual a:
01) 84 04) – 84
02) 63 05) – 93
03) – 42
374. (UNEB-2008) Sabendo-se que a diferença entre os números
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
binomiais ⎜ ⎟ e ⎜ ⎟⎠ é igual a zero, pode-se afirmar que o
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2
⎛ −1
2⎞
determinante da matriz
⎜
⎟ é igual a:
⎝−
1 n⎠
01) – 3 04) 4
02) – 1 05) 6
03) 2
375. (UEFS-07.1) O conjunto-solução da equação
2
⎛ 2 + x⎞
x ⎛ 2 + x⎞
2
⎜
⎟ − = 2 +
⎜
⎟ é:
⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠
a) {-4} d) {-4, 4}
b) {0} e) {-4, 0, 4}
c) {4}
376. (UEFS-06.2) A diferença entre os coeficientes de x e x 3 no
binômio ( ) 5
x + k é igual a 15. Sabendo que k é um número real,
pode-se afirmar que k é um número,
a) irracional. d) múltiplo de 4.
b) racional não inteiro. e) múltiplo de 5.
c) primo.
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n
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377. (UESB-2008) O simétrico do coeficiente do sexto termo no
desenvolvimento de ( ) 8
x − 3 , segundo os expoentes decrescentes
de x, é igual a:
01) 13480 04) 13780
02) 13528 05) 13808
03) 13608
378. (UESC-2007) O valor do termo independente de x no
⎛ 1
desenvolvimento ⎜ − 2
⎝ x
⎞
x ⎟
⎠
é:
01) 345 04) 554
02) 455
03) 545
05) 645
15
379. (UNEB-2009) O coeficiente do termo em
desenvolvimento de
⎛
⎜
⎝
8
x +
1 ⎞
⎟ é igual a:
x ⎠
01) 15 04) 6
02) 9 05) 3
03) 8
3
x − no
⎛
380. (UEFS-09.1) Desenvolvendo-se o binômio
2 ⎞
⎜ 5x − 4 ⎟ , obtém-
⎝ x ⎠
se uma expressão algébrica cujo termo médio é igual a:
a)
b)
c)
4 ( − 2 ⋅10
)
x
9
4 ( 2 ⋅10
)
x
2
3 ( − 5 ⋅10
)
x
4
d) ( ) 5 3 − 5 ⋅10
x
e)
4 9
10 x
381. (UESB-2004) No desenvolvimento do binômio
termo central é:
01) x -4 04) x 4
02) 38x -3 05) 70x 4
03) 70x -4
GABARITO
BINÔMIO DE NEWTON
6
8
⎛ x 2 ⎞
⎜ + ⎟ , o 2
⎝ 2 x ⎠
372. 04 373. 04 374. 01 375. C 376. C 377. 03
378. 02 379. A 380. A 381. 03 ***** *****
Geometria Plana
Posições Relativas entre duas retas
Coincidentes: se todos os pontos de uma são pontos da outra.
Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm
ponto comum.
Concorrentes: se têm um único ponto comum.
41
Reversas: se não existe plano que as contenha simultaneamente.
Relações Métricas em Polígonos regulares inscritos e
circunscritos
l4
= R
a4
=
2
R 2
2
l6
= R
a6
=
R 3
2
Áreas das principais figuras Geométricas Planas
A = b ⋅ h
b ⋅ h
A =
2
A = p ⋅r
a + b + c
p =
2
D ⋅ d
A =
2
2
A = l
2
l
A =
3
4
A = π ⋅R
A =
l3
= R 3
R
a3
=
2
A = b ⋅h
p ⋅
Paralelismo
Ângulos formados por duas retas concorrentes
2
( p − a)
⋅ ( p − b)
⋅ ( p − c)
A =
a + b + c
p =
2
( B + b)
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2
⋅h
2 2
C = 2 ⋅ π ⋅R
A = π ⋅ ( R − r )
2 2
l ⋅R
πR
α αR
A = = =
2 o
360 2
a e b são ângulos adjacentes e
suplementares (a + b = 180º)
a e c são ângulos opostos pelo
vértice (a = c)
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Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal
Ângulo Inscrito numa Circunferência
β
Ângulos Excêntricos Interiores Ângulos Excêntricos Exteriores
AB + CD
x =
2
AB − CD
x =
2
382. e β ângulos complementares. Sabendo-se que a medida de α
é igual ao triplo da medida de β, pode-se afirmar que o ângulo α – β
mede:
a) 40 o d) 55 o
b) 45 o e) 60 o
c) 50 o
383. (UESB-2006)
r
s
α
120 o
140 o
β =
Da análise da figura, considerando-se as retas r, s e t paralelas,
pode-se concluir que os ângulos α, β e γ medem, respectivamente:
01) 100 o , 140 o e 120 o . 04) 110 o ,130 o e 120 o .
02) 100 o , 120 o e 140 o . 05) 120 o ,120 o e 120 o .
03) 110 o , 120 o e 130 o .
AB
AB
α =
2
α β
γ
42
384. (UESB-2008) Considerem-se as retas r, s e t, tais que r // s // t.
O valor do ângulo x representado na figura é igual, em graus, a:
01) 50 04) 80
02) 60 05) 90
03) 70
385. (UNEB-2008) Na figura, a soma das áreas dos três quadrados
é 34 u.a.
A área do quadrado maior é igual a:
01) 13 04) 18
02) 14 05) 20
03) 17
386. (UESB-2009) Um retângulo tem dimensões x e y , x < y, e
perímetro igual a 16 u.c .
Retirando-se, desse retângulo, um quadrado de lado x, a área
restante pode ser obtida através da expressão:
2
01) A(
x)
= 8x
− x ; 0 < x < 8
2
02) A(
x)
= 8x
− 2x
; 0 < x < 4
2 2
03) A(
x)
= 8x
−16x
; 0 < x < 2
2
04) A(
x)
= 16x
− 2x
; 0 < x < 8
2 2
05) A(
x)
= 16x
− 2x
; 0 < x < 4
387. (UNEB-2008) A reta t, na figura, intersecta a circunferência de
centro C e raio r, nos pontos M e N.
Sabendo-se que a medida do segmento LM é igual a r, pode-se
afirmar que os ângulos α e β indicados na figura são tais que:
01) β = 2 α
04) α = 2 β
02) β = 3 α
05) α = 3 β
03) α = β
388. (UESC-2008) Se a soma dos comprimentos das diagonais de
um losango é igual a 6 u.c. e sua área A, dada em unidades de área,
é a maior possível, pode-se afirmar:
01) 1 < A ≤ 2 04) 4 < A ≤ 5
02) 2 < A ≤ 3 05) 5 < A ≤ 6
03) 3 < A ≤ 4
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389. (UEFS-08.1) Em uma circunferência de centro O e raio 6cm, é
marcado um arco AB cujo ângulo central AOB mede 50º.
Se, em outra circunferência, de raio 10cm, é marcado um arco com a
mesma medida de AB, o ângulo central correspondente mede, em
radianos:
π 2π
a) d)
3
9
3π π
b) e)
3
6
π
c)
4
390. (UNEB-2007)
E
Na figura, o vértice A do retângulo ABCD é o ponto médio do
segmento EC.
Se DC = 2 3 u.c. e AD = 3u.c., então o segmento DE mede, em
u.c.,
5 3
01) 4 3
04)
2
2 6
02) 4 2
05)
3
03) 2 6
391. (UEFS-02.1)
Um terreno de forma retangular, com largura igual a y u.c. e
comprimento igual a x u.c., está dividido nos quadrados A, B, C e D,
y
conforme a figura. Nessas condições, a razão é igual a:
x
3
a) 2 d)
2
4
c)
3
392. (UEFS-08.1) Sabendo-se que cada quadrilátero que compõe a
malha representada na figura tem 5u.a. de área, pode-se afirmar que
a área da região sombreada mede, em u.a.,
−3
a) 37 ⋅ 10
d) 37 ⋅ 10
−2
b) 75 ⋅ 10
e) 75 ⋅ 10
c) 35 ⋅ 10
−2
x A
A B
D
y
B
C D
−1
−1
C
43
393. (UESC-2008) Na figura, AB=8u.c., BC=1u.c., e os triângulos
sombreados são eqüiláteros.
C
A
B
Sobre os triângulos sombreados, pode-se afirmar que o quociente
entre a área do triângulo maior e a área do triângulo menor é igual a:
1
01)
8
49
04)
64
7
02)
8
64
05)
49
8
03)
7
394. (UESB-2008) Sobre retas e planos, é verdade afirmar:
01) Existe um único plano passando por dois pontos distintos.
02) Duas retas distintas não paralelas são sempre concorrentes.
03) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
04) Duas retas ortogonais são paralelas a toda reta ortogonal a elas.
05) Em um plano α, existem retas paralelas ou retas reversas a uma
reta r, paralela a α.
395. (UESC-2007) Em um triângulo ABC, tem-se
AD é a altura relativa ao lado BC.
A medida do segmento CD é o triplo da medida do segmento BD.
O ângulo CAD mede o dobro do ângulo BAD.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida do
ângulo não-nulo CAD, em radianos, é:
π π
01) 04)
3
12
π π
02) 05)
4
24
π
03)
6
396. (UEFS-03.2) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado
do quadrado circunscrito, em uma circunferência de raio r, é:
1 1
a) d)
4
2
1
b) e) 2
2
5
b)
3
397. (UEFS-09.1) A porta de uma sala quadrada cujo lado mede
4m, tem 0,80m de largura, está posicionada a 0,50m de um dos
cantos, de acordo com a figura, e quando aberta para e) o 1 interior da
sala, tangencia no ponto T, um tapete circular colocado no centro da
sala.
1
c)
3
Com base nessa informação, pode-se afirmar que o diâmetro do
tapete mede
a) 2,2m d) 3,4
b) 2,6m e) 3,8
c) 3,0m
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398. (UEFS-07.2) Duas pessoas, J e L, fazem caminhadas em uma
praça circular cujo raio mede 6m. Certo dia, partindo do mesmo
ponto P, J caminhou por PQ (diâmetro da praça), e L preferiu seguir
o caminho em volta da praça (sobre a circunferência). No instante
em que J se encontra a 9m do ponto de partida, L se encontrava em
um ponto da circunferência em que JL é perpendicular a PQ. Nessas
condições, pode-se afirmar que o comprimento do arco PL percorrido
por L é:
15π
a) d) 4 π
4
11π 9π
b) e)
3
2
25π
c)
6
399.
(UEFS-07.2) Da figura, sabe-se que
• ABC é um triangulo eqüilátero de lado medindo 4u.c;
• M é o ponto médio de AB;
• AM e MB são diâmetros de duas semicircunferências com
centros AB;
• AC é um arco de circunferência com centro em B e raio BA;
• BC é um arco de circunferência com centro em A e raio AB.
A medida da área da região sombreada, em u.a., é igual a
8π
19 π
a) 19 3 − d) + 8 3
3
3
8 3
b) 19π −
3
e) 19
8π
3 +
3
19π c) − 8
3
3
400. (UEFS-07.1) Um fazendeiro comprou um terreno de forma
retangular, com 30m de perímetro, notando que o triplo da medida
do menor lado é igual ao dobro da medida do lado maior. Resolveu
plantar grama em todo o terreno, exceto em uma semicircunferência
cujo diâmetro coincide com lado menor.
Considerando-se que o valor aproximado de π=3,14 e que o m 2 da
grama custa R$ 40,00, pode-se afirmar que o fazendeiro gastou,
aproximadamente,
a) R$ 245,76 d) R$ 1.440,00
b) R$ 405,40 e) R$ 1.594,80
c) R$ 1390,36
401. (UNEB-2006)
A figura representa um círculo de centro em C e área medindo
25πcm 2 . Considerando-se que a corda AB mede 5cm, pode-se
afirmar que a área do triângulo ABC, em cm 2 , é igual a:
5 3
01)
4
5 3
02)
2
03)
25 3
4
04)
25 3
2
05) 25 3
44
402. (UEFS-06.1)
Da figura, composta por 5 círculos, sabe-se que
O círculo maior tem centro na origem dos eixos coordenados e o
raio mede 2;
Os círculos médios são tangentes entre si, na origem dos eixos
coordenados, e tangentes ao círculo maior;
Os círculos menores são tangentes aos círculos médios e ao círculo
maior. O raio dos círculos menores mede, em u.C.,
1 2
a) d)
9
3
2 3
b) e)
9
4
1
c)
3
403. (UEFS-05.2)
Na figura, tem-se uma circunferência de raio r e centro O e três
losangos em que a diagonal maior é o dobro da menor. Nessas
condições, pode-se concluir que a área da região sombreada mede,
em u.a.,
a) (π – 0,75).r 2 d) (π – 1,8).r 2
b) (π – 1).r 2
e) (π – 3).r 2
c) (π – 1,5).r 2
404. (UEFS-03.1)
Da figura, sabe-se que
ABCD é um quadrado cujos lados medem 3u.c.
M é ponto médio do lado AD.
O segmento MN é paralelo a AB.
MN = NB = NC
Com base nessas informações, pode-se concluir que a área do
triângulo NBC mede, em u.a.,
1 27
a) d)
2
16
b) 1
9
c)
8
e) 2
405. (UESC-2009) Na figura, a área do paralelogramo ABCD é igual
6 u.a. e a do trapézio AECD é igual a 10 u.a.. Então:
01) 6 , 5 ≤ y < 7,
5
02) 5 , 5 ≤ y < 6,
5
03) 4 , 5 ≤
y < 5,
5
04) 3 , 5 ≤ y < 4,
5
05) 2 , 5 ≤ y < 3,
5
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406. (UESB-2003) Na figura abaixo tem-se o quadrado ABCD,
cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado EFGH.
Os vértices de EFGH são os pontos médios dos lados do quadrado
IJKL.
Se a área de IJKL é 16m 2 , então a área do quadrado ABCD, em
metros quadrados, é:
a) 1 d) 6
b) 2 e) 8
c) 4
407. (UESC-2005) A figura representa 4 quadrados de uma
seqüência de 8 quadrados construídos de tal forma que o primeiro
quadrado (o maior deles) tem lado igual à 1u.c., e cada quadrado, a
partir do segundo, tem seus vértices nos pontos médios dos lados do
quadrado anterior.
Considerando-se a área da região que se encontra no interior do
primeiro quadrado e no exterior do segundo, e a área no interior do
terceiro quadrado e no exterior do quarto, e assim por diante, podese
concluir que a soma de todas essas áreas é igual, em u.a., a
171
01)
256
21
04)
32
85
02)
128
11
05)
16
43
03)
64
408. (UESC-2005)
No triângulo ABC, tem-se que AB=5EA, AC=5AD, 0FB=5F’ e
FC=5FE’. Nessas condições, pode-se concluir que FD’ e EC são
iguais, respectivamente, a:
01) DF e 5EF 04) 2DF e 5EF
02) DF e 6EF 05) 2DF e 6EF
03) DF e 4EF
409. (UEFS-02.2)
Na figura, ABCO representa um retângulo de lado AB medindo o
dobro do lado BC e BCE, um triângulo eqüilátero de lado igual a
5cm. Nessas condições, o quadrado da medida de AE é igual a:
a) 25 ( 5 + 2 3 )
⋅ d) 3
3
b) 5 + 2 3
e)
2
c) 2 3
45
410. (UESB-2005)
Na figura, todas as circunferências têm raio r=1u.c., e a
circunferência central passa pelos pontos de tangência das demais.
Com base nessa informação, pode-se concluir que a área da região
sombreada mede, em u.a.,
01) 4π - 1 04) 2π + 4
02) 4π - 2 05) 3π +4
03) π + 4
411. (UESC-2009) Na figura, o sólido é constituído por um cone
uma esfera, tais que o volume da semiesfera é igual ao volume do
cone.
Se h e r representam, respectivamente, a altura e o raio do cone,
então h/r é igual a:
01) 4
02) 2
03) 1
1
04)
2
1
05)
4
412. (UESB-2009) Uma pizza circular de raio r, r = 18cm, é dividida
em três fatias, na forma de setores circulares cujos arcos tem
comprimentos x, 2x - π e 3x +π.
Se o preço da fatia é proporcional ao seu tamanho e a pizza inteira
custa R$32,00, então o preço da fatia maior será aproximadamente
igual a:
01) R$ 15,00 04) R$ 18,00
02) R$ 16,00 05) R$ 19,00
03) R$ 17,00
413. (UNEB-2003)
A reta e a parábola, representadas no gráfico, têm equações iguais,
2 2 4 16
respectivamente, a 2 x − 3y
+ 12 = 0 e y = x + x + . Da
3 3 3
análise do gráfico, conclui-se que a área da região sombreada
mede, em u.a.,
01) 10 04) 15
02) 11 05) 18
03) 13
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414. (UNEB-2003)
Pontos Colineares A ( x , y ) , B(
x , y ) e C = ( x , y )
Das informações constantes na ilustração, pode-se concluir que a
área de um campo de futebol mede, em m 2 ,
01) 7750 04) 6750
02) 7570 05) 6700
03) 7243
GABARITO
GEOMETRIA PLANA
382. B 383. 01 384. 04 385. 03 386. 02 387. 02
388. 04 389. E 390. 01 391. B 392. E 393. 05
394. 05 395. 01 396. D 397. D 398. D 399. C
400. E 401. 04 402. D 403. A 404. D 405. 04
406. C 407. 02 408. 01 409. A 410. 04 411. 02
412. 03 413. 05 414. 01
Distância entre dois pontos
Baricentro de um Triângulo
Divisão de um segmento numa dada razão
Área de um Triângulo
Geometria Analítica
dAB
=
2 ( x − x ) + ( y − y )
B
Coordenada s do Ponto
A
( x , y )
2
A
Médio
M M M
xA
+ xB
yA
+ yB
xM
=
yM
=
2
2
⎧AG
= 2⋅
GD
⎪
⎨BG
= 2⋅
GE
⎪
⎩CG
= 2⋅
GF
Baricentro
B(
xG,
yG
)
xA
+ xB
+ xC
xG
=
3
yA
+ yB
+ yC
yG
=
3
AC
k =
CB
xA
+ k ⋅ xB
yA
+ k ⋅ yB
xC
=
yC
=
1+
k
1+
k
1
A = ⋅ D
2
onde D
=
B
xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
46
A,
B e C são colineares
A
A
Equação Geral da Reta
Consideremos a reta r, determinada pelos pontos
A ( xA,
yA
) e B(
xB,
yB
)
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
Coeficiente Angular ou declividade de uma reta m = tgα
Coeficiente angular de uma reta dada por dois pontos
Equação Reduzida da Reta
⎧m
− coef.
Angular
y = mx + n ⎨
⎩n
− coef.
Linear
Equação Segmentaria da Reta
Posições Relativas de Duas Retas
r : y = mx + n e s : y = m'
x + n'
• Concorrentes
• Paralelas Distintas
• Paralelas Coincidentes
x
• Perpendiculares
y
1
B
xA
yA
1 = 0 ⇔
xB
yB
1
B
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C
xA
yA
1
⇔ xB
yB
1 = 0
xC
yC
1
x
p
C
Ax + By + C = 0
∆y
yB
− yA
m = =
∆x
xB
− xA
yB
− yA
= m ⋅ B A
y
+ = 1
q
r ∩s
=
{ P}
m ≠ m'
r ∩s
= ∅
m = m'
e n ≠ n'
r ∩s
= r = s
m = m'
e n = n'
m1
⋅
m2
= −1
1
m1
= −
m2
( x − x )
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Ângulo agudo entre duas retas
Se uma das retas for perpendicular ao eixo Ox, ela não terá o
coeficiente angular.
Distância de um Ponto a uma Reta
Estudo Analítico da Circunferência
m2
− m1
tgϕ
=
1+
m2
⋅ m1
1
tg α =
m1
Reta
: Ax
Ponto :
d =
2 2
Condição para exista uma Circunferência A + B − 4C
> 0
Posições relativas entre ponto e circunferência no plano cartesiano
1ª situação: P pertence à circunferência. dPC = R
P
2 ( x − a)
+ ( y − b)
+ By + C = 0
( x , y )
0
0
Ax0
+ ByO
+ C
2 2
A + B
Equação Reduzida
da Circunferência
2 2
= R
Equação Geral da Circunferência
2 2
2 2 2
x + y − 2ax
− 2by
+ a + b − R = 0
⎧A
= −2a
2 2
⎪
x + y + Ax + By + C = 0 ⎨B
= −2b
⎪ 2 2 2
⎩C
= a + b − R
2
2 2
( x − a)
+ ( y − b)
− R = 0
P
P
47
2ª situação: P pertence no exterior da circunferência. dPC > R
2
2 2
( x − a)
+ ( y − b)
− R > 0
3ª situação: P pertence no interior da circunferência. dPC > R
Posições relativas entre reta e circunferência no plano cartesiano
1ª situação: Não existe ponto comum a r e λ. r ∩ λ = ∅
2ª situação: Existe um único ponto comum a r e λ. r ∩ λ = { T }
3ª situação:Existem dois pontos comuns a r e λ. r ∩ λ = { S , }
1 S2
Os pontos de Intersecção de r com λ, quando existem, são soluções
⎪⎧
Ax + By + C = 0
do sistema. ⎨ 2 2 2
⎪⎩ ( x − a)
+ ( y − b)
= R
Posições relativas entre duas circunferências no plano cartesiano
P
1ª situação: λ1 e λ2 são tangentes entre si. Neste caso elas têm um
único ponto comum.
P
2
2 2
( x − a)
+ ( y − b)
− R < 0
P
dCr > R
dCr = R
(Lembrete: Quando uma reta é
tangente a uma circunferência, ela é
perpendicular ao raio no ponto de
tangência.)
dCr < R
P
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2ª situação: λ1 e λ2 são secantes entre si. Neste caso elas têm dois
pontos comuns.
3ª situação: λ1 e λ2 são disjuntas. Neste caso elas não têm ponto
comum.
Estudo Analítico das Cônicas
Elipse
Hipérbole
Parábola
2 ( x − x ) ( y − y )
C
0
2
a
+
2
x
2
a
2
0
= 1
2
b
2
y
2
b
( 0,
0)
⇒ + = 1
2 ( x − x ) ( y − y )
C
a
0
2
−
x
a
2
2
b
y
b
= 1
( 0,
0)
⇒ − = 1
2
2
0
2
2
( y − y ) = 2p
⋅ ( x − x )
( y − y ) = −2p
⋅ ( x − x )
0
2
y = 2px
0
0
2
y = −2px
2
2
0
48
2
2
( x − x ) = 2p
⋅(
y − y )
( x −
x0
) = −2p
⋅ ( y − y0
)
415. (UEFS-04.1) O maior valor real de k para que a distância entre
os pontos A = ( k, 1) e B = ( 2, k) seja igual a 5 é
a) -1 d) 3
b) 0 e) 4
c) 2
416. (UEFS-03.2) Se o ponto C ( x,
− x )
= , x∈R, é o centro de uma
circunferência que passa pelos pontos A = (3,1) e B = (5,-3), então o
raio dessa circunferência mede, em u.c.,
a) 3 d) 10
b) 2 e) 10
c) 3
417. (UESB-2008) A área de um triângulo, cujos vértices são os
1,
3 3,
2 C 2,
1 , mede, em u.a.,
pontos A ( ) , B ( ) e ( )
01) 4,5 04) 1,4
02) 2,3 05) 0,5
03) 1,5
418. (UESC-2003) Considere duas retas do plano xOy de equações
2 2
iguais a x + y = −b
e 4x
+ b y = b − 2b
, paralelas e não
coincidentes. A partir dessas informações e sabendo-se que b∈R,
pode-se concluir que o valor de b é igual a:
01) –4 04) 2
02) –2 05) 4
03) 0
419. (UESB-2003) Num sistema de eixos ortogonais de origem O,
considere a reta r de equação 3 x − y + 2 = 0 e o ponto A = ( −1,
− 2 ) .
A equação da reta t, que passa por A e é paralela à reta r é:
a) 3 x − 3y
+ 2 = 0
d) 3 x + y −1
= 0
b) 3 x + 2y
−1
= 0
e) 3 x − y + 1 = 0
c) 3 x − 2y
+ 1 = 0
420. (UEFS-09.1) A área da região limitada pelos eixos cartesianos
coordenados pela reta r de equação 2 y − x − 2 = 0 e pela reta s,
perpendicular a r e que passa pelo ponto ( 2,
2 )
a) 2,5 d) 5,8
b) 3,4 e) 7,0
c) 4,0
P = , mede, em u.a.,
421. (UEFS-09.1) Um triângulo possui vértices nos pontos
A = ( 1,
4 ) , B = ( 4,
4 ) e C = ( 4,
7 ) . Uma equação da reta que
contém a bissetriz do ângulo B é:
a) y + x − 8 = 0
d) 2 y + x − 12 = 0
b) y − x − 8 = 0
2
x = 2py
c) 2 y − x − 4 = 0
0
0
2
x = −2py
e) y − 2x
+ 4 = 0
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422. (UNEB-2009) A reta r de equação 6 x + 8y
− 48 = 0 intersecta 430. (UESB-2005) Se os pontos O = ( 0,
0 ) , ( 6,
0 )
os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q.
Desse modo, a distância, em u.c., de P a Q é igual a:
01) 7 04) 14
02) 8 05) 18
03) 10
423. (UNEB-2009) Se ( , n)
2
2
circunferência x 2 3x
+ y − 6y
+ 7 = 0
m são as coordenadas do centro da
+ , ( 3 m + 3n)
01) – 3 04) 1
02) −
03) 0
3
05) 6 3
− é igual a:
424. (UNEB-2009) A reta 3 x + 4y
− 6 = 0 determina na
circunferência
2 2
x + y − 2x
− 4y
+ 1 = 0 uma corda MN de
comprimento igual, em u.c., a:
01) 3 04) 2 3
02) 2
03) 3
2
05) 6
425. (UEFS-08.1) Sabendo-se que os pontos P e Q pertencem à
reta x = 3 e estão a uma distância d = 3 2 u.
c.
da reta y = x + 1,
pode-se concluir que o segmento PQ mede em u.c.,
a) 15 d) 6
b) 12 e) 5
c) 9
426. (UNEB-2005) Sabendo-se que os pontos M=(0,0), N=(4,0) e
P=(2,2) são os respectivos pontos médios dos lados AB, BC e CA do
triângulo ABC, pode-se afirmar que a reta que contém o lado BC
desse triângulo tem para equação
01) y – 2 = 0 04) y + x – 4 = 0
02) y – x = 0 05) y + x + 4 = 0
03) y + x = 0
427. (UEFS-04.2) A medida, em graus, do ângulo agudo formado
pelas retas de equações y = −x
e y = 3x
, é:
a) 75º d) 30º
b) 60º e) 15º
c) 45º
428. (UEFS-06.1) Os lados AB e BC de um ângulo reto ABC estão
sobre as retas r : 2x
− y + 6 = 0 e s : ax + by + c = 0 , com a e b
constantes reais. Sendo P(1, 1) um ponto da reta s, pode-se afirmar:
a) a < b < c d) c < a < b
b) a < c < b e) c < b < a
c) b < c < a
429. (UEFS-05.1)
Na figura, tem-se um losango que possui dois lados paralelos a Oy.
O vértice P tem, portanto, coordenadas:
a) (4,10) d) (4,7)
b) (4,9) e) (4,6)
c) (4,8)
49
( 3,
3 3 )
A = e
B = são vértices de um triângulo, então uma equação da
reta que contém a bissetriz do ângulo OAB é:
3
3
01) y = − x + 2 3
04) y = x − 2 3
3
3
3
02) y = − + 2
05) y = 3 − 6
3
03) y = − 3x
+ 6
431. (UESC-2006)
Na figura, o quadrilátero OABC é um trapézio, tal que A=(3,4) e
B=(1,5). Então, pode-se afirmar que o ponto C possui coordenadas:
01) (0,3) 04) (0,13/3)
02) (0,11/3) 05) (0,5)
03) (0,4)
432. (UESB-2009) Sendo e o menor ângulo interno do triângulo de
0,
0 P − 1,
3 Q = 2,
2 , o valor de cosθ é:
vértices O = ( ) , = ( ) e ( )
01)
3
04)
5
02)
1
05)
2
03)
2
5
433. (UESC-2005)
Considere-se, na figura, r a reta suporte de uma mediana do
triângulo de vértices A(3,4), B(1,1) e C(7,3). Com base nessa
informação, pode-se concluir que uma equação de r é:
01) 2x + y = 10 04) 5x + 2y = 26
02) 2x + y = 11 05) 5x + 2y = 17
03) 5x + 2y = 23
434. (UESB-2007) A circunferência C, de centro no ponto ( 1,
3 )
1
2
1
5
M − ,
é tangente à reta de equação 3 x + 4y
− 26 = 0 . Com base nessa
informação, é correto afirmar que a medida do raio de C, em u.c., é
igual a:
01) 3 04) 3 3
02) 3
03) 5
2
05) 7
C
0
y
B
A
x
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435. (UESC-2004)
Na figura tem-se a reta r, de equação y = 2x
+ 4 , e o paralelogramo
ABCD. Se B=(3,0), então o perímetro de ABCD mede, em u.c.,
01) 5 + 2 5
04) 10 + 4 5
02) 5 + 4 5
05) 2 + 10 5
03) 10 + 2 5
436. (UESC-2009) O conjunto dos pontos P(x,y) do plano XOY tais
que a distância de P ao eixo OX é igual a 5 vezes a distância de P à
reta 3 y − 4x
= 0 é a:
01) reta y = 2x.
02) reunião das retas y = x e y = 2x.
03) reunião das retas y = x e y = –x.
04) reta y = –x.
05) reta y = x.
437. (UESB-2006) O valor da constante m, para que a reta
y = −2x
+ m seja tangente à circunferência de equação
2 2
x + y − 2x
− 4y
= 0 , está entre:
01) – 6 e – 2. 04) 6 e 10.
02) – 2 e 2. 05) 10 e 14.
03) 2 e 6.
438. (UEFS-04.2) O valor da constante positiva k para o qual a reta
y = k é tangente à circunferência de equação
2
2
( x 1)
+ ( y + 2)
= 9
− é:
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
439. (UNEB-2008) Na circunferência de equação
2
2
( x 1)
+ ( y − 2 ) = 9
− , o ponto que tem menor abscissa pertencente à
reta r que é paralela à reta x − y − 5 = 0 e que tem como equação:
01) y = x + 4
04) y = −x
+ 2
02) y = x + 2
05) y = −x
− 1
03) y = x − 1
440. (UNEB-2002) A circunferência circunscrita ao triângulo de
A 0,
0 , B 6,
0 e C 0,
8 tem uma equação na forma
vértices ( ) ( ) ( )
2
2
x + y + ax + by + c = 0 . Nessas condições, a + b + c é igual
01) – 14 04) 6
02) – 8 05) 8
03) 2
441. (UNEB-2006) Sabe-se que a circunferência de equação
2 2
x + y − 4x
− 6y
+ 11 = 0 é inscrita no quadrado ABCD.
A partir dessa informação, pode-se concluir que a diagonal desse
quadrado mede, em u.c.,
01) 4 04) 2
02) 2 05) 1
03) 3
50
2
442. (UEFS-08.2) A figura representa a função f(
x)
x + bx + c
= ,
em que b e c são constantes, a distância d, entre P e Q, é igual a 4 e
o ponto V é o vértice da parábola.
Uma equação da circunferência de centro O e que passa por V é:
2 2
2 2
a) x + y = 10
d) x + y − y = 17
2 2
2 2
b) x + y = 17
e) x + y − 2x
+ 8y
= 0
2 2
c) x + y − x = 10
443. (UEFS-06.1) As retas paralelas r e s são tangentes à
2 2
circunferência de equação x + y − 6x
− 2y
= 0 . Sendo dr a distância
da reta r a origem do sistema de coordenadas cartesianas e ds, a
distância da reta s a esse mesmo ponto, pode-se afirmar que dr + ds
é igual a:
a) 3 d) 2 10
b) 3
c) 6
3
e) 6 2
444. (UNEB-2003) A circunferência de equação
2 2
x + y − 4x
− 2y
+ 1 = 0 tem:
01) centro no ponto (1,2) e intercepta o eixo Oy em dois pontos.
02) centro no ponto (2,1) e tangencia o eixo Ox.
03) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Ox.
04) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Oy.
05) raio igual a 4u.c. e não intercepta os eixos coordenados.
445. (UEFS-08.1) Sobre as circunferência C1 e C2 de equações
2 2
x + y − 6x
− 4y
+ 4 = 0 e ( x − 1)
pode-se afirmar:
+ ( y − 2)
= 1,
respectivamente,
a) são concêntricas
b) C2 passa pelo centro de C1.
c) C1 passa pelo centro de C2.
d) são tangentes internamente.
e) são tangentes externamente.
446. (UESC-2007) A equação de uma das circunferência, situadas
no 2ºquadrante, tangentes reta de equação 4 y − 3x
−12
= 0 e aos
eixos coordenados, é:
2
2
01) ( x − 1)
+ ( y −1)
= 1
04) ( x + 1)
+ ( y −1)
= 1
2
2
02) ( x − 6)
+ ( y − 6)
= 36
05) ( x + 6)
+ ( y + 6)
= 36
+
2
+
−
03) ( x 1)
( y 2)
1
447. (UNEB-2007) Se ( 1,
4)
2
=
2
2
M − é o ponto médio de uma corda AB
2 2
da circunferência x + y − 4y
− 5 = 0 , então a equação da reta que
contém A e B é dada por:
01) y = 2x
+ 7
04) y = −2x
+ 6
1 9
02) y = x +
2 2
1
03) y =
x + 3
2
5
05) y = −2x
+
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448. (UEFS-06.2) Um pássaro voa em linha reta de uma árvore A
até pousar em um ponto P de um fio reto r. A partir dai voa, ainda em
linha reta, até o telhado de uma casa C.
Considerando-se, no sistema de coordenadas cartesianas,
A = ( 0,
3 ) , r : y − x − 1 = 0 , C = ( 2,
5 ) e sabendo-se que o pássaro
fez tal percurso pelo caminho de menor comprimento, pode-se
afirmar que a soma das coordenadas de P é igual a:
a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 7
449. (UEFS-07.2) Uma reta de coeficiente angular positivo m passa
pelo ponto P ( 0,
2)
e é tangente à circunferência inscrita no
quadrado ABCD, representada na figura. É verdade que:
y
1 2 1
a) < m <
7 4
3 2 5
d) < m <
4 4
1 2 2
b) < m <
4 5
5 2 3
e) < m <
4 2
2 2 3
c) < m <
5 4
450. (UESB-2009) Uma reta t, tangente à circunferência de
2 2
equação x y = 10
T = 3,
1 , intersecta os eixos
coordenados nos pontos P e Q.
O centro e o raio da circunferência que têm o segmento PQ como
um diâmetro são, respectivamente, iguais a:
5 10 10
01) C =
⎛
, 3
⎞
⎜ ⎟,
r =
⎝ 2 ⎠ 3
02)
5 5 10
C =
⎛
, 5
⎞
⎜ ⎟,
r =
⎝ 3 ⎠ 3
03)
5
C =
⎛
, 5
⎞
⎜ ⎟,
r = 5
⎝ 3 ⎠
6 5 3
04) C =
⎛
, 3
⎞
⎜ ⎟,
r =
⎝ 5 ⎠ 3
6 10
05) C =
⎛
, 3
⎞
⎜ ⎟,
r =
⎝ 5 ⎠ 3
+ no ponto ( )
451. (UESB-2007) Sabe-se que, na figura, OM e MN têm a mesma
medida, MN é paralelo ao eixo OY e M (4,3).
Nessas condições, pode-se afirmar que uma equação da
circunferência que circunscreve o triângulo OPN é:
2
2
01) ( x + 4)
+ ( y − 2)
= 20
04) ( x − 2)
+ ( y − 4)
= 80
2
2
02) ( x + 2)
+ ( y − 4)
= 20
05) ( x − 2)
+ ( y − 4)
= 20
−
2
+
03) ( x 4)
( y 2)
20
−
3
2
1
2
=
D
A B
0 1 2 3
C
2
2
x
2
2
51
452. (UESB-2008) Sabendo-se que a reta x − y − 1 = 0 e a
circunferência de centro ( 1,
1)
C − e raio igual 5 u.
c.
são secantes,
pode-se afirmar que a medida da corda determinada pelos pontos de
interseção é igual, em u.a., a:
01) 6 2
04) 3 2
02) 5 2
05) 2 2
05) 4 2
453. (UESC-2008) Sejam os pontos do plano cartesiano A = ( 3,
2 )
e B = ( 1,
1)
e a circunferência, que passa por A e B, cujo centro é o
ponto médio do segmento AB. Pode-se afirmar que a equação dessa
circunferência é:
2
2
⎛ 3 ⎞
⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
01) ( x − 2)
+ y = 5
04) ( x 2)
( y 1)
5
5
4
2
2
2
02) ( x − 2)
+ ( y − 1)
=
05) ( x − 2)
+ ( y − 1)
2
03) ( x − 2)
2
⎛ 3 ⎞
+ ⎜y
− ⎟ =
⎝ 2 ⎠
5
4
454. (UEFS-09.1) As retas r : 2x
− 3y
+ 5 = 0 e s : 3x
− y + 4 = 0 se
intersectam em um ponto M, centro da circunferência C, que tem
como raio o valor do maior dos coeficientes angulares entre r e s.
Uma equação geral dessa circunferência é:
2 2
a) x + y − 2x
− 2y
− 7 = 0
2 2
b) x + y + 2x
− 2y
− 7 = 0
2 2
c) x + y − 4x
+ 4y
− 16 = 0
2 2
d) x + y + 4x
+ 4y
− 16 = 0
2 2
e) x + y + 4x
− 4y
− 39 = 0
455. (UEFS-07.1) Seja P o ponto intersecção das circunferências
2 2
2 2
C1
= x + y + 6x
−1
= 0 e C2
= x + y − 2x
−1
= 0 que possui
ordenada positiva, e O2 o centro da circunferência C2.
As coordenadas do outro ponto de intersecção da reta que passa
por P e O2 com a circunferência C1 são:
a) ( -2; 3) d) ( 2, 3)
b) ( 0, -1) e) ( 1, 3)
c) ( 1, 0)
456. (UEFS-06.2)
A circunferência representada na figura tem equação
2
2
x + y − 2 3x
−1
= 0 . A área da região sombreada mede, em u.a.,
1
a) ( 2π
− 3
3
3 )
1
d) ( 2π
−
2
3 )
2
b) ( π − 3 )
1
e) ( 3π
− 3 )
3
1
3π
− 2 3
3
c) ( )
2
−
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−
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=
=
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457. (UNEB-2004)
Na figura, a reta r de equação y = ax + 6 é tangente à
2 2
circunferência de equação x + y = 9 , no ponto T.
Nessas condições, pode-se afirmar que o ângulo α que r faz com o
eixo das abscissas mede, em graus,
01) 120 04) 90
02) 110 05) 80
03) 100
458. (UESB-2004) O segmento AB é um diâmetro de uma
circunferência. Sabendo-se que A = ( 1,
1)
e B = ( 3,
− 3)
, pode-se
concluir que os pontos de interseção dessa circunferência com o
eixo Ox têm abscissas iguais a:
01) – 4 e 0 04) 1 e 2
02) – 4 e 2 05) 0 e 4
03) – 2 e 1
459. (UESC-2007) A diagonal do retângulo de área máxima,
localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos
cartesianos e um vértice na reta y + 4x
− 5 = 0 , mede
01)
5 17
2
5 2
02)
4
03)
5 17
4
5
04)
2
05)
5 17
8
GABARITO
GEOMETRIA ANALÍTICA
415. D 416. D 417. 03 418. 01 419. E 420. C
421. A 422. 03 423. 05 424. 04 425. B 426. 04
427. A 428. D 429. B 430. 01 431. 01 432. 01
433. 01 434. 05 435. 04 436. 02 437. 04 438. A
439. 01 440. 01 441. 01 442. B 443. D 444. 04
445. D 446. 04 447. 02 448. B 449. B 450. 02
451. 05 452. 04 453. 03 454. B 455. A 456. A
457. 01 458. 05 459. 05 ***** ***** *****
Prisma
Geometria Espacial
52
Classificação dos Prismas
Diagonal de um Paralelepípedo Reto-Retângulo e do Cubo
Área Lateral e Área Total
AT
= AL
+ 2 ⋅ AB
Paralelepípedo
AT
= 2 ⋅
Cubo
2
AT
= 6a
Pirâmide
( ab + ac + bc)
Área Lateral e Área Total A T = AL
+ AB
1
Volume da Pirâmide V = ⋅ AB
⋅h
3
Paralelepípedo
d =
Cubo
d = a
2 2 2
a + b + c
3
Volume
Paralelepípedo
V = a⋅
b ⋅ c
V = A ⋅h
Cubo
V = a
2
2 ⎛ L ⎞ 2
R =
⎜ ⎟ + b
⎝ 2 ⎠
2 2 2
m = h + b
2
2 ⎛ L ⎞ 2
a = ⎜ ⎟ + m
⎝ 2 ⎠
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3
B
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Tronco de Pirâmide
Área Lateral e Área Total de um Tronco de Pirâmide
A T = AL
+ AB
+ Ab
Volume de um Tronco de Pirâmide
Cilindro
Volume de um Cilindro
Cone
Secções de um Cone
Vcilindro
= Vprisma
2
Vcilindro
= πR
h
( AB
+ AB
⋅ Ab
Ab
)
h
V = ⋅
+
3
I)
Área Lateral e Área Total
Propriedades
II)
AL
= 2πRh
2
Ab
= πR
AT
= AL
+ 2Ab
AT
= 2πR
( h + R)
Área Lateral e Área Total
R'
h'
=
R h
A
2
sec ção h'
=
A
2
base h
AL
= πRg
2
Ab
= πR
AT
= AL
+ Ab
AT
= πR
( g + R)
53
Tipos de Cone Cone Reto Cone Obliquo
Num Cone Re to
Temos :
2 2 2
g = h + R
Volume de um Cone
Tronco de Cone
Área Lateral e Área Total de um Tronco de Cone Reto
Volume de um Tronco de Cone
Esferas
Poliedros Convexos
V
cone
1 2
= πR
h
3
( R + r )
A L = π ⋅ ⋅ g
A T = A L + A B + A b
A T = π
[ R ( g + R ) + r ( g + r ) ]
2 2
( R + Rr r )
πh
V =
+
3
4 3
Volume da Esfera V =
πR
3
2
Área de uma Superfície A = 4πR
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Todo sólido geométrico que satisfaz quatro condições é chamado de
poliedro convexo. São elas:
1ª Condição - A superfície do sólido é formada somente de
partes planas, sendo essas partes (ou faces) polígonos convexos.
2ª Condição - Duas faces nunca estão no mesmo plano.
3ª Condição - Cada aresta está contida somente em duas faces
4ª condição - O plano de cada face deixa o sólido todo num
mesmo semi-espaço.
A intersecção de duas arestas é um vértice do poliedro e qualquer
segmento de reta que una dois vértices não-pertencentes à mesma
face é uma diagonal do poliedro.
A nomenclatura dos poliedros convexos pode ser feita de acordo
com o número de faces que eles possuem.
Os principais poliedros convexos são:
tetraedro (F = 4) octaedro (E = 8)
pentaedro (E = 5) decaedro (E = 10)
hexaedro (E = 6) dodecaedro(F = 12)
heptaedro (E = 7) icosaedro (E = 20)
Consideremos, novamente, o prisma, a pirâmide e o tronco de
pirâmide.
Contemos, para cada um deles, o número de V vértices, o número
de F faces e o número A de arestas:
Nos três casos ocorre
460. (UESB-2009) Girando-se a região do primeiro quadrante
limitada pelas retas de equação 6 y − 3x
= 8 e 6 y − x = 12 , em torno
do eixo Oy, obtém-se um sólido de volume:
01)
8
π
3
04) π
02) 2 π
03)
9
π
8
05)
8
π
9
461. (UNEB-2009) Um recipiente tem forma de um tronco de cone
reto de bases paralelas e raios das bases medindo 9cm e 3cm.
Considerando-se 10cm, a altura do recipiente, pode-se afirmar que
sua capacidade, em cm 3 , é igual a:
01) 300π 04) 375π
02) 315π 05) 390π
03) 350π
462. (UEFS-08.2) A medida do raio da base de um cone circular
reto, de volume V = 54π
u.
v.
, é igual à média aritmética da altura e
da geratriz desse cone. Assim, as dimensões do cone, altura, raio
da base e geratriz, nessa ordem, formam uma
a) progressão aritmética de razão 1,5.
b) progressão aritmética de razão 2.
c) progressão geométrica de razão 1,5.
d) progressão geométrica de razão 2.
e) seqüência que não é uma progressão aritmética e nem
geométrica.
463. (UEFS-08.2) Uma fita magnética de espessura igual a 0,5mm
foi enrolada em torno de uma bobina de 5mm de raio, num total de
40 voltas. O comprimento total da fita, em metros, é,
aproximadamente,
a) 1,94 d) 3,22
b) 2,40 e) 3,70
c) 2,70
V +
F = A + 2
Soma S das medidas
ângulos da face
S =
o
( V − 2)
⋅ 360
dos
54
464. (UESC-2008) Em uma pirâmide regular cuja base é o
quadrado ABCD e o vértice é o ponto V, pode-se afirmar que:
01) as retas BC e AD são concorrentes.
02) as retas AB e CV são reversas.
03) as retas AV e DC são ortogonais.
04) as retas AB e DC não são paralelas.
05) a reta BV é perpendicular ao plano ABC.
465. (UESB-2008) Seccionando-se uma pirâmide quadrangular
regular, com um plano paralelo à base, obtém-se um troco de
pirâmide cujas arestas da base medem 20u.c. e 50u.c.,
respectivamente, e cuja altura mede 45cm. Com base nas
informações, é correto afirmar que a área lateral dessa região é
igual, em u.a., a:
01) 2080 10
04) 2180 10
02) 2100 10
05) 2200 10
03) 2120 10
2
466. (UNEB-2008) Um recipiente cilíndrico está com de sua
3
capacidade tomada por um líquido. Se o recipiente tem 20cm de
15
diâmetro e cm de altura, então a quantidade, em litros, do
π
conteúdo do recipiente é:
01) 0,5 04) 1,2
02) 0,8 05) 1,5
03) 1,0
467. (UEFS-08.1) O álcool anidro, utilizado na obtenção do álcool
hidratado que abastece os veículos, é uma substância pura e sua
densidade é de 790g/l, ou seja 1 litro pesa 791 gramas. Sendo
assim, a massa de álcool anidro que enche totalmente um
reservatório na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 2,5m
de comprimento, 2,0m de largura e 60cm de altura é igual a, em kg,
a) 2370 d) 1980
b) 2260 e) 1870
c) 2140
468. (UEFS-08.1) Se do hemisfério superior de uma esfera for
retirada uma parte, de acordo com a figura, em que θ=60º, então o
volume restante corresponde à fração do volume total da esfera,
equivalente a
5 11
a) d)
6
12
7 13
b) e)
8
14
9
c)
10
469. (UEFS-07.2) Um copo cilíndrico de raio 3cm e altura 12cm
encontra-se numa posição vertical e totalmente vazio. Colocando-se
em seu interior dezesseis bolinhas esféricas de gelo de mesmo raio
r=1,5cm, pode-se afirmar que, após o degelo total das bolinhas, o
liquido obtido
a) transborda
b) enche o copo até a borda.
c) ultrapassa o meio do copo sem enchê-lo.
d) atinge exatamente o meio do copo.
e) não chega ao meio do copo.
470. (UNEB-2007) Quatro quadrados iguais são recortados dos
cantos de um papelão retangular de 30cm de comprimento por
20cm de largura. Dobrando-se as abas para cima, tem-se uma
caixa, sem tampa, cujo volume é uma função da largura dos
quadrados recortados. O domínio dessa função é:
01) { x ∈ R;
0 < x < 10 }
04) { x ∈ R;
x > 10 }
02) { x ∈ R;
0 < x < 15 }
03) { x ∈ R;
10 < x < 15 }
05) { x ∈ R;
x > 15 }
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471. (UESB-2007) Uma empresa prepara caixas em forma de
cubos, com volume V=343cm 3 . Para economizar espaço, elas ficam
desmontadas e guardadas em uma gaveta, como mostra a figura.
Nessas condições, pode-se concluir que a área da base da gaveta,
em cm 2 é igual a:
01) 588 04) 294
02) 441 05) 196
03) 392
472. (UESC-2007) Um cone circular reto possui raio da base e
altura iguais a 3cm e 4cm respectivamente. Ë correto afirmar que a
área lateral, em cm 2 , de um cilindro circular reto de raio da base igual
à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo
volume do cone é igual a:
01) 12 04) 14 π
02) 24
03) 12 π
05) 24 π
473. (UEFS-06.2) Um reservatório na forma de um paralelepípedo
reto retangular, que tem 10m de comprimento, 15m de largura e 3m
de altura, está completamente cheio de água.
Após serem utilizados 180000 litros, o nível da água restante no
reservatório atingirá a altura de:
a) 1,20m d) 2,10m
b) 1,60m e) 2,40m
c) 1,80m
474. (UEFS-07.1) Um lojista pretende colocar uma logomarca em
bexigas esféricas de r cm de raio para enfeitar sua loja. As 1000
bexigas são encomendadas a uma empresa que personaliza cada
bola por R$ 0,0r. Para saber o raio de cada bexiga, o lojista verifica
que, ao inseri-la em um cilindro de 216πcm 2 de área total, a bexiga o
tangencia nas laterais e nas bases do cilindro.
De acordo com tais condições, pode-se afirmar que o lojista gastará,
em reais,
a) 6,00 d) 60,00
b) 12,00 e) 120,00
c) 18,00
475. (UESB-2006)
Um reservatório em forma de cilindro circular reto é interceptado por
um plano - paralelo ao seu eixo e a 6 dm de distância desse eixo
- que determina uma seção meridiana angular ABCD com área igual
a 8dm 2 . Sendo iguais a altura e o raio da base do cilindro, pode
afirmar que a capacidade do reservatório é, igual, em litros , a
01) 0 , 2 2π
04) 16 π
02) 1 , 6 2π
05) 16 2π
03) 2 2π
476. (UNEB-2005) A razão entre o volume de um cubo e o volume
de um cilindro circular reto inscrito nesse cubo é igual a:
4
01)
π
1
04)
2π
2
02)
π
1
03)
π
1
05)
4π
55
477. (UESB-2006)
Pretende-se construir uma caixa para embalagem de um produto
em forma de uma pirâmide reta, de volume 96u.v, com base
quadrada, de modo que a soma do comprimento da sua altura com
o comprimento do lado da base é igual a 14u.c.
Sabendo-se que existe uma pirâmide nessas condições cuja altura é
igual a 8u.c; pode-se concluir que existe também uma outra
pirâmide cuja altura x dada em unidade de comprimento e é tal que:
01) x∈ N e x < 3. 04) x ∉ N e x > 8.
02) x ∉ N e x < 4. 05) x ∈ N e x > 10.
05) x ∈ N e 4 < x < 7.
478. (UEFS-06.1) Um frasco de remédio tem a forma de um cilindro
circular reto com raio de 3cm e altura de 10cm e contém xarope em
2/3 de seu volume total.
Se uma pessoa tomar, todos os dias, de 12 em 12 horas, 15ml
desse xarope, então a quantidade de xarope existente no frasco é
suficiente para, aproximadamente,
a) 4 dias d) 7 dias
b) 5 dias e) 8 dias
c) 6 dias
479. (UESB-2005) A interseção de um plano a com uma esfera de
raio R é a base comum de dois cones circulares retos inscritos na
esfera, tais que o volume de um dos cones é o triplo do volume do
outro.
Com base nessa informação, pode-se concluir que a altura do cone
de maior volume mede, em u.v.,
5 R
01)
2
3 R
04)
4
3 R
02)
2
2 R
05)
3
4 R
03)
3
480. (UESC-2005) Considere-se uma caixa em forma de um prisma
regular de altura igual a 5cm, tendo como base um hexágono de lado
igual a 2cm.
Com base nessa informação, pode-se concluir que o volume da
maior esfera que é possível se guardar nessa caixa mede, em cm 3 ,
62, 5π
01)
3
04) 4π 3
32π
02)
3
05) π 3
03) 12π 3
481. (UEFS-05.2)
A figura representa um prisma reto de base triangular.
Sobre as retas e os planos determinados pelos vértices do prisma,
pode-se afirmar:
a) As retas AB e A’B’ são reversas.
b) A reta AA’ não é paralela ao plano BB’C.
c) A reta AB é paralela à reta B’C’.
d) As retas BC e A’B’ são reversas.
e) A reta AB’ é perpendicular ao plano ABC.
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482. (UNEB-2003)
Sobre a pirâmide VABC, da figura, tem-se:
A aresta VA é perpendicular ao plano da base.
A base é um triângulo eqüilátero de lado igual a 1u.c.
3
O volume é igual a u.v.
12
Com base nessas informações, pode-se concluir que a área da face
VBC mede, em unidades de área,
3 7
01) 04)
3
2
3 7
02) 05)
4
4
2
03)
3
483. (UEFS-03.1) A razão entre a área da base de um cilindro
circular reto e a sua área lateral é igual a 2.
Assim, se o volume do cilindro mede 128πm 3 , a altura mede, em
metros,
a) 6 d) 3
b) 5 e) 2
c) 4
484. (UEFS-02.2) Uma empresa de embalagens fabrica latas, na
forma de um cilindro circular reto, de dois tamanhos. Uma lata, X,
possui raio r e altura 2h e a outra, Y, tem raio 2r e altura h. Com
bases nesses dados e sabendo-se que essas latas são feitas do
mesmo material, pode-se concluir:
a) A empresa gasta mais material para construir a lata Y do que a
lata X.
b) A empresa gasta a mesma quantidade de material para construir
os dois tipos de latas.
c) A capacidade da lata X é maior do que a da lata Y.
d) A capacidade da lata X é maior, se 0 < h < 1.
e) Os dois tipos de latas possuem a mesma capacidade.
485. (UNEB-2002)
Na figura, tem-se um cubo de volume 27u.v. O sólido S, obtido ao
se retirar desse cubo o tetraedro ABCD, tem volume igual
01) 13,5 u.v. 04) 22,5 u.v.
02) 21,7 u.v. 05) 24,0 u.v.
03) 22,0 u.v.
486. (UEFS-04.1) Sendo Ve o volume de uma esfera inscrita em um
cilindro circular reto de volume VC, pode-se afirmar que o volume
compreendido entre o cilindro e a esfera é:
1
3
V
1
2
4
V
7
a) VC
b) C
c) C
3
4
V
2
3
d) VC
e) C
56
487. (UEFS-03.2) Uma quantidade de óleo ocupa uma lata cilíndrica
até uma altura de 12cm. Transferindo-se o óleo para outra lata,
também cilíndrica, com raio igual a 1,4 vezes o raio da primeira, a
altura alcançada, nesse segundo recipiente, mede,
aproximadamente, em cm,
a) 6,1 d) 9,5
b) 7,5 e) 10,0
c) 8,0
488. (UNEB-2002) A área de uma face, a área total e o volume de
um cubo são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão
geométrica. Nessas condições, a medida da aresta desse cubo, em
unidades de comprimento, é igual a:
01) 3 04) 16
02) 6 05) 36
03) 9
GABARITO
GEOMETRIA ESPACIAL
460. 05 461. 05 462. A 463. E 464. 02 465. 02
466. 03 467. A 468. D 469. C 470. 01 471. 01
472. 05 473. D 474. D 475. 05 476. 01 477. 01
478. C 479. 02 480. 04 481. D 482. 05 483. E
484. A 485. 04 486. A 487. A 488. 05 *****
⎪⎧
0 2
i = 1 i = −1
i = −1
⎨ 1 3
⎪⎩ i = i i = −i
⎧a
− parte real de z
Forma Algébrica z = a + b ⋅i
⎨
⎩b
− parte imaginária de z
Quando a≠0 e b≠0, temos z = a + bi , e o número complexo é
chamado imaginário.
Quando a = 0 e b≠0, temos z = a + bi , e o número complexo é
chamado imaginário puro.
Quando b = 0, temos z = a + 0i
= a , e o número complexo, nesse
caso, identifica-se como o número real de a.
Oposto de um Número Complexo
z = a + bi Oposto − z = −a
− bi
Conjugado de um Número Complexo
z = a + bi Conjugado z = a − bi
Igualdade de Números Complexos
⎧a
= c
a + bi = c + di ⇔ ⎨
⎩b
= d
Operações com Números Complexos
z ⋅ z
1
Adição
z1 + z2
= a + bi + c + di = a + c
( ) + ( b + d)
⋅ i
Subtração
z1 − z2
= z1
+ ( −z2
) = a + bi + −c
− di = a − c + b − d ⋅
2
=
Multiplicação
( ) ( ) ( ) i
2
( a + bi)
⋅ ( c + di)
= ac + adi + bci + bdi = ( ac − bd)
+ ( ad + bc)
⋅i
z1
z1
⋅ z2
= =
z2
z2
⋅ z2
Números Complexos
Divisão
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2 2
a + bi ⋅ c − di ac − adi + bci
=
c + di ⋅ c − di
c
− di
2
− bdi
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z
− 1
=
1
z
Inverso de um Número Complexo
1
= =
a + bi
1 ⋅ ( a − bi ) a − bi
= 2 2
( a + bi ) ⋅ ( a − bi ) a + b
Módulo e Argumento de um Número Complexo
Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
( cosθ
− i ⋅ θ)
z = z ⋅ sen
Multiplicação z ⋅ z = z ⋅ z ⋅ [ cos(
θ + θ ) + i ⋅ sen(
θ + θ ) ]
z
1
2
1 1
Divisão = ⋅ [ cos(
θ − θ ) + i ⋅ sen(
θ − θ ) ]
z2
z
z2
n n
Potenciação z = z ⋅ [ cos(
n ⋅ θ)
+ i ⋅ sen(
n ⋅ θ)
]
1
1
⎛ θ + 2kπ
θ + 2kπ
⎞
Radiciação z = n
w z ⋅ ⎜cos
+ i ⋅ sen ⎟
⎝ n
n ⎠
3 2
489. (UESB-2006) Se f(
x)
= x + 2x
− 3x
+ 2 , então ( i)
2
2
f é um
número complexo cujos argumento principal e módulo são,
respectivamente,
π
01) e 4
4
π
02) e 1
3
π
03) e 4
2
1
1
2
2
04) π e 2
3π
05) e 4
2
490. (UESB-2007) Considerando-se o número complexo
z = ( −2i
+ 3)
+ ( 3x
+ i)
⋅ ( 2 − 3xi)
um imaginário puro, pode-se afirmar
que o valor de x é:
01) 3 04) 0
2
02)
3
1
05) −
3
1
03)
3
491. (UEFS-07.2) Com relação aos números complexos z 1 e z2
,
tais que + i ⋅ z = 3 e + i ⋅ z = i + 2 , é correto afirmar:
z1 2
a) ( z ) 2Re(
z )
z2 1
z =
Re 1 = 2
d) 1 2
b) ( z z ) 0
Re 1 2
c) z 1 = z2
− =
e) z2 ∈ R
492. (UESC-2006) Sendo i ∈ C , o valor da soma
S +
2 3 330
= 1+
i + i + i + ... i é:
01) – i 04) i
02) 1 – i 05) 1 + i
03) 1
2 2
Módulo z =
a + b
cosθ
=
θ =
a
z
Arg(
z)
e senθ
=
z
1
b
z
2
57
493. (UESB-2003) O argumento principal do número do número
complexo z = 3 − i é:
a) 330º d) 60º
b) 310º e) 30º
c) 250º
494. (UNEB-2007) Considere-se o número complexo z = 1+
2i
.
Sobre o argumento principal, θ, e o módulo, w = ( z + i)
⋅ ( z − i)
, podese
afirmar:
3π
01) < θ < 2π
2
e w = 2
π
04) < θ < π
2
e w = 2 5
3π
02) π < θ <
2
e w = 2 5
π
05) < θ < π
2
e w = 1
3π
03) π < θ <
2
e w = 1
495. (UNEB-2004) O número complexo z = a + bi , a, b∈
R , é tal
que z z
2 = . Nessas condições, pode-se concluir que o argumento
principal de z mede, em radianos,
π
01)
6
04) π
π
02)
3
7π
05)
6
2π
03)
3
496. (UEFS-08.2) Sendo w = 3i
, pode-se afirmar que
( 1+
i)
2
z = w − 2iw
+ é um número complexo, cujo módulo é igual a:
a) 2 d) 5
b) 3 e) 3
c) 2
497. (UEFS-08.1) Somando-se o sexto e o sétimo termo da
seqüência ( 2i, − 2,
− 2i,
... ) obtém-se um número complexo cujo
módulo e argumento principal são, respectivamente, iguais a:
a)
3π
2 e
4
7π
d) 4 e
4
b)
5π
2 e
4
3π
e) 4 e
4
c) 2
5π
2 e
4
498. (UEFS-09.1) A seqüência ( z n)
é uma progressão geométrica
cujo primeiro termo e razão são, respectivamente, iguais a = 1−
i
e q = i . Nessas condições, pode-se concluir que
a) – 1 d) i
b) – i e) 1 + i
c) 1
z 1
z 3 é igual a:
499. (UESB-2008) O número z = 3 + i , na forma trigonométrica,
corresponde a:
01) 2 ( cos 45º
+ isen
45º
)
04) 2 ( cos60º
+ isen
60º
)
02) 2 ( sen30º
+ icos
30º
)
03) 2 ( cos30º
+ isen30º
)
05) 2 ( sen45º
+ icos
45º
)
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500. (UESC-2007) Na forma trigonométrica, o número complexo
( 1−
i)
1 i
2
z = é representado por:
+
⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤
01) 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ − i ⋅sen⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤
02) 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ + i ⋅ sen⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
⎡ ⎛ 5π
⎞ ⎛ 5π
⎞⎤
03) 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ + i ⋅ sen⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
⎡ ⎛ 3π
⎞ ⎛ 3π
⎞⎤
04) 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ + i ⋅ sen⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
⎡ ⎛ 7π
⎞ ⎛ 7π
⎞⎤
05) 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ − i ⋅ sen⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
501. (UEFS-07.1) Considerando-se os números complexos
⎡ ⎛ 4π
⎞ ⎛ 4π
⎞⎤
⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤
z1 = 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ + i ⋅ sen⎜
⎟⎥
e z2 = 2 ⋅ ⎢cos⎜
⎟ + i ⋅ sen⎜
⎟⎥
, é
⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
correto afirmar que o valor de
a) − 1− 3 + i ⋅ ( 1−
3 )
b) 1− 3 + i ⋅ ( 1−
3 )
−1−
3 + i ⋅ ( 1−
3 )
c)
2
−1−
3 − i ⋅ ( 1−
3)
d)
2
e) − 1− 3 − i ⋅ ( 1−
3 )
2 2 ⋅ z
z
2
502. (UEFS-08.1) Seja z = −1+
i um número complexo e z , o seu
conjugado. Sabe-se que os afixos dos números complexos
z, z , zz
e z z
2
− são os vértices de um quadrilátero convexo cuja
área mede, em u.a.,
a) 2 d) 6
b) 3 e) 8
c) 5
503. (UESC-2009) Na figura, tem-se representado, no plano
Argand-Gauss, um triângulo eqüilátero ABC inscrito numa
circunferência com centro na origem e raio 2.
Se α um número complexo e, n um número natural, tais que as
raízes n-ésimas de α são os números complexos representados
pelos vértices do triângulo, então (α + n) é igual a:
01) 8i
02) 3 + 8i
03) 3 − 8i
1
é:
04) 28 + 4 3 i
3 + +
05) ( 4 3 ) 4i
58
504. (UESB-2005)
Os pontos P e Q, na figura, são afixos dos números complexos z1 e
z2. Sabendo-se que OP = 2u.c. e que OQ = 4u.c., pode-se afirmar
z 2
que o argumento principal e o módulo de são, respectivamente,
z
01) 0º e 3 04) 90º e 2
02) 30º e 2 05) 120º e 3
03) 45º e 4
505. (UNEB-2005)
Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos M, N
e P, afixas dos números complexos m, n e p. Sabendo-se que
o
m = n = p = 1 e que θ = 45 , pode-se afirmar que m − n + 2p
é
igual a
01) − 2
04) 2 − i
02) 2 − 2i
05) 2 − 2i
03) 1− 2
506. (UEFS-06.1)
O número complexo z, representado na figura, é uma das raízes do
= + + − , com b e c números reais.
3 2
polinômio P(
x)
x bx cx 8
O
Sabendo-se que α = 60 e OM=2, pode-se afirmar que a única raiz
real de P(x) = 0 é:
a) – 2 d) 1
b) – 1 e) 2
c) 0
507. (UEFS-04.2) O afixo de um número complexo z = a + bi é um
ponto da reta x + y = 1.
Sendo z = 5 , pode-se concluir que a − b é igual a
a) 5 − 1
d) 3
5
b) e) 5
3
c) 2
1
Dúvidas ou Sugestões
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508. (UESB-2009) A forma algébrica do número complexo
15
⎛ π π ⎞
Z = ⎜cos
+ isen
⎟ é:
⎝ 10 10 ⎠
01)
1 ( 1+
i 3 )
−
2
04) i
1
2
1−
i
05) − i
02) ( )
03) − 1
509. (UEFS-05.1) Considerando-se o número complexo
1 3
z + i
2 2
= , pode-se afirmar que z 7 é igual
1 3
3 1
a) z = + i
d) z = − + i
2 2
2 2
1 3
1 3
b) z = − + i
e) z = − − i
2 2
2 2
3 1
c) z = − + i
2 2
510. (UEFS-02.1) Considere o número complexo z = 2 + 2i
. O
menor número natural não nulo, n, tal que
nula é igual a:
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
n
z tem parte imaginária
511. (UEFS-06.2) Considerando-se z = 1+ i, pode-se afirmar que a
2 4 2n
seqüência de números complexos ( z , z , ..., z , ... )
positivo,
a) é uma progressão aritmética de razão i.
b) é uma progressão aritmética de razão 2i.
c) é uma progressão geométrica de razão i.
d) é uma progressão geométrica de razão 2i.
e) não é progressão aritmética nem geométrica.
com n inteiro
512. (UESC-2009) A representação, no plano Argand-Gauss, do
conjunto de { x C;
− z + z = 2 i }
∈ é uma reta:
01) que não é paralela a nenhum dos eixos Ox e Oy e que passa
pelo ponto (0, -1)
02) não paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (-1, 0).
03) paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (-1, 0).
04) paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, 1).
05) paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, -1).
513. (UNEB-2008) Os afixos dos números complexos −2i
z3 são eqüidistantes do ponto ( 0,
0 )
z1 = , z2 e
P e são vértices de um triângulo
eqüilátero. Nessas condições, pode-se concluir que 2 3 z z ⋅ é:
01) igual a ( 1− i ) .
02) igual a ( 1+ i ) .
03) igual a 3 + i .
04) um imaginário puro.
05) um número real.
514. (UEFS-09.1) Os afixos dos números complexos
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π
⎞ ⎛ 3π
⎞
u = cos⎜
⎟ + isen⎜
⎟ v = cos⎜
⎟ + isen⎜
⎟ e
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎛ 3π
⎞ ⎛ 3π
⎞
w = cos⎜
⎟ + isen⎜
⎟ são, no plano Argand Gauss,
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
59
a) pontos colineares.
b) vértices de um triângulo eqüilátero.
c) vértices de um triângulo retângulo.
d) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio 1.
e) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio fi.
GABARITO
NÚMEROS COMPLEXOS
489. 05 490. 05 491. A 492. 04 493. A 494. 04
495. 03 496. D 497. C 498. D 499. 03 500. 03
501. A 502. D 503. 02 504. 04 505. 05 506. E
507. D 508. 05 509. A 510. C 511. E 512. 05
513. 05 514. D ***** ***** ***** *****
Função Polinomial
n n−1
n−2
( x)
= a0x
+ a1x
+ a2x
+ ... + an−1x
an
P +
( coeficientes)
⎧a0,
a1,
a2,
..., an−1
e an
⎪ n n−1
n−2
⎨a0x
+ a1x
+ a2x
+ ... + an−1x
+ an
⎪
⎩an
( termo independente)
Valor numérico de um polinômio
( termos dos polinômios)
Dado um polinômio P(x), chama-se valor numérico de P(x), para
x=a, o número encontrado quando substituímos x por a e efetuamos
as operações indicadas.
Raiz ou Zero de um Polinômio
Dado um polinômio P(x) e um número a, dizemos que a é raiz ou
zero do polinômio P(x) se, e somente se, P(a) = 0.
a é raiz ⇔ P a =
Polinômio Identicamente Nulo
( ) 0
Dado um polinômio P(x), dizemos que P(x) é identicamente nulo
se, e somente se, P(x) = 0 qualquer que seja o valor de x.
P x = 0 ⇔ P x = 0,
∀x
∈
( ) ( ) C
Note que a condição necessária e suficiente para que P(x)=0 é
que todos seus coeficientes sejam nulos, ou seja,
x 0 ⇔ a = a = a = ... = a = a =
( ) 0
P ≡ 0 1 2
n−
1 n
Grau de um Polinômio
Seja P(x) um polinômio não-nulo.
Chamamos de grau de P(x) e indicamos por gr(P) o maior
expoente de x tal que o coeficiente do termo onde esse expoente
aparece seja diferente de zero.
Polinômios Idênticos
Um polinômio é idêntico a outro se, e somente se, os
coeficientes dos termos semelhantes são iguais.
P x P x ⇔ a = b , a = b , a = b , ..., a = b e a = b
( ) = 2(
) 0 0 1 1 2 2 n−
1 n−1
n n
1
Operações com Polinômios
Adição ou Subtração de Polinômios
Para somar ou subtrair polinômios, basta somar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhante.
Multiplicação de Polinômios
Polinômios
Para multiplicar dois polinômios, basta multiplicar cada termo de
um deles por todos os termos de outro e, depois, reduzir os termos
semelhantes.
Dúvidas ou Sugestões
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Divisão de Polinômios
Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo
x – a é o valor numérico de P(x) para x = a, ou seja, R = P(a).
Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, P(a)=0
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a
divisão de P(x) = 3x 3 – 5x 2 + x — 2 por x — 2:
1. Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do
dividendo, em ordem decrescente dos expoentes de x, conforme o
dispositivo ao lado, e repetimos, abaixo da linha, o primeiro
coeficiente do dividendo.
2. Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e
adicionamos o produto ao segundo coeficiente do dividendo,
colocando o resultado abaixo deste último.
3. Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2
coeficiente e adicionamos o produto ao 3º coeficiente, colocando o
resultado abaixo dele, e assim sucessivamente.
4. Separamos o último número formado, que é igual ao resto da
divisão; os números que ficam à sua esquerda são os coeficientes
do quociente.
Logo Q
2 ( x)
= 3x
+ x + 3 e R(
x)
= 3
Decomposição de um Polinômio em Fatores
2
ax + bx + c = a ⋅
3 2
ax + bx + cx + d
Generalizando
n n−1
anx
+ an−1x
+ ... + a1x
+ an
an
⋅ ( x − x,
) ⋅ ( x − x,
, ) ... ( x − xn
)
Raízes duplas, triplas etc
( x − x,
) ⋅ ( x − x,
, )
= a ⋅ ( x − x,
) ⋅ ( x − x,
, ) ⋅ ( x − x,
, , )
Se duas, três ou mais raízes de um polinômio forem iguais,
dizemos que são raízes duplas, triplas etc.
Uma raiz α do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de
multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x — a) 2 e assim por diante.
Raízes complexas
Teorema:
Se um número complexo z = a + bi, coma, b ∈ R e b ≠ 0, é raiz
da equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então o seu
conjugado z = a - bi é também raiz da mesma equação.
60
Observações:
• Se o número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, é raiz de
multiplicidade k de uma equação algébrica de coeficientes reais,
então o seu conjugado z = a — bi também será raiz de multiplicidade
k dessa equação.
• As raízes complexas não reais de uma equação algébrica de
coeficientes reais ocorrem aos pares. Portanto, toda equação de
grau ímpar, com coeficientes reais, admite pelo menos uma raiz real.
Raízes racionais
Teorema:
p
Se o número racional , p e q primos entre si, for raiz da
q
equação algébrica de coeficientes inteiros, p será divisor de a e q
será divisor de an.
Relações de Girard
a x
n
n
+ a
Equação do 2ºgrau
⎧
b
⎪S
= x,
+ x,,
= −
ax + bx + c = 0
a
⎨
c
⎪P
= x,
⋅x,,
=
⎪⎩
a
2
Equação do 3ºgrau
⎧
b
⎪x1
+ x2
+ x3
= −
⎪
a
3 2
⎪
c
ax + bx + cx + d = 0 ⎨x1x
2 + x1x3
+ x2x
3 =
⎪
a
⎪ 1 2 3 d
x ⋅ x ⋅ x = −
⎪⎩
a
n−1
n−1x
+ a
Generalizando
n−2
n−2x
+ ... + a x
+ a x + a
⎧
an−1
⎪x1
+ x2
+ x3
+ ... + xn−1
+ xn
= −
⎪
an
⎪
x + + + + + + +
⎪ 1x
2 x1x3
... x1xn
x2x
3 x2x
4 ... x
⎨
⎪
an−3
x1x
2x3
+ x1x2x
4 + x1x3
x4
+ x2x
3x
4 = −
⎪
an
⎪
n a0
⎪x1
⋅ x2
⋅ x3
⋅...
⋅ xn−1
⋅ xn
= ( − 1)
⋅
⎪⎩
an
2
2
1
n−1
n
an
=
a
515. (UEFS-03.2) Os valores de K, L e M que tornam verdadeira a
3x
−1
K LX − M
igualdade = + , x ∈R − { −2,
0,
2}
são tais que:
2
2
x x − 4 x x −
( ) 4
a) K < L < M d) L < K < M
b) K < M < L e) M < L < K
c) L < M < K
3 2
516. (UEFS-03.1) Sendo o polinômio P(
x)
2x
+ ax + bx + c
a, b e c ∈R, divisível por ( x)
x 1
é igual a:
a) 5 d) – 2
b) 3 e) – 3
c) 0
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0
x
−2
= com
D = − , pode-se concluir que a + b + c
4 3
517. (UEFS-02.2) Considere o polinômio P(
x)
= x − 2x
+ ax + b
com a, b ∈ R. Se P(x) é divisível por (x + 1) e tem 2 como raiz, então
a.b é:
a) – 4 d) 2
b) – 3 e) 3
c) – 2
n
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518. (UESB-2007) Considerando-se que os polinômios
3 2
3
( x)
= x − 2ax
+ ( 3a
+ b)
x − 3b
e Q(
x)
x − ( a + 2b)
x + 2a
P
= são
divisíveis por x + 1, é correto afirmar que o valor de a + b igual a:
01) – 12 04) 3
02) – 4 05) 12
03) – 1
9
519. (UEFS-08.2) O resto da divisão do polinômio P(
x)
x + x
2
= − é:
polinômio Q(
x)
x 1
a) − x + 1
d) −x
b) 2 x + 1
c) 0
e) 2x
= pelo
520. (UEFS-02.1) Sobre a divisão do polinômio
3 2
( x)
= 2x
− kx + 3x
− 2 pelo polinômio Q ( x)
x + 1
P
afirmar:
a) O resto da divisão é igual a − 7 − k .
b) A divisão é exata para k = −1.
c) O quociente é igual a − 2x
+ 2 para k = −3
.
d) O resto da divisão é positivo para k > 5 .
e) O polinômio P(x) tem um zero igual a 2, quando k = 0 .
x 2
= , é correto
2
521. (UESB-2004) A divisão do polinômio P(x) por D(
x)
x 2x
1
2
tem quociente Q(
x)
= 2x
+ x −1
e resto R ( x)
4x
+ 1
resto da divisão de P(x) por x + 1 é igual
01) – 3 04) 1
02) – 2 05) 4
03) 0
=
−
+
= . Portanto, o
522. (UESB-2006) Dividindo-se o polinômio P(x) por x 1
2 − obtémse
o quociente 4x e resto 3x + k, em que k é constante real.
Se x=0 é uma das raízes do polinômio, pode-se afirmar que as
outras raízes de P(x) são números:
01) irracionais 04) pares
02)complexos conjugados 05) impares
03) racionais não inteiros
523. (UEFS-05.1) Considerando-se os polinômios
P
3 2
2
( x)
= x − 3x
+ bx + c , M(
x)
= x − 4x
+ 5 e Q ( x)
x + 1
P(
x)
M(
x)
Q(
x)
relação entre os polinômios
igual a:
a) 0 d) 5
b) 2 e) 6
c) 4
= e sendo a
= verdadeira, então b + c é
3 2
524. (UEFS-04.2) Dividindo-se o polinômio P(
x)
x x 2x
n
por
Q
( x)
1
D( x)
= x − ,obtém-se resto igual a
2
=
−
+
+
1
− e quociente
8
2 7
= x + mx + .Com base nesses dados, pode-se concluir:
4
a) m ∈ Z+
e n ∈ Z−
d) m ∈ Z+ e n∈ Q - Z
b) m ∈ Z- e n ∈ Z+
c) m ∈ Q - Z e n ∈ Z-
e) m∈Q - Z e n∈ Q - Z
525. (UESC-2007) A soma dos valores de m e n, de modo que o
= + + − − seja divisível pelo
4 3 2
polinômio P(
x)
2x
3x
mx nx 3
= − − é:
2
polinômio Q(
x)
x 2x
3
01) -19 04) 23
02) -4 05) 4
03) 42
61
526. (UEFS-06.2) Sabendo-se que o polinômio
3 2
2 ( x)
= 2x
+ mx + nx − 1 é divisível por Q(
x)
x − 1
P
= pode-se
concluir que sua decomposição em um produto de fatores do grau é:
a) ( 2 x + 1)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
d) ( x − 2)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
b) ( 2 x − 1)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
c) ( − 2 x + 1)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
e) ( x − 2)
⋅ ( x − 1)
⋅ ( x − 1)
527. (UESB-2009) O número real m = 1 é uma raiz, de
5 4 2
multiplicidade 3, do polinômio P(
x)
= x − 4x
+ 14x
−17x
+ 6 . Se a
e b são as outras raízes de P(x), então é verdade que:
01) a + b = 6
04) ab = 1
02) a + b = 1
03) a + b = −6
05) ab = −1
528. (UEFS-09.1) A soma e o produto das raízes do polinômio
2 ( x)
2x
+ bx + c
P = são, respectivamente, - 6 e 5. Assim, o valor
mínimo que P(x) pode assumir pertence ao conjunto:
a) { − 6, − 4,
− 1}
d) { 2,
4,
5 }
b) { − 5, − 3,
− 0 }
c) { − 8,
1,
6 }
e) { 3,
7,
8 }
529. (UEFS-07.1) Sabendo-se que a soma de duas raízes do
3 2
polinômio P(
x)
x 4x
11x
k
= + − − é -7, é correto afirmar que o
conjunto-solução de p(x)=0 é:
a) {2, 3, 5} d) {-5, -2, 3}
b) {-5, 2, 3} e) {-5, -3, -2)
c) {-2, 3, 5)
3 2
530. (UESB-2006) Se o polinômio P(
x)
x − 4x
+ mx − 4
suas raízes x 1,
x2,
x3
satisfazem a
constante m é igual a:
01) – 6 04) 3
02) – 3 05) 6
03) 2
= é tal que
1 1 1 3
+ + = , então a
x x x 2
531. (UESC-2002) O produto de duas das raízes do polinômio
3
2
x − 5x
+ 8x
− 6 é igual a 2 e X3, a outra raiz. Nessas condições, é
correto afirmar que
01) X3∈Z e X3 < -1 04) X3∈ R - Q e X3 ≤ 5
02) X3∈Q – Z 05) X3∉ R
03) X3∈ N e X3 ≤ 4
532. (UNEB-2003) Sabendo-se que -1 é uma das raízes do
3 2
polinômio P(
x)
= x − x + x + 3 , pode-se afirmar que a soma dos
módulos das outras raízes é igual a:
01) 6 04) 2 3
02) 4
03) 3
3
05) 3
533. (UEFS-07.2) O argumento principal e o módulo do número
π
complexo z, são respectivamente iguais a θ = e OA = 3 . Sendo
6
3 2
z uma das raízes do polinômio P(
x)
2x
5x
mx n
1
2
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3
= − + − , m e n
constantes pode-se afirmar que o valor da única raiz real de P ( x)
= 0
é:
a) – 2 d) 2
1
b) −
2
3
c)
2
5
e)
2
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534. (UEFS-04.2) Os números 1 e i são raízes de um polinômio
P(x), com coeficientes reais e grau 3. Sabendo-se que P(-1) = - 6,
pode-se concluir que P(3) é igual a:
a) –1 d) 22
b) 0 e) 30
c) 12
535. (UEFS-08.1) Na figura, x = k é uma das raízes do polinômio
P
3 2
( x)
2x
− 3x
+ 1
= .
A reta r, no gráfico, representa uma função do 1ºgrau cujo
coeficiente linear é igual a:
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
536. (UEFS-08.2) Os números complexos z = 2 − i e w = −2
+ i são
raízes de um polinômio com coeficientes reais e de grau 10.
O número máximo de raízes reais que esse polinômio pode ter é
igual a:
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
537. (UESC-2008) Sabendo-se que − 1+ i é uma das raízes do
= + + + + , pode-se concluir que esse
4 3 2
polinômio P(
x)
x 2x
6x
8x
8
polinômio
01) possui três raízes reais.
02) possui duas raízes reais a e b, tais que a + b = 0.
03) possui duas raízes reais a e b, tais que a.b = 4.
04) possui exatamente uma raiz real.
05) não possui raízes reais.
2
538. (UEFS-08.1) Seja P(
x)
mx + nx + t
= , com m, n, t ∈ R, m ≠ 0,
um polinômio com duas raízes reais e distintas, tal que P ( 2)
> 0 .
Sendo assim é verdade afirmar:
a) Para qualquer valor não nulo de m, as raízes de P ( x)
são
menores que 2.
b) Se m > 0, então as raízes de ( x)
P são menores que 2.
c) Se m < 0, então as raízes de P ( x)
são menores que 2.
d) Se m > 0, então x = 2 está entre as raízes de P ( x)
.
e) Se m < 0, então x = 2 está entre as raízes de P ( x)
.
539. (UNEB-2007) Sobre as raízes r1, r2 e r3 do polinômio
( ) ( ) ⎟ ⎛
2 ⎞
⎜ 2 a
2 2 2
P x = x + 2 ⋅
⎜
x + ax − , sabe-se que r1
+ r2
+ r3
= 10 .
⎝ 2 ⎠
Assim, os possíveis valores da constante a são números:
01) irracionais de sinais opostos.
02) irracionais de mesmo sinal.
03) irracionais não inteiros.
04) inteiros de sinais opostos.
05) inteiros de mesmo sinal.
62
3 2
540. (UEFS-05.2) Sabe-se que o polinômio P(
x)
= x + 2x
+ x + 2
possui uma raiz inteira. Com base nessa informação, pode-se
afirmar que a raiz inteira e todas as raízes complexas pertencem ao
conjunto;
a) {-2, 1, -2i, i, 2i} d) {-1, 1,3, -i, i}
b) {1, 2, 3, -i, i} e) {-2, 1, 3, -i, i}
c) {1, 2, 3, -2i, 2i}
541. (UESB-2008) O polinômio P(
x)
3 2
x − 2x
+ x + k
número ímpar de raízes no intervalo ] 1,
2 [
tal que:
= terá um
− para valores reais de k é
01) – 2 < k ≤ 4 04) k ≤ – 2 ou k ≥ 4
02) – 2 < k < 4 05) K < – 2 ou k > 4
03) – 2 ≤ k ≤ 4
542. (UESB-2008) Sendo 2 a raiz do polinômio
P
3 2
( x)
x − x − x − 2
− 1−
01)
2
= , pode-se afirmar:
3 i
é uma das raízes complexas de P(x).
3 i−
1 3i+
1
02) e são raízes complexas de P(x).
2 2
03) P(x) não tem raiz complexa.
04) 2 é raiz dupla de P(x).
05) P(x) tem três raízes reais.
543. (UEFS-09.1) Um polinômio P, de grau n, tem o coeficiente do
termo de maior grau igual é a 1 e suas raízes formam uma
progressão geométrica de razão 3 cujo primeiro termo r1 = 3.
Sabendo-se que o termo independente de P igual a 3 15 , pode-se
concluir que o grau de P é igual a:
a) 3 d) 8
b) 5 e) 10
c) 7
2
n
544. (UESC-2009) Sabendo-se que ( )
P x = −9
+ 5x
+ a2x
+ ... + anx
é um polinômio cujos coeficientes a2, ... .a, são números inteiros,
então sobre as raízes de p(x), pode-se afirmar que:
01) 0 pode ser uma dessas raízes.
02) 5 pode ser uma dessas raízes.
03) P(x) pode ter 8 raízes (distintas) que são números inteiros.
04) P(x) tem, no máximo 6 raízes (distintas) que são números
inteiros.
05) P(x) tem, no máximo, 2 raízes (distintas) que são números
inteiros.
GABARITO
POLINÔMIOS
515. E 516.D 517. C 518. 03 519. E 520. A
521. 01 522. 03 523. E 524. C 525. 05 526. A
527. 02 528. C 529. D 530. 05 531. 03 532. 04
533. B 534. E 535. B 536. B 537. 05 538. E
539. 01 540. E 541. 02 542. 01 543. B 544. 04
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Média Aritmética
A média aritmética de um conjunto de n números x 1,
x2,
x3,
..., xn
será indicada por x e é definida como o quociente da soma dos
números por n.
n
∑ xi
x1
+ x2
+ x3
+ ... + xn
i=
1
x =
=
n
n
Já, se tivermos n números x 1,
x2,
x3,
..., xn
e cada um deles
ocorrer, respectivamente, com os pesos p 1,
p2,
p3,
..., pn
, a média
aritmética desses números é definida por:
n
∑ i ⋅ i
p1
⋅ x1
+ p2
⋅ x2
+ p3
⋅ x3
+ ... + pn
⋅ xn
i=
1
x =
=
p + + + +
n
1 p2
p3
... pn
∑pi
i=
1
( p x )
Analogamente, se tivermos n números x 1,
x2,
x3,
..., xn
e cada um
deles apresentar, as freqüências f 1,
f2,
f3,
..., fn
, a média aritmética é
definida por:
n
∑ f
⋅ x
∑ fi
Mediana
i=
1
É definida como o valor central ou como a média aritmética
simples dos valores centrais.
Moda
É o elemento que ocorre com a maior freqüência, ou seja, é o
elemento mais repedido ou mais comum.
Desvio
A diferença entre cada um dos valores dados e a média aritmética,
nessa ordem. Indicamos o desvio de um dado = x − x .
xi i
Variância - Média aritmética dos quadrados dos desvios.
S
2
x
=
n
∑
i=
1
( xi
− x)
Se x 1,
x2,
x3,
..., xn
ocorrem, respectivamente, com as freqüências
f , f , f , ..., f , a variância é definida por:
1
2
3
n
S
2
x
n
∑ fi
⋅
i=
1
=
n
Estatística
i
i=
1
n
( )
( xi
− x)
n
, em que n = ∑ fi
545. (UEFS-08.1) O número de pontos obtidos por 250 candidatos
que fizeram as provas de um concurso foi distribuído em três
planilhas distintas, P1, P2 e P3, de modo que P1 contém a pontuação
de 75 candidatos, P2 contém a pontuação de 85 candidatos e P3
contém a pontuação de 90 candidatos.
Sabendo-se que a média aritmética dos pontos contidos em P1 e P2
é 70, que a média aritmética dos pontos contidos em P1 e P3 é 60,
pode-se afirmar que a média aritmética dos pontos obtidos pelo total
de candidatos é igual a:
a) 68,0 d) 71,1
b) 69,3 e) 72,0
c) 70,2
546. (UESC-2002) Para ser aprovado num curso, um aluno deve
alcançar média mínima igual a 7,0, calculada como a metade da
soma das notas de duas provas. Um aluno obteve média igual a 6,5
e estima que, se mantida a nota que obteve em uma das duas
provas, então, para ser aprovado, precisaria ter obtido, na outra
prova, uma nota, pelo menos, 20% maior do que a nota que de fato
obteve naquela prova. A partir dessa informação, pode-se concluir
que a maior das duas notas obtidas pelo aluno foi igual a:
01) 5,0 04) 8,0
02) 6,5 05) 9,5
03) 7,0
i
n
i=
1
63
547. (UESB-2007) O gráfico mostra a distribuição de salários dos
funcionários de uma microempresa. Com base nessas informações,
pode-se afirmar que a média de salário dos funcionários dessa
empresa, em reais, é igual a:
2000
1500
800
600
400
01) 950 04) 830
02) 920 05) 820
03) 910
548. (UNEB-2007) A tabela registra as alturas dos alunos de uma
turma composta por 50 estudantes.
Chamando Ma a média aritmética das alturas; Me, a mediana das
alturas e Mo, a moda das alturas, pode-se afirmar que:
01) Ma < Me < Mo 04) Me < Mo < Ma
02) Mo < Me < Ma 05) Mo < Ma < Me
03) Me < Ma < Mo
549. (UNEB-2005)
O gráfico de setores ilustra o resultado de uma pesquisa, feita com
um grupo de 1280 eleitores, sobre a manutenção do horário político
no rádio e na TV, em períodos que antecedem as eleições. Se o
setor A corresponde às 576 pessoas que acham que o horário
político deve acabar, o setor B corresponde ao número de pessoas
que acham que esse horário deve continuar, e o setor C
corresponde ao número de pessoas que não têm opinião formada,
então o número de pessoas que compõem o setor C é igual a:
01) 224 04) 458
02) 342 05) 480
03) 386
550. (UNEB-2002)
salários em reais
3 2 5 7 3
O gráfico representa o resultado de uma pesquisa feita em um
município, no mês de junho de 2001, a fim de analisar a redução do
consumo de energia em residências, tendo-se em vista a meta
fixada pelo governo, e com base na seguinte pergunta: "Qual a
redução conseguida em relação à meta"?
A partir dessa informação e sabendo-se que o percentual para cada
resposta é proporcional à área do setor que o representa, o ângulo
do setor correspondente à resposta "Menor" é igual a:
01) 108,3° 04) 151,2°
02) 118,8° 05) 160°
03) 142°
nº de funcionários
Altura 1,56 1,68 1,75 1,80 1,85
Freqüência 12 10 8 10 10
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551. (UESB-2006) Para avaliar os resultados de um curso, foi feito
um levantamento estatístico relativo à freqüência dos alunos
matriculados e verificou-se que:
• 8% dos alunos não freqüentaram as aulas;
• 20% dos alunos que freqüentaram as aulas não obtiveram a
freqüência mínima necessária para serem aprovados;
• dos demais alunos, apenas 75% foram aprovados.
Sabendo-se que apenas 69 dos alunos matriculados foram
aprovados, pode-se concluir que o número de alunos reprovados foi
igual a:
01) 39 04) 50
02) 45 05) 56
03) 48
552. (UNEB-2004)
Se o gráfico representa a distribuição das médias aritméticas (Ma)
obtidas por um grupo de alunos em uma prova, então a média
aritmética dessas notas é, aproximadamente, igual:
01) 4,43 . 04) 6,20
02) 4,86 05) 5,58
03) 5,85
553. (UEFS-02.2) Um professor resolveu regraduar as notas de
uma prova, considerada difícil, mantendo a nota máxima, ainda
como 10 e a nota 5 passando a ser 6, de modo que o ponto ( x, y),
em que x é a nota original e y a nota regraduada, esteja sobre uma
reta.
Com base nessas informações, se, na nova graduação, 7 é a nota
mínima para aprovação, então a nota para aprovação,
correspondente na graduação original, é:
a) 5,75 d) 6,50
b) 6,00 e) 7,00
c) 6,25
554. (UNEB-2003)
O gráfico representa a distribuição de freqüência do número de gols
que um time de futebol fez por partida, nos doze jogos de que
participou em um campeonato.
Com base nessas informações, a média do número de gols feitos,
por partidas, por esse time, nesse campeonato, foi igual
01) 3,00 04) 2,20
02) 2,75 05) 2,00
03) 2,25
64
555. (UEFS-03.2)
O gráfico representa a quantidade de desempregados numa região,
a partir de determinado dia.
Sabendo-se que os segmentos MN e PQ são paralelos, pode-se
concluir que o número de pessoas desempregadas, 6 anos após o
início das observações, é igual a:
a) 5000 d) 3580
b) 4800 e) 3200
c) 4200
GABARITO
ESTATISTÍCA
545. C 546. 04 547. 02 548. 05 459. 01 550. 04
551. 05 552. 03 553. C 554. 03 555. A
UFBA-07.1ª etapa
Questão 01.
Sobre números reais, é correto afirmar:
(01) Se a é o maior número de três algarismos divisível por 7, então
a soma de seus algarismos é igual a 22.
(02) Se a é um múltiplo de 3, e b é um múltiplo de 4, então a.b é
múltiplo de 6.
(04) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a.
(08) Se a e b são números reais tais que a ≤ b , então b é positivo.
(16) Para quaisquer números reais a e b, a − b ≤ a + b .
(32) Dados quaisquer números reais a, b e c, se a ≤ b então
a ⋅ c ≤ b ⋅ c.
Questão 02.
Um comerciante compra determinado produto para revender. A
diferença entre o preço de venda e o preço de custo, quando
positiva, é chamada de “lucro por unidade”. O comerciante
estabeleceu um preço de venda tal que o seu lucro seja 50% do
preço de custo. Com base nessas informações, é correto afirmar:
(01) O lucro total obtido é diretamente proporcional à quantidade
vendida.
(02) O preço de venda é 150% maior que o preço de custo.
(04) Se o comerciante conceder um desconto de 20% sobre o
preço de venda, então terá um lucro de 20% sobre o preço de
custo.
(08) Se o preço de custo aumentar em 10%, e o preço de venda for
mantido, então o lucro será 40% do preço de custo após o
aumento.
(16) Se o comerciante fizer uma promoção do tipo “Leve 4 unidades
e pague apenas 3”, então isso representará, para o cliente, um
desconto total de 25%.
(32) Se, nos meses de janeiro e fevereiro de 2006, o lucro do
comerciante cresceu exponencialmente a uma taxa mensal de 2%
em relação ao mês anterior, então, ao final de fevereiro, o lucro foi
4,04% maior que o lucro ao final de dezembro de 2005.
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Questão 03.
Com base nos conhecimentos sobre funções, é correto afirmar:
(01) Se a função afim ( x)
ax b
b
a > 0 ou x > − .
a
(02) Se a função afim ( x)
ax b
b
função é negativa para todo x < − . .
a
m = + , a ≠ 0 , é crescente, então
p = + , a ≠ 0 , é decrescente, então a
2
(04) Se a função quadrática n(
x)
ax bx c
= + + é par, então b = 0 .
(08) Se a figura representa um esboço do gráfico da função
2
quadrática r(
x)
ax bx c
= + + , então b é um número real negativo.
2
(16) Se a função quadrática h(
x)
ax 4x
c
= + + h admite valor
máximo 1 no ponto de abscissa −2, então c − a = 4 .
4 2
(32) Se a função real f(
x)
ax bx c
= + + , com a ≠ 0, possui apenas
duas raízes reais positivas distintas, entre suas raízes, então a
2
função quadrática g(
x)
ax bx c
positivas distintas.
y
= + + possui duas raízes reais
Questão 04.
A vitamina C é hidrossolúvel, e seu aproveitamento pelo organismo
humano é limitado pela capacidade de absorção intestinal, sendo o
excesso de ingestão eliminado pelos rins. Supondo-se que, para
doses diárias inferiores a 100mg de vitamina C, a quantidade
absorvida seja igual à quantidade ingerida e que, para doses
diárias maiores ou iguais a 100mg, a absorção seja sempre igual à
capacidade máxima do organismo – que é de 100mg –, pode-se
afirmar, sobre a ingestão diária de vitamina C, que são verdadeiras
as proposições
(01) Para a ingestão de até 100mg, a quantidade absorvida é
diretamente proporcional à quantidade ingerida.
(02) Para a ingestão acima de 100mg, quanto maior for a ingestão,
menor será a porcentagem absorvida de vitamina ingerida.
(04) Se uma pessoa ingere 80mg em um dia e 120mg no dia
seguinte, então a média diária da quantidade absorvida nesses dois
dias foi de 100mg.
(08) A razão entre a quantidade ingerida e a quantidade absorvida
pelo organismo é igual a 1.
(16) A função f que representa a quantidade de vitamina C
absorvida pelo organismo, em função da quantidade ingerida x, é
⎧x,
se 0 ≤ x < 100
dada por f ( x)
= ⎨
⎩100,
se x ≥ 100
(32) O gráfico abaixo representa a quantidade de vitamina C
absorvida pelo organismo em função da quantidade que foi
ingerida.
x
65
Questão 05.
x
Considerando-se as funções f( x)
= x − 2 e ( x)
2
todo x real, e a função ( x)
log x
positivo, é correto afirmar:
h 3
g = , definidas para
= , definida para todo x real
g
(01) O domínio da função é o conjunto dos números reais
h
positivos.
f ⋅h
(02) A função
fog
se anula em dois pontos.
(04) A função composta hog é uma função linear.
(08) O gráfico da função hof intercepta o eixo Ox em um único
ponto.
(16) O gráfico da função fog intercepta o gráfico de h(x) no ponto
de abscissa igual a 1.
(32) Se g ( h(
a ) = 8 e ( g(
2b
) log 8
h 3
a
= , então = 18 .
b
Questão 06.
Com base nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e
sistemas lineares, é correto afirmar:
(01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são
simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica.
⎛x
(02) Se a matriz
⎜
⎝1
2⎞
⎟ é inversível, então x é um número racional.
x⎠
(04) Se x é um número real não nulo e
x − x 1
x x
3
= a então 0 1 3 = a .
−1 x 1
−1
1 − x x
(08) Se o sistema linear
7
b − a ≠ .
2
2
2
⎧x
− y = b
⎨ é impossível, então
⎩2x
+ ay = 3
( a + 1)
x − ( a − 1)
( a − 1)
x + ( a + 1)
⎧
y = b
(16) O sistema linear ⎨
é possível e
⎩
y = c
determinado, quaisquer que sejam os valores reais de a, b e c.
(32) Existe um número real a, não nulo, tal que o sistema linear
⎧x
+ ay + z = 0
homogêneo ⎨
admite uma única solução.
⎩2x
− ay − 3z
= 0
Questão 07.
Considerando-se um triângulo retângulo isósceles ABC, um ponto
D tal que AD = BD e o ângulo DBC que mede 150º, representados
na figura, é correto afirmar:
(01) O quadrilátero ADBC é um trapézio.
(02) O triângulo ADB é eqüilátero.
(04) O ângulo CAD mede 105º.
AB 2
(08) A área do quadrilátero ADBC é igual a ( 3 + 2).
4
DC
(16) Se x = , então 2 < x < 3.
AB
(32) Se P(x, y) é o ponto de interseção das medianas do triângulo
11
ABC, sendo B(2,3) e C(4,1), então x + y = .
3
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Questão 08.
Com base nos conhecimentos sobre geometria espacial, pode-se
afirmar:
(01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então toda reta
perpendicular à reta r é também perpendicular ao plano α.
(02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe um
único plano passando por P, paralelo à reta s.
(04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s é reversa
a r, então a reta s intercepta o plano α.
(08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma reta
perpendicular a α, que não está contida em β, então r é paralela a
β.
(16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um
deles é perpendicular ao outro.
(32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma reta ou um
ponto.
Questão 09.
Na figura ao lado, todos os triângulos são retângulos isósceles, e
ABCD é um quadrado. Nessas condições, determine o quociente
GH
.
CE
Questão 10.
Considerando que os números reais a, b e c formam, nessa ordem,
uma progressão geométrica e satisfazem a igualdade,
Determine o valor de b.
1
a + + 2log
c = 9
log 2
log2 4
b
UFBA-08.1ª etapa
Questão 01.
Uma pessoa contraiu um empréstimo no valor de R$1000,00 para
ser quitado, no prazo de dois meses, com pagamento de
R$1300,00.
Com base nessa informação, é correto afirmar:
(01) A taxa bimestral de juros é de 30%.
(02) A taxa mensal de juros simples é de 13%.
(04) A taxa mensal de juros compostos é de 15%.
(08) Em caso de atraso do pagamento, considerando-se a taxa
mensal de juros simples de 16,2% incidindo sobre o valor da dívida
na data do vencimento, o valor da dívida, no 10º dia de atraso, será
igual a R$1370,20.
(16) Em caso de a dívida ser quitada 15 dias antes do vencimento,
aplicando-se a taxa de desconto simples de 7% ao mês, o valor
pago será de R$1 209,00.
Questão 02.
Considerando-se a função : R → ] b,
+ ∞]
x +
f dada por f(
x)
= ca b ,
com a, b, c ∈ R, c > 0 e 0 < a ≠ 1, é correto afirmar:
(01) O ponto (0, b) pertence ao gráfico de f.
(02) A função f é crescente se e somente se a > 1 e b > 0.
f(
x + 1)
− b
(04) A função g: R → R dada por g(
x)
= é constante.
f(
x)
− b
66
(08) A função f é inversível e sua inversa é a função
⎛ x − b ⎞
h : ] b,
+ ∞ [ → R , dada por h( x)
= loga
⎜ ⎟ .
⎝ c ⎠
(16) A função f pode ser obtida como a composta de uma função
afim e uma função exponencial.
(32) A equação f(x) = b tem uma única solução real.
Questão 03.
Uma caixa contém quatro varetas azuis, medindo 1cm, 3cm, 4cm e
7cm, e três varetas verdes, medindo 2cm, 3cm e 4cm.
Com relação às varetas da caixa, é correto afirmar:
(01) A média aritmética e a mediana dos comprimentos das varetas
são iguais.
(02) O desvio-padrão dos comprimentos das varetas verdes é igual
2
a .
3
(04) Escolhendo-se, ao acaso, uma vareta, a probabilidade de ser
5
azul ou ter comprimento maior que 4 cm é igual a .
7
(08) Escolhendo-se, ao acaso, duas varetas, sem reposição, a
3
probabilidade de serem da mesma cor é igual a .
7
(16) Existem exatamente nove maneiras distintas de escolher três
varetas que formem um triângulo isósceles.
(32) Existem exatamente 5040 maneiras distintas de se enfileirar as
varetas.
Questão 04.
⎛0 −1⎞
Considerando-se a matriz M = k ⎜
⎟ , sendo k um número real,
⎝1
0 ⎠
é correto afirmar:
(01) M é uma matriz simétrica, para qualquer k.
(02) M é uma matriz inversível se e somente se k ≠ 0 e, nesse
− 1 ⎛ 0 1⎞
caso, M = ⎜
⎟
k ⎝−
1 0⎠
1
.
(04) Para algum valor de k, M é a matriz identidade de ordem 2.
(08) Identificando-se um ponto genérico (x, y) do plano cartesiano
com a matriz-linha (x y) de ordem 1 x 2, se k = 1 e (x, y) ≠ (0,0),
então os pontos identificados por (0 0), (x y) e (x y)M são vértices
de um triângulo retângulo isósceles.
(16) Dados dois números reais a e b, se k ≠ 0, então o sistema de
⎛x
⎞ ⎛a⎞
b a
equações M
⎜
⎟ =
⎜
⎟ tem uma única solução x = , y = − .
⎝y
⎠ ⎝b⎠
k k
Questão 05.
Sendo r a reta no plano cartesiano representada pela equação
2 x + 3y
= 5 , é correto afirmar:
(01) A reta paralela à reta r que passa pelo ponto (−3, 0) pode ser
representada pela equação 2x + 3y = − 6 .
(02) A reta perpendicular à reta r que passa pela origem pode ser
representada pela equação − 3x + 2y = 0 .
(04) Para cada
⎧5
⎫
c ∈R
− ⎨ ⎬ , existe uma única circunferência com
⎩2
⎭
centro (c, 0) que é tangente à reta r.
(08) O triângulo cujos vértices são a origem e os pontos de
interseção da reta r com os eixos coordenados tem área igual a
25
unidades de área.
12
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(16) A imagem da reta r pela rotação de ângulo de 60º, em torno do
⎛ 5 ⎞
ponto ⎜ , 0⎟
, no sentido anti-horário, coincide com o eixo das
⎝ 2 ⎠
abscissas.
(32) Dado um ponto (a, b)∉ r, existem infinitas circunferências de
centro (a, b) que interceptam r.
Questão 06.
Considerando-se um cubo com centro em um ponto P, é correto
afirmar:
(01) Existem exatamente 16 segmentos de reta cujos extremos são
vértices do cubo e que não são arestas do cubo.
(02) Existem exatamente seis triângulos cujos vértices são o ponto
P e dois vértices não consecutivos do cubo.
(04) Existem exatamente 12 tetraedros cujos vértices são o ponto P
e três vértices de uma mesma face do cubo.
(08) A razão entre as medidas da diagonal e do lado do cubo é
igual a 3 .
(16) Qualquer triângulo cujos vértices sejam também vértices do
cubo é um triângulo retângulo.
(32) O volume do cubo é igual a seis vezes o volume de uma
pirâmide cujos vértices são o ponto P e os vértices de uma mesma
face do cubo.
Questão 07.
Considerando-se uma seqüência de números reais , a , a , ..., a , ... ,
com a13 = 72 e a15 = 18 , é correto afirmar:
a1 2 3 n
(01) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então todos os
termos são positivos.
(02) Se a14 = 30, então a seqüência não é uma progressão
aritmética nem uma progressão geométrica.
(04) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então a soma
dos 15 primeiros termos é igual a 3105.
(08) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então
a120
a121
2
± = .
(16) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então a
seqüência a , log a , log a ,..., log a , ... , é uma PA.
log 1 2 3
n
(32) Se a seqüência satisfaz a fórmula de recorrência
a
n + 1
an
= +
3
30
4
, então
387
a12 = .
2
Questão 08.
Sendo a média aritmética de três números inteiros positivos
distintos igual a 60, pode-se afirmar:
(01) Pelo menos um dos números é menor que 60.
(02) Nenhum dos números é maior que 177.
(04) Se os três números formam uma progressão aritmética, então
um dos números é igual a 60.
(08) Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três
números é menor que 216000.
(16) Se os três números são primos, então um deles é igual a 2.
(32) Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18,
então os números são 36, 54 e 90.
67
Questão 09.
Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com
13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil,
descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao
terreno, é uma função quadrática de sua distância à reta que
contém o mastro.
O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa distância é de
3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros.
Determine, em metros, a altura máxima alcançada pelo projétil.
Questão 10.
A figura representa a circunferência com centro no ponto O e
diâmetro AC medindo 168cm.
Sabendo que o ângulo BÔC mede 60º, determine a medida, em
centímetros, do raio da circunferência de centro P∈AC que
tangencia o segmento AB e passa pelo ponto O.
UFBA-09.1ª etapa
Questão 01.
Sobre números reais, é correto afirmar:
(01) O produto de dois números racionais quaisquer é um número
racional.
(02) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número
irracional qualquer é um número
irracional.
(04) O quadrado de qualquer número irracional é um número
irracional.
(08) Se o quadrado de um número natural é par, então esse número
também é par.
(16) Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34.
(32) A soma de dois números primos quaisquer é um número primo.
(64) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é
igual a 1, então esses
números são primos.
Questão 02.
Sobre a função f: [0, 1] → R, representada pelo gráfico ao lado, é
correto afirmar:
(01) A imagem da função f é o intervalo [0, 1].
1
(02) Existe um único x∈[0, 1] tal que f ( x)
= .
2
⎡ 1⎤
⎡ 1 ⎤
(04) A função f é decrescente em ⎢ 0 , ⎥ e crescente em ⎢ , 1⎥
.
⎣ 2 ⎦
⎣ 2 ⎦
(08) A imagem da função g: [-1, 0] → R definida por g(x) = f(-x) é o
intervalo [0, 1].
(16) f(f(f(0))) = 0 e f(f(f(1))) = 1.
(32) fofof é a função identidade.
Dúvidas ou Sugestões
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Questão 03.
Um grupo de 90 pessoas, interessadas em viajar de férias, contata
uma companhia aérea que faz a seguinte proposta: se o número de
pessoas que confirmarem a viagem for igual a n, cada uma delas
pagará o valor p(n)=1600 - 10n pela passagem. Sendo A = {1, 2, ... ,
90}, define-se a função p: A→R.
Se o valor total a ser recebido pela Companhia é dado pela função r:
A→R, definida por r(n) = 1600n - 10n 2 , então pode-se afirmar:
(01) A função p é decrescente.
(02) O valor de cada passagem é um número inteiro pertencente ao
intervalo [700, 1590].
(04) Tem-se p(n) = 1352 para algum n∈A.
(08) A função r é crescente.
(16) Cada confirmação de viagem provoca um acréscimo constante
no valor de r.
(32) Existe um único n∈A tal que r(n) = 63000.
(64) O valor total recebido pela Companhia será máximo, se n = 80.
Questão 04.
Considerando-se que a concentração de determinada substância no
t
−
corpo humano é dada, em miligramas, por C(
t)
= 15 ⋅ 2 4 , sendo t ≥
0 o tempo, em horas, contado desde a ingestão da substância, é
correto afirmar:
(01) A concentração inicial da substância é igual a 30mg.
(02) Duas horas após a ingestão, a concentração da substância é
15
igual a mg .
2
(04) A imagem da função C é o intervalo [0, 15].
(08) A função C é decrescente.
(16) Dado k∈]0, 15], o único valor de t que satisfaz a equação C(t)=k
⎛ 15 ⎞
é t = 4log2
⎜ ⎟ .
⎝ k ⎠
(32) A cada período de quatro horas, o valor de C(t) se reduz à
metade.
(64) Se t1, t2, ... , tn é uma progressão aritmética, então C(t1), C(t2),
... , C(tn) é também uma progressão aritmética.
Questão 05.
Os candidatos de um concurso foram submetidos a uma prova de
100 questões, consistindo cada uma delas de uma afirmação a ser
assinalada como verdadeira ou como falsa. O total de pontos de
cada candidato foi obtido somando-se 5 para cada acerto e
subtraindo-se 2 para cada erro e 1 para cada questão sem resposta.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) O total de pontos obtidos por cada candidato é um número
inteiro pertencente ao intervalo
[0, 500].
(02) Se um candidato obteve zero ponto, então ele acertou mais do
que uma questão.
⎛ x⎞
⎜ ⎟
(04) Se A = ( 5 −2
−1)
e B = ⎜ y⎟
sendo x, y e z, respectivamente,
⎜ ⎟
⎝ z⎠
o número de acertos, erros e questões sem resposta de um
candidato, então sua pontuação é o único elemento da matriz A.B.
(08) É possível que um candidato tenha obtido 115 pontos, errando
exatamente 37 questões.
(16) Se um candidato obteve 231 pontos, com o número de acertos
igual ao número de erros mais o dobro do número de questões sem
resposta, então o produto entre o número de acertos e o de erros é
igual a 1357.
(32) Se um candidato assinala aleatoriamente cada afirmação como
verdadeira ou como falsa, sem deixar nenhuma sem resposta, então
a probabilidade de esse candidato acertar todas as questões é igual
a 1/100.
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Questão 06.
O quadro a seguir apresenta todas as medalhas ganhas por países
da América do
Sul durante os jogos olímpicos de Atenas realizados no ano 2004.
Dos 12 países sul-americanos, apenas um não participou do evento.
Com base nas informações apresentadas e considerando-se o
quadro de medalhas, é correto afirmar:
(01) Do total de medalhas conquistadas, 37,5% foram de ouro.
(02) A média do número de medalhas de prata conquistadas pelos
seis países do quadro é igual a 0,5.
(04) O desvio-padrão do número de medalhas de bronze
5
conquistadas pelos seis países do quadro é igual a .
3
(08) A mediana do número de medalhas conquistadas pelos seis
países do quadro é igual a 2.
(16) Dos países sul-americanos participantes do evento, 50% não
ganharam medalha de ouro.
(32) Considerando-se que o número de medalhas de bronze
conquistadas pelo Brasil, nesse evento, foi 50% menor que o obtido
na Olimpíada de 2000, então o Brasil conquistou menos que seis
medalhas de bronze na Olimpíada de 2000.
Questão 07.
Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar:
(01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices.
(02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta
que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base.
(04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra
contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas.
(08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72º em
torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra
aresta lateral.
(16) Se o lado da base e a altura do prisma medem,
respectivamente, 4,7cm e 5,0cm, então a área lateral do prisma é
igual a 115cm 2 .
(32) Se o volume, o lado da base e a altura do prisma medem,
respectivamente, 235,0cm 3 , 4,7cm e 5,0cm, então o raio da
circunferência inscrita na base desse prisma mede 4,0cm.
Questão 08.
Em uma escola, seis meninos e duas meninas disputam uma prova
de natação. Cada nadador ocupa uma das oito raias da piscina,
numeradas de 1 a 8, e os que obtiverem o primeiro, o segundo e o
terceiro lugar subirão ao pódio para premiação.
Com base nessas informações e admitindo-se que não existe a
possibilidade de empate, é correto afirmar:
(01) Existem exatamente 40320 maneiras distintas de distribuir os
nadadores nas raias.
(02) Existem exatamente 720 maneiras distintas de distribuir os
nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por
meninas.
(04) Existem exatamente 336 formações distintas para o pódio.
(08) Existem exatamente 60 formações distintas para o pódio com
dois meninos e uma menina.
(16) Se for sorteado um nadador para ocupar a raia 1, a
probabilidade de ser menino é igual a 6/8.
(32) Sorteando-se os nadadores para definir suas posições nas
raias, a probabilidade de que os meninos ocupem as raias de 1 a 6 é
igual a 1/28.
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MÓDULO DE EXATAS 2009 MATEMÁTICA Prof. Ramon Neiva
Questão 09.
No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos
P(24, 0) e Q(0, 18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo
ponto médio de P e Q.
Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são
o ponto Q e os pontos de intersecção da reta s com a reta r e com o
eixo Oy.
Questão 10.
Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa de juros
compostos de 40% ao ano, resulta no montante de R$9 800,00.
Sendo x% a taxa anual de juros simples que, aplicada ao mesmo
capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo montante,
determine x.
Gabarito Matemática – UFBA-07.1ªetapa
QUESTÃO PROPOSIÇÕES
VERDADEIRAS
GABARITO
01 01 + 02 03
02 01 + 04 + 16 + 32 53
03 01 + 04 + 08 + 16 + 32 61
04 01 + 02 + 16 19
05 04 + 08 + 16 + 32 60
06 01 + 04 + 08 + 16 29
07 02 + 04 + 08 + 32 46
08 08 + 32 * 08
09 - 04
10 - 08
Obs: * Anulada a Proposição (32). O gabarito passa a ser 08.
Gabarito Matemática – UFBA-08.1ªetapa
QUESTÃO PROPOSIÇÕES
VERDADEIRAS
GABARITO
01 01 + 08 09
02 04 + 08 + 16 28
03 08 + 16 + 32 56
04 02 + 08 + 16 26
05 01 + 02+ 04 + 08 + 32 47
06 01 + 08 + 32 41
07 02 + 04 + 08 + 16 + 32 62
08 01 + 02 + 04 + 08 + 16 31
09 - 18
10 - 28
Gabarito Matemática – UFBA-09.1ªetapa
QUESTÃO PROPOSIÇÕES
VERDADEIRAS
GABARITO
01 01 + 02 + 08 + 16 27
02 01 + 04 + 08 + 16 29
03 01 + 02 + 64 67
04 01 + 02 + 64 58
05 02 + 04 + 08 + 16 30
06 01 + 02 + 04 07
07 01 + 04 + 08 + 32 45
08 01 + 04 + 16 + 32 53
09 - 25
10 - 48
69
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